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(共34张PPT)
27.2.1 相似三角形的判定
(第1课时)
第二十七章 相似
人教版数学九年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
理解相似三角形的概念，并会用以证明和计算.
体会用相似符号“∽”表示的相似三角形之间的边，角对应关系.
掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1.相似多边形的特征是什么？
2.怎样判定两个多边形相似？
3.什么叫相似比？
4.相似多边形中，最简单的就是相似三角形．如果∠A ＝∠A1，
∠B＝∠B1，∠C＝∠C1， ， 那么△ABC与
△A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两个三角形相似吗？
导入新知
A
B
C
A1
B1
C1
请分别度量l3 , l4, l5.在l1 上截得的两条线段AB, BC和在l2 上截得的两条线段DE, EF的长度, AB： BC与DE：EF相等吗？任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, 它们的比值还相等吗？




猜想
A
B
C
D
E
F
l2
探究新知
l1
除此之外，还有其他对应线段成比例吗？
l2
l3
l4
l5
知识点 1
平行线分线段成比例定理
若 ，那么
若 ， 那么
即
事实上，当l3 //l4 // l5时，都可以得到 ，
还可以得到 ， ， 等.
A
B
C
D
E
F
l3
l4
l5
l1
l2
通过探究，你得到了什么规律呢？
探究新知
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：
若a∥b∥ c ，则 ， ，
归纳：
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
a
探究新知
1. 如何理解“对应线段”？
2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
【想一想】
探究新知
如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是 ( )
A. B.
C. D.
D
A
C
E
B
D
F
l2
l1
l3
巩固练习
如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，
A
B
C
D
E
F
l4
l5
l1
l2
l3
把直线 l1向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.
探究新知
知识点 2
平行线分线段成比例定理的推论
【思考】
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚好落到l3上，如图2（1），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
A
B
C
D
E
F
l3
l4
l5
l1
l2
探究新知
图1
图2（1）
A
（D）
E
F
C
B
【思考】如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚好落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
探究新知
图1
图2（2）
A
B
C
D
E
F
l3
l4
l5
l1
l2
B
C
E
A
D
l1
l2
l3
l4
l5
l2
l3
l1
l3
l
l
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
A
B
C
D
E
l2
A
B
C
D
E
l1
l
l
探究新知
归纳：
巩固练习
如图,l1∥l2∥l3， ，DE＝6，求DF的长．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴ .
又∵ ，DE＝6，
∴ ，
解得EF＝4.
∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.
l1
l2
l3
如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD和BD.
∴AE=3.
解：∵AC=4，EC=1，
∵ DE∥BC，
∴
∴AD=2.25，
∴BD=0.75.
探究新知
考点 1 1
利用平行线分线段成比例定理及推论求线段长度
如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，
　BE=6cm，FC=3cm，AF的长为_______．
1cm
巩固练习
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
问题1 △ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
问题2 分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边
长是否对应成比例？
B
C
A
D
E
探究新知
知识点 3
相似三角形的判定定理
问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，
且只要DE∥BC，这个结论恒成立.
探究新知
B
C
A
D
E
【思考】1.我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽
△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？
2.由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？
探究新知
用相似的定义证明△ADE∽△ABC
B
C
A
D
E
A
B
C
D
E
证明:在△ADE与△ABC中，
∠A= ∠A.
∵ DE//BC,
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C，
过E作EF//AB交BC于F,
∵四边形DBFE是平行四边形,
F
∴DE=BF .
∴△ADE∽△ABC .
探究新知
∴ .
∴ .
则
已知：如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB ， AC于点D、E．
求证：△ADE∽△ABC .
“A”型
“X”型
（图2）
D
E
O
B
C
A
B
C
D
E
（图1）
探究新知
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成
的三角形与原三角形相似.
符号语言：
∵ DE//BC,
∴△ADE∽△ABC．
【讨论】过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证明△ADE∽△ABC？如果在三角形中出现一边的平行线，那么你应该联想到什么？
【方法总结】过点D作与AC平行的直线与BC相交，仍可证明△ADE∽△ABC，这与教材第31页证法雷同．题目中有平行线，可得相似三角形，然后利用相似三角形的性质，可列出比例式．
探究新知
已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形.
3
C
D
A
B
E
F
O
相似具有传递性
巩固练习
B
返回
1．
已知△ABC∽△DEF，AB＝2，BC＝3，若DE＝3，
则EF＝(　　)
A．6
B．4.5
C．5
D．2.5
返回
C
2．
[2024重庆一中月考]如图，l1∥l2∥l3，直线a，b相交于点G，与这三条平行线分别相交于点A，B，C和点D，E，F，下列比例式中错误的是(　　)
3．
[2024长春]如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图： ①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G ，点G与点C在直线AB的同侧；④作直线OG，交AC于点M.
D
返回
4．
返回
B
[2024河南]如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F.若 AB＝4，则EF的长为(　　)
5．
(2)若CD＝2，在上述条件和结论下，求EF的长．
返回
6．
返回
B
7．
[2024宣城期末]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，若AB＝10，CD＝3，EF＝5，则CF：FB等于(　　)
A．2：7
B．5：7
C．3：7
D．2：5
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.
相似三角形判定的引理
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
基本事实
平行线分线段成比例定理及其推论
课堂小结
谢谢观看！

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