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(共28张PPT)
27.2.1 相似三角形的判定
(第2课时)
第二十七章 相似
人教版数学九年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
复习已经学过的三角形相似的判定定理 .
会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并能进行相关计算与推理.
培养学生探究交流能力，发展推理能力.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等．对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？
类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？
探究探究！
讨论一下？
导入新知
1.定义法:对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似.
如何判断两个三角形是否相似
∵ DE∥BC
∴ △ ADE ∽ △ ABC
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
A型
X型
探究新知
知识点 1
三边对应成比例的两三角形相似
还有没有其他简单的判断方法呢？
是否有△ABC∽△A′B′C′？
A
B
C
三边对应成比例
探究新知
C′
B′
A′
A
B
C
C′
B′
A′
通过测量不难发现∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学的定理证明该结论.
探究新知
已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，A′B′:AB=A′C′:AC=B′C′:BC.
求证:△ABC∽△A′B′C′.
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
A′
B′
C′
A
B
C
D
E
过点D作DE∥BC交AC于点E.
又∵ A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA,
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC .
∵AD=A′B′, ∴AD:AB=A′B′:AB.
∴DE:BC=B′C′:BC,EA:CA=C′A′:CA.
因此DE=B′C′,EA=C′A′.
∴△A′B′C′∽△ABC.
∴△ADE≌△A′B′C′.
探究新知
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：
三边成比例的两个三角形相似．
归纳：
∵ ，
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
符号语言：
探究新知
【讨论】在用三边的比判定两个三角形相似时，如何寻找对应边？
【总结】利用三边的比判定两个三角形相似时，应先将两个三角形的三边按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似．
探究新知
已知AB=4 cm，BC=6 cm ，AC=8 cm， A′B′ =12 cm ， B′C′=18 cm ， A′C′=24 cm ，试说明△ABC∽△ A′B′C′.
∴ △ABC∽△ A′B′C′. ＇
探究新知
考点 1
利用三边成比例判断三角形相似
解：∵
∴ .
探究新知
方法点拨
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最大边与最大边对应，最短边与最短边对应.
在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是_________________．
如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
相似
C
三组对应边的比相等
巩固练习
A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④
如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′ = 90°，
且 求证：△ A′B′C′∽△ABC.
证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′，
∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2－4 A′C′ 2
= 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2.
∴ △ A′B′C′∽△ABC.
∴ BC=2B′C′，
探究新知
考点 2
判断三角形相似
如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．
∴ △ABC∽△EFD.
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴
∴
巩固练习
试说明∠BAD=∠CAE.
A
D
C
E
B
∴ΔABC∽ΔADE.
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC
即∠BAD=∠CAE.
如图已知：
解：∵
探究新知
考点 3
利用三角形相似说明角相等
解：相等的角有∠BAC=∠DAE，
∠B=∠ADE，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.
理由如下：
在 △ABC 和 △ADE 中，∵ AB : AD = BC : DE = AC : AE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠B= ∠ADE ，∠C=∠E.
∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAE.
故图中相等的角有∠BAC=∠DAE，
∠B=∠ADE，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.
如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出图中相等的角 (对顶角除外)，并说明你的理由.
A
B
C
D
E
巩固练习
C
返回
1．
如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的(　　)
2．
【点拨】
【答案】B
∵AD：AC＝1：3，∴AD：DC＝1：2.
∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC.
∵AE＝BE，∴AE：BC＝AE：AB＝1：2.
∴AD：DC＝AE：BC.
又∵∠A＝∠C，∴△AED∽△CBD.故选B.
返回
3．
在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，“马”应落在(　　)
A．①处 B．②处
C．③处 D．④处
【点拨】
【答案】B
返回
4．
如图，BD平分∠ABC，且AB＝4，BC＝6，则当BD＝________时，△ABD∽△DBC．
【点拨】
【点易错】
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么这两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角．
. . .
返回
5．
返回
[2024广州]如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF.
6．
一个三角形木架的三边长分别是75 cm，100 cm，
120 cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60 cm和120 cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有(　　)
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
三边成比例两个三角形相似
利用三边判定两个三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
课堂小结
谢谢观看！

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