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(共33张PPT)
27.3.1 位似
第二十七章 相似
人教版数学九年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质.
掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
导入新知
相似图形
这种相似有什么特征？
相似图形
导入新知
这种相似有什么特征？
照相机把人物的影像缩小到底片上
相似图形
导入新知
这种相似有什么特征？
1. 在幻灯机放映图片的过程中，这些图片有什么关系？
2. 幻灯机在哪儿呢？
3.我们能给这种有特殊位置的相似图形一个名称吗？
导入新知
下列图形中有相似多边形吗？如果有，那么这种相似有什么特征？
探究新知
知识点 1
位似的定义
【讨论】什么样的图形叫做位似图形？什么叫做位似中心？ 如何判断两个图形是否位似图形？
两个相似多边形，如果它们对应顶点的连线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似
中心．
探究新知
【方法总结】判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：（1）这两个图形是否相似；（2）是否有特殊的位置关系，即每组对应顶点的连线是否都经过同一点．
位似是一种具有位置关系的相似.
位似图形是相似图形的特殊情形.
位似图形必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形.
两个位似图形的位似中心只有一个.
两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧.
注意
探究新知
画出下列图形的位似中心：
巩固练习
O
乙
O
甲
如图，BC∥ED，下列说法不正确的是 （ ）
A. 两个三角形是位似图形
B. 点 A 是两个三角形的位似中心
C. B 与 D、C 与 E是对应位似点
D. AE : AD是相似比
D
D
E
A
B
C
巩固练习
从左图中我们可以看到，△OAB∽△OA′B′，
则 ，AB∥A′B′. 右图呢？你得到了什么？
A
B
E
C
D
O
A′
B′
C′
D′
E′
A
B
C
O
A′
B′
C′
探究新知
知识点 2
位似图形的性质
【总结】位似图形的所有对应点的连线交于一点．位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等．位似图形的相似比也叫做位似比，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
探究新知
【思考】位似图形和相似图形有什么联系和区别？位似图形有何性质？
如图，四边形木框 ABCD 在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形 A′B′C′D′，若 OB : OB′＝1 : 2，则四边形 ABCD 的面积与四边形A′B′C′D′的面积比为 （ ）
A．4∶1 B．
C． D．1∶4
D
巩固练习
O
2. 分别在线段OA、OB、OC、OD上取点A'、B'、C'、D'，使得
3. 顺次连接点A'、B'、C'、D'，所得四边形A'B'C'D'就是所要求的图形．
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
利用位似可以把一个图形放大或缩小.例如，要把四边形ABCD按相似比 缩小 ，
1. 在四边形外任选一点O（如图），
知识点 3
位似图形的画法
探究新知
【思考】
对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点 O，分别在 OA、OB、OC、OD 的反向延长线上取 A′ 、B′ 、C′、D′，使得 呢？如果点 O 取在四边形 ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形．
探究新知
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
探究新知
画位似图形的一般步骤：
探究新知
归纳总结
① 确定位似中心；
② 分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长；
③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；
④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
探究新知
方法点拨
画位似图形时，需要注意的事项：
（1）要弄清位似比，即分清是已知图形与新图形的相似比，还是新图形与原图形的相似比．
（2）若问题没有指定位似中心的位置，则画图时位似中心的取法有多种，对画图而言，以多边形的一个顶点为位似中心画图最简捷．
如图，以O为位似中心，将△ABC按相似比2放大．
O
A
B
C
画法：①作射线OA 、OB 、 OC ;
②分别在OA、OB 、OC 上取点A' 、B' 、C' 使得
③顺次连结A' 、B' 、C' 就是所要求图形.
A'
B'
C'
巩固练习
1．
如图是△DEF是△ABC的位似图形的几种画法，其中正确的个数是(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1
【点拨】
【答案】A
第一个图形中的位似中心为点A，第二个图形中的位似中心为AD所在的直线与BC的交点，第三个图形中的位似中心为点O，第四个图形中的位似中心为点O.故选A.
【点方法】
判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：(1)这两个图形是否相似；(2)是否有特殊的位置关系，即每组对应顶点的连线是否都经过同一点．
返回
2．
[2024金华期末]如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AD，S△ABC＝4，则S△DEF等于(　　)
A．6
B．8
C．9
D．12
【点拨】
【答案】C
∵OA＝2AD，∴OA：OD＝2：3.
又∵△ABC与△DEF是位似图形，点O是位心中心，
∴△ABC与△DEF的相似比为2：3.
∴△ABC与△DEF的面积比为4：9.
又∵△ABC的面积为4，∴△DEF的面积为9.故选C.
返回
24
[变式]如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，且OD＝3OA，若△ABC的面积为3，则阴影部分的面积是________．
【点拨】
返回
8
3．
《墨子·天志(上)》记载：“轮匠执其规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，即正方形A′B′C′D′，若A′B′：AB＝2：1，则正方形A′B′C′D′的周长为________．
【点拨】
根据题意知，正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′，且相似比为AB：A′B′＝1：2，
∴正方形ABCD的周长?正方形A′B′C′D′的周长＝AB：A′B′＝1：2.
∵正方形ABCD的周长为4，∴正方形A′B′C′D′的周长为8.
【点方法】
位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比相等．位似图形的相似比也叫做位似比，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
返回
. .
位似的概念及画法
位似图形的概念
位似图形的性质
画位似图形
课堂小结
谢谢观看！

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