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第二十七章 相似
人教版数学九年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系 .
在平面直角坐标系中，利用图形与坐标的变换画出与已知多边形位似的多边形.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称). 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？
导入新知
D
x
y
A
B
C
在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)，B (6，0)．
以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩小， 观察对应点之间坐标的变化.
探究新知
知识点 1
平面直角坐标系中的位似变换
2
4
6
4
6
B'
－2
－4
－4
x
y
A
B
A'
A"
B"
O
如图，把 AB 缩小后 A，B 的对应点为
A′ ( ， )，
B' ( ， )；
A" ( ， )，
B" ( ， ).
2
1
2
0
－2
－1
－2
0
探究新知
x
y
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
-2
-4
-6
-8
O
10
12
-10
-12
如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，3），B（2，1），C（6，2），以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
A
B
C
位似变换后A，B，C的对应点为
A '（ ， ），B ' （ ， ），C ' （ ， ）；
A" （ ， ），B" （ ， ），C" （ ， ）．
4
6
4
2
12
4
－4
－6
－4
－2
－4
－12
A'
B'
C'
A"
B"
C"
探究新知
问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？
问题2 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？
探究新知
探究新知
归纳总结
1.在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个．
2.在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点坐标的比等于k或－k．
3.在平面直角坐标系中, 以原点O为位似中心,位似比为k,若原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对应点
A '的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.
注:当 k＞1 时，图形按相似比k 扩大；当 0＜k＜1时，图形按相似比 缩小 ．
如图所示，△AOB的A、B两顶点的坐标分别为A（3，0），B（3，2），若△AOB与△DOE为位似图形，且位似比为3:2，则D点坐标为__________，E点的坐标为 ．
（－2，0）
巩固练习
1
如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)，B (－2，0)，O (0，0). 以原点O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 3 : 2.
2
4
6
2
－2
－4
x
y
A
B
O
探究新知
考点 1 1
利用平面直角坐标系中的位似变换作图
2
4
6
2
－2
－4
x
y
A
B
O
解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (－3，6)，B′ (－3，0)，O (0，0).
A′
B′
顺次连接点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O 就是要画的一个图形.
还有其他画法吗？自己试一试.
探究新知
提示：画三角形关键是确定它各顶点的坐标. 根据前面的归纳可知，点 A 的对应点 A′ 的坐标为 ，即(－3，6)，类似地，可以确定其他顶点的坐标.
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
-2
-4
-6
-8
O
10
12
-10
-12
如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，－2），B（4，－5），C（5，－2），以原点O为位似中心，将这个三角形按相似比2放大．
A
B
C
解：
A'（ ， ），B ' （ ， ），C ' （ ， ），
4
－ 4
－ 10
8
－4
10
A" （ ， ），B" （ ， ），C"（ ， ）.
4
－ 4
－ 8
10
－10
4
A'
B '
C '
A"
B"
C"
巩固练习
x
y
将图中的△ABC做下列运动，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．
（1）沿y轴正向平移3个单位长度；
（2）关于x轴对称；
（3）以C为位似中心，将△ABC按相似比2放大；
（4）以C为中心，将△ABC顺时针旋转180°．
截止现在，你总共学了哪些图形变换？它们有何异同点？
探究新知
知识点 2
平面直角坐标系中的图形变换
x
y
A
B
C
A1
A2
A3
A4
B1
B3
B4
C1
C2
(C3 )
(C4 )
B2
B
返回
1．
A．(－2，1) B．(－2，1)或(2，－1)
C．(－8，4) D．(－8，4)或(8，－4)
返回
D
2．
3．
A．(3，2) B．(－3，－2)
C．(3，2)或(－3，－2) D．(2，3)或(－2，－3)
【点拨】
【答案】C
返回
4．
返回
C
如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作矩形ABCD，使它与矩形EFGO位似，且点B，F的坐标分别为(－4，4)，(2，1)，则位似中心的坐标为(　　)
A．(0，3) B．(0，2.5)
C．(0，2) D．(0，1.5)
5．
【解】如图所示，△A1B1C1即为所求．
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2)，B(2，－1)，C(4，－3)．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，在第一象限中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1.
返回
【解】如图所示，△A2B2C2即为所求．
6．
【点拨】
【答案】A
由M，N，P，Q的坐标可知，线段MN与线段PQ位似，且相似比为3：2.∵MN＝6，∴PQ＝4.
返回
7．
返回
A
[2024重庆八中月考]如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△FED关于原点O位似，且OB＝2OE，若S△ABC＝4，则S△DEF为(　　)
探究新知
名称 规律 变换方式
平移
轴对称
旋转
位似
对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）平移的单位长度.
以 x 轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；
以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数.
若一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数.
当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的同名坐标之比的绝对值等于相似比.
全等变换
相似变换
位似与平移、轴对称、旋转变换的对比
平面直角坐标系中的位似
平面直角坐标系中的位似变换
平面直角坐标系中的图形变换
坐标变化规律
平面直角坐标系中的位似图形的画法
课堂小结
谢谢观看！

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