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(共36张PPT)
28.1.1 锐角三角函数
第二十八章 锐角三角函数
人教版数学九年级下册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
学习目标
经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实.
理解锐角正弦的概念，掌握正弦的表示方法.
会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值，并且能利用正弦求直角三角形的边长.
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
鞋跟多高合适
美国人体工程研究学人员调查发现，
当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°左
右时，人脚的感觉最舒适，假设某成年人前脚掌到
脚后跟长为15厘米，请问鞋跟在几厘米高度为最佳？
11
导入新知
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
分析：这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即
可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．
A
B
C
探究新知
知识点
正弦的定义
解：
B
A
C
30°
35m
【思考】在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50m，那么需要准备多长的水管？
A
B
C
50m
35m
B '
C '
AB'＝2B'C' ＝2×50＝100(m).
探究新知
在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 .
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得:
因此 .
在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ，
你能得出什么结论？
A
B
C
探究新知
,
,
探究新知
归纳总结
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值.
【思考】一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究新知
A
B
C
A'
B'
C'
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？
探究新知
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 因此
在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值．
探究新知
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
例如，当∠A＝30°时，我们有
当∠A＝45°时，我们有
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
归纳：
探究新知
∠A的对边
斜边
sin A =
注意
sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”；
sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比；
sinA不表示“sin”乘“A”.
探究新知
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
解：（1）在Rt△ABC中，
因此
（2）在Rt△ABC中，
因此
探究新知
考点 1
利用正弦的定义求有关角的正弦值
A
B
C
3
4
（1）
A
B
C
13
5
（2）
求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比.
,
,
,
,
.
.
判断对错:
A
10m
6m
B
C
(1) （ ）
(2) （ ）
(3)sin A=0.6m （ ）
(4)sin B=0.8 （ ）
√
√
×
×
sin A是一个比值（注意比的顺序），无单位；
2)如图②， （ ）
×
巩固练习
A
B
C
1) 如图①
图①
图②
在 Rt△ABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sinA 的值 ( )
A. 扩大100倍 B. 缩小
C. 不变 D. 不能确定
C
巩固练习
如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA .
A (3，0)
在Rt△APO中，由勾股定理得
因此
α
探究新知
考点 2
在平面直角坐标系内求锐角的正弦值
探究新知
方法点拨
结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
A
B
x
y
在平面直角坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin∠OAB等于____
3
4
5
巩固练习
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ，BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
A
B
C
提示：已知 sinA 及∠A的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长. 然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
考点 3
探究新知
利用正弦求直角三角形的边长
∴ AB = 3BC =3×3=9.
∴
∴
∴
探究新知
A
B
C
解：∵在 Rt△ABC 中，
∴ .
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，
sinB = h，AB = c，则
BC = ck，
AC = ch.
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，
sinB = h，BC=a，则
归纳：
探究新知
A
B
C
，
.
8
巩固练习
如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，
， BC的长是 ．
A
Ｃ
B
解：设BC=7x，则AB=25x，在 Rt△ABC中，由勾股定理得
即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm.
故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.
所以 △ABC 的周长为 AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm).
探究新知
考点 4
利用方程和正弦求直角三角形中线段的长度
在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24cm， ，求这个三角形的周长．
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, , AC=12.
求sinB的值.
5
13
解:在Rt △ABC中,
设AB=13x，BC=5x,
由勾股定理得：(5x)2+122=(13x)2.
A
B
C
12
巩固练习
解得x=1.所以AB=13，BC=5.
因此
C
返回
1．
如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O，则下列比值中不等于sin A的是(　　)
返回
A
2．
如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，则sin∠BAC的值是(　　)
asinθ km
返回
3．
2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．如图，当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a km，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为________．
4．
返回
5．
如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，求sin∠ECM的值．
返回
6．
如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，与各边分别相切于点E，F，G，H，则∠1的正弦值等于(　　)
【点拨】
【答案】A
返回
7．
返回
正弦函数
正弦函数的概念
正弦函数的应用
已知边长求正弦值
已知正弦值求边长
∠A的对边
斜边
sin A =
课堂小结
谢谢观看！

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