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浙江省舟山市定海区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·定海期末）计算：结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵，
故正确．
故答案为：．
【分析】利用同底数幂乘法，底数不变，指数相加进行计算解题．
2．（2024七下·定海期末）为了解某校七年级800名学生的体重情况，从中抽查100名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，样本是指（　　）
A．800名学生 B．被抽取的100名学生
C．800名学生的体重 D．被抽取的100名学生的体重
【答案】D
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】样本是观测或调查的一部分个体，所以样本是指被抽取的100名学生的体重．
故答案为：D．
【分析】利用样本的定义解答即可．
3．（2024七下·定海期末）如图，直线、被所截，下列个角中，与是同位角的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A、与两角是同旁内角，故选项不符合题意；
B、与两角是同位角，故选项符合题意；
C、与两角不是同位角，故选项不符合题意；
D、与两角是内错角，故选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据同位角的定义“位于截线的同侧，被截线的同旁的角是同位角”解答即可．
4．（2024七下·定海期末）下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，是因式分解，故该选项符合题意；
B、，没有分解成几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意；
C、，没有分解成几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项符合题意；
D、，没有分解成几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据因式分解的定义“把一个多项式分解为几个整式的积的形式”逐项判断解答．
5．（2024七下·定海期末）已知方程，则下列解满足此方程的是（　　）
①；②；③；④
A．①② B．①④ C．②④ D．①②④
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：①将代入到中，得，故此解满足此方程；
②将代入到中，得，故此解满足此方程；
③将代入到中，得，故此解不满足此方程；
④将代入到中，得，故此解不满足此方程；
即①②满足此方程．
故答案为：．
【分析】把四组解代入原方程，逐一检验解题即可．
6．（2024七下·定海期末）某电瓶车厂根据去年第三、四季度各月产量，制作了统计图．根据图中信息，可以判断相邻两个月中，月产量增长最大的是（　　）
A．月到月 B．月到月 C．月到月 D．月到月
【答案】D
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】、月到月增加了（辆），
、月到月增加了（辆），
、月到月增加了（辆），
、月到月增加了（辆），
∴月产量增长最大的是月到月，
故答案为：．
【分析】根据统计图，计算相邻两个月销售额的差，然后比较解题．
7．（2024七下·定海期末）已知关于，的方程组的解满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：
得：，
又∵，
∴，解得：，
故答案为：．
【分析】把两方程相加得到，然后整体代入求出k的值解题即可．
8．（2024七下·定海期末）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■ ．”设绫布有尺，则可得方程为根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（　　）
A．每尺绫布比每尺罗布贵120文
B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文
D．绫布的总价比罗布总价便宜120文
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设：绫布有尺，则罗布有尺，
∵绫布和罗布分别出售均能收入896文，
∴每尺绫布的费用为元，每尺罗布的费用为元，
∵，
∴，
∴可以作为补充条件的是：每尺绫布和每尺罗布一共需要120文．
故选：C．
【分析】设绫布有尺，则罗布有尺，再表示每尺绫布和每尺罗布需要的费用，最后根据所列的方程求解即可．
9．（2024七下·定海期末）边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（　　）
A．28 B．39 C．61 D．68
【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图可知：，
正方形边长为a，正方形边长为b，
，
，
，
，
，
将，代入得：
，
故答案为：B．
【分析】根据表示阴影部分面积，然后整体代入解题即可．
10．（2024七下·定海期末）小明的爸爸妈妈各有一辆汽车，但加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈各加油两次，第一次加油汽油单价都为元/升，第二次加油汽油单价都为元/升（），妈妈每次加满油箱，需加油升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢（　　）
A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定
【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：根据题意，得妈妈每次加油共需付款元，爸爸两次能加升油，
设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升，
∵爸爸两次加油总共花了元，妈妈加了升油，
∴爸爸两次加油的平均单价为，妈妈两次加油的平均单价为，
∵爸爸和妈妈两次加油的平均单价的差值为，
∴爸爸的加油方式更合算．
故答案为：．
【分析】分别求出妈妈和爸爸的加油的平均油价，然后利用分式的减法求差与零比较解题即可．
11．（2024七下·定海期末）若分式的值为0，则x的值是　 　．
【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴x-2=0，且x+3≠0，
∴x=2．
故答案为：2.
【分析】根据分式的值为0的条件得到x-2=0，x+3≠0，解出x的值即可．
12．（2024七下·定海期末）如图，将三角形ABC沿水平方向向右平移到三角形DEF的位置．已知点A，D之间的距离为1，CE＝2，则BF的长为　 　．
【答案】4
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵平移，点A，D之间的距离为1，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】根据平移的性质解答即可．
13．（2024七下·定海期末）若，，则　 　．
【答案】2
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：．
故答案为：2．
【分析】利用同底数幂的除法的逆运算解答即可．
14．（2024七下·定海期末）根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：四个独立图形的面积和：
组合图形面积：
∴
故答案为：．
【分析】根据局部和整体表示矩形的面积解题即可．
15．（2024七下·定海期末）如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．按照这个规律，若这样铺成一个n×n的正方形图案，则其中完整的圆共有　 　个．
【答案】n2+（n﹣1）2
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】因为组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方，即为；
又每四个小正方形组成一个完整的圆，这样的圆的个数是大正方形边长减1的平方，即为， ∴若这样铺成一个n×n的正方形图案，
所得到的完整圆的个数共有： ．
故答案为．
【解答】观察图中的数量关系，类比得到规律解题即可．
16．（2024七下·定海期末）如图①，已知长方形纸带，，，，点分别在边上，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点分别落在的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，若，则　 　．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可得，
∵，
∴，
又∵根据折叠的性质可得，
∴，
∵根据折叠的性质可得，
∴，
∵，，，
∴，
将代入上式，即，
解得，
故答案为．
【分析】根据折叠的性质得到，由平行线的性质可得，，即可得到解题即可．
17．（2024七下·定海期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
．

（2）解：
．

【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先运算负整数指数次幂、零指数次幂，然后运算有理数的加法解题．
（2）利用完全平方公式、积的乘方运算，然后合并解题即可．
（1）解：
．
（2）解：
．
18．（2024七下·定海期末）因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式，
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）利用平方差公式解答即可；
（2）提取公因式，再利用完全平方公式因式分解解题即可．
（1）解：原式；
（2）解：原式，
．
19．（2024七下·定海期末）下面是甲、乙两位同学解分式方程的过程：
甲同学： 解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 乙同学： 解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程无解．
（1）请判断甲、乙的解法是否正确？如果正确，请在框内打√；如果不正确，请在框内打×．
（2）请写出你认为正确的过程解答此方程．
【答案】（1）解：∵甲同学漏乘分母，乙同学应为，∴甲、乙的解法都是错误的；
即
甲同学：
解：去分母，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴分式方程的解为． 乙同学：
解：去分母，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴分式方程无解．
（2）解：
，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（）利用分式方程的解法逐步判断即可解答；
（）利用分式方程的解法解题即可.
（1）∵甲同学漏乘分母，乙同学应为，
∴甲、乙的解法都是错误的；
即
甲同学： 解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 乙同学： 解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程无解．
（2）解：
，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
20．（2024七下·定海期末）如图，直线被所截取，直线分别交直线于点与点，已知．
（1）判断直线与是否平行，并说明理由．
（2）计算的度数．
【答案】（1）解：平行．理由：由已知可得，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先利用对顶角相等得到，即可得到，然后根据平行线的判定得到结论即可．
（2）根据两直线平行，内错角相等得到，即可求出的度数解题．
（1）解：平行．
理由：由已知可得，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
21．（2024七下·定海期末）为了解学生对篮球、排球、足球这三大球类的喜爱情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解答下列问题．
（1）求参与调查的学生中喜爱篮球的人数．
（2）该校九年级共有520名学生，请你估计该校九年级学生中喜爱足球的有多少人？
【答案】（1）解：根据题意，得参与调查的学生总人数为（人），
∴调查的学生中喜爱篮球的人数为（人）；
（2）解：（人），
∴估计该校九年级学生中喜爱足球的有208人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先用排球的人数除以排球人数所占百分比得参与调查的学生总人数，然后将总人数乘以喜爱篮球的人数所占百分比即可求解；
（2）用样本估计总体，用九年级学生总人数乘以喜爱足球的人数所占百分比即可求解．
22．（2024七下·定海期末）【问题提出】
欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛支参赛球队分成个小组，小组赛每小组支球队进行单循环比赛，（任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不进行小组赛），则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？
【构建模型】
为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段．
（1）若某次比赛有支队伍进行单循环比赛，借助图②，我们可知一共要安排______场比赛；
（2）根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛．
【实际应用】
（3）年欧洲杯足球赛，总计需要安排______场小组赛．
（4）甬舟铁路预计年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半小时左右，从起点杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马岙，至终点白泉站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种．
【答案】（1）．
（2）
（3）
（4）30
【知识点】有理数混合运算的实际应用；探索数与式的规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】（1）解：由图②可知，图中实际共有条线段，
∴根据题意，可得支队伍进行单循环比赛一共要安排场比赛．
故答案为：．
（2）解：当有支足球队进行单循环比赛时，即在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段，
即根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排场比赛，
故答案为：．
（3）解：根据题意可得，欧洲杯支参赛球队分成个小组，
由上可得一个小组会有场比赛，
故六个小组则共有有场比赛，
即本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛，
故答案为：．
（4）解：由题意可得一共有六个车站，因为行车往返存在上车与下车，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，即每两个车站就会有两种车票，
∴一个车站与另外个车站都可各形成一张车票，即张车票，
∴这样六个车站一共形成了种车票．
故答案为．
【分析】（1）根据图②线段数量，利用有理数的混合运算进行作答．
（2）类比线段的条数，总结规律解答即可．
（3）先求出一个小组的比赛场次，然后计算六个小组的比赛场次即可．
（4）根据每个站点需准备5种票，然后乘以站点个数解题即可．
23．（2024七下·定海期末）如图，已知，连结和交于点．
（1）求证：；
（2）如图，，点分别在线段上，，．
①请直接写出和（用含的代数式表示）．
②请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）①解：∵，，，
∴，
即．
∵，
∴，
又∵，，
∴，
即．
故，．
②解：是定值．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
化简得，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是定值．
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等得到，然后利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可解题．
（2）①利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和解题即可．
②根据两直线平行，内错角相等得到，即可得到，进而求出，代入解题即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）①解：∵，，，
∴，
即．
∵，
∴，
又∵，，
∴，
即．
故，．
②解：是定值．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
化简得，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是定值．
24．（2024七下·定海期末）许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题．
信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下：
小明出发时刻 智能手表数据 　 小明结束时刻 智能手表数据 　 小红出发时刻 智能手表数据 　 小红结束时刻 智能手表数据
时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 　 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 　 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 　 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟）
信息二：小明每步比小红每步多跑米，小明每分钟比小红多跑步，请根据以上信息完成下列解答．
（1）起点与终点的距离为多少米？
（2）跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红多少分钟？
（3）周日，小明和小红继续以信息一和信息二中的跑步速度进行跑步健身，相约在智能运动手表中设置运动时间为整数分钟后跑步结束．此时发现智能运动手表中，显示两人跑步的步数之和恰为步，则小明与小红的运动时间各是多少分钟？
【答案】（1）解：设小红每步跑米，∴小明每步跑米，
∵小明从起点到终点跑了步，小红从起点到终点跑了步，
∴，
解得：，
∴总路程为：（米）；
故答案为：．
（2）解：∵跑完全程小明的用时为分钟，
∴小明每分钟跑：（步），
∵小明每分钟比小红多跑步，
∴小红每分钟跑：（步），
∴小红跑完全程的时间为：（分钟），
∴小明要在终点处等小红的时间为：．
故答案为：．
（3）解：设则小明的运动时间是分钟，小红的运动时间是分钟，∵小明每分钟跑：步，小红每分钟跑：步，
∴，
∴，
∵和是非负整数，
∴可取，，，，
∴的值为，，，，
∴小明与小红的运动时间各是、分钟，或、分钟，或、分钟，或、分钟四种情况．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设小红每步跑米，根据总路程相等列方程解题即可．
（2）求出小明和小红的跑步速度，利用时间=路程÷速度解题即可．
（3）设小明的运动时间是分钟，小红的运动时间是分钟，根据题意列二元一次方程组，求出y和z的正整数解即可.
（1）解：设小红每步跑米，
∴小明每步跑米，
∵小明从起点到终点跑了步，小红从起点到终点跑了步，
∴，
解得：，
∴总路程为：（米）；
故答案为：．
（2）∵跑完全程小明的用时为分钟，
∴小明每分钟跑：（步），
∵小明每分钟比小红多跑步，
∴小红每分钟跑：（步），
∴小红跑完全程的时间为：（分钟），
∴小明要在终点处等小红的时间为：．
故答案为：．
（3）解：设则小明的运动时间是分钟，小红的运动时间是分钟，
∵小明每分钟跑：步，小红每分钟跑：步，
∴，
∴，
∵和是非负整数，
∴可取，，，，
∴的值为，，，，
∴小明与小红的运动时间各是、分钟，或、分钟，或、分钟，或、分钟四种情况．
1 / 1浙江省舟山市定海区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·定海期末）计算：结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·定海期末）为了解某校七年级800名学生的体重情况，从中抽查100名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，样本是指（　　）
A．800名学生 B．被抽取的100名学生
C．800名学生的体重 D．被抽取的100名学生的体重
3．（2024七下·定海期末）如图，直线、被所截，下列个角中，与是同位角的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·定海期末）下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·定海期末）已知方程，则下列解满足此方程的是（　　）
①；②；③；④
A．①② B．①④ C．②④ D．①②④
6．（2024七下·定海期末）某电瓶车厂根据去年第三、四季度各月产量，制作了统计图．根据图中信息，可以判断相邻两个月中，月产量增长最大的是（　　）
A．月到月 B．月到月 C．月到月 D．月到月
7．（2024七下·定海期末）已知关于，的方程组的解满足，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·定海期末）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■ ．”设绫布有尺，则可得方程为根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（　　）
A．每尺绫布比每尺罗布贵120文
B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文
D．绫布的总价比罗布总价便宜120文
9．（2024七下·定海期末）边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（　　）
A．28 B．39 C．61 D．68
10．（2024七下·定海期末）小明的爸爸妈妈各有一辆汽车，但加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈各加油两次，第一次加油汽油单价都为元/升，第二次加油汽油单价都为元/升（），妈妈每次加满油箱，需加油升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢（　　）
A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定
11．（2024七下·定海期末）若分式的值为0，则x的值是　 　．
12．（2024七下·定海期末）如图，将三角形ABC沿水平方向向右平移到三角形DEF的位置．已知点A，D之间的距离为1，CE＝2，则BF的长为　 　．
13．（2024七下·定海期末）若，，则　 　．
14．（2024七下·定海期末）根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　．
15．（2024七下·定海期末）如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．按照这个规律，若这样铺成一个n×n的正方形图案，则其中完整的圆共有　 　个．
16．（2024七下·定海期末）如图①，已知长方形纸带，，，，点分别在边上，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点分别落在的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，若，则　 　．
17．（2024七下·定海期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024七下·定海期末）因式分解：
（1）；
（2）．
19．（2024七下·定海期末）下面是甲、乙两位同学解分式方程的过程：
甲同学： 解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 乙同学： 解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程无解．
（1）请判断甲、乙的解法是否正确？如果正确，请在框内打√；如果不正确，请在框内打×．
（2）请写出你认为正确的过程解答此方程．
20．（2024七下·定海期末）如图，直线被所截取，直线分别交直线于点与点，已知．
（1）判断直线与是否平行，并说明理由．
（2）计算的度数．
21．（2024七下·定海期末）为了解学生对篮球、排球、足球这三大球类的喜爱情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解答下列问题．
（1）求参与调查的学生中喜爱篮球的人数．
（2）该校九年级共有520名学生，请你估计该校九年级学生中喜爱足球的有多少人？
22．（2024七下·定海期末）【问题提出】
欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛支参赛球队分成个小组，小组赛每小组支球队进行单循环比赛，（任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不进行小组赛），则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？
【构建模型】
为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段．
（1）若某次比赛有支队伍进行单循环比赛，借助图②，我们可知一共要安排______场比赛；
（2）根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛．
【实际应用】
（3）年欧洲杯足球赛，总计需要安排______场小组赛．
（4）甬舟铁路预计年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半小时左右，从起点杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马岙，至终点白泉站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种．
23．（2024七下·定海期末）如图，已知，连结和交于点．
（1）求证：；
（2）如图，，点分别在线段上，，．
①请直接写出和（用含的代数式表示）．
②请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
24．（2024七下·定海期末）许多人选择晨跑作为锻炼身体的一种方式，某日小明与小红戴着智能运动手表相约在舟山滨海大道上晨跑，从相同的起点匀速跑向相同的终点，请提取以下相关信息并解决问题．
信息一：两人佩戴某款智能运动手表中的若干数据如下：
小明出发时刻 智能手表数据 　 小明结束时刻 智能手表数据 　 小红出发时刻 智能手表数据 　 小红结束时刻 智能手表数据
时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 　 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 　 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟） 　 时刻（） 步数（步） 心率（次/分钟）
信息二：小明每步比小红每步多跑米，小明每分钟比小红多跑步，请根据以上信息完成下列解答．
（1）起点与终点的距离为多少米？
（2）跑步结束他们相约去吃早饭，请问小明要在终点处等小红多少分钟？
（3）周日，小明和小红继续以信息一和信息二中的跑步速度进行跑步健身，相约在智能运动手表中设置运动时间为整数分钟后跑步结束．此时发现智能运动手表中，显示两人跑步的步数之和恰为步，则小明与小红的运动时间各是多少分钟？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵，
故正确．
故答案为：．
【分析】利用同底数幂乘法，底数不变，指数相加进行计算解题．
2．【答案】D
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】样本是观测或调查的一部分个体，所以样本是指被抽取的100名学生的体重．
故答案为：D．
【分析】利用样本的定义解答即可．
3．【答案】B
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：A、与两角是同旁内角，故选项不符合题意；
B、与两角是同位角，故选项符合题意；
C、与两角不是同位角，故选项不符合题意；
D、与两角是内错角，故选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据同位角的定义“位于截线的同侧，被截线的同旁的角是同位角”解答即可．
4．【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，是因式分解，故该选项符合题意；
B、，没有分解成几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意；
C、，没有分解成几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项符合题意；
D、，没有分解成几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据因式分解的定义“把一个多项式分解为几个整式的积的形式”逐项判断解答．
5．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：①将代入到中，得，故此解满足此方程；
②将代入到中，得，故此解满足此方程；
③将代入到中，得，故此解不满足此方程；
④将代入到中，得，故此解不满足此方程；
即①②满足此方程．
故答案为：．
【分析】把四组解代入原方程，逐一检验解题即可．
6．【答案】D
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】、月到月增加了（辆），
、月到月增加了（辆），
、月到月增加了（辆），
、月到月增加了（辆），
∴月产量增长最大的是月到月，
故答案为：．
【分析】根据统计图，计算相邻两个月销售额的差，然后比较解题．
7．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：
得：，
又∵，
∴，解得：，
故答案为：．
【分析】把两方程相加得到，然后整体代入求出k的值解题即可．
8．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设：绫布有尺，则罗布有尺，
∵绫布和罗布分别出售均能收入896文，
∴每尺绫布的费用为元，每尺罗布的费用为元，
∵，
∴，
∴可以作为补充条件的是：每尺绫布和每尺罗布一共需要120文．
故选：C．
【分析】设绫布有尺，则罗布有尺，再表示每尺绫布和每尺罗布需要的费用，最后根据所列的方程求解即可．
9．【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图可知：，
正方形边长为a，正方形边长为b，
，
，
，
，
，
将，代入得：
，
故答案为：B．
【分析】根据表示阴影部分面积，然后整体代入解题即可．
10．【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：根据题意，得妈妈每次加油共需付款元，爸爸两次能加升油，
设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升，
∵爸爸两次加油总共花了元，妈妈加了升油，
∴爸爸两次加油的平均单价为，妈妈两次加油的平均单价为，
∵爸爸和妈妈两次加油的平均单价的差值为，
∴爸爸的加油方式更合算．
故答案为：．
【分析】分别求出妈妈和爸爸的加油的平均油价，然后利用分式的减法求差与零比较解题即可．
11．【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴x-2=0，且x+3≠0，
∴x=2．
故答案为：2.
【分析】根据分式的值为0的条件得到x-2=0，x+3≠0，解出x的值即可．
12．【答案】4
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵平移，点A，D之间的距离为1，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】根据平移的性质解答即可．
13．【答案】2
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：．
故答案为：2．
【分析】利用同底数幂的除法的逆运算解答即可．
14．【答案】
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：四个独立图形的面积和：
组合图形面积：
∴
故答案为：．
【分析】根据局部和整体表示矩形的面积解题即可．
15．【答案】n2+（n﹣1）2
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】因为组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方，即为；
又每四个小正方形组成一个完整的圆，这样的圆的个数是大正方形边长减1的平方，即为， ∴若这样铺成一个n×n的正方形图案，
所得到的完整圆的个数共有： ．
故答案为．
【解答】观察图中的数量关系，类比得到规律解题即可．
16．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可得，
∵，
∴，
又∵根据折叠的性质可得，
∴，
∵根据折叠的性质可得，
∴，
∵，，，
∴，
将代入上式，即，
解得，
故答案为．
【分析】根据折叠的性质得到，由平行线的性质可得，，即可得到解题即可．
17．【答案】（1）解：
．

（2）解：
．

【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先运算负整数指数次幂、零指数次幂，然后运算有理数的加法解题．
（2）利用完全平方公式、积的乘方运算，然后合并解题即可．
（1）解：
．
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式，
．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】（1）利用平方差公式解答即可；
（2）提取公因式，再利用完全平方公式因式分解解题即可．
（1）解：原式；
（2）解：原式，
．
19．【答案】（1）解：∵甲同学漏乘分母，乙同学应为，∴甲、乙的解法都是错误的；
即
甲同学：
解：去分母，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴分式方程的解为． 乙同学：
解：去分母，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴分式方程无解．
（2）解：
，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（）利用分式方程的解法逐步判断即可解答；
（）利用分式方程的解法解题即可.
（1）∵甲同学漏乘分母，乙同学应为，
∴甲、乙的解法都是错误的；
即
甲同学： 解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 乙同学： 解：去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程无解．
（2）解：
，
检验：当时，，
∴分式方程的解为．
20．【答案】（1）解：平行．理由：由已知可得，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先利用对顶角相等得到，即可得到，然后根据平行线的判定得到结论即可．
（2）根据两直线平行，内错角相等得到，即可求出的度数解题．
（1）解：平行．
理由：由已知可得，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
21．【答案】（1）解：根据题意，得参与调查的学生总人数为（人），
∴调查的学生中喜爱篮球的人数为（人）；
（2）解：（人），
∴估计该校九年级学生中喜爱足球的有208人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先用排球的人数除以排球人数所占百分比得参与调查的学生总人数，然后将总人数乘以喜爱篮球的人数所占百分比即可求解；
（2）用样本估计总体，用九年级学生总人数乘以喜爱足球的人数所占百分比即可求解．
22．【答案】（1）．
（2）
（3）
（4）30
【知识点】有理数混合运算的实际应用；探索数与式的规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】（1）解：由图②可知，图中实际共有条线段，
∴根据题意，可得支队伍进行单循环比赛一共要安排场比赛．
故答案为：．
（2）解：当有支足球队进行单循环比赛时，即在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段，
即根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排场比赛，
故答案为：．
（3）解：根据题意可得，欧洲杯支参赛球队分成个小组，
由上可得一个小组会有场比赛，
故六个小组则共有有场比赛，
即本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛，
故答案为：．
（4）解：由题意可得一共有六个车站，因为行车往返存在上车与下车，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，即每两个车站就会有两种车票，
∴一个车站与另外个车站都可各形成一张车票，即张车票，
∴这样六个车站一共形成了种车票．
故答案为．
【分析】（1）根据图②线段数量，利用有理数的混合运算进行作答．
（2）类比线段的条数，总结规律解答即可．
（3）先求出一个小组的比赛场次，然后计算六个小组的比赛场次即可．
（4）根据每个站点需准备5种票，然后乘以站点个数解题即可．
23．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）①解：∵，，，
∴，
即．
∵，
∴，
又∵，，
∴，
即．
故，．
②解：是定值．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
化简得，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是定值．
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等得到，然后利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可解题．
（2）①利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和解题即可．
②根据两直线平行，内错角相等得到，即可得到，进而求出，代入解题即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）①解：∵，，，
∴，
即．
∵，
∴，
又∵，，
∴，
即．
故，．
②解：是定值．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
化简得，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是定值．
24．【答案】（1）解：设小红每步跑米，∴小明每步跑米，
∵小明从起点到终点跑了步，小红从起点到终点跑了步，
∴，
解得：，
∴总路程为：（米）；
故答案为：．
（2）解：∵跑完全程小明的用时为分钟，
∴小明每分钟跑：（步），
∵小明每分钟比小红多跑步，
∴小红每分钟跑：（步），
∴小红跑完全程的时间为：（分钟），
∴小明要在终点处等小红的时间为：．
故答案为：．
（3）解：设则小明的运动时间是分钟，小红的运动时间是分钟，∵小明每分钟跑：步，小红每分钟跑：步，
∴，
∴，
∵和是非负整数，
∴可取，，，，
∴的值为，，，，
∴小明与小红的运动时间各是、分钟，或、分钟，或、分钟，或、分钟四种情况．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设小红每步跑米，根据总路程相等列方程解题即可．
（2）求出小明和小红的跑步速度，利用时间=路程÷速度解题即可．
（3）设小明的运动时间是分钟，小红的运动时间是分钟，根据题意列二元一次方程组，求出y和z的正整数解即可.
（1）解：设小红每步跑米，
∴小明每步跑米，
∵小明从起点到终点跑了步，小红从起点到终点跑了步，
∴，
解得：，
∴总路程为：（米）；
故答案为：．
（2）∵跑完全程小明的用时为分钟，
∴小明每分钟跑：（步），
∵小明每分钟比小红多跑步，
∴小红每分钟跑：（步），
∴小红跑完全程的时间为：（分钟），
∴小明要在终点处等小红的时间为：．
故答案为：．
（3）解：设则小明的运动时间是分钟，小红的运动时间是分钟，
∵小明每分钟跑：步，小红每分钟跑：步，
∴，
∴，
∵和是非负整数，
∴可取，，，，
∴的值为，，，，
∴小明与小红的运动时间各是、分钟，或、分钟，或、分钟，或、分钟四种情况．
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