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§2.10　指、对、幂的大小比较
分值：52分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2024·湛江模拟)已知a=20.3，b=30.2，c=log0.20.3，则(　　)
A.b>c>a B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
2.(2025·攀枝花模拟)若a=(b=log3e，c=则(　　)
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>a>b D.c>b>a
3.已知a=ln b=c=ln 则a，b，c的大小关系为(　　)
A.b>a>c B.b>c>a
C.a>c>b D.a>b>c
4.已知a=log32，b=log43，c=sin 则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.b>a>c
5.(2025·沈阳模拟)设a=b=ln c=则(　　)
A.aC.b6.已知log4m=log12n=0.9p=0.8，则正数m，n，p的大小关系为(　　)
A.p>m>n B.m>n>p
C.m>p>n D.p>n>m
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知x>y>0，则(　　)
A.log2(x2+1)>log2(y2+1)
B.cos x>cos y
C.(x+1)3>(y+1)3
D.e-x+1>e-y+1
8.设a=ln 4，b=lg 4，c=20.6，则(　　)
A.b>a B.c>a
C.a-b>ab D.a+b>ab
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知a=log20.5，b=20.5，c=sin 2，则a，b，c的大小关系为　　　　　　　　.
10.定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)为偶函数，且当x10恒成立，a=f(1)，b=f(ln 10)，c=f()，则a，b，c的大小关系为　　　　　　　.(从大到小排列)
答案精析
1.D　2.A　3.A
4.D　[c=sin =因为函数y=log3x，y=log4x在(0，+∞)上单调递增，
则a=log32>log3=
b=log43>log42=.
a-b=-
=
因为ln 2>0，ln 4>0，则ln 2+ln 4>2 ln 2×ln 4<×(ln 8)2<×(ln 9)2=(ln 3)2.
故aa>c.]
5.B　[a=>e0=1，b=ln <1，c=<1，故a>b，a>c，
要比较ln 与的大小，即比较ln与ln 2.2的大小，
等价于比较1.110与2.2的大小，等价于比较1.19与2的大小，
又1.19=1.1×1.18=1.1×1.214>1.1×1.24=1.1×1.442>1.1×1.42=1.1×1.96>2，
故1.19>2，即ln >即b>c，
故c6.A　[由log4m=
得m==<2，
由log12n=得n=
===
===>1，因此2>m>n；
由0.9p=0.8，得p=log0.90.8>log0.90.81=2，于是p>m>n，
所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n.]
7.AC　[对于A，由x>y>0，得x2+1>y2+1，又f(t)=log2t是增函数，所以log2(x2+1)>log2(y2+1)，故A正确；
对于B，由于g(t)=cos t在(0，+∞)上不单调，所以cos x与cos y的大小关系无法确定，故B错误；
对于C，由x>y，得x+1>y+1，
又h(t)=t3是增函数，所以(x+1)3>(y+1)3，故C正确；
对于D，由x>y，得-x+1<-y+1，又φ(t)=et是增函数，所以e-x+18.BD　[因为a=ln 4>ln e=1，b=lg 4因为42则ln 4<20.6，即a因为a-b-ab=ln 4-lg 4-ln 4·lg 4=-lg 4-=而lg(4e)>1，lg 4>0，lg e>0，所以a-b-ab<0，即a-b由a+b-ab=+lg 4-·lg 4=lg 4·>0，所以a+b>ab，故D正确.]
9.a解析　因为函数y=log2x是增函数，且0.5<1，
则a=log20.5因为函数y=2x是增函数，且0.5>0，
则b=20.5>20=1，
因为正弦函数y=sin x在区间上单调递减，且<2<π，
所以0=sin π所以a10.b>a>c
解析　因为函数f(x)满足f(2-x)=f(2+x)，
所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称，
当x10，
由[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0，
得f(x2)-f(x1)>0，
即f(x2)>f(x1)，
所以f(x)在(-∞，2)上单调递增，
则f(x)在(2，+∞)上单调递减，
根据函数y=ln x在(0，+∞)上单调递增，且e2<10<2.53则2根据函数y=3x在R上单调递增，
且1<
则3<
则有>3>ln 10.
由函数f(x)在(2，+∞)上单调递减，f(1)=f(3)，
可知f(ln 10)>f(3)>f()，
即b>a>c.§2.10　指、对、幂的大小比较
重点解读　函数“比大小”是非常经典的题型，难度不定，方法无常，很受命题者的青睐.每年高考基本都会出现，难度逐年上升.高考命题中，常常在选择题中出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答.
题型一　直接法比较大小
命题点1　利用函数的性质
例1　(2024·鄂尔多斯模拟)已知a=，b=log8，c=，则(　　)
A.bC.b命题点2　找中间值
例2　设a=0.20.5，b=log53，c=50.2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.aC.c命题点3　特殊值法
例3　已知a>b>1，0A.acC.alogbc思维升华　利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“-1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1=log22跟踪训练1　(1)(2024·宁河模拟)设a=2-0.5，b=，c=log0.50.3，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.cC.b(2)(2025·天津模拟)设a=log2π，b=loπ，c=π-2，则(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>b>a
题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小
命题点1　作差法
例4　设a=log62，b=log123，c=log405，则(　　)
A.aC.c命题点2　作商法
例5　(2025·成都模拟)若a=，b=，c=lo，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
命题点3　乘方法
例6　已知a=log35，b=log57，c=，则(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.a>c>b
思维升华　求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式.
跟踪训练2　(1)已知正数a，b，c满足2 024a=2 025，2 025b=2 024，ec=2，下列说法正确的是(　　)
A.logac>logbc
B.logca>logcb
C.acD.ca(2)若a=，b=log147，c=log126，则(　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.a>c>b
答案精析
例1　A　[由于y=0.7x是R上的减函数，
则0<<0.70=1，所以0由于y=log8x是(0，+∞)上的增函数，
则log8由于y=4x是R上的增函数，
则>40=1，所以c>1，
所以b例2　A　[0=<=，
1>b=log53>log5=，
c=50.2>50=1，所以a例3　C　[取特殊值，令a=4，b=2，c=，
则ac=，bc=，∴ac>bc，故A错误；
abc=4×=，bac=2×=，
∴abc>bac，故B错误；
logac=log4=-1，logbc=log2=-2，
alogbc=-8，blogac=-2，
∴alogbclogbc，故C正确，D错误.]
跟踪训练1　(1)B　[因为a=2-0.5，b==2-0.3，
易知函数y=2x在R上是增函数，
又-0.5<-0.3<0，
所以a又易知y=log0.5x在(0，+∞)上是减函数，
所以c=log0.50.3>log0.50.5=1，
综上，a(2)C　[依题意，a=log2π>log22=1，b=loπc>b.]
例4　D　[∵=log312=1+log34
=1+
=1+=log540
=1+log58=1+
=1+，
∴-=-
=
=
=<0，
∴<，
又b>0，c>0，∴b>c；
∵=1+log58<1+log5
=1+log5=，∴c>，
∵=log26=1+log23>1+log2
=1+log2=，∴a<，
∴a例5　D　[因为00令==×
=×，
而=×()12
=3×2-4=<1，
即×<1，所以a又因为c=lo=lo>lo=lo=1，所以c>b>a.]
例6　D　[因为53=125>=81，所以5>，
所以log35>log3=，即a>c.
因为73=343<=625，
所以7<，
所以log57所以a>c>b.]
跟踪训练2　(1)D　[∵2 024a=2 025，2 025b=2 024，ec=2，
∴a=log2 0242 025>1，
b=log2 0252 024<1，c=ln 2<1，
∴a>1，0∴logac<0，logbc>0，∴logac∵0b，∴logcabc，ca(2)A　[a=====，
b=log147=1-log142=1-，c=log126=1-log122=1-，
因为4log142=log1424=log1416>1，则log142>，
所以1-log142<1-=，即b而ln 2>0，ln 14>ln 12>0，
所以<，
所以1->1-，即b>c，
综上，a>b>c.](共42张PPT)
第二章
§2.10　指、对、幂的
大小比较
数学
大
一
轮
复
习
函数“比大小”是非常经典的题型,难度不定,方法无常,很受命题者的青睐.每年高考基本都会出现,难度逐年上升.高考命题中,常常在选择题中出现,往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起,进行排序.这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻,即利用函数的性质与图象解答.
重点解读
例1　(2024·鄂尔多斯模拟)已知a＝b＝log8c＝则
A.bC.b√
直接法比较大小
题型一
命题点1　利用函数的性质
由于y＝0.7x是R上的减函数,
则0<<0.70＝1,所以0由于y＝log8x是(0,＋∞)上的增函数,
则log8由于y＝4x是R上的增函数,
则>40＝1,所以c>1,
所以b例2　设a＝0.20.5,b＝log53,c＝50.2,则a,b,c的大小关系是
A.aC.c√
命题点2　找中间值
01>b＝log53>log5
c＝50.2>50＝1,所以a例3　已知a>b>1,0A.acC.alogbc√
命题点3　特殊值法
取特殊值,令a＝4,b＝2,c＝
则ac＝bc＝∴ac>bc,故A错误；
abc＝4×bac＝2×
∴abc>bac,故B错误；
logac＝log4＝－1,logbc＝log2＝－2,
alogbc＝－8,blogac＝－2,
∴alogbclogbc,故C正确,D错误.
利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“－1,01”对所比较的数进行划分,然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤,也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如log23,可知1＝log22思维升华
跟踪训练1　(1)(2024·宁河模拟)设a＝2－0.5,b＝c＝log0.50.3,则a,b,c的大小关系为
A.cC.b√
因为a＝2－0.5,b＝＝2－0.3,
易知函数y＝2x在R上是增函数,
又－0.5<－0.3<0,所以a又易知y＝log0.5x在(0,＋∞)上是减函数,
所以c＝log0.50.3>log0.50.5＝1,
综上,a(2)(2025·天津模拟)设a＝log2π,b＝loπ,c＝π－2,则
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>b>a
√
依题意,a＝log2π>log22＝1,b＝loπc>b.
例4　设a＝log62,b＝log123,c＝log405,则
A.aC.c利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小
题型二
命题点1　作差法
√
∵＝log312＝1＋log34＝1＋＝1＋＝log540
＝1＋log58＝1＋＝1＋
∴＝＝
＝<0,
∴<
又b>0,c>0,∴b>c；
∵＝1＋log58<1＋log5
＝1＋log5∴c>
∵＝log26＝1＋log23>1＋log2
＝1＋log2∴a<
∴a例5　(2025·成都模拟)若a＝b＝c＝lo则a,b,c的大小关系为
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
命题点2　作商法
√
因为0令××
而×()12＝3×2－4＝<1,
即×<1,所以a又因为c＝lo＝lo>lo＝lo＝1,所以c>b>a.
例6　已知a＝log35,b＝log57,c＝则
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.a>c>b
命题点3　乘方法
√
因为53＝125>＝81,所以5>
所以log35>log3即a>c.
因为73＝343<＝625,所以7<
所以log57所以a>c>b.
求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同,则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系,要熟练运用指数、对数公式、性质,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式.
思维升华
跟踪训练2　(1)已知正数a,b,c满足2 024a＝2 025,2 025b＝2 024,ec＝2,下列说法正确的是
A.logac>logbc B.logca>logcb
C.ac√
∵2 024a＝2 025,2 025b＝2 024,ec＝2,
∴a＝log2 0242 025>1,b＝log2 0252 024<1,c＝ln 2<1,
∴a>1,0∴logac<0,logbc>0,∴logac∵0b,∴logcabc,ca(2)若a＝b＝log147,c＝log126,则
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.a>c>b
√
a＝
b＝log147＝1－log142＝1－c＝log126＝1－log122＝1－
因为4log142＝log1424＝log1416>1,则log142>
所以1－log142<1－即b而ln 2>0,ln 14>ln 12>0,所以<
所以1－>1－即b>c,
综上,a>b>c.
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A A D B A AC BD
题号 9 　　10
答案 aa>c
一、单项选择题
1.(2024·湛江模拟)已知a＝20.3,b＝30.2,c＝log0.20.3,则
A.b>c>a B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
依题意,b＝30.2＝90.1>80.1＝20.3＝a>1,c＝log0.20.3a>c.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
2.(2025·攀枝花模拟)若a＝(b＝log3e,c＝则
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>a>b D.c>b>a
√
易知y＝在(0,＋∞)上单调递增,则(>即a>c,
而由y＝3x,y＝ex均为增函数,得>30＝1>e0＝1,即a>c>1,
又y＝log3x为增函数,故1＝log33>log3e＝b,
则a>c>1>b.
3.已知a＝ln b＝c＝ln 则a,b,c的大小关系为
A.b>a>c B.b>c>a
C.a>c>b D.a>b>c
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∵＝27＝π2,27>π2,∴>
∴0∵b＝>1,∴b>a>c.
答案
4.已知a＝log32,b＝log43,c＝sin 则a,b,c的大小关系为
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.b>a>c
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
c＝sin 因为函数y＝log3x,y＝log4x在(0,＋∞)上单调递增,
则a＝log32>log3b＝log43>log42＝.
a－b＝
因为ln 2>0,ln 4>0,则ln 2＋ln 4>2
ln 2×ln 4<×(ln 8)2<×(ln 9)2＝(ln 3)2.
故aa>c.
答案
5.(2025·沈阳模拟)设a＝b＝ln c＝则
A.aC.b√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
a＝>e0＝1,b＝ln <1,c＝<1,故a>b,a>c,
要比较ln 与的大小,即比较ln与ln 2.2的大小,
等价于比较1.110与2.2的大小,等价于比较1.19与2的大小,
又1.19＝1.1×1.18＝1.1×1.214>1.1×1.24＝1.1×1.442>1.1×1.42＝1.1× 1.96>2,
故1.19>2,即ln >即b>c,
故c答案
6.已知log4m＝log12n＝0.9p＝0.8,则正数m,n,p的大小关系为
A.p>m>n B.m>n>p
C.m>p>n D.p>n>m
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由log4m＝得m＝<2,
由log12n＝得n＝
>1,因此2>m>n；
由0.9p＝0.8,得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2,于是p>m>n,
所以正数m,n,p的大小关系为p>m>n.
答案
二、多项选择题
7.已知x>y>0,则
A.log2(x2＋1)>log2(y2＋1)
B.cos x>cos y
C.(x＋1)3>(y＋1)3
D.e－x＋1>e－y＋1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
答案
√
对于A,由x>y>0,得x2＋1>y2＋1,又f(t)＝log2t是增函数,所以log2(x2＋1) >log2(y2＋1),故A正确；
对于B,由于g(t)＝cos t在(0,＋∞)上不单调,所以cos x与cos y的大小关系无法确定,故B错误；
对于C,由x>y,得x＋1>y＋1,又h(t)＝t3是增函数,所以(x＋1)3>(y＋1)3,故C正确；
对于D,由x>y,得－x＋1<－y＋1,又φ(t)＝et是增函数,所以e－x＋11
2
3
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5
6
7
8
9
10
答案
8.设a＝ln 4,b＝lg 4,c＝20.6,则
A.b>a B.c>a
C.a－b>ab D.a＋b>ab
√
1
2
3
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5
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7
8
9
10
答案
√
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2
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4
5
6
7
8
9
10
因为a＝ln 4>ln e＝1,b＝lg 4因为42因为a－b－ab＝ln 4－lg 4－ln 4·lg 4＝－lg 4－
而lg(4e)>1,lg 4>0,lg e>0,所以a－b－ab<0,即a－b由a＋b－ab＝＋lg 4－·lg 4＝lg 4·>0,所以a＋b>ab,故D正确.
答案
三、填空题
9.已知a＝log20.5,b＝20.5,c＝sin 2,则a,b,c的大小关系为　　　　.
1
2
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5
6
7
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9
10
答案
a1
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9
10
答案
因为函数y＝log2x是增函数,且0.5<1,
则a＝log20.5因为函数y＝2x是增函数,且0.5>0,
则b＝20.5>20＝1,
因为正弦函数y＝sin x在区间上单调递减,且<2<π,
所以0＝sin π所以a10.定义域为R的函数f(x)满足f(x＋2)为偶函数,且当x10恒成立,a＝f(1),b＝f(ln 10),c＝f(),则a,b,c的大小关系为　　　 .
(从大到小排列)
1
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3
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9
10
答案
b>a>c
1
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4
5
6
7
8
9
10
因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x),
所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称,
当x10,
由[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0,
得f(x2)－f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
所以f(x)在(－∞,2)上单调递增,
则f(x)在(2,＋∞)上单调递减,
根据函数y＝ln x在(0,＋∞)上单调递增,且e2<10<2.53答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
根据函数y＝3x在R上单调递增,且1<
则3<
则有>3>ln 10.
由函数f(x)在(2,＋∞)上单调递减,f(1)＝f(3),
可知f(ln 10)>f(3)>f(),即b>a>c.
答案

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