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§2.12　函数的零点与方程的解
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.函数y=(x-2)(2x+1)的零点是(　　)
A.2 B.(2，0)
C.-2 D.2或-1
2.若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a，b)内至少有一个零点”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.用二分法求方程2x+x-8=0在[1，5]上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为(　　)
A.[1，2]或[2，3]都可以
B.[2，3]
C.[1，2]
D.不能确定
4.(2025·承德模拟)对于函数f(x)，g(x)，设x1∈{x|f(x)=0}，x2∈{x|g(x)=0}，若存在x1，x2，使得|x1-x2|≤1，则称f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”.若函数f(x)=log2x-a与g(x)=x2-3x互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是(　　)
A.[0，2] B.(-∞，2]
C.[1，2] D.(-∞，0]∪[1，2]
5.(2025·汉中模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+e)=f(x-e)，当x∈(0，e)时，f(x)=ln x，则f(x)在区间(-e，2e)内的所有零点之和为(　　)
A.3e-1 B.2e
C.2e-1 D.0
6.(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)=x+log2x-4的零点为x1，g(x)=x+loga(x-1)-5(a>1)的零点为x2，若x2-x1>1，则实数a的取值范围是(　　)
A.(1) B.(2)
C.(1，2) D.(2，+∞)
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)=x2+2x-8的零点是(-4，0)，(2，0)
B.方程ex=3+x在区间(-3，0)，(0，10)上有解
C.函数y=3x，y=log3x的图象关于y=x对称
D.用二分法求方程3x+3x-8=0在(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解落在区间(1，1.25)上
8.(2025·大连模拟)已知x1，x2分别是函数f(x)=2x-和g(x)=log2x-的零点，则(　　)
A.-x2=0
B.log2x1+log2x2=0
C.x2>2
D.·log2x2=1
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知函数f(x)=则函数y=f(x)的零点是　　　　　　.
10.已知函数f(x)=函数g(x)=m-f(3-x)，其中m∈R，若函数y=g(x)恰有3个零点，则m的取值范围是　　　　　　　　.
四、解答题(共27分)
11.(13分)已知二次函数f(x)=x2-bx+c(c≠0)的单调递增区间为[2，+∞)，且有一个零点为c.
(1)证明：f(x+2)是偶函数；(6分)
(2)若函数g(x)=f(x)-mx+1在(1，3)上有两个零点，求m的取值范围.(7分)
12.(14分)(2024·天水模拟)已知函数f(x)=log2(2+x)-log2(2-x).
(1)判断f(x)的奇偶性；(5分)
(2)若关于x的方程f(x)=log2(a+x)有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.(9分)
13题5分，14题6分，共11分
13.(2024·揭阳模拟)函数f(x)=ln +x-1的所有零点之和为(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
14.(多选)已知函数f(x)=|2x-a|-kx-3，给出下列四个结论，其中正确的有(　　)
A.若a=1，则函数f(x)至少有一个零点
B.存在实数a，k，使得函数f(x)无零点
C.若a>0，则不存在实数k，使得函数f(x)有三个零点
D.对任意实数a，总存在实数k，使得函数f(x)有两个零点
答案精析
1.A　2.A
3.B　[设f(x)=2x+x-8，
则f(1)=2+1-8=-5<0，
f(5)=25+5-8=29>0，
第一次取x1==3，
有f(3)=23+3-8=3>0，
故第二次取x2==2，有f(2)=22+2-8=-2<0，
故此时可确定近似解所在区间为[2，3].]
4.D　[f(x)的零点为2a，g(x)的零点为0，3.
因为f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”，
所以|2a-0|≤1或|2a-3|≤1，
则0<2a≤1或2≤2a≤4，
解得a≤0或1≤a≤2.]
5.A　[因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，
因为f(x+e)=f(x-e)，
所以f(x)的周期T=2e且f(e)=f(-e)=-f(e) f(e)=0，
因为当x∈(0，e)时，f(x)=ln x，所以f(1)=0，所以f(-1)=-f(1)=0，
所以f(-1+2e)=f(-1)=0，
故f(x)在区间(-e，2e)内的零点为-1，0，1，e，-1+2e，其零点之和为3e-1.]
6.D　[因为f(2)=2+1-4=-1<0，f(3)=3+log23-4=log23-1>0，
由函数零点存在定理，所以x1∈(2，3)，
由题意可知，x1+log2x1-4=x2+loga(x2-1)-5=0，
即x1+log2x1-4
=x2-1+loga(x2-1)-4，
即x1+log2x1=x2-1+loga(x2-1)，
因为x2-x1>1，所以x1则log2x1>loga(x2-1)，又a>1，
22.]
7.BC　[对于A，令f(x)=x2+2x-8=0，解得x1=-4，x2=2，即函数f(x)=x2+2x-8的零点是-4和2，故A错误；
对于B，令f(x)=ex-x-3，则f(-3)=e-3>0，f(0)=-2<0，f(10)=e10-13>210-13=1 024-13=1 011>0，所以由函数零点存在定理可知f(x)=ex-x-3在区间(-3，0)，(0，10)内有零点，即方程ex=3+x在区间(-3，0)，(0，10)内有解，故B正确；
对于C，函数y=3x，y=log3x互为反函数，所以函数y=3x，y=log3x的图象关于y=x对称，故C正确；
对于D，用二分法求方程3x+3x-8=0在(1，2)内的近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解落在区间(1.25，1.5)上，故D错误.]
8.ABD　[由题设知，f(x)的零点为函数y=2x与函数y=图象交点的横坐标；g(x)的零点为函数y=log2x与函数y=图象交点的横坐标，由y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称，y=的图象关于直线y=x对称，
所以x1，x2关于直线y=x对称，
y=2x，y=log2x，y=的图象如图所示，
所以点(x1)与点(x2，log2x2)关于直线y=x对称，
即
故-x2=0·log2x2=1，
log2x1+log2x2=log2(x1x2)=0，A，B，D对；
若x2>2，即x2=>2 x1>1，此时x1x2>2，与x1x2=1矛盾，C错.]
9.-1和4
10.(0，2)
解析　令g(x)=m-f(3-x)=0，得f(3-x)=m，
若3-x≤3，
即x≥0，f(3-x)=2-|3-x|；
若3-x>3，即x<0，f(3-x)=(3-x-3)2=x2.
所以y=f(3-x)
=
=
=
画出其图象如图所示，当x=3时，y=2.
由图可知，要使函数y=g(x)恰有3个零点，即y=m与y=f(3-x)的图象有3个交点，
则m的取值范围是(0，2).
11.(1)证明　由二次函数f(x)=x2-bx+c(c≠0)的单调递增区间为[2，+∞)，
可得=2，解得b=4.
又因为f(x)有一个零点为c，
则f(c)=c2-4c+c=0，
解得c=3或c=0(舍去)，
所以f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1，
因为f(-x+2)=x2-1=f(x+2)，所以f(x+2)是偶函数.
(2)解　由(1)可知g(x)=x2-4x+3-mx+1=x2-(4+m)x+4，
因为g(x)在(1，3)上有两个零点，
则满足
解得0所以实数m的取值范围为.
12.解　(1)f(x)为奇函数，理由如下：
由题意得解得-2又f(-x)=log2(2-x)-log2(2+x)=-f(x)，
故f(x)为奇函数.
(2)由f(x)=log2(a+x)，得log2(2+x)-log2(2-x)=log2(a+x)，
所以=a+x，
所以a=-x=-x
=+(2-x)-3，
故方程f(x)=log2(a+x)有两个不同的实数根可转化为方程a=+(2-x)-3在区间(-2，2)上有两个不同的实数根，即函数y=a与y=+(2-x)-3在区间(-2，2)上的图象有两个交点.
设t=2-x，x∈(-2，2)，则y=+t-3，t∈(0，4).
作出函数y=+t-3，t∈(0，4)的图象，如图所示.
当1故实数a的取值范围是(1，2).
13.D　[由f(x)=0得，ln =1-x，
令g(x)=ln
因为g(x)+g(2-x)=ln +ln =ln 1=0，所以函数g(x)=ln 的图象关于点(1，0)对称，
又因为y=1-x的图象关于点(1，0)对称，
如图所示，两个函数图象有两个公共点，横坐标依次为x1，x2，这两个交点关于点(1，0)对称，所以x1+x2=2.]
14.ABD　[A中，当a=1时，函数f(x)=|2x-1|-kx-3，
令f(x)=0，可得|2x-1|=kx+3，
在同一坐标系中作出y=|2x-1|，y=kx+3的图象，如图所示，由图象及直线y=kx+3过定点(0，3)，可得函数f(x)至少有一个零点，所以A正确；
B中，当a=-4，k=0时，作出函数y=|2x+4|，y=3的图象，由图象知，函数f(x)没有零点，所以B正确；
C中，当a=6，k=-时，在同一坐标系中，作出函数y=|2x-6|，y=-x+3的图象，如图所示，由图象可得，此时函数f(x)有3个零点，所以C错误；
D中，分别作出当a=0，a<0，a>0时，函数y=|2x-a|，y=kx+3的图象，
由图象知，对于任意实数a，总存在实数k使得函数f(x)有两个零点，所以D正确.]§2.12　函数的零点与方程的解
课标要求　1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.
1.函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y=f(x)，我们把使　　　　　的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有　　　　 函数y=f(x)的图象与　　　　有公共点.
(3)函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有　　　　　　　　，那么，函数y=f(x)在区间　　　　　内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得　　　　　，这个c也就是方程f(x)=0的解.
2.二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且　　　　　　　　的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间　　　　　　　　，使所得区间的两个端点逐步逼近　　　　，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　　)
(2)连续函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.(　　)
(3)连续函数y=f(x)满足f(a)f(b)>0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点.(　　)
(4)求函数零点的近似值都可以用二分法.(　　)
2.下列函数图象与x轴均有交点，则不能用二分法求图中函数零点近似值的是(　　)
3.函数f(x)=ln x-的零点所在的大致区间是(　　)
A. B.(1，2)
C.(2，e) D.(2，3)
4.设f(x)=|x2-2x|，则函数y=f(x)-2 024的所有零点之和为　　　　　　.
1.谨记三个相关性质
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)=0的实数解.
(2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.
2.谨防两个易错易混
(1)连续函数f(x)在区间[a，b]上，若满足f(a)f(b)<0，则在区间[a，b]上至少有一个零点，反之不一定.
(2)已知二次函数的零点求参数时，不要忽略对二次项系数的讨论.
题型一　函数零点所在区间的判定
例1　(1)已知函数f(x)=(m-2)xm为幂函数，若函数g(x)=lg x+x-m，则g(x)的零点所在区间为(　　)
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
(2)在用二分法求方程x2=3的正实数根的近似值(精确度为0.001)时，若我们选取的初始区间是[1.7，1.8]，为达到精确度要求至少需要计算的次数是　　　　　　.
思维升华　确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0，若有，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
跟踪训练1　(1)函数f(x)=-2-x-1的零点所在的区间是(　　)
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
(2)用二分法求函数f(x)=ex-x-2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据：f(1)≈-0.28，f(1.5)≈0.98，f(1.25)≈0.24，f(1.125)≈-0.04，关于下一步的说法正确的是(　　)
A.已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值
B.已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值
C.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.187 5)
D.没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.062 5)
题型二　函数零点个数的判定
例2　(1)函数f(x)=的零点个数为(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
(2)函数f(x)=sin -|log3x|的零点个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
思维升华　求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)=0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点.
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
跟踪训练2　(1)(2025·渭南模拟)函数f(x)=3x|log2x|-1的零点个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)函数f(x)=·cos x的零点个数为　　　　.
题型三　函数零点的应用
命题点1　根据函数零点个数求参数
例3　已知函数f(x)=g(x)=f(x)-x-a，若函数g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A.[-1，0) B.[1，+∞)
C.(-∞，1] D.[2，+∞)
命题点2　根据函数零点的范围求参数
例4　已知函数f(x)=3x-.若存在x0∈(-∞，-1)，使得f(x0)=0，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C.(-∞，0) D.
思维升华　根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围).
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围.
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解.
跟踪训练3　(1)(2025·镇江模拟)已知a∈R，函数f(x)=在R上没有零点，则实数a的取值范围为(　　)
A.(0，+∞) B.(1，+∞)
C.[1，+∞)∪{0} D.(1，+∞)∪{0}
(2)(多选)(2024·柳州模拟)已知函数f(x)=令h(x)=f(x)-k，则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)
B.当h(x)有3个零点时，k∈(-4，-3]
C.当k=-2时，h(x)的所有零点之和为-1
D.当k∈(-∞，-4)时，h(x)有1个零点
答案精析
落实主干知识
1.(1)f(x)=0　(2)零点　x轴
(3)f(a)f(b)<0　(a，b)　f(c)=0
2.f(a)f(b)<0　一分为二　零点
自主诊断
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.C　3.B　4.2
探究核心题型
例1　(1)C　[由f(x)=(m-2)xm为幂函数，所以m-2=1，得m=3，所以g(x)=lg x+x-3，易知g(x)是增函数，则g(x)至多只有一个零点，因为g(2)=lg 2-1<0，g(3)=lg 3>0，所以g(x)的零点所在区间为(2，3).]
(2)7
解析　设至少需要计算n次，则n满足<0.001，即2n>100，由于26=64，27=128，故要达到精确度要求至少需要计算7次.
跟踪训练1　(1)B　[函数f(x)=-2-x-1的定义域为[0，+∞)，
函数y=在[0，+∞)上单调递增，函数y=2-x在[0，+∞)上单调递减，
所以f(x)在[0，+∞)上单调递增.
由f(1)=1--1=-<0，f(2)=--1=-1.25>0，
所以函数f(x)=-2-x-1的零点所在的区间是(1，2).]
(2)C　[由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，
(1，1.5)→(1，1.25)→(1.125，1.25)，因为|1.125-1.25|=0.125>0.1，故没有达到精确度的要求，应该接着计算f =f(1.187 5)的值.]
例2　(1)D　[当x≤0时，x2-1=0，解得x=-1；
当x>0时，f(x)=x-2+ln x在(0，+∞)上单调递增，并且f(1)=1-2+ln 1=-1<0，
f(2)=2-2+ln 2=ln 2>0，
即f(1)f(2)<0，
所以函数f(x)在区间(1，2)内必有一个零点，
综上，函数f(x)的零点个数为2.]
(2)B　[函数f(x)=sin -|log3x|的零点个数，即函数g(x)=sin ，x>0与h(x)=|log3x|的交点个数，
在同一个坐标平面内画出两个函数的图象，如图所示，
则两个图象交点的个数为2，即f(x)的零点个数为2.]
跟踪训练2　(1)C　[函数f(x)=3x|log2x|-1的零点，
即3x|log2x|-1=0的解，
即|log2x|=的解，
即y=|log2x|与y=图象的交点，如图所示，
从函数图象可知，y=|log2x|与y=有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2.]
(2)6
解析　令36-x2≥0，解得-6≤x≤6，
所以f(x)的定义域为[-6，6].
令f(x)=0得36-x2=0或cos x=0，
由36-x2=0得x=±6，
由cos x=0得x=+kπ，k∈Z，
又x∈[-6，6]，
所以x的取值为-，-.
故f(x)共有6个零点.
例3　D　[由函数f(x)
=
因为g(x)=f(x)-x-a，令g(x)=0，即f(x)=x+a，
由函数g(x)有2个零点，即y=f(x)和y=x+a的图象有两个交点，
在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示，
结合函数的图象，要使函数g(x)有2个零点，则a≥2，
所以实数a的取值范围为[2，+∞).]
例4　B　[由f(x)=3x-=0，可得a=3x-，
令g(x)=3x-，其中x∈(-∞，-1)，
由于存在x0∈(-∞，-1)，
使得f(x0)=0，
则实数a的取值范围即为函数g(x)在(-∞，-1)上的值域.
由于函数y=3x，y=-在区间(-∞，-1)上均单调递增，
所以函数g(x)在(-∞，-1)上单调递增.
当x∈(-∞，-1)时，
g(x)=3x-又当x∈(-∞，-1)时，
g(x)=3x->0，
所以函数g(x)在(-∞，-1)上的值域为.
因此实数a的取值范围是.]
跟踪训练3　(1)D　[当x≤0时，0若关于x的方程ex=a无解，
则a≤0或a>1；
当x>0时，ln(x+1)>0，
若关于x的方程ln(x+1)=-a无解，则a≥0.综上，a的取值范围为(1，+∞)∪{0}.]
(2)BD　[函数f(x)=
结合二次函数和对数函数的图象和性质，作函数f(x)的图象如图所示，
由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(-1，0)和(0，+∞)，A选项错误；
h(x)的零点即函数y=f(x)的图象和直线y=k交点的横坐标，由图象可知，当h(x)有3个零点时，k∈(-4，-3]，B选项正确；
解方程可知，当k=-2时，h(x)有两个零点，-1-和1，所有零点之和为-，C选项错误；
当k∈(-∞，-4)时，函数y=f(x)的图象和直线y=k有1个交点，即h(x)有1个零点，D选项正确.](共77张PPT)
第二章
§2.12　函数的零点
与方程的解
数学
大
一
轮
复
习
1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理,并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x),我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有 函数y＝f(x)的图象与 有公共点.
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有___________,那么,函数y＝f(x)在区间 内至少有一个零点,即存在c∈ (a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)＝0的解.
f(x)＝0
零点
x轴
f(a)f(b)<0
(a,b)
f(c)＝0
2.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且 的函数y＝f(x),通过不断地把它的零点所在区间 ,使所得区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
f(a)f(b)<0
一分为二
零点
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　　)
(2)连续函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)f(b)<0.(　　)
(3)连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)上没有零点.(　　)
(4)求函数零点的近似值都可以用二分法.(　　)
×
×
×
×
2.下列函数图象与x轴均有交点,则不能用二分法求图中函数零点近似值的是
√
根据函数零点存在定理可知,函数f(x)的图象是一段连续不断的曲线,若在区间[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)上存在零点；根据二分法概念可知,C选项中的图象在零点附近不满足f(a)f(b)<0,所以C选项不能用二分法求图中函数零点.
3.函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是
A. B.(1,2)
C.(2,e) D.(2,3)
√
f(x)＝ln x－的定义域为(0,＋∞),
又y＝ln x与y＝－在(0,＋∞)上单调递增,
所以f(x)＝ln x－在(0,＋∞)上单调递增,
又f(1)＝－1<0,f(2)＝ln 2－>0,
所以f(1)f(2)<0,
根据函数零点存在定理可得函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间为(1,2).
4.设f(x)＝|x2－2x|,则函数y＝f(x)－2 024的所有零点之和为　　 .
2
由一元二次函数的图象和性质可知函数f(x)＝|x2－2x|的图象如图所示,
根据图象可知y＝f(x)－2 024共有2个零点,且2个零点关于直线x＝1对称,
所以零点之和为2.
1.谨记三个相关性质
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)＝0的实数解.
(2)图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
2.谨防两个易错易混
(1)连续函数f(x)在区间[a,b]上,若满足f(a)f(b)<0,则在区间[a,b]上至少有一个零点,反之不一定.
(2)已知二次函数的零点求参数时,不要忽略对二次项系数的讨论.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)已知函数f(x)＝(m－2)xm为幂函数,若函数g(x)＝lg x＋x－m,则g(x)的零点所在区间为
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
√
函数零点所在区间的判定
题型一
由f(x)＝(m－2)xm为幂函数,所以m－2＝1,得m＝3,所以g(x)＝lg x＋x－3,易知g(x)是增函数,则g(x)至多只有一个零点,因为g(2)＝lg 2－1<0,g(3)＝lg 3 >0,所以g(x)的零点所在区间为(2,3).
(2)在用二分法求方程x2＝3的正实数根的近似值(精确度为0.001)时,若我们选取的初始区间是[1.7,1.8],为达到精确度要求至少需要计算的次数是　　.
7
设至少需要计算n次,则n满足<0.001,即2n>100,由于26＝64,27＝128,故要达到精确度要求至少需要计算7次.
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续；再看是否有f(a)·f(b)<0,若有,则函数y＝f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
思维升华
跟踪训练1　(1)函数f(x)＝－2－x－1的零点所在的区间是
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
√
函数f(x)＝－2－x－1的定义域为[0,＋∞),
函数y＝在[0,＋∞)上单调递增,函数y＝2－x在[0,＋∞)上单调递减,
所以f(x)在[0,＋∞)上单调递增.
由f(1)＝1－－1＝－<0,f(2)＝－1＝－1.25>0,
所以函数f(x)＝－2－x－1的零点所在的区间是(1,2).
(2)用二分法求函数f(x)＝ex－x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时,依次计算得到如下数据：f(1)≈－0.28,f(1.5)≈0.98,f(1.25)≈0.24,f(1.125)≈
－0.04,关于下一步的说法正确的是
A.已经达到精确度的要求,可以取1.1作为近似值
B.已经达到精确度的要求,可以取1.125作为近似值
C.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.187 5)
D.没有达到精确度的要求,应该接着计算f(1.062 5)
√
由二分法的定义,可得正零点所在区间不断缩小,(1,1.5)→(1,1.25)→ (1.125,1.25),因为|1.125－1.25|＝0.125>0.1,故没有达到精确度的要求,应该接着计算f＝f(1.187 5)的值.
例2　(1)函数f(x)＝的零点个数为
A.5 B.4 C.3 D.2
函数零点个数的判定
题型二
√
当x≤0时,x2－1＝0,解得x＝－1；
当x>0时,f(x)＝x－2＋ln x在(0,＋∞)上单调递增,并且f(1)＝1－2＋ln 1＝
－1<0,
f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0,
即f(1)f(2)<0,
所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点,
综上,函数f(x)的零点个数为2.
(2)函数f(x)＝sin －|log3x|的零点个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
函数f(x)＝sin －|log3x|的零点个数,即函数g(x)＝sin x>0与h(x)＝|log3x|的交点个数,
在同一个坐标平面内画出两个函数的图象,如图所示,则两个图象交点的个数为2,即f(x)的零点个数为2.
√
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0,方程有多少个不同的实数根,则f(x)有多少个零点.
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
思维升华
跟踪训练2　(1)(2025·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
√
函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点,
即3x|log2x|－1＝0的解,即|log2x|＝的解,
即y＝|log2x|与y＝图象的交点,如图所示,
从函数图象可知,y＝|log2x|与y＝有2个交点,
即函数f(x)的零点个数为2.
(2)函数f(x)＝·cos x的零点个数为　　　.
令36－x2≥0,解得－6≤x≤6,
所以f(x)的定义域为[－6,6].
令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0,
由36－x2＝0得x＝±6,
由cos x＝0得x＝＋kπ,k∈Z,
又x∈[－6,6],所以x的取值为－－.
故f(x)共有6个零点.
6
例3　已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a,若函数g(x)有2个零
点,则实数a的取值范围是
A.[－1,0) B.[1,＋∞)
C.(－∞,1] D.[2,＋∞)
√
命题点1　根据函数零点个数求参数
函数零点的应用
题型三
由函数f(x)＝
因为g(x)＝f(x)－x－a,令g(x)＝0,即f(x)＝x＋a,
由函数g(x)有2个零点,即y＝f(x)和y＝x＋a的图象有两个交点,
在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图所示,
结合函数的图象,要使函数g(x)有2个零点,则a≥2,
所以实数a的取值范围为[2,＋∞).
例4　已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞,－1),使得f(x0)＝0,则实数a的取值范围是
A. B.
C.(－∞,0) D.
命题点2　根据函数零点的范围求参数
√
由f(x)＝3x－＝0,可得a＝3x－
令g(x)＝3x－其中x∈(－∞,－1),
由于存在x0∈(－∞,－1),使得f(x0)＝0,
则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞,－1)上的值域.
由于函数y＝3x,y＝－在区间(－∞,－1)上均单调递增,
所以函数g(x)在(－∞,－1)上单调递增.
当x∈(－∞,－1)时,
g(x)＝3x－又当x∈(－∞,－1)时,g(x)＝3x－>0,
所以函数g(x)在(－∞,－1)上的值域为.
因此实数a的取值范围是.
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等式确定参数(范围).
(2)分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域确定参数范围.
(3)数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后利用数形结合法求解.
思维升华
跟踪训练3　(1)(2025·镇江模拟)已知a∈R,函数f(x)＝
在R上没有零点,则实数a的取值范围为
A.(0,＋∞) B.(1,＋∞)
C.[1,＋∞)∪{0} D.(1,＋∞)∪{0}
√
当x≤0时,0若关于x的方程ex＝a无解,则a≤0或a>1；
当x>0时,ln(x＋1)>0,
若关于x的方程ln(x＋1)＝－a无解,则a≥0.
综上,a的取值范围为(1,＋∞)∪{0}.
(2)(多选)(2024·柳州模拟)已知函数f(x)＝令h(x)＝f(x)－k,则下列说法正确的是
A.函数f(x)的单调递增区间为(0,＋∞)
B.当h(x)有3个零点时,k∈(－4,－3]
C.当k＝－2时,h(x)的所有零点之和为－1
D.当k∈(－∞,－4)时,h(x)有1个零点
√
√
函数f(x)＝
h(x)的零点即函数y＝f(x)的图象和直线y＝k交点的横坐标,由图象可知,当h(x)有3个零点时,k∈(－4,－3],B选项正确；
结合二次函数和对数函数的图象和性质,作函数f(x)的图象如图所示,
由图象可知,函数f(x)的单调递增区间为(－1,0)和(0,＋∞),A选项错误；
解方程可知,当k＝－2时,h(x)有两个零点,－1－和1,所有零点之和为－C选项错误；
当k∈(－∞,－4)时,函数y＝f(x)的图象和直线y＝k有1个交点,即h(x)有1个零点,D选项正确.
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A B D A D BC ABD
题号 9 10 13 　14
答案 -1和4 (0，2) D ABD
答案
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(1)由二次函数f(x)=x2-bx+c(c≠0)的单调递增区间为[2，+∞)，
可得=2，解得b=4.
又因为f(x)有一个零点为c，
则f(c)=c2-4c+c=0，
解得c=3或c=0(舍去)，
所以f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1，
因为f(-x+2)=x2-1=f(x+2)，所以f(x+2)是偶函数.
11.
答案
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(2)由(1)可知g(x)=x2-4x+3-mx+1=x2-(4+m)x+4，
因为g(x)在(1，3)上有两个零点，
则满足
解得0所以实数m的取值范围为.
11.
答案
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(1)f(x)为奇函数，理由如下：
由题意得解得-2故定义域关于原点对称.
又f(-x)=log2(2-x)-log2(2+x)=-f(x)，
故f(x)为奇函数.
12.
答案
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(2)由f(x)=log2(a+x)，得log2(2+x)-log2(2-x)=log2(a+x)，
所以=a+x，
所以a=-x=-x=+(2-x)-3，
故方程f(x)=log2(a+x)有两个不同的实数根可转化为方程a=+(2-x)-3在区间(-2，2)上有两个不同的实数根，
即函数y=a与y=+(2-x)-3在区间(-2，2)上的图象有两个交点.
12.
答案
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设t=2-x，x∈(-2，2)，则y=+t-3，t∈(0，4).
作出函数y=+t-3，t∈(0，4)的图象，如图所示.
当1故实数a的取值范围是(1，2).
12.
一、单项选择题
1.函数y＝(x－2)(2x＋1)的零点是
A.2 B.(2,0)
C.－2 D.2或－1
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知识过关
答案
令y＝(x－2)(2x＋1)＝0,因为2x＋1>1>0,所以x－2＝0,即x＝2.
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答案
2.若函数y＝f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则“f(a)·f(b) <0”是“函数y＝f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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答案
函数y＝f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,
由函数零点存在定理可知,当f(a)·f(b)<0时,函数y＝f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点,充分性成立；
而函数y＝f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点时,f(a)·f(b)<0不一定成立,
如函数y＝x2,在开区间(－1,1)内有零点x＝0,但f(－1)·f(1)>0,必要性不成立.
则“f(a)·f(b)<0”是“函数y＝f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点”的充分不必要条件.
3.用二分法求方程2x＋x－8＝0在[1,5]上的近似解时,经过两次二分法后,可确定近似解所在区间为
A.[1,2]或[2,3]都可以
B.[2,3]
C.[1,2]
D.不能确定
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设f(x)＝2x＋x－8,
则f(1)＝2＋1－8＝－5<0,
f(5)＝25＋5－8＝29>0,
第一次取x1＝＝3,有f(3)＝23＋3－8＝3>0,
故第二次取x2＝＝2,有f(2)＝22＋2－8＝－2<0,
故此时可确定近似解所在区间为[2,3].
答案
4.(2025·承德模拟)对于函数f(x),g(x),设x1∈{x|f(x)＝0},x2∈{x|g(x)＝0},若存在x1,x2,使得|x1－x2|≤1,则称f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”.若函数f(x)＝log2x－a与g(x)＝x2－3x互为“零点相邻函数”,则实数a的取值范围是
A.[0,2] B.(－∞,2]
C.[1,2] D.(－∞,0]∪[1,2]
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f(x)的零点为2a,g(x)的零点为0,3.
因为f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”,
所以|2a－0|≤1或|2a－3|≤1,
则0<2a≤1或2≤2a≤4,
解得a≤0或1≤a≤2.
答案
5.(2025·汉中模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋e)＝f(x－e),当x∈(0,e)时,f(x)＝ln x,则f(x)在区间(－e,2e)内的所有零点之和为
A.3e－1 B.2e
C.2e－1 D.0
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因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)＝0,
因为f(x＋e)＝f(x－e),所以f(x)的周期T＝2e且f(e)＝f(－e)＝－f(e) f(e)＝0,
因为当x∈(0,e)时,f(x)＝ln x,所以f(1)＝0,所以f(－1)＝－f(1)＝0,
所以f(－1＋2e)＝f(－1)＝0,
故f(x)在区间(－e,2e)内的零点为－1,0,1,e,－1＋2e,其零点之和为3e－1.
答案
6.(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝x＋log2x－4的零点为x1,g(x)＝x＋loga(x－1)－5(a>1)的零点为x2,若x2－x1>1,则实数a的取值范围是
A.(1) B.(2)
C.(1,2) D.(2,＋∞)
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因为f(2)＝2＋1－4＝－1<0,f(3)＝3＋log23－4＝log23－1>0,
由函数零点存在定理,所以x1∈(2,3),
由题意可知,x1＋log2x1－4＝x2＋loga(x2－1)－5＝0,
即x1＋log2x1－4＝x2－1＋loga(x2－1)－4,
即x1＋log2x1＝x2－1＋loga(x2－1),
因为x2－x1>1,所以x1则log2x1>loga(x2－1),又a>1,
22.
答案
二、多项选择题
7.下列说法正确的是
A.函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是(－4,0),(2,0)
B.方程ex＝3＋x在区间(－3,0),(0,10)上有解
C.函数y＝3x,y＝log3x的图象关于y＝x对称
D.用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)<0,
f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间(1,1.25)上
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答案
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对于A,令f(x)＝x2＋2x－8＝0,解得x1＝－4,x2＝2,即函数f(x)＝x2＋2x－8的零点是－4和2,故A错误；
对于B,令f(x)＝ex－x－3,则f(－3)＝e－3>0,f(0)＝－2<0,f(10)＝e10－13>210－13＝1 024－13＝1 011>0,所以由函数零点存在定理可知f(x)＝ex－x－3在区间(－3,0),(0,10)内有零点,即方程ex＝3＋x在区间(－3,0),(0,10)内有解,故B正确；
对于C,函数y＝3x,y＝log3x互为反函数,所以函数y＝3x,y＝log3x的图象关于y＝x对称,故C正确；
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答案
对于D,用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,2)内的近似解的过程中得到f(1) <0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间(1.25,1.5)上,故D错误.
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答案
8.(2025·大连模拟)已知x1,x2分别是函数f(x)＝2x－和g(x)＝log2x－的零
点,则
A.－x2＝0
B.log2x1＋log2x2＝0
C.x2>2
D.·log2x2＝1
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答案
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答案
由题设知,f(x)的零点为函数y＝2x与函数y＝图象交点的横坐标；g(x)的零点为函数y＝log2x与函数y＝图象交点的横坐标,由y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称,y＝的图象关于直线y＝x对称,
所以x1,x2关于直线y＝x对称,
y＝2x,y＝log2x,y＝的图象如图所示,
所以点(x1)与点(x2,log2x2)关于直线y＝x对称,
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答案
即
故－x2＝0·log2x2＝1,
log2x1＋log2x2＝log2(x1x2)＝0,A,B,D对；
若x2>2,即x2＝>2 x1>1,此时x1x2>2,与x1x2＝1矛盾,C错.
三、填空题
9.已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)的零点是　　　　.
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答案
－1和4
依题意或
解得x＝－1或x＝4.
10.已知函数f(x)＝函数g(x)＝m－f(3－x),其中m∈R,若函数y＝g(x)恰有3个零点,则m的取值范围是　　　　.
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答案
(0,2)
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令g(x)＝m－f(3－x)＝0,得f(3－x)＝m,
若3－x≤3,即x≥0,f(3－x)＝2－|3－x|；
若3－x>3,即x<0,f(3－x)＝(3－x－3)2＝x2.
所以y＝f(3－x)＝
答案
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答案
画出其图象如图所示,当x＝3时,y＝2.
由图可知,要使函数y＝g(x)恰有3个零点,
即y＝m与y＝f(3－x)的图象有3个交点,
则m的取值范围是(0,2).
四、解答题
11.已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c(c≠0)的单调递增区间为[2,＋∞),且有一个零点为c.
(1)证明：f(x＋2)是偶函数；
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答案
由二次函数f(x)＝x2－bx＋c(c≠0)的单调递增区间为[2,＋∞),
可得＝2,解得b＝4.
又因为f(x)有一个零点为c,则f(c)＝c2－4c＋c＝0,
解得c＝3或c＝0(舍去),
所以f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1,
因为f(－x＋2)＝x2－1＝f(x＋2),所以f(x＋2)是偶函数.
(2)若函数g(x)＝f(x)－mx＋1在(1,3)上有两个零点,求m的取值范围.
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答案
由(1)可知g(x)＝x2－4x＋3－mx＋1＝x2－(4＋m)x＋4,
因为g(x)在(1,3)上有两个零点,
则满足
解得0所以实数m的取值范围为.
12.(2024·天水模拟)已知函数f(x)＝log2(2＋x)－log2(2－x).
(1)判断f(x)的奇偶性；
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答案
f(x)为奇函数,理由如下：
由题意得解得－2故定义域关于原点对称.
又f(－x)＝log2(2－x)－log2(2＋x)＝－f(x),
故f(x)为奇函数.
(2)若关于x的方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根,求实数a的取值范围.
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答案
由f(x)＝log2(a＋x),
得log2(2＋x)－log2(2－x)＝log2(a＋x),
所以＝a＋x,
所以a＝－x＝－x＝＋(2－x)－3,
故方程f(x)＝log2(a＋x)有两个不同的实数根可转化为方程a＝＋(2－x)－3在区间(－2,2)上有两个不同的实数根,即函数y＝a与y＝＋(2－x)－3
在区间(－2,2)上的图象有两个交点.
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答案
设t＝2－x,x∈(－2,2),则y＝＋t－3,t∈(0,4).
作出函数y＝＋t－3,t∈(0,4)的图象,如图所示.
当1故实数a的取值范围是(1,2).
13.(2024·揭阳模拟)函数f(x)＝ln ＋x－1的所有零点之和为
A.－2 B.－1 C.1 D.2
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答案
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答案
由f(x)＝0得,ln ＝1－x,
令g(x)＝ln
因为g(x)＋g(2－x)＝ln ＋ln ＝ln 1＝0,所以函数g(x)＝ln 的图象
关于点(1,0)对称,
又因为y＝1－x的图象关于点(1,0)对称,
如图所示,两个函数图象有两个公共点,横坐标依次为x1,
x2,这两个交点关于点(1,0)对称,所以x1＋x2＝2.
14.(多选)已知函数f(x)＝|2x－a|－kx－3,给出下列四个结论,其中正确的有
A.若a＝1,则函数f(x)至少有一个零点
B.存在实数a,k,使得函数f(x)无零点
C.若a>0,则不存在实数k,使得函数f(x)有三个零点
D.对任意实数a,总存在实数k,使得函数f(x)有两个零点
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答案
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答案
A中,当a＝1时,函数f(x)＝|2x－1|－kx－3,
令f(x)＝0,可得|2x－1|＝kx＋3,
在同一坐标系中作出y＝|2x－1|,y＝kx＋3的图象,如图所示,由图象及直线y＝kx＋3过定点(0,3),可得函数f(x)至少有一个零点,所以A正确；
B中,当a＝－4,k＝0时,作出函数y＝|2x＋4|,y＝3的图象,由图象知,函数f(x)没有零点,所以B正确；
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答案
C中,当a＝6,k＝－时,在同一坐标系中,作出函数y＝|2x－6|,
y＝－x＋3的图象,如图所示,由图象可得,此时函数f(x)有3个零点,所以C错误；
D中,分别作出当a＝0,a<0,a>0时,函数y＝|2x－a|,y＝kx＋3的图象,
由图象知,对于任意实数a,总存在实数k使得函数f(x)有两个零点,所以D正确.
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