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§2.13　函数与方程的综合应用
分值：52分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.若方程-x2+ax+4=0的两实根中一个小于-1，另一个大于2，则 a的取值范围是(　　)
A.(0，3) B.[0，3]
C.(-3，0) D.(-∞，1)∪(3，+∞)
2.(2025·西安模拟)已知函数f(x)=
若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t，且x1≠x2≠x3≠x4，则实数t的取值范围是(　　)
A.(0，1) B.(0，2)
C.(0，3) D.(1，3)
3.(2024·昆明模拟)已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-m有三个零点x1，x2，x3，则x1·x2·x3的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.[0，e]
4.(2025·汕头模拟)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+a·f(x)+b=0(a，b∈R)有且只有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.(-2，-1)
C. D.
5.已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)，对于任意x∈R=3x恒成立，若函数y=3f(x)+2g(x)+m有且仅有两个零点，则实数m的取值范围为(　　)
A.(-∞，-2) B.(0，2)
C.(22) D.(2+∞)
6.已知函数f(x)=则函数F(x)=f(f(x))-2f(x)-的零点个数是(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知x1，x2是关于x的方程x2-2ax+2=0(a∈R)的两个不相等的实数根，则下列说法正确的有(　　)
A.若+=2，则a=2
B.若x1<1
C.若0<α<β<且x1=tan α，x2=tan β，则α+β为锐角
D.若x1，x2均小于2，则a∈(-∞，-)∪
8.已知函数f(x)=则下列结论正确的是(　　)
A.函数y=f(x)-x有2个零点
B.若函数y=f(x)-t有4个零点，则t的取值范围为(1，2)
C.若关于x的方程f(x)=t有4个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=1
D.若关于x的方程[f(x)]2-3f(x)+α=0有8个不相等的实根，则α的取值范围为
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.若方程x2-mx-m+3=0满足一个根在(0，1)之间，一个根在(1，2)之间，则实数m的取值范围为　　　　　　　.
10.(2025·无锡模拟)已知函数f(x)=若方程2[f(x)]2-mf(x)=0有6个不相等的实根，则非零实数m的取值范围为　　　　　　　.
答案精析
1.A　2.A
3.C　[作出函数f(x)的图象如图所示，
不妨设x1当x≤0时，-x2-x-m=0，
得x2+x+m=0，
则x1·x2=m；
当x>0时，ln x3=m，x3=em，
则x1·x2·x3=mem，
设h(m)=mem
则h'(m)=(m+1)em>0，
所以h(m)在上单调递增，
所以h(m)∈
即x1·x2·x3的取值范围是.]
4.A　[由题可画出函数f(x)的大致图象，
∵关于x的方程[f(x)]2+a·f(x)+b=0(a，b∈R)有且只有7个不同的实数根，
设t=f(x)，则t≥结合函数图象，可知方程t2+at+b=0必有两个根t1，t2，
且t1=1，t2∈
∴t1+t2=-a∈
则-2即a的取值范围是.]
5.A　[由=3x可得f(x)-g(x)=2×3-x，①
所以f(-x)-g(-x)=2×3x，
因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以f(x)+g(x)=2×3x，②
由①②，可得f(x)=3x+3-x，g(x)=3x-3-x，
所以y=3f(x)+2g(x)+m
=3(3x+3-x)+2(3x-3-x)+m
=5×3x+3-x+m，
令y=0，上式可化为5×32x+m×3x+1=0，
令t=3x(t>0)，方程可化为5t2+mt+1=0，
因为函数t=3x是增函数，若函数y=3f(x)+2g(x)+m有且仅有两个零点，
只需要方程5t2+mt+1=0有两个不相等的正实数根，记为t1，t2.
有
解得m<-2
故所求实数m的取值范围为(-∞，-2).]
6.A　[令t=f(x)，则t≥0，
若F(x)=0，则f(t)-2t-=0，
作出y=f(x)的图象和直线y=2x+由图象可得有两个交点，设横坐标分别为t1，t2，t1∴t1=0，t2∈(1，2).
当f(x)=t1时，有x=2，即有一解；当f(x)=t2时，有三个解，
综上，F(x)=0共有4个解，
即函数F(x)有4个零点.]
7.ABD　[∵x1，x2是关于x的方程x2-2ax+2=0(a∈R)的两个不相等的实数根，
∴Δ=4a2-8>0，
∴a>或a<-.
由根与系数的关系得x1+x2=2a，x1x2=2，
∵+=2，
则2x1x2=x1+x2，∴4=2a，
∴a=2，故A正确；
令f(x)=x2-2ax+2，若x1<1则f(1)<0，得a>故B正确；
若0<α<β<且x1=tan α，x2=tan β，则x1+x2>0，
由得a>
∵tan(α+β)===-2a<-2
又∵α+β∈(0，π)，
∴α+β为钝角，故C不正确；
若x1，x2均小于2，则
即
∴a∈(-∞，-)∪故D正确.]
8.BD　[函数y=e|x-2|的图象关于直线x=2对称，函数y=-x2-2x+1的图象开口向下，关于直线x=-1对称，
当x≥2时，f(x)=ex-2单调递增，当0当x<-1时，f(x)=-x2-2x+1单调递增，当-1≤x≤0时，f(x)=-x2-2x+1单调递减，
函数y=f(x)-x的零点，即函数y=f(x)的图象与直线y=x交点的横坐标，
在同一直角坐标系内作出函数y=f(x)的图象与直线y=x，如图1，
观察图象知，函数y=f(x)的图象与直线y=x有3个交点，因此函数y=f(x)-x有3个零点，A错误；
函数y=f(x)-t的零点，即方程f(x)=t的根，亦即函数y=f(x)的图象与直线y=t交点的横坐标，
在同一直角坐标系内作出函数y=f(x)的图象与直线y=t，如图2，
观察图象知，当1因此函数y=f(x)-t有4个零点，则t的取值范围为(1，2)，B正确；
若关于x的方程f(x)=t有4个不相等的实根x1，x2，x3，x4，不妨设x1显然有x1+x2=-2，x3+x4=4，因此x1+x2+x3+x4=2，C错误；
令f(x)=m，由选项B知，当且仅当m∈(1，2)时，方程f(x)=m有4个不相等的实根，
要关于x的方程[f(x)]2-3f(x)+α=0有8个不相等的实根，
则当且仅当方程m2-3m+α=0在(1，2)上有2个不相等的实根，
则解得2<α<
所以α的取值范围是D正确.]
9.
解析　设f(x)=x2-mx-m+3，
由题意可得
解得2因此，实数m的取值范围是.
10.[2，16)
解析　函数f(x)=
的图象如图，且f(2)=8，
由2[f(x)]2-mf(x)=0，可得f(x)=0或f(x)=
由图象可知方程f(x)=0有3个不相等的实根，
又方程2[f(x)]2-mf(x)=0有6个不相等的实根，
则f(x)=有3个不相等的实根，
所以∈[1，8)，解得m∈[2，16).§2.13　函数与方程的综合应用
重点解读　函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置.
题型一　由零点分布求值(范围)
命题点1　二次函数的零点分布
例1　(多选)已知函数f(x)=x2+(m-3)x+m的两个零点分别为x1，x2，且x1A.当x1>0且x2>0时，0B.当x1<1且x2>1时，m<1
C.当-2D.当x1<2且x2>4时，m<-
命题点2　其他函数的零点分布
例2　已知定义在R上的奇函数满足f(2-x)+f(x)=0，当x∈(0，1]时，f(x)=-log2x，若函数F(x)=f(x)-sin πx在区间[-1，m]上有10个零点，则m的取值范围是(　　)
A.[3.5，4) B.(3.5，4]
C.(5，5.5] D.[5，5.5)
思维升华　对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手
(1)开口方向；
(2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；
(3)判别式，决定函数与x轴的交点个数；
(4)区间端点值.
跟踪训练1　(1)设方程x2-2ax-a=0的两实根满足x1A.
B.∪(0，1)
C.(-∞，-1)∪
D.
(2)已知函数f(x)=若g(x)=f(x)-m恰有3个零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是(　　)
A. B.
C.(-∞，0] D.(-∞，0)
题型二　复合函数的零点
命题点1　复合函数的零点个数判定
例3　(多选)已知函数f(x)=下列关于函数y=f(f(x))+1的零点个数的说法中，正确的是(　　)
A.当k>1时，有1个零点
B.当k>1时，有3个零点
C.当k<0时，有9个零点
D.当k=-4时，有7个零点
命题点2　根据复合函数零点求参数
例4　(多选)(2025·亳州模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=3[f(x)]2-(m+3)f(x)+m有5个不同的零点，则实数m的值可能是(　　)
A.-5 B.-6 C.-7 D.-8
思维升华　对于复合函数y=f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下：
(1)确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)；
(2)确定外层函数y=f(u)的零点u=ui(i=1，2，3，…，n)；
(3)确定直线u=ui(i=1，2，3，…，n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y=f(g(x))的零点个数为a1+a2+a3+…+an.
跟踪训练2　(1)若函数f(x)=
则函数g(x)=f(f(x))的零点的个数为(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
(2)函数f(x)=若函数g(x)=f(f(x))-a有三个零点，则实数a的取值范围是　　　　.
答案精析
例1　ABD　[对于A，由题意得
解得0对于B，f(1)=2m-2<0，
解得m<1，B正确；
对于C，
解得-对于D，
解得m<-，D正确.]
例2　A　[由f(2-x)+f(x)=0 f(x)=-f(2-x)=f(x-2)，得f(x)是一个周期为2的奇函数，
当x∈(0，1]时，f(x)=-log2x，
因此f =-log2=1，f(1)=0，
所以f(0)=0，f =-1，
f(-1)=0，
且g(x)=sin πx的周期为T==2，
且g(-1)=0，g=-1，g(0)=0，g=1，g(1)=0，
求F(x)=f(x)-sin πx的零点个数，
即求f(x)与g(x)图象的交点个数，
如图为f(x)与g(x)在区间[-1，1]的图象，
因为f(x)与g(x)均为周期为2的周期函数，
因此交点也呈周期出现，
若在区间[-1，m]上有10个零点，即两函数图象在[-1，m]上有10个交点，
则第10个交点坐标为(3.5，-1)，第11个交点坐标为(4，0)，
因此3.5≤m<4.]
跟踪训练1　(1)C　[设f(x)=x2-2ax-a，则其图象的对称轴方程为x=a，
由x1解得a<-1或0(2)B　[不妨设x1由图可知，当0且有-由f(x2)=f(x3)，即|ln x2|=|ln x3|，
得ln x3=-ln x2，
所以ln x2+ln x3=ln(x2x3)=0，
即x2x3=1，
故x1x2x3=x1∈.]
例3　AD　[由f(f(x))+1=0，
得f(f(x))=-1，
则函数y=f(f(x))+1的零点个数即为方程f(f(x))=-1解的个数，
设t=f(x)，则f(t)=-1，二次函数y=x2-kx+1的图象开口向上，过点(0，1)，对称轴为直线x=，
当k>1时，y=x2-kx+1在(-∞，0]上单调递减，且y≥1，
如图，
由f(t)=-1，得log2t=-1，解得t=，
由f(x)=t，得log2x=，解得x=，
因此当k>1时，函数y=f(f(x))+1的零点个数是1，A正确，B错误；
当k=-4时，
f(x)=
作出函数f(x)的图象，如图，
由图象知函数f(x)的值域为R，
令t=f(x)，则f(t)=-1有3个根，
当t>0时，log2t=-1，解得t=；
当t≤0时，t2+4t+1=-1，解得t=-2±，
当t=，即f(x)=时，
若x>0，则log2x=，解得x=，
若x≤0，则x2+4x+1=，解得x=-2±，此时共有3个解；
当t=-2+，即f(x)=-2+时，若x>0，则log2x=-2+有1个解，
若x≤0，则x2+4x+1=-2+，即(x+2)2=1+有2个解，此时共有3个解；
当t=-2-，即f(x)=-2-时，若x>0，则log2x=-2-有1个解，
若x≤0，则x2+4x+1=-2-，即(x+2)2=1-<0无解，此时共有1个解.
因此当k=-4时，函数y=f(f(x))+1的零点个数是7，D正确，C错误.]
例4　CD　[令g(x)=3[f(x)]2-(m+3)f(x)+m=0，
即[f(x)-1][3f(x)-m]=0，
解得f(x)=1或f(x)=，
如图，画出函数f(x)的图象，
当f(x)=1时，直线y=1与y=f(x)的图象有4个交点，
所以直线y=与y=f(x)的图象只能有1个交点，
则<-2，得m<-6，
结合选项可知，m的值可能是-7或-8.]
跟踪训练2　(1)C　[当x>0时，
由1+ln x=0，得x=，
当x≤0时，由x2+4x+3=0，
得x=-1或x=-3，
所以f(x)的零点为-3，-1，，
令t=f(x)，则t∈R，f(t)=0的根分别为t1=-3，t2=-1，t3=，
结合f(x)的图象可知，方程f(x)=t1，f(x)=t2，f(x)=t3的根的个数分别为1，2，3，故g(x)=f(f(x))的零点个数为6.]
(2)[-1，+∞)
解析　设t=f(x)，则t∈R，
令g(x)=f(f(x))-a=0，则a=f(t).
在同一平面直角坐标系内作出直线y=a，y=f(t)的图象，如图所示.
①当a≥-1时，直线y=a与y=f(t)的图象有两个交点，设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，
则t1<-1，t2≥-1.
当t1<-1时，t1=f(x)有一个解；
当t2≥-1时，t2=f(x)有两个解，
此时g(x)=f(f(x))-a有三个零点，满足题意；
②当a<-1时，直线y=a与y=f(t)的图象有一个交点.
设交点的横坐标为t3，则t3<-1，
此时t3=f(x)有一个解，不满足题意，
综上所述，当a≥-1时，函数g(x)=f(f(x))-a有三个零点.(共50张PPT)
§2.13　函数与方程
的综合应用
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函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容,经常以客观题出现,通过分析函数的性质,结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等,题目难度较大,一般出现在压轴题位置.
重点解读
例1　(多选)已知函数f(x)＝x2＋(m－3)x＋m的两个零点分别为x1,x2,且x1A.当x1>0且x2>0时,0B.当x1<1且x2>1时,m<1
C.当－2D.当x1<2且x2>4时,m<－
√
由零点分布求值(范围)
题型一
命题点1　二次函数的零点分布
√
√
对于A,由题意得解得0对于B,f(1)＝2m－2<0,解得m<1,B正确；
对于C解得－对于D解得m<－D正确.
例2　已知定义在R上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0,当x∈(0,1]时,f(x)＝
－log2x,若函数F(x)＝f(x)－sin πx在区间[－1,m]上有10个零点,则m的取值范围是
A.[3.5,4) B.(3.5,4]
C.(5,5.5] D.[5,5.5)
√
命题点2　其他函数的零点分布
由f(2－x)＋f(x)＝0 f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2),得f(x)是一个周期为2的奇函数,
当x∈(0,1]时,f(x)＝－log2x,
因此f＝－log2＝1,f(1)＝0,
所以f(0)＝0,f＝－1,f(－1)＝0,
且g(x)＝sin πx的周期为T＝＝2,
且g(－1)＝0,g＝－1,g(0)＝0,g＝1,g(1)＝0,
求F(x)＝f(x)－sin πx的零点个数,
即求f(x)与g(x)图象的交点个数,
如图为f(x)与g(x)在区间[－1,1]的图象,
因为f(x)与g(x)均为周期为2的周期函数,
因此交点也呈周期出现,
若在区间[－1,m]上有10个零点,即两函数图象在[－1,m]上有10个交点,
则第10个交点坐标为(3.5,－1),第11个交点坐标为(4,0),因此3.5≤m<4.
对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手
(1)开口方向；
(2)对称轴,主要讨论对称轴与区间的位置关系；
(3)判别式,决定函数与x轴的交点个数；
(4)区间端点值.
思维升华
跟踪训练1　(1)设方程x2－2ax－a＝0的两实根满足x1A. B.∪(0,1)
C.(－∞,－1)∪ D.
√
设f(x)＝x2－2ax－a,则其图象的对称轴方程为x＝a,
由x1解得a<－1或0(2)已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－m恰有3个零点x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是
A. B.
C.(－∞,0] D.(－∞,0)
√
不妨设x1由图可知,当0且有－由f(x2)＝f(x3),即|ln x2|＝|ln x3|,
得ln x3＝－ln x2,
所以ln x2＋ln x3＝ln(x2x3)＝0,
即x2x3＝1,故x1x2x3＝x1∈.
例3　(多选)已知函数f(x)＝下列关于函数y＝f(f(x))＋1
的零点个数的说法中,正确的是
A.当k>1时,有1个零点
B.当k>1时,有3个零点
C.当k<0时,有9个零点
D.当k＝－4时,有7个零点
复合函数的零点
题型二
命题点1　复合函数的零点个数判定
√
√
由f(f(x))＋1＝0,得f(f(x))＝－1,
则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数即为方程f(f(x))＝－1解的个数,
设t＝f(x),则f(t)＝－1,二次函数y＝x2－kx＋1的图象开口向上,过点(0,1),对称轴为直线x＝
当k>1时,y＝x2－kx＋1在(－∞,0]上单调递减,且y≥1,如图,
由f(t)＝－1,得log2t＝－1,解得t＝
由f(x)＝t,得log2x＝解得x＝
因此当k>1时,函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是1,A正确,B错误；
当k＝－4时,f(x)＝
作出函数f(x)的图象,如图,
由图象知函数f(x)的值域为R,
令t＝f(x),则f(t)＝－1有3个根,
当t>0时,log2t＝－1,解得t＝；
当t≤0时,t2＋4t＋1＝－1,解得t＝－2±
当t＝即f(x)＝时,
若x>0,则log2x＝解得x＝
若x≤0,则x2＋4x＋1＝解得x＝－2±此时共有3个解；
当t＝－2＋即f(x)＝－2＋时,若x>0,则log2x＝－2＋有1个解,
若x≤0,则x2＋4x＋1＝－2＋即(x＋2)2＝1＋有2个解,此时共有3个解；
当t＝－2－即f(x)＝－2－时,若x>0,则log2x＝－2－有1个解,
若x≤0,则x2＋4x＋1＝－2－即(x＋2)2＝1－<0无解,此时共有1个解.
因此当k＝－4时,函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是7,D正确,C错误.
例4　(多选)(2025·亳州模拟)已知函数f(x)＝若函数
g(x)＝3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m有5个不同的零点,则实数m的值可能是
A.－5 B.－6 C.－7 D.－8
命题点2　根据复合函数零点求参数
√
√
令g(x)＝3[f(x)]2－(m＋3)f(x)＋m＝0,
即[f(x)－1][3f(x)－m]＝0,
解得f(x)＝1或f(x)＝
如图,画出函数f(x)的图象,
当f(x)＝1时,直线y＝1与y＝f(x)的图象有4个交点,
所以直线y＝与y＝f(x)的图象只能有1个交点,
则<－2,得m<－6,
结合选项可知,m的值可能是－7或－8.
对于复合函数y＝f(g(x))的零点个数问题,求解思路如下：
(1)确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)；
(2)确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1,2,3,…,n)；
(3)确定直线u＝ui(i＝1,2,3,…,n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1,a2,a3,…,an,则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an.
思维升华
跟踪训练2　(1)若函数f(x)＝则函数g(x)＝f(f(x))的零点的个数为
A.4 B.5 C.6 D.7
√
当x>0时,由1＋ln x＝0,得x＝
当x≤0时,由x2＋4x＋3＝0,得x＝－1或x＝－3,
所以f(x)的零点为－3,－1
令t＝f(x),则t∈R,f(t)＝0的根分别为t1＝－3,t2＝－1,t3＝
结合f(x)的图象可知,方程f(x)＝t1,f(x)＝t2,f(x)＝t3的根的个数分别为1,2,3,故g(x)＝f(f(x))的零点个数为6.
(2)函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个零点,则实数a的取值范围是　　　　 .
[－1,＋∞)
设t＝f(x),则t∈R,
令g(x)＝f(f(x))－a＝0,则a＝f(t).
在同一平面直角坐标系内作出直线y＝a,y＝f(t)的图象,如图所示.
①当a≥－1时,直线y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点,
设交点的横坐标为t1,t2(不妨设t2>t1),
则t1<－1,t2≥－1.
当t1<－1时,t1＝f(x)有一个解；
当t2≥－1时,t2＝f(x)有两个解,
此时g(x)＝f(f(x))－a有三个零点,满足题意；
②当a<－1时,直线y＝a与y＝f(t)的图象有一个交点.
设交点的横坐标为t3,则t3<－1,
此时t3＝f(x)有一个解,不满足题意,
综上所述,当a≥－1时,函数g(x)＝f(f(x))－a有三个零点.
课时精练
对一对
答案
1
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C A A A ABD BD
题号 9 　　 10
答案 　[2，16)
一、单项选择题
1.若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1,另一个大于2,则a的取值范围是
A.(0,3) B.[0,3]
C.(－3,0) D.(－∞,1)∪(3,＋∞)
√
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答案
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答案
令f(x)＝－x2＋ax＋4,
则f(x)有两个零点,一个大于2,另一个小于－1,
由二次函数的图象可知,
即
解得01
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10
答案
2.(2025·西安模拟)已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t,且x1≠x2≠x3≠x4,则实数t的取值范围是
A.(0,1) B.(0,2)
C.(0,3) D.(1,3)
√
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答案
由题意,作出y＝f(x)的大致图象,如图所示,
要使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t,
即函数y＝f(x)与y＝t的图象有4个不同的交点,
则0所以实数t的取值范围是(0,1).
3.(2024·昆明模拟)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－m有三个零点x1,x2,x3,则x1·x2·x3的取值范围是
A. B. C. D.[0,e]
√
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答案
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答案
作出函数f(x)的图象如图所示,
不妨设x1则0≤m<
当x≤0时,－x2－x－m＝0,得x2＋x＋m＝0,
则x1·x2＝m；
当x>0时,ln x3＝m,x3＝em,
则x1·x2·x3＝mem,
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10
答案
设h(m)＝mem
则h'(m)＝(m＋1)em>0,
所以h(m)在上单调递增,
所以h(m)∈
即x1·x2·x3的取值范围是.
4.(2025·汕头模拟)已知函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)＝
若关于x的方程[f(x)]2＋a·f(x)＋b＝0(a,b∈R)有且只有7个
不同的实数根,则实数a的取值范围是
A. B.(－2,－1)
C. D.
√
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答案
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答案
由题可画出函数f(x)的大致图象,
∵关于x的方程[f(x)]2＋a·f(x)＋b＝0(a,b∈R)有且只有7个不同的实数根,
设t＝f(x),则t≥结合函数图象,可知方程t2＋at＋b＝0必有两个根t1,t2,
且t1＝1,t2∈
∴t1＋t2＝－a∈
则－25.已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x),对于任意x∈R＝3x恒成立,若函数y＝3f(x)＋2g(x)＋m有且仅有两个零点,则实数m的取值范
围为
A.(－∞,－2) B.(0,2)
C.(22) D.(2＋∞)
√
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答案
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11
12
由＝3x可得f(x)－g(x)＝2×3－x, ①
所以f(－x)－g(－x)＝2×3x,
因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,所以f(x)＋g(x)＝2×3x, ②
由①②,可得f(x)＝3x＋3－x,g(x)＝3x－3－x,
所以y＝3f(x)＋2g(x)＋m＝3(3x＋3－x)＋2(3x－3－x)＋m＝5×3x＋3－x＋m,
令y＝0,上式可化为5×32x＋m×3x＋1＝0,
令t＝3x(t>0),方程可化为5t2＋mt＋1＝0,
答案
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11
12
因为函数t＝3x是增函数,若函数y＝3f(x)＋2g(x)＋m有且仅有两个零点,
只需要方程5t2＋mt＋1＝0有两个不相等的正实数根,记为t1,t2.
有解得m<－2
故所求实数m的取值范围为(－∞,－2).
答案
6.已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－的零点
个数是
A.4 B.5 C.6 D.7
√
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答案
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10
答案
令t＝f(x),则t≥0,
若F(x)＝0,则f(t)－2t－＝0,
作出y＝f(x)的图象和直线y＝2x＋由图象可得有两个交点,
设横坐标分别为t1,t2,t1∴t1＝0,t2∈(1,2).
当f(x)＝t1时,有x＝2,即有一解；当f(x)＝t2时,有三个解,
综上,F(x)＝0共有4个解,
即函数F(x)有4个零点.
二、多项选择题
7.已知x1,x2是关于x的方程x2－2ax＋2＝0(a∈R)的两个不相等的实数根,则下列说法正确的有
A.若＝2,则a＝2
B.若x1<1
C.若0<α<β<且x1＝tan α,x2＝tan β,则α＋β为锐角
D.若x1,x2均小于2,则a∈(－∞,－)∪
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√
答案
√
√
∵x1,x2是关于x的方程x2－2ax＋2＝0(a∈R)的两个不相等的实数根,
∴Δ＝4a2－8>0,∴a>或a<－.
由根与系数的关系得x1＋x2＝2a,x1x2＝2,
∵＝2,
则2x1x2＝x1＋x2,∴4＝2a,
∴a＝2,故A正确；
令f(x)＝x2－2ax＋2,若x1<1则f(1)<0,得a>故B正确；
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答案
若0<α<β<且x1＝tan α,x2＝tan β,则x1＋x2>0,
由得a>
∵tan(α＋β)＝＝－2a<－2
又∵α＋β∈(0,π),∴α＋β为钝角,故C不正确；
若x1,x2均小于2,则即
∴a∈(－∞,－)∪故D正确.
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答案
8.已知函数f(x)＝则下列结论正确的是
A.函数y＝f(x)－x有2个零点
B.若函数y＝f(x)－t有4个零点,则t的取值范围为(1,2)
C.若关于x的方程f(x)＝t有4个不相等的实根x1,x2,x3,x4,则x1＋x2＋x3＋x4＝1
D.若关于x的方程[f(x)]2－3f(x)＋α＝0有8个不相等的实根,则α的取值范围
为
√
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答案
√
函数y＝e|x－2|的图象关于直线x＝2对称,函数y＝－x2－2x＋1的图象开口向下,关于直线x＝－1对称,
当x≥2时,f(x)＝ex－2单调递增,当0当x<－1时,f(x)＝－x2－2x＋1单调递增,当－1≤x≤0时,f(x)＝－x2－2x＋1单调递减,
函数y＝f(x)－x的零点,即函数y＝f(x)的图象与直线y＝x交点的横坐标,
在同一直角坐标系内作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝x,如图1,
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答案
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答案
观察图象知,函数y＝f(x)的图象与直线y＝x有3个交点,因此函数y＝f(x)－x有3个零点,A错误；
函数y＝f(x)－t的零点,即方程f(x)＝t的根,亦即函数y＝f(x)的图象与直线y＝t交点的横坐标,
在同一直角坐标系内作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝t,
如图2,
观察图象知,当1因此函数y＝f(x)－t有4个零点,则t的取值范围为(1,2),B正确；
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答案
若关于x的方程f(x)＝t有4个不相等的实根x1,x2,x3,x4,不妨设x1显然有x1＋x2＝－2,x3＋x4＝4,因此x1＋x2＋x3＋x4＝2,C错误；
令f(x)＝m,由选项B知,当且仅当m∈(1,2)时,方程f(x)＝m有4个不相等的实根,
要关于x的方程[f(x)]2－3f(x)＋α＝0有8个不相等的实根,
则当且仅当方程m2－3m＋α＝0在(1,2)上有2个不相等的实根,
则解得2<α<
所以α的取值范围是D正确.
三、填空题
9.若方程x2－mx－m＋3＝0满足一个根在(0,1)之间,一个根在(1,2)之间,则
实数m的取值范围为　　　　.
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答案
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答案
设f(x)＝x2－mx－m＋3,
由题意可得
解得2因此,实数m的取值范围是.
10.(2025·无锡模拟)已知函数f(x)＝若方程2[f(x)]2－mf(x)＝0有6个不相等的实根,则非零实数m的取值范围为　　　 .
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10
答案
[2,16)
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10
答案
函数f(x)＝的图象如图,且f(2)＝8,
由2[f(x)]2－mf(x)＝0,可得f(x)＝0或f(x)＝
由图象可知方程f(x)＝0有3个不相等的实根,
又方程2[f(x)]2－mf(x)＝0有6个不相等的实根,
则f(x)＝有3个不相等的实根,
所以∈[1,8),解得m∈[2,16).

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