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§2.14　函数模型的应用
分值：80分
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.已知a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)=x2，f2(x)=f3(x)=log2x，f4(x)=2x，如果运动时间足够长，则运动在最前面的物体一定是(　　)
A.a B.b C.c D.d
2.一组实验数据及对应散点图如图所示，则体现这些数据关系的最佳函数模型是(　　)
x 10 20 29 41 50 58 70
y 1 2 3.8 7.4 11 15 21.8
A.y=Alogax+p B.y=A·ax+p
C.y=ax2+bx+c D.y=kx+b
3.输血是外伤人员救治的重要手段，血液质量对提高救治成功率极为关键.血液质量的主要评判指标是血液中ATP含量.已知血液中ATP浓度S(单位：μmol/gHb)随温度λ(单位：℃)、时间t(单位：天)、及起始浓度S0变化的近似函数关系式为S=S0t1.08λe-1.30λ(e为自然对数的底数，e≈2.718 28).由此可知，当血液在20℃恒温条件下，保存5天后的ATP浓度大约相当于血液在4℃恒温条件下保存　　　　天后的ATP浓度(参考数据：ln 5≈1.6)(　　)
A.16 B.20 C.25 D.30
4.(2025·宜宾模拟)根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型y=其中y(单位：万辆)为第x年年底新能源汽车的保有量，p为年增长率，N为饱和度，y0为初始值.若2023年年底该市新能源汽车的保有量是20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为12%，饱和度为1 300万辆，那么2033年年底该市新能源汽车的保有量约为(结果四舍五入保留整数，参考数据：ln 0.887≈-0.12，ln 0.30≈-1.2)(　　)
A.65万辆 B.64万辆
C.63万辆 D.62万辆
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知函数y1=x2，y2=2x，y3=x，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是(　　)
A.在[0，+∞)上，随着x的逐渐增大，y1的增长速度越来越快于y2
B.在[0，+∞)上，随着x的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1
C.当x∈(0，+∞)时，y1的增长速度一直快于y3
D.当x∈(0，+∞)时，y1的增长速度有时快于y2
6.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与排气时间t(单位：分钟)之间满足函数关系y=aeRt(a，R为常数，e是自然对数的底数).若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是(　　)
A.a=128
B.R=ln 2
C.排气12分钟后浓度为16 ppm
D.排气32分钟后，人可以安全进入车库
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.函数y=x与函数y=x·ln x在区间(4，+∞)上增长较快的一个是　　　　　　　　　.
8.表观活化能的概念最早是针对阿伦尼乌斯公式k=A中的参量Ea提出的，是通过实验数据求得，又叫实验活化能，公式中的k为反应速率常数，R为摩尔气体常量，T为热力学温度(单位为开尔文，简称开)，A(A>0)为阿伦尼乌斯常数.已知某化学反应的温度每增加10开，反应速率常数k变为原来的2倍，则当温度从300开上升到400开时，估计的值为　　　　.(结果精确到百位，参考数据：ln 2≈0.7)
四、解答题(共27分)
9.(13分)研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示，当x∈[0，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16，40]时，曲线是函数y=log0.8(x+a)+80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.
(1)求函数y=f(x)的解析式；(6分)
(2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：0.8-12≈14.6，精确到1分钟)(7分)
10.(14分)用打点滴的方式治疗“支原体感染”病患时，第一次注射的血药浓度(血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度)随时间变化的函数符合c1(t)=N0(1-2-kt)，其函数图象如图所示，其中N0为与环境相关的常数，此种药物在人体内有治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合c2(t)=c·2-kt，其中c为停药时的人体血药浓度.
(1)求出函数c1(t)的解析式；(5分)
(2)一病患开始第一次注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？(如果计算结果不是整数，保留小数点后一位，参考数据：lg 3≈0.48，lg 2≈0.30)(9分)
11题5分，12题6分，共11分
11.已知某物种t年后的种群数量y近似满足函数模型y=k0·e1.4e-0.125t(k0>0，当t=0时表示2023年初的种群数量).自2023年初起，经过n年后(n∈N*)，当该物种的种群数量不足2023年初的10%时，n的最小值为(参考数据：ln 10≈2.3)(　　)
A.16 B.17 C.18 D.19
12.(多选)(2024·长春模拟)声强级LI(单位：dB)由公式LI=a+blg I给出，其中I为声强(单位：W/m2)，相应不同声的声强级如表所示，则(　　)
I(W/m2) LI(dB)
正常人能忍受的最高声强 1 120
正常人能听到的最低声强 10-12 0
正常人交谈时的声强 10-6 L正常
某人谈话声强 IT 80
A.LI=10lg B.I=
C.L正常=60 D.IT=10-4
答案精析
1.D　2.C
3.C　[设所求为t天，由题意得S0×51.08×20e-1.30×20
=S0×t1.08×4e-1.30×4，
解得t4.32=
取对数为ln t=≈3.2≈2ln 5=ln 25，所以t≈25.]
4.B　[根据题中所给模型，代入有关数据，
则2033年年底该市新能源汽车的保有量为y=
=
因为ln 0.30≈-1.2，所以e-1.2≈0.30，
所以y=≈≈64，
所以2033年年底该市新能源汽车的保有量约为64万辆.]
5.BD　[在同一平面直角坐标系中画出函数y1=x2，y2=2x，y3=x的图象，如图所示.
对于A，B，
在[0，+∞)上，随着x的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1，故A错误，B正确；
对于C，当x∈(0，+∞)时，y1的增长速度不是一直快于y3的，故C错误；
对于D，当x∈(0，+∞)时，y1的增长速度有时快于y2，故D正确.]
6.ACD　[设f(t)=aeRt，
由题意得
解得A正确，B错误；
此时f(t)=128=27·=所以f(12)=24=16(ppm)，C正确；
当f(t)≤0.5时≤0.5=2-1，得7-≤-1，所以t≥32，所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，D正确.]
7.y=x·ln x
解析　当x∈(4，+∞)时，x·ln x-x=x(ln x-1)>x(ln 4-1)>0，所以函数y=x·ln x在区间(4，+∞)上增长较函数y=x快.
8.8 400
解析　根据题意，温度每增加10开，反应速率常数k变为原来的2倍，则当温度从300开上升到400开时，反应速率常数k变为300开时的210倍，
由k=A
当T=300开时，k1=A
当T=400开时，k2=A
所以==210，
即=210，
=210，
=10ln 2，
=12 000ln 2≈12 000×0.7
=8 400.
9.解　(1)当x∈[0，16]时，
设函数f(x)=b(x-12)2+84(b<0)，
因为f(16)=b(16-12)2+84=80，
所以b=-
所以f(x)=-(x-12)2+84；
当x∈[16，40]时，
f(x)=log0.8(x+a)+80，
由f(16)=log0.8(16+a)+80=80，解得a=-15，
所以f(x)=log0.8(x-15)+80，
综上，f(x)
=
(2)当x∈[0，16]时，
令f(x)=-(x-12)2+84≤68，
即(x-12)2≥64，
解得x≤4或x≥20(舍去)，
所以x∈[0，4]；
当x∈[16，40]时，
令f(x)=log0.8(x-15)+80≤68，
得x≥15+0.8-12≈29.6，
所以x∈[30，40]，
所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4-0+40-30=14(分钟).
10.解　(1)由图象可知，图象经过(4，8)，(8，12)两点，将两点坐标代入c1(t)=N0(1-2-kt)，
则
解得
所以c1(t)=16×(1-).
(2)由题意，可知有治疗效果的浓度在4到15之间，
所以浓度为15时为最迟停止注射时间，
由c1(t)=16×(1-)=15，
解得t=16，
浓度从15降到4为最长间隔时间，
故c2(t)=15×=4，
即=
等号两边同时取以2为底的对数，
则log2=log2
即-=log24-log215=2-
=2-
=2-
≈2-≈-1.93，
所以t≈1.93×4≈7.7，
所以开始第一次注射后，最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，
最多再隔7.7小时开始进行第二次注射.
11.D　[由题意可知2023年初的种群数量为t=0时的函数值k0·e1.4e，
故令y=k0·e1.4e-0.125t<10%·k0·e1.4e，
即e-0.125t<
则0.125t>ln 10，
∴t>=8ln 10≈8×2.3=18.4，
由于n∈N*，故n的最小值为19.]
12.BCD　[由表格得a+blg 1=120，所以a=120，
又因为120+blg 10-12=120-12b=0，得b=10，
所以LI=120+10lg I=10(12+lg I)=10lg(1012I)，A错误；
lg I=
则I=1=B正确；
当I=10-6时，L正常=120+10lg 10-6=60，C正确；
当LI=80时，IT=1=10-4，D正确.]§2.14　函数模型的应用
课标要求　1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
1.三种函数模型的性质
　　函数 性质 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xα (α>0)
在(0，+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与　　　　平行 随x的增大逐渐表现为与　　　　平行 随α值的变化而各有不同
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)=+b(k，b为常数，k≠0)
指数函数模型 f(x)=bax+c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)=blogax+c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)=axα+b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(　　)
(2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔.(　　)
(3)已知a>1，在(0，+∞)上，随着x的增大，y=ax的增长速度会超过并远远大于y=xa和y=logax的增长速度.(　　)
(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.(　　)
2.下列函数中，随着x的增长，y的增长速度最快的是(　　)
A.y=50 B.y=1 000x
C.y=2ln x D.y=ex
3.在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
x 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
y -2.0 -1.0 0 1.0 2.0 3.0
在下列四个函数模型(a，b∈R)中，最能反映x，y函数关系的是(　　)
A.y=a+bx B.y=a+bx
C.y=a+logbx D.y=a+
4.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)=-5t2+15t+20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为(　　)
A.26米 B.28米 C.31米 D.33米
(1)理解三个术语：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.
(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
(3)解题时，易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
题型一　用函数图象刻画变化过程
命题点1　函数的增长差异
例1　设f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x，当x∈(4，+∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢
B.g(x)的增长速度最快，h(x)的增长速度最慢
C.g(x)的增长速度最快，f(x)的增长速度最慢
D.f(x)的增长速度最快，g(x)的增长速度最慢
命题点2　用函数图象刻画变化过程
例2　(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是(　　)
A.首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用
B.每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒
C.首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用
D.首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒
思维升华　判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
跟踪训练1　为了能在规定时间T内完成预期的运输量Q0，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如图(四个选项)所示，其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选项是(　　)
题型二　已知函数模型的实际问题
例3　(1)2024年1月5日，第40届中国·哈尔滨国际冰雪节在哈尔滨冰雪大世界园区开幕，现场流光溢彩，游客如潮，充满热情与活力.该园区为了倡导绿色可循环的理念，配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t(小时)的关系为N=N0e-kt(N0为最初污染物数量).如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的(　　)
A.51.2% B.48.8%
C.52% D.48%
(2)在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度y(km/s)和燃料的质量x(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是y=4[ln(m+x)-ln(m)]+2ln 2，要使火箭的最大速度达到12 km/s，则燃料质量与火箭质量的比值是　　　　　.
思维升华　已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
跟踪训练2　(2024·本溪模拟)我国量子计算机“悟空”预计到2025年可以操控的超导量子比特达到1 024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3个超导量子比特共有8种叠加态，…，每增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若N=a×10k(1≤a<10，k∈N)，则称N为k+1位数，已知1 024个超导量子比特的叠加态的种数是一个m位的数，则m等于(参考数据：lg 2≈0.301)(　　)
A.308 B.309
C.1 023 D.1 024
题型三　构造函数模型的实际问题
例4　汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段(如图所示)，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：m/s)，且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到如表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9).
阶段 准备 人的反应 系统反应 制动
时间 t0 t1=0.8 s t2=0.2 s t3
距离 d0=30 m d1 d2 d3= m
(1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式；
(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90 m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？
思维升华　构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型.
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解.
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解.
跟踪训练3　“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为20 m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85%，若石片接触水面时的速度低于6 m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 17≈1.23)(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
答案精析
落实主干知识
1.y轴　x轴
自主诊断
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.D　3.C　4.C
探究核心题型
例1　B　[画出函数f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x的图象，如图所示，
结合图象，可得三个函数f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x中，
当x∈(4，+∞)时，函数g(x)=2x增长速度最快，h(x)=log2x增长速度最慢.
所以选项B正确.]
例2　ABC　[从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误.]
跟踪训练1　B　[由题意，运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快，选项B满足.]
例3　(1)B　[依题意有N0e-2k
=(1-20%)N0，
可得e-2k=0.8，
当t=6时，N0e-6k=N0=0.512N0=(1-48.8%)N0，
因此，前6个小时消除了污染物的48.8%.]
(2)e3-1
解析　根据题意，可得4[ln(m+x)-ln(m)]+2ln 2=12，
所以ln+ln 4=12，
即ln=ln e12，
可得=e12，
而1+>0，则1+=e3，
所以=e3-1，
即燃料质量与火箭质量的比值是e3-1.
跟踪训练2　B　[根据题意，得n个超导量子比特共有2n种叠加态，
所以当有1 024个超导量子比特时共有N=21 024(种)叠加态.
两边取以10为底的对数得lg N=lg 21 024=1 024lg 2≈1 024×0.301=308.224，
所以N≈10308.224=100.224×10308.
由于1<100.224<10，
故N是一个309位的数，
即m=309.]
例4　解　(1)根据题意，d=d0+d1+d2+d3=30+0.8v+0.2v+
=30+v+(0≤v≤33.3).
(2)根据题意，对任意的k∈[0.5，0.9]，d<90恒成立，即对任意的k∈[0.5，0.9]，30+v+<90恒成立.
易知当v=0时，满足题意；
当0由k∈[0.5，0.9]，得∈，
所以->，
即v2+10v-600<0，解得-30所以0综上，0≤v<20.
所以汽车的行驶速度应限制在20 m/s以下.
跟踪训练3　C　[设石片第n次接触水面时的速度为vn，
则vn=20×0.85n-1，
由题意得20×0.85n-1≥6，
即0.85n-1≥0.3，
得n-1≤log0.850.3，
又log0.850.3====≈7.4，
所以n≤8.4，故这次“打水漂”石片的弹跳次数为8.](共69张PPT)
第二章
§2.14　函数模型的应用
数学
大
一
轮
复
习
1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.
2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.
3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.三种函数模型的性质
函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xα(α>0)
在(0,＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与 平行 随x的增大逐渐表现为与 平行 随α值的变化而各有不同
y轴
x轴
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数,a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k,b为常数,k≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(　　)
(2)A公司员工甲购买了某公司的股票,第一天涨了10%,第二天跌了10%,则员工甲不赚不赔.(　　)
(3)已知a>1,在(0,＋∞)上,随着x的增大,y＝ax的增长速度会超过并远远大于y＝xa和y＝logax的增长速度.(　　)
(4)在选择函数模型解决实际问题时,必须使所有的数据完全符合该函数模型.(　　)
×
×
√
×
2.下列函数中,随着x的增长,y的增长速度最快的是
A.y＝50 B.y＝1 000x
C.y＝2ln x D.y＝ex
√
依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知随着x的增长,
y＝ex的增长速度最快.
3.在一次数学实验中,某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
x 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
y －2.0 －1.0 0 1.0 2.0 3.0
在下列四个函数模型(a,b∈R)中,最能反映x,y函数关系的是
A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx
C.y＝a＋logbx D.y＝a＋
√
作出散点图如图所示,由散点图可知,散点图和对数函数图象接近,可选择y＝a＋logbx反映x,y函数关系.
4.我国的烟花名目繁多,其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20,那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为
A.26米 B.28米 C.31米 D.33米
√
h(t)＝－5t2＋15t＋20＝－5h(t)max＝h≈31.
(1)理解三个术语：“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.
(2)充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
(3)解题时,易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　设f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x,当x∈(4,＋∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论正确的是
A.f(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢
B.g(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢
C.g(x)的增长速度最快,f(x)的增长速度最慢
D.f(x)的增长速度最快,g(x)的增长速度最慢
√
用函数图象刻画变化过程
题型一
命题点1　函数的增长差异
画出函数f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x的图象,如图所示,
结合图象,可得三个函数f(x)＝x2,g(x)＝2x,h(x)＝log2x中,
当x∈(4,＋∞)时,函数g(x)＝2x增长速度最快,
h(x)＝log2x增长速度最慢.
所以选项B正确.
例2　(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息,下列关于成人服用该药物
的说法中,正确的是
A.首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥
治疗作用
B.每次服用1单位该药物,两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒
C.首次服用1单位该药物,约5.5小时后第二次服用1单位该药物,可使药物持续发
挥治疗作用
D.首次服用1单位该药物,3小时后再次服用1单位该药物,不会发生药物中毒
命题点2　用函数图象刻画变化过程
√
√
√
从图象中可以看出,首次服用1单位该药物,
约10分钟后药物发挥治疗作用,A正确；
根据图象可知,首次服用1单位该药物,约1
小时后血药浓度达到最大值,由图象可知,当两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒,B正确；
服药5.5小时时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,C正确；
首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,D错误.
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选择函数图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合函数图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
思维升华
跟踪训练1　为了能在规定时间T内完成预期的运输量Q0,某运输公司提出了四种运输方案,每种方案的运输量Q与时间t的关系如图(四个选项)所示,其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选项是
由题意,运输效率逐步提高,即函数增长速率逐渐加快,选项B满足.
√
例3　(1)2024年1月5日,第40届中国·哈尔滨国际冰雪节在哈尔滨冰雪大世界园区开幕,现场流光溢彩,游客如潮,充满热情与活力.该园区为了倡导绿色可循环的理念,配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t(小时)的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量).如果前2个小时消除了20%的污染物,那么前6个小时消除了污染物的
A.51.2% B.48.8% C.52% D.48%
已知函数模型的实际问题
题型二
√
依题意有N0e－2k＝(1－20%)N0,
可得e－2k＝0.8,
当t＝6时,N0e－6k＝N0＝0.512N0＝(1－48.8%)N0,
因此,前6个小时消除了污染物的48.8%.
(2)在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度y(km/s)和燃料的质量x(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是y＝4[ln(m＋x)－ln(m)]＋2ln 2,要使火箭的最大速度达到12 km/s,则燃料质量与火箭质量的比值是　　　.
e3－1
根据题意,可得4[ln(m＋x)－ln(m)]＋2ln 2＝12,
所以ln＋ln 4＝12,
即ln＝ln e12,
可得＝e12,
而1＋>0,则1＋＝e3,
所以＝e3－1,
即燃料质量与火箭质量的比值是e3－1.
已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
思维升华
跟踪训练2　(2024·本溪模拟)我国量子计算机“悟空”预计到2025年可以操控的超导量子比特达到1 024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态,2个超导量子比特共有4种叠加态,3个超导量子比特共有8种叠加态,…,每增加1个超导量子比特,其叠加态的种数就增加一倍.若N＝a×10k(1≤a<10, k∈N),则称N为k＋1位数,已知1 024个超导量子比特的叠加态的种数是一个m位的数,则m等于(参考数据：lg 2≈0.301)
A.308 B.309 C.1 023 D.1 024
√
根据题意,得n个超导量子比特共有2n种叠加态,
所以当有1 024个超导量子比特时共有N＝21 024(种)叠加态.
两边取以10为底的对数得lg N＝lg 21 024＝1 024lg 2≈1 024×0.301＝308.224,
所以N≈10308.224＝100.224×10308.
由于1<100.224<10,
故N是一个309位的数,即m＝309.
例4　汽车智能辅助驾驶已开始得到应用,其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离,当此距离等于报警距离时就开启报警提醒,等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段(如图所示),分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3,相应的距离分别为d0,d1,d2,d3,当车速为v(单位：m/s),且0≤v≤33.3时,通过
大数据统计分析得到如表(其中系数k随地面湿滑程度
等路面情况而变化,且0.5≤k≤0.9).
构造函数模型的实际问题
题型三
阶段 准备 人的反应 系统反应 制动
时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3
距离 d0＝30 m d1 d2 d3＝ m
(1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式；
阶段 准备 人的反应 系统反应 制动
时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3
距离 d0＝30 m d1 d2 d3＝ m
根据题意,
d＝d0＋d1＋d2＋d3＝30＋0.8v＋0.2v＋＝30＋v＋(0≤v≤33.3).
(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶,报警距离均小于90 m,则汽车的行驶速度应限制在多少以下？
阶段 准备 人的反应 系统反应 制动
时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3
距离 d0＝30 m d1 d2 d3＝ m
根据题意,对任意的k∈[0.5,0.9],d<90恒成立,
即对任意的k∈[0.5,0.9],30＋v＋<90恒成立.
易知当v＝0时,满足题意；
当0由k∈[0.5,0.9],得∈
所以>即v2＋10v－600<0,解得－30综上,0≤v<20.
所以汽车的行驶速度应限制在20 m/s以下.
构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型.
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解.
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,然后返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解.
思维升华
跟踪训练3　“打水漂”是一种游戏,通过一定方式投掷石片,使石片在水面上实现多次弹跳,弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时,将一石片按一定方式投掷出去,石片第一次接触水面时的速度为20 m/s,然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素,假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85%,若石片接触水面时的速度低于6 m/s,石片就不再弹跳,沉入水底,则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：lg 2≈0.3,lg 3≈0.48,lg 17≈1.23)
A.6 B.7 C.8 D.9
√
设石片第n次接触水面时的速度为vn,
则vn＝20×0.85n－1,
由题意得20×0.85n－1≥6,即0.85n－1≥0.3,
得n－1≤log0.850.3,
又log0.850.3＝≈7.4,
所以n≤8.4,故这次“打水漂”石片的弹跳次数为8.
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课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D C C B BD ACD y=x·ln x
题号 8 11 　12
答案 8 400 D BCD
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)当x∈[0，16]时，
设函数f(x)=b(x-12)2+84(b<0)，
因为f(16)=b(16-12)2+84=80，
所以b=-
所以f(x)=-(x-12)2+84；
当x∈[16，40]时，f(x)=log0.8(x+a)+80，
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由f(16)=log0.8(16+a)+80=80，解得a=-15，
所以f(x)=log0.8(x-15)+80，
综上，f(x)=
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)当x∈[0，16]时，
令f(x)=-(x-12)2+84≤68，即(x-12)2≥64，
解得x≤4或x≥20(舍去)，所以x∈[0，4]；
当x∈[16，40]时，令f(x)=log0.8(x-15)+80≤68，
得x≥15+0.8-12≈29.6，所以x∈[30，40]，
所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4-0+40-30=14(分钟).
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)由图象可知，图象经过(4，8)，(8，12)两点，将两点坐标代入c1(t)=N0(1-2-kt)，
则
解得
所以c1(t)=16×(1-).
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)由题意，可知有治疗效果的浓度在4到15之间，
所以浓度为15时为最迟停止注射时间，
由c1(t)=16×(1-)=15，解得t=16，
浓度从15降到4为最长间隔时间，
故c2(t)=15×=4，即=
等号两边同时取以2为底的对数，
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
则log2=log2
即-=log24-log215=2-=2-=2-≈2-≈-1.93，
所以t≈1.93×4≈7.7，
所以开始第一次注射后，最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，
最多再隔7.7小时开始进行第二次注射.
10.
一、单项选择题
1.已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2,f2(x)＝f3(x)＝log2x,f4(x)＝2x,如果运动时间足够长,则运动在最前面的物体一定是
A.a B.b C.c D.d
√
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3
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12
知识过关
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
在运动时间足够长时,指数函数f4(x)＝2x的增长速度大于二次函数f1(x)＝x2的增长速度,大于幂函数f2(x)＝的增长速度,大于对数函数f3(x)＝log2x的增长速度,所以运动在最前面的物体一定是d.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
2.一组实验数据及对应散点图如图所示,则体现这些数据关系的最佳函数模型是
x 10 20 29 41 50 58 70
y 1 2 3.8 7.4 11 15 21.8
A.y＝Alogax＋p B.y＝A·ax＋p
C.y＝ax2＋bx＋c D.y＝kx＋b
√
1
2
3
4
5
6
7
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11
12
答案
由散点图中各点的变化趋势：非线性、且在第一象限内单调递增,对于Δxi＝xi＋1－xi,Δyi＝yi＋1－yi,i∈{1,2,3,4,5,6},由题意可得
可知近似于线性,所以适合二次函数模型.
x 10 20 29 41 50 58
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.57
3.输血是外伤人员救治的重要手段,血液质量对提高救治成功率极为关键.血液质量的主要评判指标是血液中ATP含量.已知血液中ATP浓度S(单位：μmol/gHb)随温度λ(单位：℃)、时间t(单位：天)、及起始浓度S0变化的近似函数关系式为S＝S0t1.08λe－1.30λ(e为自然对数的底数,e≈2.718 28).由此可知,当血液在20℃恒温条件下,保存5天后的ATP浓度大约相当于血液在4℃恒温条件下保存　　　　天后的ATP浓度(参考数据：ln 5≈1.6)
A.16 B.20 C.25 D.30
√
1
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12
答案
1
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7
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11
12
设所求为t天,由题意得S0×51.08×20e－1.30×20＝S0×t1.08×4e－1.30×4,
解得t4.32＝
取对数为ln t＝≈3.2≈2ln 5＝ln 25,所以t≈25.
答案
4.(2025·宜宾模拟)根据调查统计,某市未来新能源汽车保有量基本满足模
型y＝其中y(单位：万辆)为第x年年底新能源汽车的保有量,p
为年增长率,N为饱和度,y0为初始值.若2023年年底该市新能源汽车的保有量是20万辆,以此为初始值,以后每年的增长率为12%,饱和度为1 300万辆,那么2033年年底该市新能源汽车的保有量约为(结果四舍五入保留整数,参考数据：ln 0.887≈－0.12,ln 0.30≈－1.2)
A.65万辆 B.64万辆
C.63万辆 D.62万辆
√
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12
答案
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8
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11
12
根据题中所给模型,代入有关数据,
则2033年年底该市新能源汽车的保有量为y＝
因为ln 0.30≈－1.2,所以e－1.2≈0.30,
所以y＝≈≈64,
所以2033年年底该市新能源汽车的保有量约为64万辆.
答案
二、多项选择题
5.已知函数y1＝x2,y2＝2x,y3＝x,则下列关于这三个函数的描述中,正确的是
A.在[0,＋∞)上,随着x的逐渐增大,y1的增长速度越来越快于y2
B.在[0,＋∞)上,随着x的逐渐增大,y2的增长速度越来越快于y1
C.当x∈(0,＋∞)时,y1的增长速度一直快于y3
D.当x∈(0,＋∞)时,y1的增长速度有时快于y2
√
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12
答案
√
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11
12
答案
在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝x2,y2＝2x,y3＝x的
图象,如图所示.
对于A,B,在[0,＋∞)上,随着x的逐渐增大,y2的增长速度越
来越快于y1,故A错误,B正确；
对于C,当x∈(0,＋∞)时,y1的增长速度不是一直快于y3的,故C错误；
对于D,当x∈(0,＋∞)时,y1的增长速度有时快于y2,故D正确.
6.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修排气扇恢复正常,排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm,继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：ppm)与排气时间t(单位：分钟)之间满足函数关系y＝aeRt(a,R为常数,e是自然对数的底数).若空气中一氧化碳浓度不高于
0.5 ppm,人就可以安全进入车库了,则下列说法正确的是
A.a＝128 B.R＝ln 2
C.排气12分钟后浓度为16 ppm D.排气32分钟后,人可以安全进入车库
√
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12
答案
√
√
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9
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11
12
设f(t)＝aeRt,由题意得解得A正确,B错误；
此时f(t)＝128＝27·所以f(12)＝24＝16(ppm),C正确；
当f(t)≤0.5时≤0.5＝2－1,得7－≤－1,所以t≥32,所以排气32分钟后,人可以安全进入车库,D正确.
答案
三、填空题
7.函数y＝x与函数y＝x·ln x在区间(4,＋∞)上增长较快的一个是　　 　　.
1
2
3
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5
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12
答案
y＝x·ln x
当x∈(4,＋∞)时,x·ln x－x＝x(ln x－1)>x(ln 4－1)>0,所以函数y＝x·ln x在区间(4,＋∞)上增长较函数y＝x快.
8.表观活化能的概念最早是针对阿伦尼乌斯公式k＝A中的参量Ea提出的,是通过实验数据求得,又叫实验活化能,公式中的k为反应速率常数,R为摩尔气体常量,T为热力学温度(单位为开尔文,简称开),A(A>0)为阿伦尼乌斯常数.已知某化学反应的温度每增加10开,反应速率常数k变为原来的2倍,则当温度从300开上升到400开时,估计的值为　　　 .(结果精确到百位,参考数据：ln 2≈0.7)
1
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答案
8 400
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6
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12
根据题意,温度每增加10开,反应速率常数k变为原来的2倍,则当温度从300开上升到400开时,反应速率常数k变为300开时的210倍,
由k＝A当T＝300开时,k1＝A
当T＝400开时,k2＝A
所以＝210,即＝210,＝210＝10ln 2,
＝12 000ln 2≈12 000×0.7＝8 400.
答案
四、解答题
9.研究表明：在一节40分钟的网课中,学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示,当x∈[0,16]时,曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16,40]时,曲线是函数y＝log0.8(x＋a)＋80图象的一部分,当学生的注意力指数不高于68时,称学生处于“欠佳听课状态”.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
1
2
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答案
1
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12
答案
当x∈[0,16]时,设函数f(x)＝b(x－12)2＋84(b<0),
因为f(16)＝b(16－12)2＋84＝80,
所以b＝－所以f(x)＝－(x－12)2＋84；
当x∈[16,40]时,f(x)＝log0.8(x＋a)＋80,
由f(16)＝log0.8(16＋a)＋80＝80,解得a＝－15,
所以f(x)＝log0.8(x－15)＋80,
综上,f(x)＝
(2)在一节40分钟的网课中,学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：0.8－12≈14.6,精确到1分钟)
1
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答案
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答案
当x∈[0,16]时,
令f(x)＝－(x－12)2＋84≤68,
即(x－12)2≥64,解得x≤4或x≥20(舍去),
所以x∈[0,4]；
当x∈[16,40]时,令f(x)＝log0.8(x－15)＋80≤68,
得x≥15＋0.8－12≈29.6,所以x∈[30,40],
所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4－0＋40－30＝14(分钟).
10.用打点滴的方式治疗“支原体感染”病患时,第一次注射的血药浓度(血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度)随时间变化的函数符合c1(t)＝N0(1－2－kt),其函数图象如图所示,其中N0为与环境相关的常数,此种药物在人体内有治疗效果的浓度在4到15之间,当
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答案
达到上限浓度时,必须马上停止注射,之后血药浓度随时间变化的函数符合c2(t)＝c·2－kt,其中c为停药时的人体血药浓度.
(1)求出函数c1(t)的解析式；
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答案
由图象可知,图象经过(4,8),(8,12)两点,将两点坐标代入c1(t)＝N0(1－2－kt),
则
解得
所以c1(t)＝16×(1－).
(2)一病患开始第一次注射后,最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果,最多再隔多长时间开始进行第二次注射？(如果计算结果不是整数,保留小数点后一位,参考数据：lg 3≈0.48,lg 2≈0.30)
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答案
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答案
由题意,可知有治疗效果的浓度在4到15之间,
所以浓度为15时为最迟停止注射时间,
由c1(t)＝16×(1－)＝15,解得t＝16,
浓度从15降到4为最长间隔时间,
故c2(t)＝15×＝4,即
等号两边同时取以2为底的对数,
则log2＝log2
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答案
即－＝log24－log215＝2－
＝2－＝2－
≈2－≈－1.93,
所以t≈1.93×4≈7.7,
所以开始第一次注射后,最迟隔16小时停止注射,为保证治疗效果,
最多再隔7.7小时开始进行第二次注射.
11.已知某物种t年后的种群数量y近似满足函数模型y＝k0·e1.4e－0.125t(k0>0,当t＝0时表示2023年初的种群数量).自2023年初起,经过n年后(n∈N*),当该物种的种群数量不足2023年初的10%时,n的最小值为(参考数据：ln 10≈ 2.3)
A.16 B.17 C.18 D.19
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答案
能力拓展
√
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答案
由题意可知2023年初的种群数量为t＝0时的函数值k0·e1.4e,
故令y＝k0·e1.4e－0.125t<10%·k0·e1.4e,
即e－0.125t<
则0.125t>ln 10,
∴t>＝8ln 10≈8×2.3＝18.4,
由于n∈N*,故n的最小值为19.
12.(多选)(2024·长春模拟)声强级LI(单位：dB)由公式LI＝a＋blg I给出,其中I为声强(单位：W/m2),相应不同声的声强级如表所示,则
I(W/m2) LI(dB)
正常人能忍受的最高声强 1 120
正常人能听到的最低声强 10－12 0
正常人交谈时的声强 10－6 L正常
某人谈话声强 IT 80
A.LI＝10lg B.I＝
C.L正常＝60 D.IT＝10－4
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答案
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答案
由表格得a＋blg 1＝120,所以a＝120,
又因为120＋blg 10－12＝120－12b＝0,得b＝10,
所以LI＝120＋10lg I＝10(12＋lg I)＝10lg(1012I),A错误；
lg I＝
则I＝1B正确；
当I＝10－6时,L正常＝120＋10lg 10－6＝60,C正确；
当LI＝80时,IT＝1＝10－4,D正确.
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