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必刷小题2　函数的概念与性质
分值：73分
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.函数y=的定义域是(　　)
A.[-3，+∞) B.[-3，0)∪(0，+∞)
C.(-3，+∞) D.(0，+∞)
2.下列函数中，其图象与函数f(x)=2x的图象关于原点对称的是(　　)
A.y=-2x B.y=2-x
C.y=log2x D.y=-2-x
3.已知函数f(x)=若f(m)=2，则m等于(　　)
A.8 B.7 C.2 D.0.5
4.若函数f(x)=是奇函数，则g(-2)等于(　　)
A.1 B.-1 C.- D.
5.已知函数y=f(x)在R上是奇函数，当x>0时，f(x)=2x-2，则不等式xf(x)>0的解集是(　　)
A.(-1，1)
B.(-1，0)∪(0，1)
C.(-∞，-1)∪(1，+∞)
D.(-∞，-3)∪(-1，1)∪(3，+∞)
6.四参数方程的拟合函数表达式为y=+d(x>0)，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个类似递增(或递减)的指数或对数曲线，或双曲线(如y=x-1)，还可以是一条S形曲线，当a=4，b=-1，c=1，d=1时，该拟合函数图象是(　　)
A.类似递增的双曲线
B.类似递增的对数曲线
C.类似递减的指数曲线
D.一条S形曲线
7.已知函数f(x)的定义域为R，f(x-1)是偶函数，f(x+2)是奇函数，则f(2 025)等于(　　)
A.f(1) B.f(2) C.f(3) D.f(4)
8.已知函数f(x)=-则关于t的不等式f(ln t)+2f >0的解集为(　　)
A.(0，+∞) B.
C.(0，1) D.(1，+∞)
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.下列函数中满足“对任意x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有>0”的是(　　)
A.f(x)=- B.f(x)=
C.f(x)=lg x D.f(x)=x
10.(2025·南通模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=xf(y)+yf(x)，则(　　)
A.f(1)=1
B.f(x)是奇函数
C.若f(2)=2，则f =-
D.若当x>1时，f(x)<0，则g(x)=在(0，+∞)上单调递减
11.(2024·池州模拟)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，其中f(x)的图象关于点(1，1)对称，g(x)的图象关于直线x=2对称，f(x)-g(2+x)=4，g(2)=3，则(　　)
A.f(-x)+f(x)=0 B.f(2 024)=7
C.g(2 024)=-1 D. f(k)=2 024
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则f(-2)，f(3)，f(-π)的从小到大的顺序为　　　　.
13.已知函数f(x)=不是单调函数，则实数a的取值范围是　　　　　　　.
14.(2024·银川模拟)已知偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称，f(2)=2，且对任意x1，x2∈[0，1]，均有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)成立，若f(7)+f +f+…+f 答案精析
1.B　2.D　3.A
4.B　[由于函数f(x)=是奇函数，
故当x<0时，-x>0，则f(x)=g(x)=-f(-x)=-2-x+3，
故g(-2)=-22+3=-1.]
5.C　[由题意知函数y=f(x)在R上是奇函数，
当x>0时，f(x)=2x-2，
所以当x=0时，f(x)=0，
当x<0时，-x>0，f(x)=-f(-x)
=-(2-x-2)=2-2-x，
当x≥0时，若xf(x)>0，
只需x>0，f(x)=2x-2>0，
解得x>1，
当x<0时，若xf(x)>0，
只需f(x)=2-2-x<0，解得x<-1，
综上所述，不等式xf(x)>0的解集是(-∞，-1)∪(1，+∞).]
6.A　[依题意可得拟合函数为y=+1(x>0)，
即y=+1=+1
=+4(x>0)，
由y=(x>1)向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到y=+4(x>0)，
因为y=在(1，+∞)上单调递增，
所以拟合函数图象是类似递增的双曲线.]
7.A　[函数f(x)的定义域为R，
由f(x-1)是偶函数，得f(-x-1)=f(x-1)，
由f(x+2)是奇函数，得f(-x+2)=-f(x+2)，
即f(-x-1)=-f(x+5)，
于是f(x-1)=-f(x+5)，
即f(x+6)=-f(x)，f(x+12)=-f(x+6)=f(x)，
因此函数f(x)的一个周期是12，
所以f(2 025)=f(168×12+9)
=f(9)=-f(3)=f(1).]
8.D　[f(-x)=-=-，则f(-x)+f(x)=-+-=1-1=0，
由ln t+ln =ln t-ln t=0，
故f(ln t)+f=0，
故f(ln t)+2f =f，
易知f(x)在R上单调递减，
又f(0)=-=0，
故f(ln t)+2f >0可转化为f >f(0)，则有ln <0，
即0<<1，
即t>1，故t∈(1，+∞).]
9.ACD　[因为对任意x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有>0，
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，
对于A，根据反比例函数性质可知f(x)=-在(0，+∞)上单调递增，符合题意；
对于B，根据指数函数的性质可知，f(x)=在(0，+∞)上单调递减，不符合题意；
对于C，根据对数函数的性质可知f(x)=lg x在(0，+∞)上单调递增，符合题意；
对于D，根据一次函数的性质可知，f(x)=x在(0，+∞)上单调递增，符合题意.]
10.BCD　[对于A，当x=y=1时，f(1)=f(1)+f(1)，∴f(1)=0，A错；
对于B，当x=y=-1时，f(1)=-f(-1)-f(-1)，∴f(-1)=0，令y=-1，则f(-x)=xf(-1)-f(x)=-f(x)，f(x)为奇函数，B正确；
对于C，当x=2，y=时，
f(1)=2f +f(2)，
∴f =-，C正确；
对于D，当xy≠0时，=+，∴g(xy)=g(x)+g(y)，当01，g<0，∴g(x2)-g(x1)<0，即g(x2)∴g(x)在(0，+∞)上单调递减，D正确.]
11.BD　[由题意知f(x)-4=g(2+x)，g(2+x)=g(2-x)，所以f(x)-4=f(-x)-4，所以f(x)=f(-x)，所以A错误；
又由f(0)=4+g(2)=7，因为f(x)的图象关于点(1，1)对称，所以f(x+2)+f(-x)=2，所以f(x+4)+f(-x-2)=2，又因为f(x+2)=f(-x-2)，所以f(x+4)=f(-x)=f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(2 024)=f(0)=7，所以B正确；
由g(2 024)=f(2 022)-4=f(2)-4=2-f(0)-4=2-7-4=-9，所以C错误；
因为f(1)=1，f(2)=2-f(0)=2-7=-5，f(3)=f(-1)=f(1)=1，f(4)=f(0)=7，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4，
所以f(k)=2 024，所以D正确.]
12.f(-2)解析　因为函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，
所以f(-2)=f(2)13.
解析　当x≥a时，f(x)=x2-2(1-a)x+a2的对称轴为x=-=1-a，
令1-a>a，此时a<，满足要求；
令
解得≤a<，
综上，实数a的取值范围是
.
14.5
解析　因为函数f(x)的图象关于直线x=0和x=2对称，
所以f(x)=f(4-x)=f(x-4)，
所以其周期T=4，
在f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)中，令x1=x2=1得，f(2)=2f(1)，
又f(2)=2，解得f(1)=1，
同理可得f =，f =，
所以f(7)=f(3)=f(1)=1，
f =f =，
f =f
=f(1)+f
=f(1)+f +f =，
即f =f +f =，解得f=，
依此类推，可得当n≥2时，
f =，
所以f(7)+f +f +…+f =1++=5-，
又f(7)+f +f +…+f 故t≥5.(共28张PPT)
第二章
必刷小题2　函数的概念
与性质
数学
大
一
轮
复
习
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A B C A A D
题号 9 10 11 12 13 14
答案 ACD BCD BD f(-2)一、单项选择题
1.函数y＝的定义域是
A.[－3,＋∞) B.[－3,0)∪(0,＋∞)
C.(－3,＋∞) D.(0,＋∞)
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答案
依题意解得x≥－3且x≠0,所以函数y＝的定义域是
[－3,0)∪(0,＋∞).
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答案
2.下列函数中,其图象与函数f(x)＝2x的图象关于原点对称的是
A.y＝－2x B.y＝2－x
C.y＝log2x D.y＝－2－x
√
与函数f(x)＝2x的图象关于原点对称的是y＝－f(－x)＝－2－x的图象.
3.已知函数f(x)＝若f(m)＝2,则m等于
A.8 B.7 C.2 D.0.5
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当01,即log3(m＋1)＝2,所以m＋1＝32＝9,所以m＝8>1,满足题意.
答案
4.若函数f(x)＝是奇函数,则g(－2)等于
A.1 B.－1 C.－ D.
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由于函数f(x)＝是奇函数,
故当x<0时,－x>0,
则f(x)＝g(x)＝－f(－x)＝－2－x＋3,
故g(－2)＝－22＋3＝－1.
答案
5.已知函数y＝f(x)在R上是奇函数,当x>0时,f(x)＝2x－2,则不等式xf(x)>0的解集是
A.(－1,1)
B.(－1,0)∪(0,1)
C.(－∞,－1)∪(1,＋∞)
D.(－∞,－3)∪(－1,1)∪(3,＋∞)
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由题意知函数y＝f(x)在R上是奇函数,
当x>0时,f(x)＝2x－2,
所以当x＝0时,f(x)＝0,
当x<0时,－x>0,f(x)＝－f(－x)＝－(2－x－2)＝2－2－x,
当x≥0时,若xf(x)>0,
只需x>0,f(x)＝2x－2>0,解得x>1,
当x<0时,若xf(x)>0,
只需f(x)＝2－2－x<0,解得x<－1,
综上所述,不等式xf(x)>0的解集是(－∞,－1)∪(1,＋∞).
答案
6.四参数方程的拟合函数表达式为y＝＋d(x>0),常用于竞争系统和免疫检测,它的图象是一个类似递增(或递减)的指数或对数曲线,或双曲线(如y＝x－1),还可以是一条S形曲线,当a＝4,b＝－1,c＝1,d＝1时,该拟合函数图象是
A.类似递增的双曲线
B.类似递增的对数曲线
C.类似递减的指数曲线
D.一条S形曲线
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依题意可得拟合函数为y＝＋1(x>0),
即y＝＋1＝＋1＝＋4(x>0),
由y＝(x>1)向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度得到y＝＋4(x>0),
因为y＝在(1,＋∞)上单调递增,
所以拟合函数图象是类似递增的双曲线.
答案
7.已知函数f(x)的定义域为R,f(x－1)是偶函数,f(x＋2)是奇函数,则f(2 025)
等于
A.f(1) B.f(2) C.f(3) D.f(4)
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答案
函数f(x)的定义域为R,
由f(x－1)是偶函数,得f(－x－1)＝f(x－1),
由f(x＋2)是奇函数,得f(－x＋2)＝－f(x＋2),
即f(－x－1)＝－f(x＋5),
于是f(x－1)＝－f(x＋5),
即f(x＋6)＝－f(x),f(x＋12)＝－f(x＋6)＝f(x),
因此函数f(x)的一个周期是12,
所以f(2 025)＝f(168×12＋9)＝f(9)＝－f(3)＝f(1).
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8.已知函数f(x)＝则关于t的不等式f(ln t)＋2f>0的解集为
A.(0,＋∞) B.
C.(0,1) D.(1,＋∞)
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f(－x)＝
则f(－x)＋f(x)＝＝1－1＝0,
由ln t＋ln ＝ln t－ln t＝0,
故f(ln t)＋f＝0,
故f(ln t)＋2f＝f
答案
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易知f(x)在R上单调递减,
又f(0)＝＝0,
故f(ln t)＋2f>0可转化为f>f(0),则有ln <0,即0<<1,
即t>1,故t∈(1,＋∞).
答案
二、多项选择题
9.下列函数中满足“对任意x1,x2∈(0,＋∞),且x1≠x2,都有>0”的是
A.f(x)＝－ B.f(x)＝
C.f(x)＝lg x D.f(x)＝x
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答案
因为对任意x1,x2∈(0,＋∞),且x1≠x2,都有>0,
所以f(x)在(0,＋∞)上单调递增,
对于A,根据反比例函数性质可知f(x)＝－在(0,＋∞)上单调递增,符合题意；
对于B,根据指数函数的性质可知,f(x)＝在(0,＋∞)上单调递减,不符合题意；
对于C,根据对数函数的性质可知f(x)＝lg x在(0,＋∞)上单调递增,符合题意；
对于D,根据一次函数的性质可知,f(x)＝x在(0,＋∞)上单调递增,符合题意.
10.(2025·南通模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)＝xf(y)＋yf(x),则
A.f(1)＝1
B.f(x)是奇函数
C.若f(2)＝2,则f＝－
D.若当x>1时,f(x)<0,则g(x)＝在(0,＋∞)上单调递减
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对于A,当x＝y＝1时,f(1)＝f(1)＋f(1),∴f(1)＝0,A错；
对于B,当x＝y＝－1时,f(1)＝－f(－1)－f(－1),∴f(－1)＝0,令y＝－1,则f(－x)＝xf(－1)－f(x)＝－f(x),f(x)为奇函数,B正确；
对于C,当x＝2,y＝时,f(1)＝2ff(2),∴f＝－C正确；
对于D,当xy≠0时∴g(xy)＝g(x)＋g(y),当01, g<0,∴g(x2)－g(x1)<0,即g(x2)答案
11.(2024·池州模拟)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,其中f(x)的图象关于点(1,1)对称,g(x)的图象关于直线x＝2对称,f(x)－g(2＋x)＝4,g(2)＝3,则
A.f(－x)＋f(x)＝0 B.f(2 024)＝7
C.g(2 024)＝－1 D.f(k)＝2 024
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由题意知f(x)－4＝g(2＋x),g(2＋x)＝g(2－x),所以f(x)－4＝f(－x)－4,所以f(x)＝f(－x),所以A错误；
又由f(0)＝4＋g(2)＝7,因为f(x)的图象关于点(1,1)对称,所以f(x＋2)＋f(－x)＝2,所以f(x＋4)＋f(－x－2)＝2,又因为f(x＋2)＝f(－x－2),所以f(x＋4)＝f(－x)＝f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(2 024)＝f(0)＝7,所以B正确；
由g(2 024)＝f(2 022)－4＝f(2)－4＝2－f(0)－4＝2－7－4＝－9,所以C错误；
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答案
因为f(1)＝1,f(2)＝2－f(0)＝2－7＝－5,f(3)＝f(－1)＝f(1)＝1,f(4)＝f(0)＝7,
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4,所以f(k)＝2 024,所以D正确.
三、填空题
12.已知函数f(x)是R上的偶函数,且在(0,＋∞)上单调递增,则f(－2),f(3),f(－π)的从小到大的顺序为　　　 　.
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答案
f(－2)因为函数f(x)是R上的偶函数,且在(0,＋∞)上单调递增,所以f(－2)＝f(2)< f(3)13.已知函数f(x)＝不是单调函数,则实数a的取
值范围是　　　　　　　.
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答案
当x≥a时,f(x)＝x2－2(1－a)x＋a2的对称轴为x＝－＝1－a,
令1－a>a,此时a<满足要求；
令解得≤a<
综上,实数a的取值范围是.
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答案
14.(2024·银川模拟)已知偶函数f(x)的图象关于直线x＝2对称,f(2)＝2,且对任意x1,x2∈[0,1],均有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)成立,若f(7)＋f＋f＋…＋f1
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答案
因为函数f(x)的图象关于直线x＝0和x＝2对称,所以f(x)＝f(4－x)＝f(x－4),
所以其周期T＝4,
在f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)中,令x1＝x2＝1得,f(2)＝2f(1),
又f(2)＝2,解得f(1)＝1,
同理可得ff
所以f(7)＝f(3)＝f(1)＝1,
f＝f
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答案
f＝f＝f(1)＋f＝f(1)＋f＋f
即f＝f＋f解得f
依此类推,可得当n≥2时,f
所以f(7)＋f＋f＋…＋f＝1＋＝5－
又f(7)＋f＋f＋…＋f

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