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必刷小题3　基本初等函数
分值：73分
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.log23·log34-10lg 3等于(　　)
A.2 B.1 C.-1 D.0
2.若指数函数f(x)经过点(2，4)，则它的反函数g(x)的解析式为(　　)
A.g(x)=log2x B.g(x)=log0.5x
C.g(x)=2x D.g(x)=x2
3.当a>1时，f(x)=a|x-2|+5的图象恒过点(　　)
A.(2，5) B.(3，5) C.(2，6) D.(3，6)
4.已知函数f(x)=log2(x2-ax+6)在(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　)
A.[4，5] B.[4，5)
C.(-∞，4) D.(-∞，4]∪[5，+∞)
5.已知a=e0.1，b=1-2lg 2，c=2-log310，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.b>c>a B.a>b>c
C.a>c>b D.b>a>c
6.设的小数部分为x，则x3+6x2+12x等于(　　)
A.1 B. C.2 D.
7.研究发现，X射线放射仪在使用时，其发射器发出的射线强度I0、接收器探测的射线强度I与射线穿透的介质厚度d(单位：毫米)满足关系式I=I0e-kd，其中正实数k为该种介质的吸收常数.工作人员在测试某X射线放射仪时，向发射器与接收器之间插入了厚5毫米的金属板，发现接收器探测到的射线强度比插入金属板前下降了90%.若接收器探测到的射线强度比插入金属板前下降99%，则发射器与接收器之间插入的金属板的厚度为(　　)
A.5.5毫米 B.9毫米
C.7.5毫米 D.10毫米
8.已知定义在R上的函数f(x)=x2-2tx+1在(-∞，1]上单调递减，且对任意的x1，x2∈[0，t+1]，总有|f(x1)-f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是(　　)
A.[1] B.[-1，1]
C.[0，1] D.[1，3]
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.下列计算正确的是(　　)
A.log35·log53=1
B.=2x2y(x<0，y<0)
C.lo5=log325
D.+log32·log29=5
10.若logab<0，则函数f(x)=ax+b与g(x)=logb(a-x)在同一坐标系内的大致图象可能是(　　)
A　　　　　　　　 B
C　　　　　　　　 D
11.已知a>1，b>1=2a=log2b，则以下结论正确的是(　　)
A.a+2a=b+log2b B.+=1
C.a-< D.a+b>4
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.已知幂函数y=(m2-m+1)xm+1的图象关于y轴对称，则m=　　　　　　.
13.依据正整数的十进制数码定义它的位数，比如，25是一个2位数，100是一个3位数，实数a∈(0，+∞)，k∈N，若10k≤a<10k+1，则k≤lg a14.函数f(x)=在区间[-2 026，2 026]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=　　　　.
答案精析
1.C　2.A　3.C
4.A　[令t=x2-ax+6，则f(x)=log2(x2-ax+6)，
即由y=log2t和t=x2-ax+6复合而成，
而y=log2t为增函数，
故要使得函数f(x)=log2(x2-ax+6)在(1，2)上单调递减，
需满足t=x2-ax+6>0在(1，2)上恒成立，
且t=x2-ax+6在(1，2)上单调递减，
即解得4≤a≤5，
即a的取值范围为[4，5].]
5.B　[由题意可得a=e0.1>e0=1，b=1-2lg 2=1-lg 4，且0=lg 1log39=2，则c=2-log310<0，故a>b>c.]
6.A　[由3>>=2，
得的整数部分为2，则=x+2，
所以(x+2)3=9，即x3+6x2+12x+8=9，
所以x3+6x2+12x=1.]
7.D　[由题意得0.1I0=I0e-5k，
有k=
当接收器探测到的射线强度比插入金属板前下降99%时，
0.01I0=I0
即100==解得d=10.
则发射器与接收器之间插入的金属板的厚度为10毫米.]
8.A　[二次函数f(x)=x2-2tx+1=(x-t)2-t2+1的对称轴为直线x=t，
所以f(x)在(-∞，t]上单调递减，在(t，+∞)上单调递增，
又已知f(x)在(-∞，1]上单调递减，
所以(-∞，1] (-∞，t]，可得t≥1.
因为函数f(x)在[0，t]上单调递减，在(t，t+1]上单调递增，
又t-0≥1，t+1-t=1，
由对称性可知f(0)≥f(t+1)，
所以当x=0时，f(x)取得最大值，即最大值为f(0)=1，
当x=t时f(x)取得最小值，即最小值为f(t)=-t2+1，
要使对任意的x1，x2∈[0，t+1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤2，
只要f(x)max-f(x)min≤2成立即可，
所以f(x)max-f(x)min
=1-(-t2+1)≤2，
解得-≤t≤
又t≥1，所以1≤t≤
即t的取值范围为[1].]
9.ACD　[对于A，log35·log53=log35·=1，故A正确；
对于B，由于x<0，y<0，故=2x2(-y)=-2x2y，故B错误；
对于C，lo5=lo5=2log35=log325，故C正确；
对于D+log32·log29=3+·=3+=5，故D正确.]
10.BC　[因为logab<0=loga1，
所以当01，
所以y=ax在定义域内单调递减，且f(x)=ax+b>b，
当x趋近于正无穷时，f(x)趋近于b>1，
函数g(x)=logb(a-x)的定义域为(-∞，a)，
且由函数μ(x)=a-x，g(μ)=logbμ复合而成，
由复合函数的单调性可知g(x)=logb(a-x)在定义域内单调递减，
且当x趋近于a时，g(x)趋近于负无穷，故B正确，D错误；
当a>1时，得0所以y=ax在定义域内单调递增，且f(x)=ax+b>b，
当x趋近于负无穷时，f(x)趋近于b<1，
此时g(x)=logb(a-x)在(-∞，a)上单调递增，且当x趋近于a时，g(x)趋近于正无穷，故C正确，A错误.]
11.ABD　[A项，a，b分别是函数f(x)=(x>1)与y=2x和y=log2x图象交点的横坐标，由图可知，C(a，2a)，D(b，log2b)，
又因为函数f(x)=(x>1)的图象关于直线y=x对称，函数y=2x和y=log2x的图象关于直线y=x对称，所以C，D两点关于直线y=x对称，
所以a=log2b，b=2a，所以A项正确；
B项，因为=2a，且b=2a，所以=b，
取倒数有=即+=1，
由A项可知，a=log2b，b=2a，
所以+=1，所以B项正确；
C项，由+=1得a-=a+-1≥2-1=1，由图象可知，a∈(1，2)，
所以a->1，所以C项错误；
D项，因为+=1，
所以a+b=(a+b)=2++≥2+2=4，当且仅当a=b=2时取等号，
又因为a∈(1，2)，所以等号不能取到，所以a+b>4，所以D项正确.]
12.1
解析　由于函数是幂函数，所以m2-m+1=1，解得m=0或m=1.
当m=0时，y=x，是奇函数，图象不关于y轴对称；
当m=1时，y=x2，是偶函数，图象关于y轴对称，符合题意，所以m的值为1.
13.193
解析　因为lg 89≈1.949，
所以lg 8999=99lg 89≈99×1.949
=192.951，
则192所以8999是193位数.
14.2
解析　函数f(x)
=
=1+
令g(x)=f(x)-1=
当x∈[-2 026，2 026]时，g(-x)==-
=-g(x)，
则函数g(x)是奇函数，
显然M=f(x)max=g(x)max+1，
m=f(x)min=g(x)min+1，
而g(x)max+g(x)min=0，
所以M+m=2.(共27张PPT)
第二章
必刷小题3　基本初等函数
数学
大
一
轮
复
习
对一对
答案
1
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4
5
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9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C A B A D A
题号 9 10 11 12 13 　14
答案 ACD BC ABD 1 193 　2
一、单项选择题
1.log23·log34－10lg 3等于
A.2 B.1 C.－1 D.0
√
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答案
log23·log34－10lg 3＝·－3＝－3＝2－3＝－1.
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答案
2.若指数函数f(x)经过点(2,4),则它的反函数g(x)的解析式为
A.g(x)＝log2x B.g(x)＝log0.5x
C.g(x)＝2x D.g(x)＝x2
√
设指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1),点(2,4)在f(x)的图象上,
所以4＝a2,解得a＝2.
所以f(x)＝2x,故反函数g(x)＝log2x.
3.当a>1时,f(x)＝a|x－2|＋5的图象恒过点
A.(2,5) B.(3,5) C.(2,6) D.(3,6)
√
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对于函数f(x)＝a|x－2|＋5,
令|x－2|＝0,解得x＝2,
则f(2)＝a0＋5＝6,
所以f(x)＝a|x－2|＋5的图象恒过点(2,6).
答案
4.已知函数f(x)＝log2(x2－ax＋6)在(1,2)上单调递减,则实数a的取值范围为
A.[4,5] B.[4,5)
C.(－∞,4) D.(－∞,4]∪[5,＋∞)
√
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令t＝x2－ax＋6,则f(x)＝log2(x2－ax＋6),
即由y＝log2t和t＝x2－ax＋6复合而成,
而y＝log2t为增函数,
故要使得函数f(x)＝log2(x2－ax＋6)在(1,2)上单调递减,
需满足t＝x2－ax＋6>0在(1,2)上恒成立,
且t＝x2－ax＋6在(1,2)上单调递减,
即解得4≤a≤5,
即a的取值范围为[4,5].
答案
5.已知a＝e0.1,b＝1－2lg 2,c＝2－log310,则a,b,c的大小关系是
A.b>c>a B.a>b>c
C.a>c>b D.b>a>c
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答案
由题意可得a＝e0.1>e0＝1,b＝1－2lg 2＝1－lg 4,且0＝lg 1log39＝2,则c＝2－log310<0,故a>b>c.
6.设的小数部分为x,则x3＋6x2＋12x等于
A.1 B. C.2 D.
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由3>>＝2,
得的整数部分为2,则＝x＋2,
所以(x＋2)3＝9,即x3＋6x2＋12x＋8＝9,
所以x3＋6x2＋12x＝1.
答案
7.研究发现,X射线放射仪在使用时,其发射器发出的射线强度I0、接收器探测的射线强度I与射线穿透的介质厚度d(单位：毫米)满足关系式I＝I0e－kd,其中正实数k为该种介质的吸收常数.工作人员在测试某X射线放射仪时,向发射器与接收器之间插入了厚5毫米的金属板,发现接收器探测到的射线强度比插入金属板前下降了90%.若接收器探测到的射线强度比插入金属板前下降99%,则发射器与接收器之间插入的金属板的厚度为
A.5.5毫米 B.9毫米
C.7.5毫米 D.10毫米
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答案
由题意得0.1I0＝I0e－5k,有k＝
当接收器探测到的射线强度比插入金属板前下降99%时,0.01I0＝I0
即100＝解得d＝10.
则发射器与接收器之间插入的金属板的厚度为10毫米.
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答案
8.已知定义在R上的函数f(x)＝x2－2tx＋1在(－∞,1]上单调递减,且对任意的x1,x2∈[0,t＋1],总有|f(x1)－f(x2)|≤2,则实数t的取值范围是
A.[1] B.[－1,1]
C.[0,1] D.[1,3]
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二次函数f(x)＝x2－2tx＋1＝(x－t)2－t2＋1的对称轴为直线x＝t,
所以f(x)在(－∞,t]上单调递减,在(t,＋∞)上单调递增,
又已知f(x)在(－∞,1]上单调递减,
所以(－∞,1] (－∞,t],可得t≥1.
因为函数f(x)在[0,t]上单调递减,在(t,t＋1]上单调递增,
又t－0≥1,t＋1－t＝1,
由对称性可知f(0)≥f(t＋1),
所以当x＝0时,f(x)取得最大值,即最大值为f(0)＝1,
答案
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当x＝t时f(x)取得最小值,即最小值为f(t)＝－t2＋1,
要使对任意的x1,x2∈[0,t＋1],都有|f(x1)－f(x2)|≤2,
只要f(x)max－f(x)min≤2成立即可,
所以f(x)max－f(x)min＝1－(－t2＋1)≤2,
解得－≤t≤
又t≥1,所以1≤t≤
即t的取值范围为[1].
答案
二、多项选择题
9.下列计算正确的是
A.log35·log53＝1
B.＝2x2y(x<0,y<0)
C.lo5＝log325
D.＋log32·log29＝5
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答案
对于A,log35·log53＝log35·＝1,故A正确；
对于B,由于x<0,y<0,故＝2x2(－y)＝－2x2y,故B错误；
对于C,lo5＝lo5＝2log35＝log325,故C正确；
对于D＋log32·log29＝3＋·＝3＋＝5,故D正确.
10.若logab<0,则函数f(x)＝ax＋b与g(x)＝logb(a－x)在同一坐标系内的大致图象可能是
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因为logab<0＝loga1,
所以当01,
所以y＝ax在定义域内单调递减,且f(x)＝ax＋b>b,
当x趋近于正无穷时,f(x)趋近于b>1,
函数g(x)＝logb(a－x)的定义域为(－∞,a),
且由函数μ(x)＝a－x,g(μ)＝logbμ复合而成,
由复合函数的单调性可知g(x)＝logb(a－x)在定义域内单调递减,
且当x趋近于a时,g(x)趋近于负无穷,故B正确,D错误；
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当a>1时,得0所以y＝ax在定义域内单调递增,且f(x)＝ax＋b>b,
当x趋近于负无穷时,f(x)趋近于b<1,
此时g(x)＝logb(a－x)在(－∞,a)上单调递增,且当x趋近于a时,g(x)趋近于正无穷,故C正确,A错误.
答案
11.已知a>1,b>1＝2a＝log2b,则以下结论正确的是
A.a＋2a＝b＋log2b
B.＝1
C.a－<
D.a＋b>4
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答案
又因为函数f(x)＝(x>1)的图象关于直线y＝x对称,
函数y＝2x和y＝log2x的图象关于直线y＝x对称,所以C,D两点关于直线y＝x对称,
所以a＝log2b,b＝2a,所以A项正确；
A项,a,b分别是函数f(x)＝(x>1)与y＝2x和y＝log2x图象交点的横坐标,由图可知,C(a,2a),D(b,log2b),
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答案
B项,因为＝2a,且b＝2a,所以＝b,
取倒数有即＝1,
由A项可知,a＝log2b,b＝2a,
所以＝1,所以B项正确；
C项,由＝1得a－＝a＋－1≥2－1＝1,由图象可知,a∈(1,2),
所以a－>1,所以C项错误；
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答案
D项,因为＝1,
所以a＋b＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4,当且仅当a＝b＝2时取等号,
又因为a∈(1,2),所以等号不能取到,所以a＋b>4,所以D项正确.
三、填空题
12.已知幂函数y＝(m2－m＋1)xm＋1的图象关于y轴对称,则m＝　　　.
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答案
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由于函数是幂函数,所以m2－m＋1＝1,解得m＝0或m＝1.
当m＝0时,y＝x,是奇函数,图象不关于y轴对称；
当m＝1时,y＝x2,是偶函数,图象关于y轴对称,符合题意,所以m的值为1.
13.依据正整数的十进制数码定义它的位数,比如,25是一个2位数,100是一个3位数,实数a∈(0,＋∞),k∈N,若10k≤a<10k＋1,则k≤lg a1
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答案
193
因为lg 89≈1.949,
所以lg 8999＝99lg 89≈99×1.949＝192.951,
则192所以8999是193位数.
14.函数f(x)＝在区间[－2 026,2 026]上的最大值为M,最小值为m,则M＋m＝　　　.
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答案
函数f(x)＝＝1＋
令g(x)＝f(x)－1＝
当x∈[－2 026,2 026]时,g(－x)＝＝－＝－g(x),
则函数g(x)是奇函数,
显然M＝f(x)max＝g(x)max＋1,
m＝f(x)min＝g(x)min＋1,
而g(x)max＋g(x)min＝0,
所以M＋m＝2.
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