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必刷小题4　函数与方程
分值：73分
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.下列选项分别是某公司的四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是(　　)
A.y=10×1.05x B.y=20+x2
C.y=30+lg(x+1) D.y=50x
2.已知函数f(x)=ex+x+1的零点在区间(k-1，k)内，则整数k等于(　　)
A.-2 B.-1 C.0 D.1
3.已知f(x)=ex-e-x，则函数y=f(x-1)+1的图象(　　)
A.关于点(1，1)对称 B.关于点(-1，1)对称
C.关于点(-1，0)对称 D.关于点(1，0)对称
4.函数f(x)=ex(ln|x|+1)的图象大致是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
5.已知函数f(x)=ln x+2x-6在区间(2，3)内存在一个零点，用二分法求方程的近似解时，至少需要求　　　　次中点值可以求得近似解.(精确度为0.01)(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
6.若函数f(x)=有3个零点，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.(-∞，0)∪[1，+∞)
C.[1，2) D.∪[2，+∞)
7.中国高铁发展至今，已经创造许多世界纪录.中国高铁不仅速度比普通列车快而且噪声更小.我们常用声强级L=10×lg 表示声音的强弱，其中I代表声强(单位：W/m2).若普通列车的声强级是100 dB，高速列车的声强级是50 dB，则普通列车声强是高速列车声强的(　　)
A.106倍 B.105倍
C.104倍 D.103倍
8.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k(k∈R)有四个不同的根，它们从小到大依次记为x1，x2，x3，x4，则(　　)
A.0B.≤x3C.0D.函数g(x)=f(f(x))-有6个零点
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.在同一坐标系中，关于函数f(x)=x2与g(x)=2x的图象，下列说法错误的是(　　)
A.f(x)与g(x)有两个交点
B.f(x)与g(x)有三个交点
C. x0>0，当x>x0时，f(x)恒在g(x)的上方
D. x0>0，当x>x0时，g(x)恒在f(x)的上方
10.下列说法正确的是(　　)
A.方程ex=8-x的解在(1，2)内
B.函数f(x)=x2-2x-3的零点是(-1，0)，(3，0)
C.方程x2-2ax+a2-4=0的一个实根在区间(-1，0)内，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是1D.若函数y=f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0
11.已知函数f(x)=g(x)=[f(x)]2-2mf(x)+2，下列说法正确的是(　　)
A.若y=f(x)-a有两个零点，则a>2
B.y=f(x)只有一个零点x=1
C.若y=f(x)-a有两个零点x1，x2(x1≠x2)，则x1x2=1
D.若g(x)有四个零点，则m>
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.当x∈(1，e)时，试探究三个函数y=3x，y=ln x，y=x的增长差异，用“>”把它们的大小关系连接起来为　　　　　　　　　　　　　　.
13.将函数f(x)=2+log3x图象上所有点的横坐标变化到原来的m(m>0)倍，纵坐标保持不变，得到g(x)=log3x的图象，则m=　　　　.
14.已知函数f(x)=log3(x+2)-e1-x与g(x)=a·2x-4x-2的零点分别为m和n，若存在m，n使得|m-n|<1，则实数a的取值范围是　　　　　　　.
答案精析
1.A　2.B
3.A　[因为f(x)=ex-e-x，所以f(-x)=e-x-ex=-f(x)，即f(x)的图象关于原点对称，函数y=f(x-1)+1的图象可由f(x)的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以函数y=f(x-1)+1的图象关于点(1，1)对称.]
4.D　[因为f(x)=ex(ln|x|+1)的定义域为{x|x≠0}，而f(-x)=e-x(ln|-x|+1)=e-x(ln|x|+1)≠f(x)，f(-x)≠-f(x)，
所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故排除A，B；
当x趋近于正无穷时，ex趋近于正无穷，ln |x|+1趋近于正无穷，故f(x)趋近于正无穷，
故C错误，D正确.]
5.C　[由所给区间(2，3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为故需≤0.01，解得n≥7，所以至少需要操作7次.]
6.C　[当x<1时，函数f(x)=2x-m单调递增，则函数f(x)在(-∞，1)上至多有一个零点，
当x≥1时，函数f(x)=x2-4mx+3m2=(x-m)(x-3m)至多有两个零点，
因为函数f(x)有三个零点，
则函数f(x)在(-∞，1)上有一个零点，在[1，+∞)上有两个零点，
当x<1时，令f(x)=2x-m=0，可得m=2x，
必有m>0，解得x=log2m，
所以log2m<1，解得0当x≥1时，
由f(x)=(x-m)(x-3m)=0，
可得x=m或x=3m，
所以解得m≥1.
综上所述，实数m的取值范围为[1，2).]
7.B　[设普通列车、高速列车声强分别为I1，I2，声强级分别为L1，L2，
由题意，L1=10×lg L2=10×lg
两式相减可得，100-50=10×lg -10×lg =10lg
即lg =5，所以=105，
即普通列车声强是高速列车声强的105倍.]
8.B　[作出函数f(x)=
的图象如图所示，
对于A，关于x的方程f(x)=k(k∈R)有四个不同的根，即函数y=f(x)的图象与直线y=k有4个交点，由图象可得0对于B，由图可知0<1-ln x3≤解得≤x3对于C，由图象知=-所以x1+x2=-1，且x2∈
所以x1x2=(-1-x2)x2=--x2=-+∈
又由|ln x3-1|=|ln x4-1| ln x3-1+ln x4-1=0 ln x3x4=2 x3x4=e2，
所以0≤x1x2x3x4对于D，对于函数g(x)=f(f(x))-令f(x)=t，
则g(x)=f(t)-=0，
可得t2=0，t1=-1，
t3=t4==
当f(x)=t2=0时，由图可得，有2个根，
当f(x)=t1=-1时，由图可得，没有根，
当f(x)=t3=>1时，由图可得，有3个根，
当f(x)=t4=>1时，由图可得，有3个根，
综上，函数g(x)=f(f(x))-有8个零点，D错误.]
9.AC　[f(1)=1，g(1)=2，f(2)=g(2)=4，f(3)=9，g(3)=8，f(4)=g(4)=16，f(5)=25，
g(5)=32，
则可在同一坐标系内作出两函数的图象如图所示，
显然两函数有三个交点A，B，C，故A错误，B正确，
由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，所以当x>4时，g(x)恒在f(x)的上方，故C错误，D正确.]
10.AC　[对于A，令f(x)=ex+x-8，显然f(x)为增函数，
因为f(1)=e+1-8=e-7<0，f(2)=e2+2-8=e2-6>0，
所以f(x)在(1，2)内有唯一零点，所以方程ex=8-x在(1，2)内有唯一解，故A正确；
对于B，令f(x)=x2-2x-3=0，得x=-1或x=3，
所以函数f(x)=x2-2x-3的零点是-1和3，故B不正确；
对于C，令f(x)=x2-2ax+a2-4，依题意可得
即
解得1对于D，因为f(x)=(x-1)(x-2)在(0，3)上有两个零点，但是f(0)f(3)=2×2=4>0，故D不正确.]
11.BCD　[作出函数f(x)的图象，如图所示，若y=f(x)-a有两个零点，则y=f(x)与y=a的图象有两个交点，由图可知，a>2或0由图可知，y=f(x)只有一个零点x=1，故B正确；
若y=f(x)-a有两个零点x1，x2(x1≠x2)，不妨设x1令t=f(x)，若g(x)有四个零点，则t2-2mt+2=0在(2，+∞)内有一根，在(0，1)内有另一根，或在(2，+∞)内有一根，且另一根为1，或在(1，2]内有一根，且另一根为0，
所以当t2-2mt+2=0在(2，+∞)内有一根，在(0，1)内有另一根时解得m>；
当t2-2mt+2=0有一根为1时，1-2m+2=0，m=此时t2-3t+2=0的另一根为2，不符合题意；
当t2-2mt+2=0有一根为0时，不符合题意，
综上，m>故D正确.]
12.3x>x>ln x
解析　令y1=3x，y2=x，y3=ln x，易知三个函数在区间(1，e)上均单调递增，所以当x∈(1，e)时，3<3x<3e，1<x>ln x.
13.9
解析　设函数f(x)=2+log3x图象上的点(x，y)，经过横坐标变化到原来的m(m>0)倍得到点(mx，y)，
又点(mx，y)在g(x)=log3x上，
故y=log3mx，
又y=2+log3x，
即2+log3x=log3mx，
即log39x=log3mx，故m=9.
14.
解析　对于函数f(x)=log3(x+2)-e1-x，
因为函数y=log3(x+2)在定义域上为增函数，y=e1-x在定义域上为减函数，
所以函数f(x)=log3(x+2)-e1-x在定义域上为增函数，
又f(1)=log3(1+2)-e1-1=0，所以m=1，
所以|n-1|<1，即n∈(0，2)，即函数g(x)=a·2x-4x-2在(0，2)上存在零点，
令a·2x-4x-2=0，得a=2x+
令t=2x，t∈(1，4)，
对于函数h(t)=t+由对勾函数的性质可得，其在(1)上单调递减，在(4)上单调递增，
又h(1)=1+=3，h()=+=2
h(4)=4+=
所以h(t)的值域为
所以实数a的取值范围是.(共31张PPT)
第二章
必刷小题4　函数与方程
数学
大
一
轮
复
习
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A D C C B B
题号 9 10 11 12 13 14
答案 AC AC BCD 3x>x>ln x 9
一、单项选择题
1.下列选项分别是某公司的四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型,从足够长远的角度看,使得公司获益最大的函数模型是
A.y＝10×1.05x B.y＝20＋x2
C.y＝30＋lg(x＋1) D.y＝50x
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答案
因为指数函数y＝1.05x的底数大于1,其增长速度随着时间的推移会越来越快,
比幂函数y＝x2,对数函数y＝lg(x＋1),一次函数y＝50x增长的速度快,
所以从足够长远的角度看,使得公司获益最大的函数模型是y＝10×1.05x.
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答案
2.已知函数f(x)＝ex＋x＋1的零点在区间(k－1,k)内,则整数k等于
A.－2 B.－1 C.0 D.1
√
易知函数f(x)＝ex＋x＋1为增函数,且f(－2)＝－1<0,f(－1)＝>0,则f(x)＝ex＋x＋1的零点在区间(－2,－1)内,故k＝－1.
3.已知f(x)＝ex－e－x,则函数y＝f(x－1)＋1的图象
A.关于点(1,1)对称 B.关于点(－1,1)对称
C.关于点(－1,0)对称 D.关于点(1,0)对称
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因为f(x)＝ex－e－x,所以f(－x)＝e－x－ex＝－f(x),即f(x)的图象关于原点对称,函数y＝f(x－1)＋1的图象可由f(x)的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到,所以函数y＝f(x－1)＋1的图象关于点(1,1)对称.
答案
4.函数f(x)＝ex(ln|x|＋1)的图象大致是
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因为f(x)＝ex(ln|x|＋1)的定义域为{x|x≠0},
而f(－x)＝e－x(ln|－x|＋1)＝e－x(ln|x|＋1)≠f(x),f(－x)≠－f(x),
所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数,故排除A,B；
当x趋近于正无穷时,ex趋近于正无穷,ln |x|＋1趋近于正无穷,故f(x)趋近于正无穷,
故C错误,D正确.
答案
5.已知函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内存在一个零点,用二分法求方程的近似解时,至少需要求　　　次中点值可以求得近似解.(精确度为0.01)
A.5 B.6 C.7 D.8
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答案
由所给区间(2,3)的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,经过n次操作后,区间长度变为故需≤0.01,解得n≥7,所以至少需要操作7次.
6.若函数f(x)＝有3个零点,则实数m的取值范围是
A. B.(－∞,0)∪[1,＋∞)
C.[1,2) D.∪[2,＋∞)
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当x<1时,函数f(x)＝2x－m单调递增,则函数f(x)在(－∞,1)上至多有一个零点,
当x≥1时,函数f(x)＝x2－4mx＋3m2＝(x－m)(x－3m)至多有两个零点,
因为函数f(x)有三个零点,
则函数f(x)在(－∞,1)上有一个零点,在[1,＋∞)上有两个零点,
当x<1时,令f(x)＝2x－m＝0,可得m＝2x,
必有m>0,解得x＝log2m,
所以log2m<1,解得0答案
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当x≥1时,由f(x)＝(x－m)(x－3m)＝0,
可得x＝m或x＝3m,
所以解得m≥1.
综上所述,实数m的取值范围为[1,2).
答案
7.中国高铁发展至今,已经创造许多世界纪录.中国高铁不仅速度比普通列车快而且噪声更小.我们常用声强级L＝10×lg 表示声音的强弱,其中I代表声强(单位：W/m2).若普通列车的声强级是100 dB,高速列车的声强级是50 dB,则普通列车声强是高速列车声强的
A.106倍 B.105倍 C.104倍 D.103倍
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设普通列车、高速列车声强分别为I1,I2,声强级分别为L1,L2,
由题意,L1＝10×lg L2＝10×lg
两式相减可得,100－50＝10×lg －10×lg ＝10lg
即lg ＝5,所以＝105,
即普通列车声强是高速列车声强的105倍.
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8.已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k(k∈R)有四个不
同的根,它们从小到大依次记为x1,x2,x3,x4,则
A.0B.≤x3C.0D.函数g(x)＝f(f(x))－有6个零点
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作出函数f(x)＝的图象如图所示,
对于A,关于x的方程f(x)＝k(k∈R)有四个不同的根,
即函数y＝f(x)的图象与直线y＝k有4个交点,由图象可得0对于B,由图可知0<1－ln x3≤解得≤x3对于C,由图象知＝－所以x1＋x2＝－1,且x2∈
所以x1x2＝(－1－x2)x2＝－－x2＝－∈
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又由|ln x3－1|＝|ln x4－1| ln x3－1＋ln x4－1＝0 ln x3x4＝2 x3x4＝e2,
所以0≤x1x2x3x4对于D,对于函数g(x)＝f(f(x))－令f(x)＝t,则g(x)＝f(t)－＝0,
可得t2＝0,t1＝－1,t3＝t4＝
当f(x)＝t2＝0时,由图可得,有2个根,
当f(x)＝t1＝－1时,由图可得,没有根,
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答案
当f(x)＝t3＝>1时,由图可得,有3个根,
当f(x)＝t4＝>1时,由图可得,有3个根,
综上,函数g(x)＝f(f(x))－有8个零点,D错误.
二、多项选择题
9.在同一坐标系中,关于函数f(x)＝x2与g(x)＝2x的图象,下列说法错误的是
A.f(x)与g(x)有两个交点
B.f(x)与g(x)有三个交点
C. x0>0,当x>x0时,f(x)恒在g(x)的上方
D. x0>0,当x>x0时,g(x)恒在f(x)的上方
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答案
f(1)＝1,g(1)＝2,f(2)＝g(2)＝4,f(3)＝9,g(3)＝8,f(4)＝g(4)＝16,f(5)＝25,
g(5)＝32,
则可在同一坐标系内作出两函数的图象如图所示,
显然两函数有三个交点A,B,C,故A错误,B正确,
由于指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度,
所以当x>4时,g(x)恒在f(x)的上方,故C错误,D正确.
10.下列说法正确的是
A.方程ex＝8－x的解在(1,2)内
B.函数f(x)＝x2－2x－3的零点是(－1,0),(3,0)
C.方程x2－2ax＋a2－4＝0的一个实根在区间(－1,0)内,另一个实根大于2,
则实数a的取值范围是1D.若函数y＝f(x)在区间(a,b)上有零点,则一定有f(a)·f(b)<0
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对于A,令f(x)＝ex＋x－8,显然f(x)为增函数,
因为f(1)＝e＋1－8＝e－7<0,f(2)＝e2＋2－8＝e2－6>0,
所以f(x)在(1,2)内有唯一零点,所以方程ex＝8－x在(1,2)内有唯一解,故A正确；
对于B,令f(x)＝x2－2x－3＝0,得x＝－1或x＝3,
所以函数f(x)＝x2－2x－3的零点是－1和3,故B不正确；
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对于C,令f(x)＝x2－2ax＋a2－4,依题意可得
即
解得1对于D,因为f(x)＝(x－1)(x－2)在(0,3)上有两个零点,但是f(0)f(3)＝2×2＝4>0,故D不正确.
答案
11.已知函数f(x)＝g(x)＝[f(x)]2－2mf(x)＋2,下列说法正确的是
A.若y＝f(x)－a有两个零点,则a>2
B.y＝f(x)只有一个零点x＝1
C.若y＝f(x)－a有两个零点x1,x2(x1≠x2),则x1x2＝1
D.若g(x)有四个零点,则m>
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作出函数f(x)的图象,如图所示,若y＝f(x)－a有两个零点,则y＝f(x)与y＝a的图象有两个交点,由图可知,a>2或0由图可知,y＝f(x)只有一个零点x＝1,故B正确；
若y＝f(x)－a有两个零点x1,x2(x1≠x2),不妨设x11
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答案
令t＝f(x),若g(x)有四个零点,则t2－2mt＋2＝0在(2,＋∞)内有一根,在(0,1)内有另一根,或在(2,＋∞)内有一根,且另一根为1,或在(1,2]内有一根,且另一根为0,
所以当t2－2mt＋2＝0在(2,＋∞)内有一根,在(0,1)内有另一根时
解得m>；
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答案
当t2－2mt＋2＝0有一根为1时,1－2m＋2＝0,m＝此时t2－3t＋2＝0的另一根为2,不符合题意；
当t2－2mt＋2＝0有一根为0时,不符合题意,
综上,m>故D正确.
三、填空题
12.当x∈(1,e)时,试探究三个函数y＝3x,y＝ln x,y＝x的增长差异,用“>”把
它们的大小关系连接起来为　　　　　　.
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答案
3x>x>ln x
令y1＝3x,y2＝x,y3＝ln x,易知三个函数在区间(1,e)上均单调递增,所以当x∈(1,e)时,3<3x<3e,1<x>ln x.
13.将函数f(x)＝2＋log3x图象上所有点的横坐标变化到原来的m(m>0)倍,纵坐标保持不变,得到g(x)＝log3x的图象,则m＝　　　.
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答案
9
设函数f(x)＝2＋log3x图象上的点(x,y),经过横坐标变化到原来的m(m>0)倍得到点(mx,y),
又点(mx,y)在g(x)＝log3x上,故y＝log3mx,
又y＝2＋log3x,即2＋log3x＝log3mx,
即log39x＝log3mx,故m＝9.
14.已知函数f(x)＝log3(x＋2)－e1－x与g(x)＝a·2x－4x－2的零点分别为m和n,
若存在m,n使得|m－n|<1,则实数a的取值范围是　　　　　.
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答案
对于函数f(x)＝log3(x＋2)－e1－x,
因为函数y＝log3(x＋2)在定义域上为增函数,y＝e1－x在定义域上为减函数,
所以函数f(x)＝log3(x＋2)－e1－x在定义域上为增函数,
又f(1)＝log3(1＋2)－e1－1＝0,所以m＝1,
所以|n－1|<1,即n∈(0,2),即函数g(x)＝a·2x－4x－2在(0,2)上存在零点,
令a·2x－4x－2＝0,得a＝2x＋
令t＝2x,t∈(1,4),
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答案
对于函数h(t)＝t＋由对勾函数的性质可得,其在(1)上单调递减,
在(4)上单调递增,
又h(1)＝1＋＝3,h()＝＝2
h(4)＝4＋
所以h(t)的值域为
所以实数a的取值范围是.

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