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第三章 圆锥曲线
3.2.1双曲线及其标准方程

新课导入


双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题.
复习回顾


问题1 椭圆的定义和标准方程分别是什么？
1.椭圆定义:
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
2.椭圆的标准方程：

新知探究


我们知道, 平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆. 一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？
幻灯片6
【实验】如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线。

曲线轨迹形状是什么？

新知探究


探究：如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点，在平面内, 取定点F1, F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.

新知探究


探究：如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点，在平面内, 取定点F1, F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.


情景1:当点 P在线段AB上运动时

新知探究


探究：如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点，在平面内, 取定点F1, F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.
情景2：当点P在线段AB外运动时


双曲线

概念生成


对比迁移


？
双曲线
椭圆


|MF1|+|MF2|=常数
||MF1|-|MF2||=常数


平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
幻灯片12
概念生成


双曲线定义
我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．


这两个定点叫做双曲线的焦点，

两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

概念辨析

双曲线定义
我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零
常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．

追问：定义中有哪些关键词？


概念辨析


双曲线定义
我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零
常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．




思考2：若2a=2c, 即||MF1|-|MF2||= |F1F2|，则轨迹是什么？


此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
思考3：若2a>2c, 即||MF1|-|MF2|| > |F1F2|，则轨迹是什么？


此时轨迹不存在
思考4：若2a=0, 即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？
此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
幻灯片15
概念深化


[练习1] 已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，
则当a＝3时，P点的轨迹为(　　)
A．双曲线 B．一条射线
C．双曲线的一支 D．轨迹不存在
[变式1] 当a＝5时，P点的轨迹为？
[变式2] 动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，则当a＝4时，P点的轨迹为？
幻灯片16
新知探究二：双曲线的标准方程


问题2 类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？


①建系


我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系 (如图).
②设点
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点
则有F1(-c , 0) , F2 (c , 0).
双曲线的焦距为 2c（ c > 0)，
③限式
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：

新知探究二：双曲线的标准方程


④代入
(1)
将方程(1)左边的一个根式移到右边，得
⑤化简
(2)


新知探究二：双曲线的标准方程


我们把上述方程叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点坐标分别是F1(-c, 0), F2(c, 0)的双曲线，这里c2=a2+b2.

新知探究二：双曲线的标准方程


问题3 类比椭圆，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？

应用探究


例1 下列哪些方程是双曲线的方程？


问题4 双曲线标准方程的特征？
?如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
?如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.

?方程等号左边是平方差的形式，右边是1；





② a>0, b>0，但a, b大小不定；
③ c2=a2+b2, 其中c最大；
幻灯片21
双曲线
定 义
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图像
方 程
焦 点坐标
焦点位置判断
a, b, c的关系

||MF1|－|MF2||=2a (2a<2c)


F1(－c, 0), F2(c, 0)
F1(0, －c), F2(0, c)
化为标准方程，焦点跟着正项走
a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大

应用探究


例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，a=4，b=3；
（2）焦点为(0,-6),(0,6)，且经过点(2,-5).

应用探究


例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，a=4，b=3；
（2）焦点为(0,-6),(0,6)，且经过点(2,-5).
(2) 解1（待定系数法）: ∵焦点在y轴上，故可设双曲线的标准方程为

应用探究


例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，a=4，b=3；
（2）焦点为(0,-6),(0,6)，且经过点(2,-5).
(2) 解2: (定义法)
幻灯片25
(1)求双曲线标准方程的步骤：
①定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点 位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式.


(2)求双曲线标准方程的两种方法：


课堂小结

双曲线的标准方
课后探究 双曲线与椭圆之间的区别与联系有哪些？
椭圆 双曲线
定 义
方 程 焦点在x轴上
焦点在y轴上
焦 点
a, b, c
的关系

幻灯片28
作业布置


（课本121页）

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