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专题 10.1 随机事件与概率【十大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 事件的分类】 ............................................................................................................................................3
【题型 2 事件与样本空间】 ....................................................................................................................................4
【题型 3 天气预报、抽奖、彩票的概率解释】 ....................................................................................................5
【题型 4 其他问题中的概率解释】 ........................................................................................................................7
【题型 5 事件的关系和运算】 ................................................................................................................................8
【题型 6 写出基本事件】 ......................................................................................................................................11
【题型 7 计算古典概型问题的概率】 ..................................................................................................................12
【题型 8 概率的基本性质及其应用】 ..................................................................................................................14
【题型 9 游戏的公平性问题】 ..............................................................................................................................16
【题型 10 古典概型与其他知识的综合】 ............................................................................................................18
【知识点 1 有限样本空间与事件】
1．有限样本空间
(1)随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母 E 表示.我们感兴趣的是具
有以下特点的随机试验：
①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
(2)有限样本空间
我们把随机试验 E 的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验 E 的样本空间.
一般地，我们用 Ω 表示样本空间，用 ω 表示样本点 .如果一个随机试验有 n 个可能结果
，
则称样本空间 Ω={ }为有限样本空间.
2．事件
(1)随机事件
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们
将样本空间 Ω 的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般
用大写字母 A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当 A 中某个样本点出现时，称为事件 A 发生.
(2)必然事件
A 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以 Ω 总会发生，我
们称 Ω 为必然事件.
(3)不可能事件
空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件.
3．事件的关系和运算
(1)两个事件的关系和运算
事件的关系 含义 符号表示 图形表示
或运算
包含 A 发生导致 B 发生
并事件 A 与 B 至少一个发生 或
（和事件）
交事件 A 与 B 同时发生 或
（积事件）
互斥 A 与 B 不能同时发生
（互不相容）
互为对立 A 与 B 有且仅有一个发生 ，
(2)多个事件的和事件、积事件
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件 A，B，C，···，A∪B∪C∪··· (或
A+B+C+···)发生当且仅当 A，B，C，···中至少一个发生，A∩B∩C∩··· (或 ABC···)发生当且仅当 A，B，
C，···同时发生.
4．样本空间中样本点的求法
(1)列举法
列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，
即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏.
(2)列表法
对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以
便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法.
(3)树状图法
树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法.
5．用集合观点看事件间的关系
符号 概率角度 集合角度
Ω 必然事件 全集
不可能事件 空集
ω 试验的可能结果 Ω 中的元素
A 事件 Ω 的子集
的对立事件 A 的补集
事件 A 包含于事件 B 集合 A 是集合 B 的子集
事件 A 等于事件 B 集合 A 等于集合 B
或 事件 A 与事件 B 的并（和）事件 集合 A 与 B 的并集
或 事件 A 与事件 B 的交（积）事件 集合 A 与 B 的交集
事件 A 与事件 B 互斥 集合 A 与 B 的交集为空集
， 事件 A 与事件 B 对立 集合 A 与 B 互为补集
且
【题型 1 事件的分类】
【例 1】（24-25 高一下·全国·期末）以下事件是随机事件的是（ ）
A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄
C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大
【解题思路】利用随机事件的定义求解即可.
【解答过程】由题意得 A，B，D 的概率为 1，所以是必然事件，
C 的概率不为 0，也不为 1，所以它是随机事件，故 C 正确.
故选：C.
【变式 1-1】（2024 高一下·全国·专题练习）将一根长为 a 的铁丝随意截成三段，这三段铁丝构成一个三角
形，此事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．不能判定
【解题思路】根据随机事件的定义即可求解.
【解答过程】将一根长为 的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，这个事件是可能发生的事件，也可能不
发生，但不是必然事件．所以事件是随机事件．
故选：C．
【变式 1-2】（2024 高二下·安徽·学业考试）抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件 = “点数不大于 2”，事件
= “点数大于 1”，则下列结论中正确的是（ ）
A．M 是不可能事件 B．N 是必然事件
C． ∩ 是不可能事件 D． ∪ 是必然事件
【解题思路】根据事件的定义判断．
【解答过程】事件 是点数为 1 或 2，事件 是点数是 2，3，4，5 或 6，它们都是随机事件，
∩ 是点为 2，是随机事件，是可能发生的，
∪ 是点数为 1，2，3，4，5 或 6，一定会发生，是必然事件，
故选：D．
【变式 1-3】（24-25 高二上·上海·课后作业）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
②“当 x 为某一实数时，可使 2 < 0”是不可能事件；
③“明天上海要下雨”是必然事件；
④“从 100 个灯泡中取出 5 个，5 个都是次品”是随机事件．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【解题思路】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断
【解答过程】对于①，三个球全部放入两个盒子，就是将 3 个分成两部分，其中一部分 1 个球，另一部分 2
个球，所以必有一个盒子有一个以上的球，所以①正确，
对于②，“当 x 为某一实数时，可使 2 < 0”是不可能事件，所以②正确，
对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误，
对于④，“从 100 个灯泡中取出 5 个，5 个都是次品”是随机事件，所以④正确，
故选：C.
【题型 2 事件与样本空间】
【例 2】（23-24 高一上·全国·课后作业）高一(1)班计划从 A，B，C，D，E 这五名班干部中选两人代表班级
参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【解题思路】根据题意结合列举法运算求解.
【解答过程】从 A，B，C，D，E 五人中选两人，
不同的选法有：( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )，
所以样本空间中样本点的个数为 10．
故选：B.
【变式 2-1】（24-25 高二上·吉林·阶段练习）若随机试验的样本空间为Ω = {0,1,2}，则下列说法不正确的是
（ ）
A．事件 = {1,2}是随机事件 B．事件 = {0,1,2}是必然事件
C．事件 = { 1, 2}是不可能事件 D．事件{ 1,0}是随机事件
【解题思路】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可.
【解答过程】随机试验的样本空间为Ω = {0,1,2}，
则事件 = {1,2}是随机事件，故 A 正确；
事件 = {0,1,2}是必然事件，故 B 正确；
事件 = { 1, 2}是不可能事件，故 C 正确；
事件{ 1,0}是不可能事件，故 D 错误.
故选：D.
【变式 2-2】（24-25 高一·全国·课后作业）一个家庭有两个小孩，则样本空间为（ ）
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
【解题思路】列举出所有可能结果，由此可得样本空间.
【解答过程】两个小孩的所有结果是：男男，男女，女男，女女，
则所有样本空间为{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．
故选：C.
【变式 2-3】（24-25 高一·全国·课后作业）随机事件“连续掷一颗筛子直到出现 5 点停止，观察掷的次数”的
样本空间是（ ）
A．5 B．1 到 6 的正整数 C．6 D．一切正整数
【解题思路】根据样本空间的概念即可求解.
【解答过程】连续掷一颗筛子直到出现 5 点停止，观察投掷的次数，
由于事件发生是随机的，投掷的次数可能无限大，样本空间是一切正整数.
故选：D.
【题型 3 天气预报、抽奖、彩票的概率解释】
【例 3】（24-25 高一下·全国·课后作业）气象台预报“本市明天降雨概率是 70%”，下列说法正确的是
（ ）
A．本市明天将有 70%的地区降雨 B．本市有天将有 70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大 D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
【解题思路】根据概率的意义,可判断各选项.
【解答过程】气象台预报“本市明天降雨概率是 70%”,则本市明天降雨的可能性比较大.与降水地区面积和降
水时间无关,所以 A,B 错误.
降水概率是事件发生的可能,不是一定会发生的事情,所以 D 错误.
而由降水概率是 70%,可知降水概率较大,所以明天出行不带雨具淋雨的可能性很大,所以 C 正确.
故选:C.
1
【变式 3-1】（23-24 高二上·湖北宜昌·期中）某种彩票的中奖概率为100000，则以下理解正确的是（ ）
A．购买这种彩票 100000 张，一定能中奖一次
B．购买这种彩票 100000 张，可能一次也没中奖
C．购买这种彩票 1 张，一定不能中奖
D．购买这种彩票 100000 张，至少能中奖一次
【解题思路】根据随机事件概率的定义逐个分析判断即可.
【解答过程】购买这种彩票 100000 张，相当于做 100000 次试验，因为每次试验的结果都是随机的，
所以每张彩票可能中奖，也可能不中奖，
对于 ABD，购买这种彩票 100000 张，可能没有一张中奖，所以 AD 错误，B 正确
对于 C，购买这种彩票 1 张，有可能中奖，所以 C 错误，
故选：B.
【变式 3-2】（24-25 高二·黑龙江牡丹江·单元测试）在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降
水的概率为80%”，这是指（ ）
A．明天该地区有80%的地方降水，有20%的地方不降水
B．明天该地区降水的可能性为80%
C．气象台的专家中有80%的人认为会降水，另外有20%的专家认为不降水
D．明天该地区有80%的时间降水，其他时间不降水
【解题思路】降水概率指的是降水的可能性，根据概率的意义作出判断即可.
【解答过程】“明天降水的概率为80%”指的是“明天该地区降水的可能性是80%”，且明天下雨的可能性比较
大，故选 B.
【变式 3-3】（2025 高一下·全国·专题练习）气象台预报“本市明天降水的概率是 30%”，对于这句话的理解，
下列说法正确的是
A．本市明天将有 30%的地区降水
B．本市明天将有 30%的时间降水
C．本市明天有可能降水
D．本市明天肯定不降水
【解题思路】气象台预报“本市明天降水的概率是 30%”，表示本市明天降水的可能性为 30%,
逐一分析每个选项，得出答案.
【解答过程】气象台预报“本市明天降水的概率是 30%”，表示本市明天降水的可能性为 30%,
故 A、B、D 均不正确，
故选 C.
【题型 4 其他问题中的概率解释】
【例 4】（24-25 高二·全国·假期作业）已知某厂生产的某批产品的合格率为90%，现从该批次产品中抽出
100 件产品检查，则下列说法正确的是（ ）
A．合格产品少于 90 件 B．合格产品多于 90 件
C．合格产品正好是 90 件 D．合格产品可能是 90 件
【解题思路】根据概率的定义与性质，直接可求解.
【解答过程】某厂生产的某批产品的合格率为90%，现从该批次产品中抽出 100 件产品检查，
在 A 中，合格产品可能不少于 90 件，故 A 错误；
在 B 中，合格产品可能不多于 90 件，故 B 错误；
在 C 中，合格产品可能不是 90 件，故 C 错误；
在 D 中，合格产品可能是 90 件，故 D 正确．
故选 D．
【变式 4-1】（24-25 高一下·全国·课后作业）老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是 0.8，是指（ ）
A．老师每讲一题，该题有 80%的部分能听懂，20%的部分听不懂
B．老师在讲的 10 道题中，李峰能听懂 8 道
C．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为 80%
D．以上解释都不对
【解题思路】根据概率的意义，反映一件事情发生的可能性.
【解答过程】概率的意义就是事件发生的可能性大小，即李峰听懂老师所讲这道题的可能性为 80%.
故选：C.
【变式 4-2】（24-25 高一·全国·课后作业）根据某市疾控中心的健康监测，该市在校中学生的近视率约为
78.7%.某眼镜厂商要到中学给近视学生配送滴眼液，每人一瓶，已知该校学生总数为 600 人，则眼镜商应带
滴眼液的瓶数为（ ）
A．600 B．787 C．不少于 473 D．不多于 473
【解题思路】根据近视率估计有多少人得了近视即可得解.
【解答过程】解：依题意，该市在校中学生的近视率约为 78.7%.
故 600 人中大约有600 × 78.7% ≈ 472，
故眼镜商应带滴眼液的瓶数应不少于 473 瓶，
故选：C.
【变式 4-3】（24-25 高二下·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是
A 1．某厂一批产品的次品率为10 ，则任意抽取其中 10 件产品一定会发现一件次品
B．掷一枚硬币，连续出现 5 次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为 0.5
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为 10%，那么前 9 个病人都没有治愈，第 10 个人就一定能治愈
D．气象部门预报明天下雨的概率是 90%，说明明天该地区 90%的地方要下雨，其余 10%的地方不会下
雨
【解题思路】根据事件的频率的概念和事件概率的含义判断正误即可．
【解答过程】A.产品的次品率是通过大量的产品通过实验得到的数据，题目中的产品个数很少，故不正确；
B.掷硬币正面或反面朝上的概率是通过大量实验得到的准确的值，和实验次数无关，故正确；
C.解释同 A 选项，也不正确；
D．事件的概率是大量实验后得到的结果，是准确的值，和实验次数无关，但是 D 选项的说法体现的不是
概率的概念，故不正确．
故选：B.
【题型 5 事件的关系和运算】
【例 5】（24-25 高一下·全国·随堂练习）掷一枚骰子，设事件 = {出现的点数不小于 5}， = {出现的点数
为偶数}，则事件 A 与事件 B 的关系是（ ）
A． B． ∩ = {出现的点数为 6}
C．事件 A 与 B 互斥 D．事件 A 与 B 是对立事件
【解题思路】利用两个事件的关系对各个选项进行判断即可．
【解答过程】 = {出现的点数不小于 5} = {出现的点数为5,6}， = {出现的点数为偶数} = {出现的点数为
2,4,6}，
则 ∩ = {出现的点数为6}，故 B 正确，A 错误；
因为事件 A 与事件 B 可以同时发生，故事件 A 与 B 不是互斥事件，也不是对立事件，故 C，D 错误，
故选：B．
【变式 5-1】（24-25 高一下·全国·课后作业）在一次随机试验中，彼此互斥的事件 A，B，C，D 的概率分
别是 0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是（ ）
A． + 与 C 是互斥事件，也是对立事件
B． + 与 D 是互斥事件，也是对立事件
C． + 与 + 是互斥事件，但不是对立事件
D．A 与 + + 是互斥事件，也是对立事件
【解题思路】本题考查互斥事件及对立事件的概念，依据互斥事件和对立事件的定义判断即可.
【解答过程】由于 A,B,C,D 彼此互斥且0.2 + 0.2 + 0.3 + 0.3 = 1,则 + + + 是一个必然事件,
任何一个事件与其余 3 个事件的和事件必然是对立事件；
任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.
所以 + 与 C 是互斥事件，但不是对立事件；
+ 与 D 是互斥事件，但不是对立事件；
+ 与 + 是互斥事件，也是对立事件；
A 与 + + 是互斥事件，也是对立事件.
故选：D.
【变式 5-2】（23-24 高二上·黑龙江双鸭山·开学考试）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那
么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
【解题思路】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答.
【解答过程】对于 A，恰好有一个黑球的事件与恰好有两个黑球的事件不能同时发生，可以同时不发生，
因此“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而不对立的两个事件，A 是；
对于 B，至少有一个黑球的事件与都是红球的事件是对立事件，B 不是；
对于 C，至少有一个黑球的事件与至少有一个红球的事件可以同时发生，不互斥，C 不是；
对于 D，至少有一个黑球的事件与都是黑球的事件可以同时发生，不互斥，D 不是.
故选：A.
【变式 5-3】（24-25 高二上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件 = “甲击中
靶”，事件 = “乙击中靶”，事件 = “靶未被击中”，事件 = “靶被击中”，事件 = “恰一人击中靶”，对下
列关系式（ 表示 的对立事件， 表示 的对立事件）：① = ，② = ，③ = + ，
④ = + ，⑤ = + ，⑥ ( ) = 1 ( )，⑦ ( ) = ( ) + ( )．其中正确的关系式的个数是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中
或两人都击中，依次判定即可.
【解答过程】由题可得：① = ，正确；②事件 = “靶被击中”， 表示甲乙同时击中， = + +
，所以②错误；
③ = + ，正确，④ + 表示靶被击中，所以④错误；⑤ = + ，正确；⑥ , 互为对立事件，
( ) = 1 ( )，正确；⑦ ( ) = ( ) + ( ) ( )，所以⑦不正确．
正确的是①③⑤⑥．
故选：B.
【知识点 2 古典概型与概率的基本性质】
1．古典概型
(1)事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件 A 的概率用 P(A)表示.
(2)古典概型的定义
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(3)古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所
有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型：
①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能;
②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；
③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.
2．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 A 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中的 k 个样本点，则定义
事件 A 的概率 P(A)= = ，其中，n(A)和 n(Ω)分别表示事件 A 和样本空间 Ω 包含的样本点个数.
3．求样本空间中样本点个数的方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，
有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.
4．概率的基本性质
性质 1 对任意的事件 A，都有 P（A）≥0.
性质 2 必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即 P（Ω）= 1，
P( )=0.
性质 3 如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 P（ ）=P（A）＋P
（B）. 推广：如果事件 A1，A2，···，Am．两两互斥，那么事件
发生的概率等于这 m 个事件分别发生的概率
之和，即 P（ ）=P(A1)+P(A2)+···+P(Am).
性质 4 如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 P（B）= P（A），
P(A)= P(B).
性质 5 如果 ，那么 P（A）≤P（B）.
性质 6 设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有 P（ ）=P
（A）＋P（B） .
【题型 6 写出基本事件】
【例 6】（23-24 高二上·贵州·期中）先后抛掷 2 枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正反面情
况，则下列事件包含 3 个基本事件的是（ ）
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
【解题思路】利用列举法，直接列举出总的基本事件，逐项判断，即可得出结果.
【解答过程】先后抛掷 2 枚均匀的一分 二分的硬币，所包含的基本事件有{正，正} {正，反} {反，正} {反，
反}，
“至少一枚硬币正面向上”包含的基本事件有{正，正} {正，反} {反，正}共三个，故 A 正确；
“只有一枚硬币正面向上”包含的基本事件有{正，反} {反，正}共两个，故 B 错；
“两枚硬币都是正面向上”包含的基本事件有{正，正}共一个，故 C 错；
“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上” 包含的基本事件有{正，反} {反，正}共两个，故 D 错.
故选：A.
【变式 6-1】（24-25 高一下·全国·课后作业）有 5 根木棍，其长度分别为 2，3，4，5，6，从这 5 根木棍中
任取 3 根，首尾相接能构成三角形的有（ ）
A．10 个 B．8 个 C．7 个 D．6 个
【解题思路】由题意，确定满足条件的基本事件个数即可．
【解答过程】根据三角形任意两边之和大于第三边，
所以能组成三角形的有：2，3，4；2，4，5；2，5，6；3，4，5；3，4，6；3，5，6；4，5，6，共 7 个，
故选：C．
【变式 6-2】（24-25 高二上·湖北武汉·阶段练习）一个箱子中装有编号分别为1、2、3、4、5的5个小球，5
个小球除编号外其他均无异，现有事件 为“从箱中任取3个小球观察其编号”，问事件 A 的样本点数有
（ ）
A．8个 B．10个 C．18个 D．20个
【解题思路】根据题意，列举出所有可能得情况，即可得到结果.
【解答过程】因为事件 为“从箱中任取3个小球观察其编号”，
则事件 包含的样本点有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4)，
(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10种.
故选：B.
【变式 6-3】（24-25 高二·全国·课后作业）有4张卡片，上面分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随
机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】一一列举即可
【解答过程】取出的2张卡片上的数字之和为奇数所包含的基本事件为：{1,2}，{1,4}，{3,2}，{3,4}
故选：D.
【题型 7 计算古典概型问题的概率】
【例 7】（24-25 高二上·山西·阶段练习）在山西的某个旅游景点内有刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜
面这 5 种传统小吃.某游客从中随机选择 3 种品尝，则该游客选择了油炸糕和莜面品尝的概率为（ ）
A 3 3 2 1．5 B．10 C．5 D．3
【解题思路】利用编号，列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解.
【解答过程】将刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这 5 种传统小吃分别设为 ， ， ， ， ，
根据题意，该游客从中随机选择 3 种品尝的所有情况有( , , )，( , , )，( , , )，( , , )，( , , )，
( , , )，( , , )，( , , )，( , , )，( , , )，共 10 种，
其中该游客选择了油炸糕和莜面品尝的( , , )，( , , )，( , , )，情况有 3 种，
3
故所求概率为10.
故选：B.
【变式 7-1】（24-25 高一上·北京房山·期末）掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件 = “点数为奇
数”，事件 = “点数为3的整数倍”，若 ( )， ( )分别表示事件 ， 发生的概率，则（ ）
A ( ) = 1 ( ) = 1 B ( ) = 1． 3， 2 ． 2， ( ) =
1
3
C． ( ) = ( ) = 12 D． ( ) = ( ) =
1
3
【解题思路】利用古典概型求解概率即可.
【解答过程】首先，我们知道投掷的点数有1,2,3,4,5,6，
对于 ，符合条件的有1,3,5，对于 ，符合条件的有3,6，
( ) = 3 = 1故 6 2， ( ) =
2 = 16 3，故 B 正确.
故选：B.
【变式 7-2】（24-25 高一下·全国·课后作业）某汽车站每天均有 3 辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，
某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能
乘坐上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘
坐上等车的概率为（ ）
A 1 B 1 C 1．4 ．3 ．2 D
5
．6
【解题思路】根据题意，由列举法可得所有可能的客车通过顺序的情况，分析可得该人可以乘上上等车的
情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．
【解答过程】根据题意，所有可能的客车通过顺序的情况为
（上，中，下），（上，下，中），（中，上，下），
（中，下，上），（下，中，上），（下，上，中），共 6 种，
其中该人可以乘坐上等车的情况有（中，上，下），（中，下，上），（下，上，中），共 3 种，
3 1
则其概率为6 = 2．
故选：C.
【变式 7-3】（23-24 高一上·四川内江·开学考试）某公园有东、南、西、北共 4 个大门供游客出入，小军、
小明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大
门出去的概率是（ ）
A 1 1 1 1．16 B．8 C．4 D．2
【解题思路】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小军、小明恰好从
同一个出口出该公园的情况，再利用古典概率公式求解即可求得答案．
【解答过程】如图，
由树状图可知，共有 16 种等可能结果，其中小军、小明恰好从同一个出口出该公园的有 4 种等可能结果，
4 1所以小军、小明恰好从同一个出口出该公园的概率为16 = 4，
故选：C．
【题型 8 概率的基本性质及其应用】
【例 8】（23-24 高二下·浙江舟山· 1 7期末）设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ( ) = 2， = 12，
1 + = 4，则 ( + ) = （ ）
A 7 2．12 B．3 C
11 3
．12 D．4
【解题思路】根据对立事件的概率与互斥事件的概率及概率的加法公式计算求解即可.
1 7 1 5
【解答过程】因为 ( ) = 2， = 12，故 = 2， ( ) = 12，
因为 与 1为互斥事件，故 + = + = 4，
又 + ( ) = ( ), + ( ) = ( )，
5 1 1
所以有 ( ) ( ) + ( ) ( ) = 12 + 2 2 ( ) = 4，
1 1 5 1 7故 ( ) = 3，故 ( + ) = ( ) + ( ) ( ) = 2 + 12 3 = 12.
故选：A.
1 1
【变式 8-1】（23-24 高一下·全国·阶段练习）已知事件 、 、 两两互斥，若 ( ) = 6, ( ) = 3, ( ∪ ) =
11
30，则 ( ∪ ) = （ ）
A 7 8 1 14．15 B．15 C．15 D．15
【解题思路】根据互斥事件的概率公式求出 ( )、 ( ∪ ).
1 1 11
【解答过程】因为事件 、 、 两两互斥， ( ) = 6, ( ) = 3, ( ∪ ) = 30，
所以 ( ) = ( ∪ ) ( ) =
11
30
1 = 16 5，
所以 1 1 8( ∪ ) = ( ) + ( ) = 5 + 3 = 15.
故选：B.
【变式 8-2】（23-24 高一下·福建宁德·期末）设 , 为两个互斥事件，且 ( ) > 0， ( ) > 0，则下列各式
一定正确的是（ ）
A． ( ) = ( ) ( ) B． ( ∪ ) = ( ) + ( )
C． ( ) = ( ) + ( ) D． ( ∪ ) = ( ) ( )
【解题思路】根据互斥事件的含义判断各选项即可.
【解答过程】因为 , 为两个互斥事件， ( ) > 0， ( ) > 0，
所以 ∩ = ，即 ( ) = 0，且 ( ∪ ) = ( ) + ( ).
故选：B．
【变式 8-3】（24-25 高一下·安徽·开学考试）若事件 , 为两个互斥事件，且 ( ) > 0, ( ) > 0，有以下四
个结论，其中正确的结论是（ ）
① ( ) = 0
② = [1 ( )] ( )
③ ∪ = 1
④ ( ∪ ) = ( ) + ( )
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【解题思路】根据互斥事件的含义可判断①；根据题意可知 ，从而判断②；根据概率的性质可判断
③④．
【解答过程】 ∵ 事件 , 为两个互斥事件， ∩ = ， ∴ ( ) = 0，故①正确；
∵ 事件 , 为两个互斥事件，则 ， ∴ = ( )，故②错误；
( ∪ ) = 1 ( ) = 1 0 = 1，故③正确；
( ∪ ) = ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ( )，故④正确，
综上，①③④正确，
故选：A．
【题型 9 游戏的公平性问题】
【例 9】（24-25 高一下·全国·课后作业）用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时
出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜.这个游戏公平吗？
【解题思路】分别计算出甲胜和以胜的概率即可得解.
【解答过程】解：这个游发是公平的，
理由：抛掷两枚硬币共有 4 种等可能结果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
1
所以甲、乙获胜的概率都是2.
【变式 9-1】（24-25 高一·全国·课后作业）下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，
分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？
游戏 1 游戏 2 游戏 3
袋子
中球
的数 1 个红球和 1 个白球 2 个红球和 2 个白球 3 个红球和 1 个白球
量和
颜色
取球
取 1 个球 依次取出 2 个球 依次取出 2 个球
规则
获胜 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜
规则 取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜
【解题思路】利用古典概型的概率公式分别计算三个游戏中甲获胜的概率，根据甲乙对应的概率是否相等
判断游戏的公平性.
1
【解答过程】解：游戏 1 中，甲获胜的概率为2；
游戏 2 2 1中，甲获胜的视率为6 = 3；
3 1
游戏 3 中，甲获胜的概率为6 = 2，
所以游戏 1 和游戏 3 是公平的.
【变式 9-2】（24-25 高一·全国·课后作业）一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿
色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：
甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，
如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：
“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿
1 1
色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为2，我赢的概率也是2，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.
【解题思路】把卡片六个面的颜色记为 1， 2， 3， 1， 2， 3，其中，G 表示绿色，B 表示蓝色； 3和
3是两面颜色不一样的那张卡片的颜色，用树形图得到样本空间，计算出概率即可判断.
【解答过程】解：把卡片六个面的颜色记为 1， 2， 3， 1， 2， 3，
其中，G 表示绿色，B 表示蓝色； 3和 3是两面颜色不一样的那张卡片的颜色.
游戏所有的结果可以用如图表示.
不难看出，此时，样本空间中共有 6 个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有 2 种，因此乙
2 1
赢的概率为6=3.
因此，这个游戏不公平.
【变式 9-3】（24-25 高一·全国·课后作业）已知 n 是一个三位正整数，若 n 的个位数字大于十位数字，十位
数字大于百位数字，则称 n 为“三位递增数”（如 135，256，345 等）
现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由 1，2，3，4，5，6 组
成的所有“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只抽取 1 次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞
赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由 1，2，3，4，5，6 可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.
（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.
【解题思路】（1）根据定义一一列举出即可；
（2）由（1）根据古典概型的概率计算公式分别计算概率即可判断.
【解答过程】解：（1）由题意知，所有由 1，2，3，4，5，6 组成的“三位递增数共有 20 个.
分别是 123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，
346，356，456.
（2）不公平由（1）知，所有由 1，2，3，4，5，6 组成的“三位递增数”有 20 个，记“甲参加数学竞赛”为事
件 A，记“乙参加数学竞赛”为事件 B.则事件 A 含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，
236，246，256，346，356，456 共 13 个.
由古典概型计算公式，得
事件 含有的基本事件的个数
( ) = = 13，
试验所有基本事件的总数 20
13 7
又 A 与 B 对立，所以 ( ) = 1 ( ) = 1 20 = 20，
所以 ( ) > ( ).故选取规则对甲、乙两名学生不公平.
【题型 10 古典概型与其他知识的综合】
【例 10】（24-25 高二上·贵州·阶段练习）某报社发起“建党100周年”主题征文比赛，活动中收到了来自社
会各界的大量文章，报社从中选取了60篇文章，打算以专栏形式在报纸上发表，已知这些文章的作者各不
相同，且年龄都集中在[15,65]内，根据统计结果，作出频率分布直方图如图所示．
(1)求 的值；
(2)估计这60名作者年龄的中位数；（结果精确到0.01）
(3)为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这60
篇文章中抽出20篇文章，并邀请相应作者参加座谈会，若从参加座谈会的年龄在[15,35)的作者中随机选出2
人作为代表发言，求这2人中至少有1人的年龄在[15,25)的概率．
【解题思路】（1）根据频率分布直方图频率之和为1求出 ；
（2）利用百分位数的计算公式计算出中位数；
（3）利用列举法求解古典概型的概率．
【解答过程】（1）由频率分布直方图可知10 × (0.01 + 0.015 + + 0.03 + 0.01) = 1，所以 = 0.035．
（2）因为前两组频率之和为0.1 + 0.15 = 0.25，前三组频率之和为0.25 + 0.35 = 0.6，
0.5 0.25 50
所以中位数在[35,45)中，故中位数的估计值为35 + 10 × 0.35 = 35 + 7 ≈ 42.14．
（3）由题可知抽出的20篇文章的作者中，年龄在[15,25)的有20 × 0.01 × 10 = 2人，记为 1、 2，
年龄在[25,35)的有20 × 0.015 × 10 = 3人，记为 1、 2、 3，
现从这5个人中选出2人，所有不同的结果有10种：
1 2、 1 1、 1 2、 1 3、 2 1、 2 2、 2 3、 1 2、 1 3、 2 3.
至少有1人的年龄在[15,25)内对应的不同的结果有7种：
1 2、 1 1、 1 2、 1 3、 2 1、 2 2、 2
7
3，所以所求概率 = 10．
【变式 10-1】（24-25 高一下·贵州遵义·阶段练习）某地文化和旅游局统计了春节期间 100 个家庭的旅游支
出情况，统计得到这 100 个家庭的旅游支出（单位：千元）数据，按[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13]分成 5 组，
并绘制成频率分布直方图，如图所示．
(1)估计这 100 个家庭的旅游支出的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
(2)估计这 100 个家庭的旅游支出的第 70 百分位数（结果保留一位小数）；
(3)在这 100 个家庭中，旅游支出在[3,5),[5,7)（千元）的家庭中，按分层抽样的方法抽取 5 个家庭，再从这
5 个家庭中抽取 2 个家庭，求至少有 1 个家庭的旅游支出在[3,5)千元内的概率.
【解题思路】（1）利用频率分布直方图估计平均数.
（2）利用频率分布直方图求出第 70 百分位数.
（3）首先要明确分层抽样确定各区间抽取家庭数，然后根据古典概型概率公式计算概率.
【解答过程】（1）估计这 100 个家庭的旅游支出的平均值为：
2(4 × 0.050 + 6 × 0.075 + 8 × 0.175 + 10 × 0.150 + 12 × 0.050) = 8.3（千元）.
（2）由频率分布直方图知，旅游支出在[3,9)千元的频率为2 × 0.050 + 2 × 0.075 + 2 × 0.175 = 0.6，
在[3,11)千元的频率为0.6 + 2 × 0.15 = 0.9，则这 100 个家庭的旅游支出的第 70 百分位数 ∈ [9,11)，
则0.6 + ( 9) × 0.150 = 0.7，解得 ≈ 9.7，
所以估计这 100 个家庭的旅游支出的第 70 百分位数为 9.7.
（3）以频率估计概率，得每个家庭的旅游支出在[3,5)千元内的概率为2 × 0.050 = 0.1，[5,7)千元内的概率
为2 × 0.075 = 0.15，则按分层抽样的方法抽取 5 个家庭，[3,5),[5,7)千元内抽取家庭数之比为2:3,所以[3,5)
千元内抽取 2 个家庭, [5,7)千元内抽取 3 个家庭,
设旅游支出在[3,5)千元的 2 个家庭记为 、 ，在[5,7)千元的 3 个家庭记为 、 、 .从这 5 个家庭中抽取 2
个家庭的所有可能情况有：( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )，共 10 种.
至少有 1 个家庭旅游支出在[3,5)千元内的情况有：( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),共 7 种.
所以至少有 1 个家庭的旅游支出在[3,5)千元内的概率 = 710.
【变式 10-2】（24-25 高一下·江西抚州·阶段练习）其校为了解学生的综合素养情况，从该校学生中随机地
抽取了 40 名学生作为样本，进行综合素养测评，将他们的得分（满分：100 分）分成[40,50),[50,60),[60,70),
[70,80),[80,90),[90,100]，共六组．根据他们的得分绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)从得分低于 60 分的样本中随机地选取 2 个样本，求这 2 个样本的得分在同一组的概率；
(2)若在[80,90)内的样本得分的平均数为 86 分，方差为 10，在[90,100]内的样本得分的平均数为 92 分，方
差为 6，求在[80,100]内的样本得分的平均数和方差．
【解题思路】（1）先计算频率分布直方图求出得分低于 60 分的样本在不同组的数列，
再利用古典概型的概率公式计算这 2 个样本的得分在同一组的概率；
（2）根据加权平均数公式和方差的性质计算[80,100]内的样本得分的平均数和方差.
【解答过程】（1）由图可知，10 × (0.005 + 0.020 + 0.025 + 0.030 + 2 ) = 1，解得 = 0.010，
则在[40,50)内的样本容量为40 × 10 × 0.005 = 2，将这 2 个样本分别记为A1, A2，
在[50,60)内的样本容量为40 × 10 × 0.010 = 4，将这 4 个样本分别记为B1, B2, B3, B4．
从中随机地选取 2 个，可知样本空间
Ω = {A1 A2, A1 B1, A1 B2, A1 B3, A1 B4, A2 B1, A2 B2,A2 B3,A2 B4, B1 B2,
B1 B3, B1 B4, B2 B3, B2 B4, B3 B4}，
共有 15 个样本点．
用事件 表示“这 2 个样本的得分在同一组”，
则 = {A1 A2, B1 B2, B1 B3, B1 B4, B2 B3, B2 B4,B3 B4}，有 7 个样本点，
7 7
则 ( ) = 15，即这 2 个样本得分在同一组的概率为15．
（2）由图可知，在[80,90)内的样本数与在[90,100]内的样本数之比为2:1，
2 1
所以在[80,100]内的样本得分的平均数 = 3 × 86 + 3 × 92 = 88分，
2 1 50
方差 2 = 3 10 + (88 86)
2 + 3 6 + (88 92)
2 = 3 .
【变式 10-3】（24-25 高一下·全国·单元测试）某新能源汽车销售部为了满足广大客户对新能源汽车性能的
需求，随机抽取了 500 名用户进行问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按[20,30),[30,40)
, [40,50),[50,60),[60,70]分组，并绘制出了部分频率分布直方图，如图所示．
(1)请将频率分布直方图补充完整；
(2)估计样本中所有用户的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；
(3)销售部从年龄在[20,30),[30,40)两组的样本中用分层抽样的方法抽取 4 人，再从这 4 人中随机抽取 2 人进
行电话回访，求这 2 人取自不同年龄区间的概率．
【解题思路】（1）根据频率分布直方图计算缺少的部分的频率，再补充频率分布直方图即可；
（2）利用频率分布直方图中平均数估计的计算公式计算即可；
（3）根据分层抽样，计算年龄在[20,30)内的有 1 人,记为 A；年龄在[30,40)内的有 3 人，分别记为 1, 2,
3，由列举法以及古典概型的概率计算公式计算可得答案.
【解答过程】（1）年龄在[30,40)的频率为1 (0.008 + 0.040 + 0.016 + 0.012) × 10 = 0.24，
补充完整的频率分布直方图如图所示．
（2）所有用户的平均年龄的估计值为
10 × (0.008 × 25 + 0.024 × 35 + 0.040 × 45 + 0.016 × 55 + 0.012 × 65) = 45，
故估计样本中所有用户的平均年龄为 45 岁．
（3）由分层抽样的方法可知，抽取的 4 人中，年龄在[20,30)内的有 1 人，记为 A，
年龄在[30,40)内的有 3 人，分别记为 1, 2, 3，
则从这 4 人中随机抽取 2 人的所有样本点有
( , 1),( , 2),( , 3),( 1, 2),( 1, 3),( 2, 3)，共 6 种．
记这 2 人取自不同年龄区间为事件 M，其样本点有( , 1),( , 2),( , 3)，共 3 种，
故这 2 3 1人取自不同年龄区间的概率为 ( ) = 6 = 2．专题 10.1 随机事件与概率【十大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 事件的分类】 ............................................................................................................................................3
【题型 2 事件与样本空间】 ....................................................................................................................................3
【题型 3 天气预报、抽奖、彩票的概率解释】 ....................................................................................................4
【题型 4 其他问题中的概率解释】 ........................................................................................................................5
【题型 5 事件的关系和运算】 ................................................................................................................................5
【题型 6 写出基本事件】 ........................................................................................................................................7
【题型 7 计算古典概型问题的概率】 ....................................................................................................................8
【题型 8 概率的基本性质及其应用】 ....................................................................................................................8
【题型 9 游戏的公平性问题】 ................................................................................................................................9
【题型 10 古典概型与其他知识的综合】 ............................................................................................................11
【知识点 1 有限样本空间与事件】
1．有限样本空间
(1)随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母 E 表示.我们感兴趣的是具
有以下特点的随机试验：
①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
(2)有限样本空间
我们把随机试验 E 的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验 E 的样本空间.
一般地，我们用 Ω 表示样本空间，用 ω 表示样本点 .如果一个随机试验有 n 个可能结果
，
则称样本空间 Ω={ }为有限样本空间.
2．事件
(1)随机事件
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们
将样本空间 Ω 的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般
用大写字母 A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当 A 中某个样本点出现时，称为事件 A 发生.
(2)必然事件
A 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以 Ω 总会发生，我
们称 Ω 为必然事件.
(3)不可能事件
空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件.
3．事件的关系和运算
(1)两个事件的关系和运算
事件的关系 含义 符号表示 图形表示
或运算
包含 A 发生导致 B 发生
并事件 A 与 B 至少一个发生 或
（和事件）
交事件 A 与 B 同时发生 或
（积事件）
互斥 A 与 B 不能同时发生
（互不相容）
互为对立 A 与 B 有且仅有一个发生 ，
(2)多个事件的和事件、积事件
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件 A，B，C，···，A∪B∪C∪··· (或
A+B+C+···)发生当且仅当 A，B，C，···中至少一个发生，A∩B∩C∩··· (或 ABC···)发生当且仅当 A，B，
C，···同时发生.
4．样本空间中样本点的求法
(1)列举法
列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，
即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏.
(2)列表法
对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以
便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法.
(3)树状图法
树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法.
5．用集合观点看事件间的关系
符号 概率角度 集合角度
Ω 必然事件 全集
不可能事件 空集
ω 试验的可能结果 Ω 中的元素
A 事件 Ω 的子集
的对立事件 A 的补集
事件 A 包含于事件 B 集合 A 是集合 B 的子集
事件 A 等于事件 B 集合 A 等于集合 B
或 事件 A 与事件 B 的并（和）事件 集合 A 与 B 的并集
或 事件 A 与事件 B 的交（积）事件 集合 A 与 B 的交集
事件 A 与事件 B 互斥 集合 A 与 B 的交集为空集
， 事件 A 与事件 B 对立 集合 A 与 B 互为补集
且
【题型 1 事件的分类】
【例 1】（24-25 高一下·全国·期末）以下事件是随机事件的是（ ）
A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄
C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大
【变式 1-1】（2024 高一下·全国·专题练习）将一根长为 a 的铁丝随意截成三段，这三段铁丝构成一个三角
形，此事件是（ ）
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．不能判定
【变式 1-2】（2024 高二下·安徽·学业考试）抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件 = “点数不大于 2”，事件
= “点数大于 1”，则下列结论中正确的是（ ）
A．M 是不可能事件 B．N 是必然事件
C． ∩ 是不可能事件 D． ∪ 是必然事件
【变式 1-3】（24-25 高二上·上海·课后作业）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
②“当 x 为某一实数时，可使 2 < 0”是不可能事件；
③“明天上海要下雨”是必然事件；
④“从 100 个灯泡中取出 5 个，5 个都是次品”是随机事件．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【题型 2 事件与样本空间】
【例 2】（23-24 高一上·全国·课后作业）高一(1)班计划从 A，B，C，D，E 这五名班干部中选两人代表班级
参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（ ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【变式 2-1】（24-25 高二上·吉林·阶段练习）若随机试验的样本空间为Ω = {0,1,2}，则下列说法不正确的是
（ ）
A．事件 = {1,2}是随机事件 B．事件 = {0,1,2}是必然事件
C．事件 = { 1, 2}是不可能事件 D．事件{ 1,0}是随机事件
【变式 2-2】（24-25 高一·全国·课后作业）一个家庭有两个小孩，则样本空间为（ ）
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
【变式 2-3】（24-25 高一·全国·课后作业）随机事件“连续掷一颗筛子直到出现 5 点停止，观察掷的次数”的
样本空间是（ ）
A．5 B．1 到 6 的正整数 C．6 D．一切正整数
【题型 3 天气预报、抽奖、彩票的概率解释】
【例 3】（24-25 高一下·全国·课后作业）气象台预报“本市明天降雨概率是 70%”，下列说法正确的是
（ ）
A．本市明天将有 70%的地区降雨 B．本市有天将有 70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大 D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
【变式 3-1 23-24 1】（ 高二上·湖北宜昌·期中）某种彩票的中奖概率为100000，则以下理解正确的是（ ）
A．购买这种彩票 100000 张，一定能中奖一次
B．购买这种彩票 100000 张，可能一次也没中奖
C．购买这种彩票 1 张，一定不能中奖
D．购买这种彩票 100000 张，至少能中奖一次
【变式 3-2】（24-25 高二·黑龙江牡丹江·单元测试）在天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降
水的概率为80%”，这是指（ ）
A．明天该地区有80%的地方降水，有20%的地方不降水
B．明天该地区降水的可能性为80%
C．气象台的专家中有80%的人认为会降水，另外有20%的专家认为不降水
D．明天该地区有80%的时间降水，其他时间不降水
【变式 3-3】（2025 高一下·全国·专题练习）气象台预报“本市明天降水的概率是 30%”，对于这句话的理解，
下列说法正确的是
A．本市明天将有 30%的地区降水
B．本市明天将有 30%的时间降水
C．本市明天有可能降水
D．本市明天肯定不降水
【题型 4 其他问题中的概率解释】
【例 4】（24-25 高二·全国·假期作业）已知某厂生产的某批产品的合格率为90%，现从该批次产品中抽出
100 件产品检查，则下列说法正确的是（ ）
A．合格产品少于 90 件 B．合格产品多于 90 件
C．合格产品正好是 90 件 D．合格产品可能是 90 件
【变式 4-1】（24-25 高一下·全国·课后作业）老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是 0.8，是指（ ）
A．老师每讲一题，该题有 80%的部分能听懂，20%的部分听不懂
B．老师在讲的 10 道题中，李峰能听懂 8 道
C．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为 80%
D．以上解释都不对
【变式 4-2】（24-25 高一·全国·课后作业）根据某市疾控中心的健康监测，该市在校中学生的近视率约为
78.7%.某眼镜厂商要到中学给近视学生配送滴眼液，每人一瓶，已知该校学生总数为 600 人，则眼镜商应带
滴眼液的瓶数为（ ）
A．600 B．787 C．不少于 473 D．不多于 473
【变式 4-3】（24-25 高二下·广西南宁·阶段练习）下列说法正确的是
A 1．某厂一批产品的次品率为10 ，则任意抽取其中 10 件产品一定会发现一件次品
B．掷一枚硬币，连续出现 5 次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为 0.5
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为 10%，那么前 9 个病人都没有治愈，第 10 个人就一定能治愈
D．气象部门预报明天下雨的概率是 90%，说明明天该地区 90%的地方要下雨，其余 10%的地方不会下
雨
【题型 5 事件的关系和运算】
【例 5】（24-25 高一下·全国·随堂练习）掷一枚骰子，设事件 = {出现的点数不小于 5}， = {出现的点数
为偶数}，则事件 A 与事件 B 的关系是（ ）
A． B． ∩ = {出现的点数为 6}
C．事件 A 与 B 互斥 D．事件 A 与 B 是对立事件
【变式 5-1】（24-25 高一下·全国·课后作业）在一次随机试验中，彼此互斥的事件 A，B，C，D 的概率分
别是 0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是（ ）
A． + 与 C 是互斥事件，也是对立事件
B． + 与 D 是互斥事件，也是对立事件
C． + 与 + 是互斥事件，但不是对立事件
D．A 与 + + 是互斥事件，也是对立事件
【变式 5-2】（23-24 高二上·黑龙江双鸭山·开学考试）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那
么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
【变式 5-3】（24-25 高二上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件 = “甲击中
靶”，事件 = “乙击中靶”，事件 = “靶未被击中”，事件 = “靶被击中”，事件 = “恰一人击中靶”，对下
列关系式（ 表示 的对立事件， 表示 的对立事件）：① = ，② = ，③ = + ，
④ = + ，⑤ = + ，⑥ ( ) = 1 ( )，⑦ ( ) = ( ) + ( )．其中正确的关系式的个数是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【知识点 2 古典概型与概率的基本性质】
1．古典概型
(1)事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件 A 的概率用 P(A)表示.
(2)古典概型的定义
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(3)古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所
有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型：
①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能;
②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；
③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.
2．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 A 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中的 k 个样本点，则定义
事件 A 的概率 P(A)= = ，其中，n(A)和 n(Ω)分别表示事件 A 和样本空间 Ω 包含的样本点个数.
3．求样本空间中样本点个数的方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，
有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.
4．概率的基本性质
性质 1 对任意的事件 A，都有 P（A）≥0.
性质 2 必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即 P（Ω）= 1，
P( )=0.
性质 3 如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 P（ ）=P（A）＋P
（B）. 推广：如果事件 A1，A2，···，Am．两两互斥，那么事件
发生的概率等于这 m 个事件分别发生的概率
之和，即 P（ ）=P(A1)+P(A2)+···+P(Am).
性质 4 如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 P（B）= P（A），
P(A)= P(B).
性质 5 如果 ，那么 P（A）≤P（B）.
性质 6 设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有 P（ ）=P
（A）＋P（B） .
【题型 6 写出基本事件】
【例 6】（23-24 高二上·贵州·期中）先后抛掷 2 枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正反面情
况，则下列事件包含 3 个基本事件的是（ ）
A．“至少一枚硬币正面向上”
B．“只有一枚硬币正面向上”
C．“两枚硬币都是正面向上”
D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
【变式 6-1】（24-25 高一下·全国·课后作业）有 5 根木棍，其长度分别为 2，3，4，5，6，从这 5 根木棍中
任取 3 根，首尾相接能构成三角形的有（ ）
A．10 个 B．8 个 C．7 个 D．6 个
【变式 6-2】（24-25 高二上·湖北武汉·阶段练习）一个箱子中装有编号分别为1、2、3、4、5的5个小球，5
个小球除编号外其他均无异，现有事件 为“从箱中任取3个小球观察其编号”，问事件 A 的样本点数有
（ ）
A．8个 B．10个 C．18个 D．20个
【变式 6-3】（24-25 高二·全国·课后作业）有4张卡片，上面分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随
机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型 7 计算古典概型问题的概率】
【例 7】（24-25 高二上·山西·阶段练习）在山西的某个旅游景点内有刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜
面这 5 种传统小吃.某游客从中随机选择 3 种品尝，则该游客选择了油炸糕和莜面品尝的概率为（ ）
A 3．5 B
3 2 1
．10 C．5 D．3
【变式 7-1】（24-25 高一上·北京房山·期末）掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件 = “点数为奇
数”，事件 = “点数为3的整数倍”，若 ( )， ( )分别表示事件 ， 发生的概率，则（ ）
A ( ) = 1 ( ) = 1． 3， 2 B． ( ) =
1 1
2， ( ) = 3
C． ( ) = ( ) = 12 D． ( ) = ( ) =
1
3
【变式 7-2】（24-25 高一下·全国·课后作业）某汽车站每天均有 3 辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，
某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能
乘坐上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘
坐上等车的概率为（ ）
A 1 B 1 1．4 ．3 C．2 D
5
．6
【变式 7-3】（23-24 高一上·四川内江·开学考试）某公园有东、南、西、北共 4 个大门供游客出入，小军、
小明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大
门出去的概率是（ ）
A 1．16 B
1 1 1
．8 C．4 D．2
【题型 8 概率的基本性质及其应用】
【例 8】（23-24 1 7高二下·浙江舟山·期末）设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ( ) = 2， = 12，
1 + = 4，则 ( + ) = （ ）
A 7 2 11 3．12 B．3 C．12 D．4
1 1
【变式 8-1】（23-24 高一下·全国·阶段练习）已知事件 、 、 两两互斥，若 ( ) = 6, ( ) = 3, ( ∪ ) =
11
30，则 ( ∪ ) = （ ）
A 7 8 1 14．15 B．15 C．15 D．15
【变式 8-2】（23-24 高一下·福建宁德·期末）设 , 为两个互斥事件，且 ( ) > 0， ( ) > 0，则下列各式
一定正确的是（ ）
A． ( ) = ( ) ( ) B． ( ∪ ) = ( ) + ( )
C． ( ) = ( ) + ( ) D． ( ∪ ) = ( ) ( )
【变式 8-3】（24-25 高一下·安徽·开学考试）若事件 , 为两个互斥事件，且 ( ) > 0, ( ) > 0，有以下四
个结论，其中正确的结论是（ ）
① ( ) = 0
② = [1 ( )] ( )
③ ∪ = 1
④ ( ∪ ) = ( ) + ( )
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【题型 9 游戏的公平性问题】
【例 9】（24-25 高一下·全国·课后作业）用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时
出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜.这个游戏公平吗？
【变式 9-1】（24-25 高一·全国·课后作业）下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，
分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？
游戏 1 游戏 2 游戏 3
袋子
中球 1 个红球和 1 个白球 2 个红球和 2 个白球 3 个红球和 1 个白球
的数
量和
颜色
取球
取 1 个球 依次取出 2 个球 依次取出 2 个球
规则
获胜 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜
规则 取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜
【变式 9-2】（24-25 高一·全国·课后作业）一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿
色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：
甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，
如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：
“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿
1 1
色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为2，我赢的概率也是2，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.
【变式 9-3】（24-25 高一·全国·课后作业）已知 n 是一个三位正整数，若 n 的个位数字大于十位数字，十位
数字大于百位数字，则称 n 为“三位递增数”（如 135，256，345 等）
现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由 1，2，3，4，5，6 组
成的所有“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只抽取 1 次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞
赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由 1，2，3，4，5，6 可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.
（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.
【题型 10 古典概型与其他知识的综合】
【例 10】（24-25 高二上·贵州·阶段练习）某报社发起“建党100周年”主题征文比赛，活动中收到了来自社
会各界的大量文章，报社从中选取了60篇文章，打算以专栏形式在报纸上发表，已知这些文章的作者各不
相同，且年龄都集中在[15,65]内，根据统计结果，作出频率分布直方图如图所示．
(1)求 的值；
(2)估计这60名作者年龄的中位数；（结果精确到0.01）
(3)为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这60
篇文章中抽出20篇文章，并邀请相应作者参加座谈会，若从参加座谈会的年龄在[15,35)的作者中随机选出2
人作为代表发言，求这2人中至少有1人的年龄在[15,25)的概率．
【变式 10-1】（24-25 高一下·贵州遵义·阶段练习）某地文化和旅游局统计了春节期间 100 个家庭的旅游支
出情况，统计得到这 100 个家庭的旅游支出（单位：千元）数据，按[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13]分成 5 组，
并绘制成频率分布直方图，如图所示．
(1)估计这 100 个家庭的旅游支出的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
(2)估计这 100 个家庭的旅游支出的第 70 百分位数（结果保留一位小数）；
(3)在这 100 个家庭中，旅游支出在[3,5),[5,7)（千元）的家庭中，按分层抽样的方法抽取 5 个家庭，再从这
5 个家庭中抽取 2 个家庭，求至少有 1 个家庭的旅游支出在[3,5)千元内的概率.
【变式 10-2】（24-25 高一下·江西抚州·阶段练习）其校为了解学生的综合素养情况，从该校学生中随机地
抽取了 40 名学生作为样本，进行综合素养测评，将他们的得分（满分：100 分）分成[40,50),[50,60),[60,70),
[70,80),[80,90),[90,100]，共六组．根据他们的得分绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)从得分低于 60 分的样本中随机地选取 2 个样本，求这 2 个样本的得分在同一组的概率；
(2)若在[80,90)内的样本得分的平均数为 86 分，方差为 10，在[90,100]内的样本得分的平均数为 92 分，方
差为 6，求在[80,100]内的样本得分的平均数和方差．
【变式 10-3】（24-25 高一下·全国·单元测试）某新能源汽车销售部为了满足广大客户对新能源汽车性能的
需求，随机抽取了 500 名用户进行问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按[20,30),[30,40)
, [40,50),[50,60),[60,70]分组，并绘制出了部分频率分布直方图，如图所示．
(1)请将频率分布直方图补充完整；
(2)估计样本中所有用户的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；
(3)销售部从年龄在[20,30),[30,40)两组的样本中用分层抽样的方法抽取 4 人，再从这 4 人中随机抽取 2 人进
行电话回访，求这 2 人取自不同年龄区间的概率．

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