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专题 6.2 平面向量的运算【七大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 向量的加、减运算】 ................................................................................................................................3
【题型 2 向量数乘的有关计算】 ............................................................................................................................4
【题型 3 平面向量的混合运算】 ............................................................................................................................5
【题型 4 由平面向量的线性运算求参数】 ............................................................................................................7
【题型 5 向量共线定理及其应用】 ........................................................................................................................9
【题型 6 根据向量关系判断三角形的心】 ..........................................................................................................11
【题型 7 向量线性运算的几何应用】 ..................................................................................................................13
【知识点 1 平面向量的线性运算】
1．向量的加法运算
(1)向量加法的定义及两个重要法则
定
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
义
向 前提 已知非零向量 , ，在平面内任取一点 A.
量
加 作法 作 ，连接 AC.
法
的 结论 向量 叫做 与 的和，记作 ，即 .
三
角
形
图形
法
则
向
前提 已知两个不共线的向量 , ，在平面内任取一点 O.
量
加
作法 作 ，以 OA,OB 为邻边作四边形 OACB.
法
的
结论 以 O 为起点的向量 就是向量 与 的和，即 .
平
行
四
边
图形
形
法
则
规
对于零向量与任一向量 ，我们规定 .
定
(2)多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一
个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.
2．向量加法的运算律
(1)交换律： ；
(2)结合律： .
3．向量的减法运算
(1)相反向量
我们规定，与向量 长度相等，方向相反的向量，叫做 的相反向量，记作 .零向量的相反向量仍是
零向量.
(2)向量减法的定义：
向量 加上 的相反向量，叫做 与 的差，即 - = +(- ).求两个向量差的运算叫做向量的减法.
(3)向量减法的三角形法则
如图，已知向量 , ，在平面内任取一点 O，作 = ， = ，则 = - = - .即 - 可以
表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
4．向量的数乘运算
(1)向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度与
方向规定如下：
① ；
②当 >0 时， 的方向与 的方向相同；当 <0 时， 的方向与 的方向相反.
(2)向量的数乘的运算律
设 , 为实数，那么① ( )=( ) ；②( + ) = + ；③ ( + )= + .
特别地，我们有(- ) =-( )= (- )， ( - )= - .
(3)向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 , ，以及任意实数 , , ，恒有 (
)= .
5．平面向量线性运算问题的求解思路：
(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加
减法相互转化；
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中
位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
【题型 1 向量的加、减运算】
【例 1】（24-25 高一下·天津·阶段练习）向量 + ，化简后等于（ ）
A． B．0 C．0 D．
【解题思路】利用平面向量的加法与减法可化简所得向量式.
【解答过程】 + = + + + = .
故选：D.
【变式 1-1】（23-24 高一下·四川成都·阶段练习）下列各式中不能化简为 的是（ ）
A． + + B． +
C． + D． + +
【解题思路】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案.
【解答过程】A： + + = + + = + = ，不符合题意；
B：因为 + = ， = + ，
若 + = ，即 = + ，可得 = 0，
即点 与点 重合，显然这不一定成立，
所以 + 与 不一定相等，符合题意；
C： + = + = ，不符合题意；
D： + + = + + + = ，不符合题意；
故选：B.
【变式 1-2】（24-25 高一下·全国·随堂练习） + 等于（ ）
A． B． C．0 D．
【解题思路】根据向量减法原则，以及相反向量的定义，即可得出结果.
【解答过程】 + = + = 0,
故选：C.
【变式 1-3】（23-24 高一下·湖北咸宁·阶段练习）如图，在平行四边形 中，下列计算不正确的是（ ）
A． + = B． =
C． + + = D． + + = 0
【解题思路】根据平面向量线性运算法则及平行四边形的性质计算可得.
【解答过程】根据向量加法的平行四边形法则知 + = ，故 A 正确；
根据向量减法的三角形法则知 = ，故 B 正确；
+ + = 0 + ≠ ，故 C 错误；
+ + = + = 0，故 D 正确．
故选：C．
【题型 2 向量数乘的有关计算】
【例 2】（23-24 高一下·辽宁抚顺· 2开学考试）已知点 在线段 上，且 = 5 ，则（ ）
A = 5． 3 B
5
． = 3
C． = 7 75 D． = 5
【解题思路】根据题意，画出草图，可明确两向量的关系.
2
【解答过程】因为点 在线段 上，且 = 5 .
根据题意，可得图形：
可设 = 2，则 = 5， = 7，
→ → → →
且 7与 方向相反，所以 = 5 .
故选：C.
【变式 2-1】（23-24 高一下·重庆·期末）已知点 在线段 上，且 = 2 ，若向量 = ，则 =
（ ）
A 2 B 1 C 3 D 2． ．2 ．2 ．3
2
【解题思路】根据题意可知 = 3 ，结合向量的线性表示即可求得 .
2
【解答过程】如图，由 = 2 ，可得 = 3 ，所以 =
2
3 ，即 =
2
3，
故选：D.
【变式 2-2】（23-24 高一下·山东济南·期末）在 △ 中，记 = ， = ，若 = 3 ，则 =
（ ）
A 1 + 2．3 3 B
2
．3 +
1 1 2 2 1
3 C．3 3 D．3 3
【解题思路】直接根据已知条件以及向量加法和数乘的运算性质得到结果.
= = 1 3 = 1【解答过程】由已知有 3 3 3 3 =
1 2
3 3 = 3 =
2 2
3 3 .
故 = + 2 1 2 2 = + 2 2 = 3 + 3 .3 3 3 3
故选：A.
【变式 2-3】（23-24 高一下·河南郑州·期中）点 在线段 5上，且 = 2，则下列选项正确的是（ ）
A = 5． 7 B
2
． = 5
C 2． = 7 D
5
． = 2
【解题思路】由向量的线性运算即可求解.
5
【解答过程】因为点 在线段 上，且 = 2，
所以 = 55+2 =
5
7
5 2 2
， = 2 ， = 2+5 = 7 ，故 A 正确，BCD 错误.
故选：A.
【题型 3 平面向量的混合运算】
【例 3】（2024 高一下·全国·专题练习）化简：3( + ) + 4( ) = （ ）
A．2 B． C．6 D．8
【解题思路】根据向量的线性运算法则计算即可得到答案.
【解答过程】原式 = 3 +3 + 4 +4 = 8 ．
故选：D．
【变式 3-1】（23-24 高一下·重庆綦江·期中）化简6 + 4 2 + 2 2 + 为（ ）
A．6 +2 +8 B．6 14
C． 2 14 D．6 +2
【解题思路】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果.
【解答过程】根据向量的四则运算可知，
6 + 4 2 + 2 2 + = 6 6 +6 4 +8 4 +4 2 = 6 +2 .
故选：D.
【变式 3-2】（23-24 高一·上海·课堂例题）化简下列向量线性运算：
(1)4 2 +3 3 2 ；
(2)14 + 2
1 1
6 5 2 + 4 ；
(3)2 3 4 + 3 2 + 3 ．
【解题思路】（1）（2）（3）由向量的线性运算可得结果.
【解答过程】（1）4 2 +3 3 2 = 8 4 +9 6 = 17 10 ；
1 1 1 1 1 5 2 + 1 1

（ ）4 + 2 6 5 2 4 = 4 + 2 6 + 3 + 4 =
7 13
12 + 12 ；
（3）2 3 4 + 3 2 + 3 = 6 8 +2 6 3 +9 = 11 +11 .
【变式 3-3】（24-25 高一下·全国·课后作业）化简：
(1)5 3 2 +4 2 3 ；
(2)1 1 13 2 4 3 2 2 ；
(3)( + ) ( ) .
【解题思路】根据平面向量的线性运算求解即可.
【解答过程】（1）5 3 2 +4 2 3 = 15 12 + 10 + 8 = 3 2 .
1 1 1 11 1
（2）3 2 4 3 2 2 =
1 3 1 + 2 + 1 + 1 = + .
3 4 2 3 2 2 12 3
（3）( + ) ( ) = + + = 2 .
【题型 4 由平面向量的线性运算求参数】
【例 4】（2024·山东·模拟预测）在正六边形 中， = 2 ，若 = + ，则 + =
（ ）
A 8 B 3 C 10 D 11．3 ． ． 3 ． 3
【解题思路】根据向量的线性运算法则和运算律求解即可.
【解答过程】 = + + = + + 23 = +
1
2 +
2
3
= + + + 2 53 = 2 + 3 ，
= 2, = 5 + = 11所以 3，所以 3 .
故选：D.
【变式 4-1】（23-24 1高三上·重庆·期中）在 △ 中， D 为 AC 上一点且满足 = 2 ，若 P 为 BD 的中
点，且满足 = + ，则 + 的值是（ ）
A 1 1 3 2．6 B．2 C．4 D．3
【解题思路】根据平面向量的线性运算计算即可.
【解答过程】
因为 = 12
1
，所以 = 3 ，
= 1则 2 +
1
2 =
1 1 1 1 1
2 + 2 × 3 = 2 + 6 ，
= 1 = 1 2所以 2， 6， + = 3.
故选：D.
【变式 4-2】（2024·全国·模拟预测）在平行四边形 ABCD 中，点 G 在 AC 上，且满足 = 3 ，若 =
+ ，则 = 1 .
【解题思路】
1 2
利用向量线性运算求得 = 3 3 ，与题干对照即可求解.
【解答过程】
= = 1 = 1 1 23 3 + = 3 3 ，则 =
1 2
3， = 3，
所以 = 1.
故答案为：1.
【变式 4-3】（23-24 高三上·湖南邵阳·阶段练习）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上靠近点
的三等分点，点 F 为 BE 的中点，若 = + ，则 + = 76 ．
【解题思路】利用平面向量的线性运算计算即可.
【解答过程】
1 1
= 2 + 2
1 2 1
= 2 × 3 + 2
1 1
= 3 + + 2
= 13 +
5
6 ，
所以 = 56， =
1
3， + =
7
6.
7
故答案为：6.
【知识点 2 向量共线定理】
1．向量共线定理
(1)向量共线定理
向量 ( ≠0)与 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使 = .
(2)向量共线定理的应用——求参
一般地，解决向量 , 共线求参问题，可用两个不共线向量(如 , )表示向量 , ，设 = ( ≠0)，化
成关于 , 的方程 ( ) =- ( ) ，由于 , 不共线，则 解方程组即可.
2．利用共线向量定理解题的策略
(1) 是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即 A,B,C 三点共线 共线.
(3)若 与 不共线且 ，则 .
(4) (λ,μ 为实数)，若 A,B,C 三点共线，则 λ+μ=1.
【题型 5 向量共线定理及其应用】
【例 5】（23-24 高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量 ， 不共线， = 4 +6 ， = +3 ，
= +3 ，则（　　）
A． , , 三点共线 B． , , 三点共线
C． , , 三点共线 D． , , 三点共线
【解题思路】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线.
【解答过程】对于 A， = + = +3 + +3 = 6 ，与 不共线，A 不正确；
对于 B， = 4 +6 ， = +3 ，则 与 不共线，B 不正确；
对于 C， = +3 ， = +3 ，则 与 不共线，C 不正确；
对于 D， = + = 4 +6 +3 = 3 +9 = 3 ，即 / ，又线段 AC 与 CD 有公共点 C，所
以 , , 三点共线，D 正确．
故选：D．
【变式 5-1】（23-24 高一下·山东潍坊·期中）已知 ， 是平面内两个不共线向量， = +2 ， = 3
，A，B，C 三点共线，则 m＝（ ）
A 2 B 2． 3 ．3 C． 6 D．6
【解题思路】利用共线向量定理列式计算即得.
【解答过程】由 A，B，C 三点共线，得 ， 共线， 设 = ，而 = +2 ， = 3 ，
则 +2 = (3 )，又 ， 是平面内两个不共线向量，因此 = 3 ， = 2，
所以 = 6.
故选：C.
【变式 5-2】（23-24 高一下·广东深圳·期中）已知 = +5 ， = 2 +8 ， = 2 +10 ，则共线的
三点为（ ）
A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D
2 = 2
【解题思路】A 选项，设 = ，则 8 = 10 ，无解，不满足共线定理，A 错误；BC 选项，方法同
A 1，得到 BC 错误；D 选项，计算出 = 2 ，D 正确.
【解答过程】A 选项， = 2 +8 ， = 2 +10 ，
令 = 2 = 2 ，则 8 = 10 ，无解，不满足共线定理，A 错误；
B 选项， = +5 ， = 2 +8 ，
= 1 = 2 令 ，则 5 = 8 ，无解，不满足共线定理，B 错误；
C 选项， = + = +5 2 +8 = +13 ，
= + = +5 +2 +10 = 3 +15 ，
令 = 1 = 3 ，则 13 = 15 ，无解，
∴ ， 不满足共线定理，C 错误；
D 选项， = +5 = 1 12 2 + 10 = 2 ，故 , , 三点共线，D 正确．
故选：D.
【变式 5-3】（23-24 高一下·广东深圳·期中）已知向量 1， 2是平面上两个不共线的单位向量，且 = 1 +2
2， = 3 1 +2 2， = 3 1 6 2，则（ ）
A． 、 、 三点共线 B． 、 、 三点共线
C． 、 、 三点共线 D． 、 、 三点共线
【解题思路】结合向量的线性运算，逐项判断向量共线得解.
A 1 ≠ 2【解答过程】对 ，因为 3 2，则 、 、 三点不共线，故 A 错误；
B 1 ≠ 2对 ，因为3 6，则 、 、 三点不共线，故 B 错误；
对 C，因为 = + = 1 +2 2 +
2
( 3 1 + 2 2) = 2 1 +4 2 = 3 ，则 、 、 三点共线，则 C 正
确；
对 D， = + = 4 1 4
3 2
2，因为 4 ≠ 4，则 、 、 三点不共线.
故选：C．
【题型 6 根据向量关系判断三角形的心】
→
【例 6】（24-25 高一·全国·课后作业）已知点 是 △ 所在平面上的一点， △ 的三边为 , , ，若
→ → →
+ + = 0，则点 是 △ 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
→ → → →
【解题思路】在 ， 上分别取点 ， ，使得 = ， = ，以 ， 为邻边作平行四边形 ，

即可得到四边形 是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到 ， ， 三点共线，即可得到
在∠ 的平分线上，同理说明可得 在其它两角的平分线上，即可判断.
→ → → → → →
【解答过程】在 ， 上分别取点 ， ，使得 = ， = ，则| | = | | = 1．
以 ， 为邻边作平行四边形 ，如图，
→ → → → →
则四边形 是菱形，且 = + = + ．

→ → → →
∴ 为∠ 的平分线． ∵ + + = 0
→ → → → → →
∴ + ( + ) + ( + ) = 0，
→ → → →
即( + + ) + + = 0，
→ → → → → →
∴ = + + + + + =

+ + ( +
) =
+ +
．
∴ ， ， 三点共线，即 在∠ 的平分线上．
同理可得 在其它两角的平分线上，
∴ 是 △ 的内心．
故选：B．
【变式 6-1】（23-24 高一下·吉林长春·阶段练习）在△ 中， 是三角形内一点，如果满足 =

| | +
， > 0，则点 的轨迹一定经过△ 的（ ）
| |
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
+ 【解题思路】根据| | | |的含义，结合数乘运算的几何意义，即可判断和选择.
【解答过程】| |表示与 同向的单位向量，| |表示与 同向的单位向量，

故| + 表示起点为 ，终点在∠ 的平分线上的向量， | | |
又 = + ， > 0，
+ 与| | | |共起点，且为同向的向量，| | | |
则 点也在∠ 的角平分线上，故点 的轨迹一定经过三角形 的内心.
故选：A.
【变式 6-2】（23-24 高一下·安徽合肥·阶段练习）点 P 是锐角 △ 内一点，且存在 ∈ ，使 = ( +
)，则下列条件中，不能判断出 △ 为等腰三角形的是（ ）
A．点 是 △ 的垂心 B．点 是 △ 的重心
C．点 是 △ 的外心 D．点 是 △ 的内心
【解题思路】由已知判断点 P 在直线 上，结合垂心、重心、外心、内心的定义逐一判断即可.
【解答过程】记 的中点为 D，则 = ( + ) = 2 ，
所以，点 P 在直线 上.
A 选项：若点 是 △ 的垂心，则 ⊥ ，
所以 = ，所以 △ 为等腰三角形，A 正确；
B 选项：若点 是 △ 的重心，则点 在 边的中线上，无法推出 ⊥ ，B 错误；
C 选项：若点 是 △ 的外心，则点 在 边的中垂线上，
所以 ⊥ ，所以 △ 为等腰三角形，C 正确；
D 选项：若点 是 △ 的内心，则 为∠ 的角平分线，
所以∠ = ∠ ，
又 △ = △ ，即 · sin∠ = · sin∠ ,
故 = ，D 正确.
故选：B.
【变式 6-3】（2024 高一·全国·专题练习）已知 ， ， ， 是平面上的 4 个定点， ， ， 不共线，若点
满足 = + ( + )，其中 ∈ R，则点 的轨迹一定经过 △ 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【解题思路】取线段 的中点 ，则 + = 2 ，依题可得 // ，即可得答案.
【解答过程】取线段 的中点 ，则 + = 2 .
动点 满足： = + ( + )， ∈ R，
则 = 2 ，即 = 2 ，所以 // ，
又 ∩ = ，所以 , , 三点共线，即点 的轨迹是直线 ，
一定通过 △ 的重心.
故选：A.
【题型 7 向量线性运算的几何应用】
【例 7】（24-25 高一下·上海·课后作业）点 O 是梯形 对角线的交点，| | = 4,| | = 6，| | = 2，
设与 同向的单位向量为 0，与 同向的单位向量为 0．
（1）用 0和 0表示 , 和 ；
（2）若点 P 在梯形 所在平面上运动，且| | = 2，求| |的最大值和最小值．
【解题思路】（1）根据 = 、 = 可求解出 , 关于 0和 0的表示，利用平行对应的线
段比例关系求解出 的表示；
（2）根据向量的三角不等式求解出| |的最大值和最小值，注意取等条件说明.
【解答过程】（1）因为 = 6 0, = 2 0，所以 = = 6 0 2 0，
所以 = = 4 0 6 0 2 0 = 2 0 2 0，
| | | |
因为 // ，所以| | = | | =
2
3，
= 2 = 2 12 4所以 5 5 6 0 2 0 = 5 0 + 5 0；
（2）因为| | = | + | ≤ | | + | | = 6 + 2 = 8，取等号时 , , 三点共线且 在 , 中间，
又| | = | | ≥ || | | || = 6 2 = 4，取等号时 , , 三点共线且 在 , 中间，
综上可知，| |的最大值为8，最小值为4.
【变式 7-1】（24-25 高一·全国·课堂例题）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，E，F 分别是 AD，DC 的中
点，BE，BF 分别交 AC 于 M，N．求证：M，N 三等分 AC．
【解题思路】根据题意结合向量的线性运算分析证明.
【解答过程】由题意可得： + = = 2 ， = + ，
所以 + = 2 = 2 +2 ,
由于 与 ， 与 分别共线，但 与 不共线，
所以 = 2 ， = 2 ，因此 N 是 AC 的一个三等分点；
同理可证 = 2 ，因此 M 也是 AC 的一个三等分点．
【变式 7-2】（24-25 高一·全国·随堂练习）如图，点 D 是 △ 中 BC 边的中点， = ， = .
(1)试用 ， 表示 ；
(2)若点 G 是 △ 的重心，能否用 ， 表示 ？
(3)若点 G 是 △ 的重心，求 + + .
【解题思路】（1）利用三角形法则整理化简即可；
（2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可；
（3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可.
【解答过程】（1）因为点 D 是 △ 中 BC 边的中点，且 = ， = ，
所以 = + = + 1 1 1 1 1 12 = + 2 = 2 + 2 = 2 + 2 ；
（2）因为点 G 是 △ 的重心，
2 2 2 1 2 1 2
所以 = 3 = 3 + = 3 + = 3 + =
1
3 + 2 2 2
= 13 +
1
3 .
（3）因为点 G 是 △ 的重心且 D 是 BC 边的中点，所以 + = 2 ，
= 2又 3 = 2 ，所以 + = = ，所以 + + = 0.
π
【变式 7-3】（23-24 高一下·河南周口·阶段练习）如图，在梯形 中，| | = 2，∠ = 13， = 2
， 为 的中点， = ( ≠ 0).
(1)若 = 34 +
1
4 ，试确定点 在线段 上的位置；
(2)若| | = ，当 为何值时，| |最小
【解题思路】（1）结合图形，先证得四边形 是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点 在线段
上的位置；
2
（2）结合（1）中的结论，得到 关于 的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到 关于 的二次表
达式，从而可求得| |最小以及相应 的值.
【解答过程】（1）过 作 // 交 于 ，如图，
因为 = 12 ，所以 // , = 2 ，
则四边形 是平行四边形，故 = 2 = 2 ，即 是 的中点，
1 1
所以 = 2 = 2 =
1
2
1 1 1
2 = 4 2 ，
因为 = ，所以 = (1 ) ，
所以 = + + = (1 ) + 12 +
1
4
1
2 =
1 3 +
2 4
又因为 = 3 14 + 4 ，
1
所以2 =
1 1
4，解得 = 4，
所以 在线段 上靠近 点的四等分点处；
（2）因为 = ( ≠ 0)，所以 = + = + = (1 ) ，
所以 = + + = (1 ) + 1 1 12 + 4 2 = (
1
2 ) +
3
4 ，
π 2
因为 = 2 cos3 = ，
2 = 2， = 4
2 1 2 2
所以 = 2 + 9 + 3 1 272 4 2 =
1 + 3 + ，
2 2 4 16
1 2
所以当 =
3 = 1 + 3 274，即 2 4 时， 取得最小值2 16.
3 3 1 3
所以| |的最小值为 ，此时 = + .
4 2 4 专题 6.2 平面向量的运算【七大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 向量的加、减运算】 ................................................................................................................................3
【题型 2 向量数乘的有关计算】 ............................................................................................................................3
【题型 3 平面向量的混合运算】 ............................................................................................................................4
【题型 4 由平面向量的线性运算求参数】 ............................................................................................................5
【题型 5 向量共线定理及其应用】 ........................................................................................................................6
【题型 6 根据向量关系判断三角形的心】 ............................................................................................................6
【题型 7 向量线性运算的几何应用】 ....................................................................................................................7
【知识点 1 平面向量的线性运算】
1．向量的加法运算
(1)向量加法的定义及两个重要法则
定
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
义
向 前提 已知非零向量 , ，在平面内任取一点 A.
量
加 作法 作 ，连接 AC.
法
的 结论 向量 叫做 与 的和，记作 ，即 .
三
角
形
图形
法
则
向
前提 已知两个不共线的向量 , ，在平面内任取一点 O.
量
加
作法 作 ，以 OA,OB 为邻边作四边形 OACB.
法
的
结论 以 O 为起点的向量 就是向量 与 的和，即 .
平
行
四
边
图形
形
法
则
规
对于零向量与任一向量 ，我们规定 .
定
(2)多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一
个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.
2．向量加法的运算律
(1)交换律： ；
(2)结合律： .
3．向量的减法运算
(1)相反向量
我们规定，与向量 长度相等，方向相反的向量，叫做 的相反向量，记作 .零向量的相反向量仍是
零向量.
(2)向量减法的定义：
向量 加上 的相反向量，叫做 与 的差，即 - = +(- ).求两个向量差的运算叫做向量的减法.
(3)向量减法的三角形法则
如图，已知向量 , ，在平面内任取一点 O，作 = ， = ，则 = - = - .即 - 可以
表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
4．向量的数乘运算
(1)向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度与
方向规定如下：
① ；
②当 >0 时， 的方向与 的方向相同；当 <0 时， 的方向与 的方向相反.
(2)向量的数乘的运算律
设 , 为实数，那么① ( )=( ) ；②( + ) = + ；③ ( + )= + .
特别地，我们有(- ) =-( )= (- )， ( - )= - .
(3)向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 , ，以及任意实数 , , ，恒有 (
)= .
5．平面向量线性运算问题的求解思路：
(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加
减法相互转化；
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中
位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
【题型 1 向量的加、减运算】
【例 1】（24-25 高一下·天津·阶段练习）向量 + ，化简后等于（ ）
A． B．0 C．0 D．
【变式 1-1】（23-24 高一下·四川成都·阶段练习）下列各式中不能化简为 的是（ ）
A． + + B． +
C． + D． + +
【变式 1-2】（24-25 高一下·全国·随堂练习） + 等于（ ）
A． B． C．0 D．
【变式 1-3】（23-24 高一下·湖北咸宁·阶段练习）如图，在平行四边形 中，下列计算不正确的是（ ）
A． + = B． =
C． + + = D． + + = 0
【题型 2 向量数乘的有关计算】
2
【例 2】（23-24 高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知点 在线段 上，且 = 5 ，则（ ）
A． = 53 B． =
5
3
C 7 7． = 5 D． = 5
【变式 2-1】（23-24 高一下·重庆·期末）已知点 在线段 上，且 = 2 ，若向量 = ，则 =
（ ）
A 1 3 2．2 B．2 C．2 D．3
【变式 2-2】（23-24 高一下·山东济南·期末）在 △ 中，记 = ， = ，若 = 3 ，则 =
（ ）
A 1 2 2．3 + 3 B．3 +
1 C 1 2 D 23 ．3 3 ．3
1
3
【变式 2-3 5】（23-24 高一下·河南郑州·期中）点 在线段 上，且 = 2，则下列选项正确的是（ ）
A 5 2． = 7 B． = 5
C． = 2 57 D． = 2
【题型 3 平面向量的混合运算】
【例 3】（2024 高一下·全国·专题练习）化简：3( + ) + 4( ) = （ ）
A．2 B． C．6 D．8
【变式 3-1】（23-24 高一下·重庆綦江·期中）化简6 + 4 2 + 2 2 + 为（ ）
A．6 +2 +8 B．6 14
C． 2 14 D．6 +2
【变式 3-2】（23-24 高一·上海·课堂例题）化简下列向量线性运算：
(1)4 2 +3 3 2 ；
(2)1 1 14 + 2 6 5 2 + 4 ；
(3)2 3 4 + 3 2 + 3 ．
【变式 3-3】（24-25 高一下·全国·课后作业）化简：
(1)5 3 2 +4 2 3 ；
(2)1 1 13 2 4 3 2 2 ；
(3)( + ) ( ) .
【题型 4 由平面向量的线性运算求参数】
【例 4】（2024·山东·模拟预测）在正六边形 中， = 2 ，若 = + ，则 + =
（ ）
A 8 10 11．3 B．3 C． 3 D． 3
【变式 4-1】（23-24 高三上·重庆· 1期中）在 △ 中， D 为 AC 上一点且满足 = 2 ，若 P 为 BD 的中
点，且满足 = + ，则 + 的值是（ ）
A 1 1 3 2．6 B．2 C．4 D．3
【变式 4-2】（2024·全国·模拟预测）在平行四边形 ABCD 中，点 G 在 AC 上，且满足 = 3 ，若 =
+ ，则 = .
【变式 4-3】（23-24 高三上·湖南邵阳·阶段练习）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上靠近点
的三等分点，点 F 为 BE 的中点，若 = + ，则 + = ．
【知识点 2 向量共线定理】
1．向量共线定理
(1)向量共线定理
向量 ( ≠0)与 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使 = .
(2)向量共线定理的应用——求参
一般地，解决向量 , 共线求参问题，可用两个不共线向量(如 , )表示向量 , ，设 = ( ≠0)，化
成关于 , 的方程 ( ) =- ( ) ，由于 , 不共线，则 解方程组即可.
2．利用共线向量定理解题的策略
(1) 是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即 A,B,C 三点共线 共线.
(3)若 与 不共线且 ，则 .
(4) (λ,μ 为实数)，若 A,B,C 三点共线，则 λ+μ=1.
【题型 5 向量共线定理及其应用】
【例 5】（23-24 高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量 ， 不共线， = 4 +6 ， = +3 ，
= +3 ，则（　　）
A． , , 三点共线 B． , , 三点共线
C． , , 三点共线 D． , , 三点共线
【变式 5-1】（23-24 高一下·山东潍坊·期中）已知 ， 是平面内两个不共线向量， = +2 ， = 3
，A，B，C 三点共线，则 m＝（ ）
A 2． 3 B
2
．3 C． 6 D．6
【变式 5-2】（23-24 高一下·广东深圳·期中）已知 = +5 ， = 2 +8 ， = 2 +10 ，则共线的
三点为（ ）
A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D
【变式 5-3】（23-24 高一下·广东深圳·期中）已知向量 1， 2是平面上两个不共线的单位向量，且 = 1 +2
2， = 3 1 +2 2， = 3 1 6 2，则（ ）
A． 、 、 三点共线 B． 、 、 三点共线
C． 、 、 三点共线 D． 、 、 三点共线
【题型 6 根据向量关系判断三角形的心】
→
【例 6】（24-25 高一·全国·课后作业）已知点 是 △ 所在平面上的一点， △ 的三边为 , , ，若
→ → →
+ + = 0，则点 是 △ 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式 6-1】（23-24 高一下·吉林长春·阶段练习）在△ 中， 是三角形内一点，如果满足 =
+ ， > 0，则点 的轨迹一定经过△ 的（ ）| | | |
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【变式 6-2】（23-24 高一下·安徽合肥·阶段练习）点 P 是锐角 △ 内一点，且存在 ∈ ，使 = ( +
)，则下列条件中，不能判断出 △ 为等腰三角形的是（ ）
A．点 是 △ 的垂心 B．点 是 △ 的重心
C．点 是 △ 的外心 D．点 是 △ 的内心
【变式 6-3】（2024 高一·全国·专题练习）已知 ， ， ， 是平面上的 4 个定点， ， ， 不共线，若点
满足 = + ( + )，其中 ∈ R，则点 的轨迹一定经过 △ 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【题型 7 向量线性运算的几何应用】
【例 7】（24-25 高一下·上海·课后作业）点 O 是梯形 对角线的交点，| | = 4,| | = 6，| | = 2，
设与 同向的单位向量为 0，与 同向的单位向量为 0．
（1）用 0和 0表示 , 和 ；
（2）若点 P 在梯形 所在平面上运动，且| | = 2，求| |的最大值和最小值．
【变式 7-1】（24-25 高一·全国·课堂例题）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，E，F 分别是 AD，DC 的中
点，BE，BF 分别交 AC 于 M，N．求证：M，N 三等分 AC．
【变式 7-2】（24-25 高一·全国·随堂练习）如图，点 D 是 △ 中 BC 边的中点， = ， = .
(1)试用 ， 表示 ；
(2)若点 G 是 △ 的重心，能否用 ， 表示 ？
(3)若点 G 是 △ 的重心，求 + + .
π
【变式 7-3】（23-24 高一下· 1河南周口·阶段练习）如图，在梯形 中，| | = 2，∠ = 3， = 2
， 为 的中点， = ( ≠ 0).
(1) = 3若 4 +
1
4 ，试确定点 在线段 上的位置；
(2)若| | = ，当 为何值时，| |最小

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