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专题 6.11 平面向量中的最值与范围必考八类问题
【人教 A 版（2019）】
【类型 1 定义法求最值与范围问题】 ....................................................................................................................3
【类型 2 基底法求最值与范围问题】 ....................................................................................................................4
【类型 3 坐标法求最值与范围问题】 ....................................................................................................................5
【类型 4 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 ................................................................................6
【类型 5 与数量积有关的最值（范围）问题】 ....................................................................................................6
【类型 6 与模有关的最值（范围）问题】 ............................................................................................................8
【类型 7 平面向量中参数的最值（范围）问题】 ................................................................................................8
【类型 8 极化恒等式】 ............................................................................................................................................9
【知识点 1 平面向量中的最值与范围问题及其解题策略】
1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：
(1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图
形的特征直接进行判断；
(2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方
程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法：
(1)定义法
①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系；
②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论.
(2)坐标法
①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标；
②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算；
③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）.
(3)基底法
①适当选取一组基底，利用基底转化向量；
②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解；
③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围），
即可得出结论.
【知识点 2 极化恒等式】
1．极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
r r r r r r
| a + b |2 + | a - b |2 = 2(| a |2 + | b |2 ) .
uuur r uuur r uuur r r uuur r r
证明：不妨设 AB = a, AD = b，则 AC = a + b， DB = a - b，
uuur 2 uuur2 r r 2 r 2 r r r 2AC = AC = a + b = a + 2a × b + b ①，
uuur 2 uuur2 r r 2 r 2 r r r 2
DB = DB = a - b = a - 2a × b + b ②，
①②两式相加得：
uuur 2 uuur 2 r 2 r 2 uuur 2 uuur 2
AC + DB = 2 a + b = 2 AB + AD .
(2)极化恒等式：
1 r r 2 r r 2
上面两式相减，得： éê a + b - a - b ùú ————极化恒等式4
r r 1
平行四边形模式： a × b = é AC
2 - DB 2 ù .4
2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平
1
方差的 ．
4
(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角
1 1
线长”平方差的 ，即 é
r r 2 r r 2
ê a + b - a - b ù (如图).4 4 ú
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即
(M 为 BC 的中点)(如图).
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关
系.
【类型 1 定义法求最值与范围问题】
1．（2025 高三·全国·专题练习）在 △ 中，点 为线段 上任一点（不含端点），若 = 3 + ，
3 1
则 + 的最小值为（ ）
A．1 B．4 C．9 D．16
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量 , 不共线， = + , = + ，其中 > 0, > 0，若 , ,
三点共线，则 + 4 的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（24-25 高三上·黑龙江大庆·期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上
应用广泛.如图所示，分别以正三角形 ABC 的顶点为圆心，以三角形 ABC 边长为半径作圆弧，由这三段圆
弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形 ABC 边长为 60，点 D，E 分别为线段 AB，AC 的中点，
点 P 为圆弧 上的一动点，则| + + + + |的最小值为（ ）
A．60 6 37 B．300 30 37 C．300 15 37 D．60 3 37
4．（23-24 高一下·广东广州·期中）已知 P 是边长为 1 的正六边形 内一点（含边界），且 = +
, ∈ R，则下列正确的是（ ）
A． △ 的面积为定值 B． 使得| | > | |
C π π．∠ 的取值范围是 , D．| |的取值范围是[1, 3]
6 3
π
5．（24-25 高三上·江苏常州·阶段练习）已知边长为 2 的菱形 中，∠ = 3，点 为线段 （含端点）
上一动点，点 满足 = 3 ，则 的取值范围为 ．
【类型 2 基底法求最值与范围问题】
6．（23-24 高一下·浙江·期中）如图，在四边形 中， ∥ ， = 2 ， 为线段 上一个动点（含
端点）， = + ，则 + 的取值范围是（ ）
A．(0,1] B．[2,3] C．[1,2] D．[2,4)
7．（2024·宁夏银川·模拟预测）在 △ 中， = 2 ，过点 的直线分别交直线 、 于点 、 ，且
= , = ，其中 > 0， > 0，则 + 2 的最小值为（ ）
A 8．2 B． 2 C．3 D．3
8．（23-24 高一下·重庆巴南·阶段练习）在矩形 中，已知 , 分别是 , 上的点，且满足 = ,

= 2 ．若点 在线段 上运动，且 = + ( , ∈ R)，则 + 的取值范围为（ ）
A 1 , 7 B 3 , 4 C 2 3 1 3． ． ． , D． ,
5 5 5 5 3 4 5 5
9．（23-24 高一下·福建漳州·期中）在 △ 中，点 满足 = 2 ，过点 的直线与 所在的直线分
别交于点 ， = , = ( > 0, > 0)，则下列说法正确的是（ ）
A = 2 + 1 B + 2 2． 3 3 ． 的最小值为 +13
2
C． = 13 + 3 D．
4
的最小值为9
10．（23-24 高一下·广东江门·期中）如图所示，△ABC 是边长为 8 的等边三角形，P 为 AC 边上的一个动点，
EF 是以 B 为圆心，3 为半径的圆的直径，且 // ，则 的取值范围是 .
【类型 3 坐标法求最值与范围问题】
11．（24-25 高二上·湖南岳阳·开学考试）已知直角梯形 中， ∥ ,∠ = 90°, = 2, = 1, 是
腰 上的动点，则| + 3 |的最小值为（ ）
A． 3 B． 5 C．4 D．5
12．（24-25 高三上·北京·阶段练习）在 △ 中， = = 4 2，当 ∈ 时，| + |的最小值为
4．若 = , = sin2 + cos2 ∈ π π，其中 , ，则| |的最大值为（ ）
6 3
A．2 B．4 C．2 5 D．4 2
13．（23-24 高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形 中， = 2, = 2，点 在边 上运动（包含端
点），则 的取值范围为（ ）
A 7． 2 , B．[2 2,4] C． 2 2, 7 D 7． ,4
2 2 2 2
14．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）如图，正方形 的边长为2, 是 中点，如图，点 是以 为直径
的半圆上任意点； = + ，则下列结论正确的有（ ）
A． 最大值为 1 B． 最大值为 1
C． 最大值是 2 D． 最大值是 5 +2
15 1 3．（24-25 高三上·河北邢台·期中）已知四边形 是边长为 4 的正方形，点 满足 = 4 + 4 ，
为平面 内一点，则( + ) 的最小值为 ．
【类型 4 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】
16．（2024·河南许昌·三模）在△ABC 中，点 D 在 BC 1上，且满足| | = 4| |，点 E 为 AD 上任意一点，
2
若实数 x，y 满足 = + 1，则 + 的最小值为（ ）
A．2 2 B．4 3 C．4 + 2 3 D．9 + 4 2
17．（24-25 高三上·湖北·开学考试）已知点 在 △ 所在的平面内，且2 + + = 0.过点 的直线
与直线 , 分别交于 , ，设 = , = ,( > 0, > 0)，则 + 4 的最小值为（ ）
A 7 9 3．4 B．
3+2 2 C． D． +
4 4 2 2
18．（23-24 高一下·湖南·期中） △ 的重心为 O，过点 O 的直线与 AB，BC 所在直线交于点 E，F，若
= ， = （ , > 0），则 xy 的最小值为（ ）
A 2 2 4．3 B．9 C．9 D．4
19．（24-25 高三上·江西·期中）已知点 P 是 △ 的中线 BD 上一点（不包含端点），且 = + ，
则下列说法正确的是（ ）
A． + 2 = 1 B． 1的最大值为9
C． 2
2
+ 2 1 1的最小值为5 D． + 的最小值是 9
20．（24-25 高一下·山东·阶段练习）在 △ 中，过重心 E 任作一直线分别交 AB，AC 于 M，N 两点，设
= ， = ，（ > 0， > 0），则 + 2 的最小值是 .
【类型 5 与数量积有关的最值（范围）问题】
21．（23-24 高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知 A，B，C 是单位圆上不同的三点， = ，则 的
最小值为（ ）
A．0 B 1． 4 C．
1
2 D． 1
22．（23-24 高一下·北京·阶段练习）在直角梯形 中， ∥ ，∠ = 90°， = 2 = 2 = 2，
点 为梯形 四条边上的一个动点，则 的取值范围是（ ）
A 1 ,4 B 1． ． ,2 C．[ 1,4] D 1． ,4
2 2 4
23．（23-24 高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之
一，图 1 是一个正八边形窗花隔断，图 2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图 2，若正八边形
的边长为 2，P 是正八边形 八条边上的动点，则 的最大值为（ ）
A． 2 B．4 + 2 2 C．2 + 2 D．2 2
24．（23-24 高一下·江苏南通·期中）剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成
为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了 2022
年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上漂亮的“雪花”图案（如图 1）所吸引，决定用作品“雪花”参加
剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”，它的平面图可简化为图 2 的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又
是中心对称图形，其中，六边形 ABCDEF 为正六边形， = 4 = 4 = 4 ， ⊥ ， △ 为等边三
角形，P 为该平面图形上的一个动点（含边界），则（ ）
A． = 1 + 3 B． = 2(1 + 3)
C．若 = + 9+ 3，则 λ＋μ 的最大值为 D． 的取值范围是
2 [ 12 4 3,28 + 4 3]
25 2024 · 1．（ 高三 全国·专题练习）在直角 △ 中，斜边 = 2， 为 △ 所在平面内一点， = sin22
+ cos2 （其中 ∈ R），
① 的取值范围是(0,4)
②点 经过 △ 的外心
③点 所在轨迹的长度为 2
④ + 1的取值范围是 ,0
2
则以上结论正确的是 ．（填写序号）
【类型 6 与模有关的最值（范围）问题】
26．（2024·四川泸州·一模）已知平面向量| | = 4,| | = 3,| | = 1, = 0，则| + |的最小值是
（ ）
A．1 B 3．2 C．2 D．3
27．（2024·湖北·模拟预测）四边形 是边长为 4 的正方形，点 是正方形内的一点，且满足
| + + + | = 4，则| |的最大值是（ ）
A．1 + 2 B． 2 1 C．2 2 1 D．2 2 +1
28．（23-24 高一下·浙江·阶段练习）正方形 边长为 1，平面内一点 满足 = + ，满足
+ = 74的 点的轨迹分别与 ， 交于 ， 两点，令 1， 2分别为 和 方向上的单位向量， ， 为
任意实数，则| 1| + | 1 2| + | 2 |的最小值为（ ）
A．3 B．7 2 C 5． D．3+2 2
4 2 2
29．（23-24 高三上·安徽·开学考试）已知 (2,0)， (cos ,sin )， (cos ,sin )，A，B 两点不重合，则
（ ）
A．| |的最大值为 2
B．| + |的最大值为 2
C．若 = ，| |最大值为 3
D．若 = ，| + |最大值为 4
30．（23-24 高一上·辽宁沈阳·期末）在等腰梯形 ABCD 中， // ， = 4， = = 2，P 是腰 AD
上的动点，则|2 |的最小值为 .
【类型 7 平面向量中参数的最值（范围）问题】
31．（2024·全国·模拟预测）已知 △ 中， = +(1 ) ，且 为 △ 的外心．若 在 上的
投影向量为 ，且cos∠ ∈ 1 , 2 ，则 的取值范围为（ ）
3 3
A 2 , 5 B 1 , 3 C 4 , 5 D 1 , 3． ． ． ．
3 6 5 10 3 3 5 5
π
32．（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在 △ 中， = 6, = 8,∠ = 3，I 是∠ 的平分线上一
点，且 = 13，若 △ 内（不包含边界）的一点 D 满足 = + 2 ，则实数 x 的取值范围是（ ）
A 1 5 1 5 1 5． , B． , C． , D． 1 , 5
6 24 6 24 6 8 6 8
33．（23-24 高二上·上海黄浦·期中）在 △ 中， = 3， = 4，∠ = 90°. 为 △ 所在平面内的动
点，且 = 2，若 = + ，则给出下面四个结论：
① + 4的最小值为 5； ② 的最小值为 6；
③ + 3的最大值为4； ④ 的最大值为 10.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
34．（24-25 高一下·全国·课后作业）△ 中，D 为 AB 上一点且满足 = 3 ．若 P 为线段 CD 上一点，
且 = + （ , 为正实数），则下列结论正确的是（ ）
A． = 14 +
3
4 B．4 + 3 = 2
1 1 1C． 的最大值为12 D． + 3 的最小值为 3
35．（23-24 高一下·四川德阳·阶段练习）边长为 4 的正方形 ，点 在正方形内（含边界），满足 =
+ ，当点 在线段 上时，则 2 +2 2的最小值为 .
【类型 8 极化恒等式】
36．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形 中，斜边 = 2， 为线段 上的动点（包
含端点）， 为 的中点．将线段 绕着点 旋转得到线段 ，则 的最小值为（　　）
A 3． 2 B． 2
C． 1 D． 12
37．（24-25 高一下·福建厦门·阶段练习） 是边长为 2 的正方形 边界或内部一点，且 + = ，
则 的最大值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
38．（2024·重庆·模拟预测）已知 △ 的面积为1, = 2，动点 , 在线段 上滑动，且| | = 1，则
的最小值为 .
39．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图直角梯形 ABCD 中，EF 是 CD 边上长为 6 的可移动的线
段， = 4， = 8 3， = 12 ，则 的取值范围为 .
2
40．（23-24 高一下·广东潮州·阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道①( + ) = 2 +2 +
2 2 2 2 2 2 2
；②( ) = 2 2 + .由①-②得( + ) ( ) = 4 = ( + ) ( ) ，我们把最后推
4
出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所
示的四边形 中， = 8, = 48， 为 中点.
(1)若cos∠ = 1213，求 △ 的面积；
(2)若2 = ，求 的值；
(3)若 为平面 内一点，求 + 的最小值.专题 6.11 平面向量中的最值与范围必考八类问题
【人教 A 版（2019）】
【类型 1 定义法求最值与范围问题】 ....................................................................................................................3
【类型 2 基底法求最值与范围问题】 ....................................................................................................................6
【类型 3 坐标法求最值与范围问题】 ..................................................................................................................10
【类型 4 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】 ..............................................................................15
【类型 5 与数量积有关的最值（范围）问题】 ..................................................................................................17
【类型 6 与模有关的最值（范围）问题】 ..........................................................................................................22
【类型 7 平面向量中参数的最值（范围）问题】 ..............................................................................................26
【类型 8 极化恒等式】 ..........................................................................................................................................30
【知识点 1 平面向量中的最值与范围问题及其解题策略】
1．平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：
(1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图
形的特征直接进行判断；
(2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方
程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
2．平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法：
(1)定义法
①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系；
②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论.
(2)坐标法
①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标；
②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算；
③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围）.
(3)基底法
①适当选取一组基底，利用基底转化向量；
②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解；
③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值（范围），
即可得出结论.
【知识点 2 极化恒等式】
1．极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
r r r r r r
| a + b |2 + | a - b |2 = 2(| a |2 + | b |2 ) .
uuur r uuur r uuur r r uuur r r
证明：不妨设 AB = a, AD = b，则 AC = a + b， DB = a - b，
uuur 2 uuur2 r r 2 r 2 r r r 2AC = AC = a + b = a + 2a × b + b ①，
uuur 2 uuur2 r r 2 r 2 r r r 2
DB = DB = a - b = a - 2a × b + b ②，
①②两式相加得：
uuur 2 uuur 2 r 2 r 2 uuur 2 uuur 2
AC + DB = 2 a + b = 2 AB + AD .
(2)极化恒等式：
1 r r 2 r r 2
上面两式相减，得： éê a + b - a - b ùú ————极化恒等式4
r r 1
平行四边形模式： a × b = é AC
2 - DB 2 ù .4
2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平
1
方差的 ．
4
(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角
1 1
线长”平方差的 ，即 é
r r 2 r r 2
ê a + b - a - b ù (如图).4 4 ú
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即
(M 为 BC 的中点)(如图).
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关
系.
【类型 1 定义法求最值与范围问题】
1．（2025 高三·全国·专题练习）在 △ 中，点 为线段 上任一点（不含端点），若 = 3 + ，
3 1
则 + 的最小值为（ ）
A．1 B．4 C．9 D．16
【解题思路】由题意得3 + = 1，且 > 0, > 0，再利用基本不等式“1”的妙用求解即可.
【解答过程】
由题意，在 △ 中，点 为线段 上任一点（不含端点），
若 = 3 + ，则有 > 0, > 0，
设 = ，则 = + = + = (1 ) + ，
所以3 + = 1 + = 1，
3 1 3 1 3 3 3 3
则 + = + (3 + ) = 9 + 1 + + ≥ 10 + 2 = 16，
3 3 1 3 1
当且仅当 = ，即 = = 4时，等号成立，故 + 的最小值为 16．
故选：D．
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量 , 不共线， = + , = + ，其中 > 0, > 0，若 , ,
三点共线，则 + 4 的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解题思路】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.
【解答过程】因为 , , 三点共线，
→ →
所以存在实数 k，使 = ，即 + = + ，
=
又向量 , 不共线，所以 1 = = 1，
由 > 0, > 0，所以 + 4 ≥ 2 4 = 4，
当且仅当 = 4 = 2时，取等号，
即 + 4 的最小值为 4.
故选：B.
3．（24-25 高三上·黑龙江大庆·期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上
应用广泛.如图所示，分别以正三角形 ABC 的顶点为圆心，以三角形 ABC 边长为半径作圆弧，由这三段圆
弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形 ABC 边长为 60，点 D，E 分别为线段 AB，AC 的中点，
点 P 为圆弧 上的一动点，则| + + + + |的最小值为（ ）
A．60 6 37 B．300 30 37 C．300 15 37 D．60 3 37
【解题思路】取三角形 ABC 的重心和 DE 中点，由平面向量线性运算化简所求向量，再又三点共线的逆定
理得到点 在平面的位置，用勾股定理求出线段 CH 长，从而求得所求向量的最小值.
【解答过程】取 DE 中点 F，三角形 的重心 G，
∵ = 13 +
2
3 =
1 + 1 1 1 13 3 + = 3 + + ， = 2 + 2 ，
则 + + + + = 3 +2 = 5 3 + 2 ，
5 5
3 2 2
设 = 5 + 5 ，则可得 = 3 ，设 BC 中点为 M，
1
则| | = 602 302 = 30 3，| | = 6022 302 = 15 3，
3 3
| | = | | | | = | | 5| | = | |
1 1
5 × | | = 15 3 3 3 = 12 3，
2 = 2 + 2
2 3
= 1332，
在扇形 中，当 , , 三点共线时，| |最小，所以| |的最小值为60 1332 = 60 6 37，
| + + + + |的最小值为300 30 37.
故选：B.
4．（23-24 高一下·广东广州·期中）已知 P 是边长为 1 的正六边形 内一点（含边界），且 = +
, ∈ R，则下列正确的是（ ）
A． △ 的面积为定值 B． 使得| | > | |
C．∠ π π的取值范围是 , D．| |的取值范围是[1, 3]
6 3
【解题思路】对 A，根据 = + , ∈ R可得 // ，从而确定 在正六边形 的对角线 上
运动，进而根据 到 的距离为定值判断即可；对 B，根据正六边形的对称性判断即可；对 C，根据正六边
形的对称性分析最值即可；对 D，根据当 ⊥ 时，| |有最小值判断即可.
【解答过程】对 A，由 = + , ∈ R可得 = ，
即 = ，可得 // ，
因此， 在正六边形 的对角线 上运动，
所以 到 的距离为定值，所以 △ 的面积为定值，故 A 正确；
对 B，因为正六边形 关于对角线 对称，故| | = | |，故 B 错误；
π
对 C，根据图形的对称性，当 为 中点时，∠ 取得最大值3，
π
当 与 , 重合时∠ π π取得最小值6，即∠ 的取值范围是 , ，故 C 正确；6 3
对 D，因为正六边形边长为 1 3，所以平行线 , 的距离 = ，
2
3
又当 ⊥ 时，| |有最小值 ，故 D 错误.2
故选：AC.
π
5．（24-25 高三上·江苏常州·阶段练习）已知边长为 2 的菱形 中，∠ = 3，点 为线段 （含端点）
3
上一动点，点 满足 = 3 ，则 的取值范围为 ,3 ．
2
【解题思路】利用基底，结合向量的线性运算表示 , ，即可根据数量积的运算律求解.
【解答过程】设 = ，其中0 ≤ ≤ 1，
π
已知边长为 2 的菱形 中，∠ = 3，
则 △ 为等边三角形，又 = 3 ，
则 = ( + ) (34 ) = ( + ) (
3
4 ) = ( + ) (
3
4 )
3 2 3
= 4 (1 ) + 4
3 3 1 3
= 24 (1 ) × 2 + 4 × 2 × 2 × 2 = 3 2
又0 ≤ ≤ 1 3 3，故3 2 ∈ ,32
故 ∈ 3 ,3 ．
2
3
故答案为： ,3 .
2
【类型 2 基底法求最值与范围问题】
6．（23-24 高一下·浙江·期中）如图，在四边形 中， ∥ ， = 2 ， 为线段 上一个动点（含
端点）， = + ，则 + 的取值范围是（ ）
A．(0,1] B．[2,3] C．[1,2] D．[2,4)
1
【解题思路】设 = ，以 , + =为基底表示 后可得 2 2 ，求出 , 后结合0 ≤ ≤ 1可求 +
= 1
的范围.
【解答过程】设 = ，则0 ≤ ≤ 1，
故 = + + = + + ( ) ，
2
又 = + = + 12 ，因 , 不共线，
+ = 1 =
3
所以 2 2 ，故 2+ + = 6，所以 1，
= 1 = 3 1 2+
2+
因为0 ≤ ≤ 1，故1 ≤ + ≤ 2，
故选：C.
7．（2024·宁夏银川·模拟预测）在 △ 中， = 2 ，过点 的直线分别交直线 、 于点 、 ，且
= , = ，其中 > 0， > 0，则 + 2 的最小值为（ ）
A 2 B C 3 D 8． ． 2 ． ．3
1 2
【解题思路】根据题意以 , 为基底表示出 ，再根据 , , 三点共线，利用共线定理可得3 + 3 = 1，
再由基本不等式即可求得 + 2 的最小值为3.
【解答过程】如下图所示：
= 2 = + = + 2 = + 2 = 1 + 2因为 ，易知 3 3 3 3 ，
又 = , = = 1，所以 3 +
2
3 =
1 2
3 + 3 ，
易知 , , 1 2三点共线，利用共线定理可得3 + 3 = 1，
又 > 0， > 0，
所以 + 2 = 1 2 2 4 5 2 5( + 2 ) 1 + 2 = 3 + 3 + 3 + ≥ 2
2 2 3 + 3 = 2 × 3 + 3 = 3；3 3 3 3
2 2
当且仅当3 = 3 ，即 = = 1时，等号成立，
所以 + 2 的最小值为3.
故选：C.
8．（23-24 高一下·重庆巴南·阶段练习）在矩形 中，已知 , 分别是 , 上的点，且满足 = ,

= 2 ．若点 在线段 上运动，且 = + ( , ∈ R)，则 + 的取值范围为（ ）
A 1 7 3 4 2 3 1 3． , B． , C． , D． ,
5 5 5 5 3 4 5 5
【解题思路】建立基底， = , = ，则 = 1 12 , = 3 ，然后将设 = +(1 )
,0 ≤ ≤ 1 = 2 + 8 ，最终表示为 + 6 9 ，然后得到 + =
4
5
1
5 ，进而求出范围．5 5 5 5
【解答过程】矩形 中，已知 , 分别是 , 上的点，且满足 = , = 2 ，
设 = , = 1，则 = + = 2 ， = + =
1
3 ，
= 1 = 6 3
联立 2 ，可解得 5 5 ，
= 1 = 2 6
3 5 5
因为点 在线段 上运动，则可设 = + (1 ) ,0 ≤ ≤ 1，
= + (1 ) = (1 )
6 3 2 6
= 5 5 (1 ) 5 5
= 2 + 8 + 6 9 ，
5 5 5 5
= 2 + 8
又 = + ( , ∈ )，所以 5 5 = 6 9
，
5 5
+ = 2 + 8 + 6 9 4 15 5 5 5 = 5 5 ，
4 1 3 4
因为0 ≤ ≤ 1，所以 + = 5 5 ∈ , ．5 5
故选：B．
9．（23-24 高一下·福建漳州·期中）在 △ 中，点 满足 = 2 ，过点 的直线与 所在的直线分
别交于点 ， = , = ( > 0, > 0)，则下列说法正确的是（ ）
A = 2 1 2 2． 3 + 3 B． + 的最小值为 +13
2
C． = 1 43 + 3 D． 的最小值为9
1 2
【解题思路】先利用向量的线性运算判断 AC，再利用三点共线得到3 + 3 = 1，进而利用基本不等式与“1”
的妙用即可得解.
【解答过程】如图所示，因为 = 2 ，则 = 2 ，即 = 2 ，
1 2
所以 = 3 + 3 ，故 A 错误；
又因为 = , = ( > 0, > 0)，
1 2
所以 = 3 + 3 ，故 C 正确；
2
因为
1
三点共线，则3 + 3 = 1，
2
所以1 = 1 1 23 + 3 ≥ 2 =
2 2 ≥ 8
3 3 3
，则 9，
1 2 4
当且仅当3 = 3 ，即 = 2 = 3时，等号成立，
8
所以 的最小值为9，故 D 错误；
+ = ( + ) 1
2
所以 + 2 = + 2 2 2
3 3 3 3
+1 ≥ 2 +1 = +1，
3 3 3
2
当且仅当3 =
2 2
3 ，即 = 2 = + 3时，等号成立，3
2 2
所以 + 的最小值为 +1，故 C 正确.
3
故选：BC.
10．（23-24 高一下·广东江门·期中）如图所示，△ABC 是边长为 8 的等边三角形，P 为 AC 边上的一个动点，
EF 是以 B 为圆心，3 为半径的圆的直径，且 // ，则 的取值范围是 [39,55] .
【解题思路】选取一组基底 , ，把向量 、 用这一组基底表示，再利用向量数量积公式可得
= | |2 | |2 | |2，再根据 的范围即可求出 的取值范围.
【解答过程】如图可知， = + ， = + ，
因为 是 的中点，所以 = = ，
2 2
所以 = + = | | | | ，
由条件可得| | = 3，| | = | | = | | = 8，
因为 为 边上的一个动点，故当 为 中点时| |最小，此时| | = 4 3，
当 为 或 时，| |最大，此时| | = 8，
从而| 2 | ∈ [4 3,8]，| | ∈ [48,64]，
| | 2 2又因为 = 3，所以 = | | | | ∈ [39,55].
故答案为：[39,55].
【类型 3 坐标法求最值与范围问题】
11．（24-25 高二上·湖南岳阳·开学考试）已知直角梯形 中， ∥ ,∠ = 90°, = 2, = 1, 是
腰 上的动点，则| + 3 |的最小值为（ ）
A． 3 B． 5 C．4 D．5
【解题思路】根据题意，利用解析法求解，以直线 ， 分别为 ， 轴建立平面直角坐标系，写出点 、
、 和 的坐标，设出点 ，根据向量模的计算公式，利用完全平方式非负，即可求得其最小值.
【解答过程】如图，以直线 ， 分别为 ， 轴建立平面直角坐标系，
设 = ，则 (2,0)， (1, )， (0, )， (0,0)，
设 (0, )(0 ≤ ≤ )，
则 = (2, )， = (1, )， ∴ +3 = (5,3 4 )，
∴ | +3 | = 52 + (3 4 )2 ≥ 5，
即当3 = 4 时，取得最小值 5.
故选：D.
12．（24-25 高三上·北京·阶段练习）在 △ 中， = = 4 2，当 ∈ 时，| + |的最小值为
4．若 = , = sin2 + cos2 π，其中 ∈ , π ，则| |的最大值为（ ）
6 3
A．2 B．4 C．2 5 D．4 2
【解题思路】由| + |的最小值为4可得 △ 的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量
坐标化，利用平面向量共线定理以及 的取值范围表示出| |的表达式，再由二次函数单调性即可求得
| |max = 2 5.
【解答过程】如下图所示：
在直线 上取一点 ，使得 = ，
所以 + = + = ，当 ⊥ 时，| + |取得最小值为4，即| | = 4；
又 = = 4 2，所以可得 △ 是以 为顶点的等腰直角三角形，
建立以 为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示：
又 = 可得 为 的中点，
由 = sin2 + cos2 以及sin2 + cos2 = 1可得 在 上，
可得 (0,0), (0,4 2), (4 2,0), (0,2 2)，
所以 = (0,4 2), = (4 2,0)，可得 (4 2cos2 ,4 2sin2 )，
则 = (4 2cos2 ,4 2sin2 2 2)，
令cos2 = π π 1，由 ∈ , 可得cos2 = ∈ , 3 ，
6 3 4 4
所以 = (4 2 ,2 2 4 2 )，| | = (4 2 )2 + (2 2 4 2 )2 = 64 2 32 + 8，
2
由二次函数 = 64 2 32 + 8在 ∈ 1 , 3 上单调递增可得，| |max = 64 ×
3 32 × 3 + 8 = 2 5.
4 4 4 4
故选：C.
13．（23-24 高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形 中， = 2, = 2，点 在边 上运动（包含端
点），则 的取值范围为（ ）
A 7． 2 , B．[2 2,4] C． 2 2, 7 D 7． ,4
2 2 2 2
2
2 7
【解题思路】以 为坐标原点建立直角坐标系，设 ( ,2)，得 = + 2 2，根据 的范围即可求出
的范围.
【解答过程】
以 为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，
因为在矩形 中， = 2, = 2，
则 ( 2,0), ( 2,2), (0,2)，
又点 在边 上运动（包含端点），
设 ( ,2)，则0 ≤ ≤ 2，
= ( ,2), = ( 2,2)，
2
= 7则 ( 2) +2 × 2 = 2 2 + 4 = 2 +2 2，
2
因为0 ≤ ≤ 72 2，所以 + ∈ 72 2 ,4 ，2
故选：D.
14．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）如图，正方形 的边长为2, 是 中点，如图，点 是以 为直径
的半圆上任意点； = + ，则下列结论正确的有（ ）
A． 最大值为 1 B． 最大值为 1
C． 最大值是 2 D． 最大值是 5 +2
【解题思路】建立平面直角坐标系，由向量的坐标运算可得2 = cos + 1，且 + 2 = sin ， ∈ [0,π]，再
逐一分析各选项即可．
【解答过程】以 中点 为原点，建立平面直角坐标系，
则 ( 1,0)， ( 1,2)， (1,1)，
设∠ = ，则 (cos ,sin )， ∈ [0,π]，
所以 = (cos + 1,sin )， = (0,2)， = (2,1)，
由 = + ，得2 = cos + 1，且 + 2 = sin ， ∈ [0,π]，
对于 A，当 = 0时， max = 1，故 A 正确；
B = 1对于 ， (2sin cos 1) = 5sin( ) 1 ≤ 5 14 4 ，故 B 错误；4 4
对于 C， = 2sin ≤ 2，故 C 正确；
对于 D， = sin + 2cos + 2 = 5sin( + ) + 2 ≤ 5 +2，故 D 正确．
故选：ACD．
15．（24-25 1 3高三上·河北邢台·期中）已知四边形 是边长为 4 的正方形，点 满足 = 4 + 4 ，
为平面 内一点，则( + ) 17的最小值为 2 ．
【解题思路】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解.
【解答过程】建立如图所示的直角坐标系，设 ( , )， 是 中点，
则 (0,0), (4,0), (4,4), (0,4), (0,2),
1 3 1
由 = 4 + 4 可得 = 4 +
3
4 =
1 3
4(4,0) + 4(4,4) = (4,3),故 (4,3)，
所以( + ) = 2 = 2( ,2 ) (4 ,3 ) = 2[ (4 ) + (2 )(3 )] = 2
5 2 17 17( 2)2 + 2 ≥ 2 ，2
故当 = 2, = 5 172时，取到最小值 2 ，
17
故答案为： 2 .
【类型 4 与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】
16．（2024· 1河南许昌·三模）在△ABC 中，点 D 在 BC 上，且满足| | = 4| |，点 E 为 AD 上任意一点，
2
若实数 x，y 满足 = + 1，则 + 的最小值为（ ）
A．2 2 B．4 3 C．4 + 2 3 D．9 + 4 2
【解题思路】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点 A、E、D 共线得 + 4 = 1，
> 0, > 0，再根据“1”的代换,运用基本不等式即可求得答案.
1
【解答过程】因为| | = 4| |， = + ，所以 = +4 ，
由 A，E，D 三点共线可得 + 4 = 1，且 > 0, > 0，
1 2 1 2 2 4
所以 + = + ( + 4 ) = 9 + + ≥ 9 + 2 8 = 9 + 4 2，
= 2 2 1 ,
当且仅当 = 2 ，即 7 时，取等号.
= 4 2
14
故选：D.
17．（24-25 高三上·湖北·开学考试）已知点 在 △ 所在的平面内，且2 + + = 0.过点 的直线
与直线 , 分别交于 , ，设 = , = ,( > 0, > 0)，则 + 4 的最小值为（ ）
A 7． 3+2 2 9 34 B． C．4 D．2 +4 2
1 1
【解题思路】利用平面向量基本定理可得 + = 4，再利用基本不等式可求最小值.
【解答过程】
设 的中点为 ，连接 , , ，则2 = + ，
故2 +2 = 0即 = ，故 为 的中点，
因为 , , 三点共线，故存在实数 ，使得 = + (1 ) ，
1
故 = + (1 ) ，而 = 2 =
1
4 + ，
= 1 1
因为 , 1不共线，故 4 1 即 +(1 ) =
= 4，
4
+ 4 = 1 1 1 1 4 1 4 4( + 4 ) + = 4 5 + + ≥ 4(5 + 2 × ) =
9
，
4
3 3 9
当且仅当 = 4, = 8时等号成立，故 + 4 的最小值为4，
故选：C.
18．（23-24 高一下·湖南·期中） △ 的重心为 O，过点 O 的直线与 AB，BC 所在直线交于点 E，F，若
= ， = （ , > 0），则 xy 的最小值为（ ）
A 2 B 2 4．3 ．9 C．9 D．4
【解题思路】利用向量线性运算，结合三角形重心的性质及共线向量定理的推论得 + = 3 ，再利用基
本不等式求解即得.
【解答过程】由 O 为 △ 的重心，得 延长线必过 的中点 ，
= 2 = 1
1
则 3 3 +
1
3 ，由 = ， =
1
，得 = ， = ，
1 1
即 = 13 +
1
3 =
1 + E O F 13 3 ，又 ， ， 三点共线，因此3 + 3 = 1，
即 + = 3 ，又 > 0, > 0，则3 = + ≥ 2 ，
4
即 ≥ 9，当且仅当 = =
2
3时取等号，
4
则 xy 的最小值是9.
故选：C.
19．（24-25 高三上·江西·期中）已知点 P 是 △ 的中线 BD 上一点（不包含端点），且 = + ，
则下列说法正确的是（ ）
A． + 2 = 1 B． 1的最大值为9
C． 2
2
+ 2 1 1的最小值为5 D． + 的最小值是 9
【解题思路】由平面向量的基本定理及共线的推论得 + 2 = 1，再应用基本不等式、二次函数性质判断各
项正误.
【解答过程】
因为 = + ，则 = +2 ，又 ， ， 共线，所以 + 2 = 1，A 正确；
由 , > 0 1 1 1，则1 = 2 + ≥ 2 2 ，则 ≤ 8，当且仅当 = 4, = 2时取等号，B 错误；
2
由 2 + 2 = (1 2 )2 + 2 = 5 2 + 1 = 2 15 5，当 5时有最小值5，C 正确；
1 2 1 2 2 2
因为 + = + ( + 2 ) = 5 + + ≥ 5 + 2
2 × 2 = 9，

2 2
当且仅当 = ，即 = =
1
3时，等号成立，D 正确.
故选：ACD.
20．（24-25 高一下·山东·阶段练习）在 △ 中，过重心 E 任作一直线分别交 AB，AC 于 M，N 两点，设
= ， = ，（ > 0， > 0），则 + 2 的最小值是 1 + 2 2 .
3
【解题思路】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论求出 , 的关系，再利用基本不等式求出最小
值.
2 1 1 1
【解答过程】在 △ 中，点 为重心，则 = 3 × 2( + ) = 3 + 3 ，
1
而点 , , 1共线，则3 + 3 = 1，
1
+ 2 = ( + 2 )( 1 + ) = 1 + 2

+ ≥ 1 + 2 2 1+ 2因此 3 3 3 3 ，当且仅当 = 2 = 时取等号，3 3
2 2
所以 + 2 的最小值是1 + .
3
2 2
故答案为：1 + .
3
【类型 5 与数量积有关的最值（范围）问题】
21．（23-24 高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知 A，B，C 是单位圆上不同的三点， = ，则 的
最小值为（ ）
A．0 B． 14 C．
1
2 D． 1
【解题思路】令 (1,0)， (cos ,sin ), ∈ (0,2π)，进而有 (cos , sin )，应用向量数量积的坐标表示得
= cos2 2cos + 1 sin2 ，结合三角函数关系及二次函数的性质求最值.
【解答过程】不妨令 (1,0)， (cos ,sin ), ∈ (0,2π)，又 = ，则 (cos , sin )，
所以 = (cos 1,sin ) (cos 1, sin ) = (cos 1)2 sin2
2
= cos2 2cos + 1 sin2 = 2(cos 1 ) 1
2 2，
当cos = 1 12时， 的最小值为 2.
故选：C.
22．（23-24 高一下·北京·阶段练习）在直角梯形 中， ∥ ，∠ = 90°， = 2 = 2 = 2，
点 为梯形 四条边上的一个动点，则 的取值范围是（ ）
A 1 1． ,4 B． ,2 C．[ 1,4] D． 1 ,4
2 2 4
【解题思路】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.
【解答过程】如图 △ 中，O 为 AB 中点，
· = ( + )·( + ) = ( + )·( ) = 2 2（极化恒等式）
共起点的数量积问题可以使用.
如图，取 中点 ，则由极化恒等式知，

· = 2 2 = 2 14，要求 · 取值范围，只需要求
2最大，最小即可.

由图，可知 2最大时，P 在 D 点，即 2 = 2 = 2 + 2 = 17 14 ，此时 · =
2 4 = 4，

2 1 1最小时，P 在 O 点，即 2 = 0，此时 · = 2 4 = 4.
综上所得， 1取值范围为: ,4 .
4
故选：D.
23．（23-24 高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之
一，图 1 是一个正八边形窗花隔断，图 2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图 2，若正八边形
的边长为 2，P 是正八边形 八条边上的动点，则 的最大值为（ ）
A． 2 B．4 + 2 2 C．2 + 2 D．2 2
【解题思路】由投影向量的定义得到当 在 上时， 取得最大值，进而得到答案.
【解答过程】由投影向量的定义可知，当 在 上时， 取得最大值，
延长 交 的延长线于点 ，
的最大值为 ，
其中正八边形的外角为360° ÷ 8 = 45°，故 = = 2,∠ = 45°，
故 = 2cos45° = 2， = + = 2 + 2，
故 = 2(2 + 2) = 4 + 2 2，
所以 最大值为4 + 2 2.
故选：B.
24．（23-24 高一下·江苏南通·期中）剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成
为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了 2022
年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上漂亮的“雪花”图案（如图 1）所吸引，决定用作品“雪花”参加
剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”，它的平面图可简化为图 2 的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又
是中心对称图形，其中，六边形 ABCDEF 为正六边形， = 4 = 4 = 4 ， ⊥ ， △ 为等边三
角形，P 为该平面图形上的一个动点（含边界），则（ ）
A． = 1 + 3 B． = 2(1 + 3)
C．若 = + 9+ 3，则 λ＋μ 的最大值为 D． 的取值范围是
2 [ 12 4 3,28 + 4 3]
【解题思路】把题中图 2 的平面图形顺时针旋转30°，设正六边形 的中心为 ，连接 ， ，连接
，交 于点 ，过 作 ⊥ ，垂足为点 ，过 作 ⊥ ，垂足为点 ，利用数量积结合选项即可逐一
求解．
【解答过程】如图，把题中图 2 的平面图形顺时针旋转30°，设正六边形 的中心为 ，
连接 ， ，连接 ，交 于点 ，易得 ， 在 上， ⊥ ．
过 作 ⊥ ，垂足为点 ，过 作 ⊥ ，垂足为点 ．
2π π 5π
由题意得 = = 2 = 2，∠ = 3 4=12，所以 = cos∠ = 2 ×
6 2 = 3 1，
4 2
= 2 = 2 sin∠ = 2 2 × 6+ 2 = 3 +1，4
3 3
所以 = = × ( 3 +1) = 3+ 3 = 3 1 3+ 3，所以 + = 1 + ，A 正确．2 2 2 2 2 3
π
计算 = ( 3 +1) × 1 × cos = 3+13 ，所以 B 错误；2
2
= + ，所以 = + = × 4 × 4 × cos2π3 + × 4
2 = 16 8 ，
2
= + = 16 8 ，
所以 + = 8( + ) 1，即8 ( + ) = + ，
连接 ，取 的中点 1，连接 ，则8 2 = + + =
1
，所以 4 ，
当点 与点 重合时 + 取得最大值，所以 + 的最大值为：
1 π = 1 × ( + ) × cos = 1 × (8 + 1 + ) × 4 × 14 4 3 4 3 =
9+ 3
2 ， C 正确；2
π
因为四边形 为矩形，所以 = = 1 + 3， = cos3 = 4 ×
1
2 = 2，
所以 = + + = 4 + 2 + (1 + 3) = 7 + 3，
当 与 重合时， 取得最大值为| || | = (7 + 3) × 4 = 28 + 4 3，
当 与 重合时， 取得最小值为| || | = (1 + 3 +2) × 4 = 12 4 3，
所以 的取值范围是[ 12 4 3，28 + 4 3]， D 正确．
故选：ACD．
25．（2024 高三·全国·专题练习）在直角 △ 中，斜边 = 2， 为 △ 所在平面内一点， = 12sin
2
+ cos2 （其中 ∈ R），
① 的取值范围是(0,4)
②点 经过 △ 的外心
③点 所在轨迹的长度为 2
④ + 1的取值范围是 ,0
2
则以上结论正确的是 ①②④ ．（填写序号）
2
【解题思路】对①，由直角三角形结合向量的运算可得 = 判断即可；对②③，由题意推导 =

sin2 + cos2 ,进而可得 P 在线段 OC 上判断；对④，根据平面向量的线性运算可得 ·( ＋ )＝－
2| || |，再根据基本不等式求解即可.
【解答过程】对①，由 △ 中 为斜边，
2
可得 = + = + = ，

又斜边 = 2，则| ∈ (0,2)|，则 · ∈ (0,4)，①正确；

对②，若 O 为 AB 中点，则 1＝2 ，故 = sin
2 + cos2
又 sin2θ＋cos2θ＝1，所以 O，P，C 共线，故 P 在线段 OC 上，轨迹长为 1，
又 O 是△ABC 的外心，所以②正确，③错误；
对④，又 ＋ ＝2 ，则 ·( ＋ )＝2 · ＝－2| || |，
| | 2 +| |
又| |＋| |＝| | 1＝1，则| || |≤ 2 ＝4，
1
当且仅当| |＝| |＝2时，等号成立，
所以 ·( ＋ ) 1＝－2| || | ∈ ,0 ，④正确．
2
故答案为：①②④.
【类型 6 与模有关的最值（范围）问题】
26．（2024·四川泸州·一模）已知平面向量| | = 4,| | = 3,| | = 1, = 0，则| + |的最小值是
（ ）
A．1 B 3．2 C．2 D．3
【解题思路】由题设 , , 分别在以 为原点，半径为4,3,1的圆上运动，且 ⊥ ，数形结合及向量加法的
几何意义确定| + |的范围，即可得答案.
【解答过程】由题设， , , 分别在以 为原点，半径为4,3,1的圆上运动，且 = 0，
1 5
所以 ⊥ ，若 是 的中点，则| | = 2| | = 2，而| | = 1，如下图示，

由图知，| + | = 2| |，而| | | | ≤ | | ≤ | | + | | 3 7，即2 ≤ | | ≤ 2.
所以| + |的最小值是3.
故选：D.
27．（2024·湖北·模拟预测）四边形 是边长为 4 的正方形，点 是正方形内的一点，且满足
| + + + | = 4，则| |的最大值是（ ）
A．1 + 2 B． 2 1 C．2 2 1 D．2 2 +1
【解题思路】根据题意建立直角坐标系，设 ( , )，写出 , , , 坐标，可得 点的轨迹方程，进而可求出| |
的最大值.
【解答过程】根据题意，建立如图所示的直角坐标系，
设 ( , ), (0,0), (4,0), (4,4), (0,4)，
则 = ( , ), = ( 4, ), = ( 4, 4), = ( , 4)，
故 + + + = (4 8,4 8)，
∴ | + + + | = 16( 2)2 + 16( 2)2 = 4，
即( 2)2 + ( 2)2 = 1；
故点 在以点(2,2)为圆心，1 为半径的圆周上运动，
所以| |的最大值为 22 + 22 +1 = 2 2 +1.
故选：D.
28．（23-24 高一下·浙江·阶段练习）正方形 边长为 1，平面内一点 满足 = + ，满足
+ = 74的 点的轨迹分别与 ， 交于 ， 两点，令 1， 2分别为 和 方向上的单位向量， ， 为
任意实数，则| 1| + | 1 2| + | 2 |的最小值为（ ）
A．3 B 5．7 2 C． D．3+2 2
4 2 2
【解题思路】首先根据题意确定， , 的位置，然后设 1 = , 2 = ，利用平面向量的减法运算可得
1 = ， 1 2 = ， 2 = ，最后求点 关于 的对称点 1,点 关于 的对称点 1，
计算| 1 1|长度即可得到答案.
= 1 1
【解答过程】由题意知，当 = 3 时，点 的轨迹与 相交于 ，即 = 4，
4
= 3 1
当 4 时，点 的轨迹与 相交于 ，即 = .
= 1 4
设 1 = , 2 = ，则 1 = = ，
1 2 = = ， 2 = = .
于是| 1| + | 1 2| + | 2 | = | | + | | + | |,
设点 关于 的对称点 1,点 关于 的对称点 1，
| | | | | 则 = 1 , | = | 1 |，
所以点 1, , , 1共线的时候| | + | | + | |取得最小值，
即| | + | | + | | = | 1| + | 2 2 | + | 7 21| ≥ | 1 1| = | 1| + | 1| = .4
故选：B.
29．（23-24 高三上·安徽·开学考试）已知 (2,0)， (cos ,sin )， (cos ,sin )，A，B 两点不重合，则
（ ）
A．| |的最大值为 2
B．| + |的最大值为 2
C．若 = ，| |最大值为 3
D．若 = ，| + |最大值为 4
【解题思路】A 选项，由几何意义可得 A，B 为单位圆上任意两点，从而得到| | = | | ≤ 2；B 选项，
取 中点 ，得到| + | = 2| |，数形结合得到| | ∈ (1,3)，进而求出| + | ∈ (2,6)；C 选项，
| | = | | ≤ 2；D 选项，分两种情况，得到| + | = 2| | ≤ 4.
【解答过程】A 选项，由已知 A，B 为单位圆上任意两点，| | = | | = 1，| | = | | ≤ 2，A 正确；
B 选项，设 D 为 的中点，则| + | = 2| |，
由于 A，B 两点不重合，所以| | ∈ (1,3)，则| + | = 2| | ∈ (2,6)，故 B 错误；
C 选项，当 P，A，B 共线时，| | = | | ≤ 2，故 C 错误；
D 选项，当 P，A，B 共线时，若 , 坐标分别为( 1,0)与(1,0)或(1,0)与( 1,0)时，
, 两点重合，此时| + | = 2| | = 4，
若 , 坐标不同时为( 1,0)与(1,0)时，此时 ⊥ ，则| | < | |，
故| + | = 2| | ≤ 4，故 D 正确.
故选：AD.
30．（23-24 高一上·辽宁沈阳·期末）在等腰梯形 ABCD 中， // ， = 4， = = 2，P 是腰 AD
上的动点，则|2 |的最小值为 3 3 .
【解题思路】建立平面直角坐标系，设出点 坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解即可．
【解答过程】等腰梯形 ABCD 中， // ， = 4， = = 2，
2
故梯形的高为 22 4 2 = 3，
2
根据题意，以 为坐标原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，
则 (4,0)， (3, 3)，设 ( , 3 )，其中0 ≤ ≤ 1，
= (4 , 3 ), = (3 , 3 3 )，
则2 = (5 , 3 3 )，
2
则|2 |2 = (5 )2 +3(1 + )2 = 4 2 4 + 28 = 4( 1 ) +272 ，
1
则当 = 2时，|2 |
2取得最小值 27，
则|2 |的最小值3 3．
故答案为：3 3．
【类型 7 平面向量中参数的最值（范围）问题】
31．（2024·全国·模拟预测）已知 △ 中， = +(1 ) ，且 为 △ 的外心．若 在 上的
cos∠ ∈ 1 , 2投影向量为 ，且 ，则 的取值范围为（ ）
3 3
A 2 , 5． B 1 3 4 5 1 3． , C． , D． ,
3 6 5 10 3 3 5 5
【解题思路】根据题意 B，O，C 三点共线．因为 为 △ 的外心，即有| | = | | = | |，所以 △
为直角三角形，利用向量得投影结合图形即可得解.
【解答过程】
因为 = +(1 ) = + ，
则 = ( )，所以 = ，即 B，O，C 三点共线．
因为 为 △ 的外心，即有| | = | | = | |，
所以 △ 1 2为直角三角形，因此 ⊥ ， 为斜边 的中点．因为cos∠ ∈ , ，所以∠ 为锐角．
3 3
如图，过点 作 ⊥ ，垂足为 ．
因为 在 上的投影向量为 = 1，所以2 < < 1，
1 1
所以 在 上的投影向量为 = = 2 = ．2
| | = 1| | | |
1 | |
又因为 2 ，所以cos∠ = =
2
1 = 2 1．| | | |
2
因为cos∠ ∈ 1 , 2 ，所以2 1 ∈ 1 , 2 ，
3 3 3 3
2故 的取值范围为 , 5 ．
3 6
故选：A．
π
32．（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在 △ 中， = 6, = 8,∠ = 3，I 是∠ 的平分线上一
1
点，且 = 3，若 △ 内（不包含边界）的一点 D 满足 = + 2 ，则实数 x 的取值范围是（ ）
A 1 , 5 B 1 , 5 C 1 , 5 1． ． ． D． , 5
6 24 6 24 6 8 6 8
1 1 1 5
【解题思路】将向量 , 归一化可得 = 6 + 8 ，结合向量的线性运算可得 = + + 8 ，6
结合题意列式求解即可.
π
【解答过程】设 = = | , = =
，则| | = 1,| | = 1，且 = ∠ = ，
| 6 | | 8 , 3
1 1
可得 = 1 × 1 × 2 = 2，
2 2 2
则 = + , > 0，可得 = 2 + = 2 + 2 + ，
即3 = 2(1 + 1 + 1) = 3 2，可得 = 1，
则 = + = 16 +
1
8 ，
1
因为 = + 2 ，则 = +
1 12 ，可得 = + 2 + ，
所以 = + 12 +
1
6 +
1
8 =
5
+ 1 + ，
6 8
+ 1 > 0 1 5
因为 61 5 ，解得 + + < 1 6
< < 24，
6 8
x 1所以实数 的取值范围是 , 5 .
6 24
故选：B.
33．（23-24 高二上·上海黄浦·期中）在 △ 中， = 3， = 4，∠ = 90°. 为 △ 所在平面内的动
点，且 = 2，若 = + ，则给出下面四个结论：
① + 4的最小值为 5； ② 的最小值为 6；
③ + 3的最大值为4； ④ 的最大值为 10.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】建立以 为原点， , 所在的直线分别为 , 轴，平面直角坐标系，设 (2cos ,2sin )，然后
= 2 cos
表示出 , , 的坐标，得出 31 ，再逐个分析即可. = sin
2
【解答过程】
如图，以 为原点， , 所在的直线分别为 , 轴，建立平面直角坐标系，
则 (0,0), (3,0), (0,4)，因为 = 2，所以设 (2cos ,2sin )，
则 = (2cos ,2sin ), = (3,0), = (0,4)
所以 = + = (3 ,4 )，
= 22cos = 3 cos
则 2sin = 4 ，即
3
= 1 sin
2
+ = 2cos + 1sin = 5sin sin = 4所以 3 2 6 ( + )，其中 5,cos =
3
5，
所以( + ) 5min = 6,( + )max =
5
6，
所以①③错误；
∵ = (3 2cos , 2sin ), = ( 2cos ,4 2sin )
∴ = 2cos (3 2cos ) 2sin (4 2sin ) = 4 10sin( + )，
3
其中sin = 5,cos =
4
5，
∵ 10 ≤ 10sin( + ) ≤ 10，
∴ 6 ≤ 4 10sin( + ) ≤ 14，
∴ 6 ≤ ≤ 14，
所以②正确，④错误；
故选：A.
34．（24-25 高一下·全国·课后作业）△ 中，D 为 AB 上一点且满足 = 3 ．若 P 为线段 CD 上一点，
且 = + （ , 为正实数），则下列结论正确的是（ ）
A． = 14 +
3
4 B．4 + 3 = 2
1
C． 1 1的最大值为12 D． + 3 的最小值为 3
【解题思路】根据平面向量基本定理，结合三点共线的向量性质、基本不等式逐一判断即可.
1 1 3 1
【解答过程】 = + = + 4 = + 4( + ) = 4 + 4 ，故 A 正确；
由 = 3 = 43 ，
所以 = 4 3 + ，又 , , 三点共线，
∴ 4 3 + = 1，即4 + 3 = 3，故 B 错误；
3 3 1
由 , 为正实数，4 + 3 = 3 ≥ 4 3 ，得 ≤ 16，当且仅当 = 8, = 2时等号成立，故 C 错误；
1 1 1 1 1
+ 3 = 3 + (4 + 3 ) =
1 3 4 1 3 4
3 3
5 + + ≥
3 3
5 + 2 = 3，当且仅当3 = 2 时等号成立，故 D 正
3
确．
故选：AD．
35．（23-24 高一下·四川德阳·阶段练习）边长为 4 的正方形 ，点 在正方形内（含边界），满足 =
+ ，当点 在线段 2上时，则 2 +2 2的最小值为 3 .
【解题思路】建立平面直角坐标系，求出 线段方程，由 在线段 上可得 + = 1，利用二次函数值域
计算即可得出结果.
【解答过程】建立平面直角坐标系如图所示，根据题意可得：
(0,0)， (4,0)， (4,4)， (0,4)，
设 为( , )，则 ， ∈ [0，4]，
因为 = + ，
= 4
所以( ， ) = (4，0) + (0，4)，所以 = 4 ，
易知 线段方程为： + = 4， ∈ [0，4]，
因为点 在 上，所以 + = 4， = 4 ∈ [0，4]，
所以 + = 4 + 4 = 4， ∈ [0，1]，
所以 + = 1， ∈ [0，1]， ∈ [0，1]，
2
则 2 +2 2 = 2 +2(1 )2 = 3 2 4 + 2 = 3 2 + 23 3，
= 2 2当 3时取得最小值为3.
2
故答案为：3.
【类型 8 极化恒等式】
36．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形 中，斜边 = 2， 为线段 上的动点（包
含端点）， 为 的中点．将线段 绕着点 旋转得到线段 ，则 的最小值为（　　）
A． 2 B 3． 2
C． 1 D． 12
2 2 2 2
【解题思路】利用转化法，将 转化为 或 14 ，进而求得 的最小值.
【解答过程】解法一：
连接 ，则 = + +
2 2
= + = ，
当 ⊥ 时， 最小，即| | = 2min ，2
2 1
结合 = 1，得 的最小值为 2．
解法二（极化恒等式法）：
依题意 = 2， 为线段 的中点，
2 2
则 + = 2 , = 14 +
2 2
= 14 ,
由于| 2 |min = 2， = 4，所以
1
的最小值为 2．2
故选:D.
37．（24-25 高一下·福建厦门·阶段练习） 是边长为 2 的正方形 边界或内部一点，且 + = ，
则 的最大值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【解题思路】建立坐标系，求出点的坐标，利用向量数量积的坐标公式进行求解即可．
另解：利用极化恒等式，进行求解即可.
【解答过程】以 B 为坐标原点，以 BC 方向为 轴正方向，以 BA 方向为 轴正方向建立坐标系，
则 (0,2), (0,0), (2,0), (2,2)，设 ( , )，0 ≤ ≤ 2， 2 ≤ ≤ 0，
则 = ( , 2)，
因为 + = ，则 = + = + + = (2 , 2 )，
则 = (2 ) + ( 2)( 2 ) = 5 ( 1)2 + 2 ，
故当 = 1， = 0时 取得最大值为 5．
另解：（极化恒等式）：
令 + = = 2 ，则 为 中点， 为 中点，则 (1,0)，
2 2
所以 = + = 2 2 ≤ 2 = 5，当 为 中点时取等．
4
故选：C.
38．（2024·重庆·模拟预测）已知 △ 的面积为1, = 2，动点 , 在线段 上滑动，且| | = 1，则
3的最小值为 4 .
【解题思路】根据题意，记线段 的中点为 ，由 △ = 1且 = 2，可得点 到直线 的距离为 = 1，
由 = 14[( + )
2 ( )2]，根据向量的运算代入求解即可.
【解答过程】记线段 的中点为 ，点 到直线 的距离为 ，
1
则有 △ = 2 = 1，解得 = 1，
由极化恒等式可得：
1
= 4 [( + )
2 ( )2]
= 2 2 = 2 1 ≥ 24
1 = 34 4.
3
故答案为：4.
39．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图直角梯形 ABCD 中，EF 是 CD 边上长为 6 的可移动的线
段， = 4， = 8 3， = 12 ，则 的取值范围为 [99,148] .
【解题思路】首先在 上取一点 ，使得 = 4，取 的中点 ，连接 ， 1，根据题意得到 = 4
2 2
+ = 2 9，再根据| |的最值求解即可.
【解答过程】在 上取一点 ，使得 = 4，取 的中点 ，连接 ， ，
如图所示：
则 = 8 3， = 8， = 82 + (8 3)2 = 16，
tan∠ = 8 3 =
8 3，即∠ = 60
.
= 1 2 2 1 24 + = 4 2
2 = 2 9，
当 ⊥ 时，| |取得最小值，此时| | = 12 × sin60 = 6 3，
2
所以 min = (6 3) 9 = 99.
当 与 重合时， = 13， = 12，
则| |2 = 122 + 132 2 × 12 × 13 × 12 = 157，
当 与 重合时， = 3， = 12，
则| |2 = 122 + 32 2 × 12 × 3 × 12 = 117，
所以 max = 157 9 = 148，即 的取值范围为[99,148].
故答案为：[99,148].
2
40．（23-24 高一下·广东潮州·阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道①( + ) = 2 +2 +
2 2 2 2 2 2 2
；②( ) = 2 2 + .由①-②得( + ) ( ) = 4 = ( + ) ( ) ，我们把最后推
4
出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所
示的四边形 中， = 8, = 48， 为 中点.
(1)若cos∠ = 1213，求 △ 的面积；
(2)若2 = ，求 的值；
(3)若 为平面 内一点，求 + 的最小值.
【解题思路】（1）结合数量积的定义和三角形面积公式求解；
（2）根据“极化恒等式”列出式子计算即可
（3）连接 ， ，取 的中点 ，连接 ，将 + 进行转化求最值.
【解答过程】（1）因为 = 48，所以| || |cos∠ = 48，
| || 12即 | × 13 = 48，所以| || | = 52，
又cos∠ = 1213，所以sin∠ =
5
13，
= 1| || |sin∠ = 1 × 52 × 5所以 △ 2 2 13 = 10；
（2）因为 = 48， = 8，
2 2 2 2
由极化恒等式得 = ( + ) ( ) = (2 )
4 4
2
= 2 4 =
2 16 = 48，
所以 = 8，
又2 = ，所以 = 2 = 16，
2 2 2 2
由极化恒等式得 = ( + ) ( ) = (2 )
4 4
2
= 2 4 = 256 16 = 240；
（3）连接 ， ，取 的中点 ，连接 ，
1
由 = 8， = 2 = 4，
则 · + = 2 = 2
| 2 2 2= 2 | | | = 2 | | 42 ≥ 2 × (0 16) = 32，
所以当点 与 重合时， · + min = 32.

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