资源简介 专题 6.12 解三角形中的最值与范围必考七类问题【人教 A 版(2019)】【类型 1 三角形面积的最值或范围问题】 ............................................................................................................1【类型 2 三角形边长的最值或范围问题】 ............................................................................................................2【类型 3 三角形周长的最值或范围问题】 ............................................................................................................3【类型 4 三角形的角的最值或范围问题】 ............................................................................................................4【类型 5 利用基本不等式求最值(范围)】 ........................................................................................................5【类型 6 转化为函数求最值(范围)】 ................................................................................................................6【类型 7 坐标法求最值(范围)】 ........................................................................................................................7【知识点 1 三角形中的最值与范围问题及其解题策略】1.三角形中的最值(范围)问题的常见解题方法:(1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值(范围);(2)利用基本不等式求最值(范围);(3)转化为三角函数求最值(范围);(4)转化为其他函数求最值(范围);(5)坐标法求最值(范围).2.三角形中的最值(范围)问题的解题策略:(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值(范围)问题的核心,要牢牢掌握并灵活运用.解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化,再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值(范围).(2)转化为三角函数求最值(范围)问题的解题策略三角形中最值(范围)问题,如果三角形为锐角三角形,或其他的限制,一般采用正弦定理边化角,利用三角函数的范围求出最值或范围.(3)坐标法求最值(范围)求最值(范围)问题的解题策略“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时,要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系,建立合适的直角坐标系,正确求出关键点的坐标,将所要求的目标式表示出来并合理化简,再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值.【类型 1 三角形面积的最值或范围问题】1.(24-25 高一下·河南信阳·阶段练习)在 △ 中,若 = 2, = 3 ,则 △ 的面积 的最大值为( )A 3 B 3. . C.2 2 D.2 22.(23-24 2 高一下·福建泉州·阶段练习)在锐角 △ 中, 、 、 分别是角 、 、 所对的边,已知 6 =cos cos 且 = 6,则锐角 △ 面积的取值范围为( )A.(0,4 3) B.(4 3,9 3] C.(6 3,9 3] D.(0,6 3]3.(24-25 高一下·山东菏泽·期中) △ 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, cos + cos = 2 πsin ,且∠ = 3.若 D 是 △ 外一点,DC=1,AD=2,则下列说法中正确( )π πA.∠ = 6 B.∠ = 2C.四边形 ABCD 面积有最小值 D.四边形 ABCD 面积有最大值4.(24-25 高一下·上海金山·阶段练习)在 △ 中, 、 、 三个内角所对的边依次为 、 、 ,且 2 + 2 = 2 + ,若 = 4,则 △ 的面积的最大值为 .5.(23-24 高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习) △ 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知cos =2 2 ,点 D 在 AC 上,且 = 2 , = 2.(1)求角 B;(2)求 △ 面积的最大值.【类型 2 三角形边长的最值或范围问题】 6.(23-24 高一下·广东茂名·期中)在 △ 中,角 , , , , cos + cos = 2 3sin 的对边分别为 ,若 , = ,3sin 3则 + 的取值范围是( )A 3. , 3 B 3. , 3 C. 3 , 3 D. 3 , 32 2 2 22 2 2 27.(23-24 ( + )sin 高一下·宁夏石嘴山·期末)在 △ 中,角 , , 的对边分别为 , , ,若 2 sin cos + 2 + = 0, = 3,则 + 的取值范围是( )A. 3,2 B.( 3,2] C. 3 1 D. 32 , 2 ,18.(23-24 高一下·江苏泰州·期中)在锐角 △ 中,边长 = 1, = 2,则边长 c 可能的取值是( )A. 2 B.2 C.2 2 D 13. 29.(23-24 · cos 高一下 江苏南通·阶段练习)锐角 △ 的角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足 =cos cos ,则 的取值范围为 .10.(23-24 高一下·重庆·期末)在锐角 △ 中, , , 分别为内角 , , 的对边,已知2 = 2 cos ,(1)求 的大小;(2) + 求 的取值范围.【类型 3 三角形周长的最值或范围问题】11.(24-25 高三下·河南·开学考试)在 △ 中,若内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,∠ 的平分线交 AC 于点 D, = 1且 = 2,则 △ 周长的最小值为( )A.7 B.2 2 C.2 + 2 2 D.412.(23-24 高一下·江苏连云港·期中)已知锐角 △ 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos cos2 = 且 △ 外接圆半径为2,则△ABC 周长的取值范围是( )A.(4 3,6 3] B.(4 3,6 3) C.(6 + 2 3,6 3] D.(6 + 2 3,6 3)13.(23-24 · · △ A B C a b c = 2π高一下 甘肃天水 期中)在 中,角 , , 所对的边分别为 , , ,已知 3 , = 8,则( )πA = = 4 3.若 6,则 B.若 = 4,则sin =33 4C △ 16 3 16 3. 面积的最大值为 D. △ 周长的最大值为 +83 314.(23-24 高一下·四川泸州·期中)在锐角 △ 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若π = 2, = 3,则 △ 周长的取值范围为 .15.(23-24 高一下·广东惠州·期中)已知 △ 的内角 , , 所对的边分别是 , , ,( + )(sin sin ) =( )sin .(1)求角 ;(2)若 △ 外接圆的直径为2 3,求 △ 周长的取值范围.【类型 4 三角形的角的最值或范围问题】16.(2024·四川成都·模拟预测)记 △ 的内角 , , 的对边分别为 , , .若 = 1, = 2,则 + 的取值范围是( )A 2π , 5π B 2π. . ,π C 5π π 5π. ,π D. ,3 6 3 6 2 617.(23-24 高一下·四川成都·期中)在锐角 △ 中,内角 , , 的对边分别为 , , ,且满足( + + )( + ) = 3 sin .则cos 的取值范围为( )A. 3 , + ∞ B. 2 3 , + ∞ C.( 3 + ∞) D. 3 , 2 32 3 2 318.(23-24 高一下·河北·期末)在锐角 △ 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ,已知 = 2 cos ,且 ≠ ,则( )A. = 2 B π.角 的取值范围是 0,4C.cos 1的取值范围是 0,2 D. 的取值范围是( 2, 3)19.(24-25 高一下·全国·课后作业)在 △ 中,三边 a,b,c 互不相等,且 a 为最长边,若 2 < 2 + 2,则 A 的取值范围是 .π20.(23-24 高一下·河南郑州·期中)如图,在四边形 中,∠ = 2, = = 2, = 4.π(1)当∠ = 3时,求四边形 的面积;(2)当∠ ∈ π , π 时,求cos∠ 的取值范围.4 3【类型 5 利用基本不等式求最值(范围)】21.(2024·江西·二模)在 △ 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若 = 8,sin + 2sin cos = 0,则 △ 面积的最大值为( )A.1 B.3 C.2 D.422.(2025 高三·全国·专题练习)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足 2 + 2 2= , = 3,则 b+c 的取值范围是( )A.(1, 3) B.( 3,2 3] C.( 3,3 3) D.( 3,3 3)2π23.(23-24 高一下·浙江·期中)在 △ 中,内角 , , 所对的边分别为 , , ,∠ = 3,内角 的平分线交 于点 且 = 3,则下列结论正确的是( )A 1 1. + = 1 B. 的最小值是 2C. + 3 的最小值是4 3 D. △ 的面积最小值是 324 7 3.(23-24 高一下·福建莆田·阶段练习)已知 △ 的外接圆 的半径为 , 的长为7, △ 周长的最3大值为 .25.(24-25 高一上·全国·期中)已知 △ 的内角 , , 的对边分别为 , , ,若1 cos = 3sin .(1)求角 C 的大小;(2)若 △ 的面积为4 3,求3 2 + 2的最小值.【类型 6 转化为函数求最值(范围)】26.(23-24 高一下·湖北武汉·期中)在锐角 △ 中,角 , , 的对边分别为 , , , 为 △ 的面积, = 4,且2 = 2 ( )2,则 △ 的周长的取值范围是( )A. 8,4 5 + 4 B. 12,2 5 + 2 C. 8,2 5 + 2 D. 12,4 5 + 4π27.(23-24 高一上·福建宁德·期末)如图,在扇形 中,半径 = 2,圆心角∠ = 4, 是扇形弧上的动点, 是半径 上的动点, // .则 △ 面积的最大值为( )A.2 2 2 B. 2 1 C 3. D 3.3 628.(23-24 高一下·四川内江·期中)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cos + cos = 2,则下列说法正确的是( )πA 3.若 = 3,则 △ 面积的最大值为 4πB.若 = 4,且 △ 只有一解,则 b 的取值范围为(0,1]πC.若 = 3,且 △ 为锐角三角形,则 △ 周长的取值范围为(1 + 3,3]D.若 △ 为锐角三角形, = 2,则 AC 边上的高的取值范围为 3 ,2 3229.(23-24 高一下·江苏苏州·阶段练习)在锐角 △ 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 2 + 2 = 0,则4(sin + cos )2 + 1 1tan tan 的取值范围为 .30.(23-24 高一下·重庆·阶段练习)在 △ 中,内角 , , 所对的边分别是 , , ,且sin + 3cos = , = 3.(1)若 + = 2,求边 上的角平分线 长;(2)求边 上的中线 的取值范围.【类型 7 坐标法求最值(范围)】31.(2024·安徽马鞍山·模拟预测)已知平行四边形 中, ∠ = 60°, , 分别为边 , 的中点,若 = 13,则四边形 面积的最大值为( )A.2 B.2 3 C.4 D.4 332.(2024·江西南昌·三模)如图,在扇形 OAB 中,半径 = 4,∠ = 90°,C 在半径 OB 上,D 在半径 OA 上,E 是扇形弧上的动点(不包含端点),则平行四边形 BCDE 的周长的取值范围是( )A.(8,12] B.(8 2,12]C.(8,8 2] D.(4,8 2]33.(23-24 高一下·四川宜宾·期末)如图,在平面四边形 中, ⊥ ,∠ = 60°,∠ = 150°, = 3 2 3, = , = 3,若点 F 为边 AD 上的动点,则 的最小值为( )3A.1 B 15 31.16 C.32 D.234.(23-24 高一下·江西萍乡·期中)如图,在 △ 中, = 2, = 1, = 7,动点 在线段 上移动,则 的最小值为 .35.(23-24 高一下·天津·期末)在 △ 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足(2 )cos = cos .(1)求角 B 的大小;(2)若 = 2 ,且 = 1, = 7,求 △ 的面积;(3)如图,平面四边形 ABCP 中, = 2, = 3, = 712 ,动点 E,F 分别在线段 BC,CP 上运动,且 = , = ,求 的取值范围.专题 6.12 解三角形中的最值与范围必考七类问题【人教 A 版(2019)】【类型 1 三角形面积的最值或范围问题】 ............................................................................................................1【类型 2 三角形边长的最值或范围问题】 ............................................................................................................6【类型 3 三角形周长的最值或范围问题】 ............................................................................................................9【类型 4 三角形的角的最值或范围问题】 ..........................................................................................................12【类型 5 利用基本不等式求最值(范围)】 ......................................................................................................16【类型 6 转化为函数求最值(范围)】 ..............................................................................................................19【类型 7 坐标法求最值(范围)】 ......................................................................................................................24【知识点 1 三角形中的最值与范围问题及其解题策略】1.三角形中的最值(范围)问题的常见解题方法:(1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值(范围);(2)利用基本不等式求最值(范围);(3)转化为三角函数求最值(范围);(4)转化为其他函数求最值(范围);(5)坐标法求最值(范围).2.三角形中的最值(范围)问题的解题策略:(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值(范围)问题的核心,要牢牢掌握并灵活运用.解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化,再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值(范围).(2)转化为三角函数求最值(范围)问题的解题策略三角形中最值(范围)问题,如果三角形为锐角三角形,或其他的限制,一般采用正弦定理边化角,利用三角函数的范围求出最值或范围.(3)坐标法求最值(范围)求最值(范围)问题的解题策略“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时,要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系,建立合适的直角坐标系,正确求出关键点的坐标,将所要求的目标式表示出来并合理化简,再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值.【类型 1 三角形面积的最值或范围问题】1.(24-25 高一下·河南信阳·阶段练习)在 △ 中,若 = 2, = 3 ,则 △ 的面积 的最大值为( )A 3 B 3. . C.2 2 D.2 2【解题思路】根据题意,利用余弦定理得到sin 关于 的表达式,再利用三角形面积公式,结合二次函数最值的求法即可得解.【解答过程】依题意,不妨设 = , = , = ,则 = 2, = 3 ,2 2 2 2由余弦定理得 = + 2 cos ,即( 3 ) = 2 +4 4 cos ,则2 2 +4 cos 4 = 0,4 2 2 1 2故cos = 4 = 2,则cos2 = 4 +1 2 1,2所以sin2 = 1 cos2 = 2 14 2, = 1又因为 2 sin =12 × 2 sin = sin ,故 24= 2sin2 = 2 × 2 12 1 = +2 24 1 = 4( 2 4)2 +3,4 2当 2 = 4,即 = 2时, 2取得最大值3,此时 = 2, = 2 3, = 2能组成三角形.所以 2max = 3,即 max = 3.故选:A.2.(23-24 高一下·福建泉州·阶段练习)在锐角 △ 中, 、 、 分别是角 2 、 、 所对的边,已知 6 =cos cos 且 = 6,则锐角 △ 面积的取值范围为( )A.(0,4 3) B.(4 3,9 3] C.(6 3,9 3] D.(0,6 3]【解题思路】首先利用正弦定理求出角 ,再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角,再根据三角恒等变换转化为三角函数求范围即可.【解答过程】 ∵ 2 = cos = 6 ∴ 2 cos 6 cos 且 , = cos ,2sin sin cos 根据正弦定理得, sin = cos ,即(2sin sin )cos = sin cos ,整理得2sin cos = sin cos + sin cos = sin ,π∵ ∈ 0, π , ∴ sin > 0, ∴ 2cos = 1,解得cos =12, =2 3, 6∵ sin = sin = sin = 2 = 3 = 4 3,2∴ = 4 3sin , = 4 3sin ,∴ △ 的面积 = 12 sin = 12 3sin sin = 12 3sin sin2π 3∴ = 12 3sin 3 cos + 1 sin 2 23 1= 12 3 2 cos sin + 2 sin2 3 1 cos2 = 6 3 2 sin2 + 23 1 1= 6 3 2 sin2 2 cos2 + 2π= 6 3sin 2 6 + 3 3π π∵ △ 为锐角三角形, ∴ 0 < < 2, ∴ 0 < =2π3 < 2,π π π∴ 6 < < 2, ∴ 2 6 ∈π , 5π ,6 6∴ sin 2 π ∈ 1 ,1 ,6 2∴ = 6 3sin 2 π +3 3 ∈ (6 3,9 3].6故选:C.3.(24-25 高一下·山东菏泽·期中) △ 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, cos + cos = 2 πsin ,且∠ = 3.若 D 是 △ 外一点,DC=1,AD=2,则下列说法中正确( )π πA.∠ = 6 B.∠ = 2C.四边形 ABCD 面积有最小值 D.四边形 ABCD 面积有最大值【解题思路】利用正弦定理化边为角,结合两角和的正弦定理可求出角 ,进而求出∠ ,即可判断 AB;先求出 , 的关系,再在 △ 中,利用余弦定理求出 ,再根据三角形的面积公式结合三角函数即可判断 CD.【解答过程】在 △ 中,因为 cos + cos = 2 sin ,所以sin cos + sin cos = 2sin sin ,即sin( + ) = sin = 2sin sin ,又sin ≠ 0,所以sin = 12,π在 △ 中,因为∠ = 3,则 ∈ 0,2π,3π π所以 = 6,则∠ = 2,故 AB 正确;在Rt △ 中, = 3 ,在 △ 中, 2 = 2 + 2 2 sin∠ = 5 4cos ,四边形 ABCD 面积 = △ + △ 1 1= 2 + 2 sin 1 1= 2 3 + 2 × 1 × 2sin 3= sin + 2 23= sin + 2 (5 4cos )5 3= sin 2 3cos + 2= 13sin( ) + 5 3,其中tan = 22 3( 为锐角),又0 < < π,所以 < < π , = sin( ) , π π因为函数 在 上递增,在 ,π 上递减,2 2所以四边形 ABCD 面积有最大值,无最小值,故 C 错误,D 正确.故选:ABD.4.(24-25 高一下·上海金山·阶段练习)在 △ 中, 、 、 三个内角所对的边依次为 、 、 ,且 2 + 2 = 2 + ,若 = 4,则 △ 的面积的最大值为 4 3 .【解题思路】使用余弦定理求出 后,再使用余弦定理、基本不等式和三角形面积公式求解即可.2cos = + 2 2 2+ 2 1【解答过程】由余弦定理, 2 = 2 = 2,π∵ ∈ (0,π),∴ = 3.由余弦定理及基本不等式, 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 ≥ 2 = ,∴ ≤ 2 = 16,当且仅当 = = 4时取等号,∴ 1 1 3当且仅当 = 时, △ 的面积的最大值为 max = 2 sin = 2 × 16 × = 4 .2 3故答案为:4 3.5.(23-24 高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习) △ 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知cos =2 2 ,点 D 在 AC 上,且 = 2 , = 2.(1)求角 B;(2)求 △ 面积的最大值.【解题思路】(1)利用余弦定理化角为边,再利用余弦定理即可得解;(2)向量化结合基本不等式求出 的最大值,再根据三角形的面积公式即可得解.2 【解答过程】(1)因为cos = 2 , 2+ 2 2 (2 ) 由余弦定理可得 2 = 2 ,整理得 2 + 2 2 = ,2 2 2所以cos = + 2 =12,π又 ∈ (0,π),所以 = 3;(2)因为 = 2 ,2所以 = + = + 3 = +2 1 23 = 3 + 3 ,2 2 2 2故 = 1 + 2 = 1 49 + 9 +49 3 3 ,π即4 = 1 2 4 2 49 + 9 + 9 cos1 23 = 9 +49 2 + 29 ≥49 +2 = 29 3 ,所以 ≤ 6,1当且仅当 2 = 4 29 9 ,即 = 2 = 2 3时取等号,π所以 = 1 sin ≤ 3 3△ 2 3 ,2所以 △ 3 3面积的最大值为 .2【类型 2 三角形边长的最值或范围问题】 6.(23-24 高一下·广东茂名·期中)在 △ 中,角 , , 的对边分别为 , , cos cos 2 3sin ,若 + = , =3sin 3,则 + 的取值范围是( )A 3. , 3 B 3. , 3 C. 3 , 3 D. 3 , 32 2 2 23【解题思路】根据余弦定理化简题中条件,得到 = ,再利用基本不等式求 + 的取值范围即可.2∵△ cos + cos = 2 3sin 【解答过程】 中, ,3sin 2+ 2∴ 2 2 2 2 22 + + = 2 3 2 , ∴2 = 2 3 32 , ∴ 解得 = ;3 3 2 23 ∵ = 3,由余弦定理得: 2 = 2 + 2 2 cos , = 2 + 2 2 cos2 3,3 2 2 324 = + ,4 = ( + )2 3 ≥ ( + )2 3 + 2 ,( + )2 ≤ 3, + ≤ 3, ∵ + > = 3, ∴ 3 < + ≤ 3.2 2故选:D.2 2 2 27.(23-24 ( + )sin 高一下·宁夏石嘴山·期末)在 △ 中,角 , , 的对边分别为 , , ,若 2 sin cos + 2 + = 0, = 3,则 + 的取值范围是( )A. 3,2 B.( 3,2] C. 3 ,1 D. 3 ,12 2【解题思路】先根据已知式子化简得出角,再由余弦定理结合基本不等式求边长和范围即可.( 2+ 2 2)sin 2 ( 2+ 2 2) sin 2 cos sin 2【解答过程】由余弦定理得 2 sin cos + 2 + = 2 sin cos + 2 + = sin cos + 2 + = 0,cos sin = cos sin sin 所以sin cos 2 + ,由正弦定理得sin cos = 2sin +sin ,cos 1所以sin cos = 2sin +sin ,cos (2sin + sin ) = sin cos ,所以2sin cos + sin cos = sin cos ,所以2sin cos + sin cos + sin cos = 0,2sin cos + sin( + )=0,可得2sin cos + sin =0,cos = 12, ∈2π(0,π), = 3 ,由余弦定理可得3 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 + = ( + )2 ,2又因为基本不等式 + ≥ 2 ,所以( + )2 ≥ 4 , ≤ ( + )4 ,2所以3 = ( + )2 ≥ ( + )2 ( + )4 ,( + )2 ≤ 4, + ≤ 2,当且仅当 = = 1时, + 取最大值 2,因为 = 3,所以 + > 3,所以 3 < + ≤ 2.故选:B.8.(23-24 高一下·江苏泰州·期中)在锐角 △ 中,边长 = 1, = 2,则边长 c 可能的取值是( )A 13. 2 B.2 C.2 2 D. 2【解题思路】根据 c 边最大边或 最大边,利用余弦定理的变形形式即可求解.【解答过程】若 c 边为最大边,则cos > 0,∴ 2+ 2 22 > 0, ∴ < 5,若 边为最大边,则cos > 0,2∴ + 2 22 > 0, ∴ > 3,所以 3 < < 5,c 2 13所以边长 可能的取值是 、 .2故选:BD.9 cos .(23-24 高一下·江苏南通·阶段练习)锐角 △ 的角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足 =cos cos ,则 的取值范围为 ( 2, 3) .【解题思路】利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式得到sin = sin2 ,从而利用三角函数的性质与锐角三角形的特点推得 的取值范围,再次利用正弦定理的边角变换转化所求为2cos ,从而得解.cos cos cos 【解答过程】因为 = ,则( )cos = (cos cos ),所以2 cos = cos + cos ,由正弦定理得2sin cos = sin cos + sin cos = sin( + ),又 + = π ,故sin = sin2 ,π因为在锐角 △ 中,0 < < 2,0 < 2 < π,所以 = 2 或 = π 2 ,当 = 2 时, = π = π 3 ,0 < π 3 < π2 π π所以 0 < 2 < π ,解得6 < < 4,符合题意;2当 = π 2 时, = π = π (π 2 ) = ,此时 = ,不合题意;π π综上,6 < < 4, sin sin2 又 = sin = sin = 2cos ,而 2 < cos < 3,所以 = 2cos 2 2 ( 2, 3), 则 的取值范围为( 2, 3).故答案为:( 2, 3).10.(23-24 高一下·重庆·期末)在锐角 △ 中, , , 分别为内角 , , 的对边,已知2 = 2 cos ,(1)求 的大小;(2) + 求 的取值范围.【解题思路】(1)利用余弦定理化角为边,再利用余弦定理即可得解;(2)利用正弦定理化边为角,再根据三角恒等变换化简,结合三角函数的性质即可得解.【解答过程】(1)因为2 = 2 cos , 2+ 2 2由余弦定理得2 = 2 2 ,整理得 2 + 2 2 = , 2cos = + 2 2 1所以 2 = 2,π又 ∈ (0,π),所以 = 3;2 + = sin +sin sinπ+ +sin π( )由正弦定理得 3 3 sin = sin 32 cos +12 sin +32 3 cos + 1 1= sin = 2 sin + 22 = 32cos 1 3 1 2 1 2 2sin cos + 2 = 2 tan + ,2 2 2 2π 0 < < π π因为 20 < = 2π < π ,所以6 < < 2,3 2π π π π所以12 < 2 < 4,所以tan12 < tan 2 < tan4,π 1 3而tan12 = tanπ π = 3 3 34 6 1+1× 3= = 2 3,3+ 331所以2 3 < tan 2 < 1,则1 < tan < 2 + 3,2 + = 31 1所以 3+1 2 tan +2 2 ∈ , 3 + 2 .2【类型 3 三角形周长的最值或范围问题】11.(24-25 高三下·河南·开学考试)在 △ 中,若内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,∠ 的平分线交 AC 于点 D, = 1且 = 2,则 △ 周长的最小值为( )A.7 B.2 2 C.2 + 2 2 D.4∠ 【解题思路】先利用面积相等与三角形面积公式,结合正弦的倍角公式求得2 cos 2 = + ,再利用余弦定理的推论与余弦的倍角公式得到 的关系式,从而利用基本不等式求得 + ≥ 2 2,由此得解.【解答过程】由题可得, △ = 1△ + △ ,即2 sin∠ =12 sin∠ 2 +12 sin∠ 2 , = 1 2 sin∠ = sin∠ + sin∠ 2 sin∠ cos∠ ∠ 又 ,所以 2 2 ,则 2 2 = ( + )sin 2 ,π因为0 < ∠ < π,所以0 < ∠ ∠ 2 < 2,则sin 2 ≠ 0,2 cos∠ 所以 2 = + ∠ + ,即cos 2 = 2 ,2 2又因为cos∠ = + 4 2∠ 2 ,cos∠ = 2cos 2 1, + 2 2+ 2 4所以2 1 = 2 ,整理得( + )2 = 2 ( + )2 4 ,2所以( + )2 = ( + )2 4 ≤ ( + )4 ( + )2 4 ,解得( + )2 ≥ 8或( + )2 ≤ 0(舍去),所以 + ≥ 2 2,当且仅当 = = 2时,等号成立,则 + + ≥ 2 + 2 2,故 △ 周长的最小值为2 + 2 2.故选:C..12.(23-24 高一下·江苏连云港·期中)已知锐角 △ 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos cos2 = 且 △ 外接圆半径为2,则△ABC 周长的取值范围是( )A.(4 3,6 3] B.(4 3,6 3) C.(6 + 2 3,6 3] D.(6 + 2 3,6 3)π【解题思路】根据题意,化简得到cos2 + cos = 0,求得cos = 12,得到 =33,且sin = ,又由 △ 2π外接圆半径为2,化简得到 + + = 2 3 +4 3sin( + 6),结合三角函数的性质,即可求解.【解答过程】因为 cos cos2 = ,由正弦定理的sin cos sin cos2 = sin 又因为 + + = π,可得sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ,所以sin cos sin cos2 = sin cos + cos sin ,即 sin cos2 = cos sin ,因为 ∈ (0,π),可得sin > 0,可得cos2 + cos = 0,即2cos2 + cos 1 = 0,解得cos = 12或cos = 1(舍去),π因为 ∈ (0,π),所以 = 33,则sin = ,2又因为 △ 外接圆半径为2,所以 = 2 sin = 4 × 3 = 22 3,又由 + + = 2 2π3 +4sin + 4sin = 2 3 +4sin + 4sin( 3 )π= 2 3 +4sin + 2 3cos + 2sin = 2 3 +4 3sin( + 6),π π π因为 △ 为锐角三角形,且 = 3,所以0 < <2π2且0 < 3 < 2,π π π π 2π π解得6 < < 2,可得3 < + 6 < 3 ,所以sin( + 6) ∈ (3,1],2所以 + + ∈ (6 + 2 3,6 3].故选:C.13 23-24 · · △ A B C a b c = 2π.( 高一下 甘肃天水 期中)在 中,角 , , 所对的边分别为 , , ,已知 3 , = 8,则( )πA 4 3.若 = 6,则 = B.若 = 43,则sin =3 4C △ 16 3 16 3. 面积的最大值为 D. △ 周长的最大值为 +83 364【解题思路】对于 AB,由正弦定理求解即可判断;对于 C,由余弦定理及基本不等式得 ≤ 3 ,代入三角16 3形面积公式即可判断,对于 D,由余弦定理及基本不等式得 + ≤ ,即可判断.3π 8×1【解答过程】对于 A,若 = 6,又 =2π sin 8 33 , = 8,由正弦定理得 = sin =23 = ,故 A 错误;32B = 2π = 8 sin 3对于 ,由题意 3 , , = 4,由正弦定理得sin = =4×2 = 3,故 B 正确;8 4对于 C,由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos 得,64 = 2 + 2 + ≥ 2 + = 3 ,64所以 ≤ 3 ,当且仅当 = =8 3时取等号,3所以 = 1 3 16 3△ 2 sin = ≤ ,4 3所以 △ 16 3面积的最大值为 ,故 C 正确;3D = 2π对于 ,由 3 , = 8,及余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos 得,2 264 = + 2 + = ( + )2 ≥ ( + )2 ( + ) = 3( + )2 16 34 4 ,所以 + ≤ ,3当且仅当 = = 8 3时取等号,3所以 △ 的周长 = 8 + + ≤ 8 + 16 3,3所以 △ 16 3周长的最大值为 +8,故 D 正确.3故选:BCD.14.(23-24 高一下·四川泸州·期中)在锐角 △ 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若π = 2, = 3,则 △ 周长的取值范围为 (3 + 3,6 + 2 3) .【解题思路】由正弦定理可以把 + 表示为角 的函数,由锐角三角形得出角 的取值范围,进而可得 + 的取值范围.π π 2π π π π【解答过程】在锐角 △ 中, = 2, = 3,0 < < 2,0 < 3 < 2,则6 < < 2,2π由正弦定理, = sin = 2sin( ) = sin 3得 3sin , = ,sin sin sin 2 + = 3cos +sin + 3 = 1 + 3(1+cos )2 3cos所 = 1 + 2 = 1 +3sin sin sin 2sin cos tan ,2 2 2π π π π π π由12 < 2 < 4,得tan12 < tan 2 < 1,而tan12 = tan(3 4) =3 1 = 2 3,则2 3 < tan 2 < 1,1+ 3因此1 + 3 < + < 1 + 3 =4 + 2 3,所以 △ 周长的取值范围为(3 + 3,6 + 2 3).2 3故答案为:(3 + 3,6 + 2 3).15.(23-24 高一下·广东惠州·期中)已知 △ 的内角 , , 所对的边分别是 , , ,( + )(sin sin ) =( )sin .(1)求角 ;(2)若 △ 外接圆的直径为2 3,求 △ 周长的取值范围.【解题思路】(1)根据题意,利用正弦定理化简得到 = 2 + 2 2,再由余弦定理,即可求解;(2)方法一:由正弦定理求得 = 3,利用余弦定理和基本不等式,求得 + ≤ 6,进而求得 △ 周长的取值范围;π方法二:根据题意,利用正弦定理求得 = 3,化简得到 + + = 3 + 6sin + ,结合三角函数的性质,6即可求解.【解答过程】(1)因为 , , ,( + )(sin sin ) = ( )sin ,由正弦定理可得( + )( ) = ( ) ,即 = 2 + 2 2,2 2 2 π又由余弦定理得cos = + 12 = 2,又因为 ∈ (0,π),所以 = 3.(2)方法一:因为 △ 外接圆的直径为2 3, 3由正弦定理得sin = 2 3,则 = 2 3 × = 3,2由余弦定理得9 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 ,2因为3 = ( + )2 9 ≤ 3 × ( + ) 14 ,所以4( + )2 ≤ 9,即 + ≤ 6,由三角形性质知3 < + ≤ 6,当且仅当 = 时,等号成立,所以6 < + + ≤ 9,故 △ 周长的取值范围为(6,9].方法二:因为 △ 外接圆的直径为2 3, 3由正弦定理得sin = 2 3 = sin = sin ,则 = 2 3 × = 3,2 + + = 3 + 2 3sin + 2 3sin = 3 + 2 3 sin + sin + π3= 3 + 2 3 sin + 1 sin + 3 cos = 3 + 2 3 3 sin + 3 cos = 3 + 6sin + π2 2 2 2 6π π因为0 < < 2π 5π 1 π3 ,可得6 < + 6 < 6 ,所以2 < sin + ≤ 1,6所以6 < + + ≤ 9,故 △ 周长的取值范围为(6,9].【类型 4 三角形的角的最值或范围问题】16.(2024·四川成都·模拟预测)记 △ 的内角 , , 的对边分别为 , , .若 = 1, = 2,则 + 的取值范围是( )A 2π 5π 2π 5π. , B. ,π C. ,π D π. , 5π3 6 3 6 2 6【解题思路】先根据边的关系求出 的范围,然后表示出cos ,求出其范围,进而可得 的范围 i,则 + 的范围可求.【解答过程】根据三角形三边关系可得| | < < + ,即1 < < 3, 2cos = + 2 2 3+ 2 1 3又 2 = 4 = 4 + , = 3因为函数 + 在(1, 3)上单调递减,在( 3,3)上单调递增,3 3所以 + = 3 + = 2 3 3,min又1 + 31 = 4,3 +33 = 43,所以 + < 4,3所以 ≤ cos < 1,又 为三角形的内角,2π所以0 < ≤ 6,5π所以 6 ≤ + < π.故选:C.17.(23-24 高一下·四川成都·期中)在锐角 △ 中,内角 , , 的对边分别为 , , ,且满足( + + )( + ) = 3 sin .则cos 的取值范围为( )A. 3 , + ∞ B. 2 3 , + ∞ C.( 3 + ∞) D. 3 , 2 32 3 2 3π【解题思路】化简( + + )( + ) = 3 为 2 + 2 2 = ,结合余弦定理可求解 = 3;根据两角差sin 3 1的正弦公式及同角三角函数关系化简cos = + 2tan ,进而结合正切函数的图象及性质求解即可.2【解答过程】由( + + )( + ) = 3 ,2 2 2整理得 2 + 2 2 = ,所以cos = + 2 =12,π又0 < < π = , 2π,则 3 故 + = 3 ,sin sin( 2π= )3 1 13 = cos + sin 2 2cos =3 + tan ,cos cos 2 2因为 △ 为锐角三角形,0 < < π2 π π 3所以 0 < 2π < π ,即6 < < 2,所以tan > ,33 2sin 3 1 2 3即cos = + tan > ,2 2 3sin 2 3所以cos 的取值范围为( , + ∞).3故选:B.18.(23-24 高一下·河北·期末)在锐角 △ 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ,已知 = 2 cos ,且 ≠ ,则( )A. = 2 B π.角 的取值范围是 0,4C.cos 的取值范围是 0, 12 D. 的取值范围是( 2, 3)【解题思路】利用正弦定理以及二倍角的正弦公式可判断 A 选项的正误;利用三角形的内角和定理以及已知条件求出角 的取值范围,可判断 B 选项的正误;利用余弦函数的基本性质可判断 C 选项的正误;利用二倍角的正弦公式可判断 D 选项的正误.【解答过程】因为 = 2 cos ,所以sin = 2sin cos = sin2 , ∵ 0 < < 2,0 < < 2,则0 < 2 < ,所以 = 2 或 + 2 = .因为 ≠ ,所以 ≠ ,所以 + 2 ≠ + + = ,则 = 2 ,故 A 正确;因为 + + = ,所以 = = 3 .0 < < 0 < 2 < 2 2 因为 △ 是锐角三角形,所以 0 < < 0 < <2 ,即 2 ,解得6 < < ,0 < < 40 < 3 < 2 22 所以 < cos < 3 = sin sin2 ,则2 2 sin = sin = 2cos ∈ ( 2, 3),故 B 错误,D 正确; 因为 = 2 ,所以3 < <12,所以0 < cos < 2,则 C 正确.故选:ACD.19.(24-25 高一下·全国·课后作业)在 △ 中,三边 a,b,c 互不相等,且 a 为最长边,若 2 < 2 + 2,则 A 的取值范围是 { |60° < < 90°} .【解题思路】利用余弦定理即可判断角 的范围,从而集合 a 为最长边,即可得出答案.【解答过程】∵ 2 < 2 + 2,∴ 2 + 2 2 > 0,2 2 2则cos = + 2 > 0,∴ < 90°,又∵a 为最长边,∴ > 60°.所以 A 的取值范围是{ |60° < < 90°}.故答案为:{ |60° < < 90°}.π20.(23-24 高一下·河南郑州·期中)如图,在四边形 中,∠ = 2, = = 2, = 4.π(1)当∠ = 3时,求四边形 的面积;(2)当∠ ∈ π , π 时,求cos∠ 的取值范围.4 3【解题思路】(1)连接 ,在 △ 中利用余弦定理求出 ,再利用勾股定理求出 ,结合三角形面积公式求解即可;(2)连接 ,作 ⊥ 于点 ,利用正弦定理和二倍角公式求解.π【解答过程】(1)如图,连接 ,则当∠ = 3时,在 △ 中,由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos = 22 + 42 2 × 2 × 4 × 12 = 12,所以在 △ 中,由勾股定理可得 2 = 2 2 = 12 4 = 8,所以 = 2 2,1 1所以 四边形 = △ + △ = 2 + 2 sin = 2 2 +2 3;(2)如图,连接 ,作 ⊥ 于点 ,则由 = ,可得 为 的中点,设 = , π则cos∠ = = 4 = cos ∠ = sin∠ ,2在 △ 中,由正弦定理可得sin∠ = sin∠ ,2所以sin∠ = sin∠ = 16,∠ 又因为sin 2 = = 4 sin2∠ 2 = sin∠ =1 cos∠ 2 ,所以cos∠ = 1 2sin∠ ,由∠ ∈ π , π ,可得sin∠ ∈ 2 , 3 ,4 3 2 2所以cos∠ ∈ [1 3,1 2].【类型 5 利用基本不等式求最值(范围)】21.(2024·江西·二模)在 △ 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若 = 8,sin + 2sin cos = 0,则 △ 面积的最大值为( )A.1 B.3 C.2 D.4【解题思路】根据sin + 2sin cos = 0利用三角恒等变换和正余弦定理得到2 2 = 2 2,再根据余弦定理1和基本不等式可得 cosB 的范围,由此得 B 的范围,从而得到 sinB 的最大值,从而根据 △ = 2 sin 可求△ABC 面积的最大值.【解答过程】 ∵ sin + 2sin cos = 0,∴ sin( + ) + 2sin cos = 0,即sin cos + cos sin +2sin cos = 0,即sin cos + 3cos sin = 0,2 2 2 2 2 2则 + +3 × + 2 2 × = 0,整理得2 2 = 2 2, 2+ 2 2 22 2∴cos = = + 2 2+3 2 2 3 322 = = ,2 4 4 28当且仅当 2 = 3 2 = , = 8 3时取等号,3∴ ∈ π ∴ sin 10, , 2,6则 1 1 1△ = 2 sin 2 × 8 × 2 = 2.故选:C.22.(2025 高三·全国·专题练习)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足 2 + 2 2= , = 3,则 b+c 的取值范围是( )A.(1, 3) B.( 3,2 3] C.( 3,3 3) D ( 3,3 3. )2【解题思路】由余弦定理与基本不等式求出 + ≤ 2 3,再由三角形三边关系得到 + > = 3,从而求出 b+c 的取值范围. + 2【解答过程】依题意得 b2+c2-bc=3,即( + )2 = 3 + 3 ≤ 3 × +32 ,解得:( + )2 ≤ 12, + ≤ 2 3,当且仅当 = = 3时取等号,又 + > = 3,因此 b+c 的取值范围是( 3,2 3].故选:B.π23.(23-24 高一下·浙江·期中)在 △ 中,内角 , , 所对的边分别为 , , ,∠ = 3,内角 的平分线交 于点 且 = 3,则下列结论正确的是( )A 1 + 1. = 1 B. 的最小值是 2C. + 3 的最小值是4 3 D. △ 的面积最小值是 3【解题思路】由三角形面积公式寻找 , 关系,再利用基本不等式判断.【解答过程】解:由题意得: △ = △ + △ ,1 1 1 由角平分线以及面积公式得2 × sin3 = 2 3 × sin6 + 2 3 × sin6,化简得 = + 1 1,所以 + = 1,故 A 正确;∴ = + ≥ 2 ,当且仅当 = 时取等号,∴ ≥ 2, ∴ ≥ 4,所以 1△ = 2 sin∠ =3 ≥ 3,当且仅当 = = 2时取等号,故 D 正确;4由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 2 + 2 = ( + )2 3 = ( )2 3 ≥ 42 3 × 4 = 4所以 ≥ 2,即 的最小值是2,当且仅当 = = 2时取等号,故 B 正确; 对于选项C:由 = + 1 1 1 1得: + = 1, ∴ + 3 = ( + 3 ) × ( + ) = 1 + +3 3 +3 ≥ 4 + 2 × = 4 + 2 3,1 + 1 = 1当且仅当 = 1 + 3 3 ,即 = 1 + 3 时取等号,故 C 错误;= 3故选:ABD.24 7 3.(23-24 高一下·福建莆田·阶段练习)已知 △ 的外接圆 的半径为 , 的长为7, △ 周长的最3大值为 21 .【解题思路】根据给定条件,利用正弦定理求出角 ,再利用余弦定理结合基本不等式求解即得.7 3 7【解答过程】由 △ 的外接圆 的半径为 且 = 7,得sin = 32× 7 3 = ,3 3 2π0 < < π = = 2π而 ,则 或 ,由余弦定理得 2 23 3 = + 2 2 cos ,π当 = 3时,49 = 2 + 2 = ( + )2 3 ≥ ( + )2 3( + 2) = 1 24( + ) ,当且仅当 = 2 时取等号,因此当 = = 7时,( + )max = 14, △ 的周长最大值为 21; = 2π当 2 2 23 时,49 = + + = ( + ) 2≥ ( + )2 ( + ) = 34( + )2,当且仅当 = 2 时取等号,7 14 14因此当 = = 时,( + )3 max = , △ 3 的周长最大值为 +73 ,14而 +7 < 21 △ 3 ,所以 的周长最大值为 21.故答案为:21.25.(24-25 高一上·全国·期中)已知 △ 的内角 , , 的对边分别为 , , ,若1 cos = 3sin .(1)求角 C 的大小;(2)若 △ 的面积为4 3,求3 2 + 2的最小值.【解题思路】(1)利用辅助角公式求解即可;(2)先利用三角形的面积公式求出 ,再根据余弦定理结合基本不等式求解即可.【解答过程】(1)由1 cos = 3sin ,得2sin + π = 1,6所以sin 1 + π = ,6 2π因为 ∈ (0,π),所以 + 6 ∈π , 7π ,6 6π + = 5π 2π所以 6 6 ,所以 = 3 ;(2)因为 △ =12 sin =3 = 4 3,所以 = 16,4由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 + ,所以3 2 + 2 = 4 2 + 2 + ≥ 4 + = 5 = 80,当且仅当4 2 = 2,即 = 2 = 4 2时取等号,所以3 2 + 2的最小值为80.【类型 6 转化为函数求最值(范围)】26.(23-24 高一下·湖北武汉·期中)在锐角 △ 中,角 , , 的对边分别为 , , , 为 △ 的面积, = 4,且2 = 2 ( )2,则 △ 的周长的取值范围是( )A. 8,4 5 + 4 B. 12,2 5 + 2 C. 8,2 5 + 2 D. 12,4 5 + 4 1 4【解题思路】利用面积公式和余弦定理可得tan2 = 2,tan = 3,然后根据正弦定理及三角变换可得 + = 5(sin + sin ) = 4 5sin( + ),再根据三角形是锐角三角形,得到 的范围,转化为三角函数求值域的问题.【解答过程】 ∵ 2 = 2 ( )2 = 2 2 2 +2 = 2 2 cos ,∴ = cos = 12 sin ,∴1 cos = 1sin ,即2sin2 2 2 = sin2cos2, 为锐角,∴tan = 11 4 4 312 2,tanA = 1 =4 3,sin = 5,cos = 5,又 = 4, 由正弦定理可得sin = sin = sin = 5,所以 + = 5(sin + sin ) = 5[sin + sin( + )]3 4= 5 sin + 5 sin + 5 cos = 8sin + 4cos = 4 5sin1 ( + ),其中tan = 2, = 2,因为 △ 为锐角三角形,π π π π所以2 < < 2,则2 + < + < 2 + ,π π < + < + 即:2 2 2 2, 2所以cos2 < sin( + ) ≤ 1,又cos 2 = 5,∴8 < 4 5sin( + ) ≤ 4 5,即 + ∈ 8,4 5 ,故 △ 的周长的取值范围是 12,4 5 + 4 .故选:D.π27.(23-24 高一上·福建宁德·期末)如图,在扇形 中,半径 = 2,圆心角∠ = 4, 是扇形弧上的动点, 是半径 上的动点, // .则 △ 面积的最大值为( )A.2 2 2 B. 2 1 C 3. D 3.3 6【解题思路】设∠ = ,利用正弦定理可表示出 ,代入三角形面积公式,结合三角恒等变换知识可化π简得到 △ = 2sin 2 + 1,由正弦型函数最值求法可求得结果.4π【解答过程】设∠ = ,则0 < < 4,π π∵ // ,∠ = 4, ∴ ∠ =3π4 ,∠ = ,∠ = 4 , sin∠ 2sin 在 △ 中,由正弦定理得: = sin∠ = 2 = 2 2sin ,2∴ 1 π 2△ = 2 sin∠ = 2 2sin sin = 2 2sin cos 2 sin = 2sin cos 2sin2 = sin4 2 22 1 + cos2 = 2sin 2 + π 1,4π∵ ∈ 0, π , ∴ 2 + ∈ π4 ,3π,4 4 4π π π∴ 当2 + 4 = 2,即 = 8时, △ 取得最大值 2 1.故选:B.28.(23-24 高一下·四川内江·期中)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cos + cos = 2,则下列说法正确的是( )πA.若 = 3,则 △ 3面积的最大值为4πB.若 = 4,且 △ 只有一解,则 b 的取值范围为(0,1]πC.若 = 3,且 △ 为锐角三角形,则 △ 周长的取值范围为(1 + 3,3]D.若 △ 为锐角三角形, = 2,则 AC 边上的高的取值范围为 3 ,2 32【解题思路】根据正弦定理边角互化可得 = 1,即可根据余弦定理,结合不等式求解 A;根据正弦定理即可求解 B,根据正弦定理,结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求 C,根据余弦定理得3 < 2 < 5,即可根据二次函数的性质求解 D.【解答过程】由正弦定理可得sin cos + sin cos = sin ,即sin( + ) = sin = sin 因为0 < < π,所以sin ≠ 0,所以 = 1,π对于 A,若 = 3,πcos = cos = 2+ 2 2 = 2+ 2 1由余弦定理得 3 2 2 ,由 > 0, > 0,可得 2 + 2 = + 1 ≥ 2 ,即 ≤ 1,当且仅当 = 时等号成立,则 △ 1面积2 sin ≤1 3 3 32 × = ,所以 △ 面积的最大值为 ,故 A 正确;2 4 4π 1对于 B ,若 = 4,且 = 1,由正弦定理得 πsin = sin ,4π所以sin = sin = 24 ,2当sin = 1时,即 2 = 1, = 2时有一解,故 B 错误;2π 2 2 2对于 C,若 = 3,由正弦定理得sin = ,所以 + + = 1 + (sin + sin ) = 1 +2π3 3 3 sin + sin 32= 1 + 3 sin + 3 cos = 1 + 2sin + π3 ,2 2 6π 2π π π π由于 △ 为锐角三角形,故0 < < 2且0 < 3 < 2,故6 < < 2,π π 2π因此 + 6 ∈ , ,故 + + = 1 + 2sin +π ∈ (1 + 3,3],故 C 正确;3 3 6对于 D,由于 △ 为锐角三角形, = = 2, = 1, 2 + 2 > 2 5 > 2所 2 + 2 > 2 2 > 3 3 < 2 < 5, 2 + 2 > 2 2 + 4 > 15 2 2 sin = = = ( 2 5)2+16故 AC 边上的高为 1 cos2 1 ∈ 3 ,1 ,故 D 错误.4 16 2故选:AC.29.(23-24 高一下·江苏苏州·阶段练习)在锐角 △ 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 2 + 2 = 0,则4(sin + cos )2 + 1 1 8 3tan tan 的取值范围为 + 4,9 .3【解题思路】根据正弦定理和余弦定理可得 = 2 ,再由三角恒等变换可得4(sin + cos )2 + 1 1tan tan = 4 + 4sin +1sin ,由 的范围可得sin 的范围,再结合双勾函数的性质即可得解.【解答过程】∵ 2 + 2 = 0,∴ 2 2 = ,∴ 2 2 cos = ,∴ 2 cos = ,∴sin 2sin cos = sin ,∴sin( + ) 2sin cos = sin ,∴sin( ) = sin ,∵ , 是锐角 △ 的内角,∴ = 或 + = π(不符合题意舍去),∴ = 2 ,∴4(sin + cos )2 + 1tan 1tan = 4 ×cos cos (1 + 2sin cos ) + sin sin = 4 + 4sin2 + cos sin sin cos sin( )sin sin = 4 + 4sin + sin sin = 4 + 4sin + sin sin sin = 4 + 4sin +1sin ,设sin = ,∵ △ 是锐角三角形,0 < < π2∴ 0 < =1 < π π π2 2 ,∴ ∈ , ,3 20 < = π = π 3 < π2 2∴sin = ∈ 3 ,1 ,令 1( ) = 4 + , ∈3 ,1 ,2 2由双勾函数的性质可得函数 ( )在 ∈ 3 ,1 上单调递增,故 ( ) ∈ 8 3 ,5 ,2 3∴4(sin + cos )2 + 1 1 1 8 3tan tan = 4 + 4 + ∈ + 4,9 .3故答案为: 8 3 + 4,9 .330.(23-24 高一下·重庆·阶段练习)在 △ 中,内角 , , 所对的边分别是 , , ,且sin + 3cos = , = 3.(1)若 + = 2,求边 上的角平分线 长;(2)求边 上的中线 的取值范围.1【解题思路】(1)先根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求 ,再依据余弦定理及已知得 = 3,然后利用面积分割法列方程求解即可;3 1 π( )利用向量的加法运算及数量积模的运算得 = 4(3 + 2 ),利用正弦定理得 = 2sin 2 +1,然6后利用正弦函数的性质求解范围即可.1 sin + cos = = 2 sin = sin 【解答过程】( )因为 3 ,根据正弦定理有 sin ,所以sin + cos = sin 3 sin ,即sin sin + 3sin cos = sin = 3sin( + ),sin sin + 3sin cos = 3sin( + ),sin sin + 3sin cos = 3sin cos + 3cos sin ,即sin sin = 3cos sin ,又sin ≠ 0,π所以tan = 3,因为 ∈ (0,π),所以 = 3,π由 = 及余弦定理得3 = 2π3 + 2 2 cos3,即3 = 2 + 2 = ( + )2 3 , + = 2 1又因为 ,所以 = 3,1 1 1所以 △ = △ + △ = 2 sin2 + 2 sin2 = 2 sin ,π π 1 × 3所以 ( + ) sin6 = sin ,即 =3 2 33 2× 1= ,62所以 = 361(2)因为 是 的中点,所以 = 2 + ,2 2 2则 = 1 14 + 2 + = 4( 2 + 2 + ),π 2+ 2 2因为 = 3, =13,由余弦定理有:cos = 2 = 2,2即 2 + 2 = + 3,所以 = 3+2 4由正弦定理得: = sin sin sin sin = 4sin sin = 4sin sin2 π ,3即 = 2 3sin cos + 2sin2 = 3sin2 cos2 + 1 = 2sin 2 π +1,6因为 ∈ (0,π), =23π ∈ (0,π)2,所以 ∈ 0, π ,3π所以2 6 ∈ 1 π, 7 π ,所以sin 2 π ∈ 1 ,1 ,6 6 6 22 = 2sin π +1 ∈ = 3+2 所以 2 (0,3] 3 9,所以 4 ∈ , ,6 4 4所以 ∈ 3 , 3 ,即边 3上的中线 的取值范围为 3 , .2 2 2 2【类型 7 坐标法求最值(范围)】31.(2024·安徽马鞍山·模拟预测)已知平行四边形 中, ∠ = 60°, , 分别为边 , 的中点,若 = 13,则四边形 面积的最大值为( )A.2 B.2 3 C.4 D.4 3【解题思路】建立适当的平面直角坐标系,设 = , = ,写出各个点的坐标,将 = 13转换成条 2 5 2件等式 2 + 8 + 2 = 13,结合平行四边形面积公式以及基本不等式即可求解.【解答过程】以点 为原点, 所在直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设 = , = ,则 (0,0), ( ,0), , 3 , + , 3 , + , 3 , + , 3 ,2 2 2 2 4 4 2 2 + 所以 = + , 3 , = , 3 ,4 4 2 2 = + 3 2 + + = 2 5 2所以4 2 8 2+ 8 + 2 = 13,2 2 2从而13 = + 5 2 8 + 2 ≥ 2 + 5 8 =13 8 ,即 ≤ 8,等号成立当且仅当 = = 2 2,2 = 2 1 3 3 四边形 面积的表达式为 2 = ,2 2 = 3 从而 ≤ 4 3,等号成立当且仅当 = = 2 2,2所以四边形 面积的最大值为4 3.故选:D.32.(2024·江西南昌·三模)如图,在扇形 OAB 中,半径 = 4,∠ = 90°,C 在半径 OB 上,D 在半径 OA 上,E 是扇形弧上的动点(不包含端点),则平行四边形 BCDE 的周长的取值范围是( )A.(8,12] B.(8 2,12]C.(8,8 2] D.(4,8 2]【解题思路】由于点 E 在弧上运动,引入恰当的变量∠ = 2 ,从而表达∠ = ,再利用正弦定理来表示边,来求得周长关于角 的函数,然后求出取值范围;也可以建立以圆心为原点的坐标系,同样设出动点坐标 (4cos2 ,4sin2 ),用坐标法求出距离,然后同样把周长转化为关于角 的函数,进而求出取值范围.【解答过程】π(法一)如图,连接 , .设∠ = 2 ,则∠ = 2 2 ,∠ = ,π 故∠ = + 4.在 △ 中,由正弦定理可得sin π 2 = sin +π ,2 4 sin π 2 sin 2 +π则 = 2 = 2 = 8cos + π .sin +π sin +π 44 4 在Rt △ 中,由正弦定理可得sin2 = sin π,则 = sin2 = 4sin2 .2平行四边形 的周长为2( + ) = 16cos + π +8sin2 = 16cos + π 8cos 2 + π4 4 22= 16cos2 + π +16cos + π +8 = 16 cos + π 1 +124 2 .4 4π π π π π因为0 < 2 < π2,所以0 < < 4,所以4 < + 4 < 2,所以0 < cos + <2,4 2π 1 2 2所以0 ≤ cos + < 14,则8 < 16 cos +π 1 +12 ≤ 124 2 4 2 ,即平行四边形 BCDE 的周长的取值范围是(8,12].(法二)以 O 为原点, , 所在直线分别为 x,y 轴,建立平面直角坐标系.设∠ = 2 ,则 (4cos2 ,4sin2 ) π, ∈ 0, ,4从而 = 4cos2 , = 4sin2 , = 4 4cos2 , = 2 + 2 = (4 4cos2 )2 + (4sin2 )2 = 8sin ,2故平行四边形 的周长为2( + ) = 2(4cos2 + 8sin ) = 16 sin 1 +122 .π 2因为0 < < 4,所以0 < sin <2,所以0 ≤ sin 1 < 12 4,22则8 < 16 sin 1 +12 ≤ 12,即平行四边形 2 的周长的取值范围是(8,12].故选:A.33.(23-24 高一下·四川宜宾·期末)如图,在平面四边形 中, ⊥ ,∠ = 60°,∠ = 150°, = 3 , = 2 3, = 3,若点 F 为边 AD 上的动点,则 的最小值为( )3A.1 B 15 31.16 C.32 D.2【解题思路】以 为原点建立平面直角坐标系,求得 (0,2), ( 3,1), ( 3,0),设 ( , ),令 = ,得出 ( 3 ,2 ),利用数量积的运算得到 = 4 2 7 + 4,结合二次函数的性质,即可求解.【解答过程】以 为原点,以 , 所在的直线为 , 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,1 3依题意得 = 3 = , = + =4 3,∠ = 60 = 2 3,又 ,3 3 32 2在 △ 中,由余弦定理得 = 4 3 + 2 3 2 × 4 3 × 2 3 × cos60 = 2,3 3 3 3所以 2 + 2 = 2,所以∠ = 90 ,故∠ = 30 ,2 2在 △ 中,由余弦定理得 = ( 3 ) + ( 2 3 ) 2 × 3 × 2 3 cos60 = 1,3 3 3 3所以 2 + 2 = 2,所以∠ = 90 ,因为∠ = 150°,∠ = 90 ,故∠ = 60 ,因为 ⊥ ,∠ = 30 ,所以∠ = 60 ,所以在 △ 中,∠ = ∠ = 60 ,所以 △ 为等边三角形,所以 = = 2,所以 (0,2), ( 3,1), ( 3,0),设 ( , ),由题意令 = ,即( , 2) = ( 3, 1),解得 = 3 , = 2 ,所以 ( 3 ,2 ),所以 = ( 3 3,2 ) ( 3 ,2 ) = 4 2 7 + 4,设 ( ) = 4 2 7 + 47(0 ≤ ≤ 2),可得其对称轴为 =8,且开口向上,7 7 2所以 =8时, ( )7 15取得最小值,即 的最小值为4 × ( ) 7 × 8 +4 =8 16.故选:B.34.(23-24 高一下·江西萍乡·期中)如图,在 △ 中, = 2, = 1, = 7,动点 在线段 上25移动,则 的最小值为 16 .【解题思路】利用余弦定理可得∠ = 2π3 ,然后建立如图所示的直角坐标系,利用平面向量积表示出 ,结合二次函数即可求解.【解答过程】在 △ 中, = 2, = 1, = 7, 2+ 2 2 4+1 7 1所以cos∠ = 2 = 2×2×1 = 2,又∠ ∈ (0,π),∠ = 2π所以 3 ,以 所在直线为 轴,以 为原点,建立如图所示的直角坐标系,1则 (2,0), , 3 ,设 ( ,0),0 ≤ ≤ 2,2 21所以 = (2 ,0), = , 3 ,2 22所以 = 3(2 ) 1 = 2 2 1 = 3 254 16,2所以当 = 3 254时, 有最小值 16. 25故答案为: 16.35.(23-24 高一下·天津·期末)在 △ 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足(2 )cos = cos .(1)求角 B 的大小;(2)若 = 2 ,且 = 1, = 7,求 △ 的面积;(3)如图,平面四边形 ABCP 中, = 2, = 3, = 712 ,动点 E,F 分别在线段 BC,CP 上运动,且 = , = ,求 的取值范围.【解题思路】(1)由正弦定理及三角形的性质即可求解;(2)利用向量求出 = 2,利用余弦定理求出 = 3,代入面积公式求解即可;(3)建立平面直角坐标系,设出点 , 的坐标,利用数量积的坐标运算表示 ,利用二次函数知识求出值域即可.【解答过程】(1)因为(2 )cos = cos ,所以由正弦定理得(2sin sin )cos = sin cos ,所以2sin cos = sin( + ) = sin ,又0 < < π,sin ≠ 01,所以cos = 2,π又0 < < π,所以cos = 3.(2)因为 = 2 ,且 = 1, = 7,所以 = 2, = 3,在 △ 中,由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ,即7 = 2 +4 2 ,解得 = 3,或 = 1(舍),所以 △ 1 1 3 9 3的面积 △ = 2 sin = 2 × 3 × 3 × = ;2 4(3)以 A 为坐标原点,AP 所在直线为 x 轴,垂直 AP 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系,则 (0,0), (3,0), ( 1, 3),由 =7 312 得 , 3 ,4因为 = , = ,0 ≤ ≤ 1,所以设 ( , 3), ( , ),7 7由( + 1,0) = ,0 得 =4 4 1,9 3由 3 , 3 = 9 , 3 得 = + , = 3 3 ,4 4 4 47 63 63 9所以 = 1 9 + 3 + 3 ( 3 3 ) = 24 4 4 16 16 + 42= 63 1 + 8116 2 64,2当 = 1 632时, = 16 1 + 81 812 64取得最小值,最小值为64,63 1 2当 = 0 81 9或 = 1时, = 16 +2 64取得最大值,最大值为4,所以 81 9的取值范围是 , .64 4 展开更多...... 收起↑ 资源列表 专题6.12 解三角形中的最值与范围必考七类问题(举一反三)(原卷版)2024-2025学年高一数学举一反三系列(人教A版2019必修第二册).pdf 专题6.12 解三角形中的最值与范围必考七类问题(举一反三)(解析版)2024-2025学年高一数学举一反三系列(人教A版2019必修第二册).pdf