资源简介 专题 6.9 平面向量及其应用全章十二大基础题型归纳(基础篇)【人教 A 版(2019)】题型 1 向量的几何表示与向量的模1.(24-25 高一下·安徽合肥·阶段练习)在如图所示的半圆中,AB 为直径,点 O 为圆心,C 为半圆上一点,且∠ = 30°,| | = 2,则| |等于( )A.1 B. 2 C. 3 D.2【解题思路】根据| | = | |,可得∠ = ∠ = 30°,进一步得出答案.【解答过程】如图,连接 AC,由| | = | |,得∠ = ∠ = 30°.因为 为半圆上的点,所以∠ = 90°,所以| | = 1 2| | = 1.故选:A.2.(24-25 高一下·全国·课后作业)如图所示,在正六边形 中,若 = 1,则| + + | =( )A.1 B.2 C.3 D.2 3【解题思路】由正六边形性质可得 = ,进而由向量的加法法则求解即可【解答过程】由题,可知 = ,所以| + + | = | + + | = | | = 2,故选:B.3.(23-24 高一·上海·课堂例题)如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格上,求:(1)| |;(2)| |;(3)| |.【解题思路】(1)(2)(3)根据所给图形,利用勾股定理,直接计算模长即可得解.【解答过程】(1)| | = 32 + 32 = 3 2;(2)| | = 12 + 52 = 26;(3)| | = 22 + 22 = 2 2.4.(24-25 高一下·全国·课后作业)在方格纸(每个小方格的边长为 1)中,画出下列向量.(1)| | = 2,点 在点 的正东方向;(2)| | = 2 2,点 在点 的北偏东45°方向;(3)求出| |的值.【解题思路】(1)根据要求画出点 的位置即可;(2)根据要求画出点 的位置即可;(3)向量 由点 指向点 ,画出图形即可求出| |.【解答过程】(1)所求 向量如图所示:(2)所求 向量如图所示:(3)由图知, △ 是等腰直角三角形,所以| | = 2.题型 2 相等向量与共线(平行)向量1.(2024 高三·全国·专题练习)在 △ 中, = , 、 分别是 、 的中点,则( )A. 与 共线 B. 与 共线C. 与 相等 D. 与 相等【解题思路】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可.【解答过程】由题意可知, 与 不共线,A 错;因为 、 分别是 、 的中点,所以, // ,故 与 共线,B 对;因为 与 不平行,所以 与 不相等,C 错;因为 = = ,D 错.故选:B.2.(23-24 高一下·重庆巴南·阶段练习)如图,四边形 中, = ,则必有( )A. = B. = C. = D. = 【解题思路】根据 = ,得出四边形 是平行四边形,由此判断四个选项是否正确即可.【解答过程】四边形 中, = ,则 // 且 = ,所以四边形 是平行四边形;则有 = ,故 A 错误;由四边形 是平行四边形,可知 是 中点,则 = ,B 正确;由图可知 ≠ ,C 错误;由四边形 是平行四边形,可知 是 中点, = ,D 错误.故选:B.3.(24-25 高一下·全国·课前预习)如图,在矩形 中, = 2 ,B,E 分别为边 AC,DF 的中点,在以 A,B,C,D,E,F 为起点和终点的所有有向线段表示的向量中:(1)分别找出与 , 相反的向量;(2)分别找出与 , 相等的向量.【解题思路】运用相等向量,相反向量概念可解.【解答过程】(1)方向相反,大小相等的向量互为相反向量.与 相反的向量有 , , ;与 相反的向量有 , .(2)方向相同,大小相等的向量是相等向量.则 , 与 方向相同,且长度相等, 故与 相等的向量为 , .同理,与 相等的向量为 .4.(24-25 高一下·全国·课后作业)如图, 为正方形 对角线的交点,四边形 , 都是正方形.在图中所示的向量中:(1)分别写出与 , 相等的向量;(2)写出与 的相反向量;(3)写出与 模相等的向量.【解题思路】(1)根据相等向量的定义直接求解即可;(2)根据相反向量的定义直接求解即可;(3)根据模相等向量的定义求解即可.【解答过程】(1)由题意 = , = .(2)由题意,与 的相反向量为: , .(3)由题意,与 模相等的向量为: , , , , , , .题型 3 平面向量的线性运算1.(23-24 高一下·湖北武汉·期中)已知等腰梯形 中, // , = 2 = 2 = 2,E 为 BC 的中点,则 = ( )A 1.3 +5 13 B.3 +56 C 1 + 1.3 2 D1 1. 3 + 6 【解题思路】根据向量的线性运算法则进行代换即可求解.【解答过程】因为 = = ( + ) = = 12 ,3所以2 = ,即 =23 +23 ,又 的中点为 E,1所以 = 2( ) =1 1 2 + 212 2 = 3 +1 ,3 3 6故选:D.2.(23-24 高一下·江西上饶·期末)已知 为 △ 的重心,则( )A. = 2 13 3 B. = 23 +13 C = 1. 3 +23 D. =13 23 【解题思路】根据重心的性质及向量的线性运算可得解.【解答过程】如图所示,设 为 中点,又 为 △ 的重心,则 = 23 =1 = 13 + 3 +1 1 1 1 2 1 2 13 = 3 + 3 + 3 = 3 + 3 = 3 + 3 ,故选:B.3.(23-24 高一下·辽宁抚顺·阶段练习)化简下列各式:(1) + + .(2)13(4 +3 ) 1 32(3 ) 2 ; (3)2(3 4 + ) 3(2 + 3 ).【解题思路】(1)应用向量的线性运算计算即可;(2)应用向量的线性运算计算即可;(3)应用向量的线性运算计算即可.【解答过程】(1) + + = + + + = + + = ;2 1 1 3 4 3 1 3 1( )3 4 + 3 2 3 2 = 3 + 2 + 2 2 = 6 ;(3)2(3 4 + ) 3(2 + 3 ) = 6 8 +2 6 3 +9 = 11 +11 .4.(23-24 高一·上海·课堂例题)化简下列向量运算;(1)4 + 3 8 ;(2)3 2 + +4 ;(3)1 13 2 + 8 4 2 .2【解题思路】(1)(2)(3)直接由向量的线性运算即可得到结果.【解答过程】(1)4 + 3 8 = 4 +4 3 +3 8 = ;(2)3 2 + +4 = 3 6 +3 4 4 +4 = 10 +7 ;1 1 1 1 1 4 4 2(3)3 2 + 8 4 2 = 6 2 + 8 3 4 2 = 3 + 3 3 + 3 = +2 .2题型 4 由平面向量的线性运算求参数1.(24-25 高三上·浙江·期中)在 △ 中,D 是 BC 上一点,满足 = 2 ,M 是 AD 的中点,若 = + ,则 + = ( )A 5.4 B7.8 C5.6 D5.8【解题思路】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.1【解答过程】由题可知, = 2 2 2 = =12 +12 , = 2 = 2 = 23 , = 1 + 1所以有 2 2 =12 +1 1 1 53 ,所以 = 2, = 3,得 + = 6.故选:C.2.(23-24 高三上·辽宁朝阳·阶段练习)在梯形 ABCD 中, = 4 , + = + ,则 =( )A.5 B.6 C.-5 D.-6【解题思路】根据向量的线性表示即可求解.【解答过程】因为 = 4 ,所以 + = + +4 = 5 .所以 = 1 ( 5) = 6.故选:B.3.(23-24 高一下·河北石家庄·期中)已知 是 △ 的重心,若 = + , , ∈ R,则 = ( )A 1 B 1 1. . 1 C.3 D. 3【解题思路】利用三角形重心的性质与向量的线性运算即可得解.【解答过程】连接 并延长交 于 ,如图,因为 是 △ 的重心,则 是 的中点,所以 = = 23 = 23 ×12 + = 13 + + = 1 1 23 2 = 3 + 3 ,又 = + , , ∈ R,所以 = 1 23, = 3, = 1 2所以 3 3 = 1.故选:B.4.(23-24 高三上·江苏苏州·开学考试)在平行四边形 ABCD 中,点 E 在线段 AC 上,且 = 2 ,点 F为线段 AD 的中点,记 = + ( , ∈ R),则 + = ( )A 5 1 1. 6 B. 6 C.2 D5.6【解题思路】通过向量的线性运算化简向量即可求解.2 1 2 1 2 1【解答过程】 = + = 3 + 2 = 3 + + 2 = 3 6 2 1,所以 = 3, = 6,5所以 + = 6.故选:A.题型 5 向量数量积的计算1.(24-25 高一上·全国·期中)若两个单位向量 , 的夹角为60°,则( + ) = ( )A 1 3.2 B.1 C.2 D.2【解题思路】由向量的数量积计算出结果.2( + ) = + = | |cos + | 2 | = 1 +1 = 3【解答过程】 | | , 2 2故选:C.2.(23-24 高一下·福建福州·期末)《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典,如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,其余八块面积相等的图形代表八卦田,已知正八边形 的边长为4,点 是正八边形 的内部(包含边界)任一点,则 的取值范围是( )A.[ 8 2,16 + 8 2] B.[ 16 8 2,8 2]C.[ 16 8 2,16 + 8 2] D.[ 8 2,8 2]【解题思路】延长 , 交于点 ,延长 , 交于点 ,转化为求 的最值,根据数量积的几何意义可得 的范围.【解答过程】延长 , 交于点 ,延长 , 交于点 ,如图所示:根据正八边形的特征,可知| | = | | = 2 2,又 = ,所以 max = = 8 2, min = = 16 8 2,则 的取值范围是[ 16 8 2,8 2].故选:B.3.(23-24 高一·上海·课堂例题)设向量 、 、 满足 + + = 0,且| | = 4,| | = 3,| | = 5,求下列各式的值:(1) ;(2) + + .【解题思路】(1)先由已知条件得 + = ,接着两边平方计算得 = 0,进而由 = 即可求解.(2)将 + + 转化成 + + ,再结合已知| | = 3、 = 0和 = 16即可求解.【解答过程】(1)因为 + + = 0,所以 + = ,2 2 2所以 + = 即 2 + +2 = 2,所以16 + 9 + 2 = 25,故 = 0,所以 = = 2 = 2 = 16.(2)由(1)得 = 0, = 16,2所以 + + = + + = + = 9 + ( 16) = 25.→ → → →4.(23-24 高一下·天津·期中)已知| | = 2,| | = 3, 与 的夹角 = 30°,求:→ →(1) · ;→ → → →(2)( +2 )·(3 )的值;→ →(3)| 2 |.【解题思路】(1)直接代入向量的数量积公式计算即可;(2)根据向量的运算律计算即可;→ →2(3)根据向量模的公式| | = 计算即可.→ → → →【解答过程】(1) =| || |cos30°=2 × 3 × 3=3;2→ → → → →2 → → → → →2 →2 → → →2(2)( +2 ) (3 ) = 3 +6 2 = 3 +5 2 = 3 × 4 + 5 × 3 2 × 3 = 21;→ → 2 →2 → → →2(3)( 2 ) = 4 +4 = 4 4 × 3 + 4 × 3 = 4,→ →所以,| 2 | = 2.题型 6 平面向量基本定理及其应用1.(23-24 高一下·宁夏银川·期中)如图所示的矩形 中, , 满足 = , = 2 , 为 的中点,若 = + ,则 的值为( )A 1 2 3.2 B.3 C.4 D.2【解题思路】根据已知条件结合平面向量基本定理将 用 , 表示出出来,从而可求得 的值【解答过程】因为 为 的中点, = , = 2 ,所以 = 12 +1 = 1 1 2 32 2 +1 + 12 + = 3 + 4 ,2 3因为 = + ,所以 = 2 33, = 4,所以 = 2 3 13 × 4 = 2.故选:A.2.(23-24 高一下·安徽六安·期末)如图, 为平行四边形 对角线 上一点, , 交于点 , = 14 ,若 = + ,则 = ( )A.3 B. 3 C.7 D. 7【解题思路】利用平面向量基本定理,结合平面向量的线性运算性质进行求解即可. 1 1 【解答过程】因为 = + = + 4 = + 8 = +1 78 + = 8 +18 ,7 1 所以 = 8, = 8 = 7,故选:C.3.(23-24 高一下·山东·期中)如图,在 △ 中,已知 = 2, = 3,∠ = 60 ,N 是 的中点, = 23 ,设 与 相交于点 P.(1)求cos∠ 的值;(2)若 = + ,求 + 的值.【解题思路】(1)以 , 为基底表示 , ,利用平面向量数量积公式求其夹角余弦即可;(2)利用平面向量共线的充要条件,结合平面向量基本定理,根据待定系数法计算即可.【解答过程】(1)以 , 为基底,设 = , = ,则 = 12 =12 , = + = + 23 = +2 1 23 = 3 + 3 ,2 1 2所以 = 4 + 2 = 9 4 2 × 3 × cos60 +4 =13 134 | | = ,22 2同理 = 1 2 + 4 4 2 139 9 + 9 = ,31 2 1 1 2 = 1 1 1 + = 3 2 3 2 = ,3 3 2 61cos = cos∠ = 1则 , 6| | | | = 13 × 2 13 = 26;2 3(2 2 )因为 、 、 三点共线,不妨设 = = + = 3 + 1 ,3 = = = 同理有 、 、 三点共线,不妨设 1 + (1 ) ,2 = 1 = = 3 = 1则有 3 5 52 + = 2 1 = 1 = = 4 = 3 5.3 2 5 54.(23-24 高一下·广西柳州·期中)如图所示,在 △ 中, 为 边上一点,且 = 3 .过 点的直线 与直线 相交于 点,与直线 相交于 点( , 两点不重合).(1)用 , 表示 ;3(2)若 = 1, = ,求 + 的值.【解题思路】(1)根据向量的线性运算即可求解,(2)根据共线的性质即可求解.【解答过程】(1)在 △ 中,由 = + ,又 = 3 3,所以 = 4 所以 = + = + 3 = + 34 4( ) =14 +34 1(2)因为 = 4 +34 ,又 = , = 1所以 = 1 , = ,3所以 = 14 + 4 又 D,E,F 三点共线,且 A 在线外,1 3 1 3所以有:4 + 4 = 1,即 + = 4.题型 7 平面向量线性运算的坐标表示1.(23-24 高一下·天津红桥·期中)已知平面向量 = ( 2,3), = (4, 2),则 + = ( )A.( 2,1) B.( 2, 1) C.(2,1) D.( 2,5)【解题思路】直接利用向量的坐标运算计算即可.【解答过程】因为向量 = ( 2,3), = (4, 2),所以 + = ( 2,3) + (4, 2) = (2,1).故选:C.2.(23-24 高一下·全国·课后作业)已知向量 = (2,1), = ( 1,1),若 + = ( ,2),则 = ( )A.0 B.1 C.2 D.3【解题思路】根据向量坐标的线性运算列方程求解即可.【解答过程】已知向量 = (2,1), = ( 1,1),则 + = (1,2) = ( ,2),因此, = 1.故选:B.3.(2024 高一下·全国·专题练习)已知 = ( 1,2), = (2,1),求:(1)2 +3 ;(2) 3 ;(3)12 13 .【解题思路】根据平面向量的坐标的线性运算可得.【解答过程】(1)2 +3 = 2( 1,2) +3(2,1) = ( 2,4) + (6,3) = (4,7);(2) 3 = ( 1,2) 3(2,1) = ( 1,2) (6,3) = ( 7, 1);3 1 1 1 1 1 2( )2 3 = 2( 1,2) 3(2,1) = ,1 ,1 = 7 , 2 .2 3 3 6 34.(23-24 高一下·广西桂林·阶段练习)已知 (0,1), (3,2), ( 1,5).(1)若 2 = ( , ),求 , ;(2)若 = 2 +4 ,求点 的坐标.【解题思路】(1)根据平面向量线性运算的坐标表示可得 2 = (5, 7),即可求解;(2)设 ( , ),根据平面向量线性运算的坐标表示和 = 2 +4 建立关于 x、y 的方程组即可求解.【解答过程】(1)依题意得 = (3,1), = ( 1,4),则 2 = (2, 8),所以 2 = (5, 7),所以 = 5, = 7.(2)由(1)知2 = (6,2),4 = ( 4,16),所以2 +4 = (2,18).设点 的坐标为( , ),则 = ( , 1),因为 = 2 +4 ,所以 = 2, 1 = 18,所以 = 2, = 19,故点 的坐标为(2,19).题型 8 平面向量数量积的坐标表示1.(23-24 高一下·山东临沂·期中)向量 = (1, 2), = ( 1,3),则 3 + = ( )A.19 B.18 C.17 D.16【解题思路】利用平面向量数量积运算律以及坐标表示即可得出结果.2【解答过程】由 = (1, 2), = ( 1,3)可得 2 = 5, = 10, = 7;2所以 3 + = 3 2 2 = 3 × 5 + 2 × 7 10 = 19.故选:A.2.(23-24 高一下·陕西西安·阶段练习)如果平面向量 = (2,1), = (1,3)那么下列结论中正确的是( )|→ →A. | = 3| | B. = (2,3)C. 与 的夹角为30 D 1 3. 在 上的投影向量为(2,2)【解题思路】根据给定条件,利用坐标求模判断 A;利用数量积的坐标表示判断 B;求出向量夹角判断 C;求出投影向量判断 D.【解答过程】对于 A,| | = 22 + 12 = 5,| | = 12 + 32 = 10,| | = 2| |,A 错误;对于 B, = 2 × 1 + 1 × 3 = 5,B 错误;5 π对于 C,cos , = = = 2,而0 ≤ , ≤ π,则 , =5× 10 4,C 错误;| || | 2D 5对于 , 在 上的投影向量为 = 10(1,3) = (1,32 2 2),D 正确.| |故选:D.3.(23-24 高一下·天津滨海新·期末)已知向量 , 满足 = (2,1), = (1, 3).(1)求向量 , 的数量积 ;(2)求向星 , 夹角 的余弦值;(3)求| + 2 |的值.【解题思路】(1)根据向量数量积坐标公式计算即可;(2)根据向量数量积夹角坐标公式计算即可;(3)先求出向量坐标再应用向量模长坐标公式计算即可; →【解答过程】(1)由题设, = 2 × 1 + 1 × ( 3) = 1.(2)| | = 22 + 12 = 5,| | = 12 + ( 3)2 = 10, → 1所以cos = | ||→| == = 2 5× 10.10(3) ∵ +2 = (2,1) +2(1, 3) = (4, 5),∴ | + 2 | = 42 + ( 5)2 = 41.4.(23-24 高一下·北京通州·期中)已知向量 = ( 1,1), = (6,2), = ( 1, 3),(1)求 ;(2)求 与 夹角 的余弦值;(3)若向量 + 与 互相垂直,求实数 的值.【解题思路】(1)根据向量的数量积坐标表示即可;(2)根据向量夹角余弦值的坐标表示即可;(3)计算出 + = ( + 6, + 2),再利用向量垂直的坐标表示即可得到方程,解出即可.【解答过程】(1)因为 = ( 1,1), = (6,2),∴ = ( 1) × 6 + 1 × 2 = 4.(2) ∴ | | = 12 + 12 = 2,| | = 62 + 22 = 2 10, 4∴ cos = = = 5| || | 2×2 10.5(3)因为向量 = ( 1,1), = (6,2), = ( 1, 3),所以 + = ( 1,1) + (6,2) = ( + 6, + 2),因为 + ⊥ ,所以 + = ( 1) × ( + 6) + ( 3) × ( + 2) = 0,解得 = 6.题型 9 用向量解决平面几何中的垂直问题1.(23-24 高二上·广东佛山·期中)已知 △ 的三个顶点分别是 ( 1,0), (1,0), 1 , 3 ,则 △ 的2 2形状是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.斜三角形 D.等腰直角三角形【解题思路】利用向量数量积的坐标表示即可求得 = 0,由模长公式计算可得| | ≠ | |,即可得出结论.【解答过程】易知 = 3 , 3 , = 1 , 3 ,2 2 2 2可得 = 3 × 1 + 3 × 32 = 0,即 ⊥ ,且| | = 3 ≠ | | = 1,2 2 2所以可得 △ 的形状是直角三角形.故选:B.2.(24-25 高一·全国·课前预习)在平行四边形 ABCD 中,M、N 分别在 BC、CD 上,且满足 BC=3MC,DC=4NC,若 AB=4,AD=3,则△AMN 的形状是( )A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形【解题思路】由图猜测 AN 与 MN 垂直,故验证 是否为零即可.【解答过程】∵ = + + = + 3 1 1 4 3 4= 1 1 33| |2 3 |2 =16| 3 × 9 16 × 16 = 0.∴ ⊥ ,∴ △ 是直角三角形.故选:C.3.(23-24 高一·上海·课堂例题)如图,在正方形 中,P 是对角线 AC 上一点, 垂直 于点 E, 垂直 于点 F.求证: ⊥ .【解题思路】设 = ,借助正方形的性质与向量的线性运算可得 = + (1 ) , = (1 ) + ,计算其数量积即可得证.【解答过程】设 = ,由 为正方形,则有 = , = ,则 = = = + = + (1 ) , = = + = (1 ) + ,故 = + (1 ) (1 ) + 2 2= ( 1)| | + (1 )| | + ( 2 + 1) 2 2= ( 1) | | | | + ( 2 + 1) = 0 + 0 = 0,故 ⊥ .4.(24-25 高一下·湖南常德·阶段练习)如图,正方形 的边长为6, 是 的中点, 是 边上靠近点 的三等分点, 与 交于点 .(1)求∠ 的余弦值.(2)若点 自 点逆时针沿正方形的边运动到 点,在这个过程中,是否存在这样的点 ,使得 ⊥ ?若存在,求出 的长度,若不存在,请说明理由.【解题思路】(1)如图所示,建立以点 为原点的平面直角坐标系,由于∠ 就是 , 的夹角,从而利用向量夹角的坐标表示即可求解;18 6(2)根据向量的共线表示联立方程组可求解 , ,分点 在 上、点 在 上,结合向量垂直的坐标7 7表示即可求解.【解答过程】(1)如图所示,建立以点 为原点的平面直角坐标系.则 (0,6), (3,0), (0,0), (6,2), ∴ = (3, 6), = (6,2).由于∠ 就是 , 的夹角.18 12∴ cos∠ = 2| || | = = ∴ ∠ 29+36 36+4 的余弦值为 . 10 10(2)设 ( , ), ∴ = ( , 6), ∵ ∥ , ∴ 3( 6) +6 = 0, ∴ 2 + 6 = 0∵ = ( , ), = (6,2), ∥ , ∴ 2 6 = 0, ∴ = 3 , ∴ 7 = 6, ∴ =67.∴ = 18, ∴ 18 , 67 .7 7由题得 = (3,2).① 18 6当点 在 上时,设 ( ,0),(0 ≤ ≤ 6), ∴ = , ,7 7∴ 3 54 122 27 7 = 0, ∴ =22 227 , ∴ ,0 , ∴ | | =4 + 6 = 2 13;7 7 7 7② 24 6当点 在 上时,设 (6, ),(0 < ≤ 6), ∴ = , ,7 7∴ 72 127 +2 7 = 0, ∴ = 307 ,舍去.22 2综上,存在 ,0 ,| | =7 713.题型 10 用向量解决物理中的相关问题1.(23-24 高一下·河北保定·期中)平面上三个力 1, 2, 3作用于一点且处于平衡状态,| 1| = 1N,| 2|= 2N, 1与 2的夹角为 45°,则| 3|的大小为( )A. 3N B.5N C. 5N D. 6N【解题思路】根据平衡状态得 3 = 1 + 2 ,结合向量的数量积求解即可.【解答过程】由题意得, 3 = 1 + 2 ,| 2 2 2所以 3| = | 1 + 2 | = 1 + 2 = 1 + 2 1 2 + 2 = 1 + 2 + 2 = 5N,故选:C.2.(23-24 高一下·浙江台州·期末)一条河的两岸平行,河宽600m,一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为4km/h,水流速度的大小为2km/h.当船以最短距离到对岸时,船行驶所用的时间(保留两位小数)为( )A.0.17h B.0.15h C.0.13h D.0.10h【解题思路】要使航程最短,需使船的速度与水流速度的合成速度 必须垂直于对岸,利用勾股定理求出合速度,从而可求出航行时间.【解答过程】设一艘船从岸边 A 处出发到河的正对岸,设船的速度| 1| = 4km/h,水流速度| 2| = 2km/h,要使航程最短,需使船的速度与水流速度的合成速度 必须垂直于对岸,如图指:| | = | 1|2 | 2|2 = 2 3 km h , 0.6 3所以 = | | = = ≈ 0.17h2 3 .10故选:A.3.(24-25 高一·全国·随堂练习)如图,小娟、小明两人共提一桶水匀速前行.已知两人手臂上的拉力大小相等且均为 ,两人手臂间的夹角为 ,水和水桶的总重力为 ,请你利用物理学中力的合成的相关知识分析拉力 与重力 的关系.【解题思路】设两人的拉力分别为 1、 2,作 = 1, = 2,作 = ,以 、 为邻边作平行四| |边形 ,则 为两人拉力的合力,分析可得| | = 2cos ,分析当 变大时,| |的变化,即可得出结论.2【解答过程】解:设两人的拉力分别为 1、 2,作 = 1, = 2,作 = ,以 、 为邻边作平行四边形 ,则 为两人拉力的合力,水桶在两人的合力下处于平衡状态,则 和 互为相反向量,因为| | = | | = | |,则四边形 为菱形,连接 交 于点 ,则 为 的中点,且 ⊥ ,且∠ = 2,0 ≤ < 180 ,| | = | |cos 2 = | |cos 2,所以,| | = | | = 2| | = 2| |cos2,所以,| | | | = 2cos ,2又因为0 ≤ 2 < 90 ,所以,| |随着 的增大而增大.4.(23-24 高一下·山西阳泉·期中)一条河南北两岸平行.如图所示,河面宽度 = 1km,一艘游船从南岸码头 点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是 1,水流速度 2的大小为| 2| = 4km/h.设 1和 2的夹角为 (0 < < 180 ),北岸上的点 ′在点 的正北方向.(1)若游船沿 ′到达北岸 ′点所需时间为6min,求 1的大小和cos 的值;(2)当 = 60 ,| 1| = 10km/h时,游船航行到北岸的实际航程是多少?【解题思路】(1)设游船的实际速度为| |km/h,由速度合成得 = 1 + 2,根据| 1|2 = | |2 + | 22| 求得结果.(2)设到达北岸 点所用时间为 h,根据 2 = | |2 = 2( 1 + 22) 计算 长度,得出结果.【解答过程】(1)设游船的实际速度大小为| |km/h,由 ′ = 1km,6min = 0.1h,得| | = 10km/h,| 2| = 4km/h.如图所示速度合成示意图,由| |2 = | |2 + | |2 = 1021 2 + 42 = 116,得| 1| = 2 29km/h,| |cos = 2 = 2 29| .1| 292 29所以 1的大小为2 29km/h,cos 的值为 .29(2)当 = 60 ,| 1| = 10km/h时,设到达北岸 点所用时间为 h,作出向量加法示意图如图所示, 2 = | |2 = 2( 2 21 + 2) = (102 + 42 + 2 × 10 × 4 × cos60 ) = 156 2,则 = 2 39 ,1 1在 Rt △ ′ 中, | 1|cos30 = 1,从而 = 5 3 h,因此 = × 25 3 39 =2 13,52 13故游船的实际航程为 km.5题型 11 余弦定理解三角形1.(23-24 1高一下·四川凉山·期末)在 △ 中, = 6, = 10,cos = 2,则边 = ( )A.6 B.10 C.14 D.10 3【解题思路】根据余弦定理可求 的值.【解答过程】由余弦定理可得 2 = 36 + 100 2 × 6 × 10 × 1 = 196,故 = 142故选:C.2.(23-24 高一下·天津河北·期中)在 △ 中,角 , , 所对的边分别为 , , ,已知 = 29, = 3, = 2 2,则 等于( )π πA B 2 3.6 .4 C.3π D.4π3π【解题思路】利用余弦定理可得cos = 2,可求 = 4 .2【解答过程】在 △ 中, = 29, = 3, = 2 2,2 2 2 2 2 2cos = + = 3 +(2 2) ( 29)由余弦定理可得 2 = 2,2×3×2 2 2因为0 < < π,所以 = 3π4 .故选:D.3.(23-24 高一下·福建莆田·期末)设 △ 的内角 , , 所对的边分别为 , , .(1)证明: = cos + cos ;π(2)若 = 5, = 3, =52 +7cos ,求 .【解题思路】(1)直接使用余弦定理即可证明;(2)先得到( 7)cos = 0,然后分情况讨论 的取值.2 2 2+ 2 2 2+ 2 2 2 2 2 2 21 = = + = + + + 2【解答过程】( )由余弦定理即得 2 2 2 2 2 = cos + cos .5 π(2)由已知有7cos = 2 = 5cos3 = cos = cos ,故( 7)cos = 0.若cos = 0 = 5,则 2 +7cos =52;1 2+ 2 2 2 = 7 = cos = = 25+ 49若 ,则2 2 10 ,解得 = 8或 = 3(舍去). = 5所以 2或 = 8.π4.(23-24 高一下·重庆·期末)在 △ 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边, = 7, = 2, = 3.(1)求 a 的值;(2)求sin( )的值.【解题思路】(1)利用余弦定理可得:7 = 2 +4 2 × 2 × 12进一步求解即可.(2)利用余弦定理和两角和与差的公式求解即可. 【解答过程】(1) △ 中, = 7, = 2, = 3,由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos ,即7 = 2 +4 2 × 2 × 12,整理可得: 2 2 3 = 0,解得 = 3或 = 1(舍),所以 = 3;22 cos = + 2 2 7+4 9 7( )由余弦定理可得 2 = =2 7×2 ,14在三角形中,可得 sin = 1 cos2 = 3 21,14所以sin( ) = sin cos cos sin = 3 × 7 1 × 3 212 = 21.2 14 14 14题型 12 正弦定理解三角形π1.(23-24 高一下·广西玉林·期中)△ 中,角 , , 所对的边分别为 , , ,若 = 3, = 2, = 3,则 =( )πA B 3ππ π.4 . 4 C3π.6 D.4或 4【解题思路】由正弦定理可得sin = 2,再由边角关系确定角的大小即可.2 3【解答过程】由题意,在 △ 中sin = = 2sin ,则sin π ,所以sin =2,3 sin 2π π π因为 ∈ (0,π),所以 = 3π4或 4 ,又 > , = 3,所以 = 4.故选:A.π2.(23-24 高一下·江苏常州·期末)在 △ 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 = 3,tan =3, = 7,则 = ( )2A.2 B. 5 C.3 D. 7【解题思路】利用同角的三角函数的基本关系可求得sin ,利用正弦定理可求解.【解答过程】由tan = 3 sin 3,可得cos = ,又sin2 + cos2 = 1,2 22 2所以( 3 cos ) + cos2 = 1,解得cos =±2 7,π又因为tan = 3 > 0,0 < < π,所以0 < < 3 32 2,所以sin = cos = ,2 7 7 由正弦定理可得sin = sin ,所以 3 = 3,解得 = 2.2 7故选:A.3.(2024 高二下·福建·学业考试)在 △ 中,已知 cos + cos = 2 cos (1)求角 ;(2)若 2 +2 2 = 8,求边 的取值范围.【解题思路】(1)根据条件,利用边转角及正弦的和角公式,得到cos = 2,即可求解;23 4 4(2)根据条件,利用正弦定理得到2 +5sin(2 ) = 2,从而得到3 5 ≤ ≤ 3+ 5 2 ,即可求解.2 2 2【解答过程】(1)由 cos + cos = 2 cos ,得到sin cos + sin cos = 2sin cos ,所以sin( + ) = sin = 2sin cos ,又 ∈ (0,π),则sin ≠ 0,π得到cos = 2,所以 = 4.2 π sin sin (2)由正弦定理知sin = sin = sin ,又 = 4,所以 = 2 = 2 sin , = 2 = 2 sin ,2 2由 2 +2 2 = 8,得到2 2sin2 + 4 2sin2 = 8,整理得到sin2 + 2sin2 = 4 2,1 cos2 4 3π所以 2 +1 cos2 = 2,又 + = 4 ,3 1 3π所以2 2cos2( 4 ) cos2 =3 + 12 2sin2 cos2 =4 2,3得到2 +5sin(2 ) = 4 2,其中tan = 23π,2 ∈ 0, ,2 2则3 5 ≤ 4 3+ 5 2 ≤ ,解得 5 1 ≤ ≤ 5 +1,2 2所以边 的取值范围为 5 1 ≤ ≤ 5 +1.4.(23-24 高一下·江苏连云港·期中)记 △ 的内角 , , 的对边分别为 , , ,且 ( 3sin + cos )= + .(1)求 ;π(2)若 = 6, = 4,线段 延长线上一点 满足 = 4,求 的长.【解题思路】(1)由正弦定理将边化角,再由两角和的正弦公式可得 3sin cos = 1,最后由辅助角公π 1式可得sin = 2,进而求出角 的大小;6(2)由正弦定理可得 的值,再由余弦定理可得 的值.【解答过程】(1)因为 ( 3sin + cos ) = + ,由正弦定理可得 3sin sin + sin cos = sin + sin = sin( + ) + sin ,而sin( + ) = sin cos + cos sin ,所以 3sin sin cos sin = sin ,又因为 ∈ (0,π),则sin > 0,所以 3sin cos = 1 π1,整理可得sin = ,6 2π又因为 ∈ (0,π),则 π 5π6 ∈ , ,6 6π π π可得 6 = 6,则 = 3; (2)在 △ 中,由正弦定理sin = sin∠ , 6即 2 = 3,解得 = 2,2 2π 2π因为∠ = 3,由题意可得∠ = 3 , = 4,在 △ 中, = = 2,由余弦定理可得 = 2 + 2 2 cos∠ = 4 + 16 2 × 2 × 4 × 1 = 2 7.2专题 6.9 平面向量及其应用全章十二大基础题型归纳(基础篇)【人教 A 版(2019)】题型 1 向量的几何表示与向量的模1.(24-25 高一下·安徽合肥·阶段练习)在如图所示的半圆中,AB 为直径,点 O 为圆心,C 为半圆上一点,且∠ = 30°,| | = 2,则| |等于( )A.1 B. 2 C. 3 D.22.(24-25 高一下·全国·课后作业)如图所示,在正六边形 中,若 = 1,则| + + | =( )A.1 B.2 C.3 D.2 33.(23-24 高一·上海·课堂例题)如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格上,求:(1)| |;(2)| |;(3)| |.4.(24-25 高一下·全国·课后作业)在方格纸(每个小方格的边长为 1)中,画出下列向量.(1)| | = 2,点 在点 的正东方向;(2)| | = 2 2,点 在点 的北偏东45°方向;(3)求出| |的值.题型 2 相等向量与共线(平行)向量1.(2024 高三·全国·专题练习)在 △ 中, = , 、 分别是 、 的中点,则( )A. 与 共线 B. 与 共线C. 与 相等 D. 与 相等2.(23-24 高一下·重庆巴南·阶段练习)如图,四边形 中, = ,则必有( )A. = B. = C. = D. = 3.(24-25 高一下·全国·课前预习)如图,在矩形 中, = 2 ,B,E 分别为边 AC,DF 的中点,在以 A,B,C,D,E,F 为起点和终点的所有有向线段表示的向量中:(1)分别找出与 , 相反的向量;(2)分别找出与 , 相等的向量.4.(24-25 高一下·全国·课后作业)如图, 为正方形 对角线的交点,四边形 , 都是正方形.在图中所示的向量中:(1)分别写出与 , 相等的向量;(2)写出与 的相反向量;(3)写出与 模相等的向量.题型 3 平面向量的线性运算1.(23-24 高一下·湖北武汉·期中)已知等腰梯形 中, // , = 2 = 2 = 2,E 为 BC 的中点,则 = ( )A 1.3 +53 B1 5.3 + 6 C 1.3 +12 D1. 3 +16 2.(23-24 高一下·江西上饶·期末)已知 为 △ 的重心,则( )A 2 1. = 3 3 B. = 23 +13 C. = 13 +23 D. =1 23 3 3.(23-24 高一下·辽宁抚顺·阶段练习)化简下列各式:(1) + + .(2)1 1 33(4 +3 ) 2(3 ) 2 ; (3)2(3 4 + ) 3(2 + 3 ).4.(23-24 高一·上海·课堂例题)化简下列向量运算;(1)4 + 3 8 ;(2)3 2 + +4 ;(3)1 13 2 + 8 4 2 .2题型 4 由平面向量的线性运算求参数1.(24-25 高三上·浙江·期中)在 △ 中,D 是 BC 上一点,满足 = 2 ,M 是 AD 的中点,若 = + ,则 + = ( )A 5 B 7 C 5 D 5.4 .8 .6 .82.(23-24 高三上·辽宁朝阳·阶段练习)在梯形 ABCD 中, = 4 , + = + ,则 =( )A.5 B.6 C.-5 D.-63.(23-24 高一下·河北石家庄·期中)已知 是 △ 的重心,若 = + , , ∈ R,则 = ( )A 1 1.1 B. 1 C.3 D. 34.(23-24 高三上·江苏苏州·开学考试)在平行四边形 ABCD 中,点 E 在线段 AC 上,且 = 2 ,点 F为线段 AD 的中点,记 = + ( , ∈ R),则 + = ( )A 5 B 1 C 1 5. 6 . 6 .2 D.6题型 5 向量数量积的计算1.(24-25 高一上·全国·期中)若两个单位向量 , 的夹角为60°,则( + ) = ( )A 1 3.2 B.1 C.2 D.22.(23-24 高一下·福建福州·期末)《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典,如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,其余八块面积相等的图形代表八卦田,已知正八边形 的边长为4,点 是正八边形 的内部(包含边界)任一点,则 的取值范围是( )A.[ 8 2,16 + 8 2] B.[ 16 8 2,8 2]C.[ 16 8 2,16 + 8 2] D.[ 8 2,8 2]3.(23-24 高一·上海·课堂例题)设向量 、 、 满足 + + = 0,且| | = 4,| | = 3,| | = 5,求下列各式的值:(1) ;(2) + + .→ → → →4.(23-24 高一下·天津·期中)已知| | = 2,| | = 3, 与 的夹角 = 30°,求:→ →(1) · ;→ → → →(2)( +2 )·(3 )的值;→ →(3)| 2 |.题型 6 平面向量基本定理及其应用1.(23-24 高一下·宁夏银川·期中)如图所示的矩形 中, , 满足 = , = 2 , 为 的中点,若 = + ,则 的值为( )A 1 B 2 3.2 .3 C.4 D.22.(23-24 高一下·安徽六安·期末)如图, 为平行四边形 对角线 上一点, , 交于点 , = 14 ,若 = + ,则 = ( )A.3 B. 3 C.7 D. 73.(23-24 高一下·山东·期中)如图,在 △ 中,已知 = 2, = 3,∠ = 60 ,N 是 的中点, = 23 ,设 与 相交于点 P.(1)求cos∠ 的值;(2)若 = + ,求 + 的值.4.(23-24 高一下·广西柳州·期中)如图所示,在 △ 中, 为 边上一点,且 = 3 .过 点的直线 与直线 相交于 点,与直线 相交于 点( , 两点不重合).(1)用 , 表示 ;3(2)若 = , = 1,求 + 的值.题型 7 平面向量线性运算的坐标表示1.(23-24 高一下·天津红桥·期中)已知平面向量 = ( 2,3), = (4, 2),则 + = ( )A.( 2,1) B.( 2, 1) C.(2,1) D.( 2,5)2.(23-24 高一下·全国·课后作业)已知向量 = (2,1), = ( 1,1),若 + = ( ,2),则 = ( )A.0 B.1 C.2 D.33.(2024 高一下·全国·专题练习)已知 = ( 1,2), = (2,1),求:(1)2 +3 ;(2) 3 ;(3)1 12 3 .4.(23-24 高一下·广西桂林·阶段练习)已知 (0,1), (3,2), ( 1,5).(1)若 2 = ( , ),求 , ;(2)若 = 2 +4 ,求点 的坐标.题型 8 平面向量数量积的坐标表示1.(23-24 高一下·山东临沂·期中)向量 = (1, 2), = ( 1,3),则 3 + = ( )A.19 B.18 C.17 D.162.(23-24 高一下·陕西西安·阶段练习)如果平面向量 = (2,1), = (1,3)那么下列结论中正确的是( )|→ →A. | = 3| | B. = (2,3)C. 与 的夹角为30 D. 在 上的投影向量为(12,32)3.(23-24 高一下·天津滨海新·期末)已知向量 , 满足 = (2,1), = (1, 3).(1)求向量 , 的数量积 ;(2)求向星 , 夹角 的余弦值;(3)求| + 2 |的值.4.(23-24 高一下·北京通州·期中)已知向量 = ( 1,1), = (6,2), = ( 1, 3),(1)求 ;(2)求 与 夹角 的余弦值;(3)若向量 + 与 互相垂直,求实数 的值.题型 9 用向量解决平面几何中的垂直问题1.(23-24 高二上·广东佛山·期中)已知 △ 的三个顶点分别是 ( 1,0), (1,0), 1 , 3 ,则 △ 的2 2形状是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.斜三角形 D.等腰直角三角形2.(24-25 高一·全国·课前预习)在平行四边形 ABCD 中,M、N 分别在 BC、CD 上,且满足 BC=3MC,DC=4NC,若 AB=4,AD=3,则△AMN 的形状是( )A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形3.(23-24 高一·上海·课堂例题)如图,在正方形 中,P 是对角线 AC 上一点, 垂直 于点 E, 垂直 于点 F.求证: ⊥ .4.(24-25 高一下·湖南常德·阶段练习)如图,正方形 的边长为6, 是 的中点, 是 边上靠近点 的三等分点, 与 交于点 .(1)求∠ 的余弦值.(2)若点 自 点逆时针沿正方形的边运动到 点,在这个过程中,是否存在这样的点 ,使得 ⊥ ?若存在,求出 的长度,若不存在,请说明理由.题型 10 用向量解决物理中的相关问题1.(23-24 高一下·河北保定·期中)平面上三个力 1, 2, 3作用于一点且处于平衡状态,| 1| = 1N,| 2|= 2N, 1与 2的夹角为 45°,则| 3|的大小为( )A. 3N B.5N C. 5N D. 6N2.(23-24 高一下·浙江台州·期末)一条河的两岸平行,河宽600m,一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为4km/h,水流速度的大小为2km/h.当船以最短距离到对岸时,船行驶所用的时间(保留两位小数)为( )A.0.17h B.0.15h C.0.13h D.0.10h3.(24-25 高一·全国·随堂练习)如图,小娟、小明两人共提一桶水匀速前行.已知两人手臂上的拉力大小相等且均为 ,两人手臂间的夹角为 ,水和水桶的总重力为 ,请你利用物理学中力的合成的相关知识分析拉力 与重力 的关系.4.(23-24 高一下·山西阳泉·期中)一条河南北两岸平行.如图所示,河面宽度 = 1km,一艘游船从南岸码头 点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是 1,水流速度 2的大小为| 2| = 4km/h.设 1和 2的夹角为 (0 < < 180 ),北岸上的点 ′在点 的正北方向.(1)若游船沿 ′到达北岸 ′点所需时间为6min,求 1的大小和cos 的值;(2)当 = 60 ,| 1| = 10km/h时,游船航行到北岸的实际航程是多少?题型 11 余弦定理解三角形1.(23-24 1高一下·四川凉山·期末)在 △ 中, = 6, = 10,cos = 2,则边 = ( )A.6 B.10 C.14 D.10 32.(23-24 高一下·天津河北·期中)在 △ 中,角 , , 所对的边分别为 , , ,已知 = 29, = 3, = 2 2,则 等于( )π πA 2 3.6 B.4 C.3π D.4π3.(23-24 高一下·福建莆田·期末)设 △ 的内角 , , 所对的边分别为 , , .(1)证明: = cos + cos ;π(2)若 = 5, = 3, =52 +7cos ,求 .π4.(23-24 高一下·重庆·期末)在 △ 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边, = 7, = 2, = 3.(1)求 a 的值;(2)求sin( )的值.题型 12 正弦定理解三角形π1.(23-24 高一下·广西玉林·期中)△ 中,角 , , 所对的边分别为 , , ,若 = 3, = 2, = 3,则 =( )π 3π π πA.4 B. 4 C3π.6 D.4或 4π2.(23-24 高一下·江苏常州·期末)在 △ 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 = 3,tan =3, = 7,则 = ( )2A.2 B. 5 C.3 D. 73.(2024 高二下·福建·学业考试)在 △ 中,已知 cos + cos = 2 cos (1)求角 ;(2)若 2 +2 2 = 8,求边 的取值范围.4.(23-24 高一下·江苏连云港·期中)记 △ 的内角 , , 的对边分别为 , , ,且 ( 3sin + cos )= + .(1)求 ;π(2)若 = 6, = 4,线段 延长线上一点 满足 = 4,求 的长. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 专题6.9 平面向量及其应用全章十二大基础题型归纳(基础篇)(举一反三)(原卷版)2024-2025学年高一数学举一反三系列(人教A版2019必修第二册).pdf 专题6.9 平面向量及其应用全章十二大基础题型归纳(基础篇)(举一反三)(解析版)2024-2025学年高一数学举一反三系列(人教A版2019必修第二册).pdf