资源简介 专题 6.8 解三角形的综合应用大题专项训练【七大题型】【人教 A 版(2019)】姓名:___________班级:___________考号:___________题型一 正、余弦定理判定三角形形状1.(23-24 高一下·北京通州·期末)在△ 中,角 , , 所对的边为 , , ,△ 的面积为 S,且 = 2+ 2 24 .(1)求角 ;(2)若 = 2 cos ,试判断△ 的形状,并说明理由.【解题思路】(1)应用面积公式及余弦定理得出正切进而得出角;π(2)先应用正弦定理及两角和差的正弦公式化简得出 = 2 ,结合 = 4判断三角形形状即可.21 △ = + 2 2 1【解答过程】( )在 中,因为 4 ,则2 sin =2 cos 4 ,π整理得tan = 1,且 ∈ 0, π ,所以 =2 4.(2)由正弦定理得sin sin = 2sin cos ,∵ sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ,∴ sin cos + cos sin sin = 2sin cos ,∴ sin cos cos sin = sin ,于是sin( ) = sin ,又 , ∈ (0,π),故 π < < π,所以 = π ( )或 = ,因此 = π(舍去)或 = 2 ,所以 = 2 .π π π∵ = 4 , ∴ = 2 , = 4 ,△ 是等腰直角三角形.2.(2025 高一·全国·专题练习)已知 △ 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 = (cos cos ).判断 △ 的形状.【解题思路】先根据题目条件和正弦定理边化角得出sin sin = sin (cos cos );再利用 + + = π及两角和的正弦公式得出cos (sin sin ) = 0,进而可判断 △ 的形状.【解答过程】 △ 为等腰三角形或直角三角形.证明如下:由 = (cos cos )及正弦定理得: sin sin = sin (cos cos ),即sin( + ) sin( + ) = sin (cos cos ),即sin cos + cos sin sin cos cos sin = sin cos sin cos ,整理得:sin cos sin cos = 0,所以cos (sin sin ) = 0,故sin = sin 或cos = 0,又因为 A、B、C 为 △ 的内角,π所以 = 或 = 2,因此 △ 为等腰三角形或直角三角形.3.(23-24 高一下·江苏宿迁·阶段练习)已知 △ 的三个内角 , , 所对的边分别为 , , ,( + + )( + ) = 3 .(1)求角 的大小;(2)若 + = 2 ,试判断 △ 的形状.【解题思路】(1)利用余弦定理求出cos 的值,结合角 的取值范围可得出角 的值;(2)利用余弦定理结合已知条件可得出 = ,利用(1)中的结果可判断出 △ 的形状.【解答过程】(1)因为( + + )( + ) = 3 ,则( + )2 2 = 3 ,整理可得 2 + 2 2 = , 2+ 2 2 1由余弦定理可得cos = 2 = 2 = 2,π又因为 ∈ (0,π),故 = 3.(2)因为 + = 2 = + ,则 2 ,由余弦定可得 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 , + 2即 = 2 + 2 2 ,整理可得( )2 = 0,则 = ,π又 = 3,故 △ 为等边三角形.4.(24-25 高一·上海·假期作业)(1)在 △ 中,若( cos )sin = ( cos )sin ,判断 △ 的形状;(2)在 △ 中,若 =60 , 2 = ,判断 △ 的形状;(3)在 △ 中,若lgsin lgcos lgsin = lg2,判断 △ 的形状.【解题思路】(1)利用正弦定理及余弦定理化角为边,即可判断形状;(2)利用余弦定理进行判断即可;(3)利用正弦定理及余弦定理化角为边,即可判断形状.2 2 2 2 2 2【解答过程】(1)结合正弦定理及余弦定理知,原等式可化为 + = + ,2 2 整理,得( 2 + 2 2)( 2 2) = 0,所以 2 + 2 2 = 0或 2 2 = 0,当 2 + 2 2 = 0时, 2 + 2 = 2,为直角三角形;当 2 2 = 0时, = ,为直角三角形;故三角形为等腰三角形或直角三角形.(2)因为 2 = , =60 ,由余弦定理 2= 2+ 2 2 cos ,得 2 + 2 = ,即( )2 = 0,所以 = .又 =60 ,所以 △ 为等边三角形;(3 sin )由条件得cos sin = 2,即sin = 2cos sin , 2+ 2 2由正、余弦定理,得2 × 2 × = ,所以 = .故 △ 为等腰三角形.5.(24-25 高一下·北京·阶段练习)在 △ 中,2sin22 + cos( + ) = 0.(1)求∠ 的大小;(2)若 = 2 ,求证: △ 为直角三角形.【解题思路】(1)在 △ 中,cos( + ) = cos ,结合降幂公式,化简即可得到答案;(2)利用余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ,结合 = 2 ,化简即可求证.【解答过程】(1)由于在 △ 中, + = π ,则cos( + ) = cos(π ) = cos ,所以2sin2 2 + cos1 cos 1( + ) = 0,可化简为:2 × 2 cos = 0,即cos = 2,π因为 ∈ (0,π),所以∠ = 3.π(2)由(1)知∠ = 3,根据余弦定理得: 2 = 2 + 2 2 cos ,由于 = 2 ,则 2 = 4 2 + 2 2 2 = 3 2,所以 2 = 2 + 2,则 △ 是以∠ 为直角的直角三角形.题型二 几何图形中的计算用向量证明线段垂直6.(24-25 高一下·重用向庆量证·阶明线段段垂练直习)如图,已知在平面四边形 中,∠ =45°, = 3, = 2.(1)若该四边形 存在外接圆,且 = 2,求 ;(2)若∠ = ∠ = 60°,求 .【解题思路】(1)根据外接圆得到∠ = 135°,在 △ 中,有余弦定理得 2 = 10,在 △ 中,利6+ 34用余弦定理求出 = ;2(2)设∠ = ∈ (0,60°) 6,则∠ = 60° ,由正弦定理得到方程组,求出sin = ,由正弦定理求出4答案.【解答过程】(1)因为四边形 存在外接圆,则∠ = 180° ∠ = 135°,在 △ 中,由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 2 + 4 + 4 = 10,在 △ 中,由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 2 +3 6 = 10,解得 = 6+ 34;2(2)设∠ = ∈ (0,60°),则∠ = 60° ,分别在 △ 、 △ 中用正弦定理可得3 = sin(60° ) sin45° 3sin45° 2sin(120° )2 = = ,则sin(60° ) = sin ,sin sin(120° ) sin60°3sin = 2 2sin(60° )sin(120° ),则 3sin = 2 24 (3cos2 sin2 ),4sin2 + 6sin 3 = 0 6 6,则sin = 或sin = (舍),4 2 = 2sin60°故 sin = 2 2.7.(2024·全国·模拟预测)如图,四边形 为梯形, // , = 2 = 6 2,tan = 2,cos∠ =213.(1)求cos∠ 的值;(2)求 的长.【解题思路】(1)计算出sin ,cos ,sin∠ ,利用两角和的余弦公式可求得cos∠ = cos∠ 的值;(2)在 △ 中,利用正弦定理可求出 BD 的长,再在 △ 中利用余弦定理可求得 BC 的长.sin 3 6【解答过程】(1)因为tan = cos =2,且sin2 + cos2 = 1,解得sin = ,cos = .2 3 3cos∠ = 1而 3,所以sin∠ = 1 cos2∠ =2 2,3所以cos∠ = cos( ∠ ∠ ) = cos(∠ + ∠ )= (cos cos∠ sin sin∠ )6 1 3 2 2 6= 3 × 3 + 3 × 3 = 9 // ∠ = ∠ cos∠ = cos∠ = 6因为 ,所以 ,所以 .92 ( )在 △ 中,由正弦定理得sin = sin∠ ,因为 = 6 2,所以 = sin sin∠ = 3 3.在 △ 中,由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 27 + 18 2 × 3 3 × 3 2 × 6 = 33,9所以 = 33.8.(2024 高一下·山东临沂·期中)如图,在平面四边形 中, ⊥ , = 1, = 3,∠ =2π 213 ,cos∠ = .7(1)求∠ 的值;(2)求 的长.【解题思路】(1)利用余弦定理可得出关于 的方程,解出 的长,判断出 △ 为等腰三角形,即可求得∠ 的值;(2)计算出∠ 的值,以及sin∠ ,利用两角和的正弦公式求出sin∠ 的值,再利用正弦定理可求得 的长.【解答过程】(1)解:在 △ 中, = 1, = 3,∠ =2π3 ,由余弦定理可得3 = 2 + 2 2 cos2π3 = 1 + 2 2 × 1 × × 1 ,2整理可得 2 + 2 = 0, ∵ > 0,解得 = 1,则 = = 1,π故 △ π ∠ 为等腰三角形,故∠ = 2 = 6.π π π π(2)解:由(1)知,∠ = 6,又因为 ⊥ ,则∠ = 2 6 = 3,因为cos∠ = 21,则∠ 为锐角,72且sin∠ = 1 cos2∠ = 1 21 = 2 7,7 7所以,sin∠ = sin(∠ + ∠ ) = sin∠ cos∠ + cos∠ sin∠ = 3 × 21 + 1 × 2 7 = 5 7,2 7 2 7 14在 △ 中,由正弦定理sin∠ = sin∠ , = sin∠ 3× 3 3 7可得 2sin∠ = 5 7 = .5149.(23-24 高一下·河南开封·期中)已知四边形 是由 △ 与 △ 拼接而成,如图所示,π∠ = ∠ = 3,∠ =5π6 .(1)求证: < 3 ;(2)若 = 1, = 2,求 的长.【解题思路】(1)求出∠ 的范围,利用正弦定理即可证明结论;(2)写出 与∠ 的关系,进而求出∠ 的正弦值和余弦值,求出 的长,利用余弦定理即可求出 的长.【解答过程】(1)由题意证明如下,在 △ ∠ = 5π中, 6 ,π∴∠ < 6.π∵∠ = ∠ + ∠ = 3,π∴∠ > 6.在 △ 中,由正弦定理得, sin = sin∠ , 即 3 = sin∠ , sin∠ =3 ,2 2∴ 3 > 1 ,2 2∴ < 3 .(2)由题意及(1)得设 = ,∠ = ,π π∵ = 3,∠ = 3,∠ =5π6 , = 1, = 2,△ = 2 则在 中,由正弦定理得, πsin∠ sin ,即sin = sin ,3可得 3 = sin ,① 在 △ 中,由正弦定理得,sin = sin(π ∠ ∠ ), 1可得sin 5π =6 sinπ π ,6 31可得 = 2sin π ,②6∴ 联立①② π,可得sin = 2 3sin ,6可得tan = 3,可得cos = 1 = 2 7 sin = 21, .2 1+tan2 7 72×sin π∴ 在 △ 中,由正弦定理得,sin = sin ,可得 =321 = 7.7在 △ 中,由余弦定理得, 2 = 2 + 2 2 cos∠ ,可得7 = 1 + 2 2 × 1 × × 3 ,2可得 2 + 3 6 = 0,解得 = 3或 2 3(舍),∴ 的长为 3.10.(23-24 高一下·河北衡水·期末)如图所示,在平面四边形 ABCD 中,∠ = 150°,∠ = 60°, = 3, = 1, = 7.(1)求 BD 的长;(2)若 AC 与 BD 交于点 O,求 △ 的面积.【解题思路】(1)根据余弦定理在 △ 中求解 = 7,进而根据和差角公式可得cos∠ = cos(∠ + ∠ ) = 7,即可由余弦定理求解,14(2 5 7)根据三角形边角关系,结合余弦定理和和差角公式即可求解 = ,利用面积公式即可求解.8【解答过程】(1)由题意,在 △ 中,∠ = 150°, = 3, = 1,由余弦定理得, 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 3 + 1 2 × 3 × 1 × 3 = 7,2所以 = 7,1+7 3△ cos∠ = = 5 7在 中, 2 7 ,14所以sin∠ = 21,14cos∠ = cos(∠ + ∠ ) = 5 7 ×1所以 2 21 × 3 = 7,14 14 2 14在 △ 中,由余弦定理可知 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 1 + 7 2 × 1 × 7 × 7 = 7,14所以 = 7.(2)由(1)可知 = = 7,又因为∠ = 60°,所以 △ 为等边三角形,所以∠ = 60°, = 7,7+7 1在 △ 中,cos∠ = = 1314,所以sin∠ =3 32× 7× 7 ,14在 △ 中,cos∠ = cos 1 13(∠ ∠ ) = × + 3 × 3 3 =112 14 14,2 14故sin∠ = 5 3,14所以cos∠ = cos 1(∠ + ∠ ) = 1 × 11 3 × 5 3 = ,2 14 2 14 7所以sin∠ = 4 3,77 在 △ 5 7中,由正弦定理可知sin∠ = sin∠ ,即4 3 = 5 3,解得 = ,7 14 81 1 5 7所以 △ = 2 sin∠ = 2 × ×8 7 ×3 = 35 3.2 32题型三证明三角形中的恒等式或不等式11.(23-24 高二下·湖北咸宁·期末)在 △ 中,角 , , 的对边为 , , ,已知 = 2 ,且 ≠ .(1)若2 = 3 ,求sin ; (2) + 证明: = ;3 7【解题思路】(1)根据 = 2 ,sin = sin2 ,然后结合正弦定理以及二倍角公式解得sin = .8(2)根据(1) = 2 cos ,然后结合余弦定理证明即可;【解答过程】(1)依题意, = 2 ,所以sin = sin2 ,即sin = 2sin cos ,3由正弦定理可知, = 2 cos ,即cos = 4,从而cos = cos2 = 2cos2 1 = 18,A 3 7为三角形内角,故sin = .8 2+ 2 2(2)由(1)可知, = 2 cos ,由余弦定理可得: = 2 2 ,即 2 = 2 + 2 3,则 2( ) = ( 2 2),又 ≠ ,故 2 = + 2, + 从而 = .12.(23-24 高一下·安徽·期中)已知锐角 △ , , , 分别为角 , , 的对边,若 2 + 2 2 = 2 (1 + cos ).(1)求证: = 2 ;(2) 求 的取值范围.【解题思路】(1)根据题干,利用余弦定理化简可得 cos = (1 + cos ),再由正弦定理可得sin cos sin cos = sin 即sin( ) = sin ,再根据 △ 是锐角三角形,所以 = 即可得解;π π (2)由 △ 是锐角三角形,所以6 < < 4,由正弦定理可得 = =13 4sin2 ,结合角 的范围即可得解.2 2 2【解答过程】(1) 2 + 2 2 = 2 (1 + cos ) + 2 = (1 + cos ) cos = (1 + cos ) cos = (1 + cos ) 根据正弦定理sin = sin ,由 cos = (1 + cos ) sin cos = sin (1 + cos ) sin cos sin cos = sin ,即sin( ) = sin .∵△ 是锐角三角形,∴ , ∈ 0, π , ∴ ∈ π , π ,2 2 2因此有 = = 2 (2) △ 是锐角三角形, ∴ , , ∈ 0, π ,而 = π = π 3 ,2π0 < < 2 ,π π π∴ 0 < 2 < 2 , < <π 6 40 < π 3 < 2 sin sin 由正弦定理sin = sin ,得 = sin = sin3 ,则sin3 = sin(2 + ) = sin2 cos + cos2 sin = 2sin cos2 + (1 2sin2 )sin ,而1 sin2 = cos2 , ∴ sin3 = 3sin 4sin3 所以 = 1 = 3 4sin2 , ∵ ∈π , π , ∴ sin ∈ 1 , 2 ,6 4 2 2∴ = ∈ 1 ,11因此 的取值范围为 ,1 .2 213.(23-24 高一下·江苏连云港·期末)在 △ 中,AD 是 △ 的角平分线,AE 是边 BC 上的中线,点D、E 在边 BC 上.(1) 用正弦定理证明 = ;(2)若 = 4, = 3,∠ = 60°,求 DE 的长. 【解题思路】(1)由正弦定理知,sin∠ = sin∠ ,sin∠ = sin∠ ,结合条件可得结论;(2)由余弦定理可求得 = 13,进而利用(1)的结论可求 . 【解答过程】(1)由正弦定理知,在 △ 中,sin∠ = sin∠ ,△ 在 中,sin∠ = sin∠ ,由∠ + ∠ = π,∠ = ∠ ,所以sin∠ = sin∠ ,sin∠ = sin∠ , = 所以 ;(2)在 △ 中,由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 · ·cos∠ = 16 + 9 2 × 4 × 3 × cos60° = 13, = 4 4所以 13,由(1)可得 = = 3,所以 =4 137 = ,7因为 是 = 1 = 13边上的中线,所以 2 ,213所以 = = .1414.(2024·全国·模拟预测)在 △ 中,点 D,E 都是边 BC 上且与 B,C 不重合的点,且点 D 在 B,E之间, = .(1)求证:sin∠ = sin∠ .2 2(2)若 ⊥ ,求证: 2 + 2 2 = 1 sin∠ .【解题思路】(1)分别在 △ , △ , △ 中,利用正弦定理即可得证;π π(2)设∠ = ∠ = ,则0 < < 4,∠ = 2 2 ,在 △ , △ 中,利用正弦定理即可得证.sin 【解答过程】(1)如图.在 △ 中,由正弦定理,得sin = .△ sin 在 中,由正弦定理,得sin∠ = .△ sin 在 中,由正弦定理,得sin∠ = .sin∠ = sin = 所以sin∠ sin = 1,所以sin∠ = sin∠ .(2)因为 ⊥ ,π所 + = 2,所以sin = cos .π由∠ = 2可知∠ ,∠ 均为锐角.由(1)知,∠ = ∠ .π π设∠ = ∠ = ,则0 < < 4,∠ = 2 2 .sin∠ = cos2 = 1 2sin2 sin2 = 1 sin∠ 由 ,得 2 .△ = sin 在 中,由正弦定理,得 sin .在 △ sin cos 中,由正弦定理,得 = sin = sin . 2 2 sin2 cos2 1 2所以 2 + 2 = sin2 + sin2 = sin2 = 1 sin∠ .15.(23-24 高一下·浙江宁波·期末)在 △ 中,内角 , 都是锐角.π(1)若∠ = 3, = 2,求 △ 周长的取值范围;(2)若sin2 + sin2 > sin2 ,求证:sin2 + sin2 > 1.4 3 π【解题思路】(1)根据正弦定理可得 + =3 (sin + sin ),然后可得 + = 4sin + ,然后结合 6的范围求出 + 的范围可得答案;π(2)由条件可得 为锐角,然后由 + > 2可得sin > cos ,即可证明.π 2 4 3【解答过程】(1)因为∠ = 3, = 2,所以sin = sin = sin = 3 = ,2 3 + = 4 3所以3 (sin + sin ),因为sin + sin = sin + sin 1 + π = sin + 2sin +3cos 3 23 3 π= 2 sin + 2 cos = 3sin + 6所以 + = 4sin + π ,6π因为内角 , 都是锐角,∠ = 3,0 < < π π π π所以 2 30 < = 2π < π ,即6 < < 2,所以sin + ∈ ,1 ,6 23 2所以 + ∈ (2 3,4],所以 △ 周长的取值范围为(2 3 + 2,6],(2)若sin2 + sin2 > sin2 ,则 2 + 2 > 2,所以 为锐角,π π所以 + > 2,所以 > 2 ,π π因为内角 , 都是锐角,所以 ,2 ∈ 0, ,2π所以sin > sin = cos ,2所以sin2 + sin2 > cos2 + sin2 = 1.题型四 求三角形面积的最值或范围16.(23-24 高一下·浙江·阶段练习)在 △ 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若sin sin sin2 = sin2 sin2 .(1)求角 ;(2)若点 M 在边上 BC 满足 = 2 ,且 = 2,求 △ 面积的最大值.【解题思路】(1)先利用正弦定理化角为边,再根据余弦定理即可得解;(2)法一:先量化结合基本不等式求出 的最大值,再根据三角形的面积公式即可得解.法二:利用双余弦定理结合基本不等式求出 的最大值,再根据三角形的面积公式即可得解.【解答过程】(1)由sin sin sin2 = sin2 sin2 ,由正弦定理得 2 = 2 2,即 = 2 + 2 2 1,所以cos = 2,π又 ∈ (0,π),所以 = 3;2 M BC = 2 = 1 + 2( )法一:由 在边 上满足 ,可得 3 3 ,2 1 2 = + 4 + 42两边平方可得 9 9 9 ,1 2 4所以4 = 2 + + 2,所以36 = 29 9 9 +2 + 4 2 ≥ 6 ,当且仅当 = 2 时取“ = ”, ≤ 6 = 1 sin ≤ 3 3所以 ,所以 △ 2 ,23 3即 △ 面积的最大值为 .2法二:由∠ + ∠ = π,则cos∠ + cos∠ = 0, 2+ 2 2 2+ 2 2由余弦定理可得 2 + 2 = 0,4+4 2 2 4+1 2 2即 9 + 98 4 = 0,3 3可得2 2 3 2 6 2 +36 = 0,又因为 2 = 2 + 2 ,所以36 = 2 +2 + 4 2 ≥ 6 ,当且仅当 = 2 时取“=”,所以 ≤ 6 1 3 3,所以 △ = 2 sin ≤ ,2即 △ 3 3面积的最大值为 .217.(23-24 高一下·甘肃·期中)已知 , , 分别为 △ 三个内角 A, , 的对边, cos + 3 sin = 0.(1)求证:2 = + ;(2)若 △ 为锐角三角形,且 2 + 2 = 2 +2 ,求 △ 面积的取值范围.【解题思路】(1)根据题意利用正弦定理可得sin cos + 3sin sin = sin + sin ,利用三角恒等变换分π析可得 = 3,即可得结果;(2 1 3)根据题意利用余弦定理可得 = 2 , △ = ,利用正弦定理边化角,结合正弦函数可得 ∈2[2,3),即可得结果.【解答过程】(1)因为 cos + 3 sin = 0,由正弦定理可得sin cos + 3sin sin = sin + sin ,又因为sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ,代入整理得 3sin sin cos sin = sin ,且 ∈ (0,π),则sin ≠ 0,可得 3sin cos = 1 π1,整理得sin = ,6 2π π π π由 ∈ (0,π) ∈ π , 5π可知 6 ,则 6 6 6 = 6,解得 = 3, + = 2π可知 3 ,所以2 = + .(2)因为 2 + 2 = 2 +2 ,即 2 + 2 2 = 2 , 2+ 2 2由余弦定理可得cos = 2 =2 1 12 = = 2,即 = 2 ,所以 △ =12 sin =3 ,2 2 由正弦定理可得sin = sin = sin = 3 = 3,22 2 2 则 = sin , = sin = sin 2π3 3 3 ,31 2 2 2则 = 2π2 × sin × sin3 3 =2 3 sin sin2π ,3 33 2π 1 1可得2 = sin sin = sin 3 cos + sin = 3sin cos + 23 2 2 2 2sin = 3sin2 14cos2 +1 1 π 14 = 2sin 2 + 4,4 60 < < π π π因为 △ 为锐角三角形,则 20 < 2π < π ,解得6 < < 2,3 2π π则6 < 2 <5π 16 6 ,可得2 < sin 2 π ≤ 1,63 1 π 1 1 3则2 = 2sin 2 + 4 ∈ , ,可知 ∈ [2,3),6 2 41 3所以 = sin = ∈ 3, 3 3△ 2 .2 218.(23-24 高一下·天津·期中) △ 的内角 , , 的对边分别为 , , ,已知 = 1.π(1)若 = 3, △ 的周长等于 3,求 , ;(2)若 △ 为锐角三角形,且sin + 2 = sin( + );①求 ;②求 △ 面积的取值范围.【解题思路】(1)利用余弦定理求出 , 的关系,再结合三角形的周长即可得解;(2)①根据三角形内角和定理结合二倍角的正弦公式即可得解;②先求出角 的范围,再利用正弦定理求出边 ,再根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得解.【解答过程】(1)由余弦定理及已知条件得, 2 + 2 = 1,又因为 △ 的周长等于 3,所以 + + = 3,得 + = 2。 2 + 2 = 1联立方程组 + = 2 ,解得 = 1, = 1;2 ① + ( ) 根据题意sin 2 = sin( + ), + 得sin 2 = 2sin + cos + 2 2 ,π因为0 < + 2 < 2,所以sin + 2 > 0,cos + = 1 + π所以 2 2,所以 2 = 3,所以 + = 2π3 ,π所以 = 3;②因为 △ 是锐角三角形,π由①知 = 3, + + = π得到 + =23π,0 < < π故 2π π0 < 2π < π ,解得6 < < 2,3 2 = = sin 由正弦定理sin sin ,得 sin ,又 = 1 = sin ,所以 sin , = 1 sin = 1 sin 3 = 3 sin 所以 △ 2 2 sin 2 4 sin = 3 sin2π = 32π sin cos cos2π sin 3 1 33 3 3 = 8 4 sin 4 sin tan + ,8π π又因6 < < 2,tan >3,33 < 3 1故 + 3 < 3,8 8 tan 8 23 3所以 < 8 △ < ,2故 △ 的取值范围是 3 , 3 .8 219.(24-25 高三上·湖南·阶段练习)如图,在平面四边形 中, ⊥ , = = 2,∠ = ,120 ≤ <180 .(1)若 = 120 , = 6,求∠ 的大小;(2) 若2 sin2 = 3 ,求四边形 面积的最大值.【解题思路】(1)在 △ 中,先求出 ,再在 △ 利用正弦定理求出sin∠ ,利用大角对大边进行取舍;(2)把四边形 的面积用题干中给出的变量 进行表示,求解最值即可.【解答过程】(1)解:由已知∠ = 120 , = = 2,得∠ = 30 ,所以 2 = 2 + 2 2 cos = 4 + 4 8cos120 = 12,所以 = 2 3.在 △ 中,因为 ⊥ ,∠ = 30 ,所以∠ = 60 ,又 = 6, = sin∠ = sin∠ = 2 3sin60 1由正弦定理得sin∠ sin∠ ,得 = ,6 2因为 = 6 > = 2 3,所以∠ > ∠ ,所以0 < ∠ < 60 ,所以∠ = 30 .(2)在 △ 中,由已知 = = 2,∠ = ,120 ≤ < 180 , 1 1所以 △ = 2 sin∠ = 2 × 2 × 2 × sin = 2sin ,由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 22 + 22 2 × 2 × 2cos = 8 8cos , 在 △ ∠ = 90 ∠ = 90 180 中,因为 2 = 2,又2 sin 2 =3 3 ,所以 = 2sin ,21所以 △ = 2 sin∠ =1 3 3 22 2sin sin2 = = 2 3 24 3cos ,2所以四边形 的面积 ( ) = △ + △ = 2sin + 2 3 2 3cos = 2 3 +4sin( 60 ),因为120 ≤ < 180 ,所以60 ≤ 60 < 120 ,当 60 = 90 ,即 = 150 时, ( )max = 2 3 +4,故四边形 面积的最大值为2 3 +4.20.(24-25 高二下·辽宁本溪·开学考试)在①( )sin( + ) = ( )(sin + sin );②2 = 3 ;③ cos = 3 sin ;这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答问题(其中 S 为 △ 的面3积).问题:在 △ 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且______.(1)求角 B 的大小;(2)AC 边上的中线 = 2,求 △ 的面积的最大值.1【解题思路】(1)若选①:根据正弦定理,化简得到 2 + 2 2 = ,再由余弦定理得到cos = 2,即可求解;若选②:由三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式,化简得到 sin = 3 cos ,得到tan = 3,即可求解;若选③:由正弦定理化简可得到sin cos 3sin sin = 0,求得tan = 3,即可求解.38(2)根据向量的运算法则和基本不等式,化简得到 ≤ 3,结合面积公式,即可求解.【解答过程】(1)解:若选①:在 △ 中,因为sin( + ) = sin(π ) = sin ,由( )sin( + ) = ( )(sin + sin ),可得( )sin = ( )(sin + sin ),由正弦定理得 ( ) = ( )( + ),即 2 + 2 2 = ,2cos = + 2 2 1则 2 = 2 = 2,π又因为0 < < π,故 = 3.若选②:由2 = 3 ,可得 sin = 3 cos ,所以tan = 3, 因为0 < < π,所以 = 3.3若选③:因为 cos = sin ,33正弦定理得sin cos = sin sin sin ,33又因为 = ( + ),所以sin cos = sin( + ) sin sin ,33即sin cos sin sin = 0,3因为0 < < π,sin ≠ 0,所以tan = 3,π又因为0 < < π,可得 = 3;π综上所述:选择①②③,都有 = 3.2(2)解:由2 = + ,可得4| | = 2 + 2 +2 cos ,所以8 = 2 + 2 + ≥ 3 ≤ 8 2 6,可得 3,当且仅当 = = 时取等号, 31 3 2 3 2 6则 △ = 2 sin = ≤ ,当且仅当 = = 时取等号,4 3 3则 △ 2 3的面积的最大值为 .3题型五 求三角形中的边长或周长的最值或范围21.(23-24 高一下·广东惠州·期中)已知 △ 的内角 , , 所对的边分别是 , , ,( + )(sin sin ) =( )sin .(1)求角 ;(2)若 △ 外接圆的直径为2 3,求 △ 周长的取值范围.【解题思路】(1)根据题意,利用正弦定理化简得到 = 2 + 2 2,再由余弦定理,即可求解;(2)方法一:由正弦定理求得 = 3,利用余弦定理和基本不等式,求得 + ≤ 6,进而求得 △ 周长的取值范围;方法二:根据题意,利用正弦定理求得 = 3,化简得到 + + = 3 + 6sin + π ,结合三角函数的性质,6即可求解.【解答过程】(1)因为 , , ,( + )(sin sin ) = ( )sin ,由正弦定理可得( + )( ) = ( ) ,即 = 2 + 2 2, 2+ 2 2 1 π又由余弦定理得cos = 2 = 2,又因为 ∈ (0,π),所以 = 3.(2)方法一:因为 △ 外接圆的直径为2 3, 由正弦定理得sin = 2 3,则 = 2 3 ×3 = 3,2由余弦定理得9 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 ,2因为3 = ( + )2 9 ≤ 3 × ( + ) 1,所以 ( + )24 4 ≤ 9,即 + ≤ 6,由三角形性质知3 < + ≤ 6,当且仅当 = 时,等号成立,所以6 < + + ≤ 9,故 △ 周长的取值范围为(6,9].方法二:因为 △ 外接圆的直径为2 3, 3由正弦定理得sin = 2 3 = sin = sin ,则 = 2 3 × = 3,2 + + = 3 + 2 3sin + 2 3sin = 3 + 2 3 sin + sin + π3= 3 + 2 3 sin + 1 sin + 3 cos = 3 + 2 3 3 sin + 3 cos = 3 + 6sin + π2 2 2 2 62π π π因为0 < < 3 ,可得6 < +5π 16 < 6 ,所以2 < sin +π ≤ 1,6所以6 < + + ≤ 9,故 △ 周长的取值范围为(6,9].22.(23-24 高一下·江苏盐城·阶段练习)已知锐角 △ 的内角 A,B,C 所对的边分别为 , , ,向量 = (sin ,cos ), = (2sin cos , sin ),且 ⊥ .(1)求角 C 的值;(2)若 = 4,求 + 的取值范围.【解题思路】(1)根据数量积的坐标表示,方法一:利用正弦定理和余弦定理角化边可得;方法二:利用和差公式化简即可得解.(2)方法一:利用正弦定理将 + 表示为关于角 的函数,根据二倍角公式化简,由正切函数的性质可得;方法二:利用正弦定理将 b 表示为关于角 的函数,利用正切函数性质求出 b 的范围,由余弦定理用 b 表示c,然后表示出 + ,根据函数单调性可解.【解答过程】(1)因为 ⊥ ,所以 = sin (2sin cos ) cos sin = 2sin sin (sin cos + cos sin ) = 0,方法一:利用正弦定理角化边得2 sin ( cos + cos ) = 0,2 2 2 2 2 2又cos = + ,cos = + 2 2 ,∴ 2 sin = 0 1,则sin = 2,π又 △ 为锐角三角形,故 = 6.方法二:由和差公式可得2sin sin sin( + ) = 2sin sin sin = 0,又因为 ∈ 0, π ,sin ≠ 01,所以sin = 2,2π又 △ 为锐角三角形,故 = 6.2 = sin = 4sin5 π = 2cos +2 3sin ( )由正弦定理得 6sin = 2 +2cos sin sin 3 sin , = sin 2sin = sin ,由于 △ 为锐角三角形,则 ∈ 0, π ,2π又0 < = 5π6 < 2,解得 ∈π , π ,3 24cos2 方法一:所以 + = 2 2cos 2 2cos +23 + + = 2 3 + = 2 3 + 2sin sin sin 2sin cos 2 24cos2 2= 2 3 + 2 = 2 3 + tan 2sin cos ,2 2 2 π而2 ∈ ,π,即tan ∈ 32 ,1 ,6 4 31∴ tan ∈ (1, 3),故 + 的取值范围为(2 + 2 3,4 3).2方法二:所以tan > 13,所以 3tan ∈ 0, ,3 = 2 + 2cos 2又 3 sin = 2 3 + tan ,所以 ∈ 2 3,8 3 ,3由余弦定理得 = 2 + 2 2 cos = 2 4 3 + 16,记 ( ) = + = 2 4 3 + 16 + = ( 2 3)2 + 4 + ,易知 ( )在 2 3, 8 3 上单调递增,3所以 (2 3) < ( ) < 8 3 ,即2 + 2 3 < + < 4 3,3所以 + 的取值范围为(2 + 2 3,4 3). cos +123.(23-24 高一下·广东惠州·期中)在① = 3sin ,②2 sin = tan ,③( )sin + sin( + ) = sin ,这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答.已知 △ 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若__________.(1)求角 B;(2)若 + = 4,求 △ 周长的最小值.【解题思路】(1)分别选三个条件,结合三角恒等变换,以及边角互化,化简后即可求解;(2)由余弦定理可得 2 = 16 3 ,利用基本不等式可求出的最小值,即可求出周长最小值,再利用面积公式求出面积 cos +1【解答过程】(1)选① = 3sin ,sin 1+cos 由正弦定理可得sin = ,sin > 03sin ,即得 3sin = 1 + cos ,π π π π即有sin =12,由于0 < < π,可得 6 =6 6,即 = 3.选②2 sin = tan ,由正弦定理可得2sin sin = sin tan ,sin 1因为sin > 0,sin > 0,所以2sin = cos ,即cos = 2.π由于0 < < π,可得 = 3.选③( )sin + sin( + ) = sin ,由正弦定理和诱导公式可得( ) + 2 = 2,即为 2 + 2 2 = , 2+ 2 2 π由余弦定理可得cos = 12 = 2. 由于0 < < π,可得 = 3.π(2)由(1)知 = 3,由余弦定理可得 2 + 2 2 = 2 cos = ,即为( + )2 2 = 3 ,而 + = 4,即 2 = 16 3 .若 + = 4,则4 ≥ 2 ,可得 ≤ 4(当且仅当 = = 2时取得等号),则 ≥ 16 3 × 4 = 2,所以 △ 周长的最小值为 6.24.(23-24 高一下·辽宁·期中)在 △ 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, = 2 3,(sin sin )(2 3 + ) = ( )sin .(1)求角 B 的大小;(2)若 > ,求 2 + 1 22 的取值范围.π【解题思路】(1)根据正弦定理得到 2 + 2 2 = ,由余弦定理得到 = 3;(2)由正弦定理得到 = 4sin , 2 + 2 12 = 1,故 2 + 22 = 12 12 2,由 > ∈ π 2π得到 , ,进3 3而得到 ∈ 0, π ,求出答案.3【解答过程】(1)因为 = 2 3,(sin sin )(2 3 + ) = ( )sin ,由正弦定理得( )( + ) = ( ),即 2 + 2 2 = , 2+ 2 2 1由余弦定理得cos = 2 = 2 = 2,π因为 ∈ (0,π),所以 = 3; 2 3(2 )由正弦定理得sin = sin = sin π = 4,3所以 = 4sin ,由(1)得 2 + 2 12 = ,1故 2 + 2 = 2 22 2 +12 + 1 2 1 22 = 12 2 π π 2π因为 > ,所以 > = 3,故 ∈ , ,3 3所以 = π ∈ 0, π ,sin ∈ 0, 3 ,3 2故 = 4sin ∈ (0,2 3),则 2 + 1 2 = 12 12 2 2 ∈ (6,12).25.(23-24 高一下·北京大兴·期末)记 △ 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin = 3 cos .(1)求∠ ;(2)若 = 3.(i)再从条件①,条件②,条件③中选择一个条件作为已知,使其能够确定唯一的三角形,并求 △ 的面积.条件①: = 6;条件②: = 2 1;条件③:sin = 3.(ii)求 △ 周长的取值范围.【解题思路】(1)利用正弦定理边化角化简得tan = 3,计算即得.(2)(i)选择条件①利用正弦定理计算判断三角形不唯一;,选择条件②,利用余弦定理及三角形面积公式计算求解;选择条件③,利用正弦定理计算判断,再求出三角形面积;(ii)利用余弦定理及基本不等式计算即可.【解答过程】(1)由 sin = 3 cos 可得sin sin = 3sin cos ,因为在 △ 中sin > 0,sin > 0,,所以sin = 3cos > 0,π即tan = 3,因为 ∈ (0,π),所以∠ = 3.π(2)(i)若选条件① = 6,结合(1)∠ = 3及 = 3, = , sin = sin =6sin π由正弦定理 3sin sin 可得 =6 > 1,3 2则满足条件的三角形不存在,故不能选条件①,π若选条件②: = 2 ,结合(1)∠ = 3及 = 3,由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ,可得3 = 4 2 + 2 2 2 = 3 2,解得 = 1,易知 = 2 = 2,故此时满足条件的三角形唯一.1 π所以 △ = 2 sin =1 32 × 2 × 1 × sin3 = .21 π若选条件③:sin = 3,结合(1)∠ = 3及 = 3,因为sin = 13 < sin =3,所以 为锐角,2sin = 1 > 0 2 2由 3sin2 + cos2,可得cos = , = 1 3因为在 △ 中 + = π 所以sin = sin( + ) = sin cos + cos sin = 3 × 2 2 +1 × 1 = 2 6+12 3 2 3.6易知满足条件的三角形唯一. = sin 3× 2 6+1 2 6+1由正弦定理 6sin sin ,可得 = sin = = ,sin π 33 = 1 sin = 1 × 2 6+1 × 3 × sin = 6 2+ 3所以 △ 2 2 .3 18(ii)由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ,可得3 = 2 + 2 = ( + )2 3 , ≤ + 2 2结合基本不等式 ,可得3 ≥ ( + )2 3 + 2 2 ,解得: + ≤ 2 3,当且仅当 = = 3,原式取等.又在 △ 中易得 + > = 3.所以 △ 周长 △ = + + = + + 3 ∈ (2 3,3 3].△ 周长的取值范围为(2 3,3 3].题型六 距离、高度、角度测量问题26.(24-25 高一下·全国·课后作业)如图, , , , 都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面), , 为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于 处测得点 和点 的仰角分别为75°,30°,于 处测得点 和点 的仰角均为60°, = 1km,求点 , 间的距离(提示:sin15° = 6 2).4【解题思路】方法一:通过仰角以及三角形外角定理,用正弦求出 AD,以及 AB,再在 △ 中用余弦定理求解即可;方法二:通过说明△AMC≌△DMC,先求 AB,再利用正弦定理求 BD.【解答过程】方法一 在 △ 中,∠ = 60° ∠ = 60° 30° = 30°,∠ = 180° 60° = 120°, = sin120°由正弦定理,得 sin30° = 3(km).在 △ 中,∠ = 60°,∠ = 75° 60° = 15°, sin60°由正弦定理,得 = = 3 2+ 6sin15° .2在 △ 中,∠ = 180° 75° 30° = 75°,2由余弦定理,得 = 2 + 2 2 cos75° = 3 2+ 6 + 3 2 × 3 2+ 6 × 3cos75° = 3 2+ 62 2 2(km).即点 , 间的距离为3 2+ 6km.2方法二 如图,过点 作 垂直水平线于点 ,过点 作 垂直水平线于点 ,记 与 的交点为 .由外角定理,得∠ = 60° ∠ = 60° 30° = 30°,所以 = .又易知∠ = ∠ = 60°,所以 △ ≌ △ ,所以 为 的中点,所以 = , = sin60°又 3 2+ 6sin15° = 2 (km),所以 = 3 2+ 62 (km).所以点 , 间的距离为3 2+ 6km.227.(24-25 高一下·全国·课后作业)目前,中国已经建成全球最大的 5G 网络,无论是大山深处还是广袤平原,处处都能见到 5G 基站的身影.如图,某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座 5G 基站 ,已知基站高 = 50m,该同学眼高1.5m(眼睛到地面的距离),该同学在初始位置 处(眼睛所在位置)测得基站底部 的仰角为37°,测得基站顶端 的仰角为45°,求出山高 (结果保留整数).(参考数据:sin8° ≈ 0.14,sin37° ≈ 0.6,sin45° ≈ 0.7,sin127° ≈ 0.8, 2 ≈ 1.4)【解题思路】在 △ 中利用正弦定理求出 ,再在Rt △ 中利用锐角三角函数求出 ,即可得解.【解答过程】依题意可得∠ = 45° 37° = 8°,∠ = 45°, 50 在 △ 中,由正弦定理得sin∠ = sin∠ ,即sin8° = sin45°, ≈ 50×0.7所以 0.14 = 250(m),Rt △ sin∠ = sin37° = 在 中, ,即 250,所以 ≈ 250 × 0.6 = 150(m),所以山高 = + = 150 + 1.5 = 151.5 ≈ 152(m).28.(24-25 高一下·全国·单元测试)已知 , 是两个小区的所在地, , 到一条公路 的垂直距离分别为 = 1km, = 2km, , 两地之间的距离为4km.如图所示,某移动公司将在 , 之间找一点 ,在 处建造一个信号塔,使得 对 , 的张角与 对 , 的张角相等,试确定点 到点 的距离.【解题思路】设 = km,∠ = ,则 = (4 )km,∠ = ,∠ = π 2 ,依题意用 表示出tan ,tan2 ,由二倍角的正切公式求得 ,即可求解.【解答过程】设 = km,∠ = ,则 = (4 )km,∠ = ,∠ = π 2 .1 2依题意得tan = ,tan2 = tan(π 2 ) = 4 ,2由tan2 = 2tan 2 11 tan2 得, 24 = 1 ,解得 =1 4, 1故点 到点 的距离为4km.29.(23-24 高一下·河北唐山·期中)如图所示,有一艘缉毒船正在 A 处巡逻,发现在北偏东75°方向、距离为 60 海里 处有毒贩正驾驶小船以每小时15( 3 1)海里的速度往北偏东15°的方向逃跑,缉毒船立即驾船以每小时15 6海里的速度前往缉捕.(1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕;(2)试确定缉毒船的行驶方向.【解题思路】(1)设缉毒船经过 t 小时恰好能将毒贩抓捕,可知∠ = 120°,利用余弦定理运算求解;(2)根据(1)中结果,利用正弦定理可得∠ = 45°,进而可得结果.【解答过程】(1)设缉毒船经过 t 小时恰好能将毒贩抓捕,由题意可知:∠ = 180° 75° + 15° = 120°, = 60, = 15 6 , = 15( 3 1) ,由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos∠ ,2即(15 6 ) = 6022+ 15( 3 1) 2 × 60 × 15( 3 1) × 1 ,2整理可得( 2) ( 3 + 1) + 4 = 0,解得 = 2,所以缉毒船经过 2 小时恰好能将毒贩抓捕.(2)由(1)可知:∠ = 120°, = 60, = 30 6, = 30( 3 1), sin∠ 60× 3由正弦定理sin∠ = sin∠ 可得sin∠ = 22 = = ,30 6 2且∠ 为锐角,则∠ = 45°,可得∠ = 180° 120 45° = 15°,所以缉毒船的行驶方向为北偏东75° 15° = 60°.30.(23-24 高一下·吉林·期末)如图,测量河对岸的塔高 时,可以选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测量基点 C 与 D.现测得∠ = 60°,∠ = 75°, = 60m,并在点 C 处测得塔顶 A 的仰角∠ = 30°.(1)求 B 与 D 两点间的距离;(2)求塔高 .【解题思路】(1)根据正弦定理即可得到答案;(2)首先根据正弦定理求出 ,再根据三角函数定义即可得到答案.【解答过程】(1)在 △ 中, ∵ ∠ = 60°,∠ = 75°, ∴ ∠ = 45°. 由正弦定理得sin∠ = sin∠ , = sin∠ 60× 3sin∠ =22 = 30 6(m),2(2)sin75 = sin(45 + 30 ) = sin45 cos30 + cos45 sin30 = 2 × 3 + 2 ×1 6+ 22 2 2 2= .4在 △ 中,由正弦定理得 sin∠ = sin∠ ,60× 6+ 2 = sin∠ 4sin∠ = 2 = 30 + 30 3(m),23在Rt △ 中, = tan∠ = tan30 = × 30( 3 +1) = 30 + 103 3(m).题型七 解三角形与三角函数性质的综合应用31.(2024·湖南·模拟预测)已知函数 ( ) = 2 3sin cos 2cos2 .(1)求函数 = log2 ( )的定义域和值域;(2)已知锐角 △ 的三个内角分别为 A,B + ,C,若 = 0,求 的最大值.2【解题思路】(1)先化简 ( ) π 1,然后利用真数大于 0 可得sin 2 > 2,即可求出定义域,继而求出值域;6π π π(2)先利用(1)可得 = 3,结合锐角三角形可得6 < < 2,然后利用正弦定理进行边变角即可求出答案【解答过程】(1) ( ) = 2 3sin cos 2cos2 = 3sin2 cos2 1 = 2sin 2 π 1,6所以要使 = log2 ( ) = log2 2sin 2 π 1 有意义,6π π 1只需2sin 2 1 > 0,即sin 2 > ,6 6 2π π π π所以6 +2 π < 2 6 <5π6 +2 π, ∈ Z,解得6 + π < < 2 + π, ∈ Z = log ( ) π所以函数 2 的定义域为 + π, π + π , ∈ Z,6 2由于0 < 2sin 2 + π 1 ≤ 1,所以log2 ( ) ≤ log21 = 0,6所以函数 = log2 ( )的值域为( ∞,0];(2)由于 = 2sin π 1 = 0,所以sin1 π =2 6 6 2,π π π π π π π因为0 < < 2,所以 6 < 6 < 3,所以 6 = 6即 = 3,0 < < π π π由锐角 △ 可得 20 < = 2π < π ,所以6 < < 2,3 2 + = sin +sin 2 2由正弦定理可得 sin = 3 sin + sinπ + = 3 sin + 3 cos = 3sin + cos = 2sin3 3 2 2 + π ,6π π π π 2π + 因为6 < < 2,所以3 < + 6 < 3 ,所以 3 < ≤ 2, + 所以 的最大值为 2.32.(23-24 高一下·广东清远·期中)已知函数 ( ) = sin ( > 0).(1)当 = 23时,求函数 ( )的最小正周期以及它的图象相邻两条对称轴的距离;(2)设 = 2,在 △ A 2中, ,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 ( ) = 3sin , = 2,求 △ 面积的最大值.2π【解题思路】(1)利用 = | |求出最小正周期,并求出图象相邻两条对称轴距离;(2)由正弦二倍角公式得到cos = 1 2 + 2 = 2 3,由余弦定理求出 3 +4,由基本不等式求出 ≤ 3,从而得到面积最大值.2 2π【解答过程】(1) ( ) = sin3 的最小正周期为 = 2 = 3π,31 3它的图象相邻两条对称轴的距离为2 = 2π;(2)由题意得sin2 = 23sin ,即2sin cos =23sin ,因为 ∈ (0,π),所以sin > 0,故cos =13, 2+ 2 4由余弦定理得 2 =13,即 2 + 2 = 2 3 +4,由基本不等式得 2 + 2 ≥ 2 ,当且仅当 = 时,等号成立,2 故 3 +4 ≥ 2 ,解得 ≤ 3,其中sin = 1 cos2 = 2 2,31故 △ 面积2 sin ≤32 ×2 2 = ,3 2故 △ 面积的最大值为 2.33.(23-24 高二下·浙江温州·期末)已知函数 ( ) = 2sin cos + 3cos2 .(Ⅰ)求函数 ( )的最小正周期及单调递增区间;(Ⅱ)在锐角 △ 中,设角 、 、 所对的边分别是 、 、 ,若 ( ) = 0且 = 3,求 + 的取值范围. 【解题思路】(Ⅰ)化简函数 ( ) = 2sin 2 + ,结合三角函数的图象与性质,即可求解;3 (Ⅱ)由(1)及 ( ) = 0,求得 = 3,根据正弦定理得到 = 2 3sin , = 2 3sin ,得到 + = 2 3(sin + sin ) = 6sin + ,结合6 < < 2,即可求解.6【解答过程】(Ⅰ)由题意,函数 ( ) = 2sin cos + 3cos2 = sin2 + 3cos2 = 2sin 2 + ,32 所以函数 ( )的最小正周期为 = 2 = , 令2 2 ≤ 2 + 3 ≤ 2 + , ∈ 5 2 ,解得 12 ≤ ≤ + 12, ∈ ,5 所以函数的单调递增区间是 , + , ∈ .12 12 (Ⅱ)由(1)可得 ( ) = 2sin 2 + = 0 ,因为 ∈ 0, ,可得 = ,3 2 3 = 3由正弦定理可知sin sin = sin = 3 = 2 3,所以 = 2 3sin , = 2 3sin ,20 < < 由 = 3及 △ 为锐角三角形20 < 2 < ,解得6 < < 2,3 2则 + = 2 3(sin + sin ) = 2 3[sin + sin( + )]= 2 3 sin + 1 sin + 3 cos = 2 3 3sin + = 6sin + .2 2 6 6 2 3 因为6 < < 2,可得3 < + 6 < 3 ,所以 < sin + ≤ 1,2 6 所以 + = 6sin + ∈ (3 3,6].634.(23-24 高一下·四川巴中·期末)已知函数 ( ) = 2sin( + ) > 0, < < 的部分图象如图所示.2 2(1)求函数 ( )的解析式;(2)在锐角 △ 3 3中,角 , , 所对的边分别为 , , ,若 ( ) = 3, = 2,且 △ 的面积为 ,2求 .【解题思路】(1)根据图形求出最小正周期可求得 = 2 5 ,代入点 ,2 可求得 ;12 (2)根据 ( ) = 3求得 = 3,根据面积求出c,即可由余弦定理求得a.3 5 3 【解答过程】解:(1)据图象可得 4 = 12 = 4 ,故 = ,3由 = 2 = 得: = 2.5 5 5 由 = 2sin 2 × + = 2得:sin + = 1.12 12 6 5 4 由 2 < < 2知,3 < 6 + < 3 ,∴ 5 6 + = 2,解得 = 3,∴ ( ) = 2sin 2 ;3(2) ∵ ( ) = 2sin 2 = 3, ∴ sin 2 = 3,3 3 2 ∵ ∈ (0,2),2 3 ∈ , 2 ,3 3 ∴ 2 3 = 3, ∴ = 3, △ 1 × 2 × × sin = 3 3由题意得 的面积为2 3 ,解得 = 3,2 由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 22 + 32 2 × 2 × 3cos3 = 7,解得: = 7.35.(23-24 高一下·湖北武汉·期中)已知函数 ( ) = sin( + ) > 0,0 < < 6,| | < π 的最大值是 4,2π 7π函数 ( )图象的一条对称轴是 = 3,一个对称中心是 ,0 .12(1)求 ( )的解析式;(2)已知 △ 中, 是锐角,且 = 2, 边长为 3,求 △ 的面积的最大值.2【解题思路】(1)根据三角函数性质可确定解析式;(2)根据余弦定理,基本不等式可得面积最大值.【解答过程】(1)设 ( )的最小正周期为 ,π∵ ( ) 7π图象的一条对称轴是 = 3,一个对称中心是 ,3 ,12π∴7π12 3 = 4 × (2 1), ∈ N ,π∴ = 2 1, ∈ N ,解得 = 4 2, ∈ N ,∵0 < < 6,则 = 2,π∵ ( )图象的一条对称轴为 = 3,∴2ππ π3 + = 2 + π, ∈ Z, = 6 + π, ∈ Z,π π∵| | < 2,∴ = 6,又∵ ( )的最大值是 4,∴ = 4,则 ( ) = 4sin 2 π .6 (2)∵ = 2,∴4sin π = 2,2 6π π π π又 ∈ 0, ,∴ 2 6= 6,即 = 3,在 △ 中, 2 = 2 + 2 2 cos ≥ 2 = ,当且仅当 = = 3时取等号,则 ≤ 9,1 1 3 9 3则 △ 的面积为2 sin ≤ 2 × 9 × = ,2 4△ 9 3所以 的面积的最大值为 .4专题 6.8 解三角形的综合应用大题专项训练【七大题型】【人教 A 版(2019)】姓名:___________班级:___________考号:___________题型一 正、余弦定理判定三角形形状1.(23-24 高一下·北京通州·期末)在△ 中,角 , , 所对的边为 , , ,△ 的面积为 S,且 = 2+ 2 24 .(1)求角 ;(2)若 = 2 cos ,试判断△ 的形状,并说明理由.2.(2025 高一·全国·专题练习)已知 △ 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 = (cos cos ).判断 △ 的形状.3.(23-24 高一下·江苏宿迁·阶段练习)已知 △ 的三个内角 , , 所对的边分别为 , , ,( + + )( + ) = 3 .(1)求角 的大小;(2)若 + = 2 ,试判断 △ 的形状.4.(24-25 高一·上海·假期作业)(1)在 △ 中,若( cos )sin = ( cos )sin ,判断 △ 的形状;(2)在 △ 中,若 =60 , 2 = ,判断 △ 的形状;(3)在 △ 中,若lgsin lgcos lgsin = lg2,判断 △ 的形状.5.(24-25 高一下·北京·阶段练习)在 △ 中,2sin22 + cos( + ) = 0.(1)求∠ 的大小;(2)若 = 2 ,求证: △ 为直角三角形.题型二 几何图形中的计算用向量证明线段垂直6.(24-25 高一下·重用向庆量证·阶明线段段垂练直习)如图,已知在平面四边形 中,∠ =45°, = 3, = 2.(1)若该四边形 存在外接圆,且 = 2,求 ;(2)若∠ = ∠ = 60°,求 .7.(2024·全国·模拟预测)如图,四边形 为梯形, // , = 2 = 6 2,tan = 2,cos∠ =213.(1)求cos∠ 的值;(2)求 的长.8.(2024 高一下·山东临沂·期中)如图,在平面四边形 中, ⊥ , = 1, = 3,∠ =2π 213 ,cos∠ = .7(1)求∠ 的值;(2)求 的长.9.(23-24 高一下·河南开封·期中)已知四边形 是由 △ 与 △ 拼接而成,如图所示,π∠ = ∠ = 5π3,∠ = 6 .(1)求证: < 3 ;(2)若 = 1, = 2,求 的长.10.(23-24 高一下·河北衡水·期末)如图所示,在平面四边形 ABCD 中,∠ = 150°,∠ = 60°, = 3, = 1, = 7.(1)求 BD 的长;(2)若 AC 与 BD 交于点 O,求 △ 的面积.题型三证明三角形中的恒等式或不等式11.(23-24 高二下·湖北咸宁·期末)在 △ 中,角 , , 的对边为 , , ,已知 = 2 ,且 ≠ .(1)若2 = 3 ,求sin ; (2) + 证明: = ;12.(23-24 高一下·安徽·期中)已知锐角 △ , , , 分别为角 , , 的对边,若 2 + 2 2 = 2 (1 + cos ).(1)求证: = 2 ;(2) 求 的取值范围.13.(23-24 高一下·江苏连云港·期末)在 △ 中,AD 是 △ 的角平分线,AE 是边 BC 上的中线,点D、E 在边 BC 上.(1) 用正弦定理证明 = ;(2)若 = 4, = 3,∠ = 60°,求 DE 的长.14.(2024·全国·模拟预测)在 △ 中,点 D,E 都是边 BC 上且与 B,C 不重合的点,且点 D 在 B,E之间, = .(1)求证:sin∠ = sin∠ . 2 2(2)若 ⊥ 2,求证: 2 + 2 = 1 sin∠ .15.(23-24 高一下·浙江宁波·期末)在 △ 中,内角 , 都是锐角.π(1)若∠ = 3, = 2,求 △ 周长的取值范围;(2)若sin2 + sin2 > sin2 ,求证:sin2 + sin2 > 1.题型四 求三角形面积的最值或范围16.(23-24 高一下·浙江·阶段练习)在 △ 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若sin sin sin2 = sin2 sin2 .(1)求角 ;(2)若点 M 在边上 BC 满足 = 2 ,且 = 2,求 △ 面积的最大值.17.(23-24 高一下·甘肃·期中)已知 , , 分别为 △ 三个内角 A, , 的对边, cos + 3 sin = 0.(1)求证:2 = + ;(2)若 △ 为锐角三角形,且 2 + 2 = 2 +2 ,求 △ 面积的取值范围.18.(23-24 高一下·天津·期中) △ 的内角 , , 的对边分别为 , , ,已知 = 1.π(1)若 = 3, △ 的周长等于 3,求 , ;(2) △ + 若 为锐角三角形,且sin 2 = sin( + );①求 ;②求 △ 面积的取值范围.19.(24-25 高三上·湖南·阶段练习)如图,在平面四边形 中, ⊥ , = = 2,∠ = ,120 ≤ <180 .(1)若 = 120 , = 6,求∠ 的大小;(2)若2 sin 2 = 3 ,求四边形 面积的最大值.20.(24-25 高二下·辽宁本溪·开学考试)在①( )sin( + ) = ( )(sin + sin );②2 = 3 ;③ cos = 3 sin ;这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答问题(其中 S 为 △ 的面3积).问题:在 △ 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且______.(1)求角 B 的大小;(2)AC 边上的中线 = 2,求 △ 的面积的最大值.题型五 求三角形中的边长或周长的最值或范围21.(23-24 高一下·广东惠州·期中)已知 △ 的内角 , , 所对的边分别是 , , ,( + )(sin sin ) =( )sin .(1)求角 ;(2)若 △ 外接圆的直径为2 3,求 △ 周长的取值范围.22.(23-24 高一下·江苏盐城·阶段练习)已知锐角 △ 的内角 A,B,C 所对的边分别为 , , ,向量 = (sin ,cos ), = (2sin cos , sin ),且 ⊥ .(1)求角 C 的值;(2)若 = 4,求 + 的取值范围. cos +123.(23-24 高一下·广东惠州·期中)在① = 2 sin = tan sin + sin = sin3sin ,② ,③( ) ( + ) ,这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答.已知 △ 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若__________.(1)求角 B;(2)若 + = 4,求 △ 周长的最小值.24.(23-24 高一下·辽宁·期中)在 △ 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, = 2 3,(sin sin )(2 3 + ) = ( )sin .(1)求角 B 的大小;(2) 1若 > ,求 2 + 2 2的取值范围.25.(23-24 高一下·北京大兴·期末)记 △ 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin = 3 cos .(1)求∠ ;(2)若 = 3.(i)再从条件①,条件②,条件③中选择一个条件作为已知,使其能够确定唯一的三角形,并求 △ 的面积.1条件①: = 6;条件②: = 2 ;条件③:sin = 3.(ii)求 △ 周长的取值范围.题型六 距离、高度、角度测量问题26.(24-25 高一下·全国·课后作业)如图, , , , 都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面), , 为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于 处测得点 和点 的仰角分别为75°,30°,于 处测得点 和点 的仰角均为60°, = 1km,求点 , 间的距离(提示:sin15° = 6 2).427.(24-25 高一下·全国·课后作业)目前,中国已经建成全球最大的 5G 网络,无论是大山深处还是广袤平原,处处都能见到 5G 基站的身影.如图,某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座 5G 基站 ,已知基站高 = 50m,该同学眼高1.5m(眼睛到地面的距离),该同学在初始位置 处(眼睛所在位置)测得基站底部 的仰角为37°,测得基站顶端 的仰角为45°,求出山高 (结果保留整数).(参考数据:sin8° ≈ 0.14,sin37° ≈ 0.6,sin45° ≈ 0.7,sin127° ≈ 0.8, 2 ≈ 1.4)28.(24-25 高一下·全国·单元测试)已知 , 是两个小区的所在地, , 到一条公路 的垂直距离分别为 = 1km, = 2km, , 两地之间的距离为4km.如图所示,某移动公司将在 , 之间找一点 ,在 处建造一个信号塔,使得 对 , 的张角与 对 , 的张角相等,试确定点 到点 的距离.29.(23-24 高一下·河北唐山·期中)如图所示,有一艘缉毒船正在 A 处巡逻,发现在北偏东75°方向、距离为 60 海里 处有毒贩正驾驶小船以每小时15( 3 1)海里的速度往北偏东15°的方向逃跑,缉毒船立即驾船以每小时15 6海里的速度前往缉捕.(1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕;(2)试确定缉毒船的行驶方向.30.(23-24 高一下·吉林·期末)如图,测量河对岸的塔高 时,可以选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测量基点 C 与 D.现测得∠ = 60°,∠ = 75°, = 60m,并在点 C 处测得塔顶 A 的仰角∠ = 30°.(1)求 B 与 D 两点间的距离;(2)求塔高 .题型七 解三角形与三角函数性质的综合应用31.(2024·湖南·模拟预测)已知函数 ( ) = 2 3sin cos 2cos2 .(1)求函数 = log2 ( )的定义域和值域;(2)已知锐角 △ + 的三个内角分别为 A,B,C,若 = 0,求 的最大值.2 32.(23-24 高一下·广东清远·期中)已知函数 ( ) = sin ( > 0).(1)当 = 23时,求函数 ( )的最小正周期以及它的图象相邻两条对称轴的距离;(2)设 = 2,在 △ 2中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 ( ) = 3sin , = 2,求 △ 面积的最大值.33.(23-24 高二下·浙江温州·期末)已知函数 ( ) = 2sin cos + 3cos2 .(Ⅰ)求函数 ( )的最小正周期及单调递增区间;(Ⅱ)在锐角 △ 中,设角 、 、 所对的边分别是 、 、 ,若 ( ) = 0且 = 3,求 + 的取值范围.34.(23-24 高一下·四川巴中·期末)已知函数 ( ) = 2sin( + ) > 0, < < 的部分图象如图所示.2 2(1)求函数 ( )的解析式;2 3 3( )在锐角 △ 中,角 , , 所对的边分别为 , , ,若 ( ) = 3, = 2,且 △ 的面积为 ,2求 .35.(23-24 高一下·湖北武汉·期中)已知函数 ( ) = sin( + ) > 0,0 < < 6,| | < π 的最大值是 4,2π ( ) 7π函数 图象的一条对称轴是 = 3,一个对称中心是 ,0 .12(1)求 ( )的解析式;(2) 已知 △ 中, 是锐角,且 = 2, 边长为 3,求 △ 的面积的最大值.2 展开更多...... 收起↑ 资源列表 专题6.8 解三角形的综合应用大题专项训练【七大题型】(举一反三)(原卷版)2024-2025学年高一数学举一反三系列(人教A版2019必修第二册).pdf 专题6.8 解三角形的综合应用大题专项训练【七大题型】(举一反三)(解析版)2024-2025学年高一数学举一反三系列(人教A版2019必修第二册).pdf