资源简介 专题 7.7 复数中必考六类含参问题【人教 A 版(2019)】【类型 1 已知复数的类型求参数】 ........................................................................................................................2【类型 2 根据复数的相等条件求参数】 ................................................................................................................3【类型 3 由复数的模求参数】 ................................................................................................................................4【类型 4 根据复数的几何意义求参数】 ................................................................................................................5【类型 5 根据复数的四则运算结果求参数】 ........................................................................................................6【类型 6 根据复数范围内方程的根求参数】 ........................................................................................................6【知识点 1 复数中的含参问题及其解题策略】1.复数中的含参问题复数中常考的含参问题有以下几种:(1)已知复数的类型求参数;(2)根据复数的相等条件求参数;(3)由复数的模求参数;(4)根据复数的几何意义求参数;(5)根据复数的四则运算求参数;(6)根据复数范围内的方程求参数.2.复数的概念有关含参问题的解题策略(1)复数的类型含参问题:复数 z=a+bi(a,b∈R),其中 a,b 分别是它的实部和虚部.若 z 为实数,则虚部b=0,与实部 a 无关;若 z 为虚数,则虚部 b≠0,与实部 a 无关;若 z 为纯虚数,当且仅当 a=0 且 b≠0.(2)复数相等含参问题:根据复数相等的条件,列式进行求解即可.(3)复数的模含参问题:复数 z=a+bi(a,b∈R)的模记作 或 ,即 ,结合条件,列式求解即可.3.复数的几何意义有关含参问题的解题策略由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此解题时可运用数形结合的方法,把复数、向量与解析几何联系在一起,使问题的解决更加直观.4.复数的运算有关含参问题的解题策略(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算;(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.5.复数的方程有关含参问题的解题策略(1)对实系数二次方程来说,求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化,仍然适用.(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程,判别式判断根的功能失去了,其他仍适用.【类型 1 已知复数的类型求参数】1.(23-24 高一下·天津滨海新·期末)若复数 = + 2 + ( 1)i(i是虚数单位)是纯虚数,则实数 =( )A. 2 B.0 C.1 D.22.(23-24 高一下·广东清远·期中)已知复数 = ( 1) + ( + 3)i,其中 i 为虚数单位.若复数 z 为实数,则 m 的值为( )A. = 1 B. = 1 C. = 3 D. = 33.(2024·吉林·三模)已知复数 1 = 2 1 + ( + 1)i, 2 = cos2 + isin ,下列说法正确的是( )A.若 1纯虚数,则 = 1B.若 2为实数,则 = π, ∈ ZC.若 1 = 42,则 = 0或 = 3D.若 1 ≥ 0,则 m 的取值范围是( ∞, 1] ∪ [1, + ∞)4.(23-24 高一下·青海西宁·期末)若复数 = 2 2 ( + 1)i( ∈ ,i为虚数单位)为纯虚数,则 的值为 .5.(2025 高一·全国·专题练习)当实数 取什么值时,复数 = ( 2 + 5 + 6) + ( 2 2 8)i是下列数?(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)0.6.(23-24 高一下·安徽·阶段练习)复数 = 2 6 7 + ( 2 4 21)i,其中 ∈ .(1)若复数 z 为实数,求 a 的值;(2)若复数 z 为虚数,求 a 的取值范围;(3)若复数 z 为纯虚数,求 a 的值【类型 2 根据复数的相等条件求参数】7.(23-24 高一下·福建漳州·期末)已知复数(1 + i)i = 2 i, , ∈ R,则 = ( )A.3 B.1 C. 1 D. 38.(23-24 高一下·山西阳泉·期末)已知复数 1 = + (4 2)i, 2 = 2cos + ( + 3sin )i,( , , ∈ ),且 1 = 2,则 的取值范围是( )A. 9 ,1 B. 9 ,716 16C 9. , + ∞ D.[1,7]169.(23-24 高一下·江苏扬州·期中)下列命题中,错误的是( )A.若 1, 2 ∈ C,且 1 2 < 0,则 1 < 2B.若 + i=1+i( , ∈ C),则 = = 1C.若 = + i( , ∈ ),则当且仅当 = 0且 = 0时, = 0D.若 1, 2 ∈ ,且 21 + 22 = 0,则 1 = 2 = 010.(23-24 高一下·西藏拉萨·期末)已知 , ∈ R,i 为虚数单位,且( + 2) + i = 1 + i,则 + = .11.(24-25 高一·上海·课堂例题)已知(2 2 5 + 2) + 2 + 2 i = 0,其中 、 ∈ .求 x、y 的值.12.(24-25 高一·全国·课后作业)求满足下列条件的实数 x,y 的值:(1) 1 + 4 + 2 i = 5 + 14i;2 3(2)( + ) i = 2 + 15i;(3)( 2 2) + 2 2 + 5 + 2 i = 0.【类型 3 由复数的模求参数】13.(2024·河南·一模)若| i| = |1 2i|,则实数 = ( )A.1 B.2 C.3 D.414.(23-24 高一下·河南南阳·期末)已知 , ∈ ,复数 1 = + 3i, 2 = 1 +4 i,且 2为纯虚数,| 2|= 1,则 + = ( )A.0 B.0 或-2 C.1 D.1 或-215.(2024 高一下·全国·专题练习)(多选)已知复数 = ( 3) + ( 1)i的模等于 2,则实数 m 的值可以为( )A.1 B.2 C.3 D.416.(23-24 高一下·广东湛江·期末)已知复数 1 = + i, 2 = 4 + i , ∈ ,若| 1| < 2,则 的取值范围是 .17.(23-24 高一下·河南南阳·期末)已知复数 = ( 2 + 6) + ( 2 + 2)i( ∈ )在复平面内所对应的点为 A.(1)若点 A 在第二象限,求实数 m 的取值范围;(2)求| |的最小值及此时实数 m 的值.18.(23-24 高一下·山东聊城·期中)已知 1 = + 2i, 2 = 3 4i( ∈ R,i为虚数单位).(1)若 1 2是纯虚数,求实数 的值;(2)若 1 2在复平面上对应的点在第二象限,且| 1| ≤ 13,求实数 的取值范围.【类型 4 根据复数的几何意义求参数】19.(23-24 高一下·云南曲靖·期中)复数 = (2 ) + ( 1)i在复平面内对应的点在第二象限,则实数 的取值范围是( )A.(2, + ∞) B.(0, + ∞) C.( ∞,1) D.( 1, + ∞)20.(23-24 高一下·四川成都·期中)复平面内表示复数 = ( 2 8 + 15) + ( 2 5 14)i的点位于四象限时,实数 的取值范围是( )A.( 2,7) B.( 2,3) ∪ (5,7) C.(3,5) D.(5,7)21.(23-24 高一下·山东青岛·期末)已知复平面内表示复数: = + 1 + ( 1)i( ∈ R)的点为 ,则下列结论中正确的为( )A.若 ∈ R,则 ≠ 1 B.若 在直线 = 2 上,则 = 3C.若 为纯虚数,则 = 1 D.若 在第四象限,则 1< <122.(23-24 高一下·山东临沂·期中)若复数 = ( 2 + 6) + ( 2 4 + 3)i(其中i为虚数单位),当 对应的点在第三象限时,则实数 的取值范围为 .23.(24-25 高一·上海·课堂例题)求实数 m 的值或取值范围,使得复数 = ( 2 8 + 15) + ( 2 5 14)i在复平面上所对应的点 分别位于(1)实轴上;(2)虚轴上;(3)第四象限.24.(23-24 高一下·江苏苏州·期中)复数平面内表示复数 = ( 2 8 + 15) + ( 2 5 14)i的点分别满足下列条件:(1)位于第四象限;(2)位于第一象限或第三象限;(3)位于直线 = 上.求实数 的取值范围.【类型 5 根据复数的四则运算结果求参数】25.(23-24 高一下·河南郑州·阶段练习)复数 1 = + 3i, 2 = 4 + i, , 为实数,若 1 + 2为实数, 1 2为纯虚数,则 + = ( )A. 7 B.7 C. 1 D.126.(24-25 高二下·四川绵阳·阶段练习)已知i为虚数单位,若复数 = i2 i的实部与虚部相等,则实数 的值为( )A.-3 B.-1 C.1 D.327.(2024·福建漳州·一模)若(1 + i) + i = 4i, , ∈ ,则( )A. = 1 B. = 4 C. = 4 D. = 028.(2024· · 3 2i湖南 模拟预测)已知i是复数的虚数单位,且 i = + i ( , ∈ R),则 + 的值为 .29.(24-25 高一·上海·课堂例题)已知复数 1 = ( 2 + 2) + ( 2 1)i, 2 = ( 6) + ( 2 + )i,其中 ∈ .若 1 + 2 = 2 + i,求 的值.30.(23-24 高一下·湖北咸宁·期末)已知复数 = 2 + 2 + ( 1)i( ∈ R),其中i为虚数单位.(1)若 是纯虚数,求实数 的值; +i(2)若 = 2,设 i = + i( , ∈ ),试求 + 的值.【类型 6 根据复数范围内方程的根求参数】31.(24-25 高三上·江西赣州·阶段练习)已知2 i(i是虚数单位)是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根,则 + = ( )A.9 B.1 C.-7 D.2i 532.(23-24 高一下·上海黄浦·期末)已知2 + i(i 是虚数单位)是实系数一元二次方程 2 + + = 0的一个根,那么 p,q 的值分别是( )A. = 4, = 5 B. = 4, = 3C. = 4, = 5 D. = 4, = 333.(2024·浙江温州·三模)已知 1, 2是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的两个根,其中 1 = 1 + i,则( )A. 1 = 22 B. 1 = 22 C. = 2 D. = 234.(23-24 高一下·福建漳州·期末)复数1 + 2i是方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根,则 + = .35.(23-24 高一下·上海·期末)已知关于 的实系数一元二次方程 2 2 + = 0.(1)若方程有一个根1 + 2i(i是虚数单位),求 的值;(2)若方程有两虚根 1, 2,且| 1 2| = 3,求 的值.36.(24-25 高一上·上海·课堂例题)已知关于 x 的方程 2 + + = 0( ∈ R)的两根为 、 ,求实数 m的值.(1)若| | = 3,求 m 的值;(2)若| | + | | = 3,求 m 的值.专题 7.7 复数中必考六类含参问题【人教 A 版(2019)】【类型 1 已知复数的类型求参数】 ........................................................................................................................2【类型 2 根据复数的相等条件求参数】 ................................................................................................................4【类型 3 由复数的模求参数】 ................................................................................................................................6【类型 4 根据复数的几何意义求参数】 ................................................................................................................8【类型 5 根据复数的四则运算结果求参数】 ......................................................................................................10【类型 6 根据复数范围内方程的根求参数】 ......................................................................................................12【知识点 1 复数中的含参问题及其解题策略】1.复数中的含参问题复数中常考的含参问题有以下几种:(1)已知复数的类型求参数;(2)根据复数的相等条件求参数;(3)由复数的模求参数;(4)根据复数的几何意义求参数;(5)根据复数的四则运算求参数;(6)根据复数范围内的方程求参数.2.复数的概念有关含参问题的解题策略(1)复数的类型含参问题:复数 z=a+bi(a,b∈R),其中 a,b 分别是它的实部和虚部.若 z 为实数,则虚部b=0,与实部 a 无关;若 z 为虚数,则虚部 b≠0,与实部 a 无关;若 z 为纯虚数,当且仅当 a=0 且 b≠0.(2)复数相等含参问题:根据复数相等的条件,列式进行求解即可.(3)复数的模含参问题:复数 z=a+bi(a,b∈R)的模记作 或 ,即 ,结合条件,列式求解即可.3.复数的几何意义有关含参问题的解题策略由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此解题时可运用数形结合的方法,把复数、向量与解析几何联系在一起,使问题的解决更加直观.4.复数的运算有关含参问题的解题策略(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算;(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.5.复数的方程有关含参问题的解题策略(1)对实系数二次方程来说,求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化,仍然适用.(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程,判别式判断根的功能失去了,其他仍适用.【类型 1 已知复数的类型求参数】1.(23-24 高一下·天津滨海新·期末)若复数 = + 2 + ( 1)i(i是虚数单位)是纯虚数,则实数 =( )A. 2 B.0 C.1 D.2【解题思路】根据复数的类型可得答案.【解答过程】若复数 = + 2 + ( 1)i(i是虚数单位)是纯虚数, + 2 = 0则 1 ≠ 0 ,解得 = 2.故选:A.2.(23-24 高一下·广东清远·期中)已知复数 = ( 1) + ( + 3)i,其中 i 为虚数单位.若复数 z 为实数,则 m 的值为( )A. = 1 B. = 1 C. = 3 D. = 3【解题思路】根据复数的概念可得方程,进而即得.【解答过程】因为复数 = ( 1) + ( + 3)i,复数 z 为实数,则 + 3 = 0,解得 = 3.故选:D.3.(2024·吉林·三模)已知复数 1 = 2 1 + ( + 1)i, 2 = cos2 + isin ,下列说法正确的是( )A.若 1纯虚数,则 = 1B.若 2为实数,则 = π, ∈ ZC 4.若 1 = 2,则 = 0或 = 3D.若 1 ≥ 0,则 m 的取值范围是( ∞, 1] ∪ [1, + ∞)【解题思路】根据复数的相关概念,列出相应的等式或方程,求得参数,即可判断答案.2【解答过程】对于 A,复数 1 = 2 1 + ( + 1)i 1 = 0是纯虚数,则 + 1 ≠ 0 , ∴ = 1,A 正确;对于 B,若 2 = cos2 + isin 为实数,则sin = 0,则 = π, ∈ Z,B 正确; 2C = 1 = cos2 对于 ,若 ,则 ,则 21 2 + 1 = sin 1 = 1 2( + 1)2,解得 = 0或 = 43,C 正确;对于 D,若 1 ≥ 0,则 2 1 ≥ 0,且 + 1 = 0,则 = 1,D 错误,故选:ABC.4.(23-24 高一下·青海西宁·期末)若复数 = 2 2 ( + 1)i( ∈ ,i为虚数单位)为纯虚数,则 的值为 2 .【解题思路】根据纯虚数的定义即可求解. 2 2 = 0【解答过程】由 是纯虚数,有 ( + 1) ≠ 0 ,解得 = 2.故答案为:2.5.(2025 高一·全国·专题练习)当实数 取什么值时,复数 = ( 2 + 5 + 6) + ( 2 2 8)i是下列数?(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)0.【解题思路】(1)首先得到复数的实部与虚部,根据虚部为0时复数为实数,求出参数的值;(2)虚部不为0时复数为虚数,求出参数的值;(3)实部为0且虚部不为0时复数为纯虚数,求出参数的值;(3)实部为0且虚部为0时复数为0,求出参数的值;【解答过程】(1)复数 = ( 2 + 5 + 6) + ( 2 2 8)i ( ∈ R)的实部为 2 +5 + 6,虚部为 2 2 8,若 2 2 8 = 0,解得 = 4或 = 2,所以当 = 4或 = 2时复数 为实数;(2)若 2 2 8 ≠ 0,解得 ≠ 4且 ≠ 2,所以当 ≠ 4且 ≠ 2时复数 为虚数;23 + 5 + 6 = 0( )若 2 2 8 ≠ 0 ,解得 = 3,所以当 = 3时复数 为纯虚数;24 + 5 + 6 = 0( )若 2 2 8 = 0 ,解得 = 2,所以当 = 2时复数 为0.6.(23-24 高一下·安徽·阶段练习)复数 = 2 6 7 + ( 2 4 21)i,其中 ∈ .(1)若复数 z 为实数,求 a 的值;(2)若复数 z 为虚数,求 a 的取值范围;(3)若复数 z 为纯虚数,求 a 的值【解题思路】(1)由已知可得 2 4 21 = 0,计算即可;(2)由已知可得 2 4 21 ≠ 0,计算即可; 23 6 7 = 0( )由已知可得 2 4 21 ≠ 0 ,计算即可.【解答过程】(1)由复数 z 为实数,得 2 4 21 = 0,解得 = 7或 = 3(2)由复数 z 为虚数,得 2 4 21 ≠ 0,解得 ≠ 7且 ≠ 32(3 6 7 = 0)由复数 z 为纯虚数,得 2 4 21 ≠ 0解得 = 1.【类型 2 根据复数的相等条件求参数】7.(23-24 高一下·福建漳州·期末)已知复数(1 + i)i = 2 i, , ∈ R,则 = ( )A.3 B.1 C. 1 D. 3【解题思路】利用复数相等的充要条件,求出 、 ,进而求出 .【解答过程】 ∵ (1 + i)i = 2 i, ∴ + i = 2 i,∴ = 2 = 1 , ∴ = 1.故选:C.8.(23-24 高一下·山西阳泉·期末)已知复数 1 = + (4 2)i, 2 = 2cos + ( + 3sin )i,( , , ∈ ),且 1 = 2,则 的取值范围是( )A 9. ,1 B 9. ,716 16C. 9 , + ∞ D.[1,7]163 2 9【解题思路】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得 = 4 sin 8 16,再根据正弦函数的取值范围与二次函数的性质可得 的取值范围.【解答过程】复数 1 = + (4 2)i, 2 = 2cos + ( + 3sin )i,( , , ∈ ),且 1 = 2, = 2cos 3 2 9所以 2 24 2 = + 3sin ,则 = 4 4cos 3sin = 4sin 3sin = 4 sin 8 163 9因为 ∈ ,所以sin ∈ [ 1,1],当sin = 8时, min = 16,当 = 1时, max = 7所以 9的取值范围是 ,7 .16故选:B.9.(23-24 高一下·江苏扬州·期中)下列命题中,错误的是( )A.若 1, 2 ∈ C,且 1 2 < 0,则 1 < 2B.若 + i=1+i( , ∈ C),则 = = 1C.若 = + i( , ∈ ),则当且仅当 = 0且 = 0时, = 0D.若 2 21, 2 ∈ ,且 1 + 2 = 0,则 1 = 2 = 0【解题思路】根据复数的定义,结合举例,判断选项.【解答过程】A.设 1 = 1 + i, 2 = 2 + i,满足 1 2 < 0,但 1, 2不能比较大小,故错误;B.因为 , ∈ ,所以不能判断 = = 1,比如: = i, = i,故错误;C. 当且仅当 = 0且 = 0时, = 0,故正确;D.当 = 1, = i,满足 2 + 21 2 1 2 = 0,故错误.故选:ABD.10.(23-24 高一下·西藏拉萨·期末)已知 , ∈ R,i 为虚数单位,且( + 2) + i = 1 + i,则 + = 0 .【解题思路】利用复数相等列方程组求解.【解答过程】因为( + 2) + i = 1 + i + 2 = 1,则 = 1 + = 0,故答案为:0.11.(24-25 高一·上海·课堂例题)已知(2 2 5 + 2) + 2 + 2 i = 0,其中 、 ∈ .求 x、y 的值.【解题思路】利用复数的相等列出方程组,求解即可.【解答过程】解: ∵ (2 2 5 + 2) + ( 2 + 2)i = 0,∴ 2 2 5 + 2 = 0且 2 + 2 = 0,1解得: = 2或 = 2且 = 2或 = 1,∴ = 2 = 2 =1 = 1 = 2 或 = 1 或 2 或 2 . = 2 = 112.(24-25 高一·全国·课后作业)求满足下列条件的实数 x,y 的值:(1) 1 + 4 + 2 i = 5 + 14i;2 3(2)( + ) i = 2 + 15i;(3)( 2 2) + 2 2 + 5 + 2 i = 0.【解题思路】(1)(2)根据实部与虚部对应关系解方程即可;(3)令实部为 0 且虚部为 0 解方程即可. 1 2 = 5【解答过程】(1)由 + 4 + i = 5 + 14i 2 = 4可得 2 2 3 4 + = 14 ,解得 = 3 ;32 ( + ) i = 2 + 15i + = 2 = 5 = 3( )由 可得 = 15 ,解得 = 3 或 = 52(3)由( 2 2) + 2 2 + 5 + 2 i = 0 2 = 01可得 2 2 + 5 + 2 = 0 ,解得 = 2或 1, = 2或 2,故答案为: = 2 = 2 = 11 = 1 = 或 = 2 或 = 1 或 = 2 .2 2【类型 3 由复数的模求参数】13.(2024·河南·一模)若| i| = |1 2i|,则实数 = ( )A.1 B.2 C.3 D.4【解题思路】根据复数的模即可得到方程,解出即可.【解答过程】因为| i| = |1 2i|,所以( )2 + 12 = 12 + ( 2)2,所以 = 4.故选:D.14.(23-24 高一下·河南南阳·期末)已知 , ∈ ,复数 1 = + 3i, 2 = 1 +4 i,且 2为纯虚数,| 2|= 1,则 + = ( )A.0 B.0 或-2 C.1 D.1 或-2【解题思路】先表示出 2,再根据 2为纯虚数,| 2| = 1可建立方程求出 , 即可得出答案.【解答过程】因为 1 = + 3i,所以 2 = 1 +4 i = + 3i +4 i = ( + 4) + (3 )i, + 4 = 0因为 2为纯虚数,| 2| = 1,所以 3 ≠ 0 = 4 = 4,解得 或 ,( + 4)2 + (3 )2 = 1 = 2 = 4所以 + = 2或 0.故选:B.15.(2024 高一下·全国·专题练习)(多选)已知复数 = ( 3) + ( 1)i的模等于 2,则实数 m 的值可以为( )A.1 B.2 C.3 D.4【解题思路】运用复数的模长公式直接求解【解答过程】依题意可得 ( 3)2 + ( 1)2 = 2,解得 m=1 或 m=3.故选:AC.16.(23-24 高一下·广东湛江·期末)已知复数 1 = + i, 2 = 4 + i , ∈ ,若| 1| < 2,则 的取值范围是 ( 4,4) .【解题思路】复数本身没有大小,但其模长有大小,根据题意可得 2为实数,又模长的计算公式解不等式即可得答案.【解答过程】因为| 1| < 2,所以 2为实数,故 = 0,又 2 + 2 < 4,即| | < 4,所以 4 < < 4,则 的取值范围是( 4,4).故答案为:( 4,4).17.(23-24 高一下·河南南阳·期末)已知复数 = ( 2 + 6) + ( 2 + 2)i( ∈ )在复平面内所对应的点为 A.(1)若点 A 在第二象限,求实数 m 的取值范围;(2)求| |的最小值及此时实数 m 的值.【解题思路】(1)由点 A 在第二象限,列出不等式组求解即可;(2)由模的公式得| |2 = ( 2 + 6)2 + ( 2 + 2)2,令 2 + 2 = ,利用二次函数的性质求出最小值. 2 + 6 < 0【解答过程】(1)由 2 + 2 > 0 ,解得 3 < < 2或1 < < 2.(2)| |2 = ( 2 + 6)2 + ( 2 + 2)2,2令 2 + 2 = 1 9 9,∵ = + 2 4,∴ ∈ , + ∞ ,4则| |2 = 2 2 8 + 16 = 2( 2)2 +8,所以当 = 2,即 = 1± 17时,有最小值2 2.218.(23-24 高一下·山东聊城·期中)已知 1 = + 2i, 2 = 3 4i( ∈ R,i为虚数单位).(1)若 1 2是纯虚数,求实数 的值;(2)若 1 2在复平面上对应的点在第二象限,且| 1| ≤ 13,求实数 的取值范围.【解题思路】(1)根据复数的乘法,结合纯虚数的定义,可得答案;(2)根据复数模长公式,整理不等式,根据复数的几何意义,建立不等式组,可得答案.【解答过程】(1) 1 2 = ( + 2i) (3 4i) = (3 + 8) + ( 4 + 6)i根据题意 1 3 + 8 = 0 82是纯虚数,故 4 + 6 ≠ 0 ,解得: = 3;(2)由| 1| ≤ 13,得: 2 +4 ≤ 13,即 2 ≤ 9,从而 3 ≤ ≤ 3,由于 1 2在复平面上对应的点在第二象限,3 + 8 < 0 8故 4 + 6 > 0 ,解得: < 3,8综上,实数 的取值范围为 3 ≤ < 3.【类型 4 根据复数的几何意义求参数】19.(23-24 高一下·云南曲靖·期中)复数 = (2 ) + ( 1)i在复平面内对应的点在第二象限,则实数 的取值范围是( )A.(2, + ∞) B.(0, + ∞) C.( ∞,1) D.( 1, + ∞)【解题思路】根据复数的几何意义即可得解.2 < 0 > 2【解答过程】根据题意得 1 > 0 > 1 > 2 ,所以实数 的取值范围是(2, + ∞).故选:A.20.(23-24 高一下·四川成都·期中)复平面内表示复数 = ( 2 8 + 15) + ( 2 5 14)i的点位于四象限时,实数 的取值范围是( )A.( 2,7) B.( 2,3) ∪ (5,7) C.(3,5) D.(5,7)【解题思路】根据复数的几何意义可得不等式,进而可得解.【解答过程】由已知复平面内表示复数 = ( 2 8 + 15) + ( 2 5 14)i的点位于四象限, 2 8 + 15 > 0 < 3或 > 5则 2 5 14 < 0 ,即 2 < < 7 ,即 ∈ ( 2,3) ∪ (5,7),故选:B.21.(23-24 高一下·山东青岛·期末)已知复平面内表示复数: = + 1 + ( 1)i( ∈ R)的点为 ,则下列结论中正确的为( )A.若 ∈ R,则 ≠ 1 B.若 在直线 = 2 上,则 = 3C.若 为纯虚数,则 = 1 D.若 在第四象限,则 1< <1【解题思路】根据复数的基本概念直接判断选项即可.【解答过程】对于 A,若 ∈ R,则 1 = 0,得 = 1,故 A 错误;对于 B,因为 ( + 1, 1)在直线 = 2 上,所以 1 = 2( + 1),则 = 3,故 B 错误;对于 C,若 为纯虚数,则 + 1 = 0,即 = 1,此时虚部不为 0,故 C 正确; + 1 0对于 D,若 ( + 1, 1)在第四象限,则 > 1<0 ,解得 1< <1,故 D 正确.故选:CD.22.(23-24 高一下·山东临沂·期中)若复数 = ( 2 + 6) + ( 2 4 + 3)i(其中i为虚数单位),当 对应的点在第三象限时,则实数 的取值范围为 ( 3,1) .【解题思路】根据 对应的点在第三象限,则实部虚部均小于0列不等式即可求解. 2 + 6 < 0【解答过程】由题意得 ( 2 4 + 3) < 0 ,解得 3 < < 1,故答案为:( 3,1).23.(24-25 高一·上海·课堂例题)求实数 m 的值或取值范围,使得复数 = ( 2 8 + 15) + ( 2 5 14)i在复平面上所对应的点 分别位于(1)实轴上;(2)虚轴上;(3)第四象限.【解题思路】(1)根据题意可得 2 5 14 = 0,运算求解即可;(2)由 2 8 + 15 = 0求 m,代入 验证,即可得结果; 2 8 + 15 > 0(3)由 2 5 14 < 0 求出 m 的范围即可.【解答过程】(1)由题意可得: 2 5 14 = 0,解得 = 7或 = 2.(2)由题设, 2 8 + 15 = ( 3)( 5) = 0,可得 = 3或 = 5,当 = 3时, = 20i对应点在虚轴上;当 = 5时, = 14i对应点在虚轴上;综上, = 3或 = 5.23 8 + 15 = ( 3)( 5) > 0( )由题设 2 5 14 = ( 7)( + 2) < 0 ,可得 ∈ ( 2,3) ∪ (5,7).24.(23-24 高一下·江苏苏州·期中)复数平面内表示复数 = ( 2 8 + 15) + ( 2 5 14)i的点分别满足下列条件:(1)位于第四象限;(2)位于第一象限或第三象限;(3)位于直线 = 上.求实数 的取值范围.【解题思路】(1)结合复数的几何意义与第四象限的点的特点计算即可得;(2)结合复数的几何意义与第一象限或第三象限的点的特点计算即可得;(3)由题意可得 2 8 + 15 = 2 5 14,计算即可得.【解答过程】(1)由题意,复数 在复平面内对应的点为( 2 8 + 15, 2 5 14). 2 8 + 15 > 0 > 5 < 3当点位于第四象限时,则 或 2 5 14 < 0 ,即 2 < < 7 ,故 2 < < 3或5 < < 7;(2)当点位于第一象限或第三象限时,则( 2 8 + 15)( 2 5 14) > 0,即( 3)( 5)( 7)( + 2) > 0,故 < 2或3 < < 5或 > 7.(3)当点位于直线 = 上,则 2 8 + 15 = 2 5 14 = 29,解得 3 .【类型 5 根据复数的四则运算结果求参数】25.(23-24 高一下·河南郑州·阶段练习)复数 1 = + 3i, 2 = 4 + i, , 为实数,若 1 + 2为实数, 1 2为纯虚数,则 + = ( )A. 7 B.7 C. 1 D.1【解题思路】由 1 + 2为实数, 1 2为纯虚数列方程求出 , ,进而可得 + 值.【解答过程】因为 1 + 2 = 4 + (3 + )i为实数,所以3 + = 0,即 = 3, + 4 = 0又 1 2 = + 4 + (3 )i为纯虚数,所以 3 ≠ 0 ,即 = 4且 ≠ 3, = 4综上可知 = 3 ,所以 + = 7.故选:A.26 i.(24-25 高二下·四川绵阳·阶段练习)已知i为虚数单位,若复数 = 2 i的实部与虚部相等,则实数 的值为( )A.-3 B.-1 C.1 D.3 i【解题思路】根据复数的除法运算,求得 = 2 i的实部和虚部,解方程即可求得答案.【解答过程】由题意可得 = i = ( i)(2+i) = 2 +1+( 2)i2 i 5 5 ,2 +1 = 2故 5 5 ,解得 = 3 ,故选:A.27.(2024·福建漳州·一模)若(1 + i) + i = 4i, , ∈ ,则( )A. = 1 B. = 4 C. = 4 D. = 0【解题思路】根据复数的加法结合复数相等求 , ,进而逐项分析判断.【解答过程】由题意可得:(1 + i) + i = + ( + )i = 4i, = 0 = 0则 + = 4 ,解得 = 4 ,可得 = 4, = 0,故 BCD 正确,A 错误.故选:BCD.28.(2024· 3 2i湖南·模拟预测)已知i是复数的虚数单位,且 i = + i ( , ∈ R),则 + 的值为 5 .3 2i【解题思路】计算出 i ,从而求出 , 以及 + 的值.3 2i (3 2i)i 3i+2【解答过程】因为 i = i2 = 1 = 2 3i,所以 = 2, = 3,所以 + = 5,故答案为: 5.29.(24-25 高一·上海·课堂例题)已知复数 1 = ( 2 + 2) + ( 2 1)i, 2 = ( 6) + ( 2 + )i,其中 ∈ .若 1 + 2 = 2 + i,求 的值.【解题思路】利用复数的加法运算求得 1 + 2,再由复数相等的条件列式求解.【解答过程】 ∵ 1 = ( 2 +2) + ( 2 1)i, 22 = ( 6) + ( + )i,其中 ∈ .若 21 + 2 = 2 + i,则( +2) + ( 2 1)i +( 6) + ( 2 + )i = 2 + i,∴ ( 2 + 4) + ( 2 1)i = 2 + i, 2 + 4 = 2则 2 1 = 1 ,解得 = 2.30.(23-24 高一下·湖北咸宁·期末)已知复数 = 2 + 2 + ( 1)i( ∈ R),其中i为虚数单位.(1)若 是纯虚数,求实数 的值; +i(2)若 = 2,设 i = + i( , ∈ ),试求 + 的值.【解题思路】(1)根据纯虚数的定义求解即可; +i(2)由 = 2,则 = 4 + i,再通过复数的乘除法计算 i即可.【解答过程】(1)由题意可得: 2 + 2 = 0,且 1 ≠ 0,解得 = 2,所以 的值为 2;(2)若 m=2,则 = 4 + i, +i 4+2i 2+i (2+i)2 3+4i所以 i = 4 2i = 2 i = (2 i)(2+i) = 5 = + i,3 4所以 = 5, = 5,所以 + = 75.【类型 6 根据复数范围内方程的根求参数】31.(24-25 高三上·江西赣州·阶段练习)已知2 i(i是虚数单位)是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根,则 + = ( )A.9 B.1 C.-7 D.2i 5【解题思路】把方程的根代入方程,利用复数相等的列方程组求解.【解答过程】已知2 i(i是虚数单位)是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ R)的一个根,(2 i)2 + (2 i) + = 0 4 4i 1 + 2 i + = 0 3 + 2 + = 0则 ,即 ,即 4 = 0 , = 4解得 = 5 ,故 + = 1.故选:B.32.(23-24 高一下·上海黄浦·期末)已知2 + i(i 是虚数单位)是实系数一元二次方程 2 + + = 0的一个根,那么 p,q 的值分别是( )A. = 4, = 5 B. = 4, = 3C. = 4, = 5 D. = 4, = 3【解题思路】将2 + i代入方程,即可求解.【解答过程】由题意可知,(2 + i)2 + (2 + i) + = 0,则3 + 2 + + (4 + )i = 0,3 + 2 + = 0即 4 + = 0 ,得 = 4, = 5.故选:A.33.(2024·浙江温州·三模)已知 21, 2是关于 的方程 + + = 0( , ∈ )的两个根,其中 1 = 1 + i,则( )A. 2 21 = 2 B. 1 = 2 C. = 2 D. = 2【解题思路】根据虚根成对原理得到 2 = 1 i,即可判断 A,再根据复数代数形式的乘法运算判断 B,利用韦达定理判断 C、D.【解答过程】因为 1, 2是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的两个根且 1 = 1 + i,所以 2 = 1 i,即 1 = 2,故 A 正确; 21 = (1 + i)2 = 2i, 22 = (1 i)2 = 2i,所以 2 21 ≠ 2,故 B 错误;因为 1 + 2 = (1 + i) + (1 i) = 2 = ,所以 = 2,故 C 正确;又 1 2 = (1 + i)(1 i) = 12 i2 = 2 = ,故 D 正确.故选:ACD.34.(23-24 高一下·福建漳州·期末)复数1 + 2i是方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根,则 + = 1 .【解题思路】复数的虚数根是以共轭复数的形式成对出现,结合韦达定理即可得解.【解答过程】因为复数1 + 2i是方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根,所以复数1 2i也是方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根,所以 + = (1 + 2i + 1 2i) + (1 + 2i)(1 2i) = 2 + 1 + 2 = 1.故答案为:1.35.(23-24 高一下·上海·期末)已知关于 的实系数一元二次方程 2 2 + = 0.(1)若方程有一个根1 + 2i(i是虚数单位),求 的值;(2)若方程有两虚根 1, 2,且| 1 2| = 3,求 的值.【解题思路】(1)由已知条件得1 2i是方程的另一复数根,再结合韦达定理即可得解.(2)先设 1 = + i, 2 = i, 、 ∈ R,再结合韦达定理和复数模长公式即可求解.【解答过程】(1)由题意可知1 2i是方程的另一复数根,2所以(1 2i)(1 + 2i) = 1 ( 2i) = 1 + 2 = 3 = ,所以 = 3.(2)设 1 = + i, 2 = i, 、 ∈ R,则由题意 1 + 2 2 2 2 22 = 2 = 2, 1 2 = i = + = 且Δ = 4 4 < 0,所以 = 1, 2 = 1, > 1,所以| 1 2| = |2 i| = (2 )2 = 4 2 = 4( 1) = 3,13解得 = 4 .36.(24-25 高一上·上海·课堂例题)已知关于 x 的方程 2 + + = 0( ∈ R)的两根为 、 ,求实数 m的值.(1)若| | = 3,求 m 的值;(2)若| | + | | = 3,求 m 的值.【解题思路】(1)根据实系数一元二次方程的根的系数关系计算求参;(2)根据实系数一元二次方程的根的系数关系计算求参.【解答过程】(1)若 、 为实数,则Δ = 1 4 ≥ 0,即 ≤ 14. + = 1,由韦达定理可得 = ,所以| | = ( + )2 4 = 1 4 = 3,解得 = 2,符合题意. 1若 、 为虚数,则Δ = 1 4 < 0,即 > 4. + = 1,由韦达定理可得 = .设 = + i, = i,a、 ∈ 且 > 0,3则| | = |2 i| = 2 = 3,解得 = 2.因为 + = 2 = 1 1,所以 = 2,2 2所以 = = ( + i)( i) = 2 + 2 = 1 + 3 =52 2 2,符合题意.m -2 5综上, 的值为 或2.(2)①当 1、 为实数,即 ≤ 4时,(| | + | |)2 = 9,即 2 + 2 +2| | = 9,所以( + )2 2 + 2| | = 9,所以1 2 + 2| | = 9.0 ≤ ≤ 1当 4时无解;当 < 0时, = 2.② 1当 、 为一对共轭虚数,即 > 4时, = .3由| | + | | = 3,可知|| | = 2,则 = = | |2 = 94.9综上,m 的值为-2 或4. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 专题7.7 复数中必考六类含参问题(举一反三)(原卷版)2024-2025学年高一数学举一反三系列(人教A版2019必修第二册).pdf 专题7.7 复数中必考六类含参问题(举一反三)(解析版)2024-2025学年高一数学举一反三系列(人教A版2019必修第二册).pdf