资源简介 专题 8.1 基本立体图形【八大题型】【人教 A 版(2019)】【题型 1 简单几何体的识别】 ................................................................................................................................4【题型 2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征】 ............................................................................................................5【题型 3 旋转体的结构特征】 ................................................................................................................................6【题型 4 空间几何体的有关计算】 ........................................................................................................................7【题型 5 组合体的结构特征】 ................................................................................................................................9【题型 6 平面图形旋转形成的几何体】 ..............................................................................................................10【题型 7 空间几何体的截面问题】 ......................................................................................................................12【题型 8 多面体与球体内切外接问题】 ..............................................................................................................12【知识点 1 空间几何体的结构特征】1.空间几何体的有关概念(1)空间几何体的定义对于空间中的物体,如果只考虑其形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.例如,一个牛奶包装箱可以抽象出长方体.(2)定理的实质多面体及其相关概念①多面体:一般地,由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.②多面体的面:围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,如图中面 BCC'B'等.③多面体的棱:两个面的公共边叫做多面体的棱,如图中棱 AA',棱 BB'等.④多面体的顶点:棱与棱的公共点叫做多面体的顶点,如图中顶点 A,B,A'等.(3)旋转体及其相关概念①旋转体:一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.图为一个旋转体,它可以看成由平面曲线 OAA'O'绕 OO'所在的直线旋转而形成的.②旋转体的轴:平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线 OO'是该旋转体的轴.2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征棱柱 棱锥 棱台有两个面互相平行,其余各面有一个面是多边形,其余 用一个平行于棱锥底面都是四边形,并且相邻两个四定 各面都是有一个公共顶 的平面去截棱锥,底面和义 边形的公共边都互相平行,由 点的三角形,由这些面所 截面之间那部分多面体这些面所围成的多面体叫做围成的多面体叫做棱锥. 叫做棱台.棱柱.(1)上底面:原棱锥的截(1)底面(底):多边形面; 面;(1)底面(底):两个互相平行的(2)侧面:有公共顶点的 (2)下底面:原棱锥的面;相 各个三角形面; 底面 .关 (2)侧面:其余各面; (3)概 侧棱:相邻侧面的公(3)侧面:其余各面.(3)侧棱:相邻侧面的公共边;念 共边; (4)侧棱:相邻侧面的公(4)顶点:侧面与底面的公共顶(4)顶点:各侧面的公共 共边;点.顶点. (5)顶点:侧面与底面的公共顶点.图形及表示棱柱 ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 棱锥 S-ABCD(或四棱锥(或六棱柱 AD'). S - A C ) 棱台 ABCD-A'B'C'D'(1)上、下底面互相平行,结 (1)底面互相平行且全等; (1)底面是多边形; 且是相似图形;构 (2) (2) (2)特 侧面都是平行四边形; 侧面都是三角形; 各侧棱的延长线交于征 (3)侧棱都相等,且互相平行. (3)侧面有一个公共顶点. 一点;(3)各侧面为梯形.棱柱的底面是几边形就叫几 棱锥的底面是几边形就 由几棱锥截得的就叫几分类 棱柱,例如,三棱柱、四棱 叫几棱锥,例如,三棱锥、 棱台,例如,由三棱锥截柱…… 四棱锥…… 得的棱台叫三棱台.3.圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征圆柱 圆锥 圆台 球以直角三角形的一 半圆以它的直径所在以矩形的一边所在条直角边所在直线 用平行于圆锥底面的 直线为旋转轴,旋转直线为旋转轴,其定 为旋转轴,其余两边 平面去截圆锥,底面 一周形成的曲面叫做余三边旋转一周形义 旋转一周形成的面 与截面之间的部 球面,球面所围成的成的面所围成的旋所围成的旋转体 叫 分叫做圆台. 旋转体叫做球体,简转体叫做圆柱.做圆锥. 称球.(1)上底面:原圆锥的(1)轴:旋转轴. (1)轴:旋转轴. 截面.(2)底面:垂直于轴 (2)底面:垂直于轴的 (2)下底面:原圆锥的(1)球心:半圆的圆的边旋转而成的圆 边旋转而成的圆面. 底面.心.面. (3)侧面:直角三角形 (3)轴:上、下底面圆(2)半径:连接球心和相 (3)侧面:平行于轴 的斜边绕轴旋转形 心的连线所在的直关 球面上任意一点概 的边旋转而成的曲 成的曲面. 线.的线段.念 面. (4)母线:无论旋转到 (4)侧面:原圆锥的侧(3)直径:连接球面上(4)母线:无论旋转 什么位置,斜边都叫 面被平面截去后剩余两点并且经过球心的到什么位置,平行 做圆锥的母线 的曲面.线段.于轴的边都叫做圆 (5)顶点:母线的交 (5)母线:原圆锥的母柱侧面的母线. 点. 线被平面截去后剩余的部分.图形及表示圆台 OO'圆柱 OO'圆锥 SO 球 O(1)圆柱两个底面是 (1)上、下底面是互相圆面而不是圆. 平行且不相等的圆 (1)球的表面叫做球(1)底面是圆面.(2)圆柱有无数条母 面. 面,所以球面是旋转(2)有无数条母线,长线,圆柱的任意两 (2)有无数条母线,等 形成的曲面.另外,球结 度相等且交于顶点.条母线互相平行 长且延长线交于一 面也可看成空间中,构 (3)平行于底面的截(与轴平行)且相等. 点. 到定点(球心)的距离特 面是与底面大小不(3)平行于底面的截 (3)平行于底面的截面 等于定长(半征 同的圆面,过轴的截面是与底面大小相 是与两底面大小都不 径)的所有点的集合.面(轴截面)是全等的同的圆面,过轴的 等的圆面,过轴 (2)球的截面都是圆等腰三角形.截面(轴截面)是全 的截面(轴截面)是全 面.等的矩形. 等的等腰梯形.棱柱与圆柱统称为柱体,棱锥与圆锥统称为锥体,棱台与圆台统称为台体.4.空间几何体结构特征的判断技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.(2)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明个命题是错误的,只要举出一个反例即可.【题型 1 简单几何体的识别】【例 1】(22-23 高一下·重庆万州·阶段练习)下列图形中,不是棱柱的是( )A. B.C. D.【变式 1-1】(23-24 高一下·天津·期中)如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是( )A.①是棱台,②不是圆台 B.②是圆台,③是棱锥C.③是棱锥,④是棱台 D.③是棱锥,④是棱柱【变式 1-2】(23-24 高一下·山西晋城·期中)下面四个几何体中,是棱台的是( )A. B.C. D.【变式 1-3】(23-24 高一下·宁夏石嘴山·阶段练习)如图所示,观察下面四个几何体,其中判断正确的是( )A.①是圆台 B.②是圆台 C.③是圆锥 D.④是圆台【题型 2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征】【例 2】(23-24 高一下·广东湛江·期末)下列说法正确的是( )A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B.棱柱的侧面都是全等的平行四边形C.有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D.用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台【变式 2-1】(23-24 高一下·广东清远·期末)下列说法中,正确的是( )A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.一个多面体至少有 4 个面C.有两个面相互平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱D.用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台【变式 2-2】(23-24 高一下·陕西西安·阶段练习)有下列命题:①有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱;②有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱;③有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱;④用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.⑤有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.其中正确的命题的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3【变式 2-3】(2024 高一下·全国·专题练习)下列关于棱锥、棱台的说法正确的是( )A.有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥B.有两个面平行且相似,其他各面都是梯形的多面体是棱台C.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台D.棱台的各侧棱延长后必交于一点【题型 3 旋转体的结构特征】【例 3】(23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期中)下列说法正确的是( ).A.以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥B.以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面D.圆锥的侧面展开图是扇形,这个扇形的半径大于圆锥的高【变式 3-1】(23-24 高一下·天津南开·期末)给出下列命题:①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线;②两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台;④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形.其中正确命题是( ).A.①② B.①③ C.②③ D.②④【变式 3-2】(23-24 高一下·河南濮阳·阶段练习)下列说法中错误的是( )A.棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形B.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台C.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥D.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线不一定是圆柱的母线【变式 3-3】(24-25 高一下·天津和平·阶段练习)下列命题中不正确的是( )A.圆柱 圆锥 圆台的底面都是圆面B.正四棱锥的侧面都是正三角形C.用平行于圆锥底面的平面截圆锥,截面与底面之间的部分是圆台D.以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台【题型 4 空间几何体的有关计算】【例 4】(24-25 高一·全国·课后作业)长方体 1 1 1 1中, 1 = 1,∠ 1 = ∠ 1 1 1 = 60°,则此长方体的对角线长是( )A.2 B. 5 C. 3 D. 2【变式 4-1】(23-24 高一下·山东青岛·期末)如图,圆锥的母线长为 3,底面半径为 1,一只蚂蚁从点 P 处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点 P 处,则蚂蚁爬行的最短路线长为( )A. 3 B.3 C.2 3 D.3 3【变式 4-2】(23-24 高一下·广东潮州·期末)正四棱台 1 1 1 1中,上底面 1 1 1 1的边长为 2,下底面 ABCD 的边长为 4,棱台的高为 1,则该四棱台的侧棱长为( )A.2 3 B. 3 C. 2 D.2 2【变式 4-3】(23-24 高一下·辽宁·期末)如图,在圆柱 ′中, , 分别为圆 , ′的直径, // , = = 2, 为 的中点,则一只蚂蚁在圆柱表面从 爬到 的最短路径的长度为( )A. π2 + 1 B. 4π2 + 1 C. 3 D. 5【知识点 2 简单组合体】1.简单组合体的结构特征(1)简单组合体的定义由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.(2)简单组合体的构成形式①由简单几何体拼接而成,如图(1)所示.②由简单几何体截去或挖去一部分而成,如图(2)所示.(3)常见的几种组合体①多面体与多面体的组合体:图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到.②多面体与旋转体的组合体:图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到.③旋转体与旋转体的组合体:图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成.2.正方体的截面形状的探究通过尝试、归纳,有如下结论.(1)截面可以是三角形:等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形.(2)截面可以是四边形:平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时,这个四边形中至少有一组对边平行.(3)截面可以是五边形,且此时五边形必有两组分别平行的边,同时有两个角相等.截面五边形不可能是正五边形.(4)截面可以是六边形,且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形.对应截面图形如图中各图形所示【题型 5 组合体的结构特征】【例 5】(24-25 高一下·河南商丘·阶段练习)某广场设置了一些石凳供大家休息,如图,每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体,则下列结论不正确的是( )A.该几何体的面是等边三角形或正方形B.该几何体恰有 12 个面C.该几何体恰有 24 条棱D.该几何体恰有 12 个顶点【变式 5-1】(23-24 高一下·广东深圳·期中)如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯,该几何体由( )A.一个球、一个四棱柱、一个圆台构成B.一个球、一个长方体、一个棱台构成C.一个球、一个四棱台、一个圆台构成D.一个球、一个五棱柱、一个棱台构成【变式 5-2】(24-25 高一·全国·课后作业)如图,说出图中两个几何体的结构特征.【变式 5-3】(24-25 高一·全国·课后作业)指出如图所示的图形是由哪些简单几何体构成的.【题型 6 平面图形旋转形成的几何体】【例 6】(23-24 高一下·陕西榆林·期中)下列给出的图形中,绕给出的轴旋转一周,能形成圆台的是( )A. B. C. D.【变式 6-1】(24-25 高一下·广东珠海·阶段练习)铜钱又称方孔钱,是古代钱币最常见的一种.如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”,由一个圆和一个正方形组成,若绕旋转轴(虚线)旋转一周,形成的几何体是( ) A.一个球B.一个球挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球挖去一个正方体【变式 6-2】(2024 高一·江苏·专题练习)若将如图所示的平面图形旋转一周,试说出它形成的几何体的结构特征.【变式 6-3】(24-25 高一·全国·课后作业)一直角梯形 如图所示,分别画出以 , , , 所在直线为轴旋转一周所得几何体的大致形状,试说明所得几何体的特征.【题型 7 空间几何体的截面问题】【例 7】(23-24 高一下·福建南平·期中)用一个平面截一个几何体,得到的截面是一个梯形,这个几何体不可能是( )A.长方体 B.圆锥 C.棱锥 D.圆台【变式 7-1】(23-24 高一下·福建福州·期中)已知正方体 1 1 1 1的棱长为2, , , 分别是 , 1, 1 1的中点,则过这三点的截面面积是( )A.3 2 B.6 2 C.6 3 D.3 3【变式 7-2】(23-24 高一下·贵州贵阳·期末)如图,在正方体 1 1 1 1中,点 , 分别是 , 的中点,过点 1, , 的平面截该正方体所得的截面是( )A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形【变式 7-3】(23-24 高一下·湖南长沙·期末)在侧棱长为2 3的正三棱锥 中,∠ = ∠ = ∠ = 40 ,过 作截面 ,则截面的最小周长为( )A.2 2 B.4 C.6 D.10【题型 8 多面体与球体内切外接问题】【例 8】(2024·全国·模拟预测)已知某圆台的上底面圆心为 1,半径为 ,下底面圆心为 2,半径为2 ,高为 ,若该圆台的外接球球心为 ,且 1 = 2 2,则 = ( )A. 3 B.3 C. 2 D.2【变式 8-1】(23-24 高一下·浙江台州·期中)已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 3π且半径为 2 的扇形,记该圆锥的内切球半径为 1,外接球半径为 2,则 1 + 2 = ( )A.2 3 1 B.2 3 +1 C.5 2 3 D.5 + 2 3【变式 8-2】(23-24 高一下·四川·期末)如图,在直三棱柱 1 1 1中,侧棱长为2, ⊥ , = = 1,点 在上底面 1 1 1(包含边界)上运动,则三棱锥 外接球半径的取值范围为( )A 9 9 3 5 3. 1, 6 B. , 6 C. , D. ,2 8 2 8 2 4 2【变式 8-3】(24-25 高一上·全国·期中)水平放置的正四棱柱(底面边长为 a)形容器内放入两个大小不等的铁球,其中较大的铁球与容器的底部和两个侧面相切,较小的铁球与该球外切,并且与容器的另外两个侧面相切,现往容器里注水,水面没过较大铁球后,继续注水,当水面恰好与较小铁球相切时,测得水面的高度为 a,则两个铁球的半径之和为(容器壁厚度忽略不计)( )A.a B.2 2 C 3 3. D.5 5 2 2 2专题 8.1 基本立体图形【八大题型】【人教 A 版(2019)】【题型 1 简单几何体的识别】 ................................................................................................................................4【题型 2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征】 ............................................................................................................6【题型 3 旋转体的结构特征】 ................................................................................................................................8【题型 4 空间几何体的有关计算】 ......................................................................................................................10【题型 5 组合体的结构特征】 ..............................................................................................................................13【题型 6 平面图形旋转形成的几何体】 ..............................................................................................................15【题型 7 空间几何体的截面问题】 ......................................................................................................................18【题型 8 多面体与球体内切外接问题】 ..............................................................................................................21【知识点 1 空间几何体的结构特征】1.空间几何体的有关概念(1)空间几何体的定义对于空间中的物体,如果只考虑其形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.例如,一个牛奶包装箱可以抽象出长方体.(2)定理的实质多面体及其相关概念①多面体:一般地,由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.②多面体的面:围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,如图中面 BCC'B'等.③多面体的棱:两个面的公共边叫做多面体的棱,如图中棱 AA',棱 BB'等.④多面体的顶点:棱与棱的公共点叫做多面体的顶点,如图中顶点 A,B,A'等.(3)旋转体及其相关概念①旋转体:一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.图为一个旋转体,它可以看成由平面曲线 OAA'O'绕 OO'所在的直线旋转而形成的.②旋转体的轴:平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线 OO'是该旋转体的轴.2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征棱柱 棱锥 棱台有两个面互相平行,其余各面有一个面是多边形,其余 用一个平行于棱锥底面都是四边形,并且相邻两个四定 各面都是有一个公共顶 的平面去截棱锥,底面和义 边形的公共边都互相平行,由 点的三角形,由这些面所 截面之间那部分多面体这些面所围成的多面体叫做围成的多面体叫做棱锥. 叫做棱台.棱柱.(1)上底面:原棱锥的截(1)底面(底):多边形面; 面;(1)底面(底):两个互相平行的(2)侧面:有公共顶点的 (2)下底面:原棱锥的面;相 各个三角形面; 底面 .关 (2)侧面:其余各面; (3)概 侧棱:相邻侧面的公(3)侧面:其余各面.(3)侧棱:相邻侧面的公共边;念 共边; (4)侧棱:相邻侧面的公(4)顶点:侧面与底面的公共顶(4)顶点:各侧面的公共 共边;点.顶点. (5)顶点:侧面与底面的公共顶点.图形及表示棱柱 ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 棱锥 S-ABCD(或四棱锥(或六棱柱 AD'). S - A C ) 棱台 ABCD-A'B'C'D'(1)上、下底面互相平行,结 (1)底面互相平行且全等; (1)底面是多边形; 且是相似图形;构 (2) (2) (2)特 侧面都是平行四边形; 侧面都是三角形; 各侧棱的延长线交于征 (3)侧棱都相等,且互相平行. (3)侧面有一个公共顶点. 一点;(3)各侧面为梯形.棱柱的底面是几边形就叫几 棱锥的底面是几边形就 由几棱锥截得的就叫几分类 棱柱,例如,三棱柱、四棱 叫几棱锥,例如,三棱锥、 棱台,例如,由三棱锥截柱…… 四棱锥…… 得的棱台叫三棱台.3.圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征圆柱 圆锥 圆台 球以直角三角形的一 半圆以它的直径所在以矩形的一边所在条直角边所在直线 用平行于圆锥底面的 直线为旋转轴,旋转直线为旋转轴,其定 为旋转轴,其余两边 平面去截圆锥,底面 一周形成的曲面叫做余三边旋转一周形义 旋转一周形成的面 与截面之间的部 球面,球面所围成的成的面所围成的旋所围成的旋转体 叫 分叫做圆台. 旋转体叫做球体,简转体叫做圆柱.做圆锥. 称球.(1)上底面:原圆锥的(1)轴:旋转轴. (1)轴:旋转轴. 截面.(2)底面:垂直于轴 (2)底面:垂直于轴的 (2)下底面:原圆锥的(1)球心:半圆的圆的边旋转而成的圆 边旋转而成的圆面. 底面.心.面. (3)侧面:直角三角形 (3)轴:上、下底面圆(2)半径:连接球心和相 (3)侧面:平行于轴 的斜边绕轴旋转形 心的连线所在的直关 球面上任意一点概 的边旋转而成的曲 成的曲面. 线.的线段.念 面. (4)母线:无论旋转到 (4)侧面:原圆锥的侧(3)直径:连接球面上(4)母线:无论旋转 什么位置,斜边都叫 面被平面截去后剩余两点并且经过球心的到什么位置,平行 做圆锥的母线 的曲面.线段.于轴的边都叫做圆 (5)顶点:母线的交 (5)母线:原圆锥的母柱侧面的母线. 点. 线被平面截去后剩余的部分.图形及表示圆台 OO'圆柱 OO'圆锥 SO 球 O(1)圆柱两个底面是 (1)上、下底面是互相圆面而不是圆. 平行且不相等的圆 (1)球的表面叫做球(1)底面是圆面.(2)圆柱有无数条母 面. 面,所以球面是旋转(2)有无数条母线,长线,圆柱的任意两 (2)有无数条母线,等 形成的曲面.另外,球结 度相等且交于顶点.条母线互相平行 长且延长线交于一 面也可看成空间中,构 (3)平行于底面的截(与轴平行)且相等. 点. 到定点(球心)的距离特 面是与底面大小不(3)平行于底面的截 (3)平行于底面的截面 等于定长(半征 同的圆面,过轴的截面是与底面大小相 是与两底面大小都不 径)的所有点的集合.面(轴截面)是全等的同的圆面,过轴的 等的圆面,过轴 (2)球的截面都是圆等腰三角形.截面(轴截面)是全 的截面(轴截面)是全 面.等的矩形. 等的等腰梯形.棱柱与圆柱统称为柱体,棱锥与圆锥统称为锥体,棱台与圆台统称为台体.4.空间几何体结构特征的判断技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.(2)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明个命题是错误的,只要举出一个反例即可.【题型 1 简单几何体的识别】【例 1】(22-23 高一下·重庆万州·阶段练习)下列图形中,不是棱柱的是( )A. B.C. D.【解题思路】根据棱柱的定义判断即可.【解答过程】一般地,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.故 A 为四棱柱,B 为三棱柱,C 为四棱柱,D 中有两个面为梯形,两个面为三角形且三角形面不平行,故 D 不是棱柱.故选:D.【变式 1-1】(23-24 高一下·天津·期中)如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是( )A.①是棱台,②不是圆台 B.②是圆台,③是棱锥C.③是棱锥,④是棱台 D.③是棱锥,④是棱柱【解题思路】棱柱:有两个面平行,其余各面都是平行四边行,且相邻的公共边平行所围成的图形;棱锥:由一个面是多边形,其余各面都是共顶点的三角形所围成的图形;棱台:用平行与底面的截面截棱锥,截面与底面之间几何体;圆台:用平行与底面的截面截圆锥,截面与底面之间几何体.【解答过程】对于 A:①不是棱台,因为侧面不都是平行四边形,故 A 错误;对于 B:②不是圆台,因为上下底面不平行,故 B 错误;对于 C:④是棱柱,故 C 错误;对于 D:③是棱锥,④是棱柱,故 D 正确.故选:D.【变式 1-2】(23-24 高一下·山西晋城·期中)下面四个几何体中,是棱台的是( )A. B.C. D.【解题思路】根据台体、锥体概念逐一分析,即可得结果.【解答过程】A 是圆台,D 是棱锥,C 侧棱延长没有交于一点,故不是四棱台,B 是三棱台.故选:B.【变式 1-3】(23-24 高一下·宁夏石嘴山·阶段练习)如图所示,观察下面四个几何体,其中判断正确的是( )A.①是圆台 B.②是圆台 C.③是圆锥 D.④是圆台【解题思路】根据圆锥,圆台的概念可得选项.【解答过程】图①不是由圆锥截得的,所以①不是圆台;图②上下两个面不平行,所以②不是圆台;图④不是由圆锥截得的,所以④不是圆台;很明显③是圆锥,故选:C.【题型 2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征】【例 2】(23-24 高一下·广东湛江·期末)下列说法正确的是( )A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B.棱柱的侧面都是全等的平行四边形C.有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D.用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台【解题思路】利用棱柱的定义判断 ABC;利用棱台的定义判断 D.【解答过程】对于 A,正六棱柱正对的两个侧面平行,但它们不是正六棱柱的底面,A 错误;对于 B,底面邻边不等的长方体的相邻两个侧面不全等,B 错误;对于 C,由棱柱的定义知,C 正确;对于 D,当截面与棱锥的底面不平行时,棱锥底面与截面之间的部分不是棱台,D 错误.故选:C.【变式 2-1】(23-24 高一下·广东清远·期末)下列说法中,正确的是( )A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.一个多面体至少有 4 个面C.有两个面相互平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱D.用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台【解题思路】根据简单几何体的定义以及结构特征去判断即可.【解答过程】正棱锥底面是正多边形,还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心,A 错误;多面体中面数最少为三棱锥,四个面,B 正确,;有两个面相互平行,其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱,还需要满足各个侧面的交线互相平行,C 错误;用一个平面去截棱锥,必须是平行于底面的平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分才是棱台,D 错误.故选:B.【变式 2-2】(23-24 高一下·陕西西安·阶段练习)有下列命题:①有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱;②有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱;③有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱;④用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.⑤有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.其中正确的命题的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3【解题思路】利用棱柱、棱锥、棱台的概念,即可对逐个选项的正误作出判断.【解答过程】棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,①②错误,③正确,其中①②的反例如图所示;棱锥:一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,⑤错误;棱台:棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分,④错误;正确命题有 1 个.故选:B.【变式 2-3】(2024 高一下·全国·专题练习)下列关于棱锥、棱台的说法正确的是( )A.有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥B.有两个面平行且相似,其他各面都是梯形的多面体是棱台C.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台D.棱台的各侧棱延长后必交于一点【解题思路】由棱锥的定义可判断 A,由棱台的定义可判断 BCD.【解答过程】有一个面是多边形,其余各面是三角形,若其余各面没有一个共同的顶点,则不是棱锥,故 A错误;两个面平行且相似,其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台,还要满足各侧棱的延长线交于一点,故 B错误,D 正确;用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台,故 C 错误.故选:D.【题型 3 旋转体的结构特征】【例 3】(23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期中)下列说法正确的是( ).A.以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥B.以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面D.圆锥的侧面展开图是扇形,这个扇形的半径大于圆锥的高【解题思路】根据圆锥、圆台、圆锥的结构特征逐一判断即可.【解答过程】对于 A,以直角三角形的斜边为轴旋转一周形成的是两个圆锥的组合体,A 错误;对于 B,当以直角梯形不垂直于底边的腰为旋转轴旋转一周形成的不是圆台,B 错误;对于 C,圆锥只有一个底面,C 错误;对于 D,圆锥的侧面展开图是扇形,这个扇形的半径等于圆锥的母线,大于圆锥的高,D 正确.故选:D.【变式 3-1】(23-24 高一下·天津南开·期末)给出下列命题:①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线;②两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台;④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形.其中正确命题是( ).A.①② B.①③ C.②③ D.②④【解题思路】根据圆锥母线的定义、棱台的定义、圆台的定义、平面与圆柱底面的位置关系即可依次判断.【解答过程】解:①根据圆锥的母线的定义,可知①正确;②把梯形的腰延长后有可能不交于一点,此时得到几何体就不是棱台,故②错误;③根据圆台的定义,可知③正确;④当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时,得到的截面不是圆和矩形,故④错误.故选:B.【变式 3-2】(23-24 高一下·河南濮阳·阶段练习)下列说法中错误的是( )A.棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形B.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台C.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥D.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线不一定是圆柱的母线【解题思路】由棱台圆台和旋转体的结构特征,圆柱母线的定义,对选项进行判断.【解答过程】由棱台的结构特征可知,A 选项中说法正确;由圆台的结构特征可知,B 选项中说法正确;直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体,不是圆锥,是由两个同底圆锥组成的几何体,C 选项中的说法错误;在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,这两点的连线不一定是圆柱的母线,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线,D 选项中说法正确.故选:C.【变式 3-3】(24-25 高一下·天津和平·阶段练习)下列命题中不正确的是( )A.圆柱 圆锥 圆台的底面都是圆面B.正四棱锥的侧面都是正三角形C.用平行于圆锥底面的平面截圆锥,截面与底面之间的部分是圆台D.以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台【解题思路】由正四棱锥的概念判断 B;由旋转体的结构特征判断 A、C、D.【解答过程】对于 A:圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面,故 A 正确;对于 B:正四棱锥的侧面都是等腰三角形,不一定是正三角形,故 B 错误;对于 C:用平行于圆锥底面的平面截圆锥,截面与底面之间的部分是圆台,故 C 正确;对于 D:以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台,故 D 正确.故选:B.【题型 4 空间几何体的有关计算】【例 4】(24-25 高一·全国·课后作业)长方体 1 1 1 1中, 1 = 1,∠ 1 = ∠ 1 1 1 = 60°,则此长方体的对角线长是( )A.2 B. 5 C. 3 D. 2【解题思路】根据题意,作图,根据勾股定理和锐角三角函数,分别计算出长方形的长宽高,进而利用长方体的对角线的计算公式,直接计算可得答案【解答过程】由已知得, 1 = 1,∠ 1 = ∠ 1 1 1 = 60°,根据勾股定理和锐角三角函数,在直角三角形 1 1 中, = 1 = 2 = sin60 = 3 = 3 = 1 1得 1 cos60 , 1 1 1 ,在直角三角形 1 1 1中,由 1 1 ,可得 1 1 tan60 = 1, 1 1 = 1 + 3 = 2,则此长方体的对角线长为 12 + 1 12 + 1 12 = 1 + 3 + 1 = 5.故选:B.【变式 4-1】(23-24 高一下·山东青岛·期末)如图,圆锥的母线长为 3,底面半径为 1,一只蚂蚁从点 P 处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点 P 处,则蚂蚁爬行的最短路线长为( )A. 3 B.3 C.2 3 D.3 3【解题思路】画出圆锥的侧面展开图,则蚂蚁爬行的最短距离为 ′,在 △ ′中,解三角形即可.【解答过程】已知圆锥的侧面展开图为半径是 3 的扇形,如图,一只蚂蚁从点 P 出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点 P 的最短距离为 ′,设∠ ′ = ,圆锥底面周长为2π,所以圆弧 ′的长为2π,2π所以 = 3 ,在 △ ′中,由 = ′,得 ′ = 2 + ( ′)2 2 ′ cos = 32 + 32 2 × 3 × 3 × 1 = 3 3,2故选:D.【变式 4-2】(23-24 高一下·广东潮州·期末)正四棱台 1 1 1 1中,上底面 1 1 1 1的边长为 2,下底面 ABCD 的边长为 4,棱台的高为 1,则该四棱台的侧棱长为( )A.2 3 B. 3 C. 2 D.2 2【解题思路】连接 ,作 1 ⊥ 平面 , 1 ⊥ 平面 ,侧棱 1 = 1 2 + 2.【解答过程】连接 ,作 1 ⊥ 平面 , 1 ⊥ 平面 , 1 = 1,因为 1 1 1 1为正四棱台,则 , 在 上,因为上底面 1 1 1 1的边长为 2,下底面 的边长为 4, = 1 1 = 2 2, = 4 2, = 2,侧棱 1 = 1 2 + 2 = 1 + 2 = 3.故选:B.【变式 4-3】(23-24 高一下·辽宁·期末)如图,在圆柱 ′中, , 分别为圆 , ′的直径, // , = = 2, 为 的中点,则一只蚂蚁在圆柱表面从 爬到 的最短路径的长度为( )A. π2 + 1 B. 4π2 + 1 C. 3 D. 5【解题思路】把半圆柱侧面展开得到侧面展开图为矩形 ,结合矩形的性质,即可求解.【解答过程】如图所示,把半圆柱侧面展开,得到侧面展开图为矩形 ,在圆柱 ′中,因为 = = 2,可得 = π,即矩形 中, = π, = 1,则最短路径的长度为 = 2 + 2 = π2 + 1.故选:A.【知识点 2 简单组合体】1.简单组合体的结构特征(1)简单组合体的定义由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.(2)简单组合体的构成形式①由简单几何体拼接而成,如图(1)所示.②由简单几何体截去或挖去一部分而成,如图(2)所示.(3)常见的几种组合体①多面体与多面体的组合体:图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到.②多面体与旋转体的组合体:图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到.③旋转体与旋转体的组合体:图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成.2.正方体的截面形状的探究通过尝试、归纳,有如下结论.(1)截面可以是三角形:等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形.(2)截面可以是四边形:平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时,这个四边形中至少有一组对边平行.(3)截面可以是五边形,且此时五边形必有两组分别平行的边,同时有两个角相等.截面五边形不可能是正五边形.(4)截面可以是六边形,且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形.对应截面图形如图中各图形所示【题型 5 组合体的结构特征】【例 5】(24-25 高一下·河南商丘·阶段练习)某广场设置了一些石凳供大家休息,如图,每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体,则下列结论不正确的是( )A.该几何体的面是等边三角形或正方形B.该几何体恰有 12 个面C.该几何体恰有 24 条棱D.该几何体恰有 12 个顶点【解题思路】根据几何体的形状逐个选项判断即可.【解答过程】据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形,A 正确;该几何体恰有 14 个面,B 不正确;该几何体恰有 24 条棱,C 正确;该几何体恰有 12 个顶点,D 正确.故选:B.【变式 5-1】(23-24 高一下·广东深圳·期中)如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯,该几何体由( )A.一个球、一个四棱柱、一个圆台构成B.一个球、一个长方体、一个棱台构成C.一个球、一个四棱台、一个圆台构成D.一个球、一个五棱柱、一个棱台构成【解题思路】根据组合体基本构成即可得答案.【解答过程】由图可知,该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成.故选:B.【变式 5-2】(24-25 高一·全国·课后作业)如图,说出图中两个几何体的结构特征.【解题思路】根据图形将其分解成几个常见几何体并将其归类处理,即可得出结论.【解答过程】解:几何体(1)是圆台上拼接了一个与圆台上底同底的圆锥;几何体(2)是长方体上拼接了一个同底的四棱锥.【变式 5-3】(24-25 高一·全国·课后作业)指出如图所示的图形是由哪些简单几何体构成的.【解题思路】分割原图,使它的每一部分都是简单几何体,再分析构成即可.【解答过程】分割原图,使它的每一部分都是简单几何体.图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体.图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体.图(3)是由一个四棱锥、一个四棱柱拼接,又在四棱柱中挖去了一个圆柱而成.图(4)是由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成的.【题型 6 平面图形旋转形成的几何体】【例 6】(23-24 高一下·陕西榆林·期中)下列给出的图形中,绕给出的轴旋转一周,能形成圆台的是( )A. B. C. D.【解题思路】由旋转体的结构特征逐一分析四个选项得答案.【解答过程】由图可知,A 选项中的直角梯形绕给出的轴旋转一周,能形成圆台,B 选项中的半圆绕给出的轴旋转一周,能形成球体,C 选项中的矩形绕给出的轴旋转一周,能形成圆柱,D 选项中的直角三角形绕给出的轴旋转一周,能形成圆锥.故选:A.【变式 6-1】(24-25 高一下·广东珠海·阶段练习)铜钱又称方孔钱,是古代钱币最常见的一种.如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”,由一个圆和一个正方形组成,若绕旋转轴(虚线)旋转一周,形成的几何体是( ) A.一个球B.一个球挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球挖去一个正方体【解题思路】根据旋转体的定义可得正确的选项.【解答过程】圆及其内部旋转一周后所得几何体为球,而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱,故题设中的平面图形绕旋转轴(虚线)旋转一周,形成的几何体为一个球挖去一个圆柱,故选:B.【变式 6-2】(2024 高一·江苏·专题练习)若将如图所示的平面图形旋转一周,试说出它形成的几何体的结构特征.【解题思路】如图,将图形分成直角三角形、直角梯形和矩形 3 个部分,结合旋转体的定义即可求解.【解答过程】①是直角三角形,旋转后形成圆锥;②是直角梯形,旋转后形成圆台;③是矩形,旋转后形成圆柱,所以旋转后形成的几何体如图所示.通过观察可知,该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的.【变式 6-3】(24-25 高一·全国·课后作业)一直角梯形 如图所示,分别画出以 , , , 所在直线为轴旋转一周所得几何体的大致形状,试说明所得几何体的特征.【解题思路】根据给定条件,利用旋转体的定义画出几何体,再说明几何体的特征作答.【解答过程】直角梯形 中, // , ⊥ , < ,以 所在直线为轴旋转,得到的几何体是一个圆台,如图:以 所在直线为轴旋转,得到的几何体是一个圆柱和圆锥的组合体,如图:以 所在直线为轴旋转,得到的几何体是圆台挖去一个以其上底面为底面的小圆锥,增加一个以其下底面为底面的较大的圆锥构成的几何体,如图:以 所在直线为轴旋转,得到的几何体是圆柱挖去一个以其面底为底面的圆锥构成的几何体,如图:【题型 7 空间几何体的截面问题】【例 7】(23-24 高一下·福建南平·期中)用一个平面截一个几何体,得到的截面是一个梯形,这个几何体不可能是( )A.长方体 B.圆锥 C.棱锥 D.圆台【解题思路】判断几何体被平面截取的图形,逐项判断即可.【解答过程】如图:平面截长方体的截面 为梯形,故选项 A 符合题意;如图:平面截三棱锥 的截面 为梯形,故选项 C 符合题意;如图:当平面沿圆台的轴截圆台时,截面 1 1为等腰梯形,故选项 D 符合题意;用一个平面截圆锥,得到的截面图形可能是圆、椭圆、抛物线、三角形,不可能是梯形,故选项 B 不合题意.故选:B.【变式 7-1】(23-24 高一下·福建福州·期中)已知正方体 1 1 1 1的棱长为2, , , 分别是 , 1, 1 1的中点,则过这三点的截面面积是( )A.3 2 B.6 2 C.6 3 D.3 3【解题思路】根据题意,利用正方体的性质,得到截面为正六边形 ,且边长为 2,进而求得截面的面积,得到答案.【解答过程】如图所示,分别取 1 1, 1, 的中点 , , ,连接 , , , ,在正方体 1 1 1 1中,可得 // , // , // ,所以经过点 , , 的截面为正六边形 ,又因为正方体 1 1 1 1的棱长为2,在直角 △ 中,可得 = 2 + 2 = 2,3所以截面正六边形的面积为6 × × ( 2)2 = 34 3.故选:D.【变式 7-2】(23-24 高一下·贵州贵阳·期末)如图,在正方体 1 1 1 1中,点 , 分别是 , 的中点,过点 1, , 的平面截该正方体所得的截面是( )A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形【解题思路】把截面补形,利用共面可得结果.【解答过程】延长 , ,与直线 相交于 , ,连接 1 , 1 与 1, 1分别交于点 , ,连接 , ,则五边形 1 即为截面,故选:C.【变式 7-3】(23-24 高一下·湖南长沙·期末)在侧棱长为2 3的正三棱锥 中,∠ = ∠ = ∠ = 40 ,过 作截面 ,则截面的最小周长为( )A.2 2 B.4 C.6 D.10【解题思路】作出三棱锥的侧面展开图,连接 交 、 于点 、 ,则侧面展开图中线段 的长度即为截面的最小周长,利用余弦定理计算可得.【解答过程】如图三棱锥以及侧面展开图,要求截面 的周长最小,连接 交 、 于点 、 ,则侧面展开图中线段 的长度即为截面的最小周长,因为侧棱长为2 3的正三棱锥 ,∠ = ∠ = ∠ = 40 ,所以∠ = 120 ,由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos120 2 2= (2 3) + (2 3) 2 × 2 3 × 2 3 × 1 = 36,2∴ = 6,所以截面的最小周长为6.故选:C.【题型 8 多面体与球体内切外接问题】【例 8】(2024·全国·模拟预测)已知某圆台的上底面圆心为 1,半径为 ,下底面圆心为 2,半径为2 , 高为 ,若该圆台的外接球球心为 ,且 1 = 2 2,则 = ( )A. 3 B.3 C. 2 D.22 2 2【解题思路】根据题意,得到 2 + = (2 )2 + 3 3 ,进而求得 的值.【解答过程】由圆台的上底面圆心为 1,半径为 ,下底面圆心为 2,半径为2 ,高为 ,2 如图所示,因为 1 = 2 2,所以 1 = 3 , 2 = 3, 2 + 2 2= (2 )2 + 2 2 所以 3 3 ,解得3 2 = 3 ,所以 = 3.故选:B.【变式 8-1】(23-24 高一下·浙江台州·期中)已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 3π且半径为 2 的扇形,记该圆锥的内切球半径为 1,外接球半径为 2,则 1 + 2 = ( )A.2 3 1 B.2 3 +1 C.5 2 3 D.5 + 2 3【解题思路】设 △ 为圆锥的轴截面, 为底面圆的圆心,先求出圆锥的底面圆的半径,利用等面积法求出 1,利用正弦定理可求出 2,即可得解.【解答过程】设圆锥的底面圆的半径为 ,则2 3π = 2π ,所以 = 3,如图, △ 为圆锥的轴截面, 为底面圆的圆心,则 △ 内切圆的半径即为该圆锥的内切球半径, = 3, = 2, = 4 3 = 1,则 1 1△ = 2 × 1 × 2 3 = 2 1(2 + 2 + 2 3),解得 1 = 2 3 3,π在Rt △ 中, = 2, = 1,则∠ = 6,2 = 2则 2 1sin∠ = = 4,所以 2 = 2,2所以 1 + 2 = 2 3 1.故选:A.【变式 8-2】(23-24 高一下·四川·期末)如图,在直三棱柱 1 1 1中,侧棱长为2, ⊥ , = = 1,点 在上底面 1 1 1(包含边界)上运动,则三棱锥 外接球半径的取值范围为( )A. 1, 6 B 9. , 6 C 9 , 3 D 5. . , 32 8 2 8 2 4 2【解题思路】由条件确定球心位置,建立关于球的半径的表达式,从而求出半径的取值范围即可.【解答过程】因为 △ 为等腰直角三角形, = = 1,所以 △ 的外接圆的圆心为 的中点 1,且 21 = ,2设 1 1的中点为 ,连接 1 ,则 1 // 1, 1 ⊥ 平面 ,设三棱锥 外接球的球心为 ,由球的性质可得点 在 1 上,设 1 = , = 0 ≤ ≤ 2 ,2外接球的半径为 ,因为 = = ,2 22 = 7所以 + (2 )2 + 2,即 2 = 4 2 2,7又0 ≤ ≤ 2,则8 ≤ ≤ 1,2因为 2 = 2 + 1 81 2 3 9 62,所以64 ≤ ≤ 2,则8 ≤ ≤ ,2故选:B.【变式 8-3】(24-25 高一上·全国·期中)水平放置的正四棱柱(底面边长为 a)形容器内放入两个大小不等的铁球,其中较大的铁球与容器的底部和两个侧面相切,较小的铁球与该球外切,并且与容器的另外两个侧面相切,现往容器里注水,水面没过较大铁球后,继续注水,当水面恰好与较小铁球相切时,测得水面的高度为 a,则两个铁球的半径之和为(容器壁厚度忽略不计)( )A 3 3.a B.2 2 C. D.5 5 2 2 2【解题思路】由题意可得两个球外切且又分别与边长为 的正方体的三个面相切,作出正方体的体对角面,易知球心 1和 2在 AC 上,根据两圆的关系以及与对角面关系,即可求解.【解答过程】由题意可得两个球外切且又分别与边长为 的正方体的三个面相切,如图(1),如图(2),作出正方体的体对角面,易知球心 1和 2在 AC 上,过点 1, 2分别作 AD,BC 的垂线,垂足分别为 E,F,设球 1的半径为 r,球 2的半径为 R,由 = , = 2 , = 3 , 得 1 1 = 1 2 1sin∠ = = 3 , 2 = = = 3 ,3 sin∠ 3∴ + + 3 + 3 = 3 ,∴ + = 3 = 3 3 ,3+1 23 3即两个铁球的半径之和为 .2故选:C. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 专题8.1 基本立体图形【八大题型】(举一反三)(原卷版)2024-2025学年高一数学举一反三系列(人教A版2019必修第二册).pdf 专题8.1 基本立体图形【八大题型】(举一反三)(解析版)2024-2025学年高一数学举一反三系列(人教A版2019必修第二册).pdf