资源简介 专题 8.2 立体图形的直观图【六大题型】【人教 A 版(2019)】【题型 1 斜二测画法的辨析】 ................................................................................................................................2【题型 2 画平面图形的直观图】 ............................................................................................................................5【题型 3 画空间几何体的直观图】 ........................................................................................................................7【题型 4 由直观图还原几何图形】 ......................................................................................................................10【题型 5 斜二测画法中有关量的计算】 ..............................................................................................................13【题型 6 平面图形的面积与其直观图的面积的关系】 ......................................................................................15【知识点 1 立体图形的直观图】1.空间几何体的直观图(1)直观图的概念直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图,实际上是把不完全在同一平面内的点的集合,用同一平面内的点表示.因此,直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.在立体几何中,立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.(2)斜二测画法及其步骤利用平行投影,人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图,其步骤是:①在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O.画直观图时,把它们画成对应的 x'轴和 y'轴,两轴相交于点 O',且使∠x'O'y'= (或 ),它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别面成平行于 x'轴或 y'轴的线段.③已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段,在直观图中长度为原来的一半.(3)旋转体及其相关概念斜二测画法画空间几何体的直观图的规则画几何体的直观图时,与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与 x 轴、y 轴都垂直的 z 轴,并且有以下规则.①已知图形中,平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x'轴、y'轴或 z'轴的线段.②已知图形中平行于 x 轴或 z 轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于 y 轴的线段,长度变为原来的一半.③连线成图以后,擦去作为辅助线的坐标轴,就得到了空间图形的直观图.2.平面图形的面积与其直观图的面积间的关系(1)以三角形为例,则有 .如图所示, ,它的直观图的面积.(2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系: = .即若记一个平面多边形的面积为 S 原,由斜二测画法得到的直观图的面积为 S 直,则有 S 直= S 原.3.斜二测画法的常用结论:(1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.“平行于 x 轴的线段平行性不变,长度不变;平行于 y轴的线段平行性不变,长度减半.”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系: .【题型 1 斜二测画法的辨析】【例 1】(2024 高一下·全国·专题练习)关于斜二测画法所得直观图,以下说法正确的是( )A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形【解题思路】根据斜二测画法的性质判断 BC 的正误,根据特例可判断 AD 的正误.【解答过程】对于 B,由于直角在直观图中有的成为45°,有的成为135°,但直观图的平行关系依然保留,故 B 正确.对于 C,梯形的直观图一定是梯形,故 C 错误.对于 D,如图等边三角形 中, 为 的中点,设| | = 4,则| | = 2 3,则在直观图中,| | = 4,| ′ | = 3,故| | = 7 2 × 2 × 3 × 2 = 6 1,| | = 7 + 2 × 2 × 3 × 2 = 6 +1,2 2故三角形 不为等腰三角形,故 AD 错误.故选:B.【变式 1-1】(2024 高一下·全国·专题练习)下列说法中正确的是( )A.相等的角在直观图中对应的角仍然相等B.相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等C.不相等的线段在直观图中对应的线段一定不相等D.线段的中点在直观图中仍然是线段的中点【解题思路】根据正方体的直观图可判断A,B;利用矩形邻边满足 = 2 的直观图可判断C,易知D正确.【解答过程】如图,由正方形的直观图是平行四边形可知A,B错误,易知D正确.C项,如图,矩形的邻边满足 = 2 ,其直观图的邻边是相等的,故C错误.故选:D.【变式 1-2】(23-24 高一下·天津·期末)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论正确的是( )A.正方形的直观图是正方形B.矩形的直观图是矩形C.菱形的直观图是菱形D.平行四边形的直观图是平行四边形【解题思路】根据平面图形的直观图的画法规则,逐项判定,即可求解.【解答过程】根据斜二测画法的规则可知,平行于坐标轴的直线平行性不变,平行于 轴的线段长度不变,平行于 轴的线段长度减半.对于 A 中,正方形的直角,在直观图中变为45 或135 ,不是正方形,所以 A 错误;对于 B 中,矩形的直角,在直观图中变为45 或135 ,不是矩形,所以 B 错误;对于 C 中,菱形的对角线互相垂直平分,在直观图中对角线的夹角变为45 ,所以菱形的直观图不是菱形,所以 C 错误;对于 D 中,根据平行线不变,可知平行四边形的直观图还是平行四边形,所以 D 正确.故选:D.【变式 1-3】(23-24 高一下·陕西宝鸡·期中)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论中错误的是( )A.相等的线段在直观图中仍然相等B.相等的角在直观图中不一定相等C.平行的线段在直观图中仍然平行D.互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直【解题思路】根据斜二测画法的作图规则结合反例,判断各选项.【解答过程】如图:四边形 为正方形,由斜二测画法可得其直观图如下:对于 A,因为 = ,而 ′ ′ ≠ ′ ′,故相等的线段在直观图中仍然相等这种说法错误,A 错误;对于 B,因为∠ = ∠ ,而∠ ′ ′ ′ ≠ ∠ ′ ′ ′故相等的角在直观图中不一定相等这种说法正确,B 正确;对于 C,由斜二测画法性质可得平行的线段在直观图中仍然平行,C 正确;对于 D,因为 ⊥ ,而 ′ ′, ′ ′不垂直,所以互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直这种说法正确,D 正确.故选:A.【题型 2 画平面图形的直观图】【例 2】(23-24 高一下·湖南株洲·期中)利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图,正确的是( )A. B.C. D.【解题思路】利用直观图的性质求解即可.π【解答过程】由直观图的性质得原正方形的横向长度不变,纵向长度减半,横纵夹角变为4,显然 C 正确.故选:C.【变式 2-1】(23-24 高一下·四川遂宁·期中)如图,已知等腰三角形 ,则如图所示①②③④的四个图中,可能是 △ 的直观图的有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【解题思路】按照直观图的概念依次判断即可.【解答过程】等腰三角形画成直观图后,原来的腰长不相等,①②不正确,③为∠ ′ ′ ′ = 135 的直观图,④为∠ ′ ′ ′ = 45 的直观图.故可能是 △ 的直观图的有:③④.故选:B.【变式 2-2】(24-25 高一下·全国·课后作业)用斜二测画法画出图中四边形 OBCD 的直观图.【解题思路】根据斜二测画法的规则和步骤,将直角画成45°,沿 ′轴方向长度不变, ′轴方向是原图形长度的一半,即可做出直观图.【解答过程】分以下三步进行作图:(1)过点 C 作 ⊥ 轴,垂足为 E,如图①所示.(2)画出对应的 ′轴、 ′轴,使∠ ′ ′ ′ = 45°,在 ′轴上取点 ′, ′,使得 ′ ′ = , ′ ′ = ;在 1′轴上取一点 ′,使得 ′ ′ = 2 ;过 ′作 ′ ′∥ 1′轴,使 ′ ′ = ,连接 ′ ′, ′ ′2 ,如图②所示.(3)擦去 ′轴与 ′轴及其他辅助线,如图③所示,四边形 ′ ′ ′ ′就是所求的直观图.【变式 2-3】(2025 高一·全国·专题练习)用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图.【解题思路】根据斜二测画法的规则作图.【解答过程】(1)用斜二测画法画出水平放置的等腰梯形,如下图所示:画出相应的 ′轴、 ′轴,使∠ ′ ′ ′ = 45°,过点 作 ⊥ 轴,垂足为 ,过点 作 ⊥ 轴,垂足为 ,在 ′轴上取 ′ ′ = , ′ ′ = , ′ ′ = ,过点 ′作 ′ ′// 1 1′轴,使 ′ ′ = 2 ,过点 ′作 ′ ′// ′轴,使 ′ ′ = 2 ,连结 ′ ′, ′ ′, ′ ′,则四边形 ′ ′ ′ ′就是等腰梯形的直观图.(2)用斜二测画法画出正五边形的直观图,如下图所示:连接 交 于 ,画出相应的 ′轴、 ′轴,使∠ ′ ′ ′ = 45°,在 ′轴上取 ′ ′ = , ′ ′ = ,在 1 1′轴上取 ′ ′ = 2 , ′ ′ = 2 ,过点 ′作 ′ ′// ′轴,且 ′ ′ = ,过点 ′作 ′ ′// ′轴,且 ′ ′ = ,连结 ′ ′, ′ ′, ′ ′, ′ ′,则五边形 ′ ′ ′ ′ ′就是所求的直观图.【题型 3 画空间几何体的直观图】【例 3】(24-25 高一·湖南·课后作业)画出下列图形的直观图:(1)棱长为 4cm 的正方体;(2)底面半径为 2cm,高为 4cm 的圆锥.【解题思路】根据要求用斜二测法画出符合要求的直观图【解答过程】(1)如下图所示,按如下步骤完成:第一步:作水平放置的正方形 ABCD 的直观图,使得 AB=4cm,BC=2cm,且∠DAB=45°,取平行四边形 ABCD的中心 O,作 x 轴∥AB,y 轴∥BD,第二步:过点 O 作∠xOz=90°,过点 A、B、C、D 分别作 1, 1, 1, 1等于 4cm,顺次连接 1 1 1 1,第三步:去掉图中的辅助线,就得到棱长为 4 的正方体的直观图.(2)如下图所示,按如下步骤完成:第一步:作水平放置的圆的直观图 ⊙ ′,使 ′ ′ = 4cm, ′ ′ = 2cm.第二步:过 ′作 ′轴,使∠ ′ ′ ′ = 90°,在 ′上取点 ′,使 ′ ′=4cm,连接 ′ ′, ′ ′.第三步:去掉图中的辅助线,就得到所求圆锥的直观图.【变式 3-1】(2024 高一下·全国·专题练习)有一个正六棱锥,底面边长为 3 cm,高为 3 cm,画出这个正六棱锥的直观图.【解题思路】借助直观图的画法逐步画出即可得.【解答过程】(1)先画出边长为 3 cm 的正六边形的水平放置的直观图,如图①所示.(2)过正六边形的中心 O′建立 z′轴,在 z′轴上截取 O′V′=3 cm,如图②所示.(3)连接 V′A′,V′B′,V′C′,V′D′,V′E′,V′F′,如图③所示.(4)擦去辅助线,遮挡部分用虚线表示,即得到正六棱锥的直观图,如图④所示.【变式 3-2】(24-25 高一·湖南·课后作业)画出图中简单组合体的直观图(尺寸单位:cm).【解题思路】利用斜二测画法求解.【解答过程】如图所示:【变式 3-3】(2024 高一下·全国·专题练习)用斜二测画法画出正六棱锥 (底面 是正六边形,点 与底面正六边形的中心 的连线垂直于底面)的直观图(尺寸自定).【解题思路】根据给定条件,利用斜二测画法规则,按画底面再确定顶点的步骤作出正六棱锥的直观图.【解答过程】(1)画底面:①在正六边形 中, 的中点为 , 的中点为 ,以 所在直线为 轴, 所在直线为 轴,两轴相交于点 (如图①所示),画相应的 ′轴、 ′轴和 ′轴,三轴交于点 ′,使∠ ′ ′ ′ = 45°,∠ ′ ′ ′ = 90°(如图②所示),② 1在图②中,以 ′为中点,在 ′轴上取 ′ ′ = ,在 ′轴上取 ′ ′ = 2 ,以 ′为中点画 ′ ′平行于 ′轴,并且等于 ;再以 ′为中点画 ′ ′平行于 ′轴,并且等于 ,③连接 ′ ′, ′ ′, ′ ′, ′ ′,得到底面正六边形 的直观图 ′ ′ ′ ′ ′ ′,(2)画顶点:在 ′轴的正半轴上任意选取一点(不含点 ′)为 ′,(3)成图:连接 ′ ′, ′ ′, ′ ′, ′ ′, ′ ′, ′ ′,并擦去 ′, ′, ′轴,加以整理(将被遮挡的线改为虚线),便得到正六棱锥 的直观图 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′(如图③所示).【题型 4 由直观图还原几何图形】【例 4】(23-24 高一上·甘肃兰州·期末)如图所示,矩形 ′ ′ ′ ′是水平放置一个平面图形的直观图,其中 ′ ′ = 6, ′ ′ = 2,则原图形是( )A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形【解题思路】根据直观图与原图的关系即可得解.【解答过程】因为矩形 ′ ′ ′ ′中 ′ ′// ′ ′, ′ ′ = ′ ′,所以直观图还原得 // , = = ′ ′ = 6,四边形 为平行四边形, ⊥ ,则 ′ ′ = ′ ′ = 2,所以 = 2, ′ ′ = 2 ′ ′ = 2 2, = 2 ′ ′ = 4 2, = 2 + 2 = 22 + (4 2)2 = 6,所以 = = 6,故原图形为菱形.故选:C.【变式 4-1】(23-24 高一下·黑龙江·期中)如图,用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为 1的正方形,则原图形的形状是( )A. B.C. D.【解题思路】根据斜二测画法的规则进行判断.【解答过程】由斜二测画法的规则,与 轴平行的线段长度不变,注意到正方形的对角线在 轴上,对角线长为 2,经过斜二测画法后对角线会变为原来的一半,故原图的对角线长是2 2,只有 A 符合题意.故选:A.【变式 4-2】(23-24 高一下·天津河北·期中)如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是下图中的( )A. B. C. D.【解题思路】由斜二测画法的规则可知:平行于 ′轴的线在原图中平行于 轴,且长度不变,作出原图,即可选出答案.【解答过程】设直观图中与 ′轴和 ′轴的交点分别为 ′和 ′,根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的 和 点,再由平行于 ′轴的线在原图中平行于 轴,且长度不变,作出原图得四边形 ,故选:B.【变式 4-3】(24-25 高二上·贵州遵义·阶段练习)把 △ 按斜二测画法得到 △ ′ ′ ′,如图所示,其中 ′ ′ = ′ ′ = 1, ′ ′ = 3,那么 △ 是一个( )2A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.三边互不相等的三角形【解题思路】根据斜二侧画法还原 △ 在直角坐标系的图形,进而分析出 △ 的形状.【解答过程】根据斜二侧画法还原 △ 在直角坐标系的图形,如下图所示:由图得 = 3, = = ( 3)2 + 12 = 2 = ,故 △ 为等边三角形,故选:A.【题型 5 斜二测画法中有关量的计算】【例 5】(24-25 高一上·全国·期中)用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示,边 平行于 y轴, , 平行于 x 轴,若四边形 为等腰梯形,且 = = 1cm,则原四边形的周长为( )cm.A.3 + 2 + 3 B.3 + 2 + 6 C.4 + 2 + 5 D.4 + 2 + 6【解题思路】根据斜二测画法画法,结合题中条件求出各边边长,即可求出结果.【解答过程】记四边形 所对应的原四边形为四边形 1 1 1 1,由题意可得,原四边形中 1 1 ⊥ 1 1, 1 1、 1 1都与 轴平行,即四边形是直角梯形,因为 = = 1cm,四边形 为等腰梯形,所以 = cos45° + + cos45° = 1 + 2cm,所以 1 1 = 2cm, 1 1 = 1cm, 1 1 = 1 + 2cm,因此 1 1 = 1 12 + ( 1 1 1 1)2 = 6cm,所以原四边形的周长为 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 = 4 + 2 + 6cm.故选:D.【变式 5-1】(23-24 高一下·重庆九龙坡·期中)如图, △ ′ ′ ′是水平放置的 △ 斜二测画法的直观图,△ ′ ′ ′的边 ′ ′ = 6, ′ ′ = 4,则原 △ 中角 A 的角平分线长度是( )A.2 13 B.3 3 C.4 3 D.3 5【解题思路】由 △ 的直观图可得 = 6, = 8, = 10,再利用角平分线定理可求得 = 3,再由勾股定理可得结论.【解答过程】易知 △ 为直角三角形,且 = 6, = 8,由勾股定理可得 = 10,设角 A 的角平分线交 BC 于 D,如下图所示:根据角平分线性质知 : = : = 6:10,又因为 = 8,所以 = 3, = 5,所以 = 2 + 2 = 62 + 32 = 3 5,故选:D.【变式 5-2】(23-24 高一下·浙江台州·期中)如图,水平放置的四边形 的斜二测直观图为矩形 ′ ′ ′ ′,已知 ′ ′ = ′ ′ = 1, ′ ′ = 1,则四边形 的周长为( )A.6 2 B.12 2 C.8 D.10【解题思路】根据斜二测画法的原则进行求解即可.【解答过程】由题设知:原四边形中 = = ′ ′ = ′ ′ = 2且 // ,所以原四边形 为平行四边形,而 ′ ′ = 2,则原四边形中 = 2 2,故 = = 2 + 2 = 3,综上,四边形 的周长为 + + + = 10.故选:D.【变式 5-3】(23-24 高一下·湖北武汉·期中)如图,四边形 的斜二测画法直观图为等腰梯形 ′ ′ ′ ′.已知 ′ ′ = 4, ′ ′ = 2,则下列说法正确的是( )A. = 2B. ′ ′ = 2 2C.四边形 的周长为4 + 2 2 +2 3D.四边形 的面积为6 2【解题思路】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关.【解答过程】如图可知 = 4, ′ ′ = 2, = 2 2,四边形 1的周长为6 + 2 2 +2 3,四边形 的面积为2 × (4+2) × 2 2=6 2.故选:D.【题型 6 平面图形的面积与其直观图的面积的关系】【例 6】(23-24 高一下·广东广州·期中)如图,已知等腰直角三角形 ′ ′ ′是一个平面图形的直观图, ′ ′ = ′ ′,斜边 ′ ′ = 2,则这个平面图形的面积是( )A.2 2 B.1 C. 2 D. 22【解题思路】根据斜二测画法的定义,画出平面图形,求得原三角形的直角边,从而面积可得.【解答过程】利用斜二测画法的定义,画出原图形,由Rt △ ′ ′ ′是等腰直角三角形, ′ ′ = ′ ′,斜边 ′ ′ = 2,得 ′ ′ = 2 ′ ′ = ,2 2因此 = ′ ′ = 2, = 2 ′ ′ = 2 2,∠ = 90 ,1所以原平面图形的面积是2 × 2 × 2 2 = 2 2.故选:A.【变式 6-1】(24-25 高二上·湖南岳阳·期中)有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示).∠ = 45 , = = 1, ⊥ ,则这块菜地的面积为( )A.2 + 2 B.2 3 C.2 + 2 D.32【解题思路】利用直观图中的信息,求出 的长度,结合斜二测法的定义得到原平面图形中的上底,下底及高的长度,利用梯形的面积公式求解即可.【解答过程】在直观图中,过 作 ⊥ 于 ,∵ ∠ = 45 , = = 1, ⊥ ,∴ = = 1, = = 2,2∴ = 1 + 2,2故原平面图形为梯形,其上底为1,下底为1 + 2,高为 = 2,2 21所以这块菜地的面积为 = 22 × (1 + 1 + ) × 2 = 2 +2,2 2故选:C.【变式 6-2】(23-24 高一下·安徽合肥·期中)如图, △ ′ ′ ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图.(1)画出它的原图形;(2)若 ′ ′ = 2, △ ′ ′ ′ 3的面积是 ,求原图形中 边上的高和原图形的面积.2【解题思路】(1)利用直观图与原图形的关系作图即可得;(2)利用直观图的性质计算可得原图形对应边长,即可计算原图形的高与面积.【解答过程】(1)画出平面直角坐标系 ,在 轴上取 = ′ ′,即 = ′ ′,在图①中,过 ′作 ′ ′// ′轴,交 ′轴于 ′,在 轴上取 = ′ ′,过点 作 // 轴,并使 = 2 ′ ′,连接 , ,则 △ 即为 △ ′ ′ ′原来的图形,如图②所示:(2)由(1)知,原图形中, ⊥ 于点 ,则 为原图形中 边上的高,且 = 2 ′ ′,在直观图中作 ′ ′ ⊥ ′ ′于点 ′,则 △ 1′ ′ ′ 3的面积 △ ′ ′ ′ = 2 ′ ′ × ′ ′ = ′ ′ = ,2在直角三角形 ′ ′ ′中, ′ ′ = 2 ′ ′ = 6,所以 = 2 ′ ′ =2 6,1所以S△ = 2 × = 6.故原图形中 边上的高为 6,原图形的面积为 6.【变式 6-3】(23-24 高一下·安徽芜湖·期中)(1)画出图中水平放置的四边形 的直观图;(2)求出原图和直观图的面积.【解题思路】(1)确定各点对应点的位置,即可得到直观图;(2)根据面积公式计算可得.【解答过程】(1)由斜二测画法:纵向减半,横向不变;即可知 、 1的对应点为 ′(3,1)、 ′ 0, ,2而 、 对应点位置不变,即 ′(4,0)、 ′( 2,0),则四边形 的直观图如下图示:2 1 1( )原图的面积 = △ + △ = 2 × 6 × 2 + 2 × 6 × 1 = 9,直观图的面积 = + = 1 ′ ′ ′ ′ △ ′ ′ ′ △ ′ ′ ′ 2 × 6 × 1 × sin45° + 1 1 ° 9 22 × 6 × 2 × sin45 = .4专题 8.2 立体图形的直观图【六大题型】【人教 A 版(2019)】【题型 1 斜二测画法的辨析】 ................................................................................................................................2【题型 2 画平面图形的直观图】 ............................................................................................................................3【题型 3 画空间几何体的直观图】 ........................................................................................................................4【题型 4 由直观图还原几何图形】 ........................................................................................................................5【题型 5 斜二测画法中有关量的计算】 ................................................................................................................6【题型 6 平面图形的面积与其直观图的面积的关系】 ........................................................................................7【知识点 1 立体图形的直观图】1.空间几何体的直观图(1)直观图的概念直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图,实际上是把不完全在同一平面内的点的集合,用同一平面内的点表示.因此,直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.在立体几何中,立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.(2)斜二测画法及其步骤利用平行投影,人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图,其步骤是:①在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O.画直观图时,把它们画成对应的 x'轴和 y'轴,两轴相交于点 O',且使∠x'O'y'= (或 ),它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别面成平行于 x'轴或 y'轴的线段.③已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段,在直观图中长度为原来的一半.(3)旋转体及其相关概念斜二测画法画空间几何体的直观图的规则画几何体的直观图时,与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与 x 轴、y 轴都垂直的 z 轴,并且有以下规则.①已知图形中,平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x'轴、y'轴或 z'轴的线段.②已知图形中平行于 x 轴或 z 轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于 y 轴的线段,长度变为原来的一半.③连线成图以后,擦去作为辅助线的坐标轴,就得到了空间图形的直观图.2.平面图形的面积与其直观图的面积间的关系(1)以三角形为例,则有 .如图所示, ,它的直观图的面积.(2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系: = .即若记一个平面多边形的面积为 S 原,由斜二测画法得到的直观图的面积为 S 直,则有 S 直= S 原.3.斜二测画法的常用结论:(1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.“平行于 x 轴的线段平行性不变,长度不变;平行于 y轴的线段平行性不变,长度减半.”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系: .【题型 1 斜二测画法的辨析】【例 1】(2024 高一下·全国·专题练习)关于斜二测画法所得直观图,以下说法正确的是( )A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形【变式 1-1】(2024 高一下·全国·专题练习)下列说法中正确的是( )A.相等的角在直观图中对应的角仍然相等B.相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等C.不相等的线段在直观图中对应的线段一定不相等D.线段的中点在直观图中仍然是线段的中点【变式 1-2】(23-24 高一下·天津·期末)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论正确的是( )A.正方形的直观图是正方形B.矩形的直观图是矩形C.菱形的直观图是菱形D.平行四边形的直观图是平行四边形【变式 1-3】(23-24 高一下·陕西宝鸡·期中)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论中错误的是( )A.相等的线段在直观图中仍然相等B.相等的角在直观图中不一定相等C.平行的线段在直观图中仍然平行D.互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直【题型 2 画平面图形的直观图】【例 2】(23-24 高一下·湖南株洲·期中)利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图,正确的是( )A. B.C. D.【变式 2-1】(23-24 高一下·四川遂宁·期中)如图,已知等腰三角形 ,则如图所示①②③④的四个图中,可能是 △ 的直观图的有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【变式 2-2】(24-25 高一下·全国·课后作业)用斜二测画法画出图中四边形 OBCD 的直观图.【变式 2-3】(2025 高一·全国·专题练习)用斜二测画法画出如图所示水平放置的等腰梯形和正五边形的直观图.【题型 3 画空间几何体的直观图】【例 3】(24-25 高一·湖南·课后作业)画出下列图形的直观图:(1)棱长为 4cm 的正方体;(2)底面半径为 2cm,高为 4cm 的圆锥.【变式 3-1】(2024 高一下·全国·专题练习)有一个正六棱锥,底面边长为 3 cm,高为 3 cm,画出这个正六棱锥的直观图.【变式 3-2】(24-25 高一·湖南·课后作业)画出图中简单组合体的直观图(尺寸单位:cm).【变式 3-3】(2024 高一下·全国·专题练习)用斜二测画法画出正六棱锥 (底面 是正六边形,点 与底面正六边形的中心 的连线垂直于底面)的直观图(尺寸自定).【题型 4 由直观图还原几何图形】【例 4】(23-24 高一上·甘肃兰州·期末)如图所示,矩形 ′ ′ ′ ′是水平放置一个平面图形的直观图,其中 ′ ′ = 6, ′ ′ = 2,则原图形是( )A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形【变式 4-1】(23-24 高一下·黑龙江·期中)如图,用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为 1的正方形,则原图形的形状是( )A. B.C. D.【变式 4-2】(23-24 高一下·天津河北·期中)如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是下图中的( )A. B. C. D.【变式 4-3】(24-25 高二上·贵州遵义·阶段练习)把 △ 按斜二测画法得到 △ ′ ′ ′,如图所示,其中 ′ ′ = ′ ′ = 1 3, ′ ′ = ,那么 △ 是一个( )2A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.三边互不相等的三角形【题型 5 斜二测画法中有关量的计算】【例 5】(24-25 高一上·全国·期中)用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示,边 平行于 y轴, , 平行于 x 轴,若四边形 为等腰梯形,且 = = 1cm,则原四边形的周长为( )cm.A.3 + 2 + 3 B.3 + 2 + 6 C.4 + 2 + 5 D.4 + 2 + 6【变式 5-1】(23-24 高一下·重庆九龙坡·期中)如图, △ ′ ′ ′是水平放置的 △ 斜二测画法的直观图,△ ′ ′ ′的边 ′ ′ = 6, ′ ′ = 4,则原 △ 中角 A 的角平分线长度是( )A.2 13 B.3 3 C.4 3 D.3 5【变式 5-2】(23-24 高一下·浙江台州·期中)如图,水平放置的四边形 的斜二测直观图为矩形 ′ ′ ′ ′,已知 ′ ′ = ′ ′ = 1, ′ ′ = 1,则四边形 的周长为( )A.6 2 B.12 2 C.8 D.10【变式 5-3】(23-24 高一下·湖北武汉·期中)如图,四边形 的斜二测画法直观图为等腰梯形 ′ ′ ′ ′.已知 ′ ′ = 4, ′ ′ = 2,则下列说法正确的是( )A. = 2B. ′ ′ = 2 2C.四边形 的周长为4 + 2 2 +2 3D.四边形 的面积为6 2【题型 6 平面图形的面积与其直观图的面积的关系】【例 6】(23-24 高一下·广东广州·期中)如图,已知等腰直角三角形 ′ ′ ′是一个平面图形的直观图, ′ ′ = ′ ′,斜边 ′ ′ = 2,则这个平面图形的面积是( )A.2 2 B.1 C. 2 D. 22【变式 6-1】(24-25 高二上·湖南岳阳·期中)有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示).∠ = 45 , = = 1, ⊥ ,则这块菜地的面积为( )A.2 + 2 B.2 3 C.2 + 2 D.32【变式 6-2】(23-24 高一下·安徽合肥·期中)如图, △ ′ ′ ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图.(1)画出它的原图形;(2)若 ′ ′ = 2, △ ′ ′ ′ 3的面积是 ,求原图形中 边上的高和原图形的面积.2【变式 6-3】(23-24 高一下·安徽芜湖·期中)(1)画出图中水平放置的四边形 的直观图;(2)求出原图和直观图的面积. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 专题8.2 立体图形的直观图【六大题型】(举一反三)(原卷版)2024-2025学年高一数学举一反三系列(人教A版2019必修第二册).pdf 专题8.2 立体图形的直观图【六大题型】(举一反三)(解析版)2024-2025学年高一数学举一反三系列(人教A版2019必修第二册).pdf