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专题 8.6 空间直线、平面的垂直（一）【八大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 异面直线所成的角】 ................................................................................................................................1
【题型 2 线线垂直的判定】 ....................................................................................................................................4
【题型 3 线面垂直的判定】 ....................................................................................................................................9
【题型 4 直线与平面所成的角】 ..........................................................................................................................12
【题型 5 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】 ..........................................................................................17
【题型 6 由线面垂直的性质证明面面平行】 ......................................................................................................21
【题型 7 根据线面垂直求参数】 ..........................................................................................................................24
【题型 8 平面内的射影问题】 ..............................................................................................................................29
【知识点 1 直线与直线垂直】
1．异面直线所成的角
(1)两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 分别作直线 a'∥a，b'∥b，我们把直线 a'，b'所成的
角叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角 必须是锐角或直角，即 的范围是 < .
(3)两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线 a 与直线 b 垂直，记
作 a⊥b.
【题型 1 异面直线所成的角】
【例 1】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知直三棱柱 1 1 1中，∠ = 120°， = 2， = 1
= 1，则异面直线 1与 1所成角的余弦值为（ ）
A 3 10 3． B． 15 C． D．
2 5 5 3
【解题思路】先补充图形，找到异面直线的夹角，将其放在直角三角形内，利用锐角三角函数的定义求解
余弦值即可.
【解答过程】如图所示，将直三棱柱 1 1 1补成直四棱柱 1 1 1 1，
其中四棱柱的底面为平行四边形，连接 1， 1 1，
则 1// 1，所以∠ 1 1（或其补角）为异面直线 1与 1所成的角．
因为∠ = 120°， = 2， = 1 = 1，
且由题意得 1 ⊥ , 1 ⊥ ，
所以 1 = 5， 1 = 2．在 △ 1 1 1中，
∠ 1 1 1 = 60°， 1 1 = 1， 1 1 = 2，
1 12+22 ( )2
由余弦定理得 = 1 12 2×2×1 ，
解得 1 1 = 3(负根舍去)，则 21 = 21 + 1 21 ，
∠ 2 10所以 1 1 = 90°，所以cos∠ 1 1 = = ，故 C 正确.5 5
故选：C.
【变式 1-1】（23-24 高一下·福建福州·期末）在正三棱柱 1 1 1中， = 1， ， 分别是 1 1，
1中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A 1 B 2 C 6 D 2 6．5 ．5 ． ．5 5
【解题思路】设 = 1 = 4，取 1的中点 ， 的中点 ， 的中点 ,可得异面直线 与 所成角
为∠ 1 或其补角，利用余弦定理即可求解.
【解答过程】设 = 1 = 4，取 1的中点 ， 的中点 ， 的中点 ,
易知 // 1, // 1 // ,
所以异面直线 与 所成角为∠ 1 或其补角.
由正三棱柱的几何特征可得 ⊥ , 1 ⊥ 1 1， 1 ⊥ .
= 2 + 2 = 22 + 12 = 5,
1 = 1 2 + ( 1 1)2 = 22 + 42 = 2 5,
= 4 × sin60° = 2 3， = 2 + 2 = 1 + 12 = 13，
1 = 2 + 1 2 = 13 + 16 = 29,
2 2
△ cos∠ = +( 1)
2
1 5+20 29 1在 1 中，由余弦定理可得 1 2 = = ,1 2 5×2 5 5
1
所以直线 与 所成角的余弦值为5.
故选:A.
【变式 1-2】（23-24 高一下·安徽·期末）在正四棱台 1 1 1 1中， = 2 1 1 = 2 1，点 为底面
的中心，则异面直线 1与 1所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解题思路】由棱台的结构特征可得 1 // 1，则∠ 1 1或其补角为异面直线 1与 1所成的角，利用
正棱台的结构求解即可．
【解答过程】如图所示，连接 1 1, , ，则 ∩ = ，连接 1 ，因为 = 2 1 1 = 2 1，
所以 = 2 1 1．易知四边形 1 1 为平行四边形，则 1 // 1，且 1 = 1，
所以∠ 1 1或其补角为异面直线 1与 1所成的角，
同理知 1 = 1，又 1 = 1 = 1 1，所以 △ 1 1为等边三角形，所以∠ 1 1 = 60°，
故选：C．
【变式 1-3】（23-24 高一下·广东潮州·期末）已知空间四边形 中， 、 分别是 、 的中点，若
= 2 3， = 4， ⊥ ，则 与 所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解题思路】设 为 的中点，连接 ， ，即可得到 与 所成的角即为 与 所成的角，再由锐角
三角函数计算可得.
【解答过程】设 为 的中点，连接 ， ，又 、 分别是 、 的中点，
所以 、 分别为 △ 、 △ 的中线，
所以 // 且 = 1 12 = 3， // 且 = 2 = 2，
所以 与 所成的角即为 与 所成的角，
又 ⊥ ，所以 ⊥ ，所以 △ 为直角三角形，且∠ = 90°，
3
所以sin∠ = = ，所以∠ = 60°，2
即 与 所成的角为60°.
故选：C.
【题型 2 线线垂直的判定】
【例 2】（24-25 高二上·上海·阶段练习）若空间中四条两两不同的直线 1, 2, 3, 4，满足 1 ⊥ 2， 2 ⊥ 3， 3 ⊥
4, 则下面结论一定正确的是（ ）
A． 1 ⊥ 4 B． 1// 4
C． 1、 4既不垂直也不平行 D． 1、 4的位置关系不确定
【解题思路】将满足题意的直线放入长方体模型判断即可.
【解答过程】如图所示，取 1 = ， 2 = 1， 3 = 1 1，
当取 4 = 1 1时， 1// 4，当取 4 = 1时， 1 ⊥ 4，排除 ABC.
故选：D.
【变式 2-1】（24-25 高一·全国·课后作业）如图，在正方体 1 1 1 1中， 是底面 的中心，
1 ⊥ 1 ， 为垂足，则 1 与平面 1 的位置关系是
A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都不对
【解题思路】连接 1 1, ，根据线面垂直的判定定理，即可证明 1 ⊥ 平面 1 .
【解答过程】
连接 1 1, .
∵几何体 1 1 1 1是正方体，底面 是正方形，
∴ ⊥ .
又∵ 1 ⊥ , ∩ 1 = ，∴ ⊥ 平面 1 1.
∵ 1 平面 1 1，∴ ⊥ 1 .
∵ 1 ⊥ 1 , ∩ 1 = ，∴ 1 ⊥ 平面 1 .
故选 A.
【变式 2-2】（24-25 高一·全国·课后作业）如图所示，在空间四边形 ABCD 中，AD=BC=2，E，F 分别是
AB，CD 的中点，EF= 2．求证：AD⊥BC．
【解题思路】通过平移后再解三角形即可获得证明.
【解答过程】证明：如图所示，取 BD 的中点 H，连接 EH，FH．
因为 E 是 AB 的中点，且 AD=2，
所以 EH∥AD，EH=1．同理 FH∥BC，FH=1．
所以∠EHF(或其补角)是异面直线 AD，BC 所成的角．
因为 EF= 2，所以 EH2+FH2=EF2，
所以 △ EFH 是等腰直角三角形，EF 是斜边，
所以∠EHF=90°，即 AD 与 BC 所成的角是 90°，
所以 AD⊥BC．
【变式 2-3】（24-25 高二上·云南昭通·期中）如图所示，在正方体 1 1 1 1中， = 1.证明：
(1) 1 ⊥ 1 ；
(2) 1与 1 是异面直线.
【解题思路】（1）根据当两直线所成的角是直角时，两直线垂直即可证明
（2）根据异面直线的定义可得
【解答过程】（1）如图所示，连接 1，
∵ 1 1 1 1为正方体，
∴ ∥ 1 1，
∴ 平面 1 1为平行四边形，
∴ 1 ∥ 1, 1 = 1.
∵ 1 1为正方形，
∴ 1 ⊥ 1 ，
∴ 1 ⊥ 1 .
（2）由 1 面 1 1， 1 面 1 1，且面 1 1//面 1 1，
又 1与 1 不平行， ∴ 1与 1 是异面直线.
【知识点 2 直线与平面垂直】
1．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 互相垂直，记作 l⊥ .直线 l 叫
做平面 的垂线，平面 叫做直线 l 的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 P 叫做垂足.
(2)点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的
长度叫做这个点到该平面的距离.
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a α，b α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b l⊥α.
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
3．直线与平面所成的角
(1)定义
①斜线和斜足：如图，一条直线 l 与一个平面 相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的
斜线，斜线和平面的交点 A 叫做斜足.
②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点 P 向平面 引垂线 PO，过垂足 O 和斜足 A 的
直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影.
③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所
成的角.
(2)直线与平面所成的角的范围
①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 .
②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 .
③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角 的范围是 < .
④直线与平面所成的角 的取值范围是 .
4．直线与平面垂直的性质定理
(1)直线与平面垂直的性质定理
①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
②图形语言：如图所示．
③符号语言：a⊥α，b⊥α a∥b.
(2)性质定理的作用
①由线面垂直证明线线平行.
②构造平行线.
5．点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来
确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证
明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定.
(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.
(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在
平面内的射影是这个角的平分线所在直线.
【题型 3 线面垂直的判定】
【例 3】（2024·湖北·一模）如图，在正方体 1 1 1 1中， , , 分别为 , 1, 1的中点，则与
平面 垂直的直线可以是（ ）
A． 1 B． 1 C． 1 D． 1
【解题思路】作出与平面 平行的平面 1 1，证明 1 ⊥ 面 1 1即可.
【解答过程】连接 1, 1 1, 1, 1 1, ，如下图所示：
因为 , , 分别为 , 1, 1的中点，故 // 1， 1 1// ，
又 面 1 1, 1 面 1 1，故 //面 1 1；
又 面 1 1, 1 1 面 1 1，故 //面 1 1；
又 ∩ = , , 面 ，故面 //面 1 1；
则垂直于平面 的直线一定垂直于面 1 1；
显然 1 ⊥ 面 1 1 1 1, 1 1 面 1 1 1 1，故 1 1 ⊥ 1，
又 1 1 ⊥ 1 1， 1 1 ∩ 1 = 1, 1 1, 1 面 1 1 ，
故 1 1 ⊥ 面 1 1 ，又 1 面 1 1 ，故 1 ⊥ 1 1；
同理可得 1 ⊥ 1，又 1 ∩ 1 1 = 1, 1, 1 1 面 1 1，
故 1 ⊥ 面 1 1，也即 1 ⊥ 面 ；
若其它选项的直线垂直于平面 ，则要与 1 平行，显然都不平行.
故选：D.
【变式 3-1】（23-24 高一下·天津河西·期末）如图，圆柱 ′中， ′是侧面的母线， 是底面的直径， 是
底面圆上一点，则（ ）
A． ⊥ 平面 ′
B． ⊥ 平面 ′
C． ⊥ 平面 ′
D． ⊥ 平面 ′
【解题思路】根据线面垂直的判定定理、性质定理及定义逐项判断即可.
【解答过程】依题意 ′ ⊥ 平面 ， 平面 ，所以 ′ ⊥ ，
又 是底面圆的直径，所以 ⊥ ，
′ ∩ = ， ′， 平面 ′ ，所以 ⊥ 平面 ′ ，故 A 正确；
对于 B，在 △ 中， ⊥ ，显然 与 不垂直，则 不可能垂直平面 ′ ，故 B 错误；
对于 C：在 △ ′ 中， ′ ⊥ ，显然 与 ′ 不垂直，则 不可能垂直平面 ′ ，故 C 错误；
对于 D：在 △ 中， ⊥ ，显然 与 不垂直，则 不可能垂直平面 ′ ，故 D 错误；
故选：A.
【变式 3-2】（2024 高二下·福建·学业考试）如图，四棱锥 的底面是正方形， ⊥ 底面 .
(1)若 = = 1，求四棱锥 的体积
(2)求证： ⊥ 平面
【解题思路】（1）根据体积公式可求四棱锥 的体积.
（2）可证 ⊥ ，结合 ⊥ 可证 ⊥ 平面 .
【解答过程】（1）因为 ⊥ 底面 ，故四棱锥 的高为 = 1，
而正方形 的面积为1，故 1 1 = 3 × 1 × 1 = 3.
（2）因为 ⊥ 底面 ，而 平面 ，故 ⊥ ，
由正方形 可得 ⊥ ，因 ∩ = , , 平面 ，
故 ⊥ 平面 .
【变式 3-3】（23-24 高一下·辽宁·期末）如图，在三棱柱 1 1 1中，底面 是正三角形， ， 分别
为 1 1， 1的中点， 1 ⊥ 1 .
(1)求证： 1 //平面 1 ；
(2)若 = 1，求证： 1 ⊥ 平面 1 .
【解题思路】（1）设 1 ∩ 1 = ，连接 ， ，即可证明四边形 1 为平行四边形，从而得到 1//
，即可得证；
（2）依题意可得平行四边形 1 1 为菱形，即可得到 1 ⊥ 1 ，再由 1 ⊥ 1 得到 1 ⊥ ，从而得
证.
【解答过程】（1）设 1 ∩ 1 = ，连接 ， ，
则 为 1的中点，又 ， 分别为 1 1， 1的中点，
// = 1 // = 1所以 1且 2 1， 1 1且 1 2 1，
所以 1// 且 1 = ，
所以四边形 1 为平行四边形，
所以 1// ，又 1 平面 1 ， 平面 1 ，所以 1 //平面 1 ；
（2）因为 = 1，所以平行四边形 1 1 为菱形，所以 1 ⊥ 1 ，
又 1 ⊥ 1 ， // 1 ，所以 1 ⊥ ，
又 1 ∩ = ， 1 , 平面 1 ，
所以 1 ⊥ 平面 1 .
【题型 4 直线与平面所成的角】
【例 4】（23-24 高一下·重庆·阶段练习）如图所示，四棱锥 中， ⊥ 平面 ABCD，且四边形 ABCD
为矩形， = = 2 = 2，M 为 PD 的中点，则 CD 与平面 ACM 所成角的余弦值为（ ）
A 3 B 3 6 1． ． C． D．
2 3 3 2
【解题思路】过点 D 作 ⊥ 于点 N，证明 ⊥ 平面 ，得 CD 与平面 ACM 所成的角为∠ ，在
Rt △ 中，求∠ 的余弦值.
【解答过程】如图，过点 D 作 ⊥ 于点 N，
因为 ⊥ 平面 ABCD， 平面 ABCD，所以 ⊥ ，
又四边形 ABCD 为矩形， ⊥ ， ∩ = ， , 平面 AMD，
所以 ⊥ 平面 AMD，因为 平面 AMD，所以 ⊥ ，
△ 1在 中， = = 2，M 为 PD 的中点，所以 ⊥ 且 = 2 = 2，
又 ∩ = ， , 平面 CDM，所以 ⊥ 平面 CDM，
因为 平面 ACM，所以平面 ⊥ 平面 ，
因为平面 ∩ 平面 = ， ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，所以 CD 与平面 ACM 所成的角为∠ .
因为 ⊥ 平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
3
在Rt △ 中，cos∠ = = = 2+ 2 .3
故选：B.
【变式 4-1】（23-24 高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在三棱锥 中，∠ = 90°, ⊥ 平面
, = = ， 是 的中点，则 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A 2 B 6 C 3． ． ． D．
2 3 3 2
【解题思路】根据图形特征，取 中点 ，连接 , ，通过线面垂直的性质与判定得到 ⊥ 面 ，因
而∠ 是 与平面 所成角，再通过相关计算，在直角三角形中计算其正弦值即可.
【解答过程】如图，取 中点 ，连接 , ，令 = = = 2.
因为 ⊥ 面 ， 面 ，
所以 ⊥ ，
又因为 = = 2，
所以 ⊥ ，
因为 ⊥ 面 ， 面 ，
所以 ⊥ ，
又因为∠ = 90°，所以 ⊥ ，
因为 , 面 ， ∩ = ，
所以 ⊥ 面 ，
因为 面 ，
所以 ⊥ ，
因为 , 面 ， ∩ =
所以 ⊥ 面 ，
所以∠ 是 与平面 所成角，
因为 ⊥ ，. = = 2.，
2
所以 = =2 2,
由已证知， ⊥ 面 ，因为 面 ，
所以 ⊥ ，
所以 = 2 + 2 = 2 2，
因为 ⊥ 面 ， 面 ，
所以 ⊥ ，
所以 = 2 + 2 = 4 + 8 = 2 3，
所以 = 12 = 3，
由已证知， ⊥ 面 ，
又因为 面 ，所以 ⊥
所以sin∠ = = 2 = 6 ，3 3
6
即 与平面 所成角的正弦值是 .
3
故选：B．
【变式 4-2】（23-24 高一下·宁夏固原·期末）如图所示，已知 1 ⊥ 平面 ABC， 1∥ 1， = = 2，
= 2 = 12， 1 2 1 = 2，E 为 BC 的中点.
(1)求证：平面 1 ⊥ 平面 1；
(2)求直线 1 1与平面 1所成角的大小.
【解题思路】（1）根据线面垂直的判定定理，证明 ⊥ 平面 1，即可得证平面 1 ⊥ 平面 1；
（2）取 1中点 ，连接 , 1 ，先证明四边形 1 矩形，再由（1）可得 1 ⊥ 平面 1，从而得∠ 1 1

1为直线 1 1与平面 1所成角，在Rt △ 1 1 中，利用tan∠ 1 1 = 求解即可.1
【解答过程】（1）证明：因为 1 ⊥ 平面 ABC， 1∥ 1，
所以 1 ⊥ 平面 ABC，又因为 平面 ABC，所以 1 ⊥ ，
又因为 = = 2，E 为 BC 的中点，所以 ⊥ ，
又因为 , 1 平面 1，且 ∩ 1 = ，
所以 ⊥ 平面 1，又因为 平面 1，
所以平面 1 ⊥ 平面 1；
（2）解：取 1中点 ，连接 , 1 ，如图所示：
则有 ∥ 11，且 = 2 1，
1
由题意可知 1∥ 1，且 1 = 2 1，
所以 1∥ ，且 1= ，
所以四边形 1 为平行四边形，所以 1 ∥ ，
由（1）可知 ⊥ 平面 1，
所以 1 ⊥ 平面 1， 1 面 1，则 1 ⊥ 1 ，
所以∠ 1 1 即为直线 1 1与平面 1所成角，
又因为 = = 2， = 2 2，
易知 △ 为等腰直角三角形，
= 1所以 2 = 2，
所以 1 = = 2，
又因为 1 = 2 1 = 4，
在Rt △ 1 中， 1 = 2 + 21 = 16 + 8 = 2 6,
所以 1 =
1
2 1 = 6,

在Rt △ 1 1 中，tan∠ 1 =
1 = 2 = 31 ，1 6 3
π π
又因为∠ 1 1 ∈ (0,2)，所以∠ 1 1 = 6.
π
即直线 1 1与平面 1所成角为6.
【变式 4-3】（23-24 高一下·广东茂名·阶段练习）如图，在四棱锥 中，平面 ⊥ 底面 ，底
面 是直角梯形， // ， ⊥ ， = = = = 1， = 2， 是 的中点.
(1)证明： ⊥ 平面 ；
π
(2)底边 上是否存在异于端点的一点 ，使得直线 与平面 所成的角为6？若存在，求出 的值；若不
存在，请说明理由.
【解题思路】（1）根据面面垂直的性质可知 ⊥ 平面 ，即可得 ⊥ ，由题意可得 ⊥ ，结合
线面垂直的判定定理分析证明；
π
（2 ）做辅助线，分析可知∠ = 6，由垂直关系可得 ⊥ ，设 = ，利用等体积法运算求解.
【解答过程】（1）因为平面 ⊥ 平面 ，平面 ∩ 平面 = ， ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥ 平面 .
由 平面 ，可得 ⊥ ，
又因为 是 的中点， = ，则 ⊥ ，
且 ∩ = ， 、 平面 ，所以 ⊥ 平面 .
π
（2）假设在 上存在异于端点的点 ，使得直线 与平面 所成的角大小为6.
过点 作 ⊥ 平面 ，垂足为 ，连结 、 、 ，
π
则 ⊥ ，∠ = 6，

设 = ， = 2，则 = = 2 ，
由（1）可知： ⊥ 平面 ， // ，
可知 ⊥ 平面 ，
由 平面 ，可得 ⊥ ，
在Rt △ 中， = 2 + 2 = 12 + (2 )2 = 1 + 4 2，
π
在Rt △ 中， = sin = 1+4 26 ，2
因为底面 是直角梯形， // ， ⊥ ， = = = = 1，
则 = 2 + 2 = 2， = 2 + 2 = 2，
1 2
可得 △ = 2 2
= 7 1， △ = 2 =
1
2 4 2
× 2 × 1 = ，
1 1 2
由 = 得，3 △ = 3 △ 2

，
2
1 7
即 1+4
2 1
3 × × = 3 × × 1
1
，解得 = 35，
4 2 4 10
π
故存在点 ，使得直线 与平面 所成的角大小为6，此时 =
35
.10
【题型 5 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】
【例 5】（24-25 高一·全国·课后作业）在正方体 1 1 1 1中，直线 l（与直线 1不重合） ⊥ 平面
，则有（ ）
A． 1 ⊥ B． 1 ∥ C． 1与 l 异面 D． 1与 l 相交
【解题思路】根据线面垂直的性质即可得出答案.
【解答过程】解：因为 ⊥ 平面 ，且 1 ⊥ 平面 ，直线 l 与直线 1不重合，
所以 1 ∥ ．
故选：B.
【变式 5-1】（23-24 高一下·四川雅安·期末）已知下面给出的四个图都是正方体，A，B 为顶点，E，F 分别
是所在棱的中点，
则满足直线 ⊥ 的图形的个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【解题思路】通过作辅助线构造平面，由线面垂直的判定以及定义逐一证明即可.
【解答过程】对于①：如下图所示，点 为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质，
易证 ⊥ ，由 ⊥ 平面 ，得出 ⊥ ， , 平面
∩ = ，从而由线面垂直的判定得出 ⊥ 平面 ，则 ⊥ ，故①正确；
对于②：如下图所示，点 为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质，
易证 ⊥ ，由 ⊥ 平面 ，得出 ⊥ ， , 平面 ,
∩ = ，从而由线面垂直的判定得出 ⊥ 平面 ，则 ⊥ ，故②正确；
对于③：如下图所示，由中位线定理及等腰三角形的性质，
易证 ⊥ ，由 ⊥ 平面 ，得出 ⊥ ， , 平面 ,
∩ = ，从而由线面垂直的判定得出 ⊥ 平面 ，则 ⊥ ，故③正确；
对于④：如下图所示，点 为所在棱的中点，由③可知， ⊥ ，
由中位线定理及等腰三角形的性质，
易证 ⊥ ，由 ⊥ 平面 ，得出 ⊥ ， , 平面 ，
∩ = ，从而由线面垂直的判定得出 ⊥ 平面 ，则 ⊥ ，
, 平面 ， ∩ = ，由线面垂直的判定可得 ⊥ 平面 ，
则 ⊥ ，故④正确；
故选：D.
【变式 5-2】（2024 高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，
∠ = 120°， = 1， = 4， 为 的中点， ⊥ ．证明： ⊥ ．
【解题思路】先由余弦定理计算出 长，由勾股定理证明， ⊥ ，结合条件证 ⊥ 平面 ，得
⊥ ，由 ∥ 即可证得 ⊥ .
【解答过程】在平行四边形 中，
1
由已知可得 = = 1， = 2 = 2，∠ = 60°，
由余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 × × cos60° = 1 + 4 2 × 1 × 2 × 12 = 3，
则 2 + 2 = 1 + 3 = 4 = 2，即 ⊥ ．
又 ⊥ ， ∩ = ， , 平面 PDM， ∴ ⊥ 平面 ．
而 平面 ， ∴ ⊥ ．
∵ ∥ ， ∴ ⊥ ．
【变式 5-3】（23-24 高一下·江苏淮安·期中）已知三棱柱 1 1 1中，底面 △ 是边长为 2 的正三角
形， 为 △ 1 的重心，∠ 1 = ∠ 1 = 60
(1)求证： 1 ⊥ ；
(2)已知 1 = 2, ∈ 平面 ，且 1 ⊥ 平面 1 ．求证： // 1 ．
【解题思路】（1）连 1 交 于 ，由重心可得 为 的中点，由已知借助三角形全等证得 1 = 1 ，再
由线面垂直的判定、性质推理即得.
（2）由给定条件，证得三棱锥 1 为正四面体，进而证得 ⊥ 平面 1 ，再用线面垂直的性质得结
论.
【解答过程】（1）在三棱柱 1 1 1中，连 1 交 于 ，连 ，由 为 △ 1 的重心，得 为 的
中点，
由 = ， 1 = 1 ，∠ 1 = ∠ 1 ，得 △ 1 ≌ △ 1 ，则 1 = 1 ，
因此 ⊥ ， 1 ⊥ ，又 ∩ 1 = , , 1 平面 1 ，
于是 ⊥ 平面 1 ，而 1 平面 1 ，则 ⊥ 1 ，又 1 // 1 ，
所以 ⊥ 1 .
（2）由 1 = = 2，∠ 1 = 60°，得 △ 1 为正三角形；同理 △ 1 也为正三角形，
则 1 = 1 = = 2，从而三棱锥 1 的所有棱长均为 2，该四面体为正四面体，
由 为 △ 1 的重心，得 ⊥ 平面 1 ，菱形 1 1中， 1过 1 的中点，
即直线 1与平面 1 的交点为 1 的中点，因此 不在直线 1上，又 1 ⊥ 平面 1 ，
所以 // 1 .
【题型 6 由线面垂直的性质证明面面平行】
【例 6】（23-24 高一下·河北保定·期末）已知直线 m，平面 、 、 ，下面条件能推出 // 的是（ ）
A． ⊥ ， ⊥ B． ， //
C． 与 、 所成的角相等 D． ⊥ ， ⊥
【解题思路】举出反例即可判断 ABC；根据线面垂直的性质即可判断 D.
【解答过程】如图，在正方体 1 1 1 1中，
对于 A，平面 ，平面 1 1，平面 1 1三个面两两垂直，故 A 错误；
对于 B， 平面 ， //平面 1 1，
而平面 ∩ 平面 1 1 = ，故 B 错误；
对于 C， 平面 ， 平面 1 1，
则 与两个平面所成的角都是零度角，而平面 ⊥ 平面 1 1，
故 C 错误；
对于 D，若 ⊥ ， ⊥ ，则 // .
故选：D.
【变式 6-1】（2024·山东济宁·三模）已知不重合的平面 、 、 和直线 ，则“ // ”的充分不必要条件是
（ ）
A． 内有无数条直线与 平行 B． 内的任何直线都与 平行
C． ⊥ 且 ⊥ D． ⊥ 且 ⊥
【解题思路】利用面面位置关系可判断 AC 选项；利用面面平行的定义可判断 B 选项；利用线面垂直的性
质定理可判断 D 选项.
【解答过程】对于 A 选项，若 内有无数条直线与 平行且这无数条直线是平行直线，则 、 平行或相交，
即“ 内有无数条直线与 平行” “ // ”，A 不满足；
对于 B 选项，由面面平行的定义可知，“ 内的任何直线都与 平行” “ // ”，B 不满足；
对于 C 选项，若 ⊥ 且 ⊥ ，则 、 平行或相交，
则“ ⊥ 且 ⊥ ” “ // ”，C 不满足；
对于 D 选项，由线面垂直的性质可知，若 ⊥ 且 ⊥ ，则 // ，
反之，若 // ，则“ ⊥ 且 ⊥ ”不一定成立，
故“ ⊥ 且 ⊥ ”是“ // ”的充分不必要条件，D 满足.
故选：D.
【变式 6-2】（23-24 高一下·云南昆明·期中）已知 ， 为两条不同直线， ， 为两个不同平面，则下列命
题中正确的是（ ）
A．如果 // ， ⊥ ， ⊥ ，那么 //
B．如果 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，那么 //
C．如果 // ， ， .那么 //
D．如果 ， ， // ， // ，那么 //
【解题思路】由线面垂直的性质可得 A 正确；由面面平行的性质可得 C 错误；由空间中线线，线面位置关
系可判定 B，D 错误.
【解答过程】已知 ， 为两条不同直线， ， 为两个不同平面.
若 // ， ⊥ ，则 ⊥ ，又 ⊥ ，所以 // .故选项 A 正确；
若 ⊥ ， ⊥ ，则 // 或 ，又 ⊥ ，所以 ⊥ .故选项 B 错误；
若 // ， ， ，则直线 和 平行或异面.故选项 C 错误；
若 ， ， // ， // ，则平面 和 平行或相交.故选项 D 错误.
故选：A.
【变式 6-3】（23-24 高三上·北京顺义·期中）如图，在边长为 2 的正方体 1 1 1 1中，点 是该正
方体对角线 1上的动点，给出下列四个结论：
① ⊥ 1 ；
② △ 面积的最小值是 2；
③只存在唯一的点 ，使 1 ⊥ 平面 ；
④当 = 2 3时，平面 //平面 1 1 .3
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【解题思路】证明 ⊥ 平面 1 1判断①；求出 △ 的面积函数求解判断②；利用过一点有且只有一
个平面垂直于已知直线判断③；证明 1 ⊥ 平面 且 1 ⊥ 平面 1 1 判断④.
【解答过程】在正方体 1 1 1 1中， 1 ⊥ 平面 ， 平面 ，则 ⊥ 1，
又 ⊥ , ∩ 1 = , , 1 平面 1 1，
则 ⊥ 平面 1 1，又 1 1 1，则 ⊥ 1 ，①正确；
连接 交 与 ，由 1 1，得 ⊥
1
， △ = 2 = 2 ，
在Rt △ 1中，当 ⊥ 1时， 最小，而 = 2 2， 1 = 2 3，

sin∠ 1 31 = = ，此时 = sin∠ = 2 ×
3 = 6
1 3 1
，
3 3
因此 △ 6 2 3面积的最小值为 2 × = ，②错误；3 3
由①知， ⊥ 1，同理 1 ⊥ 1，而 ∩ 1 = , , 1 平面 1 ，
因此 1 ⊥ 平面 1 ，当点 为直线 1与平面 1 的交点时， 1 ⊥ 平面 ，
而过一点有且只有一个平面垂直于已知直线，于是过直线 与直线 1垂直的平面有且只有一个，
所以存在唯一的点 ，使 1 ⊥ 平面 ，③正确；

当 = 2 3时，在 △ 中， =
3 2
6
，cos∠ 1 = = ，1 3
2
则 = 2 + 2 2 cos∠ = ( 2 3 ) + 2 2 × 2 3 × 2 × 6 = 6，
3 3 3 3
即有 2 + 2 = 2 = 2，则 ⊥ ，又 ⊥ , ∩ = ，于是 1 ⊥ 平面 ，
由①同理 1 ⊥ 1 1, 1 ⊥ 1 ， 1 1 ∩ 1 = 1, 1 1, 1 平面 1 1 ，
因此 1 ⊥ 平面 1 1 ，则平面 //平面 1 1 ，④正确，
所以正确命题的个数为 3.
故选：C.
【题型 7 根据线面垂直求参数】
【例 7】（23-24 高一下·山西·期末）如图，在直三棱柱 1 1 1中， = ， = 1， 是 1 1的
中一点，点 在 1上，记 1 = ，若 1 ⊥ 平面 1 ，则实数 的值为（ ）
A 1 B 1．3 ．2 C
2
．3 D．1
【解题思路】易得 1 ⊥ 平面 1 1 ，得到 1 ⊥ 1，作 ⊥ 1交 1于点 ，得到 1 ⊥ 平面 1 ，
通过计算确定 的位置即可得到答案.
【解答过程】∵ 1 ⊥ 1 1， 1 ⊥ 1，∴ 1 ⊥ 平面 1 1 ，故 1 ⊥ 1，
作 ⊥ 1交 1于点 ，
此时 1 ⊥ 平面 1 ，在矩形 1 1 中， = 1 ，
所以四边形 1 1 是正方形，所以 1 ⊥ 1，所以 // 1 ，
又 为 1 1的中点，
所以 为 1的中点，即 1 = 2 1 ，所以 1 = .
故选：D.
【变式 7-1】（24-25 高二下·江西赣州·开学考试）如图，直三棱柱 ABC 一 1 1 1中，侧棱长为 2，
= = 1，∠ = 90°，D 是 1 1的中点，F 是 1上的动点， 1，DF 交于点 E，要使 1 ⊥ 平面 1
，则线段 1 的长为（ ）
A 1．3 B
3 1 3
． C． D．
2 2 3
【解题思路】根据线面垂直的判定定理，结合锐角的三角函数定义进行求解即可.
【解答过程】因为 = = 1，∠ = 90°，所以 1 1 = 1 1 = 1，∠ 1 1 1 = 90°，
因此 1 1 = 1 12 + 1 12 = 12 + 12 = 2，因为 D 是 1 1的中点，
所以 21 ⊥ 1 1，且 1 = ，在直三棱柱 ABC 一 1 1 1中， 1 ⊥ 平面 1 2 1 1，
而 1 平面 1 1 1，所以 1 ⊥ 1 ，因为 1 ∩ 1 1 = 1，
1, 1 1 平面 1 1 ，所以 1 ⊥ 平面 1 1 ，而 1 平面 1 1 ，
1 2
因此 1 ⊥ 1，在直角三角形 1 1中，tan∠ 1 1 = = =1 1 2 2，
2
当tan∠ 1 = tan∠ 1
1 1
1 = 2时，即 = 2 2 = 2 1 1 =1 2
，

此时∠ 1 = ∠ 1 1，而∠ 1 + ∠ 1 1 = 2，即∠ 1 + ∠ 1 = 2，
即 ⊥ 1，而 ∩ 1 = ， , 1 平面 1 ，
1
因此 1 ⊥ 平面 1 ，此时 1 = 2，
故选：C.
【变式 7-2】（23-24 高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥 中， ⊥ 面 ， = = 2，
= = 7， = 3，∠ = 120 ， 为线段 上的点．
(1)证明： ⊥ 面 ；
(2)若 满足 ⊥ 面 ，求 的值．
【解题思路】（1）证明出 △ ≌ △ ，可得出 ⊥ ，再由已知条件可得出 ⊥ ，利用线面垂
直的判定定理可证得结论成立；
（2）分析可知 ⊥ ，计算出 △ 三边边长，利用余弦定理求出cos∠ 的值，可求得 的长，进而
可求得 的长，即可得解.
【解答过程】（1）证明：因为 = ， = ， = ，所以， △ ≌ △ ，
所以，∠ = ∠ ，则 ⊥ ，
因为 ⊥ 平面 ， 平面 ，所以， ⊥ ，
又因为 ∩ = ， 、 平面 ，所以， ⊥ 平面 .
（2）解：因为 ⊥ 平面 ， 平面 ，所以， ⊥ ，
若 ⊥ 面 ， 平面 ，则 ⊥ ，
因为 = = 2，∠ = 120 ，
由余弦定理可得 = 2 + 2 2 cos120 = 22 + 22 2 × 22 × 1 = 2 3，
2
因为 ⊥ 平面 ， 、 平面 ，则 ⊥ ，
所以， = 2 + 2 = 3 + 12 = 15， = 2 + 2 = 3 + 4 = 7，
在 △ 中， = 7， = 2， = 15，
2 2 2 15+4 7
所以，cos∠ = + 152 = = ，2×2× 15 5
所以， = cos∠ = 2 × 15 = 2 15，
5 5
所以， = = 15 2 15 = 3 15
= 3 15
5
× = 3，则 2，5 5 5 2 15
3
因此，若 满足 ⊥ 面 ，则 = 2.
【变式 7-3】（2025 高三·河北·专题练习）如图，在四棱锥 A－BCDE 中，四边形 BCDE 为菱形，
= = 3， = 2 3，AE＝AC，点 G 是棱 AB 上靠近点 B 的三等分点，点 F 是 AC 的中点．
(1)证明： ∥平面 CEG．
(2)点 H 为线段 BD 上一点，设 = ，若 AH⊥平面 CEG，试确定 t 的值．
【解题思路】（1）取 AG 的中点Ⅰ，记 ∩ = ，连接 FⅠ，DⅠ，GO，由三角形中位线定理可得 ∥ ，
∥ ，然后先证得线面平行，再可证得面面平行；
（2）由已知可得△ABC≌△ABE，则 GC＝GE，得 OC⊥OG，结合已知可得 OC⊥平面 ABD，则 OC⊥AG，利
用余弦定理求出 ，再由勾股定理的逆定理可得 BG⊥OG，由线面垂直的判定可得 AG⊥平面 CEG，从而可
得 H 与 B 重合，进而可求得结果.
【解答过程】（1）证明：如图，取 AG 的中点Ⅰ，记 ∩ = ，连接 FⅠ，DⅠ，GO．
在△ACG 中，F，Ⅰ分别为 AC，AG 的中点，所以 ∥ ，
同理，在△BDⅠ中，有 ∥ ，
因为 , 平面 ， , 平面 ，
所以 ∥平面 ， ∥平面 ，
因为 ∩ = ， , 平面 ，
所以平面 ∥平面 ，
又 平面ⅠFD，
所以 ∥平面 CEG．
（2）解：因为底面 BCDE 是菱形，所以 OC⊥OD．
因为 AE＝AC，BC＝BE，所以△ABC≌△ABE，
则 GC＝GE，
又因为点 O 是 EC 的中点，所以 OC⊥OG．
因为 ∩ = ， , 平面 ABD，
所以 OC⊥平面 ABD，
因为 平面 ABD，
所以 OC⊥AG．
因为 = = 3， = 2 3，
cos∠ = 所以 =
3
，
3
则 = 2 + 2 2 cos∠ = 2，
则 2 + 2 = 2，所以 BG⊥OG．
又因为 ∩ = ， , 平面 CEG，
所以 AG⊥平面 CEG．
若 AH⊥平面 CEG，则 H 与 B 重合．
故 = 0．
【题型 8 平面内的射影问题】
【例 8】（23-24 高三下·上海·开学考试）已知四棱锥 的底面为矩形， ⊥ 平面 ABCD，点 Q 为侧
棱 PA（不含端点的线段）上动点，则点 Q 在平面 上的射影在（ ）
A．棱 PB 上 B． △ 内部 C． △ 外部 D．不确定
【解题思路】
将四棱锥 补形为长方体，作出辅助线，证明线面垂直，进而得到点 的投影 落在 上，得到答
案.
【解答过程】四棱锥 的底面为矩形， ⊥ 平面 ABCD，
将四棱锥 补形为长方体，如下，
过点 作 ⊥ 于点 ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， , 平面 ，故 ⊥平面 ，故点 在平面 的投影为 ，
连接 ，则当点 Q 为侧棱 PA（不含端点的线段）上运动时，点 的投影 落在 上，
由图知：点 Q 在平面 上的射影在 △ 外部.
故选：C.
【变式 8-1】（24-25 高二上·湖北·开学考试）在三棱锥 中，三个侧面与底面 所成的角均相等，顶
点 在 △ 内的射影为 ，则 是 △ 的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
【解题思路】根据三垂线定理可得平面的夹角，结合题意得∠ = ∠ = ∠ ，即可根据锐角三解函数
得 = = ，由内心的性质即可求解.
【解答过程】若三个侧面与底面所成的角相等，则分别作三个侧面三角形的斜高 , , ，
由三垂线定理，得 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，
则∠ 、∠ 、∠ 分别是三侧面与底面所成角的平面角，
∠ = ∠ = ∠ ，
∵ tan∠ = ，tan∠ = ，tan∠ = ，
∴ = = ，
∴ 是 △ 的内心．
故选：C．
【变式 8-2】（24-25 高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知三棱柱 1 1 1的侧棱与底面边长都相等，点
1在底面 上的射影为线段 的中点，则异面直线 与 1所成角的余弦值为（ ）
A 1 1 7 3．4 B．2 C． D．4 4
【解题思路】设 的中点为 ，连接 1 、 、 1 ，易知∠ 1 即为异面直线 与 1所成的角（或其补
角）．由余弦定理，计算得cos∠ 1 即可．
【解答过程】如图，设 的中点为 ，连接 1 、 、 1 ，
1// 1，知∠ 1 即为异面直线 与 1所成的角（或其补角）
设三棱柱 1 1 1的侧棱与底面边长均为 1，
= 3 1则 ， 2
2 1
= 2， 1 = ，2
2 2 2 1
由余弦定理，得cos∠ 1 =
1 + 1 = 1+1 22 =
3
1 2×1×1 4
故选：D.
【变式 8-3】（2024·河南商丘·模拟预测）在正四棱柱 1 1 1 1中，已知 = 2 1 = 2， 为棱
1 1的中点，则线段 在平面 上的射影的长度为（ ）
A 8 2 6 39．3 B． 7 C． D．3 3
【解题思路】取 1 1中点 ，连接 , ，过点 作 ⊥ 于点 ，连接 ，证明出 ⊥ 平面 ，求出
即可求解．
【解答过程】如图所示，取 1 1中点 ，连接 , ，
则 // 1 1// , =
2
1 1 = 2，点 , , , 四点共面， = 1 2 + 1 2 = 2 + 1 = 3，cos∠ 1 = 3
= 6，
3
过点 作 ⊥ 于点 ，连接 ，则∠ 1 = ∠ ，
在Rt △ 6中，cos∠ = 2 = ，解得 =
2 6
，
3 3
2
= 2 2 = 4 2 6 = 2 3，则 = = 3 2 3 = 3，
3 3 3 3
由正四棱柱 1 1 1 1得， 1 1 ⊥ 平面 1 1 ，则 ⊥ 平面 1 1 ，
又 , 平面 1 1 ，所以 ⊥ ， ⊥ ，
2
所以 = 2 + 2 = 4 + 3 = 39，
3 3
因为 ⊥ ， ⊥ ， , 平面 ，且 ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，所以线段 在平面 上的射影为线段 ，
故选：D．专题 8.6 空间直线、平面的垂直（一）【八大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 异面直线所成的角】 ................................................................................................................................1
【题型 2 线线垂直的判定】 ....................................................................................................................................2
【题型 3 线面垂直的判定】 ....................................................................................................................................5
【题型 4 直线与平面所成的角】 ............................................................................................................................6
【题型 5 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】 ............................................................................................8
【题型 6 由线面垂直的性质证明面面平行】 ........................................................................................................9
【题型 7 根据线面垂直求参数】 ..........................................................................................................................10
【题型 8 平面内的射影问题】 ..............................................................................................................................12
【知识点 1 直线与直线垂直】
1．异面直线所成的角
(1)两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 分别作直线 a'∥a，b'∥b，我们把直线 a'，b'所成的
角叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角 必须是锐角或直角，即 的范围是 < .
(3)两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线 a 与直线 b 垂直，记
作 a⊥b.
【题型 1 异面直线所成的角】
【例 1】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知直三棱柱 1 1 1中，∠ = 120°， = 2， = 1
= 1，则异面直线 1与 1所成角的余弦值为（ ）
A 3． B． 15 C 10 3． D．
2 5 5 3
【变式 1-1】（23-24 高一下·福建福州·期末）在正三棱柱 1 1 1中， = 1， ， 分别是 1 1，
1中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A 1 2 6 2 6．5 B．5 C． D．5 5
【变式 1-2】（23-24 高一下·安徽·期末）在正四棱台 1 1 1 1中， = 2 1 1 = 2 1，点 为底面
的中心，则异面直线 1与 1所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【变式 1-3】（23-24 高一下·广东潮州·期末）已知空间四边形 中， 、 分别是 、 的中点，若
= 2 3， = 4， ⊥ ，则 与 所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【题型 2 线线垂直的判定】
【例 2】（24-25 高二上·上海·阶段练习）若空间中四条两两不同的直线 1, 2, 3, 4，满足 1 ⊥ 2， 2 ⊥ 3， 3 ⊥
4, 则下面结论一定正确的是（ ）
A． 1 ⊥ 4 B． 1// 4
C． 1、 4既不垂直也不平行 D． 1、 4的位置关系不确定
【变式 2-1】（24-25 高一·全国·课后作业）如图，在正方体 1 1 1 1中， 是底面 的中心，
1 ⊥ 1 ， 为垂足，则 1 与平面 1 的位置关系是
A．垂直 B．平行 C．斜交 D．以上都不对
【变式 2-2】（24-25 高一·全国·课后作业）如图所示，在空间四边形 ABCD 中，AD=BC=2，E，F 分别是
AB，CD 的中点，EF= 2．求证：AD⊥BC．
【变式 2-3】（24-25 高二上·云南昭通·期中）如图所示，在正方体 1 1 1 1中， = 1.证明：
(1) 1 ⊥ 1 ；
(2) 1与 1 是异面直线.
【知识点 2 直线与平面垂直】
1．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面 互相垂直，记作 l⊥ .直线 l 叫
做平面 的垂线，平面 叫做直线 l 的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 P 叫做垂足.
(2)点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的
长度叫做这个点到该平面的距离.
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a α，b α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b l⊥α.
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
3．直线与平面所成的角
(1)定义
①斜线和斜足：如图，一条直线 l 与一个平面 相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的
斜线，斜线和平面的交点 A 叫做斜足.
②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点 P 向平面 引垂线 PO，过垂足 O 和斜足 A 的
直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影.
③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所
成的角.
(2)直线与平面所成的角的范围
①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 .
②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 .
③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角 的范围是 < .
④直线与平面所成的角 的取值范围是 .
4．直线与平面垂直的性质定理
(1)直线与平面垂直的性质定理
①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
②图形语言：如图所示．
③符号语言：a⊥α，b⊥α a∥b.
(2)性质定理的作用
①由线面垂直证明线线平行.
②构造平行线.
5．点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来
确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证
明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定.
(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.
(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在
平面内的射影是这个角的平分线所在直线.
【题型 3 线面垂直的判定】
【例 3】（2024·湖北·一模）如图，在正方体 1 1 1 1中， , , 分别为 , 1, 1的中点，则与
平面 垂直的直线可以是（ ）
A． 1 B． 1 C． 1 D． 1
【变式 3-1】（23-24 高一下·天津河西·期末）如图，圆柱 ′中， ′是侧面的母线， 是底面的直径， 是
底面圆上一点，则（ ）
A． ⊥ 平面 ′
B． ⊥ 平面 ′
C． ⊥ 平面 ′
D． ⊥ 平面 ′
【变式 3-2】（2024 高二下·福建·学业考试）如图，四棱锥 的底面是正方形， ⊥ 底面 .
(1)若 = = 1，求四棱锥 的体积
(2)求证： ⊥ 平面
【变式 3-3】（23-24 高一下·辽宁·期末）如图，在三棱柱 1 1 1中，底面 是正三角形， ， 分别
为 1 1， 1的中点， 1 ⊥ 1 .
(1)求证： 1 //平面 1 ；
(2)若 = 1，求证： 1 ⊥ 平面 1 .
【题型 4 直线与平面所成的角】
【例 4】（23-24 高一下·重庆·阶段练习）如图所示，四棱锥 中， ⊥ 平面 ABCD，且四边形 ABCD
为矩形， = = 2 = 2，M 为 PD 的中点，则 CD 与平面 ACM 所成角的余弦值为（ ）
A 3 B 3 6 1． ． C． D．
2 3 3 2
【变式 4-1】（23-24 高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在三棱锥 中，∠ = 90°, ⊥ 平面
, = = ， 是 的中点，则 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A 6 3． 2 B． C． D．
2 3 3 2
【变式 4-2】（23-24 高一下·宁夏固原·期末）如图所示，已知 1 ⊥ 平面 ABC， 1∥ 1， = = 2，
= 2 2， 1 =
1
2 1 = 2，E 为 BC 的中点.
(1)求证：平面 1 ⊥ 平面 1；
(2)求直线 1 1与平面 1所成角的大小.
【变式 4-3】（23-24 高一下·广东茂名·阶段练习）如图，在四棱锥 中，平面 ⊥ 底面 ，底
面 是直角梯形， // ， ⊥ ， = = = = 1， = 2， 是 的中点.
(1)证明： ⊥ 平面 ；
π
(2) 底边 上是否存在异于端点的一点 ，使得直线 与平面 所成的角为6？若存在，求出 的值；若不
存在，请说明理由.
【题型 5 由线面垂直的性质证明线线平行、垂直】
【例 5】（24-25 高一·全国·课后作业）在正方体 1 1 1 1中，直线 l（与直线 1不重合） ⊥ 平面
，则有（ ）
A． 1 ⊥ B． 1 ∥ C． 1与 l 异面 D． 1与 l 相交
【变式 5-1】（23-24 高一下·四川雅安·期末）已知下面给出的四个图都是正方体，A，B 为顶点，E，F 分别
是所在棱的中点，
则满足直线 ⊥ 的图形的个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【变式 5-2】（2024 高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，
∠ = 120°， = 1， = 4， 为 的中点， ⊥ ．证明： ⊥ ．
【变式 5-3】（23-24 高一下·江苏淮安·期中）已知三棱柱 1 1 1中，底面 △ 是边长为 2 的正三角
形， 为 △ 1 的重心，∠ 1 = ∠ 1 = 60
(1)求证： 1 ⊥ ；
(2)已知 1 = 2, ∈ 平面 ，且 1 ⊥ 平面 1 ．求证： // 1 ．
【题型 6 由线面垂直的性质证明面面平行】
【例 6】（23-24 高一下·河北保定·期末）已知直线 m，平面 、 、 ，下面条件能推出 // 的是（ ）
A． ⊥ ， ⊥ B． ， //
C． 与 、 所成的角相等 D． ⊥ ， ⊥
【变式 6-1】（2024·山东济宁·三模）已知不重合的平面 、 、 和直线 ，则“ // ”的充分不必要条件是
（ ）
A． 内有无数条直线与 平行 B． 内的任何直线都与 平行
C． ⊥ 且 ⊥ D． ⊥ 且 ⊥
【变式 6-2】（23-24 高一下·云南昆明·期中）已知 ， 为两条不同直线， ， 为两个不同平面，则下列命
题中正确的是（ ）
A．如果 // ， ⊥ ， ⊥ ，那么 //
B．如果 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，那么 //
C．如果 // ， ， .那么 //
D．如果 ， ， // ， // ，那么 //
【变式 6-3】（23-24 高三上·北京顺义·期中）如图，在边长为 2 的正方体 1 1 1 1中，点 是该正
方体对角线 1上的动点，给出下列四个结论：
① ⊥ 1 ；
② △ 面积的最小值是 2；
③只存在唯一的点 ，使 1 ⊥ 平面 ；
④当 = 2 3时，平面 //平面 1 3 1 .
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【题型 7 根据线面垂直求参数】
【例 7】（23-24 高一下·山西·期末）如图，在直三棱柱 1 1 1中， = ， = 1， 是 1 1的
中一点，点 在 1上，记 1 = ，若 1 ⊥ 平面 1 ，则实数 的值为（ ）
A 1 B 1 2．3 ．2 C．3 D．1
【变式 7-1】（24-25 高二下·江西赣州·开学考试）如图，直三棱柱 ABC 一 1 1 1中，侧棱长为 2，
= = 1，∠ = 90°，D 是 1 1的中点，F 是 1上的动点， 1，DF 交于点 E，要使 1 ⊥ 平面 1
，则线段 1 的长为（ ）
A 1 B 3 C 1 D 3．3 ． ． ．2 2 3
【变式 7-2】（23-24 高一下·山东青岛·期中）如图，在四棱锥 中， ⊥ 面 ， = = 2，
= = 7， = 3，∠ = 120 ， 为线段 上的点．
(1)证明： ⊥ 面 ；
(2) ⊥ 若 满足 面 ，求 的值．
【变式 7-3】（2025 高三·河北·专题练习）如图，在四棱锥 A－BCDE 中，四边形 BCDE 为菱形，
= = 3， = 2 3，AE＝AC，点 G 是棱 AB 上靠近点 B 的三等分点，点 F 是 AC 的中点．
(1)证明： ∥平面 CEG．
(2)点 H 为线段 BD 上一点，设 = ，若 AH⊥平面 CEG，试确定 t 的值．
【题型 8 平面内的射影问题】
【例 8】（23-24 高三下·上海·开学考试）已知四棱锥 的底面为矩形， ⊥ 平面 ABCD，点 Q 为侧
棱 PA（不含端点的线段）上动点，则点 Q 在平面 上的射影在（ ）
A．棱 PB 上 B． △ 内部 C． △ 外部 D．不确定
【变式 8-1】（24-25 高二上·湖北·开学考试）在三棱锥 中，三个侧面与底面 所成的角均相等，顶
点 在 △ 内的射影为 ，则 是 △ 的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心
【变式 8-2】（24-25 高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知三棱柱 1 1 1的侧棱与底面边长都相等，点
1在底面 上的射影为线段 的中点，则异面直线 与 1所成角的余弦值为（ ）
A 1 1 7 3．4 B．2 C． D．4 4
【变式 8-3】（2024·河南商丘·模拟预测）在正四棱柱 1 1 1 1中，已知 = 2 1 = 2， 为棱
1 1的中点，则线段 在平面 上的射影的长度为（ ）
A 8．3 B 7 C
2 6 39
． ． D．
3 3

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