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专题 9.3 统计案例 公司员工的肥胖情况调查分析【三大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 数据分析过程的探究】 ............................................................................................................................2
【题型 2 由统计信息解决实际问题】 ....................................................................................................................3
【题型 3 统计案例的探究和报告】 ........................................................................................................................7
【知识点 1 统计案例】
1．课中探究
为了解某公司员工的身体肥胖情况，我们该如何根据数据表写一份该公司员工身体肥胖情况的统计分
析报告 该如何分析公司员工胖瘦程度的整体情况并提出控制体重的建议
(1)教学目标
①通过一个完整案例，经历统计学解决问题的过程，在此过程中，进一步学习数据收集和处理的方法、
数据直观图表的表示方法和数据统计特征的刻画方法.
②通过实际操作、计算机模拟等活动，积累数据分析的经验，培养数据分析的素养.
(2)教学内容
教学重点：①了解统计报告的组成部分，培养学生数据分析的素养；②体会统计方法的必要性与合理
性，正确了解样本和总体的关系.
教学难点：体会统计方法的必要性与合理性，正确了解样本和总体的关系.
2．背景与数据
近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质
量指数(Body Mass Index，缩写 BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是
中国成人的 BMI 数值标准为：BMI<18.5 为偏瘦；18.5≤BMI<23.9 为正常；24≤BMI<27.9 为偏胖；BMI
≥28 为肥胖.
3．任务与要求
根据上面的数据，写一份该公司员工肥胖情况的统计分析报告.要求：
(1)选择合适的图表展示数据；
(2)比较男、女员工在肥胖状况上的差异；
(3)分析公司员工胖瘦程度的整体情况；
(4)提出控制体重的建议.
4．统计报告的主要组成部分
(1)标题
(2)前言
简单交代调查的目的、方法、范围等背景情况，使读者了解调查的基本情况.
(3)主题
展示数据分析的全过程：首先要明确所关心的问题是什么，说明数据蕴含的信息；根据数据分析的需
要，说明如何选择合适的图标描述和表达数据；从样本数据中提取能刻画其特征的量，如均值、方差等，
用于比较男、女员工在肥胖状况上的差异；通过样本估计总体的统计规律，分析公司员工胖瘦程度的整体.
(4)结尾
对主题部分的内容进行概括，结合控制体重的一般方法，提出控制公司员工体重的建议.
【题型 1 数据分析过程的探究】
【例 1】（23-24 高二·上海·课堂例题）某果园种植了两个品种的苹果，现从两个品种中各随机抽取 10 个，
测得它们的质量（单位：g）分别为：
甲品种
203 185 190 192 185 192 179 193 195 186
/g
乙品种
192 184 195 187 196 196 183 186 192 189
/g
问：哪个品种的苹果质量更均匀？
【变式 1-1】（24-25 高一上·江西·阶段练习）甲 乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击
100 次，组委会从两人的成绩中各随机抽取 6 次成绩（满分 10 分，8 分及以上为优秀）.如下表所示：
甲射击成
10 9 7 8 10 10
绩
乙射击成
10 6 10 10 9 9
绩
(1)以频率作为概率，估计甲 乙两人射击成绩的优秀率；
(2)分别求出甲 乙 6 次射击成绩的平均数与方差，以此为依据，判断哪位运动员的射击成绩更好？
【变式 1-2】（23-24 高三下·四川南充·开学考试）某果园试种了 A，B 两个品种的桃树各 10 棵，并在桃树
成熟挂果后统计了这 20 棵桃树的产量如下表，记 A，B 两个品种各 10 棵产量的平均数分别为 和 ，方差分
别为 2 21和 2．
A(单
60 50 40 60 70 80 80 80 90 90
位 kg)
B(单
40 60 60 80 80 50 80 80 70 100
位 kg)
(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数；
(2)求 ， ， 21， 22；
(3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由．
【变式 1-3】（23-24 高一下·陕西咸阳·阶段练习）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将 10 只小鼠均分
为两组：对照组（不加药物）和实验组（加药物）．测得 10 只小鼠体重（单位：g）如下：
对照组：20.1 20.1 20.5 20.3 20.5
实验组：20.0 19.9 19.8 20.1 20.2
对照组和实验组的小鼠体重的样本平均数分别记为 和，样本方差分别记为 21和 22．
(1)求 ， ， 21， 22；
(2)判断该药物对小鼠的生长是否有显著的抑制作用（若 ≥ 2 2 + 21 2，则认为该药物对小鼠的生长有显
著的抑制作用，否则不认为有显著的抑制作用）．
【题型 2 由统计信息解决实际问题】
【例 2】（24-25 高二上·四川·期中）会理石榴，凉山彝族自治州会理市特产.会理石榴果大、色艳、皮薄、
粒软、味浓、有微香、余味长，含有人体所需的多种维生素和氨基酸，可食部分百分率较高，可溶性固性
物含量较高，籽粒“透明晶亮若珍珠，果味浓甜如蜂蜜”，品质佳良.每年8~9月份正是石榴成熟之季，各大
网红、电商纷纷前来会理带货石榴.一电商老板收果时要求石榴重量(单位：克)如下：250克以下的为次果，
[250,350)克为小果，[350,450)克为中果，[450,550)克为大果，550克及以上为特大果.为了了解果农家石榴
情况，在果园里随机摘取了100个石榴称重量（单位：克）并统计分析，绘制成如图所示的频率分布直方图
（各区间分别为[150,250)，[250,350)，[350,450)，[450,550)，[550,650)）.
(1)根据频率分布直方图，求图中 的值和估计这100个石榴的平均重量及第75百分位数(每组数据用所在区
间的中点值作代表)
(2)此电商老板来收购果农家石榴，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，
该石榴果园中有石榴大约5万个，在今年的石榴行情下，电商老板提出以下两种收购方案：
方案①：所有石榴以5元/千克收购；
方案②：对重量低于350克的石榴以1元/个收购，对重量高于或等于350克的石榴以3元/个收购．
请通过计算确定果农选择哪种方案获利更多？
【变式 2-1】（24-25 高二上·浙江杭州·期中）某公司招聘销售员，提供了两种日工资结算方案：方案（1）
每日底薪 100 元，每销售一单提成 2 元；方案（2）每日底薪 200 元，销售的前 50 单没有提成，从第 51 单
开始，每完成一单提成 4 元．该公司记录了销售员的每日人均业务量，现随机抽取一个季度的数据，将样
本数据分为[25,35)、[35,45)、[45,55)、[55,65)、[65,75)、[75,85)、[85,95]七组，整理得到如图所示的频
率分布直方图．
(1)求直方图中 的值；
(2)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘销售员做出日工资方案的选择，并说
明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；
(3)假设该销售员选择了你在（2）中所选的方案，已知公司现有销售员 400 人，他希望自己的收入在公司中
处于前 40 名，求他每日的平均业务量至少应达多少单？
【变式 2-2】（23-24 高一下·福建三明·阶段练习）某中学新建了学校食堂，每天有近 2000 名学生在学校食
堂用午餐，午餐开放时间约 40 分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做好的大约 6 种
菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可直接取餐：第三类是面食，如煮面
炒粉等，为了更合理地设置口布局，增加学生的用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐选择 各类
餐食的平均每份取餐时长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下的统计图表：
类别 选餐 套餐 面食
选择人数 50 30 20
平均每份取餐时长（单位 分钟） 2 0.5 1
已知饭堂的售饭窗口一共有 20 个，就餐高峰期时有 240 名学生在等待就餐．
(1)根据以上调查统计，如果设置 12 个选餐窗口，4 个套餐窗口，4 个面食窗口，就餐高峰期时，假设大家
在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同），求选择选餐的同学取到午
餐的最长等待时间；
(2)取餐时至多等待多长时间能让80%的同学感到满意？（即在接受等待时长内取到餐，保留整数）；
(3)根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置各类售饭窗口数更优化，并给出你的
求解过程．
【变式 2-3】（23-24 高一下·河南·阶段练习）已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零
件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）.
尺寸大于 的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于 的零件用于小型机器中.
(1)若 = 60，试分别估计该工厂一区生产车间生产的 500 个该种型号的零件和二区生产车间生产的 500 个
该种型号的零件用于大型机器中的零件个数.
(2)若 ∈ (60,70]，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器 小型机器各
5000 台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件.
方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于 的零件的大型机器每
台会使得工厂损失 200 元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于 的零件的
小型机器每台会使得工厂损失 100 元.
方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为
35 万元.
请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值 ( )（单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选
择合理的方案.
【题型 3 统计案例的探究和报告】
【例 3】（24-25 高二上·湖南郴州·开学考试）随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越
多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范
围是20%至25%，男性的正常范围是15%至18%.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存
在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年
女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图如图.
(1)求 a；
(2)如果女性体脂率为25%至30%属“偏胖”，体脂率超过30%属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过胖”各约有
多少人？
(3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁
的体脂率更低？
【变式 3-1】（23-24 高一下·广东广州·期末）5 月 11 日是世界防治肥胖日.我国超过一半的成年人属于超重
或肥胖，6～17 岁的儿童青少年肥胖率接近 20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目前，
国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写 BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我国成人的 BMI
数值标准为：BMI<18.5 为偏瘦；18.5≤BMI<24 为正常；24≤BMI<28 为偏胖；BMI≥28 为肥胖.为了解某公司
员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了 60 名男
员工、40 名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的 BMI 值并将女员工的 BMI 值绘制成如图
所示的频率分布直方图：
(1)求图中 a 的值，并估计样本中女员工 BMI 值的 70%分位数；
(2)已知样本中男员工 BMI 值的平均数为 22，试估计该公司员工 BMI 值的平均数.
【变式 3-2】（23-24 高一下·湖南长沙·期末）BMI（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度
体重(单位:kg)
以及是否健康的一个标准，其计算公式是：BMI = 2 : m2 ．中国成人的BMI数值参考标准为：BMI < 18.5身高 单位
为偏瘦；18.5 ≤ BMI < 24为正常；24 ≤ BMI < 28为偏胖；BMI ≥ 28为肥胖．某公司为了解公司员工的身体
肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了 60 名男员工，40 名女员工的
身高体重数据，通过计算男女员工的BMI值，整理得到如下的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 a 的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；
(2)估计该公司员工的BMI值的众数，中位数；
(3)已知样本中 60 名男员工BMI值的平均数为 1 = 22.4，根据频率分布直方图，估计样本中 40 名女员工BMI
值的平均数 2．
【变式 3-3】（23-24 高一下·福建莆田·期末）目前，国际上常用身体质量指数（缩写 BMI）来衡量人体胖
瘦程度．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从该公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随
机抽样方法抽取了 50 名女员工、100 名男员工的体检数据，通过计算他们的 BMI 值，得到女员工频数分布
表和男员工频率分布直方图如下：
女员工频数分布表
BMI 值区间 [12,15) [15,18) [18,21) [21,24) [24,27） [27,30] 合计
频数 3 8 13 16 6 4 50
(1)估计样本中女员工 BMI 值的平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)已知样本中女员工 BMI 值的平均数为 ，方差为 14.5；样本中男员工 BMI 值的平均数为 22.56，方差为
14.8．用样本估计该公司全体员工 BMI 值的方差；
(3)根据男员工频率分布直方图，比较样本中男员工 BMI 值的平均数与中位数的大小．（只需写出结论，不
用说明理由）
参考公式：总体划分为 2 层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为 ， ，

2 21； ， ， 2，记总的样本平均数和样本方差分别为 ， 2，则 2 = 2 + 1 + ( )2 +
2 2
+ 2 + ( ) ．专题 9.3 统计案例 公司员工的肥胖情况调查分析【三大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 数据分析过程的探究】 ............................................................................................................................2
【题型 2 由统计信息解决实际问题】 ....................................................................................................................5
【题型 3 统计案例的探究和报告】 ......................................................................................................................10
【知识点 1 统计案例】
1．课中探究
为了解某公司员工的身体肥胖情况，我们该如何根据数据表写一份该公司员工身体肥胖情况的统计分
析报告 该如何分析公司员工胖瘦程度的整体情况并提出控制体重的建议
(1)教学目标
①通过一个完整案例，经历统计学解决问题的过程，在此过程中，进一步学习数据收集和处理的方法、
数据直观图表的表示方法和数据统计特征的刻画方法.
②通过实际操作、计算机模拟等活动，积累数据分析的经验，培养数据分析的素养.
(2)教学内容
教学重点：①了解统计报告的组成部分，培养学生数据分析的素养；②体会统计方法的必要性与合理
性，正确了解样本和总体的关系.
教学难点：体会统计方法的必要性与合理性，正确了解样本和总体的关系.
2．背景与数据
近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质
量指数(Body Mass Index，缩写 BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是
中国成人的 BMI 数值标准为：BMI<18.5 为偏瘦；18.5≤BMI<23.9 为正常；24≤BMI<27.9 为偏胖；BMI
≥28 为肥胖.
3．任务与要求
根据上面的数据，写一份该公司员工肥胖情况的统计分析报告.要求：
(1)选择合适的图表展示数据；
(2)比较男、女员工在肥胖状况上的差异；
(3)分析公司员工胖瘦程度的整体情况；
(4)提出控制体重的建议.
4．统计报告的主要组成部分
(1)标题
(2)前言
简单交代调查的目的、方法、范围等背景情况，使读者了解调查的基本情况.
(3)主题
展示数据分析的全过程：首先要明确所关心的问题是什么，说明数据蕴含的信息；根据数据分析的需
要，说明如何选择合适的图标描述和表达数据；从样本数据中提取能刻画其特征的量，如均值、方差等，
用于比较男、女员工在肥胖状况上的差异；通过样本估计总体的统计规律，分析公司员工胖瘦程度的整体.
(4)结尾
对主题部分的内容进行概括，结合控制体重的一般方法，提出控制公司员工体重的建议.
【题型 1 数据分析过程的探究】
【例 1】（23-24 高二·上海·课堂例题）某果园种植了两个品种的苹果，现从两个品种中各随机抽取 10 个，
测得它们的质量（单位：g）分别为：
甲品种
203 185 190 192 185 192 179 193 195 186
/g
乙品种
192 184 195 187 196 196 183 186 192 189
/g
问：哪个品种的苹果质量更均匀？
【解题思路】可以算得它们的平均数一样，只需比较两组苹果质量的方差即可得解.
【解答过程】设 10 个甲品种苹果、乙品种苹果的平均数分别为 , 2 21 2，方差分别为 1, 2，
= 203+185+190+192+185+192+179+193+195+186所以 1 10 = 190，
= 192+184+195+187+196+196+183+186+192+1892 10 = 190，
2 = 169+25+0+4+25+4+121+9+25+161 10 = 39.8，
2 = 4+36+25+9+36+36+49+16+4+12 10 = 21.6，
所以 1 = , 2 22 1 > 2，
这表明乙品种的苹果质量更均匀.
【变式 1-1】（24-25 高一上·江西·阶段练习）甲 乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击
100 次，组委会从两人的成绩中各随机抽取 6 次成绩（满分 10 分，8 分及以上为优秀）.如下表所示：
甲射击成
10 9 7 8 10 10
绩
乙射击成
10 6 10 10 9 9
绩
(1)以频率作为概率，估计甲 乙两人射击成绩的优秀率；
(2)分别求出甲 乙 6 次射击成绩的平均数与方差，以此为依据，判断哪位运动员的射击成绩更好？
【解题思路】（1）直接由表得出结论；
（2）分别计算甲乙两名运动员的平均数和方差，通过 1 = 2， 2 21 < 2判断甲成绩更好.
5 5
【解答过程】（1）由表可知：甲的优秀率为6，乙的优秀率为6.
（2 1）甲运动员6此射击成绩的平均数为 1 = 6 × (10 + 9 + 7 + 8 + 10 + 10) = 9，
1
所以甲运动员6此射击成绩的方差为 2 = 2 2 2 21 6 × 3 × (10 9) + (9 9) + (7 9) + (8 9) =
4
3，
1
乙运动员6此射击成绩的平均数为 2 = 6 × (10 + 6 + 10 + 10 + 9 + 9) = 9，
1
所以乙运动员6此射击成绩的方差为 22 = 6 × 3 × (10 9)
2 + (6 9)2 + 2 × (9 9)2 = 2，
因为 1 = 2， 21 < 22，所以甲、乙两名运动员的平均成绩相同，
但是甲运动员的射击成绩更稳定，所以甲运动员的射击成绩更好.
【变式 1-2】（23-24 高三下·四川南充·开学考试）某果园试种了 A，B 两个品种的桃树各 10 棵，并在桃树
成熟挂果后统计了这 20 棵桃树的产量如下表，记 A，B 两个品种各 10 棵产量的平均数分别为 和 ，方差分
别为 21和 22．
A(单
60 50 40 60 70 80 80 80 90 90
位 kg)
B(单
40 60 60 80 80 50 80 80 70 100
位 kg)
(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数；
(2)求 ， ， 2 21， 2；
(3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由．
【解题思路】（1）利用极差和中位数定义即可求得这两个品种产量的极差和中位数；
（2）利用平均数和方差定义即可求得 ， ， 2， 21 2；
（3）从平均产量和产量的稳定程度综合考虑选择 A 品种.
【解答过程】（1）A 品种 10 棵产量由小到大排列为40,50,60,60,70,80,80,80,90,90，
则 A 品种产量的极差为 50，中位数为 75；
B 品种 10 棵产量由小到大排列为40,50，60,60,70,80,80,80,80,100，
则 B 品种产量的极差为 60，中位数为 75.
（2） = 110(40 + 50 + 60 + 60 + 70 + 80 + 80 + 80 + 90 + 90) = 70,
2 = 1 (3021 10 + 20
2 + 2 × 102 + 02 + 3 × 102 + 2 × 202) = 260，
= 110(40 + 50 + 60 + 60 + 70 + 80 + 80 + 80 + 80 + 100) = 70，
22 =
1
10(30
2 + 202 + 2 × 102 + 02 + 4 × 102 + 302) = 280，
（3）由 = = 70可得 A，B 两个品种平均产量相等，
又 21 < 22，则 A 品种产量稳定，故选择 A 品种.
【变式 1-3】（23-24 高一下·陕西咸阳·阶段练习）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将 10 只小鼠均分
为两组：对照组（不加药物）和实验组（加药物）．测得 10 只小鼠体重（单位：g）如下：
对照组：20.1 20.1 20.5 20.3 20.5
实验组：20.0 19.9 19.8 20.1 20.2
对照组和实验组的小鼠体重的样本平均数分别记为 和，样本方差分别记为 2 21和 2．
(1)求 ， ， 2 21， 2；
(2)判断该药物对小鼠的生长是否有显著的抑制作用（若 ≥ 2 21 + 22，则认为该药物对小鼠的生长有显
著的抑制作用，否则不认为有显著的抑制作用）．
【解题思路】（1）根据平均数和方差等知识求得正确答案.
（2）由“ ≥ 2 2 21 + 2”，结合（1）的结论进行判断.
【解答过程】（1） = 20.1+20.1+20.5+20.3+20.55 = 20.3g，
2 = (20.1 20.3)
2+(20.1 20.3)2+(20.5 20.3)2+(20.3 20.3)2+(20.5 20.3)2 0.16
1 5 = 5 = 0.032，
= 20.0+19.9+19.8+20.1+20.25 = 20.0g，
2 = (20.0 20.0)
2+(19.9 20.0)2+(19.8 20.0)2+(20.1 20.0)2+(20.2 20.0)2 = 0.12 5 5 = 0.02.
（2） = 0.3,( )2 = 0.09,2 21 + 22 = 2 0.032 + 0.02 = 2 0.052，
2
2 0.052 = 4 × 0.052 = 0.208，
所以 < 2 21 + 22，所以没有显著的抑制作用.
【题型 2 由统计信息解决实际问题】
【例 2】（24-25 高二上·四川·期中）会理石榴，凉山彝族自治州会理市特产.会理石榴果大、色艳、皮薄、
粒软、味浓、有微香、余味长，含有人体所需的多种维生素和氨基酸，可食部分百分率较高，可溶性固性
物含量较高，籽粒“透明晶亮若珍珠，果味浓甜如蜂蜜”，品质佳良.每年8~9月份正是石榴成熟之季，各大
网红、电商纷纷前来会理带货石榴.一电商老板收果时要求石榴重量(单位：克)如下：250克以下的为次果，
[250,350)克为小果，[350,450)克为中果，[450,550)克为大果，550克及以上为特大果.为了了解果农家石榴
情况，在果园里随机摘取了100个石榴称重量（单位：克）并统计分析，绘制成如图所示的频率分布直方图
（各区间分别为[150,250)，[250,350)，[350,450)，[450,550)，[550,650)）.
(1)根据频率分布直方图，求图中 的值和估计这100个石榴的平均重量及第75百分位数(每组数据用所在区
间的中点值作代表)
(2)此电商老板来收购果农家石榴，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，
该石榴果园中有石榴大约5万个，在今年的石榴行情下，电商老板提出以下两种收购方案：
方案①：所有石榴以5元/千克收购；
方案②：对重量低于350克的石榴以1元/个收购，对重量高于或等于350克的石榴以3元/个收购．
请通过计算确定果农选择哪种方案获利更多？
【解题思路】（1）根据频率分布直方图频率之和为1，列方程可得 ，再根据平均数与百分位数的定义与计
算公式可得平均数与百分位数；
（2）方案①：根据（1）中平均重量直接计算；方案②：根据频率估计在各范围内的数量，进而计算利
润.
【解答过程】（1）表由题知
(0.0010 + 0.0020 + + 0.0025 + 0.0015) × 100 = 1，解得 = 0.0030；
平均重量：
(0.001 × 200 + 0.002 × 300 + 0.003 × 400 + 0.0025 × 500 + 0.0015 × 600) × 100 = 415
由频率分布直方图可知：
前3组的频率之和为0.001 × 100 + 0.002 × 100 + 0.003 × 100 = 0.6，
前4组的频率之和为0.6 + 0.0025 × 100 = 0.85，
则第75百分位数一定位于[450,550)内，设第75百分位数为 ，
则0.6 + ( 450) × 0.0025 = 0.75，解得 = 510；
415
（2）方案①收入： 1 = 1000 × 50000 × 5 = 103750（元），
方案②收入：低于350克的石榴收入为(0.001 + 0.002) × 100 × 50000 × 1 = 15000（元），
不低于350克的石榴收入为(0.003 + 0.0025 + 0.0015) × 100 × 50000 × 3 = 105000（元），
故方案②的收入 2 = 15000 + 105000 = 120000（元）；
由于103750 < 120000，所以选择方案②获利多．
【变式 2-1】（24-25 高二上·浙江杭州·期中）某公司招聘销售员，提供了两种日工资结算方案：方案（1）
每日底薪 100 元，每销售一单提成 2 元；方案（2）每日底薪 200 元，销售的前 50 单没有提成，从第 51 单
开始，每完成一单提成 4 元．该公司记录了销售员的每日人均业务量，现随机抽取一个季度的数据，将样
本数据分为[25,35)、[35,45)、[45,55)、[55,65)、[65,75)、[75,85)、[85,95]七组，整理得到如图所示的频
率分布直方图．
(1)求直方图中 的值；
(2)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘销售员做出日工资方案的选择，并说
明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；
(3)假设该销售员选择了你在（2）中所选的方案，已知公司现有销售员 400 人，他希望自己的收入在公司中
处于前 40 名，求他每日的平均业务量至少应达多少单？
【解题思路】（1）由频率分布直方图的矩形面积和为 1 求出 的值；
（2）由每日人均业务量的平均值分别求出方案（1）和（2）的人均日收入；比较大小后再做选择；
（3）用 40 除以 400 得到，该员工收入需要进入公司群体人员收入的前 10%，即超过 90%，分析 90%是否
在前 5 组频率和以及前 6 组频率和之间，设对应销为 ，由频率分布直方图的百分位数的公式得到对应的
值.
【解答过程】（1）∵(0.005 × 3 + 2 + 0.03 + 0.015) × (35 25) = 1，
∴ = 0.02
（2）每日人均业务量的平均值为：
(30 × 0.005 + 40 × 0.005 + 50 × 0.02 + 60 × 0.03 + 70 × 0.02 + 80 × 0.015 + 90 × 0.005) × 10 = 62，
方案（1）人均日收入为：100 + 62 × 2 = 224元，
方案（2）人均日收入为： 200 + (62 50) × 4 = 248元，
∵248 元>224 元，
所以选择方案（2）
（3）∵40 ÷ 400 = 0.1，即设该销售员收入超过了 90%的公司销售人员.
由频率分布直方表可知：
前 5 组的频率和为(0.005 × 2 + 0.02 + 0.03 + 0.02) × 10 = 0.8
前 6 组的频率和为(0.005 × 2 + 0.02 + 0.03 + 0.02 + 0.015) × 10 = 0.95
∵0.8 < 0.9 < 0.95，设该销售的每日的平均业务量为 ，
则( 75) × 0.015 + 0.8 > 0.9，
∴ > 81.7，又∵ ∈ N
∴ 最小取 82，
故他每日的平均业务量至少应达 82 单.
【变式 2-2】（23-24 高一下·福建三明·阶段练习）某中学新建了学校食堂，每天有近 2000 名学生在学校食
堂用午餐，午餐开放时间约 40 分钟，食堂制作了三类餐食，第一类是选餐，学生凭喜好在做好的大约 6 种
菜和主食米饭中任意选购；第二类是套餐，已按配套好菜色盛装好，可直接取餐：第三类是面食，如煮面
炒粉等，为了更合理地设置口布局，增加学生的用餐满意度，学校学生会在用餐的学生中对就餐选择 各类
餐食的平均每份取餐时长以及可接受等待时间进行问卷调查，并得到以下的统计图表：
类别 选餐 套餐 面食
选择人数 50 30 20
平均每份取餐时长（单位 分钟） 2 0.5 1
已知饭堂的售饭窗口一共有 20 个，就餐高峰期时有 240 名学生在等待就餐．
(1)根据以上调查统计，如果设置 12 个选餐窗口，4 个套餐窗口，4 个面食窗口，就餐高峰期时，假设大家
在排队时自动选择较短的队伍等待（即各类餐食的窗口前队伍长度各自相同），求选择选餐的同学取到午
餐的最长等待时间；
(2)取餐时至多等待多长时间能让80%的同学感到满意？（即在接受等待时长内取到餐，保留整数）；
(3)根据以上的调查统计，从等待时长和公平的角度上考虑，如何设置各类售饭窗口数更优化，并给出你的
求解过程．
【解题思路】（1）利用分层抽样的性质结合平均数的计算方法求解即可.
（2）利用频数分布直方图的性质求出接受不同等待时长的概率，然后结合题意得到0.6 + ( 15)
× 0.07 = 0.8，求解方程即可.
（3）依据题意求出设置每个取餐窗口的比例，再取整即可.
50
【解答过程】（1）由题意得就餐高峰期时选择选餐的总人数为240 × 50+30+20 = 120人；
这 120 120人平均分布在 12 个选餐窗口，平均每个窗口等待就餐的人数为 12 = 10人，
所以选择选餐的同学取到午餐的最长等待时间为2 × 10 = 20分钟，
（2）由可接受等待时长的频率分布直方图可知，
分组为[5,10),[10,15),[15,20),[20,25)的频率分别为0.15,0.45,0.35,0.05，
所以可接受等待时长在20 25分钟以内的同学占 0.05，即有95%的同学不满意
可接受等待时长在15 25分钟以内的同学占0.05 + 0.35 = 0.4，
即有60%的同学对等待时间少于 15 分钟感到满意，
所以至多等待的时间 ∈ [15,20)，能让80%的同学感到满意
0.6 + ( 15) × 0.07 = 0.8，所以 ≈ 18分钟，
至多等待 18 分钟，能让80%的同学感到满意.
（3）假设设置 个选餐窗口， 个套餐窗口， 个面食窗口，
则各队伍的同学最长等待时间如下：
类别 选餐 套餐 面食
高峰期就餐总人数 120 72 48
120 72 48
各队伍长度（人）

120 72 48
最长等待时间（分钟） 2 × 0.5 × 1 ×
依题意，从等待时长和公平的角度上考虑，则要求每个队伍的最长等待时间大致相同，
即得2 × 120 = 0.5 ×
72 48
= 1 × ，即有 : : = 20:3:4，
而 + + = 20，故 ≈ 15, ≈ 2, ≈ 3，
因此建议设置选餐 套餐 面食三个类别的窗口数分别为 15，2，3 个.
【变式 2-3】（23-24 高一下·河南·阶段练习）已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零
件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）.
尺寸大于 的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于 的零件用于小型机器中.
(1)若 = 60，试分别估计该工厂一区生产车间生产的 500 个该种型号的零件和二区生产车间生产的 500 个
该种型号的零件用于大型机器中的零件个数.
(2)若 ∈ (60,70]，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器 小型机器各
5000 台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件.
方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于 的零件的大型机器每
台会使得工厂损失 200 元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于 的零件的
小型机器每台会使得工厂损失 100 元.
方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为
35 万元.
请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值 ( )（单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选
择合理的方案.
【解题思路】（1）计算出两个生产车间生产的零件尺寸大于 60 的频率，进而求出两个生产车间生产的 500
个该种型号的零件用于大型机器中的零件数；
（2）计算出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于 的频率和二区生产车间生产的零件尺寸大于 的频
率，从而得到 ( ) = 0.8 12，结合 ∈ (60,70]，求出 ( ) ∈ (36,44]，与 35 比较后得到结论.
【解答过程】（1）一区生产车间生产的零件尺寸大于 60 的频率为(0.020 + 0.024 + 0.020 + 0.020)
× 10 = 0.84，
则该工厂一区生产车间生产的 500 个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为500 × 0.84 = 420；
二区生产车间生产的零件尺寸大于 60 的频率为(0.024 + 0.016) × 10 = 0.4，
则该工厂二区生产车间生产的 500 个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为500 × 0.40 = 200.
（2）一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于 的频率为
0.004 × 10 + 0.012 × 10 + 0.02 × ( 60) = 0.02 1.04.
二区生产车间生产的零件尺寸大于 的频率为
0.024 × (70 ) +0.016 × 10 = 1.84 0.024 .
故 ( ) = (0.02 1.04) × 0.02 × 5000 + (1.84 0.024 ) × 0.01 × 5000 = 0.8 12.
因为 ∈ (60,70]，所以 ( ) ∈ (36,44].
又因为采用方案二重新测量的总费用为 35 万元，
所以从工厂损失的角度考虑，应选择方案二.
【题型 3 统计案例的探究和报告】
【例 3】（24-25 高二上·湖南郴州·开学考试）随着时代不断地进步，人们的生活条件也越来越好，越来越
多的人注重自己的身材，其中体脂率是一个很重要的衡量标准根据一般的成人体准，女性体脂率的正常范
围是20%至25%，男性的正常范围是15%至18%.这一范围适用于大多数成年人，可以帮助判断个体是否存
在肥胖的风险.某市有关部门对全市100万名成年女性的体脂率进行一次抽样调查统计，抽取了1000名成年
女性的体脂率作为样本绘制频率分布直方图如图.
(1)求 a；
(2)如果女性体脂率为25%至30%属“偏胖”，体脂率超过30%属“过胖”，那么全市女性“偏胖”，“过胖”各约有
多少人？
(3)小王说：“我的体脂率是调查所得数据的中位数.”小张说：“我的体脂率是调查所得数据的平均数.”那么谁
的体脂率更低？
【解题思路】（1）由所有矩形条的面积和为1，列方程可求 ；
（2）求出样本中女性“偏胖”，“过胖”的频率，由此估计全市女性“偏胖”，“过胖”的人数；
（3）求样本的中位数，平均数可得小王和小张的体脂率，由此可得结论.
【解答过程】（1）由频率直方图可得，5 × 2 + 5 × 0.03 + 5 × 0.07 + 5 × 6 + 5 × 2 = 1，
所以 = 0.01.
（2）由频率分布直方图可得样本中女性“偏胖”的频率为5 × 0.06 = 0.3，
样本中女性“过胖”的频率为5 × 0.02 = 0.1，
所以全市女性“偏胖”的人数约为1000000 × 0.3 = 300000，
全市女性 “过胖”的人数约为1000000 × 0.1 = 100000，
（3）调查所得数据的平均数为12.5 × 0.1 + 17.5 × 0.15 + 22.5 × 0.35 + 27.5 × 0.3 + 32.5 × 0.1 = 23.25，
设调查所得数据的中位数为 ，
因为0.1 + 0.15 = 0.25 < 0.5，0.1 + 0.15 + 0.35 = 0.6 > 0.5，
所以20 < < 25，
所以0.25 + ( 20) × 0.07 = 0.5，
所以 = 1657 ≈ 23.57，
所以调查所得数据的中位数约为23.57，
所以小王的体脂率约为23.57，小张的体脂率为23.25，
所以小张的体脂率更低.
【变式 3-1】（23-24 高一下·广东广州·期末）5 月 11 日是世界防治肥胖日.我国超过一半的成年人属于超重
或肥胖，6～17 岁的儿童青少年肥胖率接近 20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目前，
国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写 BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我国成人的 BMI
数值标准为：BMI<18.5 为偏瘦；18.5≤BMI<24 为正常；24≤BMI<28 为偏胖；BMI≥28 为肥胖.为了解某公司
员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了 60 名男
员工、40 名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的 BMI 值并将女员工的 BMI 值绘制成如图
所示的频率分布直方图：
(1)求图中 a 的值，并估计样本中女员工 BMI 值的 70%分位数；
(2)已知样本中男员工 BMI 值的平均数为 22，试估计该公司员工 BMI 值的平均数.
【解题思路】（1）根据频率分布直方图的矩形面积之和为 1 可求出 a 的值，再根据百分位数的定义求解 70%
分位数；
（2）先根据频率分布直方图计算女员工的平均 BMI 值，再求解该公司员式 BMI 值的平均数即可.
【解答过程】（1）由题意得2 × (0.08 + 0.13 + + 0.06 + 0.07 + 0.02 + 0.01 + 0.03) = 1，解得 = 0.10，
因为2 × (0.08 + 0.13 + 0.10) = 0.62 < 0.7，2 × (0.08 + 0.13 + 0.10 + 0.06) = 0.74 > 0.7，
所以70%分位数在[22,24)，设70%分位数为 ，则
0.62 + 0.06 × ( 22) = 0.7 = 70，解得 3 ，
70
所以样本中女员工 BMI 值的 70%分位数为 3 ，
（2）由题意得，样本中女员工 BMI 值的平均数为
2 × (17 × 0.08 + 19 × 0.13 + 21 × 0.10 + 23 × 0.06
+25 × 0.07 + 27 × 0.02 + 29 × 0.01 + 31 × 0.03） = 21.64，
22×60+21.64×40
所以估计该公司员工 BMI 值的平均数为 100 = 21.856.
【变式 3-2】（23-24 高一下·湖南长沙·期末）BMI（身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度
体重(单位:kg)
以及是否健康的一个标准，其计算公式是：BMI = 2 : m2 ．中国成人的BMI数值参考标准为：BMI < 18.5身高 单位
为偏瘦；18.5 ≤ BMI < 24为正常；24 ≤ BMI < 28为偏胖；BMI ≥ 28为肥胖．某公司为了解公司员工的身体
肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了 60 名男员工，40 名女员工的
身高体重数据，通过计算男女员工的BMI值，整理得到如下的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 a 的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；
(2)估计该公司员工的BMI值的众数，中位数；
(3)已知样本中 60 名男员工BMI值的平均数为 1 = 22.4，根据频率分布直方图，估计样本中 40 名女员工BMI
值的平均数 2．
【解题思路】（1）利用频率之和为 1 可计算 的值，再结合频率分布直方图即可得肥胖的百分比；
（2）利用频率分布直方图即可估计众数，中位数；
（3）先计算整体的平均数，然后由分层抽样平均数的公式即可得解．
【解答过程】（1）由题，2 × (0.01 + 0.02 + 0.03 + 0.06 + 0.07 + 0.08 + + 0.13) = 1，解得： = 0.1，
由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为2 × (0.01 + 0.03) × 100% = 8%；
2 18+20（ ）由频率分布直方图可得，众数为 2 = 19，
因为2 × (0.08 + 0.13) = 0.42 < 0.5，2 × (0.08 + 0.13 + 0.1) = 0.62 > 0.5，
0.5 0.42
故中位数在[20,22)，设为 ，则 = 20 + 2×0.1 × (22 20) = 20.8；
（3）设样本平均数为 ，
则由频率分布直方图可得；
= 2 × (17 × 0.08 + 19 × 0.13 + 21 × 0.1 + 23 × 0.06 + 25 × 0.07 + 27 × 0.02 + 29 × 0.01 + 31 × 0.03)
，
= 21.64
= 60 1+40 2又 100 ，
60×22.4+40 2
即 100 = 21.64，解得： 2 = 20.5．
【变式 3-3】（23-24 高一下·福建莆田·期末）目前，国际上常用身体质量指数（缩写 BMI）来衡量人体胖
瘦程度．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从该公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随
机抽样方法抽取了 50 名女员工、100 名男员工的体检数据，通过计算他们的 BMI 值，得到女员工频数分布
表和男员工频率分布直方图如下：
女员工频数分布表
BMI 值区间 [12,15) [15,18) [18,21) [21,24) [24,27） [27,30] 合计
频数 3 8 13 16 6 4 50
(1)估计样本中女员工 BMI 值的平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)已知样本中女员工 BMI 值的平均数为 ，方差为 14.5；样本中男员工 BMI 值的平均数为 22.56，方差为
14.8．用样本估计该公司全体员工 BMI 值的方差；
(3)根据男员工频率分布直方图，比较样本中男员工 BMI 值的平均数与中位数的大小．（只需写出结论，不
用说明理由）
参考公式：总体划分为 2 层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为 ， ，
2

1； ， ， 22，记总的样本平均数和样本方差分别为 ， 2，则 2 = 2 2 2 2 + 1 + ( ) + + 2 + ( ) ．
【解题思路】（1）利用平均数计算公式计算即得；
（2）先利用加权平均数公式计算出 ，再将 ， ， 2 21； ， ， 2分别代入方差公式计算即得；
（3）根据直方图中右侧“拖尾”情况，即可判断平均数大于中位数.
1
【解答过程】（1）样本中女员工 BMI 值的平均数为： = 50
(13.5 × 3 + 16.5 × 8 + 19.5 × 13 + 22.5 × 16 + 25.5 × 6 + 28.5 × 4)
= 150 × 1053 = 21.06.
（2）依题意， = 21.06, = 22.56, = 50, = 100, 21 = 14.5, 22 = 14.8，
50×21.06+100×22.56 3309
则得， = 50+100 = 150 = 22.06，
2 = 2 + 1 + ( )
2 + +
2
2 + ( )2
= 50 2 100 2150[14.5 + (21.06 22.06) ] + 150[14.8 + (22.56 22.06) ]
= 13 × 15.5 +
2
3 × 15.05 = 15.2.
（3）因男员工频率分布直方图中，右侧“拖尾”，说明数据向右偏斜，平均数受到右侧“拖尾”的影响，
而中位数则位于数据的中央，不受极端值的影响，故平均数会大于中位数.

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