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专题 9.5 统计全章十大基础题型归纳（基础篇）
【人教 A 版（2019）】
题型 1 简单随机抽样的特征及适用条件
1．（2024 高一下·全国·专题练习）关于简单随机抽样，下列说法正确的是（ ）
①它要求被抽取样本的总体的个体数有限；②它是从总体中逐个地进行抽取；③不做特殊说明时，它是一
种不放回抽样；④它是一种等可能抽样．
A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④
2．（23-24 高一上·全国·课后作业）下列 4 个抽样中，简单随机抽样的个数是（　　）
①从无数个个体中抽取 50 个个体作为样本；
②仓库中有 1 万支奥运火炬，从中一次性抽取 100 支火炬进行质量检查；
③某连队从 200 名党员官兵中，挑选出 50 名最优秀的党员官兵赶赴某市参加抗震救灾工作；
④一彩民选号，从装有 36 个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出 6 个号签.
A．0 B．1
C．2 D．3
3．（2024 高一下·全国·专题练习）判断下面的抽样方法是否为简单随机抽样，并说明理由．
(1)某商品的市场调查员为了了解该商品在某日某超市的销售情况，在超市出口处随机向 10 个顾客询问是否
购买了该商品
(2)某班 45 名同学，指定个子最矮的 5 名同学参加学校组织的某项活动；
(3)从 20 个相同的零件中一次性抽出 3 个进行质量检查
4．（2024 高一下·全国·专题练习）判断下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？
(1)盒子里共有 80 个零件，从中选出 5 个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质
量检验后再把它放回盒子里；
(2)从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检验；
(3)某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛；
(4)环保人员在上游取河水进行化验，了解河流的污染状况；
(5)从 10 个手机中逐个不放回地随机抽取 2 个进行质量检验（假设 10 个手机已编号）．
题型 2 抽签法及其应用
1．（24-25 高二上·新疆巴音郭楞·期中）在对 101 个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除一个人，再
在剩余的 100 中随机抽取 10 人，那么下列说法正确的是（ ）
A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会
B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的
机会也是均等的
C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少
D．每个人被抽到的可能性不相等
2．（24-25 高一·全国·课后作业）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（ ）
A．从某厂生产的 3000 件产品中抽取 600 件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱 15 件）产品中抽取 6 件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱 15 件）产品中抽取 6 件进行质量检验
D．从某厂生产的 3000 件产品中抽取 10 件进行质量检验
3．（2024 高一下·全国·专题练习）某校举办晚会，共邀请 20 名同学演出，其中从 30 名高一学生中随机挑
选 10 人，从 18 名高二学生中随机挑选 6 人，从 10 名高三学生中随机挑选 4 人．试用抽签法确定选中的同
学，并确定他们的表演顺序．
4．（24-25 高一上·全国·课前预习）某单位拟从 40 名员工中选 5 人赠送电影票，可采用下面两种选法：
选法一：将这 40 名员工按 1 至 40 进行编号，并相应地制作号码为 1 至 40 的 40 个号签，把这 40 个号签放
在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取 5 个号签，与这个号签编号一致的员工是幸运人选；
选法二：将 35 个白球与 5 个红球（除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让 40 名员工逐
一从中不放回地摸取 1 个球，则摸到红球的员工是幸运人选，试问：
(1)这两种选法是否都是抽签法，为什么？
(2)这两种选法中每名员工被选中的可能是否相等？
题型 3 随机数法及其应用
1．（24-25 高一上·江西南昌·期末）某工厂利用随机数表对生产的 40 个零件进行抽样测试，先将 40 个零件
进行编号，编号分别为01,02, ,40，从中抽取 8 个样本，下面提供随机数表的第 1 行到第 3 行：
0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202
9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214
1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336
若从表中第 2 行第 7 列开始向右依次读取数据，则得到的第 5 个样本编号是（ ）
A．37 B．32 C．14 D．16
2．（23-24 高一上·江西·阶段练习）某班级共有 52 位同学，现随机抽取 8 位同学参加学校组织的“校园读书
节”活动，老师将班级同学进行编号：01，02，03，……，52，若从随机数表的第 3 行第 27 列开始，依次
往右读数，直到取足样本为止，则第 6 位被抽到的同学对应的编号为（ ）
95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39
90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 56 35 23 79 18 05 98 90 07 35
46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 79
20 31 89 03 43 38 46 82 68 72 32 14 82 99 70 80 60 47 18 97 63 49 30 21 30
71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60
A．16 B．42 C．50 D．80
3．（2024 高一下·全国·专题练习）某市质监局要检查某公司某个时间段生产的 500 克袋装牛奶的质量是否
达标，现从 500 袋牛奶中抽取 10 袋进行检验．
(1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？
(2)如果用随机数法生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号．
162，277，943，949，545，354，821，737，932，354，873，520，964，384，263，491，648，642，
175，331，572，455，068，877，047，447，672，172，065，025，834，216，337，663，013，785，
916，955，567，199，810，507，175，128，673，580，667.
4．（24-25 高一·全国·课后作业）已知总体容量为 200，根据以下随机数表，抽取一个样本容量为 5 的样本.
55 19 68 97 65 03 73 52 16 56 00 58 55
90 27 33 42 29 38 87 22 13 88 83 34 53
81 29 13 29 35 01 20 71 34 62 33 74 82
14 53 73 19 09 03 56 54 29 56 93 51 86
32 68 92 33 98 74 66 99 40 14 71 94 58
45 94 19 33 81 14 44 99 81 07 35 91 70
29 13 80 03 54 07 27 96 94 78 32 66 50
95 52 74 33 13 80 55 62 54 37 71 67 95
13 20 02 44 95 94 64 85 04 05 72 01 32
90 76 14 53 89 74 60 41 93 66 13 83 27
92 79 64 64 72 28 54 96 53 84 48 14 52
98 94 56 07 93 39 30
题型 4 抽样方法的选取
1．（2024 高一下·全国·专题练习）①一次数学考试中，某班有 12 人的成绩在 100 分以上，30 人的成绩在
90～100 分，12 人的成绩低于 90 分，现从中抽取 9 人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的工作人员
为参加4 × 100m接力赛的 6 支队伍安排跑道．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（ ）
A．分层抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，简单随机抽样
C．简单随机抽样，分层抽样 D．分层抽样，分层抽样
2．（23-24 高一下·云南丽江·阶段练习）下列两项调查适宜采用的抽样方法依次是（ ）
①一项对“中兴事件”（2018 年 4 月 16 日，美国对中兴通讯施行惩罚措施，引起国内关于国产芯片的讨论）
影响的调查中有 10000 人认为这是美国贸易保护主义，对世界经济会产生比较负面的影响：有 9000 人认为
这只是一个孤立事件，对世界经济大格局不会产生太大影响：有 1000 人没有发表自己的看法.现要从这 20000
人中随机抽取 200 人做进一步调查.
②从某中学高二年级的 15 名艺术特长生中选出 3 名调查学习负担情况.
A．①简单随机抽样，②分层抽样
B．①分层抽样，②简单随机抽样
C．①②都用简单随机抽样
D．①②都用分层抽样
3．（24-25 高一·全国·课堂例题）下列问题中，采用哪种抽样方法较为合理？
(1)某微波炉厂质量检查组为了解某批次 1000 台微波炉的使用寿命．
(2)每年 6月 6日是“全国爱眼日”．某县卫生部门要调查该县中小学生视力保护情况，已知该县有小学生 12000
名，初中生 10000 名，高中生 6000 名．
(3)某校要调查该校九年级 400 名学生身高和体重情况，以供该校营养师参考进而指导食堂伙食营养搭配．
4．（24-25 高一·全国·课后作业）下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？
(1)从一个班级的 30 名学生中抽取 5 人做授课教师满意度问卷；
(2)从动物园的所有动物中抽取 10%的样本进行动物健康测试；
(3)从某市的全体市民中抽取 1%的样本调查通过电视收看新闻的时长．
题型 5 普查与抽样
1．（23-24 高一下·内蒙古通辽·阶段练习）下列调查，比较适用普查而不适用抽样调查方式的是（ ）
A．为了了解中央电视台春节联欢晚会的收视率
B．为了了解高一某班的每个学生星期六晚上的睡眠时间
C．为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况
D．为了考查一片实验田某种水稻的穗长情况
2．（23-24 高一下·青海海南·期末）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．了解某一品牌空调的使用寿命，选择普查
B．了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查
C．了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择普查
D．了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查
3．（2024 高一下·全国·专题练习）在以下调查中，总体、个体各是什么？哪些适合用全面调查？哪些适合
用抽样调查？
(1)调查一个班级学生每周的体育锻炼时间；
(2)调查一个地区结核病的发病率；
(3)调查一批炮弹的杀伤半径；
(4)调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例．
4．（24-25 高一上·全国·课后作业）下列调查中哪些属于普查，哪些属于抽查
(1)为了了解某班级的每名学生穿几号鞋，向全班同学做调查；
(2)为了了解某学校高一年级学生穿几号鞋，向该学校高一年级某班的全体同学做调查；
(3)为了了解某班的同学们每天的睡眠时间，在每个小组中各选取 2 名学生做调查；
(4)为了了解某班的同学们每天的睡眠时间，选取该班中学号为偶数的所有学生做调查.
题型 6 绘制、补全频率分布直方图
1．（2025 高一·全国·专题练习）为了了解九年级学生中女生的身高（单位：cm）情况，某中学对九年级部
分女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出频率分布表如下所示：
分组 频数 频率
[145.5，149.5） 1 0.02
[149.5，153.5） 4 0.08
[153.5，157.5） 20 0.40
[157.5，161.5） 15 0.30
[161.5，165.5） 8 0.16
[165.5，169.5] m n
合计 M N
(1)求出表中 m，n，M，N 所表示的数分别是多少？
(2)画出频率分布直方图；
(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在 161.5cm 以上的频率．
2．（24-25 高一上·四川成都·开学考试）随着车辆的增加，交通违规的现象越来越严重，交警对某雷达测速
区检测到的一组汽车的时速数据进行整理，得到其频数及频率如表（未完成）：
数据段 频数 频率
30～40 10 0.05
40～50 36
50～60 0.39
60～70
70～80 20 0.10
总计 200 1
注：30～40 为时速大于等于 30 千米而小于 40 千米，其他类同
(1)请你把表中的数据填写完整；
(2)补全频数分布直方图；
(3)如果汽车时速不低于 60 千米即为违章，则违章车辆共有多少辆？
3．（2024 高一下·全国·专题练习）随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数，获得数据如
下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，
46，39，36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组 [25,30] (30,35] (35,40] (40,45] (45,50]
频数 3 5 8 1 2
频率 0.12 0.20 0.32 1 2
(1)确定样本频率分布表中 1， 2， 1和 2的值；
(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图与折线图．
4．（23-24 高一下·陕西西安·阶段练习）某地有 2000 名学生参加数学学业水平考试，现将成绩汇总，得到
如图所示的频率分布表．
成绩分 频数频 成绩分
组 率 组
[50,60] 100
(60,70]
(70,80] 800
(80,90]
(90,100] 200
(1)请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；
(2)将成绩按分层抽样的方法抽取 150 名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为 95 分，求他被
抽中的概率．
题型 7 根据统计图解决实际问题
1．（2024 高一下·全国·专题练习）已知全国农产品批发价格 200 指数月度变化情况如图所示，下列选项正
确的是（ ）
A．全国农产品夏季价格比冬季低
B．全国农产品批发价格 200 指数 2023 年每个月逐渐增加
C．2023 年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格 200 指数的变化趋势基本保持一致
D．2023 年 6 月农产品批发价格 200 指数大于 116
2．（23-24 高一下·四川内江·期末）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业
者年龄的分布饼状图 90 后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．互联网行业从事技术岗位的人数中，90 后比 80 后多
B．90 后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多
D．互联网行业从业人员中 90 后占一半以上
3．（23-24 高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机
抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数，设每名学生的阅读本数为 n，并按以下
规定分为四档：当 < 3时，为“偏少”；当3 ≤ < 5时，为“一般”；当5 ≤ < 8时，为“良好”；当 ≥ 8时，
为“优秀”，现将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：
阅读本数 （本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
人数（名） 1 2 6 7 12 7 y 1
请根据以上信息回答下列问题：
(1)求出本次随机抽取的学生总人数；
(2)分别求出统计表中的 , 的值；
(3)估计该校九年级 400 名学生中为“优秀”档次的人数.
4．（24-25 高一·全国·随堂练习）下面是 2003 年 4 月 21 日至 5 月 15 日上午 10 时，北京市非典型性肺炎疫
情新增数据走势图．
(1)哪一天新增确诊的人数最多？哪一天新增疑似的人数最多？
(2)哪一天新增治愈的人数最多？哪一天新增死亡的人数最少？
(3)从图中，你能预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势吗？
题型 8 百分位数的求解
1．（23-24 高一下·贵州黔西·期末）兴义市峰林布依景区在春节期间，迎来众多游客，其中某天接受了一个
小型的旅行团，他们的年龄（单位：岁）如下：6，6，7，8，10，37，39，45，46，52，53，61，则这组
数据的第 75 百分位数是（ ）
A．34.5 B．46 C．49 D．52
2．（23-24 高一下·吉林·期末）为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三（一）
班，高三（二）班各 10 名同学的体温记录（从低到高）：
高三（一）班:36.1，36.2，36.3，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位:℃），
高三（二）班:36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，36.9，37.1（单位:℃）
则高三（一）班这组数据的第 25 百分位数和高三（二）班第 80 百分位数分别为（ ）
A．36.3，36.7 B．36.3，36.8 C．36.25，36.7 D．36.25，36.8
3．（23-24 高一下·全国·课后作业）某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一
定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者
进行年龄调查，随机抽取了一天中 40 名读书者进行调查，将他们的年龄分成 6 段：[20,30)，[30,40)，
[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)估计这 40 名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数；
(2)估计这 40 名读书者年龄的众数和第 80 百分位数；
4．（23-24 高一下·全国·课后作业）梵净山位于贵州省铜仁市的江口 印江 松桃三县交界处，是具有 2000
多年历史的文化名山.梵净山山势雄伟 层峦叠嶂，溪流纵横 飞瀑悬泻.为更好地提升旅游品质，随机选择 100
名游客对景区进行满意度评分（满分 100 分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，求 的值；
(2)估计这 100 名游客对景区满意度评分的70%分位数.
题型 9 众数、中位数、平均数的求解及应用
1．（24-25 高一上·四川成都·开学考试）如表是某公司员工月收入的资料.
月收入
45000 18000 10000 5500 5000 3400 3300 1000
/元
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（ ）
A．平均数和众数 B．平均数和中位数
C．中位数和众数 D．平均数和方差
2．（24-25 高一上·四川南充·开学考试）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植
户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取 7 株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是
23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．24，25 B．23，23
C．23，24 D．24，24
3．（2024 高一下·全国·专题练习）某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单
位：岁)：
甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群：64，13，14，14，15，16，16，16，16，66，
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特
征？
(2)乙群市民年龄的平均数、众数和中位数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特
征？
4．（2024 高一下·全国·专题练习）据了解，某公司的 33 名职工月工资（单位：元）如下：
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1 1 2 1 5 3 20
工资 11000 10000 9000 8000 6500 5500 4000
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数．
(2)假设副董事长的工资从 10000 元提升到 20000 元，董事长的工资从 11000 元提升到 30000 元，那么新的
平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元）
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．
题型 10 方差、标准差的求解及应用
1．（23-24 高一下·湖北武汉·期末）已知数据 1， 2， ， 9的方差为 25，则数据3 1 +1，3 2 +1， ，3 9
+1的标准差为（ ）
A．25 B．75 C．15 D．5 3
2．（23-24 高一下·海南省直辖县级单位·期末）从两个班级各随机抽取 5 名学生测量身高（单位：cm），
甲班的数据为 169，162，150，160，159，乙班的数据为 180，160，150，150，165.据此估计甲、乙两班学
生的平均身高 甲， 乙及方差 2甲，
2
乙的关系为（ ）
A． > ， 2甲 乙 甲 >
2
乙 B． 甲 > 乙，
2
甲 <
2
乙
C． 甲 < 乙， 2 2甲 > 乙 D． 甲 <
2
乙， 甲 <
2
乙
3．（23-24 高一下·北京通州·期中）甲、乙、丙三人进行 5 轮的投篮比赛，每轮各投 10 次，其成绩（命中
次数）如下：
甲投中次数 6 6 8 7 8
乙投中次数 6 5 4 6
丙投中次数 1 2 3 4 5
(1)若乙比甲平均少投中 2 次，求 的值，甲和乙投中次数的方差分别为 21和 22，试比较 21和 22大小（结论不
要求证明）；
(2)若投中一球计三分，丙平均得分为 21 分，方差为 27，且每轮得分互不相同，求丙在比赛中的最高得分，
并说明理由.
4．（23-24 高一下·宁夏固原·期末）统计学作为数学的一个重要分支，其犹如一座坚实的大厦，构建于严谨
的数学基石之上，为理解和诠释数据提供了强大的支撑，请用你所学到的统计知识解答以下问题：
(1)如果将总体分为 k 层，第 j 层抽取的样本为 1， 2，…， ，第 j 层的样本量为 ，样本平均数为 ，

样本方差为 2， = 1,2, , .记 = ，总的样本平均数为 ，样本方差为 2，证明： 2 =
1

=1

2
1
1 1 + ( 2 2 2 21 ) + 2 2 + ( 2 ) + + + ( 2 2 ) ，即 = 2 + ( )
2 .
=1
(2)为研究男女学生在生活费支出（单位：元）上的差异，某校在高一年级 400 名学生中随机抽取 40 人，统
计他们某一周的生活费支出，得到下面的结果：
抽取的学生 生活费支出的平均数 生活费支出的标准差
男生 22 人 380 250
女生 18 人 360 280
根据以上数据及（1）结论，估计该校高一学生这周生活费支出的总体平均数 、总体方差 2.专题 9.5 统计全章十大基础题型归纳（基础篇）
【人教 A 版（2019）】
题型 1 简单随机抽样的特征及适用条件
1．（2024 高一下·全国·专题练习）关于简单随机抽样，下列说法正确的是（ ）
①它要求被抽取样本的总体的个体数有限；②它是从总体中逐个地进行抽取；③不做特殊说明时，它是一
种不放回抽样；④它是一种等可能抽样．
A．①②③④ B．③④ C．①②③ D．①③④
【解题思路】根据简单随机抽样的定义和性质即可得到答案.
【解答过程】根据简单随机抽样的定义和性质知：
①它要求被抽取样本的总体的个数有限，正确；
②它是从总体中逐个地进行抽取，正确；
③不作特殊说明时它是一种不放回抽样，正确；
④它是一种等可能性抽样，正确；
故选：A.
2．（23-24 高一上·全国·课后作业）下列 4 个抽样中，简单随机抽样的个数是（　　）
①从无数个个体中抽取 50 个个体作为样本；
②仓库中有 1 万支奥运火炬，从中一次性抽取 100 支火炬进行质量检查；
③某连队从 200 名党员官兵中，挑选出 50 名最优秀的党员官兵赶赴某市参加抗震救灾工作；
④一彩民选号，从装有 36 个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出 6 个号签.
A．0 B．1
C．2 D．3
【解题思路】根据简单随机抽样的特点逐个判断.
【解答过程】①不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.
②不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的
是“逐个抽取”.
③不是简单随机抽样.因为 50 名党员官兵是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，
不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.
④是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样.
故选：B.
3．（2024 高一下·全国·专题练习）判断下面的抽样方法是否为简单随机抽样，并说明理由．
(1)某商品的市场调查员为了了解该商品在某日某超市的销售情况，在超市出口处随机向 10 个顾客询问是否
购买了该商品
(2)某班 45 名同学，指定个子最矮的 5 名同学参加学校组织的某项活动；
(3)从 20 个相同的零件中一次性抽出 3 个进行质量检查
【解题思路】（1）由简单随机抽样的定义判断即可；
（2）由简单随机抽样的定义判断即可；
（3）由简单随机抽样的定义判断即可；
【解答过程】（1）不是简单随机抽样；被抽取的样本的总体个数不确定.
（2）不是简单随机抽样；因为指定个子最矮的 5 名同学，是在 45 名同学中特指的，不是等可能抽样．
（3）不是简单随机抽样；因为一次性抽取 3 个不是逐个抽取，不符合简单随机抽样的特征.
4．（2024 高一下·全国·专题练习）判断下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？
(1)盒子里共有 80 个零件，从中选出 5 个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质
量检验后再把它放回盒子里；
(2)从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检验；
(3)某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛；
(4)环保人员在上游取河水进行化验，了解河流的污染状况；
(5)从 10 个手机中逐个不放回地随机抽取 2 个进行质量检验（假设 10 个手机已编号）．
【解题思路】（1）（2）（3）（4）（5）根据简单随机抽样的特征逐个分析即可.
【解答过程】（1）不是，该抽样是放回抽样；
（2）不是，因为题中是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；
（3）不是，因为题中“指定个子最高的 5 名同学”不存在随机性，不是等可能抽样；
（4）不是，因为题中“在上游”不具有代表性也没有随机性和等可能性；
（5）是简单随机抽样，符合简单随机抽样特征.
题型 2 抽签法及其应用
1．（24-25 高二上·新疆巴音郭楞·期中）在对 101 个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除一个人，再
在剩余的 100 中随机抽取 10 人，那么下列说法正确的是（ ）
A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会
B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的
机会也是均等的
C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少
D．每个人被抽到的可能性不相等
【解题思路】根据随机抽样的特征，即可判断出结果.
【解答过程】由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等，然后随机抽取 10 人对每个人的机
会也是均等的，所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的.
故选：B.
2．（24-25 高一·全国·课后作业）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（ ）
A．从某厂生产的 3000 件产品中抽取 600 件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱 15 件）产品中抽取 6 件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱 15 件）产品中抽取 6 件进行质量检验
D．从某厂生产的 3000 件产品中抽取 10 件进行质量检验
【解题思路】根据抽签法的适用条件，结合选项依次判断即可.
【解答过程】选项 A，总体中的个体数较大，样本容量也较大，不适合用抽签法，故 A 不符合题意；
选项 B，总体中的个体数较小，样本容量也较小，
且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了，可用抽签法，故 B 符合题意；
选项 C，甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，
不能满足搅拌均匀的条件，不能用抽签法，故 C 不符合题意；
选项 D，总体中的个体数较大，不适合用抽签法，故 D 不符合题意.
故选：B.
3．（2024 高一下·全国·专题练习）某校举办晚会，共邀请 20 名同学演出，其中从 30 名高一学生中随机挑
选 10 人，从 18 名高二学生中随机挑选 6 人，从 10 名高三学生中随机挑选 4 人．试用抽签法确定选中的同
学，并确定他们的表演顺序．
【解题思路】第一步，确定参演学生，做号签，抽签，第二步，确定演出顺序，做号签，抽签.
【解答过程】第一步，确定参演学生．
（1）将 30 名高一学生从 01 到 30 编号，然后用相同的纸条做成 30 个号签，在每个号签上分别写上编号，
然后放入一个暗箱中搅匀，从中顺次不放回地抽出 10 个号签，相应编号的学生参加演出；
（2）运用相同的办法分别从 18 名高二学生中抽取 6 人，从 10 名高三学生中抽取 4 人．
第二步，确定演出顺序．
确定了演出人员后，再用相同的纸条做成 20 个号签，上面分别写上 1~20 这 20 个数字，代表演出顺序，不
放回地让每名学生抽一张，各人抽到的号签上的数就是这位学生表演的顺序．
4．（24-25 高一上·全国·课前预习）某单位拟从 40 名员工中选 5 人赠送电影票，可采用下面两种选法：
选法一：将这 40 名员工按 1 至 40 进行编号，并相应地制作号码为 1 至 40 的 40 个号签，把这 40 个号签放
在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取 5 个号签，与这个号签编号一致的员工是幸运人选；
选法二：将 35 个白球与 5 个红球（除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中搅匀，让 40 名员工逐
一从中不放回地摸取 1 个球，则摸到红球的员工是幸运人选，试问：
(1)这两种选法是否都是抽签法，为什么？
(2)这两种选法中每名员工被选中的可能是否相等？
【解题思路】根据抽签法的定义，进行求解即可.
【解答过程】（1）选法一满足抽签法的特征，是抽签法，选法二不是抽签法，因为抽签法要求所有的号签
编号互不相同，而选法二中的 35 个白球，5 个红球均无法相互区分．
（2）由于选法一中抽取每个号签和选法二中摸到每个球都是等可能的，因此这两种选法中每名员工被选中
的可能性相等．
题型 3 随机数法及其应用
1．（24-25 高一上·江西南昌·期末）某工厂利用随机数表对生产的 40 个零件进行抽样测试，先将 40 个零件
进行编号，编号分别为01,02, ,40，从中抽取 8 个样本，下面提供随机数表的第 1 行到第 3 行：
0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202
9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214
1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336
若从表中第 2 行第 7 列开始向右依次读取数据，则得到的第 5 个样本编号是（ ）
A．37 B．32 C．14 D．16
【解题思路】根据随机数表法的应用，按照已知的要求选出五个三个数字组成编号即可．
【解答过程】依题意从第 2 行第 7 列开始的数为 67（舍去），62（舍去），42（舍去），81（舍去），14，
57（舍去），20，42（舍去），53（舍去），32，37，32（舍去），14（舍去），16，
则满足条件的 5 个样本编号为 14，20，32，37，16，则第 5 个编号为 16．
故选：D.
2．（23-24 高一上·江西·阶段练习）某班级共有 52 位同学，现随机抽取 8 位同学参加学校组织的“校园读书
节”活动，老师将班级同学进行编号：01，02，03，……，52，若从随机数表的第 3 行第 27 列开始，依次
往右读数，直到取足样本为止，则第 6 位被抽到的同学对应的编号为（ ）
95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39
90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 56 35 23 79 18 05 98 90 07 35
46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 79
20 31 89 03 43 38 46 82 68 72 32 14 82 99 70 80 60 47 18 97 63 49 30 21 30
71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60
A．16 B．42 C．50 D．80
【解题思路】利用随机数表法即可得解.
【解答过程】由随机数法，抽取的同学对应的编号为 08，32，16，46，50，42，…，
故第 6 位同学的编号为 42.
故选：B．
3．（2024 高一下·全国·专题练习）某市质监局要检查某公司某个时间段生产的 500 克袋装牛奶的质量是否
达标，现从 500 袋牛奶中抽取 10 袋进行检验．
(1)利用随机数法抽取样本时，应如何操作？
(2)如果用随机数法生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号．
162，277，943，949，545，354，821，737，932，354，873，520，964，384，263，491，648，642，
175，331，572，455，068，877，047，447，672，172，065，025，834，216，337，663，013，785，
916，955，567，199，810，507，175，128，673，580，667.
【解题思路】（1）根据随机数法抽取样本的原则操作即可；
（2）根据随机数与编号相对应，一次写出即可；
【解答过程】（1）第一步，将 500 袋牛奶编号为 001，002，…，500.
第二步，用随机数工具产生 1～500 范围内的整数随机数．
第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的袋装牛奶进入样本．
第四步，重复上述过程，直到产生 10 个不同编号为止．
（2）应抽取的袋装牛奶的编号为 162，277，354，384，263，491，175，331，455，068.
4．（24-25 高一·全国·课后作业）已知总体容量为 200，根据以下随机数表，抽取一个样本容量为 5 的样本.
55 19 68 97 65 03 73 52 16 56 00 58 55
90 27 33 42 29 38 87 22 13 88 83 34 53
81 29 13 29 35 01 20 71 34 62 33 74 82
14 53 73 19 09 03 56 54 29 56 93 51 86
32 68 92 33 98 74 66 99 40 14 71 94 58
45 94 19 33 81 14 44 99 81 07 35 91 70
29 13 80 03 54 07 27 96 94 78 32 66 50
95 52 74 33 13 80 55 62 54 37 71 67 95
13 20 02 44 95 94 64 85 04 05 72 01 32
90 76 14 53 89 74 60 41 93 66 13 83 27
92 79 64 64 72 28 54 96 53 84 48 14 52
98 94 56 07 93 39 30
【解题思路】根据随机数表法即得.
【解答过程】先在随机数表中选择一个起始的数，不妨就从开始的 5 向右读下去，
从 5 开始的三位数组是：551 968 976 503 735 216 560 058 559
将其中大小在 001~200 的数据取出，058 直到取满 5 个即可.
故答案可以是 058 027 138 120 145.
题型 4 抽样方法的选取
1．（2024 高一下·全国·专题练习）①一次数学考试中，某班有 12 人的成绩在 100 分以上，30 人的成绩在
90～100 分，12 人的成绩低于 90 分，现从中抽取 9 人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的工作人员
为参加4 × 100m接力赛的 6 支队伍安排跑道．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（ ）
A．分层抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，简单随机抽样
C．简单随机抽样，分层抽样 D．分层抽样，分层抽样
【解题思路】根据分层抽样和简单随机抽样的特点判断即可.
【解答过程】对于①：考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层随机抽样比较恰当；
对于②：总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当．
故选：A.
2．（23-24 高一下·云南丽江·阶段练习）下列两项调查适宜采用的抽样方法依次是（ ）
①一项对“中兴事件”（2018 年 4 月 16 日，美国对中兴通讯施行惩罚措施，引起国内关于国产芯片的讨论）
影响的调查中有 10000 人认为这是美国贸易保护主义，对世界经济会产生比较负面的影响：有 9000 人认为
这只是一个孤立事件，对世界经济大格局不会产生太大影响：有 1000 人没有发表自己的看法.现要从这 20000
人中随机抽取 200 人做进一步调查.
②从某中学高二年级的 15 名艺术特长生中选出 3 名调查学习负担情况.
A．①简单随机抽样，②分层抽样
B．①分层抽样，②简单随机抽样
C．①②都用简单随机抽样
D．①②都用分层抽样
【解题思路】由随机抽样的定义进行判断.
【解答过程】解：对于①，总体中明显存在差异，则用分层随机抽样；
对于②，总体个数较少，则用简单随机抽样，
故选：B.
3．（24-25 高一·全国·课堂例题）下列问题中，采用哪种抽样方法较为合理？
(1)某微波炉厂质量检查组为了解某批次 1000 台微波炉的使用寿命．
(2)每年 6月 6日是“全国爱眼日”．某县卫生部门要调查该县中小学生视力保护情况，已知该县有小学生 12000
名，初中生 10000 名，高中生 6000 名．
(3)某校要调查该校九年级 400 名学生身高和体重情况，以供该校营养师参考进而指导食堂伙食营养搭配．
【解题思路】根据随机数法，抽签法和分层抽样的概念与特征分析判断.
【解答过程】（1）由于总体容量较大，可采用随机数法进行抽样．
（2）由于总体容量大，并且具有明显的分层性，因而应当先采用分层抽样，然后再在每层采用随机数法进
行抽样．
（3）由于总体容量较大，男女学生在身高和体重方面又有较大的差异，所以应当先采用分层抽样，然后对
男生和女生分别用抽签法进行抽样．
4．（24-25 高一·全国·课后作业）下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？
(1)从一个班级的 30 名学生中抽取 5 人做授课教师满意度问卷；
(2)从动物园的所有动物中抽取 10%的样本进行动物健康测试；
(3)从某市的全体市民中抽取 1%的样本调查通过电视收看新闻的时长．
【解题思路】（1）根据简单随机抽样的特征即可作出判断
（2）（3）根据分层抽样的使用对象和特征即可作出解答.
【解答过程】（1）就一个班级而言，对教师的授课满意度，学生间没有明显差异，适用简单随机抽样．
（2）动物的饲养难度有较大不同，对环境的要求也有较大差异，这些都是影响健康的因素，适用分层抽样．
（3）不同年龄段的市民在通过电视收看新闻的时间、习惯等方面都有较大差异，适用分层抽样．
题型 5 普查与抽样
1．（23-24 高一下·内蒙古通辽·阶段练习）下列调查，比较适用普查而不适用抽样调查方式的是（ ）
A．为了了解中央电视台春节联欢晚会的收视率
B．为了了解高一某班的每个学生星期六晚上的睡眠时间
C．为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况
D．为了考查一片实验田某种水稻的穗长情况
【解题思路】根据普查和抽样调查的适用特征即可结合选项逐一求解.
【解答过程】A 选项中做普查时数量太大，且该调查对调查结果准确性的要求不高，适合采用抽样调查的
方式；
B 选项中班级人数有限，比较容易调查，因而适合普查；
C 选项中数量大并且时间长，不适合普查；
D 选项中普查时数量太大，要费太大的人力物力，得不偿失，不适合普查．
故选:B.
2．（23-24 高一下·青海海南·期末）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ）
A．了解某一品牌空调的使用寿命，选择普查
B．了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查
C．了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择普查
D．了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查
【解题思路】根据抽样调查和普查的定义，逐个选项判断调查方式是否合理即可.
【解答过程】对于 A，了解某一品牌空调的使用寿命，选择抽样调查更符合经济效益，故 A 错误；
对于 B，了解神舟飞船的设备零件的质量情况，
安全是最重要的，应该采取普查，故 B 错误；
对于 C，了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择抽样调查更符合经济效益，故 C 错误；
对于 D，了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查比较符合经济效益，故 D 正确．
故选：D．
3．（2024 高一下·全国·专题练习）在以下调查中，总体、个体各是什么？哪些适合用全面调查？哪些适合
用抽样调查？
(1)调查一个班级学生每周的体育锻炼时间；
(2)调查一个地区结核病的发病率；
(3)调查一批炮弹的杀伤半径；
(4)调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例．
【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据总体和个体概念以及普查和抽查的适用范围一一分析即可.
【解答过程】（1）总体是全班学生，个体是这个班的每一位学生，适合用全面调查，
（2）总体是整个地区的居民，个体是这个地区的每一位居民，适合用抽样调查，
（3）总体是这批炮弹，个体是这批炮弹的每一个炮弹，适合用抽样调查.
（4）总体是这个水库里所有的鱼，个体是这个水库里的每一条鱼，适合用抽样调查.
4．（24-25 高一上·全国·课后作业）下列调查中哪些属于普查，哪些属于抽查
(1)为了了解某班级的每名学生穿几号鞋，向全班同学做调查；
(2)为了了解某学校高一年级学生穿几号鞋，向该学校高一年级某班的全体同学做调查；
(3)为了了解某班的同学们每天的睡眠时间，在每个小组中各选取 2 名学生做调查；
(4)为了了解某班的同学们每天的睡眠时间，选取该班中学号为偶数的所有学生做调查.
【解题思路】根据普查和抽查的概念，依次判断即可求解.
【解答过程】（1）因为调查的是班级的每名学生，所以属于普查；
（2）通过该班的全体同学穿几号鞋来了解学校高一年级学生穿几号鞋，这是抽查.
样本是该班的全体同学的鞋号，总体是学校高一年级学生的鞋号；
（3）通过小组的 2 名学生每天的睡眠时间来了解全部学生每天的睡眠时间，这是抽查.
样本分别是每个小组中选取的 2 名学生每天的睡眠时间，总体都是该班同学每天的睡眠时间；
（4）通过学号为偶数的学生的睡眠时间来了解全部学生每天的睡眠时间，这是抽查.
总体都是该班同学每天的睡眠时间. 学号为偶数的所有学生的睡眠时间.
题型 6 绘制、补全频率分布直方图
1．（2025 高一·全国·专题练习）为了了解九年级学生中女生的身高（单位：cm）情况，某中学对九年级部
分女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出频率分布表如下所示：
分组 频数 频率
[145.5，149.5） 1 0.02
[149.5，153.5） 4 0.08
[153.5，157.5） 20 0.40
[157.5，161.5） 15 0.30
[161.5，165.5） 8 0.16
[165.5，169.5] m n
合计 M N
(1)求出表中 m，n，M，N 所表示的数分别是多少？
(2)画出频率分布直方图；
(3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在 161.5cm 以上的频率．
【解题思路】（1）方法一，利用频率总和为 1 求出 , ，再利用样本容量与各组频率、频数的关系求出 ,
作答.
方法二，利用 1 除以组距求出 ，进而得 ，由频率总和为 1 得 ，再利用频率的意义求出 作答.
（2）根据已知数表及（1）画出频率分布直方图作答.
（3）利用频率分布直方图求出最大频率的分组区间并求出女生的身高在 161.5cm 以上的频率作答.

【解答过程】（1）方法一　N=1.00， = 1 (0.02 + 0.08 + 0.40 + 0.30 + 0.16) = 0.04 8，0.04 = 0.16，
解得 m=2， = 1 + 4 + 20 + 15 + 8 + 2 = 50.

方法二　 = 10.02 = 50， = 50 (1 + 4 + 20 + 15 + 8) = 2，N=1.00
2
， = = 50 = 0.04.
频率
（2）作出平面直角坐标系，组距为 4，纵轴表示 ，横轴表示身高，画出频率分布直方图如图所示．
组距
（3）由频率分布直方图知，样本中身高在[153.5,157.5)范围内的人数最多，
且身高在 161.5cm 以上的频率为0.16 + 0.04 = 0.20，
由此可估计全体女生中身高在[153.5,157.5)范围内的人数最多，九年级学生中女生的身高在 161.5cm 以上的
频率约为 0.20.
2．（24-25 高一上·四川成都·开学考试）随着车辆的增加，交通违规的现象越来越严重，交警对某雷达测速
区检测到的一组汽车的时速数据进行整理，得到其频数及频率如表（未完成）：
数据段 频数 频率
30～40 10 0.05
40～50 36
50～60 0.39
60～70
70～80 20 0.10
总计 200 1
注：30～40 为时速大于等于 30 千米而小于 40 千米，其他类同
(1)请你把表中的数据填写完整；
(2)补全频数分布直方图；
(3)如果汽车时速不低于 60 千米即为违章，则违章车辆共有多少辆？
【解题思路】（1）根据频数÷总数=频率进行计算即可；
（2）结合（1）中的数据补全图形即可．
（3）根据频数分布直方图可看出汽车时速不低于 60 千米的车的数量．
【解答过程】（1）填表如下：
数据段 频数 频率
30～40 10 0.05
40～50 36 0.18
50～60 78 0.39
60～70 56 0.28
70～80 20 0.10
总计 200 1
（2）根据（1）中数据补全频数分布直方图，如图所示：
（3）违章车辆数：56+20=76（辆）．
答：违章车辆有 76 辆．
3．（2024 高一下·全国·专题练习）随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数，获得数据如
下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，
46，39，36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组 [25,30] (30,35] (35,40] (40,45] (45,50]
频数 3 5 8 1 2
频率 0.12 0.20 0.32 1 2
(1)确定样本频率分布表中 1， 2， 1和 2的值；
(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图与折线图．
【解题思路】（1）利用给定的数据组求出 1， 2， 1和 2的值.
（2）由（1）及已知画出样本频率分布直方图与折线图.
【解答过程】（1）依题意， 1 = 7， 2 = 2，所以 1 =
7 2
25 = 0.28， 2 = 25 = 0.08.
（2）样本频率分布直方图与折线图如图，
4．（23-24 高一下·陕西西安·阶段练习）某地有 2000 名学生参加数学学业水平考试，现将成绩汇总，得到
如图所示的频率分布表．
成绩分 频数频 成绩分
组 率 组
[50,60] 100
(60,70]
(70,80] 800
(80,90]
(90,100] 200
(1)请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；
(2)将成绩按分层抽样的方法抽取 150 名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为 95 分，求他被
抽中的概率．
频率
【解题思路】（1）根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，填写频率分布表，计算 ，
组距
补全频率分布直方图即可；
2 150（ ）用分层抽样方法，该同学被抽中的概率是与每一个同学的几率相等，为2000．
【解答过程】（1）完成题目中的频率分布表，如下；
成绩分组 频数 频率
[50,60] 100 0.05
(60,70] 600 0.30
(70,80] 800 0.40
(80,90] 300 0.15
(90,100] 200 0.10
补全题目中的频率分布直方图，如下；
（2）将成绩按分层抽样的方法抽取 150 名同学进行问卷调查，
甲同学在本次测试中数学成绩为 95 分，
150
他被抽中的概率为2000 = 0.075．
题型 7 根据统计图解决实际问题
1．（2024 高一下·全国·专题练习）已知全国农产品批发价格 200 指数月度变化情况如图所示，下列选项正
确的是（ ）
A．全国农产品夏季价格比冬季低
B．全国农产品批发价格 200 指数 2023 年每个月逐渐增加
C．2023 年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格 200 指数的变化趋势基本保持一致
D．2023 年 6 月农产品批发价格 200 指数大于 116
【解题思路】由图表直接观察一一分析选项即可.
【解答过程】对于 A,图中给的是批发价格 200 指数，所以并不能确定农产品的价格变化，故 A 错误；
对于 B，全国农产品批发价格 200 指数 2023 年 4－6 月呈下降趋势，并未增加，故 B 错误；
对于 C，根据图中曲线的变化趋势可发现 2023 年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格 200 指数的
变化趋势基本保持一致，故 C 正确；
对于 D，2023 年 6 月农产品批发价格 200 指数在 115 附近，故 D 错误．
故选：C.
2．（23-24 高一下·四川内江·期末）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业
者年龄的分布饼状图 90 后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．互联网行业从事技术岗位的人数中，90 后比 80 后多
B．90 后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多
D．互联网行业从业人员中 90 后占一半以上
【解题思路】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断
各选项的真假．
【解答过程】选项 A；设整个互联网行业总人数为 a，
互联网行业中从事技术岗位的 90 后人数为56% × 39.6% = 22.176% ，小于 80 后的人数38% ，
但 80 后中从事技术岗位的人数比例未知，故 A 错误．
选项 B：设整个互联网行业总人数为 a，90 后从事技术岗位人数为 56％×39.6％a，
而 90 后总人数的 20％为56% × 39.6% ，故 B 正确；
选项 C：设整个互联网行业总人数为 a，
互联网行业中从事运营岗位的 90 后人数为56% × 17% = 9.52% ，
超过 80 前的人数 6％a，且 80 前中从事运营岗位的人数比例未知，故 C 正确；
选项 D： 由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中 90 后占56%，故 D 正确.
故选：A．
3．（23-24 高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机
抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数，设每名学生的阅读本数为 n，并按以下
规定分为四档：当 < 3时，为“偏少”；当3 ≤ < 5时，为“一般”；当5 ≤ < 8时，为“良好”；当 ≥ 8时，
为“优秀”，现将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：
阅读本数 （本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
人数（名） 1 2 6 7 12 7 y 1
请根据以上信息回答下列问题：
(1)求出本次随机抽取的学生总人数；
(2)分别求出统计表中的 , 的值；
(3)估计该校九年级 400 名学生中为“优秀”档次的人数.
【解题思路】（1）根据“一般”档次占比与对应人数即得；
（2）根据“良好”档次占比与对应人数建立方程，求解即得 的值，再由学生总数求得 的值；
（3）先算出“优秀”档次占比，再由总人数即可计算估计出“优秀”人数.
【解答过程】（1）由统计图表可知：当3 ≤ < 5时，“一般”档次占比26%，对应的学生数为6 + 7 = 13，
13
故学生总人数为26% = 50人；
（2）由统计图表可知：当5 ≤ < 8时，“良好”档次占比60%，即50 × 60% = 12 + + 7，解得 = 11，
又总人数为50人，故 = 50 (1 + 2 + 6 + 7 + 12 + 11+7+1)=3，即 = 11， = 3；
3 3+1（ ）由统计图表可知：“优秀”档次占比为 50 = 8%，
故该校九年级 400 名学生中为“优秀”档次的人数约为400 × 8%=32人.
4．（24-25 高一·全国·随堂练习）下面是 2003 年 4 月 21 日至 5 月 15 日上午 10 时，北京市非典型性肺炎疫
情新增数据走势图．
(1)哪一天新增确诊的人数最多？哪一天新增疑似的人数最多？
(2)哪一天新增治愈的人数最多？哪一天新增死亡的人数最少？
(3)从图中，你能预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势吗？
【解题思路】利用折线图提供的数据和变化趋势直接求解
【解答过程】（1）由折线图得：2003 年 4 月 29 日新增确诊的人数最多，2003 年 4 月 27 日新增疑似的人
数最多．
（2）由折线图得：
2003 年 5 月 13 日一天新增治愈的人数最多，
2003 年 5 月 12 日新增死亡的人数最少．
（3）从图中，预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势为：
北京市非典型性肺炎疫情初期确诊病例和疑似病例数量快速上升，
然后确诊病例和疑似病例数量逐渐下降．
题型 8 百分位数的求解
1．（23-24 高一下·贵州黔西·期末）兴义市峰林布依景区在春节期间，迎来众多游客，其中某天接受了一个
小型的旅行团，他们的年龄（单位：岁）如下：6，6，7，8，10，37，39，45，46，52，53，61，则这组
数据的第 75 百分位数是（ ）
A．34.5 B．46 C．49 D．52
【解题思路】根据题意结合百分位数的定义运算求解.
【解答过程】因为12 × 75% = 9，所以这组数据的第 75 46+52百分位数是第 9 位数和第 10 位数的中位数 2
= 49.
故选：C.
2．（23-24 高一下·吉林·期末）为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三（一）
班，高三（二）班各 10 名同学的体温记录（从低到高）：
高三（一）班:36.1，36.2，36.3，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位:℃），
高三（二）班:36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，36.9，37.1（单位:℃）
则高三（一）班这组数据的第 25 百分位数和高三（二）班第 80 百分位数分别为（ ）
A．36.3，36.7 B．36.3，36.8 C．36.25，36.7 D．36.25，36.8
【解题思路】利用百分位数的定义进行求解.
【解答过程】10 × 0.25 = 2.5，
故从小到大，选取第 3 个数据作为高三（一）班这组数据的第 25 百分位数，即 36.3；
10 × 0.8 = 8，故从小到大，选取第 8 个和第 9 个数据的平均数作为第 80 百分位数，
36.7+36.9
即 2 = 36.8.
故选：B．
3．（23-24 高一下·全国·课后作业）某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一
定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者
进行年龄调查，随机抽取了一天中 40 名读书者进行调查，将他们的年龄分成 6 段：[20,30)，[30,40)，
[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)估计这 40 名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数；
(2)估计这 40 名读书者年龄的众数和第 80 百分位数；
【解题思路】（1）先根据频率分布直方图求出频率，再根据频数的计算方法可得答案；
（2）最高矩形中点横坐标即为众数；根据百分位数的定义可求得样本的第 80 百分位数；
【解答过程】（1）由频率分布直方图知，年龄在区间[40,70)上的频率为：(0.020 + 0.030 + 0.025) × 10 = 0.75
所以 40 名读书者中年龄分布在区间上的人数为：40 × 0.75 = 30；
（2）由频率分布直方图可知，40 名读书者年龄的众数约为 55；
年龄在区间[20,60)上的频率为：(0.005 + 0.010 + 0.020 + 0.030) × 10 = 0.65 < 0.8
年龄在区间[20,70)上的频率为：(0.005 + 0.010 + 0.020 + 0.030 + 0.025) × 10 = 0.9 > 0.8，
故第 80 百分位数位于[60,70)之间，设为 ，
所以0.65 + ( 60) × 0.025 = 0.8，解得 = 66，
所以这 40 名读书者年龄的第 80 百分位数约为 66.
4．（23-24 高一下·全国·课后作业）梵净山位于贵州省铜仁市的江口 印江 松桃三县交界处，是具有 2000
多年历史的文化名山.梵净山山势雄伟 层峦叠嶂，溪流纵横 飞瀑悬泻.为更好地提升旅游品质，随机选择 100
名游客对景区进行满意度评分（满分 100 分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，求 的值；
(2)估计这 100 名游客对景区满意度评分的70%分位数.
【解题思路】（1）根据直方图中频率和为1即可求解；
（2）由百分位数的定义，结合直方图即可求解；
【解答过程】（1）由图可知：10 × (0.005 + 0.01 + 0.015 + + 0.04) = 1，解得： = 0.03.
（2）根据频率分布直方图可知：
10 × (0.005 + 0.01 + 0.015 + 0.03) = 0.6 < 0.7，
0.7 < 10 × (0.005 + 0.01 + 0.015 + 0.03 + 0.04) = 1
所以70%分位数在区间[90,100]内，令其为 ，
则0.6 + 0.04 × ( 90) = 0.7，
解得： = 92.5
所以满意度评分的70%分位数为92.5.
题型 9 众数、中位数、平均数的求解及应用
1．（24-25 高一上·四川成都·开学考试）如表是某公司员工月收入的资料.
月收入
45000 18000 10000 5500 5000 3400 3300 1000
/元
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（ ）
A．平均数和众数 B．平均数和中位数
C．中位数和众数 D．平均数和方差
【解题思路】求出数据的众数和中位数，再与 25 名员工的收入进行比较即可.
【解答过程】公司共有员工 1+1+1+3+6+1+11+1=25 人，
该公司员工月收入的众数为 3300 元，在 25 名员工中有 13 人这此数据之上，
因此众数能够反映该公司全体员工月收入水平；
月收入由小到大排列，3400 为第 13 个数，因此该公司员工月收入的中位数为 3400 元；
在 25 名员工中在此数据及以上的有 13 人，则中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平，
25 45000+18000+10000+3×5500+6×5000+3400+11×3300+1000而 名员工月收入的平均数 25 = 6408元
受极端数据 45000、18000 等影响，平均数偏离多数人的收入水平，而方差是表征数据波动大小的量，
所以能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是中位数和众数.
故选：C.
2．（24-25 高一上·四川南充·开学考试）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植
户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取 7 株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是
23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．24，25 B．23，23
C．23，24 D．24，24
【解题思路】把给定数据由小到大排列，再求出众数、中位数即得.
【解答过程】苗高由小到大排列为：23,23,23,24,25,25,26，
所以这组数据的众数和中位数分别是 23，24.
故选：C.
3．（2024 高一下·全国·专题练习）某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单
位：岁)：
甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群：64，13，14，14，15，16，16，16，16，66，
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特
征？
(2)乙群市民年龄的平均数、众数和中位数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特
征？
【解题思路】（1）（2）根据数据直接求解平均数，判断中位数与众数，再根据所求值与实际情况对比分
析即可.
1 13+13+14+15+15+15+15+16+17+17【解答过程】（ ）甲群市民年龄的平均数为 10 = 15（岁），
中位数为 15 岁，众数为 15 岁，平均数、中位数和众数相等，
因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．
2 64+13+14+14+15+16+16+16+16+66（ ）乙群市民年龄的平均数为 10 = 25（岁），
中位数为 16 岁，众数为 16 岁，
由于乙群市民大多数是少年儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，
而平均数的可靠性较差.
4．（2024 高一下·全国·专题练习）据了解，某公司的 33 名职工月工资（单位：元）如下：
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1 1 2 1 5 3 20
工资 11000 10000 9000 8000 6500 5500 4000
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数．
(2)假设副董事长的工资从 10000 元提升到 20000 元，董事长的工资从 11000 元提升到 30000 元，那么新的
平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元）
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．
【解题思路】（1）由平均数、中位数以及众数的定义即可求解；
（2）由平均数、中位数以及众数的定义即可求解；
（3）结合题意以及数据的数字特征，言之有理即可.
【解答过程】（1）平均数是 = 4000 + 133 ×
(7000 + 6000 + 5000 × 2 + 4000 + 2500 × 5 + 1500 × 3 + 0 × 20) ≈ 5333（元），
中位数是 4000 元，众数是 4000 元．
2 1（ ）平均数是 = 4000 + 33 × (26000 + 16000 + 5000 × 2 + 4000 + 2500 × 5 + 1500 × 3 + 0 × 20)
≈ 6212，
中位数是 4000 元，众数是 4000 元．
（3）中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别
较大，
这样导致平均数与中位数（众数）偏差较大（平均数受极端值影响较大），
所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．
题型 10 方差、标准差的求解及应用
1．（23-24 高一下·湖北武汉·期末）已知数据 1， 2， ， 9的方差为 25，则数据3 1 +1，3 2 +1， ，3 9
+1的标准差为（ ）
A．25 B．75 C．15 D．5 3
【解题思路】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.
【解答过程】因为数据 1， 2， ， 9的方差为 25，
所以另一组数据3 1 +1，3 2 +1， ，3 9 +1的方差为32 × 25 = 225，
故所求的标准差为 225 = 15.
故选：C.
2．（23-24 高一下·海南省直辖县级单位·期末）从两个班级各随机抽取 5 名学生测量身高（单位：cm），
甲班的数据为 169，162，150，160，159，乙班的数据为 180，160，150，150，165.据此估计甲、乙两班学
生的平均身高 ， 及方差 2 ， 2甲 乙 甲 乙的关系为（ ）
A． > ， 2 > 2甲 乙 甲 乙 B． 甲 >
2
乙， 甲 <
2
乙
C． < 2 2 2 2甲 乙， 甲 > 乙 D． 甲 < 乙， 甲 < 乙
【解题思路】由题意，根据平均数和方差的计算公式分别计算出 甲、 乙、 2 2甲、 乙，即可下结论.
= 169+162+150+160+159 = 160 = 180+160+150+150+165【解答过程】 甲 5 ， 乙 5 = 161，
2 1 2甲 = 5[(169 160) + (162 160)
2 + (150 160)2 + (160 160)2 + 159 160)2 = 37.2，
2 1 2 2 2 2 2乙 = 5 (180 161) + (160 161) + (150 161) + (150 161) + (165 161) = 124，
所以 甲 < ， 2 < 2乙 甲 乙.
故选：D.
3．（23-24 高一下·北京通州·期中）甲、乙、丙三人进行 5 轮的投篮比赛，每轮各投 10 次，其成绩（命中
次数）如下：
甲投中次数 6 6 8 7 8
乙投中次数 6 5 4 6
丙投中次数 1 2 3 4 5
(1)若乙比甲平均少投中 2 次，求 的值，甲和乙投中次数的方差分别为 21和 22，试比较 2 21和 2大小（结论不
要求证明）；
(2)若投中一球计三分，丙平均得分为 21 分，方差为 27，且每轮得分互不相同，求丙在比赛中的最高得分，
并说明理由.
【解题思路】（1）利用平均数求得 值，再利用方差的定义计算即得.
（2）根据给定条件，转化为投中次数的平均数和方差，列式换元，构造函数并利用二次函数的性质推理计
算得解.
6+6+8+7+8 6+5+ +4+6
【解答过程】（1）由乙比甲平均少投中 2 次，得 5 2 = 5 ，所以 =4，
甲投中次数的平均数为 7，乙投中次数的平均数为 5，
1
则 2 = (12 + 12 + 12 + 021 5 + 1
2) = 4 15，
2 = (12 22 5 + 0 + 1
2 + 12 + 12) = 45，
所以 21 = 22.
（2）因投中一球计三分，丙的平均得分为 21，方差为 27，
等价于丙平均投中 7 次，方差为 3，不妨设 1 < 2 < 3 < 4 < 5，
1+ 2+ 3+ 4+ 5 ( 7)2+( 7)2+( 7)2+( 7)2+( 7)2
则 5 = 7，
1 2 3 4 5
5 = 3，
设 1 7, 2 7, 3 7, 4 7, 5 7分别为 , , , , ( , , , , ∈ Z)，
+ + + + = 0
于是 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 15 ，设 ( ) = ( )
2 + ( )2 + ( )2 + ( )2
= 4 2 2( + + + ) + ( 2 + 2 + 2 + 2) = 4 2 +2 + 15 2，
由 ( ) > 0恒成立，得判别式Δ < 0，即4 2 4 × 4(15 2) < 0，
解得 2 3 < < 2 3，且 ∈ Z，因此 的最大值为 3，
则 5最大为 3+7=10，所以丙在一轮比赛中的最高得分为 30.
4．（23-24 高一下·宁夏固原·期末）统计学作为数学的一个重要分支，其犹如一座坚实的大厦，构建于严谨
的数学基石之上，为理解和诠释数据提供了强大的支撑，请用你所学到的统计知识解答以下问题：
(1)如果将总体分为 k 层，第 j 层抽取的样本为 1， 2，…， ，第 j 层的样本量为 ，样本平均数为 ，
1
样本方差为 2 ， = 1,2, , .记 = ，总的样本平均数为 ，样本方差为 2，证明： 2 =
=1
1
1 21 + ( 1 )2 + 22 2 + ( 22 ) + + 2 + ( )2 ，即 2 = 2 + ( )
2 .
=1
(2)为研究男女学生在生活费支出（单位：元）上的差异，某校在高一年级 400 名学生中随机抽取 40 人，统
计他们某一周的生活费支出，得到下面的结果：
抽取的学生 生活费支出的平均数 生活费支出的标准差
男生 22 人 380 250
女生 18 人 360 280
根据以上数据及（1）结论，估计该校高一学生这周生活费支出的总体平均数 、总体方差 2.

【解题思路】（1）推导出 2( ) = 0， = 1,2, , ，再利用方差公式可证得结论成立.
=1
（2）由（1）公式代入即可计算.
1 2 2 2
【解答过程】（1） 2 = 1 + 2 + + =1 =1 =1

1 2 2 2
= 1 1 + 1 + 2 2 + 2 + + +
=1 =1 =1

∵ ( 1 1) = 1 1 = 0， ∴ 2( 1 1) 1 = 0，
=1 =1 =1

同理可得 2( ) = 0， = 1,2, ,
=1
2 = 1

( 1 21) + ( 1 )2 + ( 2 2 2 22 2) + ( 2 ) + + ( ) + ( )
=1 =1 =1 =1 =1 =1
= 1 2 1 1 + ( 1 )
2 + 2 2 22 2 + ( 2 ) + + + ( )2
1
即 2 = 2 + ( )
2 ，即得证．
=1
2 22 18 1（ ） = 2 2 240 × 380 + 40 × 360 = 371， = 40 22 250 + (380 370) + 18 280 + (360 370) = 363.5.

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