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专题 9.4 统计图的相关运算大题专项训练【七大题型】
【人教 A 版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一 绘制、补全频率分布直方图
1．（2024 高一下·江苏·专题练习）有一容量为 50 的样本，数据的分组及各组的数据如下：[10,15)，4；
[30,35)，9；[15,20)，5；[35,40)，8；[20,25)，10；[40,45]，3；[25,30)，11.
(1)列出样本频率分布表；
(2)画出频率直方图及频率折线图.
2．（2024 高一下·江苏·专题练习）某校高二年级期末统一测试，随机抽取一部分学生的数学成绩，分组统
计如下表.
分组 频数 频率
[0,30) 3 0.03
[30,60) 3 0.03
[60,90) 37 0.37
[90,120) m n
[120,150] 15 0.15
合计 M N
(1)求出表中 , , , 的值，并根据表中所给数据在给出的坐标系中画出频率直方图；
(2)若全校参加本次考试的学生有 600 人，试估计这次测试中全校成绩在 90 分以上的人数.
3．（24-25 高一下·江西南昌·阶段练习）某班同学利用劳动节进行社会实践，对 25，55 岁的人群随机抽取
n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非
低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率
第一组 25，30 120 0.6
第二组 30，35 195
第三组 35，40 100 0.5
第四组 40，45 0.4
第五组 45，50 30 0.3
第六组 50，55 15 0.3
（1）补全频率分布直方图并求 n、a、p 的值；
（2）从年龄段在 40，50 的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动，其中每组各选多
少人？
4．（23-24 高一下·陕西西安·阶段练习）某地有 2000 名学生参加数学学业水平考试，现将成绩汇总，得到
如图所示的频率分布表．
成绩分 频数频 成绩分
组 率 组
[50,60] 100
(60,70]
(70,80] 800
(80,90]
(90,100] 200
(1)请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；
(2)将成绩按分层抽样的方法抽取 150 名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为 95 分，求他被
抽中的概率．
5．（2024·全国·模拟预测）以“建设包容、普惠、有韧性的数字世界——携手构建网络空间命运共同体”为
主题的 2023 年世界互联网大会乌镇峰会于 11 月 8 日至 10 日在中国浙江省乌镇举行．为保障大会顺利进行，
世界互联网大会的秘书处从招募的志愿者中随机抽取 100 名进行了一次互联网知识竞赛，所得成绩（单位：
分）均在[50,100]内，并制成如下频数分布表：
成绩/分 [90,100]
[50,60) [60,70) [70,80) [80,90)
频数 8 28 20 12
(1)根据频数分布表，在下图中作出频率分布直方图；
(2)以样本估计总体，记竞赛成绩不低于 86 分的志愿者为优秀志愿者，则优秀志愿者的占比能否达到 20%？
题型二 频率分布直方图的相关计算问题
用向量证明线段垂直
6．（24-25 高一上·全用向国量证·课明线后段垂作直业）中小学生的视力状况受到全社会的广泛关注，某市有关部门对全市 4 万
名初中生的视力状况进行一次抽样调查统计，所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图，从左至右
五个小组的频率之比是 2∶4∶9∶7∶3，第五小组的频数是 30．
(1)本次调查共抽调了多少名学生？
(2)如果视力在[4.85,5.15）属正常，那么全市初中生视力正常的约有多少人？
7．（23-24 高一下·江苏无锡·期末）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了
了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得 100 户居民月均用水量（单位：m3），将数据按照
[0,4)，[4,8)，…，[32,36)分成 9 组，制成如图所示的频率分布直方图．为了鼓励居民节约用水，该市政府
在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过20m3的部分按 3 元/m3收费，第
二阶梯为超过20m3但不超过28m3的部分按 5 元/m3收费，第三阶梯为超过28m3的部分按 8 元/m3收费．
(1)求直方图中 的值；
(2)已知该市有 20 万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过 60 元的用户数；
(3)该市政府希望使至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收
费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少m3？
8．（24-25 高一下·吉林长春·阶段练习）某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180),
[180,200)，[200,220),[220,240)，[240,260),[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．
(1)求直方图中 的值；
(2)在这100户居民中，月平均用电量不低于220度的有多少户？
(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260)，[260,280),[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户
居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？
9．（23-24 高一下·福建福州·期末）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市为了制定
合理的节水方案，需要了解全市居民用水量分布情况．通过抽样，获得了 位居民某年的月均用水量（单位：
t），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)， ，[4,4.5]分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图，若已知样本
数据落在区间[1.5,2)的频数为 20．
(1)求样本容量 和频率分布直方图中 的值；
(2)用样本频率估计总体，若该市有 60 万居民，市政府希望使 51 万的居民每月的用水量不超过标准 t，试
估计 的值，并说明理由．
10．（24-25 高二下·安徽滁州·开学考试）某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比
例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：
[20,30),[30,40), ,[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图.
(1)从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；
(2)已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等.试估计总体中男生
和女生人数的比例.
题型三 统计图的综合应用问题
11．（24-25 高一上·全国·课后作业）某厂生产一种产品，图①是该厂第一季度三个月产量的统计图，图②
是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图，统计员在制作图①，图②时漏填了部分数据．根
据上述信息，回答下列问题：
(1)该厂第一季度几月份的产量最高？
(2)该厂一月份的产量占第一季度总产量的百分比是多少？
(3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为98%．请你估计该厂第一季度
大约生产了多少件合格的产品？（写出解答过程）
12．（24-25 高一上·全国·课后作业）某校分别于 2020 年、2022 年随机调查相同数量的学生，对数学课开
展小组合作学习的情况进行调查（开展情况分为极少、有时、常常、总是共四种），绘制成部分统计图如
下．请根据图中信息，解答下列问题：
(1) = ________%， = ________%，“总是”对应扇形统计图中的圆心角度数为________；
(2)请你补全条形统计图；
(3)若该校 2022 年共有 1200 名学生，请你统计其中认为数学课“总是”开展小组合作学习的学生有多少名？
(4)相比 2020 年，2022 年数学课开展小组合作学习的情况有何变化？
13．（24-25 高一上·全国·课后作业）以下是某手机店根据某手机销售的相关数据绘制的统计图的一部分.请
根据图 1、图 2 解答下列问题:
(1)来自该店财务部的数据报告表明，该手机店 1~4 月的手机销售总额一共是 290 万元，请将图 1 中的统计
图补充完整;
(2)该店 1 月份音乐手机的销售额为多少万元
(3)小刚观察图 2 后，认为 4 月份音乐手机的销售额比 3 月份减少了，你同意他的看法吗 请说明理由.
14．（23-24 高一上·江西赣州·开学考试）某校为了解学生第一个“双减”后的暑假最期待什么活动，校学生
会随机对该校七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果分为四个类别：A 表示“广泛阅读”，B 表示“劳动
实践”，C 表示“户外运动”，D 表示“其他”，每个同学只能选择其中的一项，根据调查统计结果，绘制成两
种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
(1)参加这次调查的学生总人数为______ 人；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)该校七年级有 800 名学生，估计全校七年级学生中最期待“劳动实践”的约有多少名？
15．（2025 高一·全国·专题练习）某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供
应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶供学生饮用．某中学为了了解学生对
不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查(每盒各种口味牛奶的体积相同)，绘制了如下
两张不完整的统计图：
(1)本次被调查的学生有多少名？
(2)补全上面的条形统计图①，并计算出喜好菠萝味牛奶的学生人数在扇形统计图②中所占圆心角的度数；
(3)该校共有 1200 名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要
使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味的多多少
盒？
题型四 频率分布直方图中总体百分位数的估计
16．（24-25 高二上·云南保山·期末）保山古称永昌，“永子”即永昌所产的围棋子，又名“永棋”．以保山南
红玛瑙、玉石、天然琥珀等珍贵原料，采用保密配方、经绝技熔炼和传统手工点“丹”而成．为了让学生更好
了解和学习保山永子文化的历史渊源、永子的制作技艺以及此文化的传承与发展历史，2024 年 12 月，保山
市某校组织了所有学生参加“永子”文化测试，该校一数学兴趣小组从所有成绩（满分 100 分，最低分 50 分）
中，随机调查了 200 名参与者的测试成绩，将他们的成绩按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]
分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所示．
(1)请将频率分布直方图补充完整；
(2)估计该校所有学生成绩的第 70 百分位数；
(3)从成绩在[70,80)，[80,90)内的学生中用分层抽样的方法抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽取 2 人开座谈会，
求这 2 人来自不同分组的概率．
17．（24-25 高一上·辽宁朝阳·期末）对于居民生活用水，某市实行阶梯水价．具体来说，季度用水量在40m3
及以下的部分，收费标准为 3 元/m3；季度用水量超过40m3但不超过80m3的部分，收费标准为 4 元/m3；
季度用水量超过80m3的部分，收费标准为 6 元/m3．
(1)求某户居民用水费用 （单位：元）关于季度用水量 （单位：m3）的函数关系式；
(2)为了了解居民的用水情况，通过抽样获得了 2024 年第三季度本市 1000 户居民每户的季度用水量，统计
分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这 1000 户居民中，季度用水费用超过 200 元的有 400 户，求直
方图中 , 的值以及季度用水量的第 75 百分位数．
18．（24-25 高二上·四川绵阳·期中）从某小区抽取 100 户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量
都在50~350kW h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间）画出频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一户居民月用电量
标准 ，用电量不超过 的部分按照平价收费，超出部分按照议价收费，若使 85%居民用户的电费支出不受
影响，应确定 值为多少
19．（24-25 高二上·北京平谷·阶段练习）某高中高一 500 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，
使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：[20,30),[30,40), ,
[80,90]，并整理得到频率分布直方图如图所示.
(1)从总体的 500 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 60 的概率（写出计算过程）；
(2)已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数（写出计算过程）；
(3)估计测评成绩的75%分位数.（写出计算过程）
20．（23-24 高一下·安徽·期末）某厂引进一种生产新能源汽车关键部件的设备，为了解该设备生产的关键
部件的某项指标的情况，随机抽取了 100 件关键部件的该项指标数据，按[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),
[30,35]分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图．
(1)求 的值；
(2)估计样本中指标数据的70%分位数．
题型五 频率分布直方图中集中趋势参数的计算
21．（23-24 高一下·全国·课后作业）在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下.某学校高一年级
利用高考放假期间组织 1200 名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取 200 名学生，记录他们的首轮
竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
(1)若从成绩不高于 60 分的同学中按分层抽样方法抽取 10 人，求 10 人中成绩不高于 50 分的人数；
(2)求 的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数.
22．（23-24 高一下·辽宁朝阳·开学考试）对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取 M
名学生，得到这 M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图．
分组 频数 频率
[10,15) 10 0.20
[15,20) 24 n
[20,25) m p
[25,30] 2 0.04
合计 M 1
(1)求出表中 M，p 及图中 a 的值；
(2)若该校有高三学生 300 人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数；
(3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．（保留一位小数）
23．（23-24 高一下·内蒙古兴安盟·期末）随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民
代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了 200 户居民的问卷评分（得分都在 50~100
分内，满分 100 分），并将评分按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成 5 组，绘制成如图
所示的频率分布直方图．
注：本次评分不低于 80 分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于 80 分的居民支持更换新物业公司．
(1)求这 200 户居民本次问卷评分的中位数及众数；
(2)若该小区共有居民 1200 户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？
24．（23-24 高一下·天津河北·期末）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居
民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照
[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 a 的值；
(2)已知该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，说明理由；
(3)估计居民月均用水量的众数、中位数，说明理由．
25．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）为了解甲、乙两种农药在某种绿植表面的残留程度，进行如下试验：将
100 株同种绿植随机分成 、 两组，每组 50 株，其中 组绿植喷甲农药， 组绿植喷乙农药，每株绿植所喷
的农药体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在绿植表面的百分比，根据
试验数据分别得到如图直方图：
记 为事件：“乙农药残留在表面的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 (C)的估计值为 0.70．
(1)求乙农药残留百分比直方图中 , 的值；
(2)估计甲农药残留百分比的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)估计乙农药残留百分比的中位数．（保留 2 位小数）
题型六 频率分布直方图中总体离散程度的估计
26．（23-24 高一上·辽宁沈阳·阶段练习）某次考试后，年级组抽取了 100 名同学的数学考试成绩，绘制了
如下图所示的频率分布直方图．
(1)根据图中数据计算参数 的值，并估算这 100 名同学成绩的平均数和中位数，结果保留至百分位；
(2)已知这 100 名同学中，成绩位于[80,90)内的同学成绩方差为 12，成绩位于[90,100)内的同学成绩方差为
10，为了分析学优生的成绩分布情况，请估算成绩在 80 分及以上的同学的成绩的平均数和方差．
27．（24-25 高二上·黑龙江·期末）教育局组织学生参加“防溺水”网络知识问答，该地区有小学生 4500 人，
初中生 4300 人，高中生 2200 人，按学段比例分层抽样，从中抽取 220 名学生，对其成绩进行统计频率分
析，得到如下图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)用样本估计总体，估计该地区成绩的中位数（保留小数点后两位），并估计该地区学生成绩大于等于 90
分的人数；
(3)教育局的工作人员在此次竞赛成绩中抽取了 10 名同学的分数： 1, 2, 3, , 10，已知这 10 个分数的平均
数 = 90，方差 2 = 25，若剔除其中的最高分 98 和最低分 86，求剩余 8 个分数的平均数与方差.
（参考数据：982 = 9604，862 = 7396，89.52 = 8010.25）
28．（23-24 高一下·河北·期末）2023 年以来，河北省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列
措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长的同时，也使“这
么近，那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．现为进一步发展河北文旅，提升河北经济，在 5 月份对
来冀旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百
分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中 = 4 ．
(1)求图中 a 的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若有超过60%的人满意度在 75 分及以上，则认为该月文旅成绩合格．河北省 5 月份文旅成绩合格了吗
(3)河北文旅 6 月份继续对来冀旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知 6
月 1 日-6 月 15 日调查的 4 万份数据中其满意度的平均值为 80，方差为 75；6 月 16 日-6 月 30 日调查的 6 万
份数据中满意度的平均值为 90，方差为 70．由这些数据计算 6 月份的总样本的平均数与方差．
29．（23-24 高一下·广东广州·期末）为推动习近平新时代中国特色社会主义思想深入人心，促进全社会形
成爱读书、读好书、善读书的新风尚，培育有坚定理想信念、爱党爱国、堪当民族复兴大任的有为青年，
某学校举办了读书节活动.现从该校的 2000 名学生中发放调查问卷，随机调查了 100 名学生一周的课外阅读
时间，将统计数据按照[0,20)，[20,40)，…[100,120)，[120,140]组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单
位：分钟，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
(1)求 的值，若每周课外阅读时间 60 分钟以上（含 60 分钟）视为达标，试估计该校达标的人数；
(2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间；
(3) 5若样本数据在[0,20)与[20,40)内的方差分别为 2 = 3， 2 21 2 = 3，计样本数据在[0,40)内的方差 .
30．（23-24 高一下·河南商丘·期末）2023 年 12 月，“尔滨”持续爆火，冰雪主题热度狂飙，随之而来的是大
家对冬季户外运动装备的高需求，从雪鞋 雪板等滑雪装备，到手套 帽子等保暖用品，各家体育用品店在
这个冬天迎来“滑雪十”新热潮．某体育用品制造企业为了提升产品质量，对现有的一条生产线进行技术升级
改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的体育用品中随机抽取了1000件，检测
产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）．
质量指标值 [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85) [85,95)
产品 60 100 160 300 200 100 80
(1)估计这组样本的质量指标值的平均数 和方差 2（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
(2)设{ } + 表示不小于 的最小整数，[ ]表示不大于 的最大整数， = 5 , = 5 ，根据检验标准，
5 5
技术升级改造后，若质量指标值落在[ , )内的频率超过65%，可认为生产线技术改造成功．请根据样本数
据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据： 171 ≈ 13， 241 ≈ 16）
题型七 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度
31．（23-24 高一下·宁夏·期末）某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求 200 名职
工每天晚上 9：30 上传手机计步截图，对于步数超过 10000 的予以奖励．图 1 为甲乙两名职工在某一星期
内的运动步数统计图，图 2 为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图．
(1)请根据频率分布直方图，求 m 的值，并求出该天运动步数不少于 15000 步的人数；
(2)估计全体职工在该天运动步数的众数、平均数和中位数；
(3)如果当天甲的排名为第 130 名，乙的排名为第 40 名，试判断做出的是星期几的频率分布直方图．
32．（23-24 高二上·四川成都·期末）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随
机选取了 10 个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm） 记录下来并绘制出折线图：
(1)分别计算甲、 乙两厂提供 10 个轮胎宽度的平均值；
(2)轮胎的宽度在[193，195]内，则称这个轮胎是标准轮胎，试比较甲、 乙两厂分别提供的 10 个轮胎中所
有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个
厂的轮胎相对更好.
33．（23-24 高一下·湖北武汉·期末）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费
的一种流行的营销形式．某直播平台 1200 个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、
生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图所示．
(1)该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取 60 个直播商家进行问询交流．如果按照比例分层抽
样的方式抽取，则应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？
(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对（1）中抽取的 60 个商家的平均日利润进行了统计（单
位：元），所得频率分布直方图如右图所示，请根据频率分布直方图计算下面的问题：
①估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用
该组区间的中点值作代表）；
②若将平均日利润超过 430 元的商家评为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．
34．（24-25 高一下·全国·课后作业）甲、乙两人在相同条件下各射靶 10 次，每次射靶的成绩情况如图所示：
（1）填写下表：
平均数 方差 中位数 命中 9 环及以上
甲 7 1.2 1
乙 5.4 3
（2）请从四个不同的角度对这次测试进行分析：①结合平均数和方差分析离散程度；②结合平均数和中位
数分析谁的成绩好些；③结合平均数和命中 9 环及以上的次数看谁的成绩好些；④从折线图上看两人射靶
命中环数及走势分析谁更有潜力.
35．（23-24 高一下·广东东莞·期末）树人中学男女学生比例约为2:3，某数学兴趣社团为了解该校学生课外
体育锻炼情况（锻炼时间长短（单位：小时），采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生 人，女生 人
进行调查．记男生样本为 1， 2， ， ，样本平均数、方差分别为 、 21；女生样本为 1， 2， ， ，
样本平均数、方差分别为 、 2；总样本平均数、方差分别为 、 22 .

(1)证明： ( )2 2 = 1 + ( )2 ；
=1
(2)该兴趣社团通过分析给出以下两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息
分别估计男生样本、女生样本的平均数；
(3)已知男生样本方差 21 = 5.5，女生样本方差 22 = 5.7，请结合（2）问的结果计算总样本方差 2的估计值.专题 9.4 统计图的相关运算大题专项训练【七大题型】
【人教 A 版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一 绘制、补全频率分布直方图
1．（2024 高一下·江苏·专题练习）有一容量为 50 的样本，数据的分组及各组的数据如下：[10,15)，4；
[30,35)，9；[15,20)，5；[35,40)，8；[20,25)，10；[40,45]，3；[25,30)，11.
(1)列出样本频率分布表；
(2)画出频率直方图及频率折线图.
【解题思路】（1）由各组的频数除以样本容量即可求得频率分布表；
（2）根据（1）中的频率除以组距得到各组的纵坐标，进而绘制出频率分布直方图，然后连接各个小矩形
顶端的中点得到频率分布折线图.
【解答过程】（1）由所给的数据，不难得出以下样本的频率分布表.
数据段 频数 频率
[10,15) 4 0.08
[15,20) 5 0.10
[20,25) 10 0.20
[25,30) 11 0.22
[30,35) 9 0.18
[35,40) 8 0.16
[40,45] 3 0.06
合计 50 1
（2）频率直方图如图 1 所示，频率折线图如图 2 折线部分所示.
2．（2024 高一下·江苏·专题练习）某校高二年级期末统一测试，随机抽取一部分学生的数学成绩，分组统
计如下表.
分组 频数 频率
[0,30) 3 0.03
[30,60) 3 0.03
[60,90) 37 0.37
[90,120) m n
[120,150] 15 0.15
合计 M N
(1)求出表中 , , , 的值，并根据表中所给数据在给出的坐标系中画出频率直方图；
(2)若全校参加本次考试的学生有 600 人，试估计这次测试中全校成绩在 90 分以上的人数.
【解题思路】（1）利用频率分布表的性质依次求得 , , , ，再利用频率分布直方图的作法即可得解；
（2）利用频率分布表，结合比例列式即可得解.
3
【解答过程】（1）由频率分布表得 = 0.03 = 100，
= 100 (3 + 3 + 37 + 15) = 42, = 42所以 100 = 0.42， = 0.03 + 0.03 + 0.37 + 0.42 + 0.15 = 1，
频率直方图如图所示，
2 42+15（ ）由题意，知全校成绩在 90 分以上的学生的人数约为 100 × 600 = 342.
3．（24-25 高一下·江西南昌·阶段练习）某班同学利用劳动节进行社会实践，对 25，55 岁的人群随机抽取
n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非
低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率
第一组 25，30 120 0.6
第二组 30，35 195
第三组 35，40 100 0.5
第四组 40，45 0.4
第五组 45，50 30 0.3
第六组 50，55 15 0.3
（1）补全频率分布直方图并求 n、a、p 的值；
（2）从年龄段在 40，50 的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动，其中每组各选多
少人？
【解题思路】（1）根据频率分步直方图的面积是这组数据的频率，求出频率，除以组距得到高，画出频率
分步直方图的剩余部分，根据频率，频数和样本容量之间的关系，做出 n、a、p 的值．
（2）根据分层抽样方法求出两个部分的人数即可．
【解答过程】（1）第二组的频率为1 (0.04 + 0.04 + 0.03 + 0.02 + 0.01) × 5 = 0.3，
0.3
所以高为 5 = 0.06.频率分布直方图如下：
120
第一组的人数为 0.6 = 200，频率为0.04 × 5 = 0.2，
200
所以 = 0.2 = 1000．
由题可知，第二组的频率为0.3，
所以第二组的人数为1000 × 0.3 = 300，
= 195所以 300 = 0.65．
第四组的频率为0.03 × 5 = 0.15，
所以第四组的人数为1000 × 0.15 = 150，
所以 = 150 × 0.4 = 60．
（2）因为 40，45 岁年龄段的“低碳族”与 45，50 岁年龄段的“低碳族”的比值为 2：1，
所以采用分层抽样法抽取 6 人， 40，45 岁中有 4 人， 45，50 岁中有 2 人．
4．（23-24 高一下·陕西西安·阶段练习）某地有 2000 名学生参加数学学业水平考试，现将成绩汇总，得到
如图所示的频率分布表．
成绩分 频数频 成绩分
组 率 组
[50,60] 100
(60,70]
(70,80] 800
(80,90]
(90,100] 200
(1)请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；
(2)将成绩按分层抽样的方法抽取 150 名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为 95 分，求他被
抽中的概率．
频率
【解题思路】（1）根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，填写频率分布表，计算 ，
组距
补全频率分布直方图即可；
2 150（ ）用分层抽样方法，该同学被抽中的概率是与每一个同学的几率相等，为2000．
【解答过程】（1）完成题目中的频率分布表，如下；
成绩分组 频数 频率
[50,60] 100 0.05
(60,70] 600 0.30
(70,80] 800 0.40
(80,90] 300 0.15
(90,100] 200 0.10
补全题目中的频率分布直方图，如下；
（2）将成绩按分层抽样的方法抽取 150 名同学进行问卷调查，
甲同学在本次测试中数学成绩为 95 分，
150
他被抽中的概率为2000 = 0.075．
5．（2024·全国·模拟预测）以“建设包容、普惠、有韧性的数字世界——携手构建网络空间命运共同体”为
主题的 2023 年世界互联网大会乌镇峰会于 11 月 8 日至 10 日在中国浙江省乌镇举行．为保障大会顺利进行，
世界互联网大会的秘书处从招募的志愿者中随机抽取 100 名进行了一次互联网知识竞赛，所得成绩（单位：
分）均在[50,100]内，并制成如下频数分布表：
成绩/分 [90,100]
[50,60) [60,70) [70,80) [80,90)
频数 8 28 20 12
(1)根据频数分布表，在下图中作出频率分布直方图；
(2)以样本估计总体，记竞赛成绩不低于 86 分的志愿者为优秀志愿者，则优秀志愿者的占比能否达到 20%？
【解题思路】（1）先求出 n 值，再确定每组的频率再画图即可；
（2）计算出不低于 86 分的志愿者的频率即可求解.
【解答过程】（1） = 100 8 28 20 12 = 32，
不同成绩对应的频率如下表：
成绩/分 [90,100]
[50,60) [60,70) [70,80) [80,90)
频数 8 28 32 20 12
频率 0.08 0.28 0.32 0.20 0.12
作出频率分布直方图如图所示：
（2）在随机抽取的 100 名志愿者中，不低于 86 分的志愿者的频率为0.012 × 10 + 0.02 × (90 86)
= 0.12 + 0.08 = 0.2，故优秀志愿者的占比能达到 20%．
题型二 频率分布直方图的相关计算问题
用向量证明线段垂直
6．（24-25 高一上·全用向国量证·课明线后段垂作直业）中小学生的视力状况受到全社会的广泛关注，某市有关部门对全市 4 万
名初中生的视力状况进行一次抽样调查统计，所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图，从左至右
五个小组的频率之比是 2∶4∶9∶7∶3，第五小组的频数是 30．
(1)本次调查共抽调了多少名学生？
(2)如果视力在[4.85,5.15）属正常，那么全市初中生视力正常的约有多少人？
【解题思路】（1）由第五小组的频数得出比列，再根据频率分布直方图计算出可得频数；
（2）求出第 4 组频率，从而可得总人数；
【解答过程】（1）因为频率之比等于频数之比，设第一小组的频数为2 ，所以各组的频数依次为，
于是3 = 30，所以 = 10．
所以本次调查共抽调的学生人数为20 + 40 + 90 + 70 + 30 = 250．
（2）因为视力在[4.85,5.15）范围内的有 70 人，
70
所以频率为250 = 0.28，
所以全市初中生视力正常的约有40000 × 0.28 = 11200（人）.
7．（23-24 高一下·江苏无锡·期末）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了
了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得 100 户居民月均用水量（单位：m3），将数据按照
[0,4)，[4,8)，…，[32,36)分成 9 组，制成如图所示的频率分布直方图．为了鼓励居民节约用水，该市政府
在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过20m3的部分按 3 元/m3收费，第
二阶梯为超过20m3但不超过28m3的部分按 5 元/m3收费，第三阶梯为超过28m3的部分按 8 元/m3收费．
(1)求直方图中 的值；
(2)已知该市有 20 万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过 60 元的用户数；
(3)该市政府希望使至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收
费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少m3？
【解题思路】（1）根据频率分布直方图的矩形面积之和为 1，即可列式求解；
（2）由题意可知用户月均用水费用不超过 60 元，即用户月均用水不超过20cm3，算出频率，得出全市不超
过 60 元的用户数；
（3）首先计算抽取的 100 户居民月均用水量不超过28m3的频率和不超过32m3的频率，从而判断是否符合
要求，以及根据比例确定上调到的数量.
【解答过程】（1）由直方图可知，
(0.010 + 0.020 + + 0.050 + 0.065 + + 0.015 + 0.010 + 0.005) × 4 = 1,
解得： = 0.0375；
（2）居民用水量为20m3时，收费为60元，
所以用水费用不超过 60 元，则用水量小于等于20m3，
由频率分布直方图可知，用水量小于等于20m3的频率为(0.010 + 0.020 + 0.0375 + 0.050 + 0.065)
× 4 = 0.73；
20 × 0.73 = 14.6万户，
所以全市居民中月均用水费用不超过 60 元的用户数为14.6万户.
（3）抽取的 100 户居民月均用水量不超过28m3的频率为：
(0.010 + 0.020 + 0.0375 + 0.050 + 0.065 + 0.0375 + 0.015) × 4 = 0.94，
0.94 < 0.95，所以现行收费标准不符合要求，
抽取的 100 户居民月均用水量不超过32m3的频率为：
(0.010 + 0.020 + 0.0375 + 0.050 + 0.065 + 0.0375 + 0.015 + 0.010) × 4 = 0.98，
0.95 0.94
0.98 0.94 × (32 28) = 1，
现行收费标准不符合要求，需将第二阶段用水量的上限至少上调到29m3.
8．（24-25 高一下·吉林长春·阶段练习）某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180),
[180,200)，[200,220),[220,240)，[240,260),[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．
(1)求直方图中 的值；
(2)在这100户居民中，月平均用电量不低于220度的有多少户？
(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260)，[260,280),[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户
居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？
【解题思路】（1）利用频率分布表各小矩形面积和为 1，列式计算即得.
（2）根据频率分布直方图求出[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]内的频率，再利用频率乘以样本容
量即得.
（3）利用（2）的信息，求出分层抽样的抽样比即可计算得解.
【解答过程】（1）由频率分布直方图，得
(0.002 + 0.0095 + 0.011 + 0.0125 + + 0.005 + 0.0025) × 20 = 1，解得 = 0.0075，
所以直方图中 x 的值是0.0075.
（2）月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125 × 20 × 100 = 25户，
月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075 × 20 × 100 = 15户，
月平均用电量为[260,280)的用户有0.005 × 20 × 100 = 10户，
月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025 × 20 × 100 = 5户，
所以月平均用电量不低于220度的有25 + 15 + 10 + 5 = 55户.
11 1
（3）由（2）可知，抽取比例为25+15+10+5 = 5，
1
所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25 × 5 = 5户．
9．（23-24 高一下·福建福州·期末）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市为了制定
合理的节水方案，需要了解全市居民用水量分布情况．通过抽样，获得了 位居民某年的月均用水量（单位：
t），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)， ，[4,4.5]分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图，若已知样本
数据落在区间[1.5,2)的频数为 20．
(1)求样本容量 和频率分布直方图中 的值；
(2)用样本频率估计总体，若该市有 60 万居民，市政府希望使 51 万的居民每月的用水量不超过标准 t，试
估计 的值，并说明理由．
【解题思路】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程求得 = 0.40，结合题意，进而求得样本容量；
（2）解法 1：根据频率分布直方图，求得前 5 组和前 6 组的频率，得到2.5 < < 3，结合题意，列出方程，
即可求解；
解法 2：根据题意，得出 (0.08 + 0.18 + 0.30 + 0.40 + 0.50) × 0.5 + 0.3( 2.5) = 0.85，即可求解；
解法 3：根据频率分布直方图，求得前 5 组和前 6 组的频率，得到 85%分位数位于区间[2.5,3)，结合百分位
数的计算方法，即可求解.
【解答过程】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得：
(0.08 + 0.16 + 0.30 + + 0.52 + 0.30 + 0.12 + 0.08 + 0.04) × 0.5 = 1，解得 = 0.40，
因为样本数据落在[1.5,2)的频数为20，所以样本容量为 = 200.4×0.5 = 100.
（2）解法 1：因为 60 万居民中有 51 万不超过标准，即有 85%的居民的用水量不超过标准．
由样本数据得，前 6 组[0,3)的频率之和为1 (0.12 + 0.08 + 0.04) × 0.5 = 0.88 > 0.85，
前 5 组[0,2.5)的频率之和为1 (0.30 + 0.12 + 0.08 + 0.04) × 0.5 = 0.73 < 0.85，
可得2.5 < < 3，
又由0.3 × ( 2.5) = 0.85 0.73，解得 = 2.9．
因此，由样本估计总体，估计月用水量标准为 2.9t 时，约有 51 万的居民每月的用水量不超过标准．
解法 2：因为 60 万居民中有 51 万不超过标准，即有 85%的居民的用水量不超过标准．
根据题意，可得(0.08 + 0.18 + 0.30 + 0.40 + 0.50) × 0.5 + 0.3( 2.5) = 0.85，
解得 = 2.9，
因此，由样本估计总体，估计月用水量标准为 2.9t 时，约有 51 万的居民每月的用水量不超过标准．
解法 3：因为 60 万居民中有 51 万不超过标准，即有 85%的居民的用水量不超过标准．
由样本数据得，前 6 组[0,3)的频率之和为1 (0.12 + 0.08 + 0.04) × 0.5 = 0.88 > 0.85，
前 5 组[0,2.5)的频率之和为1 (0.30 + 0.12 + 0.08 + 0.04) × 0.5 = 0.73 < 0.85，
因此，85%分位数一定位于区间[2.5,3)，
∵ 2.5 + 0.5 × 0.85 0.730.88 0.73 = 2.9，可以估计 85%分位数约为2.9，
因此，由样本估计总体，估计月用水量标准为 2.9t 时，约有 51 万的居民每月的用水量不超过标准．
10．（24-25 高二下·安徽滁州·开学考试）某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比
例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：
[20,30),[30,40), ,[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图.
(1)从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；
(2)已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等.试估计总体中男生
和女生人数的比例.
【解题思路】（1）先计算出样本中分数不小于 70 的频率，然后算出样本中分数小于 70 的频率，由频率估
计概率即可；
（2）先由已知求出样本 100 人中分数在区间[40,50)内的人数，然后估计总体中分数在区间[40,50)内的人数
即可；
（3）先求出样本中男生女生的人数，由分层抽样的原理可知，样本中男生和女生人数的比例就是总体中男
生和女生人数的比例.
【解答过程】（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于 70 的频率为(0.02 + 0.04) × 10 = 0.6，
所以样本中分数小于 70 的频率为1 0.6 = 0.4，所以从总体的 400 名学生中随机抽取一人，其分数小于 70
的概率估计为 0.4.
（2）根据题意，样本中分数不小于 50 的频率为(0.01 + 0.02 + 0.04 + 0.02) × 10 = 0.9，
分数在区间[40,50)内的人数为100 100 × 0.9 5 = 5，
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400 × 5100 = 20.
（3）由题意可知，样本中分数不小于 70 的学生人数为(0.02 + 0.04) × 10 × 100 = 60，
1
所以样本中分数不小于 70 的男生人数为60 × 2 = 30，
所以样本中的男生人数为30 × 2 = 60，女生人数为100 60 = 40，
所以样本中男生和女生人数的比例为60:40 = 3:2，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的
比例为3:2.
题型三 统计图的综合应用问题
11．（24-25 高一上·全国·课后作业）某厂生产一种产品，图①是该厂第一季度三个月产量的统计图，图②
是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图，统计员在制作图①，图②时漏填了部分数据．根
据上述信息，回答下列问题：
(1)该厂第一季度几月份的产量最高？
(2)该厂一月份的产量占第一季度总产量的百分比是多少？
(3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为98%．请你估计该厂第一季度
大约生产了多少件合格的产品？（写出解答过程）
【解题思路】（1）根据条形统计图判断；
（2）根据扇形统计图求解；
（3）由两统计图结合求出第一季度总产量，再乘以98%可得答案.
【解答过程】（1）由条形统计图可知，三月的产量最高．
（2）该厂一月份的产量占第一季度总产量的百分比为1 38% 32% = 30%.
（3）该厂共生产1900 ÷ 38% = 5000（件）产品．因为合格率为98%，
所以该厂第一季度大约生产了5000 × 98% = 4900（件）合格的产品．
12．（24-25 高一上·全国·课后作业）某校分别于 2020 年、2022 年随机调查相同数量的学生，对数学课开
展小组合作学习的情况进行调查（开展情况分为极少、有时、常常、总是共四种），绘制成部分统计图如
下．请根据图中信息，解答下列问题：
(1) = ________%， = ________%，“总是”对应扇形统计图中的圆心角度数为________；
(2)请你补全条形统计图；
(3)若该校 2022 年共有 1200 名学生，请你统计其中认为数学课“总是”开展小组合作学习的学生有多少名？
(4)相比 2020 年，2022 年数学课开展小组合作学习的情况有何变化？
【解题思路】（1）利用开展情况为总是的人数得出总人数，进而由人数或比例求解即可；
（2）利用比例计算“有时”、“常常”的人数，再填表；
（3）利用比例计算数学课“总是”的人数；
（4）观察条形统计图，得出结论.
【解答过程】（1）80 ÷ 40% = 200（人），
= 38200 × 100% = 19%，
= 100% 40% 21% 19% = 20%，
圆心角度数为40% × 360° = 144°．
（2）“有时”的人数为20% × 200 = 40（人），“常常”的人数为200 × 21% = 42（人），
如图所示．
3 80（ ）1200 × 200 = 480（人），故认为数学课“总是”开展小组合作学习的学生有 480 人．
（4）相比 2020 年，2022 年数学课开展小组合作学习的情况有所好转．
13．（24-25 高一上·全国·课后作业）以下是某手机店根据某手机销售的相关数据绘制的统计图的一部分.请
根据图 1、图 2 解答下列问题:
(1)来自该店财务部的数据报告表明，该手机店 1~4 月的手机销售总额一共是 290 万元，请将图 1 中的统计
图补充完整;
(2)该店 1 月份音乐手机的销售额为多少万元
(3)小刚观察图 2 后，认为 4 月份音乐手机的销售额比 3 月份减少了，你同意他的看法吗 请说明理由.
【解题思路】（1）用 290 减去 1 月，2 月和 4 月的销售额可得 3 月份的销售额，从而可将图 1 中的统计图
补充完整，
（2）用 1 月份的销售额乘以 1 月份音乐手机所占的百分比可得结果，
（3）根据两个分别计算 3 月份和 4 月份音乐手机的销售额，然后比较可得结论.
【解答过程】（1）290 (85 + 80 + 65) = 60（万元），补图如下图.
（2）85 × 23% = 19.55（万元），所以该店 1 月份音乐手机的销售额为19.55万元.
（3）不同意.理由如下:
3 月份音乐手机的销售额是60 × 18% = 10.8（万元），
4 月份音乐手机的销售额是65 × 17% = 11.05（万元），
而10.8 < 11.05，因此 4 月份音乐手机的销售额比 3 月份的销售额增多了.
14．（23-24 高一上·江西赣州·开学考试）某校为了解学生第一个“双减”后的暑假最期待什么活动，校学生
会随机对该校七年级部分学生进行了问卷调查，调查结果分为四个类别：A 表示“广泛阅读”，B 表示“劳动
实践”，C 表示“户外运动”，D 表示“其他”，每个同学只能选择其中的一项，根据调查统计结果，绘制成两
种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
(1)参加这次调查的学生总人数为______ 人；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)该校七年级有 800 名学生，估计全校七年级学生中最期待“劳动实践”的约有多少名？
【解题思路】（1）根据扇形图中 C 的比例结合条形图中相应的人数，即可求得答案；
（2）求出 B 的人数，即可将条形统计图补充完整；
（3）计算最期待“劳动实践”的学生比例，结合总数，即可得答案.
【解答过程】（1）参加这次调查的学生总人数为：15 ÷ 30% = 50(人)；
故答案为：50；
（2）
由题意得 B 的人数为：50 9 15 18 = 8 (人)，
将条形统计图补充完整如下：
8
（3）800 × 50 = 128（名），
答：估计全校七年级学生中最期待“劳动实践”的约有128名．
15．（2025 高一·全国·专题练习）某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供
应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶供学生饮用．某中学为了了解学生对
不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查(每盒各种口味牛奶的体积相同)，绘制了如下
两张不完整的统计图：
(1)本次被调查的学生有多少名？
(2)补全上面的条形统计图①，并计算出喜好菠萝味牛奶的学生人数在扇形统计图②中所占圆心角的度数；
(3)该校共有 1200 名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要
使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味的多多少
盒？
【解题思路】（1）根据题意，由核桃味的人数以及其占比，即可得到样本容量；
（2）根据题意，直接补全条形图，再由喜好菠萝味牛奶的学生人数占比，即可得到其所占圆心角的度数；
（3）根据题意，代入公式计算即可得到结果.
【解答过程】（1）根据喜好核桃味的学生数，得本次被调查的学生数(样本容量)为10 ÷ 50 0 = 200.
（2）喜好香橙味牛奶的学生数是200 38 62 50 10 = 40
补全条形图如图所示，
喜好菠萝味牛奶的学生人数为 50，
50
在扇形统计图中所占圆心角的度数为200 × 360° = 90°
1200
（3）草莓味要比原味多 200 × (62 38) = 144 (盒)．
题型四 频率分布直方图中总体百分位数的估计
16．（24-25 高二上·云南保山·期末）保山古称永昌，“永子”即永昌所产的围棋子，又名“永棋”．以保山南
红玛瑙、玉石、天然琥珀等珍贵原料，采用保密配方、经绝技熔炼和传统手工点“丹”而成．为了让学生更好
了解和学习保山永子文化的历史渊源、永子的制作技艺以及此文化的传承与发展历史，2024 年 12 月，保山
市某校组织了所有学生参加“永子”文化测试，该校一数学兴趣小组从所有成绩（满分 100 分，最低分 50 分）
中，随机调查了 200 名参与者的测试成绩，将他们的成绩按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]
分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所示．
(1)请将频率分布直方图补充完整；
(2)估计该校所有学生成绩的第 70 百分位数；
(3)从成绩在[70,80)，[80,90)内的学生中用分层抽样的方法抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽取 2 人开座谈会，
求这 2 人来自不同分组的概率．
【解题思路】（1）根据各频率的和为 1 结合频率分布直方图求出成绩在[70,80)的频率，从而可将频率分布
直方图补充完整；
（2）先利用频率分布直方图判断出第 70 百分位数在[80，90)内，然后列式求解即可；
（3）根据分层抽样的定义结合频率分布直方图求出从成绩在[70,80)，[80,90)内所抽陛的人数，然后利用列
举法可求得结果.
【解答过程】（1）成绩在[70,80)的频率为1 (0.005 + 0.010 + 0.040 + 0.015) × 10 = 0.3，
补充完整的频率分布直方图如图所示：
（2）由频率分布直方图可知成绩小于 80 分的学生所占比例为5% +10% +30% = 45%，
成绩小于 90 分的学生所占比例为45% +40% = 85%，
所以第 70 百分位数一定在[80，90)内，
因为80 + 0.70 0.450.04 = 86.25，
所以估计该校所有学生成绩的第 70 百分位数约为 86.25 分．
（3）由分层抽样的方法可知，抽取的 7 人中，成绩在[70，80)内的有 3 人，分别记为 1, 2, 3；
成绩在[80，90)内的有 4 人，分别记为 1, 2, 3, 4，
则从这 7 人中随机抽取 2 人的所有基本事件为： 1 2， 1 3， 1 1， 1 2， 1 3， 1 4，
2 3， 2 1， 2 2， 2 3， 2 4， 3 1， 3 2， 3 3， 3 4， 1 2, 1 3, 1 4，
2 3, 2 4, 3 4，共 21 种，
“记这 2 人来自不同分组”为事件 A，其基本事件有 1 1， 1 2， 1 3， 1 4， 2 1， 2 2，
2 3， 2 4， 3 1， 3 2， 3 3， 3 4，共 12 种，
2 ( ) = 12 4故这 人来自不同分组的概率为 21 = 7.
17．（24-25 高一上·辽宁朝阳·期末）对于居民生活用水，某市实行阶梯水价．具体来说，季度用水量在40m3
及以下的部分，收费标准为 3 元/m3；季度用水量超过40m3但不超过80m3的部分，收费标准为 4 元/m3；
季度用水量超过80m3的部分，收费标准为 6 元/m3．
(1)求某户居民用水费用 （单位：元）关于季度用水量 （单位：m3）的函数关系式；
(2)为了了解居民的用水情况，通过抽样获得了 2024 年第三季度本市 1000 户居民每户的季度用水量，统计
分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这 1000 户居民中，季度用水费用超过 200 元的有 400 户，求直
方图中 , 的值以及季度用水量的第 75 百分位数．
【解题思路】（1）根据题设依次写出0 ≤ ≤ 40、40 < ≤ 80、 > 80对应解析式，进而写出分段函数形
式；
（2）根据频率直方图求参数，由百分位数的定义求季度用水量的第 75 百分位数.
【解答过程】（1）当0 ≤ ≤ 40时， = 3 ；
当40 < ≤ 80时， = 3 × 40 + 4( 40) = 4 40；
当 > 80时， = 3 × 40 + 4 × 40 + 6( 80) = 6 200；
3 ,0 ≤ ≤ 40
所以 与 之间的函数关系式为 = 4 40,40 < ≤ 80 .
6 200, > 80
（2）由（1）知，当 = 200时， = 60，即季度用水量超过60m3的占40%，
0.005 × 20 + 20 + 0.015 × 20 = 0.6
结合频率分布直方图知 20 + 20 + 0.0025 × 20 = 0.4 ，解得 = 0.0075, = 0.0100．
设第75%分位数为 ，
因为季度用水量低于60m3的所占比例为60%，低于80m3的占0.6 + 20 × 0.01 = 80%，
所以第75%分位数 在[60,80)内，故0.6 + ( 60) × 0.01 = 0.75，解得 = 75，
即季度用水量的第75%分位数为75m3．
18．（24-25 高二上·四川绵阳·期中）从某小区抽取 100 户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量
都在50~350kW h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间）画出频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一户居民月用电量
标准 ，用电量不超过 的部分按照平价收费，超出部分按照议价收费，若使 85%居民用户的电费支出不受
影响，应确定 值为多少
【解题思路】（1）由频率分布直方图的性质可知每组小矩形的面积之和为 1 求解；
（2）由标准 度为求该直方图 85%分位数求解.
【解答过程】（1）由频率分布直方图的性质可知每组小矩形的面积之和为 1，
可得：(0.0024 + 0.0036 + 0.0060 + + 0.0024 + 0.0012) × 50 = 1，
解得 = 0.0044；
（2）由题意知，要使得 85%居民用户的电费支出不受影响，
即 85%的居民每月的用电量不超过标准 度，也即 为求该直方图 85%分位数.
因为前 4 个分组频率之和为 0.12+0.18+0.3+0.22=0.82，
所以 85%分位数在第五组，则有：
0.82 + 25050 × 0.12 = 0.85，
解得 = 262.5.
19．（24-25 高二上·北京平谷·阶段练习）某高中高一 500 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，
使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：[20,30),[30,40), ,
[80,90]，并整理得到频率分布直方图如图所示.
(1)从总体的 500 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 60 的概率（写出计算过程）；
(2)已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数（写出计算过程）；
(3)估计测评成绩的75%分位数.（写出计算过程）
【解题思路】（1）由对立事件结合频率分布直方图先得出数不小于 60 的频率，即可得出分数小于 60 的频
率，则可得出总体的 500 名学生中随机抽取一人，其分数小于 60 的概率估计值；
（2）先由频率分布直方图可得分数不小于 50 的频率，即可得出分数不小于 50 的人数，在集合题意即可得
出总体中分数在区间[40,50)内的人数；
（3）测评成绩的 75%分位数先得出从前到后的频率之和为 0.75 时在哪个区间，再通过频率求出.
【解答过程】（1）由频率分布直方图可得分数不小于 60 的频率为：(0.02 + 0.04 + 0.02) × 10 = 0.8，
则分数小于 60 的频率为：1 0.8 = 0.2，故从总体的 500 名学生中随机抽取一人，其分数小于 60 的概率估
计为0.2.
（2）由频率分布直方图可得分数不小于 50 的频率为：(0.01 + 0.02 + 0.04 + 0.02) × 10 = 0.9，
则分数在区间[40,50)内的人数为：100 100 × 0.9 5 = 5人.
5
则总体中分数在区间[40,50)内的人数为：500 × 100 = 25人.
（3）由频率分布直方图可得分数小于 70 的频率为 0.4，分数小于 80 的频率为 0.8，则测评成绩的 75%分位
0.35
数落在区间[70,80)上，则测评成绩的 75%分位数为70 + 10 × 0.4 = 78.75.
20．（23-24 高一下·安徽·期末）某厂引进一种生产新能源汽车关键部件的设备，为了解该设备生产的关键
部件的某项指标的情况，随机抽取了 100 件关键部件的该项指标数据，按[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),
[30,35]分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图．
(1)求 的值；
(2)估计样本中指标数据的70%分位数．
【解题思路】（1）频率分布直方图中，所有矩形的面积和为 1，列出关于 的方程，求解即可．
（2）根据百分位数的概念求解即可．
【解答过程】（1）由图可知，5 × (0.02 + + 0.05 + 0.08 + 0.02) = 1，
解得 = 0.03．
（2）由频率分布直方图可知，数据小于 25 的指标数据所占比例为10% +15% +25% = 50%，
数据小于 30 的指标数据所占比例为10% +15% +25% +40% = 90%，
所以70% 0.70 0.50分位数一定在[25,30)内，由25 + 0.08 = 27.5，
所以估计样本中指标数据的70%分位数为 27.5．
题型五 频率分布直方图中集中趋势参数的计算
21．（23-24 高一下·全国·课后作业）在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下.某学校高一年级
利用高考放假期间组织 1200 名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取 200 名学生，记录他们的首轮
竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
(1)若从成绩不高于 60 分的同学中按分层抽样方法抽取 10 人，求 10 人中成绩不高于 50 分的人数；
(2)求 的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数.
【解题思路】（1）先分别求出[40,50),[50,60)的频率，进而由 10 乘以抽样比可求答案；
（2）根据频率的性质，利用各小长方形的面积和等于 1 可求 ；利用各组中值与频率可估计平均数；先确
定中位数所在的小长方形，再设中位数为 ，进而利用面积等于 0.5 即可求解.
【解答过程】（1）从图中可知组距为10，则[40,50),[50,60)的频率分别为0.1,0.15，
从成绩不高于 60 分的同学中按分层抽样方法抽取 10 人时，
0.1
成绩不高于 50 分的人数为10 × 0.1+0.15 = 4（人）.
（2）由图可知0.1 + 0.15 + 0.15 + 10 + 0.25 + 0.05 = 1，解得 = 0.030.
使用组中值与频率可估计平均数为
0.1 × 45 + 0.15 × 55 + 0.15 × 65 + 0.3 × 75 + 0.25 × 85 + 0.05 × 95 = 71.
因为0.1 + 0.15 + 0.15 = 0.4 < 0.5且0.1 + 0.15 + 0.15 + 0.3 = 0.7 > 0.5，
所以中位数在[70,80)内，
70 220
设估计的中位数为 ，则0.4 + 10 × 0.3 = 0.5，得 = 3 .
22．（23-24 高一下·辽宁朝阳·开学考试）对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取 M
名学生，得到这 M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图．
分组 频数 频率
[10,15) 10 0.20
[15,20) 24 n
[20,25) m p
[25,30] 2 0.04
合计 M 1
(1)求出表中 M，p 及图中 a 的值；
(2)若该校有高三学生 300 人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数；
(3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．（保留一位小数）
【解题思路】（1）借助频数、频率与总数之间的关系计算即可得；
（2）以所得频率估计概率计算即可得；
（3）借助众数、中位数及平均数的定义计算即可得.
【解答过程】（1）由分组[10,15) 10对应的频数是 10，频率是 0.20，知 = 0.20，所以 = 50，

所以10 + 24 + + 2 = 50，解得 = 14，所以 = = 14 50 = 0.28 =
24
， 50×5 = 0.096；
2 24（ ）估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数为50 × 300 = 144；
15+20
（3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是 2 = 17.5．
24
因为 = 50 = 0.48，所以估计该校高三学生参加社区服务次数的中位数 x 满足：
0.2 + ( 15) × 0.485 = 0.5，
解得 = 18.125，所以该校高三学生参加社区服务次数的中位数约为 18.1，
由12.5 × 0.20 + 17.5 × 0.48 + 22.5 × 0.28 + 27.5 × 0.04 = 18.3，
所以估计该校高三学生参加社区服务次数的平均数是 18.3.
23．（23-24 高一下·内蒙古兴安盟·期末）随着社会经济的发展，物业管理这个行业发展迅猛，某小区居民
代表组织居民对所属物业公司的服务进行问卷调查，随机选取了 200 户居民的问卷评分（得分都在 50~100
分内，满分 100 分），并将评分按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成 5 组，绘制成如图
所示的频率分布直方图．
注：本次评分不低于 80 分的居民支持所属物业公司延续服务；成绩低于 80 分的居民支持更换新物业公司．
(1)求这 200 户居民本次问卷评分的中位数及众数；
(2)若该小区共有居民 1200 户，试估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有多少户？
【解题思路】（1）在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于 1，解出 的值，再根据中位数的公式
和求众数的公式计算得出结果；
（2）先计算小区居民支持所属物业公司延续服务的概率，在计算小区居民支持所属物业公司延续服务的户
数．
【解答过程】（1）由图知，10 × (0.010 + + 0.020 + 0.025 + 0.030) = 1，
解得 = 0.015．
评分在[50,70)的频率为10 × (0.010 + 0.020) = 0.3 < 0.5；
评分在[50,80)的频率为0.3 + 10 × 0.030 = 0.6 > 0.5，
故中位数在[70,80)之间．
设这 200 户居民本次问卷评分的中位数为 x，
则( 70) × 0.03 + 0.3 = 0.5，
230
解得 = 3 ，
故这 200 230 70+80户居民本次问卷评分的中位数为 3 ，众数为 2 = 75．
（2）由图知，评分在[80,100]的频率为1 0.6 = 0.4，
故可估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的概率约为 0.4，
∴估计该小区居民支持所属物业公司延续服务的有1200 × 0.4 = 480户．
24．（23-24 高一下·天津河北·期末）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居
民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照
[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 a 的值；
(2)已知该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，说明理由；
(3)估计居民月均用水量的众数、中位数，说明理由．
【解题思路】（1）根据频率之和为1即可得解；
（2）求出月均用水量不低于 3 吨的频率，进而可得出答案；
（3）根据频率分布直方图中众数和中位数的求法计算即可.
【解答过程】（1）由频率分布直方图知，(0.08 + 0.16 + + 0.42 + 0.50 + + 0.12 + 0.08 + 0.04)
× 0.5 = 1，解得 = 0.30，
所以直方图中 的值为 = 0.30；
（2）由图得月均用水量不低于 3 吨的频率为0.5 × (0.12 + 0.08 + 0.04) = 0.12，
所以估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为300000 × 0.12 = 36000（人）；
（3 2+2.5）由图可知，众数是 2 = 2.25；
因为(0.08 + 0.16 + 0.30 + 0.42) × 0.5 = 0.48 < 0.5，
(0.08 + 0.16 + 0.30 + 0.42 + 0.50) × 0.5 = 0.73 > 0.5，
所以中位数在区间[2,2.5)内，设为 ，
则0.48 + 0.50( 2) = 0.5，解得 = 2.04，
即中位数为2.04.
25．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）为了解甲、乙两种农药在某种绿植表面的残留程度，进行如下试验：将
100 株同种绿植随机分成 、 两组，每组 50 株，其中 组绿植喷甲农药， 组绿植喷乙农药，每株绿植所喷
的农药体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在绿植表面的百分比，根据
试验数据分别得到如图直方图：
记 为事件：“乙农药残留在表面的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 (C)的估计值为 0.70．
(1)求乙农药残留百分比直方图中 , 的值；
(2)估计甲农药残留百分比的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)估计乙农药残留百分比的中位数．（保留 2 位小数）
【解题思路】（1）由的估计值为 0.70，可得 + 0.20 + 0.15 = 0.7，求得 值，再由整体频率为1即可求得；
（2）根据平均数的定义，取组区间的中点值进行计算即可得解；
（3）中位数在使得直方图面积为0.5处取得，经计算即可得解.
【解答过程】（1） 为事件：“乙农药残留在表面的百分比不低于 5.5”，
根据直方图得到 (C)的估计值为 0.70．
+ 0.20 + 0.15 = 0.7 = 0.35
则由频率分布直方图得： 0.05 + + 0.15 = 1 0.7 ,解得 = 0.10 ,
所以乙农药残留在表面的百分比直方图中 = 0.35, = 0.10．
（2）估计甲农药残留百分比的平均数为：
甲 = 2 × 0.15 + 3 × 0.20 + 4 × 0.30 + 5 × 0.20 + 6 × 0.10 + 7 × 0.05 = 4.05．
（3）设乙农药残留百分比的中位数为 ，则
(0.05 + 0.10 + 0.15) × 1 + 0.35 × ( 5.5) = 0.5,解得 ≈ 6.07，
所以估计乙农药残留百分比的中位数约为6.07.
题型六 频率分布直方图中总体离散程度的估计
26．（23-24 高一上·辽宁沈阳·阶段练习）某次考试后，年级组抽取了 100 名同学的数学考试成绩，绘制了
如下图所示的频率分布直方图．
(1)根据图中数据计算参数 的值，并估算这 100 名同学成绩的平均数和中位数，结果保留至百分位；
(2)已知这 100 名同学中，成绩位于[80,90)内的同学成绩方差为 12，成绩位于[90,100)内的同学成绩方差为
10，为了分析学优生的成绩分布情况，请估算成绩在 80 分及以上的同学的成绩的平均数和方差．
【解题思路】（1）根据频率和为1列方程求 ，然后直接求解平均数和中位数即可；
（2）先求出平均数，在利用方差公式计算方差即可.
1
【解答过程】（1）依题意，20 + 30 + 70 + 60 + 20 = 1，得 = 200，
∴ 各组的频率依次为0.1,0.15,0.35,0.3,0.1，
∴ 平均数为0.1 × 55 + 0.15 × 65 + 0.35 × 75 + 0.3 × 85 + 0.1 × 95 = 76.50分，
中位数为70 + 10 × 0.250.35 ≈ 77.14分．
（2）分数在[80,90)区间内的人数为100 × 0.3 = 30，
分数在[90,100)区间内的人数为100 × 0.1 = 10，
30×85+10×95
所以成绩在 80 分及以上的同学的成绩的平均数为 30+10 = 87.5分，
方差为30× 12+(87.5 85)
2 +10× 10+(87.5 95)2 = 30.25.
30+10
27．（24-25 高二上·黑龙江·期末）教育局组织学生参加“防溺水”网络知识问答，该地区有小学生 4500 人，
初中生 4300 人，高中生 2200 人，按学段比例分层抽样，从中抽取 220 名学生，对其成绩进行统计频率分
析，得到如下图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)用样本估计总体，估计该地区成绩的中位数（保留小数点后两位），并估计该地区学生成绩大于等于 90
分的人数；
(3)教育局的工作人员在此次竞赛成绩中抽取了 10 名同学的分数： 1, 2, 3, , 10，已知这 10 个分数的平均
数 = 90，方差 2 = 25，若剔除其中的最高分 98 和最低分 86，求剩余 8 个分数的平均数与方差.
（参考数据：982 = 9604，862 = 7396，89.52 = 8010.25）
【解题思路】（1）利用频率之和为 1 列方程求解；
（2）根据中位数的定义计算中位数，利用频率计算成绩不小于 90 的人数即可；
（3）根据平均数及方差的计算公式计算即可得解.
【解答过程】（1）由10 × (0.010 + 0.015 + 0.015 + 0.025 + + 0.005) = 1，
解得 = 0.030.
（2）因为0.1 + 0.15 + 0.15 = 0.4 < 0.5，0.1 + 0.15 + 0.15 + 0.3 = 0.7 > 0.5，
所以中位数为 满足70 < < 80，
由( 70) × 0.030 = 0.5 0.4，解得 =
220
3 ≈ 73.33，
即估计该地区成绩的中位数为73.33分；
估计该地区学生成绩大于等于 90 分的人数为(4500 + 4300 + 2200) × 0.05 = 550（人）.
3 8 = 10 98 86 10×90 98 86（ ）由题意，剩余 个成绩的平均值为 0 8 = 8 = 89.5 ，
10
2 2
因为 10 个分数的方差 2 = 10 =1 = 25，
10
所以 21 + + 210 = 10 × 25 + 10 × (90)2 = 81250，
所以剩余 8 个分数的方差
2 2+ + 2 2 = 1 10 86 98
2 8×(89.5)2 = 64250 64082 1680 8 8 = 8 = 21，
即剩余 8 个分数的平均数与方差分别为89.5,21.
28．（23-24 高一下·河北·期末）2023 年以来，河北省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列
措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长的同时，也使“这
么近，那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．现为进一步发展河北文旅，提升河北经济，在 5 月份对
来冀旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百
分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中 = 4 ．
(1)求图中 a 的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若有超过60%的人满意度在 75 分及以上，则认为该月文旅成绩合格．河北省 5 月份文旅成绩合格了吗
(3)河北文旅 6 月份继续对来冀旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知 6
月 1 日-6 月 15 日调查的 4 万份数据中其满意度的平均值为 80，方差为 75；6 月 16 日-6 月 30 日调查的 6 万
份数据中满意度的平均值为 90，方差为 70．由这些数据计算 6 月份的总样本的平均数与方差．
【解题思路】（1）利用频率和为 1，即可求出 a 的值，再求平均值即可；
（2）超过60%的人满意度在 75 540分及以上，即为40%分位数大于等于 75，求估计40%分位数为 7 > 75，即
可判断；
（3）根据题意结合总样本的平均数、方差公式，即可求出．
【解答过程】（1）由题意知 + 4 + 0.05 = 0.1，解得 = 0.01．
估计满意度得分的平均值为 = 65 × 0.15 + 75 × 0.35 + 85 × 0.4 + 95 × 0.1 = 79.5．
（2）超过60%的人满意度在 75 分及以上，即为40%分位数大于等于 75，
以为满意度在[60,70)的频率为0.15 < 0.4，满意度在[60,80)的频率为0.5 > 0.4，
可知40%分位数位于[70,80)．
则70 + 0.4 0.150.5 0.15 × 10 =
540
7 ，可以估计 40%
540
分位数为 7 > 75，
所以有超过 60%的人满意度在 75 分及以上，河北省 5 月份文旅成绩合格了．
（3）把 6 月 1 日-6 月 15 日的样本记为 1, 2, , 40000，其平均数记为 ，方差记为 2 ，
把 6 月 16 日-6 月 30 日的样本记为 1, 2, , 60000，其平均数记为 ，方差记为 2 ，
4 6 4
则总样本平均数 = 10 × + 10 × = 10 × 80 +
6
10 × 90 = 86，
1 40000 2 60000 2 1
则总样本方差 2 = 2 2 2 2100000 + = =1 =1 10
× 4 + ( ) + 6 + ( )
= 110 × 4 × 75 + (80 86)
2 + 6 × 70 + (90 86)2 = 96，
所以总样本平均值为 86，总样本方差为 96．
29．（23-24 高一下·广东广州·期末）为推动习近平新时代中国特色社会主义思想深入人心，促进全社会形
成爱读书、读好书、善读书的新风尚，培育有坚定理想信念、爱党爱国、堪当民族复兴大任的有为青年，
某学校举办了读书节活动.现从该校的 2000 名学生中发放调查问卷，随机调查了 100 名学生一周的课外阅读
时间，将统计数据按照[0,20)，[20,40)，…[100,120)，[120,140]组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单
位：分钟，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
(1)求 的值，若每周课外阅读时间 60 分钟以上（含 60 分钟）视为达标，试估计该校达标的人数；
(2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间；
(3) 5若样本数据在[0,20)与[20,40)内的方差分别为 2 = 3， 21 2 = 3，计样本数据在[0,40)内的方差
2.
【解题思路】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为 1 求出 ；求出阅读时间达标的频率即可得解.
（2）利用频率分布直方图求出平均时间.
（3）利用分层抽样的方差公式计算即得.
【解答过程】（1）由频率分布直方图，得
20(0.0025 + 0.005 + 0.0125 + + 0.0075 + 0.005 + 0.0025) = 1，所以 = 0.015；
阅读时间达标的频率为20(0.015 + 0.0075 + 0.005 + 0.0025) = 0.6，
估计该校阅读时间达标的人数为2000 × 0.6 = 1200.
（2）一周的课外阅读时间在[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100),[100,120),[120,140]
内的频率依次为：0.05,0.1,0.25,0.3,0.15,0.1,0.05，
= 0.05 × 10 + 0.1 × 30 + 0.25 × 50 + 0.3 × 70 + 0.15 × 90 + 0.1 × 110 + 0.05 × 130 = 68，
所以估计该校学生每周课外阅读的平均时间为 68 分钟.
（3）样本数据在[0,20)与[20,40)内的平均数分别为10,30，
0.05×10+0.1×30 70
则样本数据在[0,40)内的平均数为 0.15 = 3 ，
2 2
所以样本数据在[0,40)内的方差 2 =
0.05
0.15[3 + (10
70 ) ] + 0.1 [50.15 3 + (30
70 ) ] = 91
3 3 .
30．（23-24 高一下·河南商丘·期末）2023 年 12 月，“尔滨”持续爆火，冰雪主题热度狂飙，随之而来的是大
家对冬季户外运动装备的高需求，从雪鞋 雪板等滑雪装备，到手套 帽子等保暖用品，各家体育用品店在
这个冬天迎来“滑雪十”新热潮．某体育用品制造企业为了提升产品质量，对现有的一条生产线进行技术升级
改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的体育用品中随机抽取了1000件，检测
产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）．
质量指标值 [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85) [85,95)
产品 60 100 160 300 200 100 80
(1)估计这组样本的质量指标值的平均数 和方差 2（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
(2) { } 设 表示不小于 的最小整数，[ ]表示不大于 的最大整数， = 5 , = 5 + ，根据检验标准，
5 5
技术升级改造后，若质量指标值落在[ , )内的频率超过65%，可认为生产线技术改造成功．请根据样本数
据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据： 171 ≈ 13， 241 ≈ 16）
【解题思路】（1）根据平均数与方差公式直接计算可得解；
（2）直接代入可得 ， ，再根据频率公式可得解.
1 = 30×60+40×100+50×160+60×300+70×200+80×100+90×80【解答过程】（ ）由题意可知 1000 = 61，
2 = (30 61)
2×60+(40 61)2×100+(50 61)2×160+(60 61)2×300+(70 61)2×200+(80 61)2×100+(90 61)2×80
1000 = 241；
（2）由（1） 2 = 241，则 ≈ 16，
61 16
则 = 5 × = 45， = 5 × 61+16 = 75，
5 5
160+300+200
该抽样数据落在[45,75)内的频率为 1000 = 66% > 65%，
则可以判定生产线技术改造是成功的．
题型七 其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度
31．（23-24 高一下·宁夏·期末）某公司为了提高职工的健身意识，鼓励大家加入健步运动，要求 200 名职
工每天晚上 9：30 上传手机计步截图，对于步数超过 10000 的予以奖励．图 1 为甲乙两名职工在某一星期
内的运动步数统计图，图 2 为根据这星期内某一天全体职工的运动步数做出的频率分布直方图．
(1)请根据频率分布直方图，求 m 的值，并求出该天运动步数不少于 15000 步的人数；
(2)估计全体职工在该天运动步数的众数、平均数和中位数；
(3)如果当天甲的排名为第 130 名，乙的排名为第 40 名，试判断做出的是星期几的频率分布直方图．
【解题思路】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为 1，即可求得 m 的值；结合频率、频数之间的关
系即可求得该天运动步数不少于 15000 步的人数；
（2）根据频率分布直方图，依据众数、平均数和中位数的估计方法即可求得答案；
（3）计算甲乙排名的占比，结合频率分布直方图计算出甲乙两人的步数，与已知的甲乙两名职工在某一星
期内的运动步数统计图比较，即得答案.
【解答过程】（1）由图可知(0.02 + 0.03 + 0.04 + 0.06 + ) × 5 = 1，解得 = 0.05；
所以该天运动步数不少于 15000 的人数为(0.05 + 0.03) × 5 × 200 = 80（人）；
2 10+15（ ）众数是 2 = 12.5（千步）；
全体职工在该天的平均步数为：
2.5 × 0.1+7.5 × 0.2+12.5 × 0.3 + 17.5 × 0.25 + 22.5 × 0.15 = 13.25（千步）
由于前两组频率之和为0.1 + 0.2 = 0.3 < 0.5，前三组频率之和为0.1 + 0.2 + 0.3 > 0.5，
故设中位数为 x，则0.3 + ( 10) × 0.06 = 0.5, ∴ = 403 ，
40
即中位数是： 3 （千步）
（3）因为40 ÷ 200 = 0.2，130 ÷ 200 = 0.65，
假设甲的步数为 千步，乙的步数为 千步，
由频率分布直方图可得：
0.02 × 5 + 0.04 × 5 + 65( 10) × 0.06 = 1 0.65，解得 = 6 （千步），
0.02 × 5 + 0.04 × 5 + 0.06 × 5 + ( 15) × 0.05 = 1 0.2，解得 = 19（千步），
所以可得出是星期二的频率分布直方图．
32．（23-24 高二上·四川成都·期末）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随
机选取了 10 个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm） 记录下来并绘制出折线图：
(1)分别计算甲、 乙两厂提供 10 个轮胎宽度的平均值；
(2)轮胎的宽度在[193，195]内，则称这个轮胎是标准轮胎，试比较甲、 乙两厂分别提供的 10 个轮胎中所
有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个
厂的轮胎相对更好.
【解题思路】（1）由折线图提供的数据，利用平均数公式代入计算即可；
（2）分别找出甲乙两厂的所有标准轮胎宽度的数据，再分别求出平均值与方差，即可判断.
【解答过程】（1）由题：甲厂轮胎宽度的平均值为：
1
10(195 + 194 + 196 + 193 + 194 + 197 + 196 + 195 + 193 + 197) = 195；
乙厂轮胎宽度的平均值为：
1
10(195 + 196 + 193 + 192 + 195 + 194 + 195 + 192 + 195 + 193) = 194；
所以甲、 乙两厂提供 10 个轮胎宽度的平均值分别为 195，194.
（2）由题，甲厂提供的 10 个轮胎中所有标准轮胎宽度为：
195,194,193,194,195,193 1，其平均数为：6(195 + 194 + 193 + 194 + 195 + 193) = 194，
1 2
其方差为：6(1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1) = 3；
乙厂提供的 10 个轮胎中所有标准轮胎宽度为：
195,193,195,194,195,195,193 1，其平均数为：7(195 + 193 + 195 + 194 + 195 + 195 + 193) = 194
2
7，
1 25 81 25 4
其方差为：7(49 + 49 + 49 + 49 +
25
49 +
25 81 266 2
49 + 49) = 343 > 3；
从平均数上来看：乙厂提供的 10 个轮胎中所有标准轮胎宽度高于甲厂提供的 10 个轮胎中所有标准轮胎宽
度，但乙厂提供的 10 个轮胎中所有标准轮胎宽度方差较大，不够稳定.
33．（23-24 高一下·湖北武汉·期末）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费
的一种流行的营销形式．某直播平台 1200 个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、
生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图所示．
(1)该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取 60 个直播商家进行问询交流．如果按照比例分层抽
样的方式抽取，则应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？
(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对（1）中抽取的 60 个商家的平均日利润进行了统计（单
位：元），所得频率分布直方图如右图所示，请根据频率分布直方图计算下面的问题：
①估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用
该组区间的中点值作代表）；
②若将平均日利润超过 430 元的商家评为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．
【解题思路】（1）根据分层抽样的定义计算即可；
（2）①根据中位数和平均数的定义计算即可；
②根据样本中“优秀商家”的个数来估计总体中“优秀商家”的个数即可.
【解答过程】（1）60 × (1 25% 15% 10% 5% 5%) = 24，60 × 15% = 9，
所以应抽取小吃类24家，生鲜类9家；
（2）①根据题意可得(0.001 × 3 + + 0.003 + 0.005 + 0.007) × 50 = 1，解得 = 0.002，
设中位数为 ，因为(0.001 + 0.003) × 50 = 0.2，(0.001 + 0.003 + 0.007) × 50 = 0.55，
所以( 300) × 0.007 + 0.2 = 0.5，解得 ≈ 342.9，
平均数为：
(225 × 0.001 + 275 × 0.003 + 325 × 0.007 + 375 × 0.005 + 425 × 0.002 + 475 × 0.001 + 525 × 0.001)
× 50 = 352.5，
所以该直播平台商家平均日利润的中位数为 342.9，平均数为 352.5.
② 450 430 × 0.002 + 0.001 + 0.001 × 50 × 1200 = 168,
50
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为168.
34．（24-25 高一下·全国·课后作业）甲、乙两人在相同条件下各射靶 10 次，每次射靶的成绩情况如图所示：
（1）填写下表：
平均数 方差 中位数 命中 9 环及以上
甲 7 1.2 1
乙 5.4 3
（2）请从四个不同的角度对这次测试进行分析：①结合平均数和方差分析离散程度；②结合平均数和中位
数分析谁的成绩好些；③结合平均数和命中 9 环及以上的次数看谁的成绩好些；④从折线图上看两人射靶
命中环数及走势分析谁更有潜力.
【解题思路】（1）从图上读出甲乙两人的 10 个数据，计算均值、方差，中位数等后可填表；
（2）由于均值相等，因此方差大小反映离散程度，中位数反映成绩好坏，命环数多的次数也反映成绩好坏，
折线的趋势能反映个人的潜力大小．
【解答过程】（1）乙的射靶环数依次为 2，4，6，8，7，7，8，9，9 1，10.所以 乙 = 10 ×
(2 + 4 + 6 + 8 + 7 + 7 + 8 + 9 + 9 + 10) = 7；乙的射靶环数从小到大排列为 2，4，6，7，7，8，8，9，9，
10 7+8，所以中位数是 2 = 7.5；甲的射靶环数从小到大排列为 5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，所以中位数
为 7.于是填充后的表格如下表所示：
平均数 方差 中位数 命中 9 环及以上
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
（2）①甲、乙的平均数相同，均为 7，但 2 < 2甲 乙，说明甲离散程度小，而乙离散程度大.
②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶成绩比甲好.
③甲、乙的平均水平相同，而乙命中 9 环及以上的次数比甲多 2 次，可知乙的射靶成绩比甲好.
④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜
力.
35．（23-24 高一下·广东东莞·期末）树人中学男女学生比例约为2:3，某数学兴趣社团为了解该校学生课外
体育锻炼情况（锻炼时间长短（单位：小时），采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生 人，女生 人
进行调查．记男生样本为 1， 2， ， ，样本平均数、方差分别为 、 21；女生样本为 1， 2， ， ，
样本平均数、方差分别为 、 22；总样本平均数、方差分别为 、 2.

(1)证明： ( 2 2 2 ) = 1 + ( ) ；
=1
(2)该兴趣社团通过分析给出以下两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息
分别估计男生样本、女生样本的平均数；
(3)已知男生样本方差 21 = 5.5，女生样本方差 22 = 5.7，请结合（2）问的结果计算总样本方差 2的估计值.
【解题思路】（1）利用平均数和方差计算公式结合完全平方运算化简即可证明；
（2）利用平均数计算公式分别计算即可；
（3）先求出总样本平均数，根据方差公式结合（1）中结论化简求解即可.

【解答过程】（1） ( )2 = ( + )2 = ( 2 2 ) + 2( )( ) + ( )
=1 =1 =1

= ( )2 + 2( ) ( ) + ( )2
=1 =1 =1

= ( )2 +2( ) + ( )2，
=1 =1
1 1
因为 21 = ( )
2， = ， =1 =1

所以 2 2 2 = 0，则 ( ) = 1 + ( ) ；
=1 =1
（2）因为每个组内的数据均匀分布，所以以各组的区间中点值代表该组的各个值，
由频率分布直方图估计男生样本课外体育锻炼时间的平均数为
= 1 × 0.05 × 2 + 3 × 0.1 × 2 + 5 × 0.175 × 2 + 7 × 0.1 × 2 + 9 × 0.075 × 2 = 5.2，
由扇形图估计女生样本课外体育锻炼时间的平均数为
= 1 × 0.15 + 3 × 0.25 + 5 × 0.30 + 7 × 0.2 + 9 × 0.1 = 4.7；
（3）因为采用按比例分配的分层随机抽样，所以 : = 2:3，
+
估计树人中学学生课外运动时间的平均数为 = = 0.4 × 5.2 + 0.6 × 4.7 = 4.9 + ，
2 = 1

( )2 2 =
1 2 2 2 2
+ + ( ) =1 =1 +
1 + ( ) + 2 + ( )
2 = + 1 + ( )
2 + 2 2 + 2 + ( )
= 2 35 5.5 + (5.2 4.9)
2 + 5 5.7 + (4.7 4.9)
2 = 5.68.

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