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2024-2025 学年高一下学期期中复习真题精选（常考 100 题 20 类题型
专练）
【人教 A 版（2019）】
题型归纳
题型 1 平面向量的概念（共 5小题）
1．（23-24 高一下·福建福州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若两个非零向量 , 共线，则 , , , 必在同一直线上
B．若 与 共线， 与 共线，则 与 也共线
C．若| | = | |则 =
D．若非零向量 与 是共线向量，则它们的夹角是0 或180
【解题思路】根据共线向量的概念即可判断 A,B,D;根据相等向量的概念可以判断 C.
【解答过程】方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，因此 D 正确；
→ →
若非零向量 , 是共线向量，则 , , , 未必在同一直线上，A 错；
→ → → → → → → →
若 = 0，则 与 共线， 与 共线，但是 与 未必共线，B 错；
→ → → →
由| | = | |可以得到 , 的大小相等，但方向不一定相同，C 错.
故选：D.
2．（23-24 高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．若| | = 1，则 =± 1 B．若 = ，则 ∥
C．若| | = | |且 ∥ ，则 = D．若 ∥0，则| | = 0
【解题思路】对于 A：根据向量与数量的定义分析判断；对于 B：根据向量相等和向量共线分析判断；对于
C：举反例说明即可；对于 D：根据零向量和向量共线分析判断.
【解答过程】对于选项 A：因为 为向量， ± 1均为数量，故 A 错误；
对于选项 B：根据相等向量与平行向量的关系，知 = ，即有 ∥ ，故 B 正确；
对于选项 C：例如 = ≠ 0，满足| | = | |且 ∥ ，但 ≠ ，故 C 错误；
对于选项 D：由零向量可知：对任意 ，均有 ∥0，即| | = 0不一定成立，故 D 错误；
故选：B.
3．（23-24 高一下·江苏无锡·期中）下列说法错误的是（ ）
A．向量 与向量 是共线向量，则点 A，B，C，D 必在同一条直线上
→ →
B．若 = 0, ∈ R，则 = 0或 = 0
C．若向量 , 满足| | > | |，且 与 同向，则 >
D．向量 与 ( ≠ 0)共线的充要条件是：存在唯一的实数 ，使 =
【解题思路】由平面向量共线以及共线定理可判断 A 错误，D 正确，再由数乘运算可得 B 正确，因为平面
向量不能比较大小，可知 C 错误.
【解答过程】对于 A，向量 与向量 是共线向量，则 , 可能平行，因此 , , , 不一定在同一条直线
上，即 A 错误；
→ →
对于 B，若 = 0, ∈ R，则 = 0或 = 0，即 B 正确；
对于 C，向量不能比较大小，因此 > 错误，即 C 错误；
对于 D，由平面向量的共线定理可知 D 正确.
故选：AC.
4．（23-24 高一下·广东广州·期中）已知 , 为两个不共线的非零向量，若 + 与 2 共线，则 k 的值为
12 ．
【解题思路】根据共线向量满足的性质求解即可.
【解答过程】由题意若 + 与 2 共线，则 + = 2 , ∈ R，
则 + = 2 ，因为 , 为两个不共线的非零向量，故 = ,1 = 2 ，
1
解得 = 2.
故答案为： 12.
5．（23-24 高一下·福建泉州·期中）已知边长为 3 的等边三角形 ，求 边上的中线向量 的模| |.
【解题思路】根据正三角形的性质，求得 边上的中线长，即可求解.
【解答过程】如图所示，因为 △ 是正三角形，所以 边上的中线向量 的模就是三角形的高，
3 2 3 3 3 3
即： 32 = ，所以 边上的中线向量 的模| |为 .
2 2 2
题型 2 平面向量的线性运算（共 5小题）
1．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）已知等腰梯形 中， // ， = 2 = 2 = 2，E 为 BC 的中
点，则 = （ ）
A 1．3 +
5 B 13 ．3 +
5
6
C 1 1 1 1．3 + 2 D． 3 + 6
【解题思路】根据向量的线性运算法则进行代换即可求解．
【解答过程】因为 = = ( + ) = = 12 ，
3
所以2 = ，即 =
2
3 +
2
3 ，
又 的中点为 E，
所以 = 1 1 1 2 22( ) = 2 2 + =
1 1
3 + 6 ，3 3
故选：D．
2．（23-24 高一下·广东深圳·期中）已知向量 1， 2是平面上两个不共线的单位向量，且 = 1 +2 2，
= 3 1 +2 2， = 3 1 6 2，则（ ）
A． 、 、 三点共线 B． 、 、 三点共线
C． 、 、 三点共线 D． 、 、 三点共线
【解题思路】结合向量的线性运算，逐项判断向量共线得解.
1
【解答过程】对 A，因为 3 ≠
2
2，则 、 、 三点不共线，故 A 错误；
B 1 2对 ，因为3 ≠ 6，则 、 、 三点不共线，故 B 错误；
对 C，因为 = + = 1 +2 2 +
2
( 3 1 + 2 2) = 2 1 +4 2 = 3 ，则 、 、 三点共线，则 C 正
确；
对 D， = + = 4 4 3 21 2，因为 4 ≠ 4，则 、 、 三点不共线.
故选：C．
3．（23-24 高一下·福建泉州·期中）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是
一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形

为正五边形， = 5 1 ≈ 0.618）．则（ ）2
A． + = B． =
C． + = 5 1 D． = 5+1
2 2
【解题思路】利用正五角星的结构特征，结合向量的线性运算，逐项计算判断即可.
【解答过程】对于 A， + = + = = ，A 正确；
对于 B， = = = ，B 错误；
对于 C， + = + = = | | = 5+1 ，C 错误；
| | 2
对于 D， = = = | | = 5+1 ，D 正确.
| | 2
故选：AD.
4．（23-24 高一下·四川成都·期中）设 ， 是两个不共线向量， = 2 + ， = + ， = 2 ．若
A，C，D 三点共线，则实数 = -7 ．
【解题思路】求出 = 3 + ( + 1) ，设 = ，得到方程组，得到 = 7.
【解答过程】 = + = 2 + + + = 3 + ( + 1) ，
A，C，D 三点共线，设 = ，则3 + ( + 1) = 2 ，
故 = 3, + 1 = 2 ，解得 = 6 1 = 7.
故答案为：-7.
5．（23-24 高一下·黑龙江鸡西·期中）计算：
(1)( 3) × 4 ；
(2)3( + ) 2( ) ；
(3)(2 +3 ) (3 2 + )；
(4) ；
(5) + + .
【解题思路】（1）根据向量的数乘运算求解；
（2）根据向量的数乘和加减法运算律求解即可；
（3）根据向量的数乘和加减法运算律求解即可；
（4）（5）根据向量的加减法法则求解即可.
→ →
【解答过程】（1）( 3) × 4 = 12 ；
（2）3( + ) 2( ) = 3 +3 2 +2 = 5 ；
（3）(2 +3 ) (3 2 + ) = 2 +3 3 +2
= +5 2 ；
（4） = = ；
（5） + + = +
= + = 0.
题型 3 平面向量的数量积（共 5小题）
1．（23-24 高一下·北京通州·期中）已知 ， ， 是三个非零平面向量，则下列叙述正确的是（ ）
A．若| | = | |，则 =± B．若| + | = | |，则 ⊥
C．若 = ，则 = D．若 // ，则 = | || |
【解题思路】利用向量的模、数量积的运算律及共线向量直接判断各个选项即可.
【解答过程】对于 A，| | = | |，而 与 的方向不确定，不一定有 =± ，A 错误；
2 2
对于 B，由| + | = | |，得 2 +2 + = 2 2 + ，即 = 0，则 ⊥ ，B 正确；
对于 C， = ( ) = 0，当( ) ⊥ 时， ≠ 也成立，C 错误；
对于 D， // ，当 与 的方向相反时， = | || |，D 错误.
故选：B.
2．（23-24 高一下·山东临沂·期中）如图，圆 为 △ 的外接圆， = 3, = 5, 为边 的中点，则
= （ ）
A 15 17．7 B． 2 C．8 D． 2
1
【解题思路】由三角形中线性质可知 = 2( + )，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知| |
cos∠ = 12| |，同理可得| |cos∠ =
1
2| |，再由数量积运算即可得解.
【解答过程】因为 是 BC 中点，
∴ = 12( + )，
因为 M 为 △ 的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，
∴ = | || |cos∠ = 12| |
2 = 12 × 3
2 = 92，
1 25
同理可得 = 2| |
2 = 2 ，
∴ = 12( + ) =
1 + 12 2 =
1 9 1 25 17
2 × 2 + 2 × 2 = 2 .
故选：D.
3．（23-24 高一下·河南洛阳·期中）关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．若 = ，则 =
→ → → →
B．两个非零向量 ， ，若| | = | | + | |，则 与 共线且反向
C．若 与 不共线且 +2 与2 +3 共线，则 = 43
D．若 = (1,2)， = ( 1,1)，且 与 + 的夹角为锐角，则 ∈ ( 5, + ∞)
【解题思路】根据特殊值法判断 A，D 选项，应用向量的平行求参判断 C 选项，根据向量的数量积公式判
断 B 选项.
→ → → → → → →
【解答过程】对于 A： = (0,0), = (1,1), = (1,2), · = · ，A 选项不正确；
|→ →| |→| |→| |→ →|2 |→| |→|
2 |→对于 B：因为 = + ，所以 = + ， |2 |→|2 → →+ 2 · = |→ |2 → 2 → →+ | | +2| || |，
→ → → → → →
所以 2 · = 2| || | = 2| || |cos ，
→ →
所以cos = 1，即 = π，则 , 共线反向，B 选项正确；
→ → → → → → → → → →
对于 C：因为 , 不共线， +2 ,2 +3 共线，可得 +2 = 2 + 3 ，
所以 = 2 ,2 = 3 4，所以 = 3，C 选项正确；
→ → →
对于 D：当 = 0时， , + 所成角为0°，不是锐角，D 选项错误.
故选：BC.
4．（23-24 高一下·北京·期中）已知非零平面向量 ， ， ，
①若 = ，则 = ；②若| + | = | | + | |，则 // ；
③若| + | = | |，则 ⊥ ；④若 + = 0，则 = 或 = ．
其中正确命题的序号是 ②③ ．
【解题思路】举反例结合向量垂直可判断①；对已知等式两边平方可判断②③；根据向量相等可判断④．
【解答过程】对于①，例如 ⊥ ， = 时，则 = = 0，满足题意，但 ≠ ，故错误；
2 2
对于②，若| + | = | | + | |，则| + | = | | + | | ，
可得 = | | | |cos , = | | | |，所以cos , = 1，
所以 与 的夹角为0，故正确；
2 2
对于③，若| + | = | |，则| + | = | | ，
2 = 2 ，可得 = 0，
因为向量 ， 是非零向量，则 ⊥ ，故正确；
2
对于④，若 + = 0，则| |2 | | = 0，
所以| | = | |，可得 与 的模长相等，但夹角不确定，故错误.
其中正确命题的序号是②③.
故答案为：②③.
5．（23-24 高一下·山东临沂·期中）已知向量 , 满足| | = 3,| | = 6, 5 4 2 + = 81．
(1)求向量 与 的夹角；
(2)若向量 在 方向上的投影向量为 ，求 + 的值．
【解题思路】（1）由题意得到 = 9，利用平面向量的夹角公式即可求解；
（2）利用投影向量和数量积的运算即可求解．
【解答过程】（1） ∵ (5 4 ) (2 + ) = 81，
∴ 10| |2 3 4| |2 = 81，即90 3 144 = 81，
∴ = 9， ∴ cos < , >= = 93×6 =
1
| || | 2
，
π
又 < , >∈ [0,π]， ∴ 与 的夹角为3；
（2） ∵ = | |cos < , > = 14 ，| |
2
∴ ( + ) = 14 ( + ) =
1
4 +
1 1 1
4 = 4 × 9 + 4 × 6
2 = 454 ．
题型 4 平面向量基本定理及其应用（共 5小题）
1．（23-24 高一下·河北·期中）在 △ 中， 为 边上的中点， 是 上靠近 的四等分点，则 =
（ ）
A 7． 8 +
1
8 B．
1 7
8 8
C 7 1． 8 8 D．
1
8 +
7
8
【解题思路】根据几何关系，转化向量，用基底表示.
1
【解答过程】因为 = 4 ，
1 1
由已知可得， = 2 + ，所以 = 8 + ，
所以 = = 18 + =
7
8 +
1
8 ．
故选：A.
2．（23-24 高一下·四川乐山·期中）如图，已知点 是 △ 的重心，过点 作直线分别与 ， 两边交于
， 两点，设 = ， = ，则 + 9 的最小值为（ ）
A 5 16．2 B．4 C． 3 D．3
1 1
【解题思路】利用三角形重心性质，得 = 3 + 3 ，再由平面向量基本定理设 = +(1 ) ，
1
即 = +(1 ) 1 1，对照系数，得3( + ) = 1，最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得 + 9
的最小值.
【解答过程】
如图，延长 交 于点 ，因点 是 △ 的重心，
则 = 2 = 2 × 13 3 2( + ) =
1
3 +
1
3 ，①
因 , , 三点共线，则 > 0，使 = +(1 ) ，
因 = ， = ，代入得， = +(1 ) ，②
= 1 1 1 1
由①，②联立，可得， 3 1 ，消去 即得，3( + ) = 1，(1 ) =
3
1 1 1 1 + 9 = ( + 9 ) ( + ) = (10 + + 9 ) ≥ 10 1则 3 3 3 + 3 2 =
16
9 3 ，
当且仅当 = 3 时等号成立，
4 4 16
即 = 3, = 9时， + 9 取得最小值，为 3 .
故选：C.
3．（23-24 高一下·河北·期中）如图，在 △ 中，BD 与 EC 交于点 G，E 是 AB 的靠近 B 的三等分点，D
是 AC 的中点，且有 = + ， , ∈ (0, + ∞)，则下列命题正确的是（ ）
A． + 3 = 1
B．3 + 2 = 2
C 1 1． = 2 + 4
D．过 G 作直线 MN 分别交线段 AB，AC 于点 M，N，设 = ， = （ > 0， > 0），则
+ 2 的最小值为 2．
A,B,C 1 + 1【解题思路】根据向量的线性运算法则计算可判断 ；利用共线定理的推论可得2 4 = 1，然后妙用
“1”可判断 D.
2
【解答过程】对于 A,B,C,设 = + ，将 = 3 ， =
1
2 代入，
= 3 +
得 2 ，因为 E、G、C 三点共线，且 B、G、D 三点共线，
= + 2
3 1 + = 1 =
所以 2 ，得 2
+ 2 = 1 = 1
，
4
即 = 1 + 12 4 ．所以 A 错，B，C 正确；
1 1
对于 D， = 2 + 4 ， = ， = ，
则 = 1 12 +
1 1
4 ，因为 M、G、N 三点共线，
1 1
则2 + 4 = 1
2
，即 +
1
= 4，
+ 2 = 1 1( + 2 ) 2 + 1 = 2 + + 4 4 + 2 4 ≥ 2，
2 + 1 = 4 = 1
当且仅当 ，即 = 1 时取得等号．所以 D 正确． = 2 2
故选：BCD．
4．（23-24 高一下·广东潮州·期中）在 △ 中， 为 BC 上一点， 是 AD 的中点，若 = ， = 13
+ ，则 + = 13 .
+1 1 1 5
【解题思路】利用向量线性运算得 = 3 + ，再由中点的向量表示列式求得 = 2, = 3 6，
从而得解.
【解答过程】因为 = ，
所以 = 13 + =
1
3( ) + =
1
3 +
1
3
= 1 13 + +
1 = 3 + +
1
3 3
= +13 +
1 ，
3
1 1 +1 1 1 1因为 是 AD 的中点，所以 = 2 + 2 ，所以 3 = 2， 3 = 2，
1 5 1
解得 = 2, = 6，所以 + = 3.
1
故答案为： 3.
5．（23-24 高一下·陕西渭南·期中）如图所示，△ 中，点 为 的中点，点 是线段 上靠近点 的一
个三等分点， ， 相交于点 ，设 = ， = .
(1)用 ， 表示 ， ；
(2)若 = ， = ，求 ， 的值.
【解题思路】（1）由向量的线性运算及平面向量的基本定理，即可求解；（2）直接利用向量的线性运算
和相等向量的充要条件，求出 和 即可.
【解答过程】（1）因为在△ 中，点 为 的中点，
所以 + = 2 ；
所以 = 2 = 2 ，
则 = = 2 23 = 2
5
3
（2）因为 = = 23 ，
又 = ，
所以 23 = 2
5 ，
3
= 2 = 4
即 5 2 = 5 ，解得： .
3 3 =
2
5
题型 5 向量的夹角问题（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·广平面西向量玉线林性运·算期的坐中标）表示已知向量 = (1,2), = ( ,3)，若 ⊥ (2 )，则 与 夹角的余弦值为
（ ）
A 2 5 B 5 C 10． ． ． D 3 10．
5 5 10 10
【解题思路】根据平面向量垂直的坐标表示求得向量 ，再利用平面向量夹角的坐标计算公式求值即可.
【解答过程】因为 = (1,2), = ( ,3)，所以2 = (2 ,1)，
因为 ⊥ (2 )，所以 (2 ) = 1 × (2 ) + 2 × 1 = 0，解得 = 4，所以 = (4,3)，
1×4+2×3
设 与 夹角为 ，则cos = = 2 512+22× 42+32 = ，| | ∣ 5
即 与 夹角的余弦值为2 5．
5
故选：A.
2．（23-24 高一下·河南郑州·期中）已知向量 = (1,1), = ( , 2)，则“ 与 的夹角为钝角”是“ < 2”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据已知条件，结合平面向量数量积运算，以及向量共线的性质，即可求解
【解答过程】已知向量 = (1,1), = ( , 2)，
若 与 的夹角为钝角，则 = 2 < 01 × ≠ 1 × ( 2) ，解得 < 2且 ≠ 2，
故“ 与 的夹角为钝角”是“ < 2”的充分不必要条件．
故选：A．
3．（23-24 高一下·陕西宝鸡·期中）若向量 = (2,0)， = (1, 3)，则（ ）
A． | + | = | | B． = 2
C 1
π
． 在 上的投影向量为2 D． 与 的夹角为6
【解题思路】根据向量坐标形式的数量积定义、投影向量概念和模长、夹角公式直接计算即可判断.
【解答过程】由题| + | = |(3, 3)| = 32 + 32 = 2 3，| | = |(1, 3)| = 12 + ( 3)2 = 2，
所以| + | ≠ | |，故 A 错；
又 = 2 × 1 + 0 × 3 = 2，故 B 正确；
|→ | = 22 + 02 = 2，所以 在 1上的投影向量为2 ，故 C 正确；
因为| | = 12 + 32 = 2,cos · 2 1 , = | | =| | 2×2 = 2，又 , ∈ (0, )，
所以 , = 3，故 D 错误.
故选：BC.
4．（23-24 5高一下·北京顺义·期中）已知平面向量 = (1,2)， = ( 2, 4)， = ( , )满足 + = 2，
2π
| | = 5，则 与 的夹角为 3 ．
5
【解题思路】根据条件 + = 2求出 · ，接着根据条件以及向量夹角余弦公式求解即可.
5
【解答过程】由题| | = 12 + 22 = 5，且 + = ( 1, 2)·( , ) = 2 = ( + 2 ) = 2，
所以 · = + 2 = 52，
5
所以cos , =
· 1
2
| || | = = 2，又 , ∈ [0, ]，5
2 2
所以 , = 3 ，即 与 的夹角为 3 .
2
故答案为： 3 .
5．（23-24 高一下·广东深圳·期中）已知向量 = (1, ), = (2,3)．
(1)若 ⊥ ，求| |；
(2)若 = ( 3, 4)， // + ，求3 + 与 的夹角的余弦值．
2
1 ⊥ = 0 = 1, 11【解题思路】（ ）由向 ，得到 ，列出方程求得 的值，得到 ，进而求得
3
，即可求解；
（2）由 // + ，列出方程求得 = 1，结合向量的夹角公式，即可求解.
2
【解答过程】（1）解：由向量 = (1, ), = (2,3)，因为 ⊥ ，可得 = 0，
2
又因为 = 2 + 3 ，且 = 22 + 32 = 13 11，所以2 + 3 13 = 0，解得 = 3 ，
11 2
所以 = 1, ， = 1, 2 ，所以| | = 1 + 2 = 13．
3 3 3 3
（2）解：由向量 = (1, ), = ( 3, 4)，可得 + = ( 2, 4)，
因为 // + ，所以 2 × 3 2( 4) = 0，解得 = 1，所以 = (1,1)，
又由3 + = (3,5)，可得 3 + = 8，|3 + | = 34,| | = 2
cos 3 + 3 + , = = 4 17所以 |3 + | ，| | 17
3 + 4 17所以 与 的夹角的余弦值为 ．
17
题型 6 向量的模长问题（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·重平面庆向量·期线性中运算）的坐平标面表示向量 , 满足 = (2,1)，|2 | = 3且 2 ⊥ ，则| | = （ ）
A．3 B． 10 C． 11 D．2 3
【解题思路】根据向量垂直得数量积为 0，结合向量的模长与数量积的公式求解即可.
【解答过程】由 2 ⊥ 可得 2| |2 = 0，又| | = 22 + 12 = 5，故 = 10.
| 2 2又 2 | = 3，故4| | 4 + | |2 = 9，即4| | 40 + 5 = 9，故| | = 11.
故选：C.
2．（23-24 高一下·福建厦门·阶段练习）在平面四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 的中点，若
= 4， = 2，且 = 4，则| | = （ ）
A． 2 B． 3 C． 7 D．2 2
【解题思路】作出图形，连接 ， ，由向量的线性运算和数量积运算可得 = 4，从而根据向量的
数量积以及模长运算公式求解即可.
【解答过程】连接 ， 1 1 1，如图，可知 = 2 + = 2 + + + = 2 + .
2
所以 = 1 12 + ，即 2 2 = 4，可得 = 4.
2 2 2 2 2
从而，| | = = 14 + =
1
4 + 2 + = 7，所以| | = 7.
故选：C.
3．（23-24 高一下·云南·阶段练习）已知向量 , 满足| + 2 | = | |, + 2 = 0，且| | = 2，则（　　）
A．| | = 8 B． + = 0 C．| 2 | = 6 D． = 4
【解题思路】本题依据向量模、夹角的运算公式即可求解.首先将题目条件式| + 2 | = | |两边同时平方，
结合| | = 2，即可计算| |和 的值，可判断 A、D 选项；利用向量夹角公式计算向量 , 的夹角，可判断
B、C 选项.
【解答过程】因为| + 2 | = | |，
| 2所以 + 2 | = | |2，
2
即 2 +4 +4 = 2
2
，整理可得 + = 0 ，
2
再由 + 2 = 0，且| | = 2可得 2 = = 4，
所以| | = 2， = 4，故A,D错误；
又因为cos 4 , = | || | = 2×2 = 1，
所以向量 , 的夹角π，
故向量 , 共线且方向相反，
所以 + = 0，故 B 正确；
2 2
又| 2 | = 2 4 +4 = 22 4 × ( 4) +4 × 22 = 4 + 16 + 16 = 36，
所以| 2 | = 6，故 C 正确．
故选：BC．
4．（23-24 高一下·重庆九龙坡·期中）已知向量 与 的夹角为60°，| | = 2,| | = 1，则| 2 | = 2 ．
【解题思路】将| 2 |平方并利用数量积定义可计算可得结果.
【解答过程】易知| 2 | = | 2 |2 = | |2 + 4| |2 4
= | |2 + 4| |2 4| || |cos60 = 4 + 4 4 × 2 × 1 × 1 = 2.
2
故答案为：2.
5 1 1．（23-24 高一下·浙江·期中）已知| | = 1, = 2, + = 2．
(1)求| |的值；
(2)求向量 与 + 夹角的余弦值；
(3)求| |( ∈ )的最小值．
【解题思路】（1）根据数量积的运算律，即可结合模长求解，
（2）根据模长公式以及夹角公式即可求解，
（3）根据余弦定理可求解长度，即可得 ⊥ ，即可求解最值，或者利用模长公式以及二次函数的性质
求解.
2 1
【解答过程】（1） + = | |2 | | = 2
2
由于| |2 = 1 1，所以| | = 2，故| | =
2
2
（2） + = 2 + =
3
2
| + | 10= ( + )2 = 2 + 2 + 2 = 2
cos + , + = | | =
3 10
| | + 10
（3）法一：记 = , = , ′ = ，
则cos∠ = = 2
| || | 2
| | = 2根据余弦定理得 + 2 2| | | |cos∠ = 2，2
π
则∠ = 2，即 ⊥
则| | = | ′| ≥ | |，所以| |最小值为 22
法二：| | = 2 + 2 2 2 = 1 2 + 1
2
当 = 1时，| |取得最小值 2.2
题型 7 向量的平行、垂直问题（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·广平面东向量茂线名性运·算期的坐中标）表示已知向量 = (3,4), = ( , 6)，且 ⊥ ，则实数 = ( )
A 9 9． 2 B．2 C． 8 D．8
【解题思路】根据向量垂直的坐标表示，即可求解.
【解答过程】由 ⊥ ，可知，3 + 4 × ( 6) = 0，得 = 8.
故选：D.
2．（23-24 高一下·四川成都·期中）已知向量 = (1, 2)， = ( 3, )， = (4, )，若 // ， ⊥ ，则 + =
（ ）
A． 192 B．8 C． 4 D．6
【解题思路】运用向量平行，垂直的坐标结论即可求解.
【解答过程】 // ,向量 = (1, 2)， = ( 3, ),则 3 × ( 2) = ，则 = 6；
⊥ ，向量 = (1, 2)， = (4, )，则1 × 4 + ( 2) = 0，则 = 2.
则 + = 8.
故选：B.
3．（23-24 高一下·新疆乌鲁木齐·期中）已知向量 = ( 2,1), = ( 1, )，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ⊥ ，则 的值为 2 B．若0 < < 2，则 与 的夹角为锐角
C 1．若 // ，则 的值为2 D．若 = 3，则 在 方向上的投影向量为(2, 1)
1
【解题思路】借助向量垂直的性质计算可得 A；借助 = 2时， 与 共线可得 B；借助向量平行的性质计算
可得 C；借助投影向量定义计算可得 D.
【解答过程】对 A：由 ⊥ ，则 = ( 2) × ( 1) + = 0，解得 = 2，故 A 正确；
B 1对 ：当 = 2时，有 = 2 ，此时 与 共线，故 B 错误；
1
对 C：若 // ，则有( 2) × 1 × ( 1) = 0，解得 = 2，故 C 正确；
2 3
D = 3 = = 1 = 2 1对 ：当 时，有| | | | 5 5 , ，故 D 错误.5 5 5
故选：AC.
4．（23-24 高一下·云南迪庆·期中）已知向量 = (2,1), = (3, 1), = (3, ),( ∈ R)，且 2 ⊥ ，则
= 4 .
【解题思路】先算出 2 的坐标，然后由向量的数量积公式列方程即可求解.
【解答过程】因为向量 = (2,1), = (3, 1), = (3, ),( ∈ R)，
所以 2 = (2,1) 2(3, 1) = ( 4,3), = (3, )，
而 2 ⊥ ，所以 12 + 3 = 0，解得 = 4.
故答案为：4.
5．（23-24 高一下·云南德宏·期中）已知向量 = (2,1)， = (1,2)， = (4, )．
(1)若 // ，求| |的值；
(2)若( + ) ⊥ ，求 的值．
【解题思路】（1）先由向量平行的坐标表示求出未知量 ，进而求得 ，再由坐标形式的向量模长公式即可
求解| |.
（2）先由题意得 + ，再由向量垂直的坐标表示即可求解.
【解答过程】（1）由 // 得4 = 2 ，所以 = 2，故 = (4,2)，
所以| | = 42 + 22 = 2 5.
（2）由已知 + = (2,1) + (1,2) = (2 + 1, + 2)
又( + ) ⊥ ，所以( + )· = 2 × (2 + 1) + 1 × ( + 2) = 5 + 4 = 0，
4
解得 = 5.
题型 8 三角形的个数问题（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·湖平面北向量·期线性中运算）的坐根标据表示下列条件，判断三角形解的情况，其中有两解的是（ ）
A． = 1, = 45°, = 60° B． = 1, = 2, = 60°
C． = 3, = 1, = 120° D． = 3, = 4, = 45°
【解题思路】根据已知结合正弦定理判断各个选项即可.
【解答过程】A 项是角角边类型的三角形，有唯一解；
B 项解两边夹一角类型的三角形，是唯一解；
C 项是两边一对角类型的三角形，角 B 为钝角，也是三角形的最大角，对应三角形最大边，但是 < ，故
该三角形无解；

D 4
3 2 2
项是两边一对角类型的三角形， 2sin = sin ,sin = 2,sin = > = sin45°， 有两个解，此三角形有两2 3 2
解.
故选：D.
2．（23-24 高一下·北京大兴·期中）在 △ 中， ， ， 分别为∠ ，∠ ，∠ 的对边，给出下列四个条件：
① = 4， = 5， = 45° ； ② = 5， = 6， = 8；
③ = 6， = 6 3， = 105°； ④ = 2 3， = 5， = 60°．
能判断三角形存在且有唯一解的是（ ）
A．①④ B．②③
C．①②③ D．②③④
【解题思路】由正弦定理及三角形的性质分别判断出所给命题的真假．
【解答过程】①中， = 4， = 5， = 45°，
4= = 5 sin = 5 2 5 2由正弦定理可得sin sin ，即 2 sin ，可得 ，
2 < < 1
2 8 2 8
因为角 为锐角，所以角 有两解，所以①不正确；
②中，由三边为定值，且满足任意两边之和大于第三边，所以②唯一确定三角形；所以②正确；
③中，由两边和夹角确定唯一三角形，可得③正确；
5
④ 3 5中，由正弦定理可得sin = sin = × = 4 > 12 3 ，所以不存在这样的三角形，所以④不正确．2
故选：B．
3．（23-24 高一下·云南昭通·期中）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（ ）
A． = 20, = 11, = 30°，有两解
B． = 2, = 2, = 30°，有两解
C． = 8, = 16, = 30°，有两解
D． = 23, = 34, = 41°，有一解
【解题思路】ABC 选项，根据 ≥ 得到三角形有一解，由 sin < < 得到三角形有两解，D 选项，由余
弦定理得到 唯一，故三角形有一解.
【解答过程】对 A：由20 > 11知， > ，所以三角形有一解，A 错误；
对 B：由2sin30° = 1 < 2 < 2，即 sin < < ，所以三角形有两解，B 正确；
对 C：由16sin30° = 8，即 = sin ，故三角形为直角三角形，有一解，C 错误；
对 D： = 23, = 34, = 41°，
由余弦定理得 = 2 + 2 2 cos ， 唯一，已知两边及其夹角知三角形有一解，D 正确.
故选：BD．
π
4．（23-24 高一下·山东济南·期中）在 △ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 = 6 3， = 3，
且该三角形有两解，则 的取值范围是 (6 3,12) .
π >
【解题思路】由正弦定理可得sin = 12，依题意可得 > 且 ≠ 2，即可得到 sin < 1 ，从而求出 的取值
范围.
3
【解答过程】由正弦定理可得sin =

sin ，即sin =
sin
2
= = ，6 3 12
π > > 6 3
因为三角形有两解，所以 > 且 ≠ 2，则 sin < 1 ，即 < 1 ，所以6 3 < < 12，
12
即 的取值范围是(6 3,12).
故答案为：(6 3,12).
5．（23-24 高一下·江西宜春·期中）在 △ 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，且(2 3 )cos = 3 cos
.
(1)求角 的大小；
(2)已知 = + 1，且角 有两解，求 的范围.
【解题思路】（1）由正弦定理可得(2sin 3sin )cos = 3sin cos 3，利用两角和差公式可得cos = ，2
即可得解；
（2）由 = + 1 sin = +1 1及正弦定理可得 2 ，因为角 的解有两个，所以角 的解也有两个，从而有2 < sin
< 1 1 < +1，2 2 < 1，求解即可.
【解答过程】（1）解：因为(2 3 )cos = 3 cos ，
由正弦定理得(2sin 3sin )cos = 3sin cos ，
所以2sin cos = 3sin( + ) = 3sin ,sin > 0，
所以cos = 3，
2
因为 ∈ (0,π)，
π
所以 = 6；
2
+1
（ ）解：将 = + 1代入正弦定理sin = sin ，得sin = sin ，
+1
所以sin = 2 ，
π
因为 = 6，角 的解有两个，所以角 的解也有两个，
1
所以2 < sin < 1，
1 +1
即2 < 2 < 1，
又 > 0，
所以 < + 1 < 2 ，
解得 > 1.
所以 的范围为(1, + ∞).
题型 9 判断三角形的形状（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·江平面苏向量镇线江性运·算期的中坐标）表示在 △ 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos = cos
，则 △ 的形状是（ ）三角形
A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角
2+ 2 2 2+ 2 2
【解题思路】利用余弦定理将等式整理得到 = ，对
2 + 2 2 = 0或 2 + 2 2 ≠ 0分类讨论
即可判断．
【解答过程】由 cos = cos ，
2 2 2 2 2 2
由余弦定理得 × + 2 = ×
+
2 ，
2+ 2 2 =
2+ 2 2
化简得 ，
当 2 + 2 2 = 0时，即 2 + 2 = 2，则 △ 为直角三角形；
当 2 + 2 2 ≠ 0时，得 = ，则 △ 为等腰三角形；
综上： △ 为等腰或直角三角形，故 D 正确．
故选：D．
2．（23-24 高一下·河北邢台·期中）在 △ 中，角 , , 的对边分别是 , , ，若sin2 + sin2 + cos2 < 1，
则 △ 的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定的
【解题思路】利用同角三角函数的平方关系将cos2 转化为sin2 ，利用正弦定理角化边，结合余弦定理可判
断角 ，即可得答案.
【解答过程】因为sin2 + sin2 + cos2 < 1，所以sin2 + sin2 < 1 cos2 ，
即sin2 + sin2 < sin2 ，由正弦定理角化边得 2 + 2 < 2，
2 2 2 2+ 2 2即 + < 0，故cos = 2 < 0．
因为0 < < π，所以 是钝角，即 △ 是钝角三角形．
故选：C.
3．（23-24 高一下·四川达州·期中）在 △ 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则下列结论正确的
是（ ）
A．若 = 45°， = 2， = 3，则 △ 有两解
B．若 2 + 2 < 2，则 △ 是钝角三角形
C．若 △ 为锐角三角形，则sin > cos

D．若cos =

cos ，则 △ 为等腰三角形
【解题思路】根据正弦、余弦定理逐项判断即可.
>
【解答过程】对 A：由 sin = 3sin45° = 6 < 2 ，所以 △ 有两解，故 A 正确；
2
对 B：由余弦定理： 2 = 2 + 2 2 cos > 2 + 2 cos < 0，
所以∠ 为钝角，即 △ 为钝角三角形，故 B 正确；
对 C：因为三角形 △ 为锐角三角形，
所以 + > 90° 90° < < 90° sin(90° ) < sin ，即cos < sin ，故 C 正确；

D = sin = sin 对 ：因为cos cos ，由正弦定理得：cos cos sin2 = sin2 ，
所以2 = 2 或2 + 2 = 180°，即 = 或 + = 90°，
所以 △ 为等腰或直角三角形，故 D 错误.
故选：ABC.
4．（23-24 + 高一下·河南三门峡·期中）已知 △ 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， = cos +cos ，
则 △ 的形状是 直角三角形 .
【解题思路】由正弦定理以及两角和的正弦公式整理可得cos (sin + sin ) = 0，进一步有cos = 0，即可
求解.
+ sin +sin
【解答过程】由正弦定理以及 = cos +cos ，可得sin = cos +cos ，
所以sin cos + sin cos = sin + sin = sin( + ) + sin( + )
= sin cos + cos sin + sin cos + cos sin ，
化简可得：cos (sin + sin ) = 0，
因为0 < < π，0 < < π，所以sin > 0，sin > 0，则cos = 0，
π
因为0 < < π，所以 = 2，则 △ 的形状是直角三角形；
故答案为：直角三角形.
5．（23-24 高一下·广东江门·期中）在 △ 中，内角 , , 所对的边分别为 ， ， ，已知 2 = 2 + 2
.
(1)求角 的大小；
(2) 3若 + = 4， △ 的面积为 ，求 的值；
2
(3)若 2 = ，判断 △ 的形状.
【解题思路】（1）已知条件利用余弦定理可求得角 的大小；
（2）由面积公式求得 = 2，又 + = 4，代入余弦定理求 的值；
π
（3）将 2 = 代入已知等式中得 = ，又 = 3，可得 △ 的形状.
【解答过程】（1）在 △ 中，已知 2 = 2 + 2 ，即 2 + 2 2 = ，
2
cos = +
2 2 1 π
由余弦定理得 2 = 2，而0 < < π，所以 = 3.
2 = 1 1 3 3（ ）因为 △ 2 sin = 2 = ，所以 = 2，2 2
又 2 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 3 = 16 6 = 10，
所以 = 10.
π
（3）由 2 = 2 + 2 及 2 = ，得( )2 = 0，则 = ，由（1）知 = 3，
所以 △ 为正三角形.
题型 10 三角形的面积问题（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
π
1．（23-24 高一下·广平东面向广量线州性·运期算的中坐标）表△示 的内角 , , 的对边分别为 ， ， .若 = 6， = 2 ， = 3，则 △
的面积为（ ）
A．6 3 B．12 3 C．6 D．12
【解题思路】利用余弦定理可得 = 2 3, = 4 3，代入面积公式运算求解即可.
1
【解答过程】由余弦定理可得： 2 = 2 + 2 2 cos ，即36 = 4 2 + 2 2 × 2 × × 2 = 3
2，
解得 = 2 3, = 4 3，
△ = 1 sin = 1 × 4 3 × 2 3 × 3所以 的面积 △ 2 2 = 62 3.
故选：A.
2．（23-24 高一下·北京·期中）在 △ 中，角 A，B，C 的对边分别是 , , , = 4,∠ = 60°，点 为边 BC
上的一点， = 2 7, = 6，则 △ 的面积为（ ）
A．6 3 B．9 3 C．14 3 D．20 3
【解题思路】根据给定条件，利用余弦定理求出 ，再利用三角形面积公式计算即得.
【解答过程】在 △ 中， = 4,∠ = 60°, = 2 7，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，
即28 = 2 +16 2 × 4 × 1，整理得 22 4 12 = 0，而 > 0，解得 = 6，
又 = 6，显然 是 中点，所以 △ 1 3的面积 △ = △ = 2 × 4 × 6 × = 6 3.2
故选：A.
π
3．（23-24 高一下·江西萍乡·期中）在 △ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 2， = 3，则 △
的面积可能为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【解题思路】由余弦定理，结合基本不等式求 的范围，再求三角形面积的取值范围.
π
【解答过程】由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos3，
即4 = 2 + 2 ≥ ，
π
所以 △ =
1
2 sin ≤
1
2 × 4 × sin3 = 3，满足条件的有 ABC.
故选：ABC.
4．（23-24 高一下·陕西安康·期中）在 △ 中， = 7， = 5， = 10，则 △ 的面积 = 2 66 .
【解题思路】利用余弦定理及同角公式求出sin ，再利用三角形面积公式计算即得.
2+ 2 2 72+52 102 13
【解答过程】在 △ 中，由余弦定理得cos = 2 = 2×7×5 = 35，
则sin = 21 cos2 = 1 ( 13 ) = 4 66，
35 35
1
所以 △ 的面积 △ = 2 sin =
1 4 66
2 × 7 × 5 × = 2 .35 66
故答案为：2 66.
5．（23-24 高一下·贵州六盘水·期中）在 △ 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且cos2 sin2
sin sin = 1 sin2 .
(1)求 B；
(2)若 = 2 3；求 △ 面积的最大值.
【解题思路】（1）由cos2 sin2 sin sin = 1 sin2 ，得1 sin2 sin2 sin sin = 1 sin2 ，由正弦
定理及余弦定理结合求解即可；
（2）由余弦定理结合重要不等式求三角形面积得最大值即可.
【解答过程】（1）因为cos2 sin2 sin sin = 1 sin2 ，
所以1 sin2 sin2 sin sin = 1 sin2 ，
即sin2 + sin2 + sin sin = sin2 ，
由正弦定理得： 2 + 2 + = 2，即 2 + 2 2 = ，
2cos = +
2 2 1 2π
所以 2 = 2 = 2，因为 ∈ (0,π)，所以 = 3 .
2 2π（ ）由（1）可知： = 3 ，又 = 2 3，
所以由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos ,
所以12 = 2 + 2 + ≥ 3 ，所以 ≤ 4，当且仅当 = = 2时，等号成立.
1 1 3
所以 △ = 2 sin ≤ 2 × 4 × = 3,2
所以 △ 面积的最大值为 3.
题型 11 距离、高度、角度测量问题（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·福平面建向量龙线岩性运·算期的中坐标）表示如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，在该河流
的一侧岸边选定 A，B 两处，在该河流的另一侧岸边选定 处，测得 = 30米，∠ = 75°,∠ = 45°，
则该河流的宽度是（ ）
A．15 + 5 3米 B．10 3 +10米 C．15 3 15米 D．10 3 10米
【解题思路】利用正弦定理求出 ，再求出 △ 边 上的高即可.
【解答过程】在 △ 中，由∠ = 75°,∠ = 45°，得∠ = 60 ，
sin75 = sin(45 + 30 ) = 2 × 3 + 2 × 1 = 6+ 22 ，2 2 2 4
30× 6+ 2
由正弦定理得 4sin∠ = sin∠ ，即 = 3 = 5(3 2 + 6)，
2
因此 △ 边 上的高为 sin∠ = 5(3 2 + 6) × 2 = 15 + 5 3，2
所以该河流的宽度是15 + 5 3米.
故选：A.
2．（23-24 高一下·安徽黄山·期中）长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经
900 多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度 ，选取与塔底
在同一水平面内的两个测量基点 与 ，现测得∠ = 30 ，∠ = 45 ， = 32m，在 点测得塔顶 的
仰角为60 ，则塔的总高度为（ ）
A．(96 32 6)m B．(96 32 3)m
C．(92 32 2)m D．(92 32 3)m

【解题思路】设 = ，则 = 3，在 △ 中，利用正弦定理求解.

【解答过程】设 = ，则 = tan60 = ，且∠ = 180° (30
+ 45 3 )，
在 △ 中，sin∠ = sin(30 + 45 ) = sin30 cos45 + cos30 sin45 = 2+ 6，4

∴
32
3
sin∠ = sin45 ，即 2+ 6 = 2，4 2
解得 = 96 32 3．
故选：B．
3．（23-24 高一下·广西钦州·期中）某校数学兴趣小组欲对当地一唐代古塔进行测量，如图是该古塔 的
示意图，其中 与地面垂直，从地面上 点看塔顶 的仰角为 ,沿直线 向外前进 米到点 处，此时看塔顶
的仰角为 ,根据以上数据得到塔高为 米，则（ ）
sin sin sin
A． = sin( )米 B． = sin( )米
sin
C = D = 1 + sin cos ． sin( )米 ． 米sin( )
【解题思路】利用正弦定理，选择合适的三角形进行求解即可求解出答案.
sin
【解答过程】对于 A，在 △ 中，由正弦定理得sin = sin( ).所以 = sin( )米，故 A 错误；
sin sin
对于 B，在Rt △ 中 = sin = sin( )米，故 B 正确；
sin
对于 C，在 △ 中，由正弦定理得sin(π ) = sin( )，所以 = sin( )米，故 C 正确；
sin cos
对于 D，在Rt △ 中， = tan = sin( )米，所以 = 1 +
sin cos
米，故 D 正确．
sin( )
故选：BCD．
4．（23-24 高一下·安徽芜湖·期中）如图，已知两座山的海拔高度 = 300米， = 100米，在 BC 同一
水平面上选一点 ，测得 点的仰角为60°, 点的仰角为30°，以及∠ = 45°，则 M，N 间的距离为
249 米.（结果保留整数，参考数据 6 ≈ 2.449, 6.2 ≈ 2.490）
【解题思路】由题意求出 , ，在 △ 中结合余弦定理计算即可求解.
300
【解答过程】由题意知， = sin60° = 3 = 200 3米， =2 sin30°
= 200米，
在 △ 中，由余弦定理得
= 2 + 2 2 cos∠
= 2002 3 + 2002 2 200 3 200 2 ≈ 62040 ≈ 100 6.2 = 249米，
2
即 , 的距离为 249 米.
故答案为：249.
5．（23-24 高一下·湖南邵阳·期中）一艘海轮从 A 出发，沿北偏东75°的方向航行( 3 1)n mile后到达海岛
B，然后从 B 出发，沿北偏东15°的方向航行 2n mile到达海岛 C.
(1)求 AC 的长；
(2)如果下次航行直接从 A 出发到达 C，应沿什么方向航行多少n mile？
【解题思路】（1）先计算出∠ = 120°，由余弦定理求出 = 6n mile；
（2）由余弦定理求出∠ = 45°，从而得到答案.
【解答过程】（1）在 △ 中，∠ = 180° 75° + 15° = 120°， = 3 1， = 2
由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos∠
2
= ( 3 1) + 22 2( 3 1) × 2cos120° = 6，解得 = 6n mile
2
2 △ cos∠ = +
2 2
（ ）在 中，由余弦定理得： 2
2
= ( 3 1) +6 2
2
= 2，
2( 3 1)× 6 2
所以∠ = 45°，又75° 45° = 30°，
因此应沿北偏东30°方向航行 6n mile即可到达 C 处.
题型 12 复数的概念（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·山平面东向量临线沂性运·算期的坐中标）表示下列几个命题，其中正确的命题的个数有（ ）
（1）实数的共轭复数是它本身
（2）复数的实部是实数，虚部是虚数
（3）复数与复平面内的点一一对应
（4）复数i是最小的纯虚数.
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据复数的共轭复数的定义判断命题（1），根据实部和虚部的定义判断命题（2），根据复
数的几何意义判断（3），根据复数的定义判断（4）.
【解答过程】因为复数 = + i ( , ∈ R)的共轭复数 = i，
若 为实数，则 = 0，此时 = ，命题（1）正确，
复数 = + i ( , ∈ R)的实部为 ，虚部为 ，
复数 = + i ( , ∈ R)的虚部是实数，（2）错误；
因为复数 = + i ( , ∈ R)在复平面上的对应点为( , )，
复平面上的点( , )对应复数 = + i，（3）正确；
复数不能比较大小，命题（4）错误，
故选：C.
2．（23-24 高一下·云南·期中）设 = 1 + 2i，则 的实部与虚部之和为（ ）
A． 1 B．2 C．1 D． 2
【解题思路】由复数实部、虚部的概念分别计算实部、虚部，求和得到答案.
【解答过程】 = 1 + 2i的实部为 1，虚部为 2，所以实部与虚部之和为 1，
故选：C．
3．（23-24 高一下·江苏泰州·期中）对于复数 = + i( , ∈ )，则下列结论中错误的是（ ）
A．若 = 0，则 + i为纯虚数 B．若 = 3 2i，则 = 3, = 2
C．若 = 0，则 + i为实数 D．若 = = 0，则 不是复数
【解题思路】A.由 = 0, = 0判断；B.由复数的实部和虚部判断；C.复数的分类判断；D.由复数的分类判断.
【解答过程】A.当 = 0, = 0时， + i为实数，故错误；
B.若 = 3 2i，则 = 3, = 2，故错误；
C.若 = 0，则 + i为实数，故正确；
D.若 = = 0，则 是实数，故错误；
故选：ABD.
4．（23-24 高一下·新疆·期中）已知( + 3) + ( 2)i = 0，则 = 1 ．
【解题思路】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为 0，则复数为 0，联立方程求解即可．
【解答过程】由( + 3) + ( 2)i = 0 + 3 = 0 = 2，得 2 = 0 ，解得 = 1 ．
故答案为：1．
5．（23-24 高一下·新疆克孜勒苏·期中）若复数 = ( 2 + 12) + ( 2 3 )i，当实数 为何值时
(1) 是实数；
(2) 是纯虚数.
【解题思路】（1）因为 是实数，所以虚部为0，解出 的值；
（2）因为 是纯虚数，所以实部为0且虚部不为0，解出 的值.
【解答过程】（1）因为 是实数，所以 2 3 = 0，解得 = 0或3，从而 = 0或3时， 是实数.
2
2 + 12 = 0 = 4 3（ ）因为 是纯虚数，所以 或 2 3 ≠ 0 解得 ≠ 0 ≠ 3 所以 = 4，且
所以 = 4时， 是纯虚数.
题型 13 复数的几何意义（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·云平面南向量曲线靖性运·算期的中坐标）表示复数 = (2 ) + ( 1)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的
取值范围是（ ）
A．(2, + ∞) B．(0, + ∞) C．( ∞,1) D．( 1, + ∞)
【解题思路】根据复数的几何意义即可得解.
2 < 0 > 2【解答过程】根据题意得 1 > 0 > 1 > 2 ，
所以实数 的取值范围是(2, + ∞).
故选：A.
2．（23-24 高一下·广东清远·期中）已知复数 = 3 4i，则（ ）
A． 的虚部为 4i B．| | = 3 + 4i
C． = 3 + 4i D． 在复平面内对应的点在第三象限
【解题思路】根据复数虚部、共轭复数、模和对应点坐标所在象限的知识，选出正确选项.
【解答过程】复数 = 3 4i的虚部为 4，故 A 不正确；
| | = |3 4i| = 32 + ( 4)2 = 5，故 B 不正确；
= 3 + 4i，故 C 正确；
在复平面内对应的点的坐标为(3, 4)，位于第四象限，故 D 不正确.
故选：C.
3．（23-24 高一下·安徽阜阳·期中）已知复数 = 2 1 + ( + 1)i( ∈ )，则下列命题正确的是（ ）
A．若 为纯虚数，则 = 1
B．若 为实数，则 = 0
C．若 在复平面内对应的点在直线 = 2 上，则 = 1
D． 在复平面内对应的点不可能在第三象限
【解题思路】首先得到复数的实部与虚部，再根据复数的类型求出参数的值，即可判断 A、B，根据复数的
几何意义判断 C、D.
【解答过程】复数 = 2 1 + ( + 1)i( ∈ )的实部为 2 1，虚部为 + 1，
复数 在复平面内对应的点的坐标为( 2 1, + 1)，
A
2 1 = 0
对于 ：若 为纯虚数，则 + 1 ≠ 0 ，解得 = 1，故 A 正确；
对于 B：若 为实数，则 + 1 = 0，解得 = 1，则 = 0，故 B 正确；
对于 C：若 在复平面内对应的点在直线 = 2 上，
所以 + 1 = 2 3( 2 1)，解得 = 1或 = 2，故 C 错误；
2
D 1 < 0 1 < < 1对于 ：令 + 1 < 0 ，即 < 1 ，不等式组无解，
所以 在复平面内对应的点不可能在第三象限，故 D 正确.
故选：ABD.
4．（23-24 高一下·广东惠州·期中）在复平面内，把与复数3 3i对应的向量绕原点 O 按顺时针方向旋转
90°后，则所得向量对应的复数为 3 3i （用代数形式表示）.
【解题思路】根据复数的几何意义，结合三角形计算即可.
【解答过程】
如图所示，复数3 3i对应的向量 = (3, 3),则∠ = 30°,| | = 32 + 32 = 2 3,
绕原点 按顺时针方向旋转 90°，得向量 ,则∠ = 60°,| | = | | = 2 3,
则向量 = ( 3, 3),对应的复数为 3 3i.
故答案为： 3 3i.
5．（23-24 高一下·江苏苏州·期中）复数平面内表示复数 = ( 2 8 + 15) + ( 2 5 14)i的点分别满足
下列条件：
(1)位于第四象限；
(2)位于第一象限或第三象限；
(3)位于直线 = 上．求实数 的取值范围．
【解题思路】（1）结合复数的几何意义与第四象限的点的特点计算即可得；
（2）结合复数的几何意义与第一象限或第三象限的点的特点计算即可得；
（3）由题意可得 2 8 + 15 = 2 5 14，计算即可得.
【解答过程】（1）由题意，复数 在复平面内对应的点为( 2 8 + 15, 2 5 14)．
2
8 + 15 > 0 > 5或 < 3当点位于第四象限时，则 2 5 14 < 0 ，即 2 < < 7 ，
故 2 < < 3或5 < < 7；
（2）当点位于第一象限或第三象限时，
则( 2 8 + 15)( 2 5 14) > 0，
即( 3)( 5)( 7)( + 2) > 0，
故 < 2或3 < < 5或 > 7．
（3）当点位于直线 = 上，则 2 8 + 15 = 2 5 14 29，解得 = 3 ．
题型 14 复数的四则运算（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
3
1．（23-24 高一下·湖平面北向量·期线性中运算的坐 1 i）已标知表示i为虚数单位，复数 = 3+4i9，则 = （ ）
A 7 i B 7+i 1 7i 1+i． 25 ． 25 C． 25 D． 25
【解题思路】结合复数的四则运算进行求解即可.
= 1 i
3
= 1 ( i)
(1+i)(3 4i) 7 i
【解答过程】由 3+4i9 3+4i = (3+4i)(3 4i) = 25 ，
故选：A.
2．（23-24 高一下·湖北· 1+ i期中）已知复数 = 1 i ，其中i为虚数单位， ∈ R，若 为纯虚数，则复数 +
在复平面内对应的点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【解题思路】先化简复数，再根据复数为纯虚数求参，最后求出 + 的对应点即可.
(1+ i)(1+i) (1 )+(1+ )i
【解答过程】因为 = (1 i)(1+i) = 2 ，
若 z 为纯虚数，则1 = 0，即 = 1，
则 = i, + = 1 + i在复平面内对应的点为(1,1),
则复数 + 在复平面内对应的点在第一象限.
故选：A.
3．（23-24 高一下·安徽黄山·期中）已知复数 = 1 3i1+i （i是虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A．复数 的虚部等于 2i B． = 5
C． + = 2 D．若 是实数， + 是纯虚数，则 = 1
【解题思路】先化简复数 ，然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共轭复数，及复数的运算逐项判定，即可
求解.
1 3i (1 i)(1 3i)
【解答过程】由题意，复数 = 1+i = (1 i)(1+i) = 1 2i，
对于 A 项： = 1 2i，所以复数 的虚部等于 2，故 A 错误；
对于 B 项： = | |2 = 5，故 B 错误；
对于 C 项： + = ( 1 2i) + ( 1 + 2i) = 2，故 C 正确；
对于 D 项：因为 + 是纯虚数且 是实数，即 1 2i为纯虚数，所以 1 = 0，解得 = 1，故 D 正确．
故选：CD.
2
4．（23-24 5(4+i)高一下·天津河北·期中）已知i是虚数单位，化简 2+i 的结果为 38 + i .
【解题思路】利用复数乘除运算法则计算即可求得结论.
5(4+i)2 5(16+8i+i2) 5(15+8i)(2 i)
【解答过程】 2+i = 2+i = (2+i)(2 i) = (15 + 8i)(2 i) = 30 + 16i 15i 8i
2 = 38 + i.
故答案为：38 + i.
5．（23-24 高一下·河南商丘·期中）已知复数 1 = 4 + i( ∈ )，且 1 (1 2i)为纯虚数.
(1)求复数 1；

= 1(2)若 2 (1 i)2，求复数 2及| 2|.
【解题思路】（1）根据 1 = 4 + i( ∈ )和 1 (1 2i)为纯虚数列关于 的方程组求解 ，求出复数 1；
（2）求出 1，求出 2，求出 2，求出| 2|.
【解答过程】（1）由 1 = 4 + i( ∈ )，所以(4 + i) (1 2i) = 4 + 2 + ( 8)i，
又 1 (1 2i)
4 + 2 = 0
为纯虚数，所以 8 ≠ 0 ，
解得 = 2，所以复数 1 = 4 2i；
4+2i (4+2i) 2i
（2）由（1 4+2i）知 1 = 4 + 2i，所以 2 = (1 i)2 = 2i = ( 2i) 2i = 1 + 2i，
故 2 = 1 2i，| 2| = ( 1)2 + 22 = 5.
题型 15 基本立体图形（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·山平面西向量太线原性运·算期的坐中标）表示下列结论不正确的是（ ）
A．三棱锥是四面体 B．长方体是平行六面体
C．正方体是直四棱柱 D．四棱柱是平行六面体
【解题思路】利用四面体的定义判断 A；利用平行六面体的定义判断 BD；利用直四棱柱的定义判断 C．
【解答过程】对于 A，三棱锥是四面体，故 A 正确；
对于 B，长方体是平行六面体，故 B 正确；
对于 C，正方体是直四棱柱，故 C 正确；
对于 D，四棱柱的底面不一定是平行四边形，
∴ 四棱柱不一定是平行六面体，故 D 错误．
故选：D．
2．（23-24 高一下·浙江·期中）下列四个命题中正确的是（ ）
A．每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体
C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
【解题思路】根据题意，举出反例可得 AB 错误，由圆柱、圆锥的定义分析 CD，综合可得答案．
【解答过程】根据题意，依次分析选项：
对于 A，如图：
在三棱锥 中，有 = = = = ， = = ，
该每个面都是等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥，A 错误；
对于 B，底面为菱形的直四棱柱，其侧棱与底面边长相等，
该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，B 错误；
对于 C，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，C 正确；
对于 D，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做
圆锥，D 错误．
故选：C．
3．（23-24 高一下·山西大同·期中）下列说法正确的是（ ）
A．一个多面体至少有 4 个面
B．圆柱的母线与它的轴可以不平行
C．用任意一个平面截球得到的截面都是一个圆面
D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
【解题思路】根据多面体和旋转体的定义判断即可．
【解答过程】对于 A，多面体至少有 4 个面，故 A 正确；
对于 B，圆柱的母线与它的轴平行，故 B 错误；
对于 C，用任意的平面截一个球得到的截面都是一个圆面，故 C 正确；
对于 D，满足条件的几何体可能是组合体，如图所示，故 D 错误．
故选：AC．
4．（23-24 高一下·山东聊城·期中）五棱台的顶点数为 ，棱数为 ，面数为 ，则 + = 2 ．
【解题思路】根据题意，由棱台的结构特征求出 、 、 的值，计算可得答案．
【解答过程】解：根据题意，五棱台中， = 10， = 15， = 7，
则 + = 2．
故答案为：2．
5．（23-24 高一下·安徽·期中）（1）如图 1，底面半径为 1cm，高为 3cm 的圆柱，在点 A 处有一只蚂蚁，
现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点 A 爬到点 B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π 取 3）；
（2）如图 2，在长方体 1 1 1 1中，M 是 CC1的中点， = 1 = 4cm， = 3cm，一只蚂蚁从
点 A 出发沿长方体表面爬行到点 M，求蚂蚁爬行的最短路线长.
【解题思路】（1）根据题意，把圆柱侧面沿过点 A 的母线剪开，然后展开成为矩形，由此分析可得答案；
（2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，分 3 种情况讨论，求出 AM 的值，比较可得答案.
【解答过程】解：（1）根据题意，把圆柱的侧面沿过点 A 的母线剪开，然后展开成为矩形，如图所示，
连接 AB，则 AB 就是为蚂蚁爬行的最短距离，
因为 ＝3 , ＝π × 1＝3 ，
所以 = 2 + 2 = 32 + 32 = 3 2(cm)，
所以蚂蚁爬行的最短路线长为3 2 ；
（2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法，
①如图 1，以 DC 为轴展开，
此时 = 42 + (3 + 2)2 = 41 ，
②如图 2.以 BC 为轴展开，
此时， = (4 + 2)2 + 32 = 3 5 ，
③如图 3、以 BB1为轴展开，
此时 = 22 + (4 + 3)2 = 53 ，
综上，蚂蚁爬行的最短路线长为 41 .
题型 16 空间几何体的表面积和体积（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·浙平面江向量·期线性中运算）的坐已标知表示圆台的上，下底面的半径长分别为 2，3，母线长 2，则其体积为（ ）
A．5 3 B 19 3π． C．5 3π D．10π3
【解题思路】根据题意，利用圆台的性质，求得圆台的高，结合圆台的体积公式，即可求解.
【解答过程】由题意知，圆台的上，下底面的半径长分别为 2，3，母线长 2，
设圆台的高为 ，可得 = 22 (3 2)2 = 3，
= 1 1 + + = (4π + 4π 9π + 9π) 3 = 19 3π所以圆台的体积为 3 1 1 2 2 3 .3
故选：B.
2．（23-24 高一下·山东青岛·期末）底面边长为 3 的正四棱锥被平行底面的平面所截，截去一个底面边长为
1，高为 1 的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ）
A 26 B 38． 3 ． 3 C．13 D．26
【解题思路】画出直观图，由题意可得 △ 1 1∽ △ ，从而可求出棱台的高，再根据棱台的体积公式求
解即可.
【解答过程】如图所示，正四棱锥 被平行于底面的平面 1 1 1 1所截，
由题意可知 = 3, 1 1 = 1, 1 = 1，
因为 1 1∥ ，所以 △ 1 1∽ △ ，
1
1 = 1 1

= 2 1
1 = 1 1 = 2 = 1所以 1 ，
2 3 2 3
所以 = 3，所以 1 = 2，
1
所以所得棱台的体积为3 × (1 + 9 + 1 × 9) × 2 =
26
3 .
故选：A.
3．（23-24 高一下·福建三明·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2
相等，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为2π 2
B 3．圆柱与球的表面积之比为2
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:2
【解题思路】根据圆柱、圆锥、球的表面积、体积公式计算可得.
【解答过程】对于 A：圆锥的母线 = (2 )2 + 2 = 5 ，所以圆锥的侧面积 1 = π = 5π 2，故 A 错
误；
对于 B：圆柱的侧面积 2 = 2 π × 2 = 4π 2，则圆柱的表面积 = +2π 23 2 = 6π 2，
2
球的表面积 4 = 4π 2
6π 3
，所以圆柱与球的表面积之比为4π 2 = 2，圆柱的侧面积与球的表面积相等，故 B、C
正确；
对于 D：圆柱的体积 21 = π × 2 = 2π 3
1 2 2，圆锥的体积 32 = 3π × 2 = 3π ，
球的体积 3 =
4
3π
3，
所以圆柱、圆锥、球的体积之比为 1: 2: 23 = (2π 3): π 3 : 4 π 3 = 3:1:2，故 D 正确.3 3
故选：BCD.
4．（23-24 2高一下·吉林·期中）如图所示，在三棱柱 1 1 1中，若点 E，F 分别满足 = 3 ， =
2 1 19
3 ，平面 1 1 将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为 1和 2，则 ＝ 2 8 .
【解题思路】先计算三棱柱 1 1 1的体积 = ，再得出三棱台 1 1 1的体积 1，从而根据
= = 82 1 27 ，即可求解.
【解答过程】在三棱柱 1 1 1中，设 △ 的面积为 S，三棱柱 1 1 1的高为 h，
= = 2 2则三棱柱 1 1 1的体积为 ，由 3 ， = 3 ，
2 4
得 // ，则 △ ∽△ ，且 = 3，于是 △ 的面积为 1 = 9 ，
1 19 8
则三棱台 1 1 1的体积为 1 = 3 ( 1 + + 1 ) = 27 ，从而 2 = 1 = 27 ，
191 = 27 = 19所以 8 8 .2 27
19
故答案为： 8 .
5．（23-24 高一下·贵州六盘水·期中）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能
在亭子里休息、避雨、乘凉（如图 1）.某学生到工厂劳动实践，利用3 打印技术制作一个亭子模型（如图
2），该模型为圆锥 1与圆柱 1构成的几何体Ω（圆锥 1的底面与圆柱 1的上底面重合）.已知圆锥 1
8
的高为 18cm，母线长为 30cm，其侧面展开图是一个圆心角为 5 的扇形，AB 为圆锥的底面直径.圆柱 1的
高为 30cm，DC 为圆柱下底面的直径，且 = 40cm.
(1)求圆锥 1的侧面积；
(2)求几何体Ω的体积.
【解题思路】（1）由勾股定理求出圆锥底面半径，然后由侧面积公式求解即可；
（2）分别求出圆锥，圆柱的体积，然后求和即可求出几何体Ω的体积.
【解答过程】（1）因为圆锥 1的高为 18cm，母线长为 30cm，
所以圆锥底面半径为 = 302 182 = 24cm，
所以圆锥 1的侧面积为π = π × 24 × 30 = 720π(cm2)
（2）由（1）可知，圆锥 1的体积为：
1 21=3 × π × 24 × 18 = 3456π(cm
3)，
圆柱 的体积为： =π × 2021 2 × 30 = 12000π(cm3)，
所以几何体Ω的体积为： 1 + 2 = 3456π+12000π = 15456π(cm3).
题型 17 点共线、线共面问题（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·河平面南向量开线封性运·算期的坐中标）表示如图，在正方体 1 1 1 1中， 为棱 1 1的靠近 1上的三等分
点.设 与平面 1 1 的交点为 ，则（ ）
A．三点 1, , 共线，且 = 2 1
B．三点 1, , 共线，且 = 3 1
C．三点 1, , 不共线，且 = 2 1
D．三点 1, , 不共线，且 = 3 1
【解题思路】连接 1， 1利用公理 2 可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果.
【解答过程】连接连接 1， 1，
∵ ∈ 直线 , 平面 1 1, ∴ ∈ 平面 1 1.
又 ∵ ∈ 平面 1 1 ，平面 1 1 ∩ 平面 1 1 = 1, ∴ ∈ 直线 1
∴三点 1, , 共线.
∵△ △ 1 , ∴ : 1 = : 1 = 3:1, ∴ = 3 1.
故选：B.
2．（23-24 高一下·湖北黄冈·期中）如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，AD 的中点， ,
分别在 ，CD 上，且 : = : = 1:2.则下面几个说法中正确的个数是（ ）
①E，F，G，H 四点共面；② // ;③若直线 EG 与直线 FH 交于点 P，则 P，A，C 三点共线．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】推导出 // ， // ，从而 // ，由此能证明 E，F，G，H 四点共面； ≠ ，从
而直线 EG 与直线 FH 必相交，设交点为 P，证明 P 点在直线 上．
【解答过程】如图所示，
E 1，F 分别为 AB，AD 的中点，∴ // ， = 2 ，
, 分别在 ，CD 上，且 : = : = 1:2，∴ // ， = 23 ，
∴ // ，则 E，F，G，H 四点共面，说法①正确；
∵ > ，四边形 是梯形， // 不成立，说法②错误；
若直线 与直线 交于点 P，则由 ∈ ， 平面 ，得 ∈ 平面 ，
同理 ∈ 平面 ，又平面 ∩ 平面 = ， ∈
∴则 P，A，C 三点共线，说法③正确；
说法中正确的有 2 个.
故选：C.
3．（23-24 高一下·山西大同·期中）已知正方体 1 1 1 1中， 为 1 1的中点，直线 1 交平面 1
1于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． , , 三点共线 B． , , , 1四点共面
C． , , , 四点共面 D． , 1, , 四点共面
【解题思路】根据基本事实和推论判断.
【解答过程】
连接 1 1， ， ，因为 为 1 1的中点，所以 1 1 ∩ 1 1 = ，平面 1 1 ∩ 平面 1 1 = ，
因为 1 ∩ 平面 1 1 = ， 1 平面 1 1 ，所以点 是平面 1 1 和平面 1 1的交点，
所以 ∈ ， ， ， 三点共线，故 A 正确；
因为 ， ， 三点共线，所以 ， ， ， 1四点共面， ， ， ， 四点共面，故 BC 正确；
取 中点 1 11，连接 1交 1 于点 ，由题意得 △ 1 ∽△ ， = 2，
1 = 1所以 2，即 为 1 的三等分点，因为 ， 1， 不共线， , 1, ∈ 平面 1 1 ，平面 1 1 ∩ 1
= ， 为 1 的中点，
所以点 平面 1 1 ， ， 1， ， 四点不共面，故 D 错.
故选：ABC.
4．（23-24 高一下·安徽合肥·期中）如图所示． 1 1 1 1是正方体，O 是 1 1的中点，直线 1 交
平面 1 1于点 M，给出下列结论：
①A、M、O 三点共线； ②A、M、O、 1不共面：
③A、M、C、O 共面； ④B、 1、O、M 共面，
其中正确的序号为 ①③ ．
【解题思路】由公理 1 判断①，由公理 2 判断②和③，用反证法判断④
【解答过程】连接 1 1，因为 是 1 1的中点，所以 ∈ 1 1，
平面 1 1与平面 1 1 有公共点 A 与 ，则平面 1 1 ∩ 平面 1 1 = ，
对于①， ∈ 1, 1 平面 1 1 ，则 ∈ 平面 1 1 ，因为 ∈ 平面 1 1，则 ∈ ，即 A，M，O
三点共线，所以①正确，
对于②③，由①知 A，M，O 三点共线，所以 A，M，O， 1共面，A，M，C，O 共面，所以②错误，③
正确；
对于④，连接 ，则 , 1, 都在平面 1 1 上，若 ∈ 平面 1 1 ，则直线 平面 1 1 ，所以 ∈
平面 1 1 ，显然 平面 1 1 ，所以④错误，
故答案为：①③.
5．（23-24 高一下·安徽滁州·期中）如图， 为空间四边形，点 、 分别是 、 的中点，点 、 分
别在 、 上，且 = 1 13 ， = 3 ．求证：
(1) 、 、 、 四点共面；
(2) 、 必相交且交点在直线 上．
【解题思路】（1）根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面；
（2）结合面面位置关系可得证.
【解答过程】（1）
连接 、 ， ，
由 ， 分别为 ， 中点，则 // ，
又 = 1 13 ， = 3 ，则 // ，
∴ // ，
∴ 、 、 、 四点共面.
（2）
= 1 = 1由 3 ， 3 ，
易知 = 13 ，
又 ， 分别为 ， 中点，即 = 12 ，
∴ ≠ ，
结合（1）的结论可知，四边形 是梯形，因此直线 、 不平行，
设它们交点为 ， ∈ 平面 ，同理 ∈ 平面 ，
又平面 ∩ 平面 = ，因此 ∈ ，
即 、 必相交且交点在直线 上．
题型 18 空间中的线面位置关系（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·福平面建向量厦线门性运·算期的坐中标）表示设 m，n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列四
个命题：
①若 // ， // ，则 //
②若 // ， // ， ⊥ 则 ⊥
③若 ⊥ ， // ，则 ⊥
④若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【解题思路】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系，结合线面垂直的性质，逐项分析判断即可．
【解答过程】对于①， // 且 // 成立， , 可能平行，异面或者相交，①错误；
对于②，由 // 且 // ，得 // ，又 ⊥ ，则 ⊥ ，②正确；
对于③，由 // ，得存在过直线 与平面 相交的平面，令交线为 ，则 // ，
而 ⊥ ，于是 ⊥ ， ⊥ ，③正确；
对于④，若 ⊥ ， ⊥ ， , 可能平行，也可能相交，④错误.
故选：B.
2．（23-24 高一下·江苏无锡·期中）正四面体 中， , , , 分别是棱 , , , 的中点，则不正确
的选项为（ ）
A． //平面 B． ⊥
C． ⊥ 平面 D． , , , 四点共面
【解题思路】选项 A，根据条件得到 // ，利用线面平行的判定定理，即可判断出选项 A 的正误；选项
B，根据条件得到 ⊥ 面 ，利用线面垂直的性质，即可判断出选项 B 的正误；对于选项 C，根据条件
得到 // ，而 不垂直 ，即可判断选项 C 的正误；对于选项 D，利用 // ，即可判断选项 D 的正
误.
【解答过程】将正四面体 放置到正方体中，
对于选项 A，如图 1，因为 , 上棱 , 的中点，所以 // ，
又 面 ， 面 ，所以 //平面 ，所以选项 A 正确，
对于选项 B，如图 2，取 中点 ，连接 , ，因为四面体 是正四面体，
所以 ⊥ , ⊥ ，又 ∩ = ， , 面 ，
所以 ⊥ 面 ，又 面 ，所以 ⊥ ，故选项 B 正确，
对于选项 C，如图 3，由选项 A 知， // ，又 △ 是等边三角形，所以 与 不垂直，
故 与 不垂直，若 ⊥ 平面 ，又 平面 ，则 ⊥ ，所以选项 C 错误，
对于选项 D，如图 3，因为 , 是 , 的中点，所以 // ，又 // ，
所以 // ，故 , , , 四点共面，所以选项 D 正确，
故选：C.
3．（23-24 高一下·浙江·期中）已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2，棱 AB，BC 的中点分别为 E，F，
点 在上底面 1 1 1 1上（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．存在点 ，使得平面 //平面 1 1
B．不存在点 ，使得直线 1//平面 EFG
C．三棱锥 的体积不变
D．存在点 ，使得 ⊥ 平面 1
【解题思路】取 1 1的中点 与 E，F 构成平面 EFG，利用面面平行的判定定理证明，即可判断 A，分别取
1 1, 1 1, 1, 1的中点 , , , ，与 E，F 构成正六边形，利用线面平行判定定理证明，即可判断 B，求
出三棱锥的体积即可判断 C，当点 与点 1重合时，有 ⊥ 平面 1，利用线面垂直性质定理和判定定理
证明，即可判断 D.
【解答过程】对于A，取 1 1的中点 与 E，F 构成平面 EFG（如图），
因为棱 AB，BC 的中点分别为 E，F，所以 // ，
因为 平面 1 1， 平面 1 1，所以 //平面 1 1，
又棱 AB， 1 1的中点分别为 E，G，所以 // 1，
因为 平面 1 1， 1 平面 1 1，所以 //平面 1 1，
又 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 //平面 1 1，故 A 正确；
对于B，分别取 1 1, 1 1, 1, 1的中点 , , , ，与 E，F 构成正六边形（如图），
因为棱 1， 1 1的中点分别为 M，N，所以 // 1，
因为 1 平面 ， 平面 ，所以 1//平面 ，
此时点 G 的轨迹为线段 NP，故 B 错误．
对于C，因为点 到下底面 ABCD 的距离不变为正方体的棱长 2，
三角形 1 1面积为2 × 1 × 1 = 2，
所以三棱锥 1 1 1的体积不变，为3 × 2 × 2 = 3，故 C 正确；
对于D，当点 与点 1重合，连接 1，可得 ⊥ 平面 1，（如图），
下证： 1 ⊥ 平面 1，
由正方体 1 1 1 1中可得 1 ⊥ 平面 ，
因为 平面 ，所以 1 ⊥ ，
因为底面 为正方形，所以 ⊥ ，
因为 ∩ 1 = , , 1 平面 1 1，所以 ⊥ 平面 1 1.
因为 1 平面 1 1，所以 1 ⊥ ，
由正方体 1 1 1 1中可得 1 1 ⊥ 平面 1 1，
因为 1 平面 1 1，所以 1 1 ⊥ 1，
因为侧面 1 1为正方形，所以 1 ⊥ 1，
因为 1 1 ∩ 1 = 1, 1 1, 1 平面 1 1 ，所以 1 ⊥ 平面 1 1 .
因为 1 平面 1 1 ，所以 1 ⊥ 1 ，
又因为 1 ∩ = , 1, 平面 1，所以 1 ⊥ 平面 1，故 D 正确．
故选：ACD.
4．（23-24 高一下·吉林长春·期中）已知 , 为两个不同的平面， , 为两条不同的直线，下列说法正确的是
①④ ．
① // ， // ， // ② ⊥ ， ⊥ //
③ // ， ， // ④ // ， ⊥ ， // ⊥
【解题思路】利用线面平行、线面垂直及面面平行的性质逐一判断各个命题即得.
【解答过程】对于①，由 // ，得存在过 的平面与 相交，令交线为 ，则 // ，而 // ，
于是 // ，又 ，因此 // ，①正确；
对于②， ⊥ ， ⊥ ， 可能在 内，②错误；
对于③， // ， ， ， , 可以是异面直线，③错误；
对于④，由 // ，得存在过 的平面与 相交，令交线为 ，则 // ，
由 // ， ⊥ ，得 ⊥ ，则 ⊥ ，因此 ⊥ ，④正确.
故答案为：①④.
5．（23-24 高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形， = ，E 为侧棱
PD 上的点，且 = 3 .
(1)证明： ⊥ ；
(2) PC F // 在侧棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）设 交 AC 于点 O，由题意可得 PO⊥AC， ⊥ ，可证得 ⊥ 平面 ，进而证得
结论.
2 2（ ）在线段 PE 取一点 G，使得 = ，由题意可得 = 3，可证得 //平面 ，进而可得平面 //
平面 ，再证得 // ，可得 的值.
【解答过程】（1）设 交 于点 O，连接 ，正方形 中，则 = ， ⊥ ，
又 = ，则 ⊥ ，又 ∩ = , , 平面 ，
因此 ⊥ 平面 ，而 平面 ，
所以 ⊥ .
（2）侧棱 上存在一点 F，满足条件，
证明如下：如图，正方形 中， = ，
在线段 取一点 G，使得 = ，由 = 3 2，得 = 3，
连接 , ，则 // ，而 平面 ， 平面 ，
则 //平面 ，由 //平面 ， ∩ = ， , 平面 ，
得平面 //平面 ，而平面 ∩ 平面 = ，平面 ∩ 平面 = ，
于是 // 2， = = 3，
3
所以 ＝2.
题型 19 空间角（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·吉平面林向量长线春性运·算期的坐中标）表示已知三棱柱 1 1 1的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，点 是
侧面 1 1 的中心，则 与平面 所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．150°
【解题思路】先根据题意作出三棱柱，取 的中点 ，连接 ， ，得到∠ 为所求的线面角，再设三
棱柱 1 1 1的棱长为 2，求出tan∠ ，即可得出结果.
【解答过程】如图所示，取 的中点 ，连接 ， ，则 // 1，又 1 ⊥ 平面 ，
于是 ⊥ 平面 ，∠ 为 与平面 所成的角，
设三棱柱 1 1 1的棱长为 2，则 = 1, = 3，
在Rt △ 中，tan∠ = =
3
，所以∠ = 30 .
3
故选：A.
2．（23-24 高一下·山东青岛·期中）如图，在正方体 1 1 1 1中，下列结论错误的为（ ）
π
A．直线 1与直线 1 所成的角为2
π
B．直线 1与平面 1 1 1 1所成的角为4
C．直线 1 ⊥ 平面 1
π
D．平面 1 1 与平面 所成的二面角为6
【解题思路】对 A，证明直线 1 ⊥ 平面 1 即可；对 B，根据线面角的定义，根据直线 1与平面 1 1 1
1所成的角为∠ 1 1即可；对 C，根据线面垂直的判定证明即可；对 D，根据二面角的定义可得平面 1 1
与平面 所成的二面角为∠ 1 1即可.
【解答过程】对 A，连接如图，由正方体性质可得 1 ⊥ 1，且 ⊥ 平面 1 1， 1 平面 1 1，
故 ⊥ 1.
又 1 ∩ = ， 1 , 平面 1 ，故 1 ⊥ 平面 1 .
又 1 平面 1 ，故 1 ⊥ 1 .
π
故直线 1与直线 1 所成的角为2，故 A 正确；
对 B，因为 1 ⊥ 平面 1 1 1 1，故直线 1与平面 1 1 1 1所成的角为∠ 1 1 = 45°，故 B 正确；
对 C，连接如图，由正方体性质可得 ⊥ ，且 1 ⊥ 平面 ， 平面 ，故 ⊥ 1.
又 ∩ 1 = ， , 1 平面 1，故 ⊥ 平面 1.
又 1 平面 1 ，故 ⊥ 1 .
同理 1 ⊥ 1 ，又 1 ∩ = ， 1, 平面 1 ，故 1 ⊥ 平面 1 ，故 C 正确；
对 D，平面 1 1 与平面 交于 ，且 ⊥ ， ⊥ 1 ，故平面 1 1 与平面 所成的二面
角为∠ 1 1 = 45°，故 D 错误.
故选：D.
3．（23-24 高一下·河北邯郸·期中）如图所示，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，M，N 分别为 1
1， 1 的中点，其中不正确的结论是（ ）
A．直线 MN 与 AC 所成的角为60° B．直线 AM 与 BN 是平行直线
C．二面角 的平面角的正切值为 2 D．点 C 与平面 MAB 的距离为 2
【解题思路】利用线线平行结合异面直线的夹角即可求解 A，由异面直线的性质即可求解 B，根据二面角的
定义可得其平面角，即可根据三角形的边角关系求解 C，根据等体积法即可求解 D.
【解答过程】对于 A，连接 1， ∵ // 1，则直线 与 所成角为∠ 1或其补角，
∴△ 1为等边三角形， ∴ ∠ 1 = 60°， ∴ 直线 与 所成角为60°，故 A 对；
对于 B，取 1中点为 ，连接 ，由于 // ，而 , 相交，所以直线 ， 异面，故 B 错误；
对于 C，连接 , 相交于 ，连接 ,
由于 = = 22 + 12 = 5，所以 ⊥ , ⊥ ,
所以∠ 为二面角 的平面角，
1
在Rt △ 中，tan∠ = = =
2
2 ，故 C 错误，2
对于 D， = = 12 + 1 2 = 3，设 到平面 的距离为 ，
1 ×2×2×2
由 △ 1 2 = 得 = = 1 ×2 32 12 = 2，故 D 正确，△ 2
故选：BC.
4．（23-24 高一下·天津·期中）如图，边长为 4 的正方形 所在平面与正三角形 所在平面互相垂直，
为 的中点．二面角 的正切值为 6 ．
【解题思路】利用面面垂直性质证明得出线面垂直，作出二面角的平面角并利用勾股定理求得线段长度，
即可得出二面角 的正切值.
【解答过程】依题意平面 ⊥ 平面 ，且平面 ∩ 平面 = ， 平面 ，
易知 ⊥ ，因此可得 ⊥ 平面 ，
过点 作 ⊥ 于点 ，连接 ，如下图所示：
由 ⊥ 平面 ，又 , 平面 ，所以 ⊥ , ⊥ ，
又 ⊥ ，且 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ， 平面 ，可得 ⊥ ；
即可得∠ 即为二面角 的平面角；
显然∠ = 45 ，且 = 4，三角形 为正三角形，所以 = 2 3, = sin45 = 2；

在Rt △ 中，tan∠ = 2 3 = = 6.2
即二面角 的正切值为 6.
故答案为： 6.
5．（23-24 高一下·内蒙古兴安盟·期末）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ⊥ 平面
，且 = = 2.
(1)求直线 与平面 所成角的余弦值；
(2)求二面角 的大小.
【解题思路】（1）由已知可证得 ⊥ 平面 ，所以∠ 为直线 与平面 所成的角，然后在Rt △
中求解即可；
（2）连接 交 于点 ，过点 作 ⊥ 于点 ，连接 ，则可得∠ 是二面角 的平面角，
然后在 △ 中求解即可.
【解答过程】（1）在正方形 中，有 ⊥ ，
因为 ⊥ 平面 , 面 ，所以 ⊥ ，
又因为 平面 , 平面 , ∩ = ，
所以 ⊥ 平面 ，
所以∠ 为直线 与平面 所成的角，
在Rt △ 中， = 2 + 2 = 22 + 22 = 2 2，
在Rt △ 2中， = 2 + 2 = (2 2) + 22 = 2 3，
cos∠ = =
2 2 = 6，
2 3 3
所以直线 6与平面 所成角的余弦值为 ；
3
（2）连接 交 于点 ，
在正方形 中，有 ⊥ ，
因为 ⊥ 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 平面 , 平面 , ∩ = ，
所以 ⊥ 平面 ，所以 ⊥ ，
在 △ 中，过点 作 ⊥ 于点 ，连接 ，
因为 平面 , 平面 , ∩ = ，
所以 ⊥ 平面 ，所以 ⊥ ，
则∠ 是二面角 的平面角，
在 △ 中， = 2 2, = 2, = 2 3，
= × 2 2×2 2 6 2 6则 = = ，同理可求得 = ，2 3 3 3
在 △ 中， = 2 2, = = 2 6，3
2 2 2 8+8 + 8cos∠ = 3 32 = 2× 8 =
1
2，
3
因为∠ ∈ [0,π) ∠ = 2，所以 3π，
2
则二面角 的大小为3π.
题型 20 点、线、面距离问题（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·河平面南向量郑线州性运·算期的中坐标）表示如图，直三棱柱 1 1 1的体积为4， △ 1 的面积为2 2，则点
到平面 1 的距离为（ ）
A．4
B．3 2
C．2
D． 2
【解题思路】利用等体积法即可求点 到平面 1 的距离．
【解答过程】解：由直三棱柱 1 1 1的体积为4，
1 4
可得 1 = 3 1 1 1 = 3，
设 到平面 1 的距离为 ，
由 1 4 1 = 1 得3 △ 1 = 3
∴ 13 × 2
4
2 = 3，解得 = 2．
故选：D．
2．（23-24 高一下·福建厦门·期中）柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，
结构等价的特点．如图是棱长均为 2 的柏拉图多面体 PABCDQ，已知四边形 ABCD 为正方形，O，E 分别为
PQ，CQ 的中点，则点 A 到平面 OEB 的距离为（ ）
A 1 1． 2 B．1 C．2 D．4
【解题思路】由三棱锥等体积法，可得 = ，运算得解.
【解答过程】连接 , ，如图所示.因为 , 分别为 , 的中点，
所以 为 △ 的中位线，所以| | = 1，
因为 为正三角形 的中线，所以| | = 3，| | = 2,
所以| |2 = | |2 +| |2，所以 △ 为直角三角形，即 ⊥ ，
= 1所以 2△ 2| | | | = ．因为| | = | |，2
1 1 2所以 到平面 的距离为2| | = 2
2
2 2 ( 2) = ，2
设 到平面 的距离为 ，因为 = ，
1
所以3 △ =
1 2
3 △ ，2
1
所以 2 = 2
2 2
2 2 ，所以 = 1．2
故选：B.
3．（23-24 高一下·安徽合肥·期中）如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1， 为 1的中点.下列说法正
确的是（ ）
A．直线 1与直线 是异面直线
B．在直线 1 1上存在点 ，使 ⊥ 平面 1
π
C．直线 1与平面 1 所成角是3
D．点 到平面 的距离是 21 2
【解题思路】证明 1与 在平面 1 1上，可以判断 A；连接 1 1， 1，取 1 1的中点 ，连接 ，
证明 ⊥ 平面 1 可判断 B；连接 1 交 1于点 ，连接 1 ，由 1 ⊥ 平面 1 ，有 ⊥ 平面 1 ，
可判断 C 和 D.
【解答过程】
对于 A， ∵ 正方体 1 1 1 1， ∴ 1 1// ， 1 1 = ，
∴ 四边形 1 1是平行四边形， ∴ 1, , , 1四点共面，
由图可知直线 1与直线 都在平面 1 1中，
∴ 直线 1与直线 不可能是异面直线，故 A 错误；
对于 B，连接 1 1， 1，取 1 1的中点 ，连接 ，
又 为 1的中点，则 // 1，
∵ 正方体 1 1 1 1， ∴ 1 1// ， 1 1 = ，
∴ 四边形 1 1是平行四边形， ∴ 1 // 1 ，
∵ 1 ⊥ 1 ，所以 1 ⊥ 1 ，
∵ 正方体 1 1 1 1， ∴ ⊥ 平面 1 1，又 1 平面 1 1，
∴ ⊥ 1，且 ∩ 1 = ， , 1 平面 1 ，
得 1 ⊥ 平面 1 ，则 ⊥ 平面 1 ，故 B 正确；
对于 C，连接 1 交 1于点 ，连接 1 ，
由 1 ⊥ 平面 1 ，有 ⊥ 平面 1 ，
则∠ 1 即为直线 1与平面 1 所成的角，
∵ 正方体的棱长为 1 1，所以 = = 22 1 ，2
π
∵ ∠ 1 = 90 ，则∠ 1 = 6，故 C 错误；
对于 D， 由 ⊥ 平面 1 知， 即为点 到平面 1 的距离， = 2，故 D 正确.2
故选：BD.
4．（23-24 高一下·江苏无锡·期中）已知平面 外两点 A，B 到平面 的距离分别是 2 和 4，则 的中点 P 到
平面 的距离是 3 或 1 .
【解题思路】根据点到平面距离的意义，分 A，B 在 同侧和 A，B 在 异侧两种情况求解即可.
【解答过程】设点 A、B 在平面 的投影分别为点 ′， ′，依题意， ′ = 2， ′ = 4，
若 A，B 在 同侧，如图 1，设点 P 在平面 的投影为点 ，
1
则 P 到 的距离为 = 2( ′ + ′) = 3；
若 A，B 在 异侧，如图 2，设点 P 在平面 的投影为点 O，
过 A 作 ⊥ ′，交 ′的延长线于点 C，延长 交 于点 ′，
1 1
则 P 到 的距离为 = ′ ′ = ′2 = 2 × 6 2 = 1，
所以 的中点 P 到平面 的距离为 3 或 1.
故答案为：3 或 1.
5．（23-24 高一下·云南丽江·期中）在三棱锥 中， = = = ， = .
(1)求证： ⊥ ；
(2)若 = 3， = 2，求点 到平面 的距离.
【解题思路】（1）作出辅助线，得到线面垂直，进而得到线线垂直；
（2）利用等体积法求解点到平面的距离.
【解答过程】（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ，如图所示.
在 △ 中， = ， 是 的中点，所以 ⊥ ，
在 △ 中， = ， 是 的中点，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥ 平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ；
（2）在 △ 中， = = 3， = 2， 是 的中点2024-2025 学年高一下学期期中复习真题精选（常考 100 题 20 类题型
专练）
【人教 A 版（2019）】
题型归纳
题型 1 平面向量的概念（共 5小题）
1．（23-24 高一下·福建福州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若两个非零向量 , 共线，则 , , , 必在同一直线上
B．若 与 共线， 与 共线，则 与 也共线
C．若| | = | |则 =
D．若非零向量 与 是共线向量，则它们的夹角是0 或180
2．（23-24 高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．若| | = 1，则 =± 1 B．若 = ，则 ∥
C．若| | = | |且 ∥ ，则 = D．若 ∥0，则| | = 0
3．（23-24 高一下·江苏无锡·期中）下列说法错误的是（ ）
A．向量 与向量 是共线向量，则点 A，B，C，D 必在同一条直线上
→ →
B．若 = 0, ∈ R，则 = 0或 = 0
C．若向量 , 满足| | > | |，且 与 同向，则 >
D．向量 与 ( ≠ 0)共线的充要条件是：存在唯一的实数 ，使 =
4．（23-24 高一下·广东广州·期中）已知 , 为两个不共线的非零向量，若 + 与 2 共线，则 k 的值为
．
5．（23-24 高一下·福建泉州·期中）已知边长为 3 的等边三角形 ，求 边上的中线向量 的模| |.
题型 2 平面向量的线性运算（共 5小题）
1．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）已知等腰梯形 中， // ， = 2 = 2 = 2，E 为 BC 的中
点，则 = （ ）
A 1 5 1 5．3 + 3 B．3 + 6
C 1．3 +
1
2 D
1
． 3 +
1
6
2．（23-24 高一下·广东深圳·期中）已知向量 1， 2是平面上两个不共线的单位向量，且 = 1 +2 2，
= 3 1 +2 2， = 3 1 6 2，则（ ）
A． 、 、 三点共线 B． 、 、 三点共线
C． 、 、 三点共线 D． 、 、 三点共线
3．（23-24 高一下·福建泉州·期中）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征．正五角星是
一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形

为正五边形， 5 1 = ≈ 0.618）．则（ ）2
A． + = B． =
C． + = 5 1 D． = 5+1
2 2
4．（23-24 高一下·四川成都·期中）设 ， 是两个不共线向量， = 2 + ， = + ， = 2 ．若
A，C，D 三点共线，则实数 = ．
5．（23-24 高一下·黑龙江鸡西·期中）计算：
(1)( 3) × 4 ；
(2)3( + ) 2( ) ；
(3)(2 +3 ) (3 2 + )；
(4) ；
(5) + + .
题型 3 平面向量的数量积（共 5小题）
1．（23-24 高一下·北京通州·期中）已知 ， ， 是三个非零平面向量，则下列叙述正确的是（ ）
A．若| | = | |，则 =± B．若| + | = | |，则 ⊥
C．若 = ，则 = D．若 // ，则 = | || |
2．（23-24 高一下·山东临沂·期中）如图，圆 为 △ 的外接圆， = 3, = 5, 为边 的中点，则
= （ ）
A．7 B 15 17． 2 C．8 D． 2
3．（23-24 高一下·河南洛阳·期中）关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．若 = ，则 =
→ → → →
B．两个非零向量 ， ，若| | = | | + | |，则 与 共线且反向
C．若 与 不共线且 +2 与2 +3 4共线，则 = 3
D．若 = (1,2)， = ( 1,1)，且 与 + 的夹角为锐角，则 ∈ ( 5, + ∞)
4．（23-24 高一下·北京·期中）已知非零平面向量 ， ， ，
①若 = ，则 = ；②若| + | = | | + | |，则 // ；
③若| + | = | |，则 ⊥ ；④若 + = 0，则 = 或 = ．
其中正确命题的序号是 ．
5．（23-24 高一下·山东临沂·期中）已知向量 , 满足| | = 3,| | = 6, 5 4 2 + = 81．
(1)求向量 与 的夹角；
(2)若向量 在 方向上的投影向量为 ，求 + 的值．
题型 4 平面向量基本定理及其应用（共 5小题）
1．（23-24 高一下·河北·期中）在 △ 中， 为 边上的中点， 是 上靠近 的四等分点，则 =
（ ）
A． 78 +
1
8 B．
1
8
7
8
C 7． 8
1
8 D
1 7
． 8 + 8
2．（23-24 高一下·四川乐山·期中）如图，已知点 是 △ 的重心，过点 作直线分别与 ， 两边交于
， 两点，设 = ， = ，则 + 9 的最小值为（ ）
A 5 16．2 B．4 C． 3 D．3
3．（23-24 高一下·河北·期中）如图，在 △ 中，BD 与 EC 交于点 G，E 是 AB 的靠近 B 的三等分点，D
是 AC 的中点，且有 = + ， , ∈ (0, + ∞)，则下列命题正确的是（ ）
A． + 3 = 1
B．3 + 2 = 2
C． = 1 12 + 4
D．过 G 作直线 MN 分别交线段 AB，AC 于点 M，N，设 = ， = （ > 0， > 0），则
+ 2 的最小值为 2．
4．（23-24 高一下·广东潮州·期中）在 △ 中， 为 BC 上一点， 是 AD 1的中点，若 = ， = 3
+ ，则 + = .
5．（23-24 高一下·陕西渭南·期中）如图所示，△ 中，点 为 的中点，点 是线段 上靠近点 的一
个三等分点， ， 相交于点 ，设 = ， = .
(1)用 ， 表示 ， ；
(2)若 = ， = ，求 ， 的值.
题型 5 向量的夹角问题（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·广平面西向量玉线林性运·算期的坐中标）表示已知向量 = (1,2), = ( ,3)，若 ⊥ (2 )，则 与 夹角的余弦值为
（ ）
A．2 5 B． 5 C 10 D 3 10． ．
5 5 10 10
2．（23-24 高一下·河南郑州·期中）已知向量 = (1,1), = ( , 2)，则“ 与 的夹角为钝角”是“ < 2”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（23-24 高一下·陕西宝鸡·期中）若向量 = (2,0)， = (1, 3)，则（ ）
A． | + | = | | B． = 2
π
C． 在 1上的投影向量为2 D． 与 的夹角为6
4．（23-24 5高一下·北京顺义·期中）已知平面向量 = (1,2)， = ( 2, 4)， = ( , )满足 + = 2，
| | = 5，则 与 的夹角为 ．
5．（23-24 高一下·广东深圳·期中）已知向量 = (1, ), = (2,3)．
(1)若 ⊥ ，求| |；
(2)若 = ( 3, 4)， // + ，求3 + 与 的夹角的余弦值．
题型 6 向量的模长问题（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·重平面庆向量·期线性中运算）的坐平标面表示向量 , 满足 = (2,1)，|2 | = 3且 2 ⊥ ，则| | = （ ）
A．3 B． 10 C． 11 D．2 3
2．（23-24 高一下·福建厦门·阶段练习）在平面四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 的中点，若
= 4， = 2，且 = 4，则| | = （ ）
A． 2 B． 3 C． 7 D．2 2
3．（23-24 高一下·云南·阶段练习）已知向量 , 满足| + 2 | = | |, + 2 = 0，且| | = 2，则（　　）
A．| | = 8 B． + = 0 C．| 2 | = 6 D． = 4
4．（23-24 高一下·重庆九龙坡·期中）已知向量 与 的夹角为60°，| | = 2,| | = 1，则| 2 | = ．
5．（23-24 · · 1 1高一下 浙江 期中）已知| | = 1, = 2, + = 2．
(1)求| |的值；
(2)求向量 与 + 夹角的余弦值；
(3)求| |( ∈ )的最小值．
题型 7 向量的平行、垂直问题（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·广平面东向量茂线名性运·算期的坐中标）表示已知向量 = (3,4), = ( , 6)，且 ⊥ ，则实数 = ( )
A． 9 92 B．2 C． 8 D．8
2．（23-24 高一下·四川成都·期中）已知向量 = (1, 2)， = ( 3, )， = (4, )，若 // ， ⊥ ，则 + =
（ ）
A 19． 2 B．8 C． 4 D．6
3．（23-24 高一下·新疆乌鲁木齐·期中）已知向量 = ( 2,1), = ( 1, )，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ⊥ ，则 的值为 2 B．若0 < < 2，则 与 的夹角为锐角
C．若 // 1，则 的值为2 D．若 = 3，则 在 方向上的投影向量为(2, 1)
4．（23-24 高一下·云南迪庆·期中）已知向量 = (2,1), = (3, 1), = (3, ),( ∈ R)，且 2 ⊥ ，则
= .
5．（23-24 高一下·云南德宏·期中）已知向量 = (2,1)， = (1,2)， = (4, )．
(1)若 // ，求| |的值；
(2)若( + ) ⊥ ，求 的值．
题型 8 三角形的个数问题（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·湖平面北向量·期线性中运算）的坐根标据表示下列条件，判断三角形解的情况，其中有两解的是（ ）
A． = 1, = 45°, = 60° B． = 1, = 2, = 60°
C． = 3, = 1, = 120° D． = 3, = 4, = 45°
2．（23-24 高一下·北京大兴·期中）在 △ 中， ， ， 分别为∠ ，∠ ，∠ 的对边，给出下列四个条件：
① = 4， = 5， = 45° ； ② = 5， = 6， = 8；
③ = 6， = 6 3， = 105°； ④ = 2 3， = 5， = 60°．
能判断三角形存在且有唯一解的是（ ）
A．①④ B．②③
C．①②③ D．②③④
3．（23-24 高一下·云南昭通·期中）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（ ）
A． = 20, = 11, = 30°，有两解
B． = 2, = 2, = 30°，有两解
C． = 8, = 16, = 30°，有两解
D． = 23, = 34, = 41°，有一解
π
4．（23-24 高一下·山东济南·期中）在 △ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 = 6 3， = 3，
且该三角形有两解，则 的取值范围是 .
5．（23-24 高一下·江西宜春·期中）在 △ 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，且(2 3 )cos = 3 cos
.
(1)求角 的大小；
(2)已知 = + 1，且角 有两解，求 的范围.
题型 9 判断三角形的形状（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·江平面苏向量镇线江性运·算期的中坐标）表示在 △ 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos = cos
，则 △ 的形状是（ ）三角形
A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角
2．（23-24 高一下·河北邢台·期中）在 △ 中，角 , , 的对边分别是 , , ，若sin2 + sin2 + cos2 < 1，
则 △ 的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定的
3．（23-24 高一下·四川达州·期中）在 △ 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则下列结论正确的
是（ ）
A．若 = 45°， = 2， = 3，则 △ 有两解
B．若 2 + 2 < 2，则 △ 是钝角三角形
C．若 △ 为锐角三角形，则sin > cos

D．若cos =

cos ，则 △ 为等腰三角形
4．（23-24 高一下·河南三门峡·期中）已知 △ 中，内角 ， ， + 的对边分别为 ， ， ， = cos +cos ，
则 △ 的形状是 .
5．（23-24 高一下·广东江门·期中）在 △ 中，内角 , , 所对的边分别为 ， ， ，已知 2 = 2 + 2
.
(1)求角 的大小；
(2)若 + = 4， △ 3的面积为 ，求 的值；
2
(3)若 2 = ，判断 △ 的形状.
题型 10 三角形的面积问题（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
π
1．（23-24 高一下·广东广州·期中）△ 的内角 , , 的对边分别为 ， ， .若 = 6， = 2 ， = 3，则 △
的面积为（ ）
A．6 3 B．12 3 C．6 D．12
2．（23-24 高一下·北京·期中）在 △ 中，角 A，B，C 的对边分别是 , , , = 4,∠ = 60°，点 为边 BC
上的一点， = 2 7, = 6，则 △ 的面积为（ ）
A．6 3 B．9 3 C．14 3 D．20 3
π
3．（23-24 高一下·江西萍乡·期中）在 △ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 2， = 3，则 △
的面积可能为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
4．（23-24 高一下·陕西安康·期中）在 △ 中， = 7， = 5， = 10，则 △ 的面积 = .
5．（23-24 高一下·贵州六盘水·期中）在 △ 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且cos2 sin2
sin sin = 1 sin2 .
(1)求 B；
(2)若 = 2 3；求 △ 面积的最大值.
题型 11 距离、高度、角度测量问题（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·福平面建向量龙线岩性运·算期的中坐标）表示如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，在该河流
的一侧岸边选定 A，B 两处，在该河流的另一侧岸边选定 处，测得 = 30米，∠ = 75°,∠ = 45°，
则该河流的宽度是（ ）
A．15 + 5 3米 B．10 3 +10米 C．15 3 15米 D．10 3 10米
2．（23-24 高一下·安徽黄山·期中）长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经
900 多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度 ，选取与塔底
在同一水平面内的两个测量基点 与 ，现测得∠ = 30 ，∠ = 45 ， = 32m，在 点测得塔顶 的
仰角为60 ，则塔的总高度为（ ）
A．(96 32 6)m B．(96 32 3)m
C．(92 32 2)m D．(92 32 3)m
3．（23-24 高一下·广西钦州·期中）某校数学兴趣小组欲对当地一唐代古塔进行测量，如图是该古塔 的
示意图，其中 与地面垂直，从地面上 点看塔顶 的仰角为 ,沿直线 向外前进 米到点 处，此时看塔顶
的仰角为 ,根据以上数据得到塔高为 米，则（ ）
sin sin sin
A． = sin( )米 B． = sin( )米
sin
C = sin cos ． sin( )米 D． = 1 + 米sin( )
4．（23-24 高一下·安徽芜湖·期中）如图，已知两座山的海拔高度 = 300米， = 100米，在 BC 同一
水平面上选一点 ，测得 点的仰角为60°, 点的仰角为30°，以及∠ = 45°，则 M，N 间的距离为
米.（结果保留整数，参考数据 6 ≈ 2.449, 6.2 ≈ 2.490）
5．（23-24 高一下·湖南邵阳·期中）一艘海轮从 A 出发，沿北偏东75°的方向航行( 3 1)n mile后到达海岛
B，然后从 B 出发，沿北偏东15°的方向航行 2n mile到达海岛 C.
(1)求 AC 的长；
(2)如果下次航行直接从 A 出发到达 C，应沿什么方向航行多少n mile？
题型 12 复数的概念（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·山平面东向量临线沂性运·算期的坐中标）表示下列几个命题，其中正确的命题的个数有（ ）
（1）实数的共轭复数是它本身
（2）复数的实部是实数，虚部是虚数
（3）复数与复平面内的点一一对应
（4）复数i是最小的纯虚数.
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（23-24 高一下·云南·期中）设 = 1 + 2i，则 的实部与虚部之和为（ ）
A． 1 B．2 C．1 D． 2
3．（23-24 高一下·江苏泰州·期中）对于复数 = + i( , ∈ )，则下列结论中错误的是（ ）
A．若 = 0，则 + i为纯虚数 B．若 = 3 2i，则 = 3, = 2
C．若 = 0，则 + i为实数 D．若 = = 0，则 不是复数
4．（23-24 高一下·新疆·期中）已知( + 3) + ( 2)i = 0，则 = ．
5．（23-24 高一下·新疆克孜勒苏·期中）若复数 = ( 2 + 12) + ( 2 3 )i，当实数 为何值时
(1) 是实数；
(2) 是纯虚数.
题型 13 复数的几何意义（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·云平面南向量曲线靖性运·算期的中坐标）表示复数 = (2 ) + ( 1)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的
取值范围是（ ）
A．(2, + ∞) B．(0, + ∞) C．( ∞,1) D．( 1, + ∞)
2．（23-24 高一下·广东清远·期中）已知复数 = 3 4i，则（ ）
A． 的虚部为 4i B．| | = 3 + 4i
C． = 3 + 4i D． 在复平面内对应的点在第三象限
3．（23-24 高一下·安徽阜阳·期中）已知复数 = 2 1 + ( + 1)i( ∈ )，则下列命题正确的是（ ）
A．若 为纯虚数，则 = 1
B．若 为实数，则 = 0
C．若 在复平面内对应的点在直线 = 2 上，则 = 1
D． 在复平面内对应的点不可能在第三象限
4．（23-24 高一下·广东惠州·期中）在复平面内，把与复数3 3i对应的向量绕原点 O 按顺时针方向旋转
90°后，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）.
5．（23-24 高一下·江苏苏州·期中）复数平面内表示复数 = ( 2 8 + 15) + ( 2 5 14)i的点分别满足
下列条件：
(1)位于第四象限；
(2)位于第一象限或第三象限；
(3)位于直线 = 上．求实数 的取值范围．
题型 14 复数的四则运算（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
3
1．（23-24 1 i高一下·湖北·期中）已知i为虚数单位，复数 = 3+4i9，则 = （ ）
A 7 i B 7+i C 1 7i D 1+i． 25 ． 25 ． 25 ． 25
2．（23-24 高一下·湖北· 1+ i期中）已知复数 = 1 i ，其中i为虚数单位， ∈ R，若 为纯虚数，则复数 +
在复平面内对应的点在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
3 1 3i．（23-24 高一下·安徽黄山·期中）已知复数 = 1+i （i是虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A．复数 的虚部等于 2i B． = 5
C． + = 2 D．若 是实数， + 是纯虚数，则 = 1
4 23-24 · · i 5(4+i)
2
．（ 高一下 天津河北 期中）已知 是虚数单位，化简 2+i 的结果为 .
5．（23-24 高一下·河南商丘·期中）已知复数 1 = 4 + i( ∈ )，且 1 (1 2i)为纯虚数.
(1)求复数 1；
1
(2)若 2 = (1 i)2，求复数 2及| 2|.
题型 15 基本立体图形（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·山平面西向量太线原性运·算期的坐中标）表示下列结论不正确的是（ ）
A．三棱锥是四面体 B．长方体是平行六面体
C．正方体是直四棱柱 D．四棱柱是平行六面体
2．（23-24 高一下·浙江·期中）下列四个命题中正确的是（ ）
A．每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体
C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
3．（23-24 高一下·山西大同·期中）下列说法正确的是（ ）
A．一个多面体至少有 4 个面
B．圆柱的母线与它的轴可以不平行
C．用任意一个平面截球得到的截面都是一个圆面
D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
4．（23-24 高一下·山东聊城·期中）五棱台的顶点数为 ，棱数为 ，面数为 ，则 + = ．
5．（23-24 高一下·安徽·期中）（1）如图 1，底面半径为 1cm，高为 3cm 的圆柱，在点 A 处有一只蚂蚁，
现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点 A 爬到点 B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π 取 3）；
（2）如图 2，在长方体 1 1 1 1中，M 是 CC1的中点， = 1 = 4cm， = 3cm，一只蚂蚁从
点 A 出发沿长方体表面爬行到点 M，求蚂蚁爬行的最短路线长.
题型 16 空间几何体的表面积和体积（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·浙平面江向量·期线性中运算）的坐已标知表示圆台的上，下底面的半径长分别为 2，3，母线长 2，则其体积为（ ）
A．5 3 B 19 3π． C．5 3π D．10π3
2．（23-24 高一下·山东青岛·期末）底面边长为 3 的正四棱锥被平行底面的平面所截，截去一个底面边长为
1，高为 1 的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ）
A 26 B 38． 3 ． 3 C．13 D．26
3．（23-24 高一下·福建三明·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2
相等，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为2π 2
B 3．圆柱与球的表面积之比为2
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:2
4．（23-24 高一下·吉林·期中）如图所示，在三棱柱 1 1 1中，若点 E，F 分别满足 =
2
3 ， =
2 1
3 ，平面 1 1 将三棱柱分成的左、右两部分的体积分别为 1和 2，则 ＝ .2
5．（23-24 高一下·贵州六盘水·期中）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能
在亭子里休息、避雨、乘凉（如图 1）.某学生到工厂劳动实践，利用3 打印技术制作一个亭子模型（如图
2），该模型为圆锥 1与圆柱 1构成的几何体Ω（圆锥 1的底面与圆柱 1的上底面重合）.已知圆锥 1
的高为 18cm，母线长为 30cm 8 ，其侧面展开图是一个圆心角为 5 的扇形，AB 为圆锥的底面直径.圆柱 1的
高为 30cm，DC 为圆柱下底面的直径，且 = 40cm.
(1)求圆锥 1的侧面积；
(2)求几何体Ω的体积.
题型 17 点共线、线共面问题（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·河平面南向量开线封性运·算期的坐中标）表示如图，在正方体 1 1 1 1中， 为棱 1 1的靠近 1上的三等分
点.设 与平面 1 1 的交点为 ，则（ ）
A．三点 1, , 共线，且 = 2 1
B．三点 1, , 共线，且 = 3 1
C．三点 1, , 不共线，且 = 2 1
D．三点 1, , 不共线，且 = 3 1
2．（23-24 高一下·湖北黄冈·期中）如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，AD 的中点， ,
分别在 ，CD 上，且 : = : = 1:2.则下面几个说法中正确的个数是（ ）
①E，F，G，H 四点共面；② // ;③若直线 EG 与直线 FH 交于点 P，则 P，A，C 三点共线．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（23-24 高一下·山西大同·期中）已知正方体 1 1 1 1中， 为 1 1的中点，直线 1 交平面 1
1于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． , , 三点共线 B． , , , 1四点共面
C． , , , 四点共面 D． , 1, , 四点共面
4．（23-24 高一下·安徽合肥·期中）如图所示． 1 1 1 1是正方体，O 是 1 1的中点，直线 1 交
平面 1 1于点 M，给出下列结论：
①A、M、O 三点共线； ②A、M、O、 1不共面：
③A、M、C、O 共面； ④B、 1、O、M 共面，
其中正确的序号为 ．
5．（23-24 高一下·安徽滁州·期中）如图， 为空间四边形，点 、 分别是 、 的中点，点 、 分
别在 、 1 1上，且 = 3 ， = 3 ．求证：
(1) 、 、 、 四点共面；
(2) 、 必相交且交点在直线 上．
题型 18 空间中的线面位置关系（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·福平面建向量厦线门性运·算期的坐中标）表示设 m，n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，给出下列四
个命题：
①若 // ， // ，则 //
②若 // ， // ， ⊥ 则 ⊥
③若 ⊥ ， // ，则 ⊥
④若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
2．（23-24 高一下·江苏无锡·期中）正四面体 中， , , , 分别是棱 , , , 的中点，则不正确
的选项为（ ）
A． //平面 B． ⊥
C． ⊥ 平面 D． , , , 四点共面
3．（23-24 高一下·浙江·期中）已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2，棱 AB，BC 的中点分别为 E，F，
点 在上底面 1 1 1 1上（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．存在点 ，使得平面 //平面 1 1
B．不存在点 ，使得直线 1//平面 EFG
C．三棱锥 的体积不变
D．存在点 ，使得 ⊥ 平面 1
4．（23-24 高一下·吉林长春·期中）已知 , 为两个不同的平面， , 为两条不同的直线，下列说法正确的是
．
① // ， // ， // ② ⊥ ， ⊥ //
③ // ， ， // ④ // ， ⊥ ， // ⊥
5．（23-24 高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形， = ，E 为侧棱
PD 上的点，且 = 3 .
(1)证明： ⊥ ；
(2)在侧棱 PC 上是否存在一点 F，使得 //平面 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
题型 19 空间角（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·吉平面林向量长线春性运·算期的坐中标）表示已知三棱柱 1 1 1的各棱长均相等，且侧棱垂直于底面，点 是
侧面 1 1 的中心，则 与平面 所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．150°
2．（23-24 高一下·山东青岛·期中）如图，在正方体 1 1 1 1中，下列结论错误的为（ ）
π
A．直线 1与直线 1 所成的角为2
π
B．直线 1与平面 1 1 1 1所成的角为4
C．直线 1 ⊥ 平面 1
π
D．平面 1 1 与平面 所成的二面角为6
3．（23-24 高一下·河北邯郸·期中）如图所示，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中，M，N 分别为 1
1， 1 的中点，其中不正确的结论是（ ）
A．直线 MN 与 AC 所成的角为60° B．直线 AM 与 BN 是平行直线
C．二面角 的平面角的正切值为 2 D．点 C 与平面 MAB 的距离为 2
4．（23-24 高一下·天津·期中）如图，边长为 4 的正方形 所在平面与正三角形 所在平面互相垂直，
为 的中点．二面角 的正切值为 ．
5．（23-24 高一下·内蒙古兴安盟·期末）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ⊥ 平面
，且 = = 2.
(1)求直线 与平面 所成角的余弦值；
(2)求二面角 的大小.
题型 20 点、线、面距离问题（共 5小题）
平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·河平面南向量郑线州性运·算期的中坐标）表示如图，直三棱柱 1 1 1的体积为4， △ 1 的面积为2 2，则点
到平面 1 的距离为（ ）
A．4
B．3 2
C．2
D． 2
2．（23-24 高一下·福建厦门·期中）柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，
结构等价的特点．如图是棱长均为 2 的柏拉图多面体 PABCDQ，已知四边形 ABCD 为正方形，O，E 分别为
PQ，CQ 的中点，则点 A 到平面 OEB 的距离为（ ）
A． 2 B
1 1
．1 C．2 D．4
3．（23-24 高一下·安徽合肥·期中）如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1， 为 1的中点.下列说法正
确的是（ ）
A．直线 1与直线 是异面直线
B．在直线 1 1上存在点 ，使 ⊥ 平面 1
π
C．直线 1与平面 1 所成角是3
D．点 到平面 1 的距离是 22
4．（23-24 高一下·江苏无锡·期中）已知平面 外两点 A，B 到平面 的距离分别是 2 和 4，则 的中点 P 到
平面 的距离是 .
5．（23-24 高一下·云南丽江·期中）在三棱锥 中， = = = ， = .
(1)求证： ⊥ ；
(2)若 = 3， = 2，求点 到平面 的距离.

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