资源简介

类型一　动点、动线类探究
【典例1】　如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐标为(2，2)，点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF，设OD＝x，△DEF的面积为S．
(1)求S关于x的函数解析式；
(2)当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　熟练掌握等边三角形的判定与性质、菱形的性质、特殊角的三角函数、二次函数的性质、相似三角形的性质与判定等知识是解决此类问题的关键．
[对点演练]
(2024·泰山二模)如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是对角线BD上的一个动点．连接AM，过点M作MN⊥AM交BC于点N．
(1)如图1，求证：MA＝MN；
(2)如图2，过点N作NH⊥BD于H，当AM＝2时，求△HMN的面积．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例2】　如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，5)，(3，0)．将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD．
(1)直接写出坐标：点C________，点D________．
(2)M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴？
(3)点P是直线BD上一个动点，连接PC，PA，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠APC与∠PCD，∠PAB的数量关系．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　平移的图形，平移前后的对应角相等，对应边相等，图形上各点平移的距离相等．
[对点演练]
已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧．
(1)若AB＝15，DE＝6，线段DE在线段AB上移动．
①如图，当E为BC中点时，求AD的长；
②点F(异于A，B，C点)在线段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的长；
(2)若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式＝，求的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型二　图形形状变化类探究
【典例3】　在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
(1)若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E，F相遇时除外)
答：________；(直接填空，不用说明理由)
(2)在(1)条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
(3)在(1)条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．
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[对点演练]
【探究问题】
(1)如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，点F是DE上的一个动点，BF与边CD相交于点G．若BF⊥DE，试猜想CG与CE的数量关系，并说明理由；
【拓展迁移】
(2)如图2，正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，求证：BE＋DF＝EF；
(3)在(2)的条件下，若正方形的边长为6，点E是BC边的中点，求EF的长．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例4】　观察下列图形的变化过程，解答以下问题：
如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点(D点不与B，C两点重合)．DE∥AC交AB于E点，DF∥AB交AC于F点．
(1)试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形为什么？
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[对点演练]
(2024·泰山期中)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M为AD的中点，过点M作MN∥BD交CD延长线于点N．
(1)若AB＝BD，求证：四边形MNDO是菱形；
(2)请直接写出当四边形ABCD的边AB与BD满足什么关系时，四边形MNDO分别是矩形、正方形．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型三　图形旋转类探究
【典例5】　(2024·岱岳一模)如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝12，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
(1)问题发现
①当α＝0°时，＝________；②当α＝180°时，＝________．
(2)拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
(3)问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．
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[对点演练]
(2024·烟台)在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．
【尝试发现】
(1)如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为________；
【类比探究】
(2)当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；
【联系拓广】
(3)若AC＝BC＝1，CD＝2，请写出sin ∠ECD的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型四　图形折叠类探究
【典例6】　【问题情境】
综合与实践课上，老师发给每位同学一张正方形纸片ABCD．在老师的引导下，同学们在边BC上取中点E，取CD边上任意一点F(不与C，D重合)，连接EF，将△CEF沿EF折叠，点C的对应点为G．然后将纸片展平，连接FG并延长交AB所在的直线于点N，连接EN，EG．探究点F在位置改变过程中出现的特殊数量关系或位置关系．
【探究与证明】
(1)如图1，小亮发现：∠FEN＝90°．请证明小亮发现的结论；
(2)如图2、图3，小莹发现：连接CG并延长交AB所在的直线于点H，交EF于点M，线段EN与CH之间存在特殊关系．请直接写出小莹发现的特殊关系，不需要证明；
【应用拓展】
(3)在图2、图3的基础上，小博士进一步思考发现：将EG所在直线与AB所在直线的交点记为P，若给出BP和BC的长，则可以求出CF的长．
当BC＝10，BP＝12时，请根据题意选择图2或图3其中一个，补画图形，求CF的长．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　折叠类的题目，经常用到轴对称的性质，注意题目中隐含条件的挖掘常常达到“柳暗花明又一村”的效果．
[对点演练]
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C在坐标轴上，B(30，40)，将OC沿OD折叠，使点C落在对角线OB上的点E处．
(1)求点D的坐标；
(2)动点P从点B出发，沿折线B A O方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点O停止，设P运动时间为t，△POE的面积为S，求出S与t的关系式，并写出t的取值范围；
(3)在(2)的条件下，当PE∥AB时，在平面内是否存在点Q，使得以P，D，E，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点Q坐标；若不存在，请说明原因．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
21世纪教育网(www.21cnjy.com)类型一　动点、动线类探究
【典例1】　如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐标为(2，2)，点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF，设OD＝x，△DEF的面积为S．
(1)求S关于x的函数解析式；
(2)当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．
[解]　(1)如图，过点A作AG⊥OC于点G，连接AC．
∵顶点A的坐标为(2，2)，
∴OA＝＝4，OG＝2，AG＝2，
∴cos ∠AOG＝＝，
∴∠AOG＝60°．
∵四边形OABC是菱形，
∴∠BOC＝∠AOB＝30°，AC⊥OB，AO＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝60°．
∵DE⊥OB，
∴DE∥AC，
∴∠EDO＝∠ACO＝60°，
∴△EOD是等边三角形，
∴ED＝OD＝x，
∵DF∥OB，
∴△CDF∽△COB，
∴＝，
∵A(2，2)，AO＝4，则B(6，2)，
∴OB＝＝4，
∴＝，
∴DF＝(4－x)，
∴S＝x×(4－x)＝－x2＋2x，
∴S＝－x2＋2x(0＜x＜4)．
(2)∵S＝－x2＋2x＝－(x－2)2＋2(0＜x＜4)，
∴当x＝2时，S有最大值，最大值为2．
　熟练掌握等边三角形的判定与性质、菱形的性质、特殊角的三角函数、二次函数的性质、相似三角形的性质与判定等知识是解决此类问题的关键．
[对点演练]
(2024·泰山二模)如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是对角线BD上的一个动点．连接AM，过点M作MN⊥AM交BC于点N．
(1)如图1，求证：MA＝MN；
(2)如图2，过点N作NH⊥BD于H，当AM＝2时，求△HMN的面积．
[解]　(1)证明：过点M作ME⊥AB于E，作MG⊥BC于G，如图1所示，
∴∠AEM＝∠MEB＝∠CGM＝∠NGM＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠DAB＝90°，AD＝AB，∠ABD＝∠DBC＝45°，
∵ME⊥AB，MG⊥BC，
∴ME＝MG，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EBGM是正方形，
∴∠EMG＝90°，
∴∠EMN＋∠NMG＝90°，
∵MN⊥AM，
∴∠AME＋∠EMN＝90°，
∴∠AME＝∠NMG，
在△AME和△NMG中，
∴△AME≌△NMG(ASA)，
∴MA＝MN．
(2)过点A作AF⊥BD于F，如图2所示，
∴∠AFM＝90°，
∴∠FAM＋∠AMF＝90°，
∵MN⊥AM，
∴∠AMN＝90°，
∴∠AMF＋∠HMN＝90°，
∴∠FAM＝∠HMN，
∵NH⊥BD，
∴∠AFM＝∠MHN＝90°，
在△AFM和△MHN中，
∴△AFM≌△MHN(AAS)，
∴AF＝MH，
在等腰直角△ABD中，
∵AF⊥BD，
∴AF＝BD＝×6＝3，
∴MH＝3，
∵AM＝2，
∴MN＝2，
∴HN＝＝＝，
∴S△HMN＝MH·HN＝×3＝3，
∴△HMN的面积为3．
【典例2】　如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，5)，(3，0)．将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD．
(1)直接写出坐标：点C________，点D________．
(2)M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴？
(3)点P是直线BD上一个动点，连接PC，PA，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠APC与∠PCD，∠PAB的数量关系．
[解]　(1)由题意C(－1，3)，D(－1，－2)，
故答案为(－1，3)，(－1，－2)．
(2)设t秒后MN∥x轴，
∴5－t＝0.5t－2，
解得t＝，
∴秒后，MN∥x轴．
(3)①如图1，当点P在线段BD上时，∠APC＝∠PCD＋∠PAB．
　
②如图2，当点P在BD的延长线上时，∠PAB＝∠PCD＋∠APC．
③如图3，当点P在DB的延长线上时，∠PCD＝∠PAB＋∠APC．
　平移的图形，平移前后的对应角相等，对应边相等，图形上各点平移的距离相等．
[对点演练]
已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧．
(1)若AB＝15，DE＝6，线段DE在线段AB上移动．
①如图，当E为BC中点时，求AD的长；
②点F(异于A，B，C点)在线段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的长；
(2)若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式＝，求的值．
[解]　(1)∵AC＝2BC，AB＝15，
∴BC＝5，AC＝10．
①∵E为BC中点，
∴CE＝2.5，
∵DE＝6，
∴CD＝3.5，
∴AD＝AC－CD＝10－3.5＝6.5．
②当点F在点C的右侧时，如图1，
∵CF＝3，AC＝10，
∴AF＝AC＋CF＝13，
∴AD＝AF＝．
当点F在点C的左侧时，如图2，
∵AC＝10，CF＝3，
∴AF＝AC－CF＝7，
∴AF＝3AD＝7，
∴AD＝．
综上所述，AD的长为或．
(2)当点E在线段BC之间时，如图3，
设BC＝x，
则AC＝2BC＝2x，
∴AB＝3x，
∵AB＝2DE，
∴DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴AE＝2x＋y，BE＝x－y，
∴AD＝AE－DE＝2x＋y－1.5x＝0.5x＋y，
∵＝，
∴＝，
∴y＝x，
∴CD＝1.5x－x＝x，BD＝3x－(0.5x＋y)＝x，
∴＝＝；
当点E在点A的左侧，如图4，
设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，∴AB＝3x，∵AB＝2DE，∴DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴DC＝EC＋DE＝y＋1.5x，
∴AD＝DC－AC＝y＋1.5x－2x＝y－0.5x，
∵＝，
BE＝EC＋BC＝x＋y，
∴＝，∴y＝4x，
∴CD＝y＋1.5x＝4x＋1.5x＝5.5x，BD＝DC＋BC＝y＋1.5x＋x＝6.5x，
∴＝＝；
当点D在C点右侧，及点D在B点右侧，无解，不符合题意；
当点D在点A右侧，点E在点C左侧时，如图5，
设BC＝x，
则AC＝2BC＝2x，
∴AB＝3x，
∵AB＝2DE，
∴DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴AD＝AC－DC＝2x－1.5x－y＝0.5x－y，
∵＝，
∴＝，
∴x＝3x＋3y(不合题意)；
当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解．
综上所述，的值为或．
类型二　图形形状变化类探究
【典例3】　在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
(1)若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E，F相遇时除外)
答：________；(直接填空，不用说明理由)
(2)在(1)条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
(3)在(1)条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．
[解]　(1)四边形EGFH是平行四边形．
理由如下：
由题意得：AE＝CF＝t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵G，H分别是AD，BC的中点，
∴AG＝AD，CH＝BC，
∴AG＝CH，
∴△AEG≌△CFH(SAS)，
∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，
∴∠FEG＝∠EFH，
∴EG∥HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
(2)连接GH．
由(1)得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH＝AB＝6．
①如图1，当四边形EGFH是矩形时，
则EF＝GH＝6，
∵AE＝CF＝t，
∴EF＝10－2t＝6，
∴t＝2；
②如图2，当四边形EGFH是矩形时，
∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，
∴EF＝t＋t－10＝2t－10＝6，
∴t＝8．
综上，四边形EGFH为矩形时，t＝2或t＝8．
(3)如图3，M和N分别是AD和BC的中点，连接AH，CG，GH，AC与GH交于点O，
∵四边形EGFH为菱形，
∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF，
∴OA＝OC，AG＝AH，
∴四边形AGCH为菱形，
∴AG＝CG，
设AG＝CG＝x，则DG＝8－x，
由勾股定理可得：CD2＋DG2＝CG2，
即：62＋(8－x)2＝x2，
解得：x＝，
∴MG＝－4＝，即t＝，
∴当t＝时，四边形EGFH为菱形．
[对点演练]
【探究问题】
(1)如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，点F是DE上的一个动点，BF与边CD相交于点G．若BF⊥DE，试猜想CG与CE的数量关系，并说明理由；
【拓展迁移】
(2)如图2，正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，求证：BE＋DF＝EF；
(3)在(2)的条件下，若正方形的边长为6，点E是BC边的中点，求EF的长．
[解]　(1)CG＝CE．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°，
∵BF⊥DE，
∴∠E＋∠CBG＝∠E＋∠EDC＝90°，
∴∠CBG＝∠EDC，
在△BCG与△DCE中，
∴△BCG≌△DCE(ASA)，
∴CG＝CE．
(2)证明：延长FD至G，使得DG＝BE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADF＝∠ADG＝90°，
又DG＝BE，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠FAG＝∠FAD＋∠DAG＝∠FAD＋∠BAE＝90°－45°＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF＝GF，
∴EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF，
∴BE＋DF＝EF．
(3)设DF＝x，则根据题意，知：FC＝6－x，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝EC＝3，
∵BE＋DF＝EF，
∴EF＝3＋x，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：(x＋3)2＝32＋(6－x)2，
解得：x＝2，
∴EF＝5．
即EF的长为5．
【典例4】　观察下列图形的变化过程，解答以下问题：
如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点(D点不与B，C两点重合)．DE∥AC交AB于E点，DF∥AB交AC于F点．
(1)试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形为什么？
[解]　(1)当AD平分∠EAF时，四边形AEDF为菱形．理由如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴∠EAD＝∠FDA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠FDA，
∴AF＝DF，
∴四边形AEDF为菱形．
(2)当△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°时，四边形AEDF为正方形．
理由：由(1)知，四边形AEDF为菱形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF为正方形．
[对点演练]
(2024·泰山期中)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M为AD的中点，过点M作MN∥BD交CD延长线于点N．
(1)若AB＝BD，求证：四边形MNDO是菱形；
(2)请直接写出当四边形ABCD的边AB与BD满足什么关系时，四边形MNDO分别是矩形、正方形．
[解]　(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵点M为AD的中点，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM∥CD，OM＝AB＝CD，
又MN∥BD，
∴四边形MNDO是平行四边形，
∵AB＝BD，
∴OM＝OD，
∴四边形MNDO是菱形．
(2)若四边形MNDO是矩形，只需∠MOD＝90°，
而∠MOD＝∠ABD，
∴当AB⊥BD时，四边形MNDO是矩形；
若四边形MNDO是正方形，需OM＝OD，∠MOD＝90°，
∴当AB＝BD，AB⊥BD时，四边形MNDO是正方形．
类型三　图形旋转类探究
【典例5】　(2024·岱岳一模)如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝12，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
(1)问题发现
①当α＝0°时，＝________；②当α＝180°时，＝________．
(2)拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
(3)问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．
[解]　(1)问题发现
①当α＝0°时，
∵BC＝2AB＝12，
∴AB＝6，
∴AC＝＝6，
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴BD＝CD＝BC＝6，AE＝CE＝AC＝3，
∴＝＝．
故答案为．
②如图1，
当α＝180°时，
∵旋转180°后，△EDC所对的边长不变，
∴CD＝6，CE＝3，
∴AE＝AC＋CE＝9，BD＝BC＋CD＝18，
∴＝＝．
故答案为．
(2)拓展探究
如图2，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化．
∵∠ECD＝∠ACB，
∴∠ECA＝∠DCB，
又∵＝＝，
∴△ECA∽△DCB，
∴＝＝．
(3)问题解决
①如图3，连接BD．
∵AC＝6，CD＝6，CD⊥AD，
∴AD＝＝12，
∵AD＝BC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝6．
②如图4，连接BD，
∵AC＝6，CD＝6，CD⊥AD，
∴AD＝＝12，
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE＝AB＝3，
∴AE＝AD－DE＝12－3＝9，
由(2)可得
＝，
∴BD＝＝．
综上所述，BD＝6或．
[对点演练]
(2024·烟台)在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．
【尝试发现】
(1)如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为________；
【类比探究】
(2)当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；
【联系拓广】
(3)若AC＝BC＝1，CD＝2，请写出sin ∠ECD的值．
[解]　(1)如图，过点E作EM⊥CB交CB的延长线于点M，
由旋转得AD＝DE，
∠ADE＝90°，
∴∠ADC＋∠EDM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DME，∠ADC＋∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EDM，
∴△ACD≌△DME(AAS)，
∴CD＝EM，AC＝DM，
∵AC＝BC，
∴BM＝DM－BD＝AC－BD＝BC－BD＝CD，
∴BM＝EM，
∵EM⊥CB，
∴BE＝EM＝CD．
故答案为BE＝CD．
(2)补全图形如图，
BE＝CD，理由如下：
过点E作EM⊥BC于点M，
由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADC＋∠EDM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DME，∠ADC＋∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EDM，
∴△ACD≌△DME(AAS)，
∴CD＝EM，AC＝DM，
∵AC＝BC，
∴DM＝BC，
∴DM－CM＝BC－CM，
∴CD＝BM，
∴EM＝BM，
∵EM⊥CB，
∴BE＝EM＝CD．
(3)如图，当点D在CB延长线上时，过点E作EM⊥CB交CB的延长线于点M，
由(2)得DM＝AC＝1，EM＝CD＝2，
∴CM＝CD＋DM＝3，
∴CE＝＝，
∴sin ∠ECD＝＝＝．
当点D在BC的延长线上时，过点E作EM⊥CB交CB的延长线于点M，
同理可得：△ACD≌△DME，
∴DM＝AC＝1，ME＝CD＝2，
∴CM＝2－1＝1，
∴CE＝＝，
∴sin ∠ECD＝＝＝．
综上，sin ∠ECD＝或．
类型四　图形折叠类探究
【典例6】　【问题情境】
综合与实践课上，老师发给每位同学一张正方形纸片ABCD．在老师的引导下，同学们在边BC上取中点E，取CD边上任意一点F(不与C，D重合)，连接EF，将△CEF沿EF折叠，点C的对应点为G．然后将纸片展平，连接FG并延长交AB所在的直线于点N，连接EN，EG．探究点F在位置改变过程中出现的特殊数量关系或位置关系．
【探究与证明】
(1)如图1，小亮发现：∠FEN＝90°．请证明小亮发现的结论；
(2)如图2、图3，小莹发现：连接CG并延长交AB所在的直线于点H，交EF于点M，线段EN与CH之间存在特殊关系．请直接写出小莹发现的特殊关系，不需要证明；
【应用拓展】
(3)在图2、图3的基础上，小博士进一步思考发现：将EG所在直线与AB所在直线的交点记为P，若给出BP和BC的长，则可以求出CF的长．
当BC＝10，BP＝12时，请根据题意选择图2或图3其中一个，补画图形，求CF的长．
[解]　(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵将△CEF沿EF折叠，
∴∠C＝∠EGF＝∠EGN＝90°，∠CEF＝∠GEF，EC＝EG，FC＝FG，
∵E为BC的中点，
∴EC＝EB，
∴EG＝EB，
在Rt△EGN和Rt△EBN中，
∴Rt△EGN≌Rt△EBN(HL)，
∴∠GEN＝∠BEN．
∵∠CEF＋∠GEF＋∠GEN＋∠BEN＝180°，
∴2(∠GEF＋∠GEN)＝180°，
∴∠FEN＝90°．
(2)EN∥CH，EN＝CH．
(选择图2证明：
将△CEF沿EF折叠，则CG⊥EF，
∴∠FMG＝90°，
∵∠FEN＝90°，
∴∠FMG＝∠FEN，
∴EN∥CH，
∴△BEN∽△BCH，
∴＝＝，
∴EN＝CH．)
(3)选择图2，如图．
∵BC＝10，E为BC的中点，
∴BE＝BC＝5，
又∵BP＝12，
∴PE＝＝13，
∵EG＝BE＝5，
∴PG＝13－5＝8，
∵tan ∠P＝＝，
∴＝，
∴GN＝．
∵∠NEG＋∠ENG＝∠EFG＋∠ENG＝90°，
∴∠NEG＝∠EFG，
∴tan ∠NEG＝tan ∠EFG，
∴＝，
∴＝，
∴FG＝，
又∵CF＝FG，
∴CF＝．
选择图3，如图．
同理可求PE＝13，
∴PG＝13＋5＝18，
∵tan ∠P＝＝，
∴＝，∴GN＝，
同理可得＝，
∴＝，∴FG＝，
∵CF＝FG，∴CF＝．
　折叠类的题目，经常用到轴对称的性质，注意题目中隐含条件的挖掘常常达到“柳暗花明又一村”的效果．
[对点演练]
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C在坐标轴上，B(30，40)，将OC沿OD折叠，使点C落在对角线OB上的点E处．
(1)求点D的坐标；
(2)动点P从点B出发，沿折线B A O方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点O停止，设P运动时间为t，△POE的面积为S，求出S与t的关系式，并写出t的取值范围；
(3)在(2)的条件下，当PE∥AB时，在平面内是否存在点Q，使得以P，D，E，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点Q坐标；若不存在，请说明原因．
[解]　(1)∵B的坐标为(30，40)，则OC＝30，BC＝40，
在Rt△OBC中，OC＝30，BC＝40，则OB＝50，
∴BE＝OB－OE＝OB－OC＝50－30＝20，
设CD＝ED＝x，则BD＝40－x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD2＝BE2＋DE2，
即(40－x)2＝202＋x2，
解得x＝15，
故点D的坐标为(30，15)．
(2)分两种情况讨论：
①当点P在AB段时，即0∴BP＝5t，
∴S△POB＝PB·OA＝×5t×40＝100t，
∴＝＝＝，
∴S△POE＝S△POB＝×100t＝60t(0＜t≤6)；
②当点P在AO段时，即6＜t＜14，如图2，
OP＝30＋40－5t＝70－5t，OB＝50，AB＝30，
S△OBP＝OP·AB＝×(70－5t)×30＝－75t＋1 050，
∴S△POE＝S△POB＝×(－75t＋1 050)＝630－45t(6＜t＜14)．
综上，S＝
(3)在平面内存在点Q，使得以P，D，E，Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
如图3，
由(1)知，点E(18，24)，当PE∥AB时，则点P(0，24)，
而点D(30，15)，设点Q(a，b)，
①当PE为边时，依据平行四边形的性质可知：
点P向右平移18个单位长度得到点E，同样点D向右(左)平移18个单位长度得到点Q，
即30±18＝a且b＝15，
解得或
故点Q的坐标为(12，15)或(48，15)；
②当PE为对角线时，由平行四边形的性质结合中点公式得：18＋0＝a＋30且24＋24＝b＋15，
解得
∴Q(－12，33)．
综上，点Q的坐标为(12，15)或(48，15)或(－12，33)．
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题型五　几何动态综合题
归纳总结　熟练掌握等边三角形的判定与性质、菱形的性质、特殊角的三角函数、二次函数的性质、相似三角形的性质与判定等知识是解决此类问题的关键．
[解]　(1)证明：过点M作ME⊥AB于E，作MG⊥BC于G，如图1所示，
∴∠AEM＝∠MEB＝∠CGM＝∠NGM＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠DAB＝90°，
AD＝AB，∠ABD＝∠DBC＝45°，
∵ME⊥AB，MG⊥BC，
∴ME＝MG，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EBGM是正方形，
∴∠EMG＝90°，
∴∠EMN＋∠NMG＝90°，
∵MN⊥AM，
∴∠AME＋∠EMN＝90°，
∴∠AME＝∠NMG，
(2)过点A作AF⊥BD于F，如图2所示，
∴∠AFM＝90°，
∴∠FAM＋∠AMF＝90°，
∵MN⊥AM，
∴∠AMN＝90°，
∴∠AMF＋∠HMN＝90°，
∴∠FAM＝∠HMN，
∵NH⊥BD，
∴∠AFM＝∠MHN＝90°，
【典例2】　如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，5)，(3，0)．将线段AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD．
(1)直接写出坐标：点C________，点D_____________．
(2)M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴？
(3)点P是直线BD上一个动点，连接PC，PA，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠APC与∠PCD，∠PAB的数量关系．
(－1，3)
(－1，－2)
(3)①如图1，当点P在线段BD上时，∠APC＝∠PCD＋∠PAB．
②如图2，当点P在BD的延长线上时，∠PAB＝∠PCD＋∠APC．
③如图3，当点P在DB的延长线上时，∠PCD＝∠PAB＋∠APC．
归纳总结　平移的图形，平移前后的对应角相等，对应边相等，图形上各点平移的距离相等．
[解]　(1)∵AC＝2BC，AB＝15，
∴BC＝5，AC＝10．
①∵E为BC中点，
∴CE＝2.5，
∵DE＝6，
∴CD＝3.5，
∴AD＝AC－CD＝10－3.5＝6.5．
(2)当点E在线段BC之间时，如图3，
设BC＝x，
则AC＝2BC＝2x，
∴AB＝3x，
∵AB＝2DE，
∴DE＝1.5x，
类型二　图形形状变化类探究
【典例3】　在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10．
(1)若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E，F相遇时除外)
答：__________________；(直接填空，不用说明理由)
(2)在(1)条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
(3)在(1)条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．
平行四边形
∴AG＝CH，
∴△AEG≌△CFH(SAS)，
∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH，
∴∠FEG＝∠EFH，
∴EG∥HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
(2)连接GH．
由(1)得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH＝AB＝6．
①如图1，当四边形EGFH是矩形时，
则EF＝GH＝6，
∵AE＝CF＝t，
∴EF＝10－2t＝6，
∴t＝2；
②如图2，当四边形EGFH是矩形时，
∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t，
∴EF＝t＋t－10＝2t－10＝6，
∴t＝8．
综上，四边形EGFH为矩形时，t＝2或t＝8．
(3)如图3，M和N分别是AD和BC的中点，连接AH，CG，GH，AC与GH交于点O，
∵四边形EGFH为菱形，
∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF，
∴OA＝OC，AG＝AH，
∴四边形AGCH为菱形，
∴AG＝CG，
[对点演练]
【探究问题】
(1)如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，点F是DE上的一个动点，BF与边CD相交于点G．若BF⊥DE，试猜想CG与CE的数量关系，并说明理由；
【拓展迁移】
(2)如图2，正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，求证：BE＋DF＝EF；
(3)在(2)的条件下，若正方形的边长为6，点E是BC边的中点，求EF的长．
(2)证明：延长FD至G，使得DG＝BE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADF＝∠ADG＝90°，
又DG＝BE，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠FAG＝∠FAD＋∠DAG＝∠FAD＋∠BAE＝90°－45°＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF＝GF，
∴EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF，
∴BE＋DF＝EF．
(3)设DF＝x，则根据题意，知：FC＝6－x，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝EC＝3，
∵BE＋DF＝EF，
∴EF＝3＋x，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：(x＋3)2＝32＋(6－x)2，
解得：x＝2，
∴EF＝5．
即EF的长为5．
【典例4】　观察下列图形的变化过程，解答以下问题：
如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点(D点不与B，C两点重合)．DE∥AC交AB于E点，DF∥AB交AC于F点．

(1)试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形为什么？
[解]　(1)当AD平分∠EAF时，四边形AEDF为菱形．理由如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴∠EAD＝∠FDA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠FDA，
∴AF＝DF，
∴四边形AEDF为菱形．
(2)当△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°时，四边形AEDF为正方形．
理由：由(1)知，四边形AEDF为菱形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF为正方形．
[对点演练]
(2024·泰山期中)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M为AD的中点，过点M作MN∥BD交CD延长线于点N．
(1)若AB＝BD，求证：四边形MNDO是菱形；
(2)请直接写出当四边形ABCD的边AB与BD
满足什么关系时，四边形MNDO分别是矩形、正方形．
(2)若四边形MNDO是矩形，只需∠MOD＝90°，
而∠MOD＝∠ABD，
∴当AB⊥BD时，四边形MNDO是矩形；
若四边形MNDO是正方形，需OM＝OD，∠MOD＝90°，
∴当AB＝BD，AB⊥BD时，四边形MNDO是正方形．
类型三　图形旋转类探究
【典例5】　(2024·岱岳一模)如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝12，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．


[对点演练]
(2024·烟台)在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．
【尝试发现】
(1)如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为___________；
【类比探究】
(2)当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；
【联系拓广】
(3)若AC＝BC＝1，CD＝2，请写出sin ∠ECD的值．
[解]　(1)如图，过点E作EM⊥CB交CB的延长线于点M，
由旋转得AD＝DE，
∠ADE＝90°，
∴∠ADC＋∠EDM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DME，∠ADC＋∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EDM，
类型四　图形折叠类探究
【典例6】　【问题情境】
综合与实践课上，老师发给每位同学一张正方形纸片ABCD．在老师的引导下，同学们在边BC上取中点E，取CD边上任意一点F(不与C，D重合)，连接EF，将△CEF沿EF折叠，点C的对应点为G．然后将纸片展平，连接FG并延长交AB所在的直线于点N，连接EN，EG．探究点F在位置改变过程中出现的特殊数量关系或位置关系．
【探究与证明】
(1)如图1，小亮发现：∠FEN＝90°．请证明小亮发现的结论；
(2)如图2、图3，小莹发现：连接CG并延长交AB所在的直线于点H，交EF于点M，线段EN与CH之间存在特殊关系．请直接写出小莹发现的特殊关系，不需要证明；
【应用拓展】
(3)在图2、图3的基础上，小博士进一步思考发现：将EG所在直线与AB所在直线的交点记为P，若给出BP和BC的长，则可以求出CF的长．
当BC＝10，BP＝12时，请根据题意选择图2或图3其中一个，补画图形，求CF的长．
归纳总结　折叠类的题目，经常用到轴对称的性质，注意题目中隐含条件的挖掘常常达到“柳暗花明又一村”的效果．
[对点演练]
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C在坐标轴上，B(30，40)，将OC沿OD折叠，使点C落在对角线OB上的点E处．
(1)求点D的坐标；
(2)动点P从点B出发，沿折线B-A-O方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点O停止，设P运动时间为t，△POE的面积为S，求出S与t的关系式，并写出t的取值范围；
(3)在(2)的条件下，当PE∥AB时，在平面内是否存在点Q，使得以P，D，E，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点Q坐标；若不存在，请说明原因．
[解]　(1)∵B的坐标为(30，40)，则OC＝30，BC＝40，
在Rt△OBC中，OC＝30，BC＝40，则OB＝50，
∴BE＝OB－OE＝OB－OC＝50－30＝20，
设CD＝ED＝x，则BD＝40－x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD2＝BE2＋DE2，
即(40－x)2＝202＋x2，
解得x＝15，
故点D的坐标为(30，15)．

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