资源简介

微专题七　图形的折叠问题
模型一　折叠中的度数或线段长度问题
[模型展示]
1．图形的折叠实质是轴对称变换，即折叠前后的两个图形是全等的．
(1)全等关系：△BC′D≌△BCD≌△DAB，△ABE≌△C′DE．
(2)线段相等：C′D＝CD，BC′＝BC．
(3)角相等：∠1＝∠2，∠3＝∠4．
(4)特殊三角形：△BED是等腰三角形．
2．折痕是两对称点连接线段的垂直平分线，即BD垂直平分CC′．
3．折痕可看成折叠前后对应线段夹角的平分线．
【典例1】　如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α＋β＝118°，则∠EMF的度数为(　　)
A．59°　　　B．58°　　　C．57°　　　D．56°
D　[∵AD∥BC，
∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，
∴∠DEG＋∠AFH＝α＋β＝118°，
由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，
∴∠DEM＋∠AFM＝2×118°＝236°，
∴∠FEM＋∠EFM＝360°－236°＝124°，
在△EFM中，
∠EMF＝180°－(∠FEM＋∠EFM)＝180°－124°＝56°．
故选D．]
[跟踪训练]
1．已知一张三角形纸片ABC(如图甲)，其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD(如图乙)．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF(如图丙)．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为(　　)
A．60° B．72°
C．36° D．90°
B　[∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
由折叠得∠BED＝∠C，∠EDF＝∠A，
∴∠BED＝∠EDF＋∠A＝2∠A，
∴∠ABC＝∠C＝2∠A，
∵∠ABC＋∠C＋∠A＝180°，
∴2∠A＋2∠A＋∠A＝180°，
∴∠A＝36°，
∴∠ABC＝2∠A＝72°．
故选B．]
2．如图，将一张长方形纸条折叠，若边AB∥CD，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是(　　)
A．∠1＝2∠2
B．∠1＋∠2＝90°
C．∠1－∠2＝30°
D．2∠1－3∠2＝30°
B　[∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠DCA＝180°，
∵∠BAC＝180°－2∠1，∠DCA＝180°－2∠2，
∴180°－2∠1＋180°－2∠2＝180°，
∴∠1＋∠2＝90°．
故选B．]
【典例2】　如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的长是(　　)
A． B．
C． D．
A　[∵沿过点A的直线AD将纸片折叠，使点B落在边BC上的点P处，
∴AP＝AB＝2，∠B＝∠APB，
∵折叠纸片，使点C与点P重合，
∴CE＝PE，∠C＝∠CPE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B＋∠C＝90°，
∴∠APB＋∠CPE＝90°，
∴∠APE＝90°，
∴AP2＋PE2＝AE2．
设AE＝x，
则CE＝PE＝3－x，
∴22＋(3－x)2＝x2，
解得x＝，
即AE＝．
故选A．]
[跟踪训练]
1．如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．点E是AD上一点，且ED＝2AE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点F恰好落在MN上．若BC＝6，则FN的长是(　　)
A． B．
C．3 D．2
C　[连接AF，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，
∴AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝90°，
∵点E是AD上一点，且ED＝2AE，
∴AE＋2AE＝6，
∴AE＝2，
由折叠得FB＝AB，点A与点B关于直线MN对称，
∴MN垂直平分AB，
∴∠AMN＝90°，FB＝FA，
∴FB＝AB＝FA，四边形ADNM是矩形，
∴△ABF是等边三角形，MN＝AD＝6，
∴∠ABF＝∠BAF＝60°，
∴∠ABE＝∠FBE＝∠ABF＝30°，
∴BE＝2AE＝4，
∴FA＝AB＝＝＝2，
∴AM＝BM＝AB＝，
∵＝tan 60°＝，
∴MF＝AM＝＝3，
∴FN＝MN－MF＝6－3＝3．
故选C．]
2．如图，把一张矩形纸片ABCD按如下方法进行两次折叠：第一次将DA边折叠到DC边上得到DA′，折痕为DM，连接A′M，CM，第二次将△MBC沿着MC折叠，MB边恰好落在MD边上．若AD＝1，则AB的长为(　　)
A． B．
C． D．－1
B　[∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC．
由第一次折叠可知，∠DA′M＝∠DAM＝90°，DA′＝DA，
∴四边形AMA′D为正方形，
∴AM＝A′M＝AD，
∴DM＝＝AD＝．
由第二次折叠可知，∠BMC＝∠B′MC，
∵BM∥CD，
∴∠DCM＝∠BMC，
∴∠B′MC＝∠DCM，
∴CD＝DM＝，
∴AB＝CD＝．
故选B．]
模型二　折叠中的多解问题
[模型展示]
1．直角三角形的角不确定
折叠后△BEF为直角三角形，则∠EFB＝90°或∠FEB＝90°．
2．等腰三角形的腰和底不确定
折叠后△A′EC是以A′E为腰的等腰三角形，则CE为底或A′C为底．
【典例3】　在长方形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点E是AD边上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，当△A′DE为直角三角形时，DE的长为(　　)
A．7 B．
C．7或 D．以上答案均不对
C　[连接A′D，当∠EA′D＝90°时，如图．
∵把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，
∴AB＝A′B＝5，∠A＝∠BA′E＝90°，AE＝A′E，
∴∠EA′D＋∠BA′E＝180°，
∴B，A′，D三点共线，
∵BD＝＝＝13，
∴A′D＝BD－A′B＝13－5＝8，
在Rt△A′DE中，A′E2＋A′D2＝DE2，
∴(12－DE)2＋82＝DE2，
解得DE＝；
当∠DEA′＝90°时，如图：
∵∠DEA′＝90°，
∴∠AEA′＝90°，
∴∠A＝∠ABA′＝∠AEA′＝90°，
∴四边形ABA′E是矩形，
∵把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，
∴AB＝A′B，
∴四边形ABA′E是正方形，
∴AE＝AB＝5，
∴DE＝AD－AE＝12－5＝7．
综上所述，DE的长为或7．
故选C．]
[跟踪训练]
1．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，点M，N分别是AB，BC上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′落在线段AC所在的直线上，若△NB′C为直角三角形，则∠MNB′的度数为________．
75°或45°　[∵∠C＝180°－∠A－∠B，∠A＝80°，∠B＝40°，
∴∠C＝180°－80°－40°＝60°．
当∠CB′N＝90°时，
∠CNB′＝90°－60°＝30°，∠BNB′＝150°，
由折叠的性质可知：∠MNB′＝∠BNB′＝75°；
当∠B′NC＝90°时，∠MNB′＝∠BNB′＝45°．
故答案为75°或45°．]
2．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点P是直线BC上一动点，若将△ABP沿AP折叠，使点B落在点E处，若P，E，D三点在同一条直线上，则BP＝________．
2或18　[①如图，当点P在线段BC上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，CD＝AB＝6，∠B＝∠C＝90°，
∵将△ABP沿AP折叠，P，E，D三点在同一条直线上，
∴∠AEP＝∠AED＝∠B＝90°，AE＝AB＝6，
∴DE＝＝＝8，
设BP＝x，则PE＝x，PC＝10－x，
在Rt△PCD中，PC2＋CD2＝PD2，
即(10－x)2＋62＝(x＋8)2，
解得x＝2，
∴BP＝2；
②当点P在线段BC的延长线上时，
∵将△ABP沿AP折叠，P，E，D三点在同一条直线上，
∴∠AEP＝∠B＝90°，AE＝AB＝6，
∵AD＝10，
∴DE＝＝＝8，
设BP＝x，则PE＝x，PC＝x－10，DP＝x－8，
在Rt△PCD中，PC2＋CD2＝PD2，
即(x－10)2＋62＝(x－8)2，
解得x＝18，
∴BP＝18．
由①②可知BP＝2或18．
故答案为2或18．]
【典例4】　如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC，分别交AD，AB于点E，F，将△AEF沿EF折叠，点A落在点A′处，当△A′BC是等腰三角形时，AP的长为________．
或　[∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，∠DAC＝∠BAC，
∵EF⊥AA′，
∴∠EPA＝∠FPA＝90°，
∴∠EAP＋∠AEP＝90°，∠FAP＋∠AFP＝90°，
又∠EAP＝∠FAP，
∴∠AEP＝∠AFP，
∴AE＝AF．
∵△A′EF是由△AEF翻折得到的，
∴AE＝EA′，AF＝FA′，
∴AE＝EA′＝A′F＝FA，
∴四边形AEA′F是菱形，
∴AP＝PA′．
①当CB＝CA′时，∵AA′＝AC－CA′＝3，∴AP＝AA′＝；
②当A′C＝A′B时，∵∠A′CB＝∠A′BC＝∠BAC，
∴△A′CB∽△BAC，
∴＝，
∴A′C＝，
∴AA′＝8－＝，
∴AP＝AA′＝．
故答案为或．]
[跟踪训练]
1．(2024·泰安一模)如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为________．
16或4　[需分三种情况讨论：
①若DB′＝DC，则DB′＝16(易知此时点F在BC上且不与点C，B重合)；
②若CB′＝CD，因为EB＝EB′，CB＝CB′，所以点E，C在BB′的垂直平分线上，则EC垂直平分BB′，
由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，则这种情况不成立；
③如图，若CB′＝DB′，作B′G⊥AB与AB交于点G，交CD于点H．
因为AB∥CD，
所以B′H⊥CD．
因为CB′＝DB′，所以DH＝CD＝8，
所以AG＝DH＝8，则GE＝AG－AE＝5．
因为B′E＝BE＝13，在Rt△B′EG中，由勾股定理求得B′G＝12，
所以B′H＝GH－B′G＝4．
在Rt△B′DH中，由勾股定理求得DB′＝4．
综上，DB′的长为16或4．]
2．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为D′，连接D′B，若△D′BC为等边三角形，则DE＝________．
2－2或＋1
[①如图1所示，当点E在边AD上时，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝30°，
∴CD＝AB＝2，∠D＝∠B＝30°，∠BCD＝150°，
∵△D′BC为等边三角形，
∴∠BCD′＝60°，
∴∠DCD′＝90°，
∵△CDE沿CE折叠，得到△CD′E，
∴△DCE≌△D′CE，
∴∠DCE＝∠DCD′＝45°，
过点E作EF⊥CD，垂足为F，
则∠CFE＝90°，
∴∠CEF＝∠DCE＝45°，
∴CF＝EF，
在Rt△DEF中，∠D＝30°，
∴EF＝DE，
设EF＝x，则DE＝2x，CF＝x，
由勾股定理可得：FD＝x，
∵CF＋FD＝CD＝2，
即x＋x＝2，
解得：x＝－1，
∴DE＝2x＝2－2．
②当点E在DA的延长线上时，如图2，过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F
由折叠可知∠ED′C＝∠D＝30°，又∠BD′C＝60°，
所以D′E为∠BD′C的平分线，
又△BD′C是等边三角形，所以D′E⊥BC．
又AD∥BC，所以D′E⊥AD．
因为∠ABC＝30°，所以∠BAF＝30°，
又AB＝2，所以AF＝，
令D′E与BC的交点为G，则易知EF＝BG＝BC＝1，
所以AE＝－1，
所以此时DE＝＋1．
故答案为2－2或＋1．]
模型三　动态折叠问题
[模型特点]
一般是在动点处翻折，考查特殊图形的存在性问题，由于对应关系不确定，需要进行分类讨论．
【典例5】　如图1，△ADC中，点E和点F分别为AD，AC上的动点，把△ADC纸片沿EF折叠，使得点A落在△ADC的外部A′处，如图2所示．若∠1＝100°，∠2＝60°，则∠A的度数为(　　)
A．18° B．20°
C．21° D．22°
B　[由折叠得∠AEF＝∠A′EF，∠AFE＝∠A′FE，
∵∠AEF＋∠A′EF＋∠1＝180°，且∠1＝100°，
∴2∠AEF＋100°＝180°，
∴∠AEF＝40°，
∵∠AFE＋∠A′FE＋∠AFA′＝360°，且∠AFA′＝180°－∠2＝180°－60°＝120°，
∴2∠AFE＋120°＝360°，
∴∠AFE＝120°，
∴∠A＝180°－∠AEF－∠AFE＝180°－40°－120°＝20°．
故选B．]
[跟踪训练]
1．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F分别在边AD和BC上，且∠EFC＝49°，H和G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K处，若MN∥PK，则∠KHD的度数为________．
98°或82°　[当PK在AD上方时，延长MN，KH交于点Q，
由折叠可知，∠K＝∠P＝90°，∠ENM＝90°，
∵PK∥MN，
∴∠K＝∠Q＝90°，
∴∠ENM＝∠Q，
∴EN∥KH，
∵∠EFC＝49°，
∴∠AEF＝49°，
∴∠AEN＝98°，
∴∠AHQ＝98°，
∵∠KHD＝∠AHQ，
∴∠KHD＝98°；
当PK在AD下方时，延长HK，MN交于点T，
由折叠可知，∠HKP＝90°，∠MNE＝90°，
∵MN∥KP，
∴∠T＝∠HKP＝90°，
∴∠ENM＝∠T＝90°，
∴EN∥HK，
∵∠EFC＝49°，
∴∠AEF＝49°，
∴∠AEN＝98°，
∴∠AHK＝98°，
∴∠KHD＝180°－∠AHK＝82°．
综上所述：∠KHD＝98°或82°，
故答案为98°或82°．]
2．(2024·肥城一模)如图，矩形ABCD中，AD＝13，AB＝17，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为________．
或　[如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，
则四边形MBPD′为矩形，
∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，
∴MD′＝PD′，
设MD′＝x，则PD′＝BM＝x，
∴AM＝AB－BM＝17－x，
由折叠的性质可得AD＝AD′＝13，
在Rt△AMD′中，
由勾股定理得AM2＋D′M2＝AD′2，
∴(17－x)2＋x2＝132，
解得x＝12或x＝5，即MD′＝5或MD′＝12．
在Rt△END′中，设ED′＝ED＝a，
①当MD′＝5时，AM＝17－5＝12，D′N＝13－5＝8，EN＝12－a，
由勾股定理得，a2＝82＋(12－a)2，
解得a＝，即DE＝；
②当MD′＝12时，AM＝17－12＝5，D′N＝13－12＝1，EN＝5－a，
由勾股定理得，a2＝12＋(5－a)2，
解得a＝，即DE＝．
故答案为或．]
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微专题七　图形的折叠问题
模型一　折叠中的度数或线段长度问题
[模型展示]
1．图形的折叠实质是轴对称变换，即折叠前后的两个图形是全等的．
(1)全等关系：△BC′D≌△BCD≌△DAB，△ABE≌△C′DE．
(2)线段相等：C′D＝CD，BC′＝BC．
(3)角相等：∠1＝∠2，∠3＝∠4．
(4)特殊三角形：△BED是等腰三角形．
2．折痕是两对称点连接线段的垂直平分线，即BD垂直平分CC′．
3．折痕可看成折叠前后对应线段夹角的平分线．
【典例1】　如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α＋β＝118°，则∠EMF的度数为(　　)
A．59°　　　
B．58°　　　
C．57°　　　
D．56°
√
D　[∵AD∥BC，
∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，
∴∠DEG＋∠AFH＝α＋β＝118°，
由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，
∴∠DEM＋∠AFM＝2×118°＝236°，
∴∠FEM＋∠EFM＝360°－236°＝124°，
在△EFM中，
∠EMF＝180°－(∠FEM＋∠EFM)＝180°－124°＝56°．
故选D．]
[跟踪训练]
1．已知一张三角形纸片ABC(如图甲)，其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD(如图乙)．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF(如图丙)．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为(　　)
A．60° B．72°
C．36° D．90°
√
B　[∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，
由折叠得∠BED＝∠C，∠EDF＝∠A，
∴∠BED＝∠EDF＋∠A＝2∠A，
∴∠ABC＝∠C＝2∠A，
∵∠ABC＋∠C＋∠A＝180°，
∴2∠A＋2∠A＋∠A＝180°，
∴∠A＝36°，
∴∠ABC＝2∠A＝72°．故选B．]
2．如图，将一张长方形纸条折叠，若边AB∥CD，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是(　　)
A．∠1＝2∠2
B．∠1＋∠2＝90°
C．∠1－∠2＝30°
D．2∠1－3∠2＝30°
√
B　[∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠DCA＝180°，
∵∠BAC＝180°－2∠1，∠DCA＝180°－2∠2，
∴180°－2∠1＋180°－2∠2＝180°，
∴∠1＋∠2＝90°．
故选B．]
√
A　[∵沿过点A的直线AD将纸片折叠，使点B落在边BC上的点P处，
∴AP＝AB＝2，∠B＝∠APB，
∵折叠纸片，使点C与点P重合，
∴CE＝PE，∠C＝∠CPE，
∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠C＝90°，
∴∠APB＋∠CPE＝90°，∴∠APE＝90°，
∴AP2＋PE2＝AE2．
√
C　[连接AF，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，
∴AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝90°，
∵点E是AD上一点，且ED＝2AE，
∴AE＋2AE＝6，
∴AE＝2，
√
模型二　折叠中的多解问题
[模型展示]
1．直角三角形的角不确定
折叠后△BEF为直角三角形，则∠EFB＝90°或∠FEB＝90°．
2．等腰三角形的腰和底不确定
折叠后△A′EC是以A′E为腰的等腰三角形，则CE为底或A′C为底．
√
[跟踪训练]
1．如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，点M，N分别是AB，BC上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′落在线段AC所在的直线上，若△NB′C为直角三角形，则∠MNB′的度数为____________．
75°或45°
2．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点P是直线BC上一动点，若将△ABP沿AP折叠，使点B落在点E处，若P，E，D三点在同一条直线上，则BP＝________．
2或18
【典例4】　如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC，分别交AD，AB于点E，F，将△AEF沿EF折叠，点A落在点A′处，当△A′BC是等腰三角形时，AP的长为________．
[跟踪训练]
1．(2024·泰安一模)如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为____________．
2．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为D′，连接D′B，若△D′BC为等边三角形，则DE＝_________________．
②当点E在DA的延长线上时，如图2，过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F
由折叠可知∠ED′C＝∠D＝30°，又∠BD′C＝60°，
所以D′E为∠BD′C的平分线，
又△BD′C是等边三角形，所以D′E⊥BC．
又AD∥BC，所以D′E⊥AD．
模型三　动态折叠问题
[模型特点]
一般是在动点处翻折，考查特殊图形的存在性问题，由于对应关系不确定，需要进行分类讨论．
【典例5】　如图1，△ADC中，点E和点F分别为AD，AC上的动点，把△ADC纸片沿EF折叠，使得点A落在△ADC的外部A′处，如图2所示．若∠1＝100°，∠2＝60°，则∠A的度数为(　　)
A．18°
B．20°
C．21°
D．22°
√
B　[由折叠得∠AEF＝∠A′EF，∠AFE＝∠A′FE，
∵∠AEF＋∠A′EF＋∠1＝180°，且∠1＝100°，
∴2∠AEF＋100°＝180°，
∴∠AEF＝40°，
∵∠AFE＋∠A′FE＋∠AFA′＝360°，且∠AFA′＝180°－∠2＝180°－60°＝120°，
∴2∠AFE＋120°＝360°，∴∠AFE＝120°，
∴∠A＝180°－∠AEF－∠AFE＝180°－40°－120°＝20°．
故选B．]
[跟踪训练]
1．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F分别在边AD和BC上，且∠EFC＝49°，H和G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K处，若MN∥PK，则∠KHD的度数为____________．
98°或82°
98°或82°　[当PK在AD上方时，延长MN，KH交于点Q，
由折叠可知，∠K＝∠P＝90°，∠ENM＝90°，
∵PK∥MN，∴∠K＝∠Q＝90°，
∴∠ENM＝∠Q，∴EN∥KH，
∵∠EFC＝49°，∴∠AEF＝49°，
∴∠AEN＝98°，∴∠AHQ＝98°，
∵∠KHD＝∠AHQ，∴∠KHD＝98°；
当PK在AD下方时，延长HK，MN交于点T，
由折叠可知，∠HKP＝90°，∠MNE＝90°，
∵MN∥KP，
∴∠T＝∠HKP＝90°，∴∠ENM＝∠T＝90°，
∴EN∥HK，∵∠EFC＝49°，
∴∠AEF＝49°，∴∠AEN＝98°，
∴∠AHK＝98°，∴∠KHD＝180°－∠AHK＝82°．
综上所述：∠KHD＝98°或82°，故答案为98°或82°．]
2．(2024·肥城一模)如图，矩形ABCD中，AD＝13，AB＝17，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为________．

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