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第二节　三角形的有关概念和性质
考点一　三角形的相关概念
1．三角形的概念 ：由不在同一直线上的三条线段________相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的________叫做三角形的边．相邻两边的________叫做三角形的顶点．________两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
2．三角形的分类
(1)按角的关系分类
三角形
(2)按边的关系分类
三角形
考点二　三角形的边、角的关系
1．三角形的三边关系：三角形任意两边之和________第三边，三角形任意两边之差________第三边．
2．三角形三个内角的和：三角形的内角和为________．
3．三角形外角与内角的关系
(1)三角形的一个外角等于与它________的两个内角的和．
(2)三角形的一个外角大于与它________的任何一个内角．
考点三　三角形的重要线段及相关计算
名称 性质
角平 分线 (1)角平分线可以得到两个相等的角． (2)三角形的三条角平分线交于一点(内心)
中线 (1)将三角形的面积________． (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的________． (3)三角形的三条中线交于一点(重心)
高 (1)一个三角形有3条高，可能在三角形内部，也可能在三角形上，还可能在三角形的外部． (2)三角形的三条高所在的直线交于一点
中位线 平行于第三边，且等于第三边的________
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是(　　)
A．3，6，9 B．5，6，8　
C．1，2，4 D．5，6，15
2．(鲁教版七上P7习题1.2 T1改编)已知△ABC有一个内角为100°，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形
B．钝角三角形　
C．直角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
3．(鲁教版七下P59习题8.9T3改编)如图所示，已知∠A＝65°，∠B＝20°，∠C＝32°，则∠BDC的度数是(　　)
A．135° B．128°
C．117° D．97°
4．如图△ABC中，BC边上的高是(　　)
A．AD
B．BE
C．CF
D．以上都不对
命题点1　三角形的边、角关系
【典例1】　(2024·岱岳区期末)下列长度的三条线段中，能够首尾相接构成一个三角形的是(　　)
A．1 cm，2 cm，3 cm B．2 cm，2 cm，4 cm　
C．3 cm，4 cm，5 cm D．3 cm，5 cm，9 cm
[听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断三条线段能否构成三角形时，通常是求两条较短线段的和与最长线段作比较或最长线段与最短线段之差与第三条线段作比较．
【典例2】　如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝50°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为(　　)
A．80° B．30°
C．35° D．50°
[听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)在三角形中，已知两个内角的度数，可以求出第三个内角的度数．
(2)在三角形中，已知三个内角的关系，可以求出这三个内角的度数．
[对点演练]
1．[情境题]一个木工师傅现有两根木条，它们的长度分别为30和80，现在要做一个三角形的木架，则第三根木条应选取(　　)
A．10 B．70
C．130 D．40
2．(人教版八上例题)如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
命题点2　三角形的重要线段
【典例3】　(2024·甘肃兰州)如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18 m，由此估测A，B之间的距离约为(　　)
A．18 m B．24 m
C．36 m D．54 m
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[对点演练]
1．[情境题]王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的(　　)
A．角平分线 B．中线　
C．高线 D．以上都不是
2．(2024·浙江)如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为________．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第二节　三角形的有关概念和性质
考点一　三角形的相关概念
1．三角形的概念 ：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
2．三角形的分类
(1)按角的关系分类
三角形
(2)按边的关系分类
三角形
考点二　三角形的边、角的关系
1．三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．
2．三角形三个内角的和：三角形的内角和为180°．
3．三角形外角与内角的关系
(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
(2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
考点三　三角形的重要线段及相关计算
名称 性质
角平 分线 (1)角平分线可以得到两个相等的角． (2)三角形的三条角平分线交于一点(内心)
中线 (1)将三角形的面积等分． (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． (3)三角形的三条中线交于一点(重心)
高 (1)一个三角形有3条高，可能在三角形内部，也可能在三角形上，还可能在三角形的外部． (2)三角形的三条高所在的直线交于一点
中位线 平行于第三边，且等于第三边的一半
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是(　　)
A．3，6，9 B．5，6，8　
C．1，2，4 D．5，6，15
B　[根据三角形的三边关系，得
A．3＋6＝9，不能组成三角形，不符合题意；
B．6＋5＝11＞8，能组成三角形，符合题意；
C．1＋2＝3＜4，不能组成三角形，不符合题意；
D．5＋6＝11＜15，不能组成三角形，不符合题意．
故选B．]
2．(鲁教版七上P7习题1.2 T1改编)已知△ABC有一个内角为100°，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形
B．钝角三角形　
C．直角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
B　[∵△ABC有一个内角为100°，
∴△ABC一定是钝角三角形．
故选B．]
3．(鲁教版七下P59习题8.9T3改编)如图所示，已知∠A＝65°，∠B＝20°，∠C＝32°，则∠BDC的度数是(　　)
A．135° B．128°
C．117° D．97°
C　[连接AD并延长，
∵∠3是△ABD的外角，∴∠3＝∠1＋∠B，
∵∠4是△ACD的外角，∴∠4＝∠2＋∠C，
两式相加得，∠3＋∠4＝∠1＋∠B＋∠2＋∠C，即∠BDC＝65°＋20°＋32°＝117°．
故选C．]
4．如图△ABC中，BC边上的高是(　　)
A．AD
B．BE
C．CF
D．以上都不对
A　[由题意，三角形的高是指三角形的顶点到对边的垂线段，观察可得高是AD，BE是点E到BC的垂线段，CF是点C到AB的垂线段，都不合要求．
故选A．]
命题点1　三角形的边、角关系
【典例1】　(2024·岱岳区期末)下列长度的三条线段中，能够首尾相接构成一个三角形的是(　　)
A．1 cm，2 cm，3 cm B．2 cm，2 cm，4 cm　
C．3 cm，4 cm，5 cm D．3 cm，5 cm，9 cm
C　[A．∵1＋2＝3，∴长为1 cm，2 cm，3 cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B．∵2＋2＝4，∴长为2 cm，2 cm，4 cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C．∵3＋4＞5，
∴长为3 cm，4 cm，5 cm的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
D．∵3＋5＜9，∴长为3 cm，5 cm，9 cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意．
故选C．]
　判断三条线段能否构成三角形时，通常是求两条较短线段的和与最长线段作比较或最长线段与最短线段之差与第三条线段作比较．
【典例2】　如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝50°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为(　　)
A．80° B．30°
C．35° D．50°
C　[∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°－50°－60°＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC＝35°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠DAC＝35°，
故选C．]
　(1)在三角形中，已知两个内角的度数，可以求出第三个内角的度数．
(2)在三角形中，已知三个内角的关系，可以求出这三个内角的度数．
[对点演练]
1．[情境题]一个木工师傅现有两根木条，它们的长度分别为30和80，现在要做一个三角形的木架，则第三根木条应选取(　　)
A．10 B．70
C．130 D．40
B　[80－30＜x＜80＋30，
即50＜x＜110．
故选B．]
2．(人教版八上例题)如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数．
[解]　由∠BAC＝40°，AD是△ABC的角平分线，得∠BAD＝∠BAC＝20°．
在△ABD中，
∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－75°－20°＝85°．
命题点2　三角形的重要线段
【典例3】　(2024·甘肃兰州)如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18 m，由此估测A，B之间的距离约为(　　)
A．18 m B．24 m
C．36 m D．54 m
C　[∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴根据三角形的中位线定理，得AB＝2DE＝36 m．
故选C．]
[对点演练]
1．[情境题]王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的(　　)
A．角平分线 B．中线　
C．高线 D．以上都不是
B　[由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
所以他所作的线段AD应该是△ABC的中线，
故选B．]
2．(2024·浙江)如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为________．
4　[∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，
∴BC＝2DE＝2×2＝4，DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，
∵∠AED＝∠BEC，∴∠BEC＝∠C，
∴BE＝BC＝4．]
课时分层评价卷(十五)　三角形的有关概念和性质
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共70分)
1．[情境题]小明有两根长度为4 cm和10 cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择(　　)
A．3 cm　 　B．5 cm　 　C．8 cm　 　D．15 cm
C　[设第三边长为x cm，
由三角形三边关系可知，
6＜x＜14，
∴8 cm适合．
故选C．]
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，下列说法中不正确的是(　　)
A．BE是△ABD的中线
B．BD是△BCE的角平分线　
C．∠1＝∠2＝∠3
D．BC是△BDE的高
C　[A．由图可知，BE是△ABD的中线，正确，不符合题意；
B．由图可知，BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意；
C．∵BD是△BCE的角平分线，
∴∠3＝∠2，
∵BE是中线，
∴∠1≠∠2，
∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意．
D．由图可知，
∵∠C＝90°，
∴BC是△BDE的高，正确，不符合题意．
故选C．]
3．[易错题]如图，在△ABC中，利用三角板能表示BC边上的高的为(　　)
A． B．
C． D．
B　[A．表示的是△ABC中AB边上的高，故此选项不符合题意；
B．表示的是△ABC中BC边上的高，故此选项符合题意；
C．不能表示△ABC的高，故此选项不符合题意；
D．表示的是△ABC中AC边上的高，故此选项不符合题意．
故选B．]
4．如图，在△ABC中，D是BC的中点，若△ABC的面积是4，则△ADC的面积是(　　)
A．1 B．2
C．2.5 D．3
B　[∵在△ABC中，D是BC的中点，△ABC的面积是4，
∴△ADC的面积是△ABC的面积的一半，
∴△ADC的面积是2，
故选B．]
5．(2024·四川乐山)下列多边形中，内角和最小的是(　　)
A． B．
C． D．
A　[三角形的内角和为180°，四边形的内角和为：(4－2)×180°＝360°，五边形的内角和为：(5－2)×180°＝540°，六边形的内角和为：(6－2)×180°＝720°，
∵180°＜360°＜540°＜720°，
∴在三角形，四边形，五边形和六边形中，内角和最小的是三角形．
故选A．]
6．(2024·四川广安)如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为(　　)
A．45° B．50°
C．60° D．65°
D　[∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠B＝∠CED＝70°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－45°－70°＝65°．
故选D．]
7．(2024·重庆)若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数为 ________．
8　[∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，
∴360°÷45°＝8，
即该正多边形的边数为8．]
8．[数学文化](2024·甘肃临夏州)“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”窗棂的外边框为正六边形(如图)，则该正六边形的每个内角为 ________．
120°　[∵正六边形的内角和为：(6－2)×180°＝720°，
∴该正六边形的每个内角为：720°÷6＝120°．]
9．将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 ________．
75°　[如图所示．
依题意得：∠2＝60°，∠3＝45°，
∴∠4＝180°－(∠2＋∠3)＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠4＝75°．]
10．如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，点G在CA的延长线上，GE交AB于点F，交BC于点E，且∠G＝∠AFG＝35°，∠BEG＝100°，求∠ADC的度数．
[解]　∵∠G＝∠AFG＝35°，
∴∠GAF＝180°－∠G－∠AFG＝110°，
∴∠BAC＝180°－∠GAF＝70°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝35°，
∴∠AFG＝∠BFE＝35°，
在△BEF中，∵∠BEG＝100°，
∴∠B＝180°－∠BEG－∠BFE＝180°－100°－35°＝45°，
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝45°＋35°＝80°．
11．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c都是整数．
(1)若a，b，c满足|a－b|＋|b－c|＝0，试判断△ABC的形状；
(2)若a＝2，b＝5，且c是奇数，试判断△ABC的形状；
(3)化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|．
[解]　(1)∵a，b，c满足|a－b|＋|b－c|＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC的形状是等边三角形．
(2)∵a＝2，b＝5，
∴5－2＜c＜5＋2，
∴3＜c＜7，
∵c是奇数，
∴c＝5，
∴b＝c，
∴△ABC的形状是等腰三角形．
(3)∵b＋c＞a，a＋c＞b，a＋b＞c，
∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|
＝－(a－b－c)＋[－(b－c－a)]＋[－(c－a－b)]
＝b＋c－a＋a＋c－b＋a＋b－c
＝a＋b＋c．
12．如图，有一个三角形纸片ABC，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角进行折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝36°，则∠1的度数为(　　)
A．96° B．106°
C．116° D．126°
C　[如图，
∵∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－65°－75°＝40°，
又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，
∴∠C′＝∠C＝40°，
而∠3＋∠2＋∠5＋∠C′＝180°，∠5＝∠4＋∠C＝∠4＋40°，∠2＝36°，
∴∠3＋36°＋∠4＋40°＋40°＝180°，
∴∠3＋∠4＝64°，
∴∠1＝180°－64°＝116°．
故选C．]
13．(2024·四川凉山州)如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 ________．
100°　[∵CD是边AB上的高，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
∵∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，
∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝50°，∠CBA＝90°－∠BCD＝60°，
∴∠CAB＝90°－∠ACD＝40°，
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠EAB＝∠CAB＝20°，
∴∠AEB＝180°－∠EAB－∠EBA＝100°．]
14．已知，如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为 ________cm2．
1　[∵D为BC中点，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2(cm2)，
同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1(cm2)，
∴S△BCE＝2(cm2)，
∵F为EC中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1(cm2)．]
15．若△ABC的三边长分别为5，3，k，且关于y的一元一次方程3(y－1)－2(y－k)＝7的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为 ________．
18　[3(y－1)－2(y－k)＝7，
则3y－3－2y＋2k＝7，
解得y＝10－2k，
∵关于y的一元一次方程3(y－1)－2(y－k)＝7的解为非正数，
∴10－2k≤0，
解得k≥5，
∵△ABC的三边长分别为5，3，k，
∴2＜k＜8，
故符合题意的k的值为5，6，7，
则符合条件的所有整数k的和为5＋6＋7＝18．]
16．[归纳猜想题]已知：多边形的外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN．
(1)若多边形为四边形ABCD．
①如图1，∠A＝50°，∠C＝100°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数；
②如图2，猜测当∠A和∠C满足什么数量关系时，BM∥DN，并证明你的猜想．
(2)如图3，若多边形是五边形ABCDG，已知∠A＝140°，∠G＝100°，∠BCD＝120°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数．
[解]　(1)①∵∠A＝50°，∠C＝100°，
∴在四边形ABCD中，
∠ABC＋∠ADC＝360°－∠A－∠C＝210°，
∴∠CBE＋∠CDF＝150°．
∵外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN，
∴∠PBC＋∠PDC＝∠CBE＋∠CDF＝＝×150°＝75°，
∴∠BPD＝360°－∠A－(∠ABC＋∠ADC)－(∠PBC＋∠PDC)＝360°－50°－210°－75°＝25°．
②当∠A＝∠C时，BM∥DN．
证明：如图，连接BD．
∵BM∥DN，
∴∠BDN＋∠DBM＝180°，
∴∠FDN＋∠ADB＋∠ABD＋∠MBE＝360°－180°＝180°，
即(∠FDC＋∠CBE)＋(∠ADB＋∠ABD)＝180°，
∴(360°－∠ADC－∠CBA)＋(180°－∠A)＝180°，
∴(360°－360°＋∠A＋∠C)＋(180°－∠A)＝180°，
∴∠A＝∠C．
(2)如图，延长DC交BP于点Q．
∵∠A＝140°，∠G＝100°，∠BCD＝120°，
∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDG＋∠G＝540°，
∴∠ABC＋∠CDG＝180°，
∴∠CBE＋∠CDF＝360°－180°＝180°，
∵BP平分∠CBE，DP平分∠CDF，
∴∠CBP＋∠CDP＝(∠CBE＋∠CDF)＝90°，
∵∠BCD＝∠CBP＋∠CQB，∠CQB＝∠QDP＋∠BPD，
∴∠BCD＝∠CBP＋∠QDP＋∠BPD，
∴∠BPD＝∠BCD－(∠CBP＋∠QDP)＝120°－90°＝30°．
17．[规律探究题](2024·四川达州)如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB，外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD，在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝∠E1AB，∠E2BD＝∠E1BD，…，以此规律作下去，若∠C＝m°，则∠En＝______度．
m　[由题意∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD，
∴设∠E1AD＝α，∠E1BD＝β，则∠CAB＝3α，∠CBD＝3β，
由三角形的外角的性质，得β＝α＋∠E1，3β＝3α＋∠C，∠E1＝∠C，
同理可求：∠E2＝∠E1，∠E2＝∠C ，…，∠En＝∠C，
即∠En＝m°．]
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第二节　三角形的有关概念和性质
链接教材 基础过关
考点一　三角形的相关概念
1．三角形的概念 ：由不在同一直线上的三条线段________相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的____叫做三角形的边．相邻两边的________叫做三角形的顶点．____两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
首尾顺次
线段
公共端点
相邻
考点二　三角形的边、角的关系
1．三角形的三边关系：三角形任意两边之和____第三边，三角形任意两边之差____第三边．
2．三角形三个内角的和：三角形的内角和为______．
3．三角形外角与内角的关系
(1)三角形的一个外角等于与它______的两个内角的和．
(2)三角形的一个外角大于与它______的任何一个内角．
大于
小于
180°
不相邻
不相邻
考点三　三角形的重要线段及相关计算
名称 性质
角平
分线 (1)角平分线可以得到两个相等的角．
(2)三角形的三条角平分线交于一点(内心)
中线 (1)将三角形的面积____．
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的____．
(3)三角形的三条中线交于一点(重心)
等分
一半
名称 性质
高 (1)一个三角形有3条高，可能在三角形内部，也可能在三角形上，还可能在三角形的外部．
(2)三角形的三条高所在的直线交于一点
中位线 平行于第三边，且等于第三边的____
一半
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是(　　)
A．3，6，9 B．5，6，8　
C．1，2，4 D．5，6，15
√
B　[根据三角形的三边关系，得
A．3＋6＝9，不能组成三角形，不符合题意；
B．6＋5＝11＞8，能组成三角形，符合题意；
C．1＋2＝3＜4，不能组成三角形，不符合题意；
D．5＋6＝11＜15，不能组成三角形，不符合题意．
故选B．]
B　[∵△ABC有一个内角为100°，
∴△ABC一定是钝角三角形．
故选B．]
2．(鲁教版七上P7习题1.2 T1改编)已知△ABC有一个内角为100°，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形　
C．直角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
√
3．(鲁教版七下P59习题8.9T3改编)如图所示，已知∠A＝65°，∠B＝20°，∠C＝32°，则∠BDC的度数是(　　)
A．135° B．128°
C．117° D．97°
√
C　[连接AD并延长，
∵∠3是△ABD的外角，∴∠3＝∠1＋∠B，
∵∠4是△ACD的外角，∴∠4＝∠2＋∠C，
两式相加得，∠3＋∠4＝∠1＋∠B＋∠2＋∠C，
即∠BDC＝65°＋20°＋32°＝117°．故选C．]
A　[由题意，三角形的高是指三角形的顶点到对边的垂线段，观察可得高是AD，BE是点E到BC的垂线段，CF是点C到AB的垂线段，都不合要求．
故选A．]
4．如图△ABC中，BC边上的高是(　　)
A．AD B．BE
C．CF D．以上都不对
√
考点突破 对点演练
命题点1　三角形的边、角关系
【典例1】　(2024·岱岳区期末)下列长度的三条线段中，能够首尾相接构成一个三角形的是(　　)
A．1 cm，2 cm，3 cm B．2 cm，2 cm，4 cm　
C．3 cm，4 cm，5 cm D．3 cm，5 cm，9 cm
√
C　[A．∵1＋2＝3，∴长为1 cm，2 cm，3 cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B．∵2＋2＝4，∴长为2 cm，2 cm，4 cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C．∵3＋4＞5，
∴长为3 cm，4 cm，5 cm的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
D．∵3＋5＜9，∴长为3 cm，5 cm，9 cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意．故选C．]
归纳总结　判断三条线段能否构成三角形时，通常是求两条较短线段的和与最长线段作比较或最长线段与最短线段之差与第三条线段作比较．
【典例2】　如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝50°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为(　　)
A．80°
B．30°
C．35°
D．50°
√
C　[∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°－50°－60°＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC＝35°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠DAC＝35°，
故选C．]
归纳总结　(1)在三角形中，已知两个内角的度数，可以求出第三个内角的度数．
(2)在三角形中，已知三个内角的关系，可以求出这三个内角的度数．
B　[80－30＜x＜80＋30，
即50＜x＜110．
故选B．]
[对点演练]
1．[情境题]一个木工师傅现有两根木条，它们的长度分别为30和80，现在要做一个三角形的木架，则第三根木条应选取(　　)
A．10 B．70
C．130 D．40
√
2．(人教版八上例题)如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数．
命题点2　三角形的重要线段
【典例3】　(2024·甘肃兰州)如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18 m，由此估测A，B之间的距离约为(　　)
A．18 m B．24 m
C．36 m D．54 m
√
C　[∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴根据三角形的中位线定理，得AB＝2DE＝36 m．
故选C．]
B　[由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，所以他所作的线段AD应该是△ABC的中线，故选B．]
[对点演练]
1．[情境题]王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的(　　)
A．角平分线 B．中线　
C．高线 D．以上都不是
√
4　[∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，
∴BC＝2DE＝2×2＝4，DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，
∵∠AED＝∠BEC，∴∠BEC＝∠C，
∴BE＝BC＝4．]
2．(2024·浙江)如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE．若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为________．
4
课时分层评价卷(十五)　三角形的有关概念和性质
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共70分)

1．[情境题]小明有两根长度为4 cm和10 cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择(　　)
A．3 cm　 　B．5 cm　 　C．8 cm　 　D．15 cm
√
题号
1
3
5
2
4
6
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15
16
17
C　[设第三边长为x cm，
由三角形三边关系可知，
6＜x＜14，
∴8 cm适合．
故选C．]
题号
1
3
5
2
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17
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，下列说法中不正确的是(　　)
A．BE是△ABD的中线
B．BD是△BCE的角平分线　
C．∠1＝∠2＝∠3
D．BC是△BDE的高
√
题号
1
3
5
2
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6
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17
C　[A．由图可知，BE是△ABD的中线，正确，不符合题意；
B．由图可知，BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意；
C．∵BD是△BCE的角平分线，
∴∠3＝∠2，∵BE是中线，
∴∠1≠∠2，∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意．
D．由图可知，∵∠C＝90°，
∴BC是△BDE的高，正确，不符合题意．故选C．]
题号
1
3
5
2
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6
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17
3．[易错题]如图，在△ABC中，利用三角板能表示BC边上的高的为
(　　)
√
题号
1
3
5
2
4
6
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15
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17
B　[A．表示的是△ABC中AB边上的高，故此选项不符合题意；
B．表示的是△ABC中BC边上的高，故此选项符合题意；
C．不能表示△ABC的高，故此选项不符合题意；
D．表示的是△ABC中AC边上的高，故此选项不符合题意．
故选B．]
题号
1
3
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6
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17
4．如图，在△ABC中，D是BC的中点，若△ABC的面积是4，则△ADC的面积是(　　)
A．1
B．2
C．2.5
D．3
√
题号
1
3
5
2
4
6
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16
17
B　[∵在△ABC中，D是BC的中点，△ABC的面积是4，
∴△ADC的面积是△ABC的面积的一半，
∴△ADC的面积是2，
故选B．]
题号
1
3
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2
4
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17
5．(2024·四川乐山)下列多边形中，内角和最小的是(　　)
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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17
A　[三角形的内角和为180°，四边形的内角和为：(4－2)×180°＝360°，五边形的内角和为：(5－2)×180°＝540°，六边形的内角和为：(6－2)×180°＝720°，
∵180°＜360°＜540°＜720°，
∴在三角形，四边形，五边形和六边形中，内角和最小的是三角形．
故选A．]
题号
1
3
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2
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6
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6．(2024·四川广安)如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为(　　)
A．45°
B．50°
C．60°
D．65°
√
题号
1
3
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4
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17
D　[∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠B＝∠CED＝70°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－45°－70°＝65°．
故选D．]
题号
1
3
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17
7．(2024·重庆)若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数为 ________．
8
8　[∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，
∴360°÷45°＝8，
即该正多边形的边数为8．]
题号
1
3
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2
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8．[数学文化](2024·甘肃临夏州)“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”窗棂的外边框为正六边形(如图)，则该正六边形的每个内角为 ________．
120°
120°　[∵正六边形的内角和为：(6－2)×180°＝720°，
∴该正六边形的每个内角为：720°÷6＝120°．]
题号
1
3
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2
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6
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16
17
9．将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 ________．
75°
题号
1
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5
2
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16
17
75°　[如图所示．
依题意得：∠2＝60°，∠3＝45°，
∴∠4＝180°－(∠2＋∠3)＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠4＝75°．]
题号
1
3
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10．如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，点G在CA的延长线上，GE交AB于点F，交BC于点E，且∠G＝∠AFG＝35°，∠BEG＝100°，求∠ADC的度数．
题号
1
3
5
2
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题号
1
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11．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c都是整数．
(1)若a，b，c满足|a－b|＋|b－c|＝0，试判断△ABC的形状；
(2)若a＝2，b＝5，且c是奇数，试判断△ABC的形状；
(3)化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|．
题号
1
3
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2
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17
[解]　(1)∵a，b，c满足|a－b|＋|b－c|＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，
∴△ABC的形状是等边三角形．
(2)∵a＝2，b＝5，
∴5－2＜c＜5＋2，∴3＜c＜7，
∵c是奇数，
∴c＝5，∴b＝c，
∴△ABC的形状是等腰三角形．
题号
1
3
5
2
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17
(3)∵b＋c＞a，a＋c＞b，a＋b＞c，
∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|
＝－(a－b－c)＋[－(b－c－a)]＋[－(c－a－b)]
＝b＋c－a＋a＋c－b＋a＋b－c
＝a＋b＋c．
题号
1
3
5
2
4
6
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16
17
12．如图，有一个三角形纸片ABC，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角进行折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝36°，则∠1的度数为(　　)
A．96° B．106°
C．116° D．126°
√
题号
1
3
5
2
4
6
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15
16
17
C　[如图，∵∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－65°－75°＝40°，
又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，
∴∠C′＝∠C＝40°，
而∠3＋∠2＋∠5＋∠C′＝180°，∠5＝∠4＋∠C＝∠4＋40°，
∠2＝36°，
∴∠3＋36°＋∠4＋40°＋40°＝180°，
∴∠3＋∠4＝64°，
∴∠1＝180°－64°＝116°．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
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7
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16
17
13．(2024·四川凉山州)如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 ________．
100°
题号
1
3
5
2
4
6
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题号
1
3
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2
4
6
8
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15
16
17
14．已知，如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为 ________cm2．
1
题号
1
3
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2
4
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题号
1
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17
15．若△ABC的三边长分别为5，3，k，且关于y的一元一次方程3(y－1)－2(y－k)＝7的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为 ________．
18　[3(y－1)－2(y－k)＝7，
则3y－3－2y＋2k＝7，
解得y＝10－2k，
18
题号
1
3
5
2
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∵关于y的一元一次方程3(y－1)－2(y－k)＝7的解为非正数，
∴10－2k≤0，
解得k≥5，
∵△ABC的三边长分别为5，3，k，
∴2＜k＜8，
故符合题意的k的值为5，6，7，
则符合条件的所有整数k的和为5＋6＋7＝18．]
题号
1
3
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4
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17
16．[归纳猜想题]已知：多边形的外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN．
(1)若多边形为四边形ABCD．
①如图1，∠A＝50°，∠C＝100°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数；
②如图2，猜测当∠A和∠C满足什么数量关系时，BM∥DN，并证明你的猜想．
(2)如图3，若多边形是五边形ABCDG，已知∠A＝140°，∠G＝100°，∠BCD＝120°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数．
题号
1
3
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题号
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题号
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