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第六节　相似三角形
考点一　比例线段
1．比例线段定义：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例的基本性质
(1)基本性质： ad＝bc．(b，d≠0)．
(2)合比性质： ．(b，d≠0)．
(3)等比性质：(b，d，…，n≠0) (b＋d＋…＋n≠0)．
3．黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
考点二　平行线分线段成比例定理
1．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如图所示，若l3∥ l4∥ l5，则．
2．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图所示，若AB∥ CD，则．
考点三　相似三角形的性质和判定
1．相似三角形的判定
(1)定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形相似．对应线段的比叫做相似比．
(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
(3)判定定理
①两角分别相等的两个三角形相似．
②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
③三边成比例的两个三角形相似．
2．相似三角形的性质
(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
考点四　图形的位似
1．定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A′的连线都经过同一个点O，且有OA′＝k·OA(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心．实际上，k就是这两个相似多边形的相似比．
2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比．
1．(鲁教版八下P87习题9.1T2改编)下列长度的线段中，不能构成比例的是(　　)
A．3，4，6，2 B．4，5，6，10
C．1 D．4，12，9，3
B　[A．6×2＝3×4，即则能构成比例；
B．4×10≠5×6，故不能构成；
C．1×即能构成比例；
D．3×12＝4×9，即能构成比例．
故选B．]
2．若则等于(　　)
A． B．
C． D．
C　[∵
∴5(x－2y)＝2y，
∴5x＝12y，
∴．
故选C．]
3．如图，a∥b∥c，AB＝3，BC＝2，CD＝1，那么下列式子中不成立的是(　　)
A．EC∶CG＝5∶1
B．EF∶FC＝1∶1　
C．EF∶FC＝3∶2
D．EF∶EC＝3∶5
B　[∵a∥c，AB＝3，BC＝2，CD＝1，
∴EC∶CG＝AC∶CD＝5∶1，A成立；
∵a∥b，AB＝3，BC＝2，
∴EF∶FC＝AB∶BC＝3∶2，B不成立，C成立；
∵EF∶FC＝3∶2，
∴EF∶EC＝3∶5，D成立．
故选B．]
4．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与图中△ABC相似的是(　　)
A． B．
C． D．
B　[由勾股定理得AC＝∴AB∶BC∶AC＝1∶∶A．三边之比为1∶∶2图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似；B．三边之比为1∶∶图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似；C．三边之比为∶∶3，图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似；D．三边之比为2∶∶图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似．]
5．(鲁教版八下P124例改编)如图，按如下方法将△ABC的三边缩小为原来的．任取一点O，连接OA，OB，OC．
并取它们的中点D，E，F，得△EDF，下列说法：
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长之比为2∶1；
④△ABC与△DEF的面积比为4∶1．
其中正确的有________．
①②③④　[∵将△ABC的三边缩小为原来的任取一点O，连接OA，OB，OC，并取它们的中点D，E，F，得△EDF，
∴△ABC∽△DEF，相似比为2∶1，
∴面积比为4∶1．
∴①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长之比为2∶1；④△ABC与△DEF的面积比为4∶1．
∴其中正确的有①②③④．]
命题点1　比例线段
【典例1】　若则的值等于(　　)
A． B．
C．　　　 D．1
A　[∵
∴3a＝5b，即a＝b，
∴．
故选A．]
　已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解．
【典例2】　如图，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8，DE＝3，则DF的长是(　　)
A．1.5 B．6
C．9 D．12
C　[∵AD∥BE∥CF，
∴
∵AB＝4，BC＝8，DE＝3，
∴
∴EF＝6，
∴DF＝DE＋EF＝3＋6＝9．
故选C．]
　应用平行线分线段成比例定理解决问题的方法：(1)若已知条件中有平行，求两条线段的比，常考虑应用平行线分线段成比例性质求解；(2)应用时，看清平行线组，找准平行线组截得的对应线段和对应边．
[对点演练]
1．若则ab＝(　　)
A．6 B．
C．1 D．
A　[∵
∴ab＝6．
故选A．]
2．已知则＝(　　)
A． B．
C． D．
A　[∵b－3d＋2f≠0，
∴
∴
故选A．]
3．(浙教版九上例题)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4，求AC的长．
[解]　∵l1∥l2∥l3，
∴(两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例)，
∴解得AC＝12．
命题点2　相似三角形的性质和判定
【典例3】　(2023·泰安)如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，EF⊥AD．
(1)当AF＝DF时，求∠AED；
(2)求证：△EHG∽△ADG；
(3)求证：．
[解]　(1)∵△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，
∴∠ECD＝90°，∠ACB＝45°，EC＝DC，
∴∠ACD＝∠ECD－∠ACB＝90°－45°＝45°，
∴AC垂直平分ED，
∴AE＝AD，
∵EF⊥AD，AF＝DF，
∴AE＝ED，
∴AD＝AE＝ED，
∴∠AED＝60°．
(2)证明：由(1)得，AC⊥ED，
∴∠AGD＝∠AGE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AGE＝∠AFE，
∵∠EHG＝∠AHF，
∴∠DAG＝∠GEH，
∴△EHG∽△ADG．
(3)证明：由(2)知：△EHG∽△ADG，
∴
∵AD＝AE，
∴
∵∠ECD＝90°，EG＝DG，
∴CG＝EG＝DG，
∴
∴
∴．
[对点演练]
1．(2024·重庆)若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的面积比是(　　)
A．1∶3 B．1∶4
C．1∶6 D．1∶9
D　[∵两个相似三角形的相似比是1∶3，
∴这两个相似三角形的面积比是12∶32＝1∶9．
故选D．]
2．(2023·泰安)如图，在△ABC中，AC＝BC＝16，点D在AB上，点E在BC上，点B关于直线DE的轴对称点为点B′，连接DB′，EB′，分别与AC相交于F点，G点，若AF＝8，DF＝7，B′F＝4，则CG的长度为________．
　[∵△BDE与△B′DE关于DE对称，
∴∠B＝∠B′，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠A，
∴∠A＝∠B′，
又∵∠AFD＝∠B′FG，
∴△ADF∽△B′GF，
∴
即
∴GF＝
∴CG＝AC－AF－GF
＝16－8－
＝．]
3．(2022·泰安)如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．
(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．
[解]　(1)证明：如图，
在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，
∴∠2＝∠3＝∠4，∠3＋∠5＝90°．
∵DE＝BE，
∴∠1＝∠2．
又∵BE平分∠DBC，
∴∠1＝∠6，
∴∠3＝∠6，
∴∠6＋∠5＝90°，
∴BF⊥AC．
(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF．理由如下：
∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，
∴△ECF∽△OBF．
∵DE＝BE，
∴∠1＝∠2，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1＝∠4，
又∵∠BFA＝∠OFB，
∴△BAF∽△OBF．
(3)由(2)知，△OBF∽△ECF，
∴
∴即3CF＝2BF，
∴3(CF＋OF)＝3CF＋9＝2BF＋9，
∴3OC＝2BF＋9，
∴3OA＝2BF＋9①，
由(2)知，△ABF∽△BOF，
∴
∴BF2＝OF·AF，
∴BF2＝3(OA＋3)②，
联立①②，可得BF＝1＋或BF＝1－(负值舍去)，
∴DE＝BE＝2＋1＋．
命题点3　图形的位似
【典例4】　如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2，点A是位似中心．若已知点A(2，0)，点C(a，b)，∠C＝90°，则点C′的坐标为________．(结果用含a，b的式子表示)
(6－2a，－2b)　[过点C作CM⊥AB于点M，过C′作C′N⊥AB′于点N，
则∠ANC′＝∠AMC＝90°．
∵△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2，
∴．
∵∠NAC′＝∠CAM，
∴△ACM∽△AC′N．
∴．
∵A(2，0)，C(a，b)，
∴OA＝2，OM＝a，CM＝b．
∴AM＝a－2．
∴．
∴AN＝2a－4，C′N＝2b．
∴ON＝AN－OA＝2a－6．
∴点C′的坐标为(6－2a，－2b)．]
　在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
[对点演练]
1．(2024·四川凉山州)如图，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB∶BB1＝2∶3，则△A1B1C1的面积是(　　)
A．90 cm2 B．135 cm2
C．150 cm2 D．375 cm2
D　[由题意可知，△A1B1C1与△ABC是位似图形，且相似比为
所以△A1B1C1的面积是60÷＝375(cm2)．
故选D．]
2．[易错题]△AOB三个顶点的坐标分别为A(5，0)，O(0，0)，B(3，6)，以原点O为位似中心，相似比为将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是 ________．
(2，4)或(－2，－4)　[∵△AOB顶点B的坐标为(3，6)，以原点O为位似中心，
相似比为将△AOB缩小，
∴点B的对应点B′的坐标为或
即(2，4)或(－2，－4)．]
课时分层评价卷(十九)　相似三角形
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共70分)
1．(2024·四川内江)已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是(　　)
A．1∶1 B．1∶3
C．1∶6　　　 D．1∶9
B　[∵△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，
∴△ABC与△DEF的周长比为1∶3．
故选B．]
2．(2024·江苏连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为(　　)
A．甲和乙 B．乙和丁
C．甲和丙 D．甲和丁
D　[观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同．故选D．]
3．如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是(　　)
A． B．
C． D．
A　[∵DE∥BC，∴．
故选A．]
4．(2024·黑龙江绥化)如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(3，2)，C(0，2)，以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是(　　)
A．(9，4) B．(4，9)　
C． D．
D　[依题意，B(3，2)，以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是．故选D．]
5．若＝2，则＝________．
1　[∵＝2，
∴－1＝2－1＝1．]
6．[开放性试题](2024·滨州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是 ________．(写出一种情况即可)
∠ADE＝∠C(答案不唯一)　[∵∠DAE＝∠BAC，
∴添加条件：∠ADE＝∠C(答案不唯一)，判定△ADE∽△ACB．]
7．[跨学科](2024·江苏扬州)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′，设AB＝36 cm，A′B′＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离为 ________cm．
20　[设小孔O到A′B′的距离为x cm，
由题意，得△ABO∽△A′B′O，
则
解得x＝20．]
8．[数学文化](2024·山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且若NP＝2 cm，则BC的长为 ________cm(结果保留根号)．
－1　[∵四边形MNPQ是正方形，
∴∠N＝∠P＝90°，
又∵AB∥NP，
∴∠BAN＋∠N＝180°，
∴∠BAN＝90°，
∴四边形ABPN是矩形，
∴AB＝NP＝2 cm．
又∵
∴BC＝cm．]
9．[跨学科]书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2 m×0.8 m．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m，b m，c m，d m．若装裱后AB与AD的比是16∶10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度．
[解]　由题意，得AB＝(1.2＋c＋d)m，AD＝(0.8＋a＋b)m，
∵a＝b，c＝d，c＝2a，
∴AB＝(1.2＋c＋d)m＝(1.2＋4a)m，AD＝(0.8＋a＋b)m＝(0.8＋2a)m，
∵AB与AD的比是16∶10，
∴(1.2＋4a)∶(0.8＋2a)＝16∶10，
∴a＝0.1，
∴b＝0.1，c＝d＝0.2．
答：上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1 m，0.1 m，0.2 m，0.2 m．
10．(2024·广东广州)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF．
[证明]　∵BE＝3，EC＝6，CF＝2，∴BC＝3＋6＝9，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°，
∵
∴
∴△ABE∽△ECF．
11．如图，点E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为(　　)
A． B．3
C． D．4
B　[延长DF和AB，交于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，即DC∥AG，
∴△DEC∽△GEA，
∴．
∵AC＝5，CE＝1，
∴AE＝AC－CE＝5－1＝4，
∴
又∵EF＝DE
∴
∵DC＝AB，
∴
∴∴
∴AE∥BF，
∴△BGF∽△AGE，
∴
∵AE＝4，∴BF＝3．
故选B．]
12．(2024·四川乐山)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若则＝________．
　[∵AD∥BC，
∴点B到AD的距离等于点D到BC的距离，
∴
∴△AOD∽△COB，
∴．]
13．[项目式学习试题](2024·四川广元)数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形(如图 1)产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD．
(1)【初步探究】
如图2，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD·AB ;
(2)【尝试应用】
如图3，在(1)的条件下，若点D为AB中点，BC＝4，求CD的长；
(3)【创新提升】
如图4，点E为CD的中点，连接BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝2求BE的长．
[解]　(1)证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC， ∴
∴AC2＝AD·AB．
(2)∵点D为AB的中点，
∴设AD＝BD＝m，
由(1)知△ACD∽△ABC，
∴AC2＝AD·AB＝m·2m＝2m2，
∴AC＝m，
∴△ACD与△ABC的相似比为
∴
∵BC＝4，
∴CD＝2．
(3)过点C作EB的平行线交AB的延长线于点H，使得BH＝DB，过点C作CY⊥AB，如图所示．
∵点E为CD中点，
∴设CE＝DE＝a，
∵∠CDB＝∠CBD＝30°，
∴CB＝CD＝2a，∠DCB＝120°，
在Rt△BCY中，CY＝CD＝a，则由勾股定理可得BD＝2a，
过点B作BF⊥EC于点F．
∴∠FCB＝60°， ∴∠CBF＝30°，
∴CF＝BC，
∴CF＝a，BF＝a，
∴EF＝2a，
∴BE＝a，
又∵CH∥BE，点E，点B分别为CD，DH中点，
∴CH＝2BE＝2a，∠EBD＝∠H，
又∵∠ACD＝∠EBD，
∴∠ACD＝∠H，△ACD∽△AHC，
∴
又∵AC＝2 ∴AD＝2，AH＝14，
∴DH＝12，即4a＝12，
∴a＝
∴BE＝．
14．[项目式学习试题](2024·贵州)综合与探究：如图，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A．
(1)【操作判断】
如图1，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图1中画出PC，图中∠APC的度数为 ________度；
(2)【问题探究】
如图2，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，求证：OM＋ON＝2PA；
(3)【拓展延伸】
点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON＝3OM，求的值．
[解]　(1)如图，PC即为所求．
∵∠AOB＝90°，PA⊥OA，PC⊥OB，
∴四边形OAPC是矩形，
∴∠APC＝90°．
(2)证明：如图，过点P作PC⊥OB于点C．
由(1)知四边形OAPC是矩形，
∵点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA，PC⊥OB，
∴PA＝PC，
∴矩形OAPC是正方形，
∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°，
∵PN⊥PM，
∴∠APM＝∠CPN＝90°－∠MPC，
又∠MAP＝∠PCN＝90°，AP＝CP，
∴△APM≌△CPN(ASA)，
∴AM＝CN，
∴OM＋ON＝OM＋OC＋CN＝OM＋AM＋OC＝OA＋OC＝2AP，
∴OM＋ON＝2PA．
(3)①当点M在线段AO上时，如图，延长NM，PA相交于点G．
由(2)知OM＋ON＝2AP，
设OM＝x，则ON＝3x，OA＝AP＝2x．
∴AM＝AO－OM＝x＝OM，
∵∠MON＝∠MAG＝90°，∠OMN＝∠AMG，
∴△MON≌△MAG(ASA)，
∴AG＝ON＝3x．
∵AP∥OB，
∴△ONF∽△PGF，
∴
∴
∴．
②当点M在AO的延长线上时，如图，过点P作PC⊥OB于点C，并延长交MN于点G．
由(2)知，四边形OAPC是正方形，
∴△APM≌△CPN，
∴AM＝CN，
∴ON－OM＝OC＋CN－OM＝AO＋AM－OM＝2AO，
∵ON＝3OM，设OM＝x，则ON＝3x，
∴AO＝x，CN＝AM＝2x，
∵PC∥AO，
∴△CGN∽△OMN，
∴即
∴CG＝
∵PC∥AO，
∴△OMF∽△PGF，
∴
∴
∴．
综上的值为或．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第六节　相似三角形
考点一　比例线段
1．比例线段定义：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例的基本性质
(1)基本性质： ad＝________．(b，d≠0)．
(2)合比性质： ．(b，d≠0)．
(3)等比性质：(b，d，…，n≠0) (b＋d＋…＋n≠0)．
3．黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
考点二　平行线分线段成比例定理
1．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如图所示，若l3∥ l4∥ l5，则．
2．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图所示，若AB∥ CD，则．
考点三　相似三角形的性质和判定
1．相似三角形的判定
(1)定义：三角分别________，三边________的两个三角形相似．对应线段的比叫做________．
(2)预备定理：________于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
(3)判定定理
①________分别相等的两个三角形相似．
②两边________且________相等的两个三角形相似．
③三边________的两个三角形相似．
2．相似三角形的性质
(1)相似三角形的对应角________，对应边成________．
(2)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于________．
(3)相似三角形周长的比等于________，面积的比等于________．
考点四　图形的位似
1．定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A′的连线都经过同一个点O，且有OA′＝k·OA(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心．实际上，k就是这两个相似多边形的相似比．
2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于________．
1．(鲁教版八下P87习题9.1T2改编)下列长度的线段中，不能构成比例的是(　　)
A．3，4，6，2 B．4，5，6，10
C．1 D．4，12，9，3
2．若则等于(　　)
A． B．
C． D．
3．如图，a∥b∥c，AB＝3，BC＝2，CD＝1，那么下列式子中不成立的是(　　)
A．EC∶CG＝5∶1
B．EF∶FC＝1∶1　
C．EF∶FC＝3∶2
D．EF∶EC＝3∶5
4．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与图中△ABC相似的是(　　)
A． B．
C． D．
5．(鲁教版八下P124例改编)如图，按如下方法将△ABC的三边缩小为原来的．任取一点O，连接OA，OB，OC．
并取它们的中点D，E，F，得△EDF，下列说法：
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长之比为2∶1；
④△ABC与△DEF的面积比为4∶1．
其中正确的有________．
命题点1　比例线段
【典例1】　若则的值等于(　　)
A． B．
C．　　　 D．1
[听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解．
【典例2】　如图，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8，DE＝3，则DF的长是(　　)
A．1.5 B．6
C．9 D．12
[听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　应用平行线分线段成比例定理解决问题的方法：(1)若已知条件中有平行，求两条线段的比，常考虑应用平行线分线段成比例性质求解；(2)应用时，看清平行线组，找准平行线组截得的对应线段和对应边．
[对点演练]
1．若则ab＝(　　)
A．6 B．
C．1 D．
2．已知则＝(　　)
A． B．
C． D．
3．(浙教版九上例题)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4，求AC的长．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
命题点2　相似三角形的性质和判定
【典例3】　(2023·泰安)如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，EF⊥AD．
(1)当AF＝DF时，求∠AED；
(2)求证：△EHG∽△ADG；
(3)求证：．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[对点演练]
1．(2024·重庆)若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的面积比是(　　)
A．1∶3 B．1∶4
C．1∶6 D．1∶9
2．(2023·泰安)如图，在△ABC中，AC＝BC＝16，点D在AB上，点E在BC上，点B关于直线DE的轴对称点为点B′，连接DB′，EB′，分别与AC相交于F点，G点，若AF＝8，DF＝7，B′F＝4，则CG的长度为________．
3．(2022·泰安)如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．
(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
命题点3　图形的位似
【典例4】　如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2，点A是位似中心．若已知点A(2，0)，点C(a，b)，∠C＝90°，则点C′的坐标为________．(结果用含a，b的式子表示)
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
[对点演练]
1．(2024·四川凉山州)如图，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB∶BB1＝2∶3，则△A1B1C1的面积是(　　)
A．90 cm2 B．135 cm2
C．150 cm2 D．375 cm2
2．[易错题]△AOB三个顶点的坐标分别为A(5，0)，O(0，0)，B(3，6)，以原点O为位似中心，相似比为将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是 ________．
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第六节　相似三角形
链接教材 基础过关
bc
考点三　相似三角形的性质和判定
1．相似三角形的判定
(1)定义：三角分别____，三边______的两个三角形相似．对应线段的比叫做______．
(2)预备定理：____于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
相等
成比例
相似比
平行
(3)判定定理
①____分别相等的两个三角形相似．
②两边______且____相等的两个三角形相似．
③三边______的两个三角形相似．
两角
成比例
夹角
成比例
2．相似三角形的性质
(1)相似三角形的对应角____，对应边成____．
(2)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于______．
(3)相似三角形周长的比等于______，面积的比等于____________．
相等
比例
相似比
相似比
相似比的平方
考点四　图形的位似
1．定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A′的连线都经过同一个点O，且有OA′＝k·OA(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心．实际上，k就是这两个相似多边形的相似比．
2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于______．
相似比
√
√
3．如图，a∥b∥c，AB＝3，BC＝2，CD＝1，那么下列式子中不成立的是(　　)
A．EC∶CG＝5∶1
B．EF∶FC＝1∶1　
C．EF∶FC＝3∶2
D．EF∶EC＝3∶5
√
B　[∵a∥c，AB＝3，BC＝2，CD＝1，
∴EC∶CG＝AC∶CD＝5∶1，A成立；
∵a∥b，AB＝3，BC＝2，
∴EF∶FC＝AB∶BC＝3∶2，B不成立，C成立；
∵EF∶FC＝3∶2，
∴EF∶EC＝3∶5，D成立．
故选B．]
4．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与图中△ABC相似的是(　　)
√
①②③④
考点突破 对点演练
√
归纳总结　已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解．
【典例2】　如图，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8，DE＝3，则DF的长是(　　)
A．1.5
B．6
C．9
D．12
√
归纳总结　应用平行线分线段成比例定理解决问题的方法：(1)若已知条件中有平行，求两条线段的比，常考虑应用平行线分线段成比例性质求解；(2)应用时，看清平行线组，找准平行线组截得的对应线段和对应边．
√
√
3．(浙教版九上例题)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4，求AC的长．
[解]　(1)∵△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，
∴∠ECD＝90°，∠ACB＝45°，EC＝DC，
∴∠ACD＝∠ECD－∠ACB＝90°－45°＝45°，
∴AC垂直平分ED，
∴AE＝AD，
∵EF⊥AD，AF＝DF，
∴AE＝ED，
∴AD＝AE＝ED，
∴∠AED＝60°．
(2)证明：由(1)得，AC⊥ED，
∴∠AGD＝∠AGE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AGE＝∠AFE，
∵∠EHG＝∠AHF，
∴∠DAG＝∠GEH，
∴△EHG∽△ADG．
[对点演练]
1．(2024·重庆)若两个相似三角形的相似比是1∶3，则这两个相似三角形的面积比是(　　)
A．1∶3 B．1∶4
C．1∶6 D．1∶9
√
D　[∵两个相似三角形的相似比是1∶3，
∴这两个相似三角形的面积比是12∶32＝1∶9．
故选D．]
2．(2023·泰安)如图，在△ABC中，AC＝BC＝16，点D在AB上，点E在BC上，点B关于直线DE的轴对称点为点B′，连接DB′，EB′，分别与AC相交于F点，G点，若AF＝8，DF＝7，B′F＝4，则CG的长度为________．

3．(2022·泰安)如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．
(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．
[解]　(1)证明：如图，
在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，
∴∠2＝∠3＝∠4，∠3＋∠5＝90°．
∵DE＝BE，
∴∠1＝∠2．
又∵BE平分∠DBC，
∴∠1＝∠6，
∴∠3＝∠6，
∴∠6＋∠5＝90°，
∴BF⊥AC．
(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF．理由如下：
∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，
∴△ECF∽△OBF．
∵DE＝BE，
∴∠1＝∠2，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1＝∠4，
又∵∠BFA＝∠OFB，
∴△BAF∽△OBF．
命题点3　图形的位似
【典例4】　如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2，点A是位似中心．若已知点A(2，0)，点C(a，b)，∠C＝90°，则点C′的坐标为______________．(结果用含a，b的式子表示)
(6－2a，－2b)
易错警示　在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．
[对点演练]
1．(2024·四川凉山州)如图，一块面积为60 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB∶BB1＝2∶3，则△A1B1C1的面积是(　　)
A．90 cm2
B．135 cm2
C．150 cm2
D．375 cm2
√
(2，4)或(－2，－4)
课时分层评价卷(十九)　相似三角形
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共70分)

1．(2024·四川内江)已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是(　　)
A．1∶1 B．1∶3
C．1∶6　　　 D．1∶9
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
B　[∵△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，
∴△ABC与△DEF的周长比为1∶3．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．(2024·江苏连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为(　　)
A．甲和乙
B．乙和丁
C．甲和丙
D．甲和丁
√
D　[观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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题号
1
3
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4
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14
1
题号
1
3
5
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11
12
13
14
6．[开放性试题](2024·滨州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是 _________________________．(写出一种情况即可)
∠ADE＝∠C(答案不唯一)
∠ADE＝∠C(答案不唯一)　[∵∠DAE＝∠BAC，
∴添加条件：∠ADE＝∠C(答案不唯一)，判定△ADE∽△ACB．]
题号
1
3
5
2
4
6
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7
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11
12
13
14
7．[跨学科](2024·江苏扬州)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′，设AB＝36 cm，A′B′＝
24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离为 ______cm．
20
题号
1
3
5
2
4
6
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15
题号
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9．[跨学科]书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2 m×0.8 m．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m，
b m，c m，d m．若装裱后AB与AD的比是16∶10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
[解]　由题意，得AB＝(1.2＋c＋d)m，AD＝(0.8＋a＋b)m，
∵a＝b，c＝d，c＝2a，
∴AB＝(1.2＋c＋d)m＝(1.2＋4a)m，AD＝(0.8＋a＋b)m＝(0.8＋2a)m，
∵AB与AD的比是16∶10，
∴(1.2＋4a)∶(0.8＋2a)＝16∶10，
∴a＝0.1，
∴b＝0.1，c＝d＝0.2．
答：上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1 m，0.1 m，0.2 m，0.2 m．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
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13
14
10．(2024·广东广州)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求证：△ABE∽△ECF．
题号
1
3
5
2
4
6
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题号
1
3
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2
4
6
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√
题号
1
3
5
2
4
6
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题号
1
3
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题号
1
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题号
1
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题号
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13．[项目式学习试题](2024·四川广元)数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形(如图 1)产生了如下问题，请同学们帮他解决．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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题号
1
3
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题号
1
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题号
1
3
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题号
1
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题号
1
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题号
1
3
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14．[项目式学习试题](2024·贵州)综合与探究：如图，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A．
(1)【操作判断】
如图1，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图1中画出PC，图中∠APC的度数为 ________度；
(2)【问题探究】
如图2，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，求证：OM＋ON＝2PA；
90°
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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题号
1
3
5
2
4
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13
14
[解]　(1)如图，PC即为所求．
∵∠AOB＝90°，PA⊥OA，PC⊥OB，
∴四边形OAPC是矩形，
∴∠APC＝90°．
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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12
13
14
(2)证明：如图，过点P作PC⊥OB于点C．
由(1)知四边形OAPC是矩形，
∵点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA，PC⊥OB，
∴PA＝PC，
∴矩形OAPC是正方形，
∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°，
∵PN⊥PM，
∴∠APM＝∠CPN＝90°－∠MPC，
题号
1
3
5
2
4
6
8
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11
12
13
14
又∠MAP＝∠PCN＝90°，AP＝CP，
∴△APM≌△CPN(ASA)，
∴AM＝CN，
∴OM＋ON＝OM＋OC＋CN＝OM＋AM＋OC＝OA＋OC＝2AP，
∴OM＋ON＝2PA．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
(3)①当点M在线段AO上时，如图，延长NM，PA相交于点G．
由(2)知OM＋ON＝2AP，
设OM＝x，则ON＝3x，OA＝AP＝2x．
∴AM＝AO－OM＝x＝OM，
∵∠MON＝∠MAG＝90°，∠OMN＝∠AMG，
∴△MON≌△MAG(ASA)，
∴AG＝ON＝3x．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
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题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
②当点M在AO的延长线上时，如图，过点P作PC⊥OB于点C，并延长交MN于点G．
由(2)知，四边形OAPC是正方形，
∴△APM≌△CPN，
∴AM＝CN，
∴ON－OM＝OC＋CN－OM＝AO＋AM－OM＝2AO，
∵ON＝3OM，设OM＝x，则ON＝3x，
∴AO＝x，CN＝AM＝2x，
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
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12
13
14

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