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第一节　实数及其运算
考点一　实数的有关概念
1．数轴
(1)概念：规定了________、________和________的直线叫做数轴．
(2)特征：实数与数轴上的点是________的，数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的________．
2．相反数
(1)概念：如果两个数只有________不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．
(2)代数意义：a，b互为相反数 a＋b＝________．
(3)几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离________．
3．绝对值
(1)几何意义：数轴上表示这个数的点到原点的________．
(2)运算性质：|a|＝
(3)非负性：|a|≥0，若|a|＋b2＝0，则a＝b＝________．
4．倒数
(1)概念：乘积为1的两个数互为倒数．a的倒数为________(a≠0)．
(2)代数意义：ab＝1 a，b互为倒数．
考点二　实数的分类及大小比较
1．实数的分类
实数
注意：(1)有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数．
(2)无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数是无理数．
2．实数的大小比较
(1)________大于0，________小于0，正数大于负数．
(2)两个负数比较大小，绝对值大的反而________．
考点三　平方根、算术平方根和立方根
1．平方根
(1)定义：如果一个数x的________等于a，那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)．
(2)性质：一个正数有________平方根，它们互为相反数；0的平方根是________；负数________平方根．
(3)正数a的平方根记作“________”．
2．算术平方根
(1)定义：如果一个正数x的________等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作“”．
(2)性质：正数和零的算术平方根都只有________个，0的算术平方根是________．
3．立方根
(1)定义：如果一个数x的________等于a，那么这个数x就叫做a 的立方根(或a 的三次方根)．
(2)一个正数有一个________的立方根；一个负数有一个________的立方根；0的立方根是________．
考点四　科学记数法与近似数
1．科学记数法
一般的，一个大于10的数可以表示成________的形式，其中1≤a<10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法．
2．近似数
(1)定义：一个与实际数值很接近的数．
(2)精确度：________到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．
考点五　实数的运算
1．实数混合运算时，先算________、________，再算________，最后算________；有括号，先算________的；同级运算按照________的顺序进行．
2．计算时，可以结合运算律，使问题简单化．
1．－5的绝对值是(　　)
A．　　　B．5　　　C．－　　　　D．－5
2．(鲁教版七上P88例题改编)在实数－，0.31，，0.100 100 01中，无理数的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．9的平方根是(　　)
A．±3 B．－3
C．3 D．±
4．(鲁教版六上P64习题T1改编)鲁教版五·四制初中数学教科书共八册，总字数约计1 655 000，用科学记数法可将1 655 000表示为(　　)
A．1 655×103 B．1.655×106
C．16.55×105 D．0.165 5×107
5．在1，－2，0，－3.6这四个数中，最大的数是(　　)
A．－2 B．0
C．－3.6 D．1
6．计算：(－1)2 025－＝________．
命题点1　实数的有关概念
【典例1】　(2024·泰安)－的相反数是(　　)
A．　　　B．－　　　C．　　　D．－
[听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[对点演练]
1．(2023·泰安)－的倒数是(　　)
A．－ B．
C． D．－
2．下列等式中不成立的是(　　)
A．|－5|＝5 B．－|5|＝－|－5|
C．|－5|＝|5| D．－|－5|＝5
命题点2　实数的分类及大小比较
【典例2】　如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是(　　)
A．－ B．
C． D．π
[听课记录] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　常见的四种无理数的形式
(1)特定结构的数，如：0.101 001 000 1…(两个1之间依次多一个0)．
(2)化简后含π的数，如：2π等．
(3)开方开不尽的数，如：等．
(4)某些三角函数的值，如：tan 30°等．
【典例3】　(2024·山东)下列实数中，平方最大的数是(　　)
A．3 B．
C．－1 D．－2
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　实数比较大小的几种常用方法
(1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
(2)求差比较：设a，b是实数，a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a(3)求商比较：设a，b是两正实数，>1 a>b；＝1 a＝b；<1 a(4)绝对值比较：设a，b是两负实数，则|a|>|b| a(5)平方法：设a，b是两负实数，则a2>b2 a[对点演练]
1．(2024·泰山区一模)在0，2，－2，－3.5这四个数中，是负整数的是(　　)
A．0 B．2
C．－2 D．－3.5
2．在|－3|，30，3-2，这四个数中，最大的数是(　　)
A．|－3|　　　B．30　　　C．3-2　　　D．
3．(2024·泰山区二模)若a，b为有理数，a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　)
A．－b＜a＜b＜－a B．b＜－b＜a＜－a
C．a＜－b＜b＜－a D．a＜b＜－b＜－a
命题点3　科学记数法与近似数
【典例4】　[情境题](2024·泰安)据泰山景区2024年1月4日消息，2023年泰山景区累计接待进山游客超860万人次，同比增长301.36%，刷新了历年游客量最高纪录．数据860万用科学记数法表示为(　　)
A．8.60×107 B．86.0×105　
C．0.860×107 D．8.60×106
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　科学记数法的形式为a×10n，其中1≤a＜10．当原数的绝对值大于等于10时，n为整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n是从左面起第一个不是0的数字前面所有“0”的个数的相反数．
[对点演练]
1．(2024·山东)2023年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为(　　)
A．0.619×103 B．61.9×104
C．6.19×105 D．6.19×106
2．已知空气的单位体积质量是0.001 239 g/cm2，数据0.001 239用科学记数法表示为(　　)
A．1.239 B．1 239
C．1.239×10-3 D．12.39×10-4
命题点4　平方根、算术平方根与立方根
【典例5】　(2024·广东)完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是(　　)
A．2 B．5
C．10 D．20
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　平方根等于它本身的数是0；算术平方根等于它本身的数是0和1；立方根等于它本身的数是－1，0和1．
[对点演练]
1．(2024·四川内江)16的平方根是(　　)
A．2 B．－4
C．4 D．±4
2．[易错题]的算术平方根是(　　)
A．10 B．±10
C． D．±
3．(2024·青海)－8的立方根是________．
命题点5　实数的有关运算
【典例6】　(2024·泰安)计算：2tan 60°＋－|－|＋．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　在有关负数的运算中，一定要确定好每一步的符号换算，保证结果正确．
[对点演练]
1．(2022·泰安)计算(－6)×的结果是(　　)
A．－3 B．3
C．－12 D．12
2．(2024·山东)计算：＋2-1－．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第一节　实数及其运算
考点一　实数的有关概念
1．数轴
(1)概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
(2)特征：实数与数轴上的点是一一对应的，数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大．
2．相反数
(1)概念：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．
(2)代数意义：a，b互为相反数 a＋b＝0．
(3)几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等．
3．绝对值
(1)几何意义：数轴上表示这个数的点到原点的距离．
(2)运算性质：|a|＝
(3)非负性：|a|≥0，若|a|＋b2＝0，则a＝b＝0．
4．倒数
(1)概念：乘积为1的两个数互为倒数．a的倒数为(a≠0)．
(2)代数意义：ab＝1 a，b互为倒数．
考点二　实数的分类及大小比较
1．实数的分类
实数
注意：(1)有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数．
(2)无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数是无理数．
2．实数的大小比较
(1)正数大于0，负数小于0，正数大于负数．
(2)两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
考点三　平方根、算术平方根和立方根
1．平方根
(1)定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)．
(2)性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
(3)正数a的平方根记作“±”．
2．算术平方根
(1)定义：如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作“”．
(2)性质：正数和零的算术平方根都只有一个，0的算术平方根是0．
3．立方根
(1)定义：如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a 的立方根(或a 的三次方根)．
(2)一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是0．
考点四　科学记数法与近似数
1．科学记数法
一般的，一个大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法．
2．近似数
(1)定义：一个与实际数值很接近的数．
(2)精确度：四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．
考点五　实数的运算
1．实数混合运算时，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号，先算括号里面的；同级运算按照从左到右的顺序进行．
2．计算时，可以结合运算律，使问题简单化．
1．－5的绝对值是(　　)
A．　　　B．5　　　C．－　　　　D．－5
B　[|－5|＝－(－5)＝5．故选B．]
2．(鲁教版七上P88例题改编)在实数－，0.31，，0.100 100 01中，无理数的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B　[－是无理数．故选B．]
3．9的平方根是(　　)
A．±3 B．－3
C．3 D．±
A　[∵(±3)2＝9，∴9的平方根是±3．故选A．]
4．(鲁教版六上P64习题T1改编)鲁教版五·四制初中数学教科书共八册，总字数约计1 655 000，用科学记数法可将1 655 000表示为(　　)
A．1 655×103 B．1.655×106
C．16.55×105 D．0.165 5×107
B　[1 655 000＝1.655×1 000 000＝1.655×106．故选B．]
5．在1，－2，0，－3.6这四个数中，最大的数是(　　)
A．－2 B．0
C．－3.6 D．1
D　[∵－3.6＜－2＜0＜1，
∴最大的数是1．
故选D．]
6．计算：(－1)2 025－＝________．
－2　[原式＝－1－3＋2＝－2．]
命题点1　实数的有关概念
【典例1】　(2024·泰安)－的相反数是(　　)
A．　　　B．－　　　C．　　　D．－
C　[－的相反数为－＝．故选C．]
[对点演练]
1．(2023·泰安)－的倒数是(　　)
A．－ B．
C． D．－
A　[∵＝1，∴－的倒数是－，故选A．]
2．下列等式中不成立的是(　　)
A．|－5|＝5 B．－|5|＝－|－5|
C．|－5|＝|5| D．－|－5|＝5
D　[－|－5|＝－5，故选D．]
【教师备选资源】
(2020·泰安)－的倒数是(　　)
A．－2　　B．2　　C．－　　D．
A　[∵×(－2)＝1，∴－的倒数是－2，故选A．]
命题点2　实数的分类及大小比较
【典例2】　如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是(　　)
A．－ B．
C． D．π
B　[根据题意，设点P表示的数为p，则1＜p＜2，∵1<<2，∴这个无理数是．故选B．]
　常见的四种无理数的形式
(1)特定结构的数，如：0.101 001 000 1…(两个1之间依次多一个0)．
(2)化简后含π的数，如：2π等．
(3)开方开不尽的数，如：等．
(4)某些三角函数的值，如：tan 30°等．
【典例3】　(2024·山东)下列实数中，平方最大的数是(　　)
A．3 B．
C．－1 D．－2
A　[∵32＝9，＝，(－1)2＝1，(－2)2＝4，
而<1<4<9，
∴平方最大的数是3．
故选A．]
　实数比较大小的几种常用方法
(1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
(2)求差比较：设a，b是实数，a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a(3)求商比较：设a，b是两正实数，>1 a>b；＝1 a＝b；<1 a(4)绝对值比较：设a，b是两负实数，则|a|>|b| a(5)平方法：设a，b是两负实数，则a2>b2 a[对点演练]
1．(2024·泰山区一模)在0，2，－2，－3.5这四个数中，是负整数的是(　　)
A．0 B．2
C．－2 D．－3.5
C　[0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；2是正整数，故本选项不合题意；－2是负整数，故本选项符合题意；－3.5不是整数，故本选项不合题意．故选C．]
2．在|－3|，30，3-2，这四个数中，最大的数是(　　)
A．|－3|　　　B．30　　　C．3-2　　　D．
A　[∵|－3|＝3，30＝1，3-2＝，3＞＞1＞，
∴最大的数是|－3|．
故选A．]
3．(2024·泰山区二模)若a，b为有理数，a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　)
A．－b＜a＜b＜－a B．b＜－b＜a＜－a
C．a＜－b＜b＜－a D．a＜b＜－b＜－a
C　[法一：∵a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，
∴－a＞0，－b＜0，－a＞b，
∴a＜－b，∴a＜－b＜b＜－a．
故选C．
法二：(特殊值法)∵a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，
∴令a＝－2，b＝1，
∴－a＝2，－b＝－1．
∵－2＜－1＜1＜2，
∴a＜－b＜b＜－a．
故选C．]
命题点3　科学记数法与近似数
【典例4】　[情境题](2024·泰安)据泰山景区2024年1月4日消息，2023年泰山景区累计接待进山游客超860万人次，同比增长301.36%，刷新了历年游客量最高纪录．数据860万用科学记数法表示为(　　)
A．8.60×107 B．86.0×105　
C．0.860×107 D．8.60×106
D　[860万＝8 600 000＝8.60×106，故选D．]
　科学记数法的形式为a×10n，其中1≤a＜10．当原数的绝对值大于等于10时，n为整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n是从左面起第一个不是0的数字前面所有“0”的个数的相反数．
[对点演练]
1．(2024·山东)2023年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为(　　)
A．0.619×103 B．61.9×104
C．6.19×105 D．6.19×106
C　[61.9万＝619 000＝6.19×105，故选C．]
2．已知空气的单位体积质量是0.001 239 g/cm2，数据0.001 239用科学记数法表示为(　　)
A．1.239 B．1 239
C．1.239×10-3 D．12.39×10-4
C　[0.001 239＝1.239×0.001＝1.239×10-3．故选C．]
【教师备选资源】
1．(2022·泰安)2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为(　　)
A．0.448×106度　　　 B．44.8×104度　
C．4.48×105度 D．4.48×106度
C　[44.8万＝44.8×104＝4.48×105，故选C．]
2．(2020·泰安)2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4 000亿元．把数据4 000亿元用科学记数法表示为(　　)
A．4×1012元 B．4×1010元　
C．4×1011元 D．40×109元
C　[4 000亿＝4 000×108＝4×1011，故选C．]
3．(2021·泰安)2021年5月15日7时18分，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功．探测器距离地球约3.2亿千米．数据3.2亿千米用科学记数法可以表示为 ________千米．
3.2×108　[3.2亿＝320 000 000＝3.2×108．]
命题点4　平方根、算术平方根与立方根
【典例5】　(2024·广东)完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是(　　)
A．2 B．5
C．10 D．20
B　[根据题意，得＝＝5，
则正方形的边长为5．故选B．]
　平方根等于它本身的数是0；算术平方根等于它本身的数是0和1；立方根等于它本身的数是－1，0和1．
[对点演练]
1．(2024·四川内江)16的平方根是(　　)
A．2 B．－4
C．4 D．±4
D　[∵(±4)2＝16，∴16的平方根是±4，故选D．]
2．[易错题]的算术平方根是(　　)
A．10 B．±10
C． D．±
C　[∵＝10，10的算术平方根是，
∴的算术平方根是，故选C．]
3．(2024·青海)－8的立方根是________．
－2　[∵(－2)3＝－8，
∴－8的立方根是＝－2．]
命题点5　实数的有关运算
【典例6】　(2024·泰安)计算：2tan 60°＋－|－|＋．
[解]　2tan 60°＋－|－|＋＝2＋4－2＋3＝7．
　在有关负数的运算中，一定要确定好每一步的符号换算，保证结果正确．
[对点演练]
1．(2022·泰安)计算(－6)×的结果是(　　)
A．－3 B．3
C．－12 D．12
B　[原式＝＋＝3．故选B．]
2．(2024·山东)计算：＋2-1－．
[解]　原式＝2＋＝3．
课时分层评价卷(一)　实数及其运算
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共75分)
1．(2024·山西)中国空间站位于距离地面约400 km的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上150 ℃，其背阳面温度可低于零下100 ℃．若零上150 ℃记作＋150 ℃，则零下100 ℃记作(　　)
A．＋100 ℃　B．－100 ℃　C．＋50 ℃　D．－50 ℃
B　[因为“正”和“负”相对，所以若零上150 ℃记作＋150 ℃，则零下100 ℃记作－100 ℃．故选B．]
2．(2024·四川凉山州)下列各数中：5，－，－3，0，－25.8，＋2，负数有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C　[∵5＞0，是正数；－<0，是负数；－3＜0，是负数；0既不是正数，也不是负数；－25.8＜0，是负数；＋2＞0，是正数，∴负数有－，－3，－25.8，共3个．故选C．]
3．(2024·滨州)－的绝对值是(　　)
A．2 B．－2
C． D．－
C　[＝－＝．故选C．]
4．－2 024的倒数是(　　)
A．－2 024 B．2 024
C．－ D．
C　[∵(－2 024)×＝1，∴－2 024的倒数是－，故选C．]
5．4的平方根是(　　)
A．2 B．－2
C．16 D．±2
D　[∵(±2)2＝4，∴4的平方根是±2，故选D．]
6．[跨学科](2024·辽宁)亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表：
大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲
最低海拔/m －415 －28 －156 －40
其中最低海拔最小的大洲是(　　)
A．亚洲 B．欧洲
C．非洲 D．南美洲
A　[∵－415＜－156＜－40＜－28，∴海拔最低的是亚洲．故选A．]
7．[情境题](2024·甘肃临夏州)据央视财经《经济信息联播》消息：甘肃天水凭借一碗香喷喷的麻辣烫成为最“热辣滚烫”的顶流．2024年3月份，天水市累计接待游客464万人次，旅游综合收入27亿元．将数据27亿用科学记数法表示为(　　)
A．2.7×108 B．0.27×1010
C．2.7×109 D．27×108
C　[27亿＝2 700 000 000＝2.7×109．故选C．]
8．如图，数轴上点A表示的数是2 023，OA＝OB，则点B表示的数是(　　)
A．2 023 B．－2 023
C． D．－
B　[∵OA＝OB，点A表示的数是2 023，∴OB＝2 023，∵点B在O点左侧，∴点B表示的数为点A表示的数的相反数：－2 023，故选B．]
9．[开放性试题]请写出一个你喜欢的无理数 ________．
π(答案不唯一)　[无理数即无限不循环小数，据此写出一个无理数即可．]
10．用四舍五入法取近似值，将数0.015 8精确到0.001的结果是________．
0.016　[将万分位的8，四舍五入即可求解．]
11．(2024·四川广安)3－＝________．
0　[原式＝3－3＝0．]
12．(2024·内蒙古包头)计算：＋(－1)2 024＝________．
3　[原式＝2＋1＝3．]
13．[数学文化](2024·安徽)我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：________(填“＞”或“＜”)．
>　[∵()2＝10，＝，10>，∴>．]
14．[跨学科](2024·四川广元)2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是10-18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为________秒．
4.3×10-17　[∵1阿秒是10-18秒，∴43阿秒＝43×10-18＝4.3×10-17．]
15．计算：
(1)(2024·浙江)－＋|－5|；
(2)(2024·陕西)－(－7)0＋(－2)×3；
(3)(2024·云南)70＋＋－()2－sin 30°；
(4)(2024·广东深圳)－2·cos 45°＋(π－3.14)0＋|1－|＋．
[解]　(1)原式＝4－2＋5＝7．
(2)原式＝5－1－6＝－2．
(3)原式＝1＋6＋－5－＝2．
(4)原式＝－2×＋1＋－1＋4＝－＋1＋－1＋4＝4．
16．下列各组数中互为相反数的是(　　)
A．－与－(－0.5) B．与－0.33
C．－2与－ D．－5与
A　[－(－0.5)＝，故－与－(－0.5)互为相反数，故选项A符合题意；
的相反数是－，故选项B不合题意；
－＝－2，故－2＝－，故选项C不合题意；
－5的相反数是5，故选项D不合题意．故选A．]
17．(2024·威海)一批食品，标准质量为每袋454 g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是(　　)
A．＋7 B．－5
C．－3 D．＋10
C　[各数的绝对值分别为7，5，3，10，
∵3＜5＜7＜10，
∴最接近标准质量的是－3，故选C．]
18．点M，N在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是m和n．对于以下结论：
①n－m＞0；②mn＞0；③|m|＞|n|；④－m＞n．其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
C　[由数轴知m＜0＜n，|m|＞|n|，∴n－m＞0，mn＜0，－m＞n，
∴①③④正确．故选C．]
19．[情境题]小青双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用15分钟；扫地要用5分钟；擦家具要用11分钟；晾衣服要用3分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花(　　)
A．15分钟 B．18分钟
C．19分钟 D．20分钟
C　[∵15＋3＋(11＋5－15)＝19分钟，∴她经过合理安排，做完这些事至少要花19分钟，故选C．]
20．(2024·上海)已知＝1，则x＝________．
1　[∵＝1，∴2x－1＝1，∴x＝1．]
21．(2024·泰山区模拟)若(a－2)2＋|b＋3|＝0，则ab3＝________．
－54　[由题意，得a－2＝0，b＋3＝0，解得a＝2，b＝－3，则ab3＝2×(－3)3＝2×(－27)＝－54．]
22．[新定义问题]定义一种新运算：对于两个非零实数a，b，a※b＝．若2※(－2)＝1，则(－3)※3的值是 ________．
－　[∵2※(－2)＝1，∴＝1，∴x－y＝2．∴(－3)※3＝＝－(x－y)＝－×2＝－．]
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第一章 数与式
第一节　实数及其运算
第一章 数与式
链接教材 基础过关
考点一　实数的有关概念
1．数轴
(1)概念：规定了____、______和________的直线叫做数轴．
(2)特征：实数与数轴上的点是________的，数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的__．
原点
正方向
单位长度
一一对应
大
2．相反数
(1)概念：如果两个数只有____不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．
(2)代数意义：a，b互为相反数 a＋b＝__．
(3)几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离____．
符号
0
相等
距离


0



注意：(1)有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数．
(2)无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数是无理数．
2．实数的大小比较
(1)____大于0，____小于0，正数大于负数．
(2)两个负数比较大小，绝对值大的反而__．
正数
负数
小
考点三　平方根、算术平方根和立方根
1．平方根
(1)定义：如果一个数x的____等于a，那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)．
(2)性质：一个正数有____平方根，它们互为相反数；0的平方根是__；负数____平方根．
(3)正数a的平方根记作“______”．
平方
两个
0
没有
平方

一
0
立方
正
负
0
考点四　科学记数法与近似数
1．科学记数法
一般的，一个大于10的数可以表示成_______的形式，其中1≤a<10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法．
2．近似数
(1)定义：一个与实际数值很接近的数．
(2)精确度：________到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．
a×10n
四舍五入
考点五　实数的运算
1．实数混合运算时，先算____、____，再算____，最后算____；有括号，先算________的；同级运算按照________的顺序进行．
2．计算时，可以结合运算律，使问题简单化．
乘方
开方
乘除
加减
括号里面
从左到右
√
B　[|－5|＝－(－5)＝5．故选B．]
√
A　[∵(±3)2＝9，∴9的平方根是±3．故选A．]
√
4．(鲁教版六上P64习题T1改编)鲁教版五·四制初中数学教科书共八册，总字数约计1 655 000，用科学记数法可将1 655 000表示为(　　)
A．1 655×103 B．1.655×106
C．16.55×105 D．0.165 5×107
√
B　[1 655 000＝1.655×1 000 000＝1.655×106．故选B．]
D　[∵－3.6＜－2＜0＜1，
∴最大的数是1．
故选D．]
5．在1，－2，0，－3.6这四个数中，最大的数是(　　)
A．－2 B．0
C．－3.6 D．1
√
－2　[原式＝－1－3＋2＝－2．]
－2
考点突破 对点演练
√
√
D　[－|－5|＝－5，故选D．]
2．下列等式中不成立的是(　　)
A．|－5|＝5 B．－|5|＝－|－5|
C．|－5|＝|5| D．－|－5|＝5
√
√
√
√
C　[0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；2是正整数，故本选项不合题意；－2是负整数，故本选项符合题意；－3.5不是整数，故本选项不合题意．故选C．]
[对点演练]
1．(2024·泰山区一模)在0，2，－2，－3.5这四个数中，是负整数的是(　　)
A．0 B．2
C．－2 D．－3.5
√
√
C　[法一：∵a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，
∴－a＞0，－b＜0，－a＞b，
∴a＜－b，∴a＜－b＜b＜－a．
故选C．
3．(2024·泰山区二模)若a，b为有理数，a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　)
A．－b＜a＜b＜－a B．b＜－b＜a＜－a
C．a＜－b＜b＜－a D．a＜b＜－b＜－a
√
法二：(特殊值法)∵a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，
∴令a＝－2，b＝1，
∴－a＝2，－b＝－1．
∵－2＜－1＜1＜2，
∴a＜－b＜b＜－a．
故选C．]
D　[860万＝8 600 000＝8.60×106，故选D．]
命题点3　科学记数法与近似数
【典例4】　[情境题](2024·泰安)据泰山景区2024年1月4日消息，2023年泰山景区累计接待进山游客超860万人次，同比增长301.36%，刷新了历年游客量最高纪录．数据860万用科学记数法表示为(　　)
A．8.60×107 B．86.0×105　
C．0.860×107 D．8.60×106
√
方法归纳　科学记数法的形式为a×10n，其中1≤a＜10．当原数的绝对值大于等于10时，n为整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n是从左面起第一个不是0的数字前面所有“0”的个数的相反数．
C　[61.9万＝619 000＝6.19×105，故选C．]
[对点演练]
1．(2024·山东)2023年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为(　　)
A．0.619×103 B．61.9×104
C．6.19×105 D．6.19×106
√
C　[0.001 239＝1.239×0.001＝1.239×10-3．故选C．]
2．已知空气的单位体积质量是0.001 239 g/cm2，数据0.001 239用科学记数法表示为(　　)
A．1.239 B．1 239
C．1.239×10-3 D．12.39×10-4
√
C　[44.8万＝44.8×104＝4.48×105，故选C．]
√
【教师备选资源】
1．(2022·泰安)2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为(　　)
A．0.448×106度　　　 B．44.8×104度　
C．4.48×105度 D．4.48×106度
C　[4 000亿＝4 000×108＝4×1011，故选C．]
√
2．(2020·泰安)2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4 000亿元．把数据4 000亿元用科学记数法表示为(　　)
A．4×1012元 B．4×1010元　
C．4×1011元 D．40×109元
3.2×108　[3.2亿＝320 000 000＝3.2×108．]
3．(2021·泰安)2021年5月15日7时18分，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功．探测器距离地球约3.2亿千米．数据3.2亿千米用科学记数法可以表示为 __________千米．
3.2×108
命题点4　平方根、算术平方根与立方根
【典例5】　(2024·广东)完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是(　　)
A．2 B．5
C．10 D．20
√
温馨提示　平方根等于它本身的数是0；算术平方根等于它本身的数是0和1；立方根等于它本身的数是－1，0和1．
[对点演练]
1．(2024·四川内江)16的平方根是(　　)
A．2 B．－4
C．4 D．±4
√
D　[∵(±4)2＝16，∴16的平方根是±4，故选D．]
√
3．(2024·青海)－8的立方根是________．
－2
易错警示　在有关负数的运算中，一定要确定好每一步的符号换算，保证结果正确．
√
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共75分)
1．(2024·山西)中国空间站位于距离地面约400 km的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上150 ℃，其背阳面温度可低于零下100 ℃．若零上150 ℃记作＋150 ℃，则零下100 ℃记作(　　)
A．＋100 ℃　B．－100 ℃　C．＋50 ℃　D．－50 ℃
课时分层评价卷(一)　实数及其运算
√
B　[因为“正”和“负”相对，所以若零上150 ℃记作＋150 ℃，则零下100 ℃记作－100 ℃．故选B．]
√
√
√
5．4的平方根是(　　)
A．2 B．－2
C．16 D．±2
√
D　[∵(±2)2＝4，∴4的平方根是±2，故选D．]
6．[跨学科](2024·辽宁)亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表：
√
A　[∵－415＜－156＜－40＜－28，∴海拔最低的是亚洲．故选A．]
大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲
最低海拔/m －415 －28 －156 －40
其中最低海拔最小的大洲是(　　)
A．亚洲 B．欧洲
C．非洲 D．南美洲
7．[情境题](2024·甘肃临夏州)据央视财经《经济信息联播》消息：甘肃天水凭借一碗香喷喷的麻辣烫成为最“热辣滚烫”的顶流．2024年3月份，天水市累计接待游客464万人次，旅游综合收入27亿元．将数据27亿用科学记数法表示为(　　)
A．2.7×108 B．0.27×1010
C．2.7×109 D．27×108
√
C　[27亿＝2 700 000 000＝2.7×109．故选C．]
√
B　[∵OA＝OB，点A表示的数是2 023，∴OB＝2 023，∵点B在O点左侧，∴点B表示的数为点A表示的数的相反数：－2 023，故选B．]
9．[开放性试题]请写出一个你喜欢的无理数 _______________．
π(答案不唯一)　[无理数即无限不循环小数，据此写出一个无理数即可．]
π(答案不唯一)
10．用四舍五入法取近似值，将数0.015 8精确到0.001的结果是________．
0.016　[将万分位的8，四舍五入即可求解．]
0.016
0　[原式＝3－3＝0．]
3　[原式＝2＋1＝3．]
0
3
>
14．[跨学科](2024·四川广元)2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是10-18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为____________秒．
4.3×10-17
4.3×10－17　[∵1阿秒是10－18秒，∴43阿秒＝43×10－18＝4.3×10－17．]
√
17．(2024·威海)一批食品，标准质量为每袋454 g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是(　　)
A．＋7 B．－5
C．－3 D．＋10
√
C　[各数的绝对值分别为7，5，3，10，
∵3＜5＜7＜10，
∴最接近标准质量的是－3，故选C．]
18．点M，N在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是m和n．对于以下结论：
①n－m＞0；②mn＞0；③|m|＞|n|；④－m＞n．其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
√
C　[由数轴知m＜0＜n，|m|＞|n|，∴n－m＞0，mn＜0，－m＞n，
∴①③④正确．故选C．]
19．[情境题]小青双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用15分钟；扫地要用5分钟；擦家具要用11分钟；晾衣服要用3分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花(　　)
A．15分钟 B．18分钟
C．19分钟 D．20分钟
√
C　[∵15＋3＋(11＋5－15)＝19分钟，∴她经过合理安排，做完这些事至少要花19分钟，故选C．]
21．(2024·泰山区模拟)若(a－2)2＋|b＋3|＝0，则ab3＝________．
－54　[由题意，得a－2＝0，b＋3＝0，解得a＝2，b＝－3，则ab3＝2×(－3)3＝2×(－27)＝－54．]
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