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第二节　矩形、菱形和正方形
考点一　矩形的性质和判定
1．矩形的定义和性质
(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
(2)矩形的性质：
①矩形具有平行四边形的所有性质．
②角：矩形的四个角都是直角．
③对角线：矩形的对角线相等．
2．矩形的判定
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形．
(2)有三个角是直角的四边形是矩形．
(3)对角线相等的平行四边形是矩形．
考点二　菱形的性质和判定
1． 菱形的定义和性质
(1)菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
(2)菱形的性质：
①菱形具有平行四边形的所有性质．
②菱形的四条边都相等．
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
④菱形面积S＝ab．(a，b是两条对角线的长度)
2．菱形的判定
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形＋一组邻边相等＝菱形)．
(2)四条边都相等的四边形是菱形．
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
考点三　正方形的性质和判定
1．正方形的定义和性质
(1)正方形的定义：有一组邻边相等的矩形叫做正方形．
(2)正方形的性质：
①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．
②正方形的对角线相等且互相垂直平分．
2． 正方形的判定
(1)对角线相等的菱形是正方形．
(2)对角线垂直的矩形是正方形．
(3)有一个角是直角的菱形是正方形．
1．下列命题，其中是真命题的是(　　)
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形　
B．有一个角是直角的四边形是矩形　
C．对角线互相平分的四边形是菱形　
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
D　[对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不符合题意；
有三个角是直角的四边形是矩形，故B选项不符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C选项不符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，故D选项符合题意．
故选D．]
2．如图，已知矩形纸片ABCD的两边AB＝4，BC＝2，过点B折叠纸片，使点A落在边CD上的点F处，折痕为BE，则EF的长为(　　)
A．8－4　　B．2　　C．4－6　　D．
A　[∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝4，∠D＝∠C＝90°．
由折叠的性质可知：BF＝AB＝4，AE＝EF，
∴CF＝＝2．设AE＝EF＝x，
在Rt△DEF中，
∵DE2＋DF2＝EF2，
∴(2－x)2＋(4－2)2＝x2，
∴x＝8－4，
故选A．]
3．如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE＝42°，则∠BFC的度数为(　　)
A．72° B．71°
C．70° D．69°
D　[在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，
∵∠CDE＝42°，∴∠ADE＝90°＋42°＝132°，
∵ED＝CD，∴AD＝ED，
∴∠DAE＝(180°－132°)÷2＝24°．
在△ADF和△CDF中，
∴△ADF≌△CDF(SAS)，
∴∠DCF＝∠DAF＝24°，
∴∠BCF＝90°－24°＝66°，
∴∠BFC＝180°－45°－66°＝69°，
故选D．]
4．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD和CD上的点，且∠ABE＝∠CBF．求证：DE＝DF．
[证明]　∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE≌△CBF(ASA)，
∴AE＝CF，
∴AD－AE＝CD－CF，∴DE＝DF．
5．(北师大版九上例题)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF．BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
[解]　BE＝DF，且BE⊥DF．理由如下：
(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)．
∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°．
∴∠BCE＝∠DCF．
又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF．
∴BE＝DF．
(2)延长BE交DF于点M(如图)．
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE＝∠CDF．
∵∠DCF＝90°，
∴∠CDF＋∠F＝90°．
∴∠CBE＋∠F＝90°．
∴∠BMF＝90°．
∴BE⊥DF．
命题点1　矩形的性质和判定
【典例1】　(2024·泰山二模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为(　　)
A．2 B．　　　　
C．　　　　 D．3
C　[法一：过点C作CF⊥AB，交AB的延长线于点F，如图所示．
∵AB∥CD，AB⊥BD，
∴CD⊥BD，
∵CF⊥AB，
∴CF⊥CD，
∴BD∥CF，
∴四边形BFCD是矩形，
∴BF＝CD＝3，CF＝BD＝4，
在Rt△BCF中，BC＝＝＝5，
∴BC＝AB＝5，∴△ABC是等腰三角形，
在Rt△AFC中，
AC＝＝＝4，
∵点E是AC的中点，∴BE⊥AC．
∵AB·CF＝AC·BE，
∴×5×4＝×4·BE，
解得BE＝．
法二：延长AB，在AB的延长线上截取BM＝AB，连接CM，过点C作CN⊥AB，交AB的延长线于点N，如图．
∵AB∥CD，AB⊥BD，
∴CD⊥BD，
∵CN⊥AB，
∴CN⊥CD，
∴BD∥CN，
∴四边形BNCD是矩形，
∴BN＝CD＝3，CN＝BD＝4，
∴NM＝BM－BN＝2，
在Rt△CNM中，CM＝＝＝2，
∵点E是AC的中点，AB＝BM，
∴BE是△ACM的中位线，
∴BE＝CM＝．
故选C．]
　矩形性质的问题，利用矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线把矩形分成两个全等的三角形，经常结合勾股定理来解答．
[对点演练]
1．(典例1变式)两个矩形的位置如图所示，若∠1＝124°，则∠2＝(　　)
A．34° B．56°
C．79° D．146°
B　[如图，由题意得：∠3＝180°－∠1＝180°－124°＝56°，
根据矩形的性质推出，
∠4＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，
∴∠2＝∠3，
∴∠2＝56°．
故选B．]
2．(2020·泰安)如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2 cm，底边BC＝6 cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为(　　)
A．1 cm B． cm
C．(2－3) cm D．(2－) cm
D　[过点F作FH⊥BC，垂足为点H．
∵AG＝2 cm，∠B＝45°，
∴BG＝AG＝2 cm．
∵FH⊥BC，∠BEF＝30°，
∴EH＝AG＝2 cm．
∵沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，
∴AF＝CE．
∵AG⊥BC，FH⊥BC，
∴AG∥FH．
∵AG＝FH，
∴四边形AGHF是矩形，
∴AF＝GH，
∴BC＝BG＋GH＋HE＋CE＝2＋2AF＋2＝6(cm)，
∴AF＝(2－) cm，
故选D．]
3．(2024·泰山期中)如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P为AB上一动点(不与A，B重合)，作PE⊥AC，垂足为点E，PF⊥BC，垂足为点F，连接EF，则EF的最小值是 ________．
4.8　[如图，连接CP．
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10．
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFPE是矩形，
∴EF＝CP，
由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC·AC＝AB·CP，
即×8×6＝×10·CP，
解得CP＝4.8，即EF的最小值是4.8．]
【教师备选资源】
1．(2021·泰安)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5，点P在线段BC上运动(含B，C两点)，连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为(　　)
A． 　　　B．5 　　　C． 　　　D．3
A　[如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE，垂足为点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP＝∠BAD＝90°，
∵△ABF，△APQ都是等边三角形，
∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，
∴∠BAP＝∠FAQ，
在△BAP和△FAQ中，
∴△BAP≌△FAQ(SAS)，
∴∠ABP＝∠AFQ＝90°，
∵∠FAE＝90°－60°＝30°，
∴∠AEF＝90°－30°＝60°，
∵AB＝AF＝5，AE＝AF÷cos 30°＝，
∴点Q在射线FE上运动，
∵AD＝BC＝5，
∴DE＝AD－AE＝，
∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°，
∴DH＝DE·sin 60°＝＝，
根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为，
故选A．]
2．(2022·泰安)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为(　　)
A． 　　B． 　　C． 　D．－2
D　[如图，取AD的中点O，连接OB，OM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
∴∠BAP＋∠DAM＝90°．
∵∠ADM＝∠BAP，
∴∠ADM＋∠DAM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵AO＝OD＝2，
∴OM＝AD＝2，
∴点M在以O为圆心，2为半径的⊙O上，
∵OB＝＝＝，
∴BM≥OB－OM＝－2，
∴BM的最小值为－2．
故选D．]
命题点2　菱形的性质和判定
【典例2】　(2024·泰山一模)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，且∠ABO＝∠ACE，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝2，BD＝4，求菱形ABCD的面积．
[解]　(1)证明：∵CE⊥AB，
∴∠CEA＝90°，
∴∠CAE＋∠ACE＝90°．
∵∠ABO＝∠ACE，
∴∠CAE＋∠ABO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，BD＝4，
∴AC＝2OA，BD⊥AC，OB＝BD＝2，
∴∠AOB＝90°，
∴OA＝＝＝6，
∴AC＝2OA＝12，
∴S菱形ABCD＝AC·BD＝×12×4＝24．
　菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
[对点演练]
1．已知菱形ABCD的面积为96 cm2，对角线AC的长为16 cm，则此菱形的边长为(　　)
A．20 cm　　B．14 cm　　C．3 cm　　D．10 cm
D　[如图，∵四边形ABCD是菱形，AC＝16 cm，
∴AB＝BC＝CD＝AD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝8(cm)，AC⊥BD．
∵菱形ABCD的面积为96 cm2，
∴AC·BD＝96，
即×16·BD＝96，
解得BD＝12，
∴OB＝BD＝6(cm)，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB＝＝＝10(cm)，
即菱形的边长为10 cm，
故选D．]
2．(鲁教版八下P11习题6.3 T4改编)如图，已知点E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，要使四边形EGFH 是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是(　　)
A．AB＝CD B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AD＝BC
A　[∵点E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，
∴EG＝FH＝AB，EH＝FG＝CD，
∵当EG＝FH＝GF＝EH时，四边形EGFH是菱形，
∴当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．
故选A．]
3．(2022·泰安)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论：①AB⊥AC；②AD＝4OE；③四边形AECF是菱形；④S△BOE＝S△ABC，其中正确结论的个数是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
A　[∵点E为BC的中点，
∴BC＝2BE＝2CE．
又∵BC＝2AB，
∴AB＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝∠BEA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝90°，
即AB⊥AC，故①正确；
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，
∴∠CAD＝∠ACB，
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AB⊥AC，点E为BC的中点，
∴AE＝CE，
∴平行四边形AECF是菱形，故③正确；
∴AC⊥EF，
在Rt△COE中，∠ACE＝30°，
∴OE＝CE＝BC＝AD，故②正确；
在平行四边形ABCD中，OA＝OC，
又∵点E为BC的中点，
∴S△BOE＝S△BOC＝S△ABC，故④正确．
故选A．]
【教师备选资源】
(2024·泰安)如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连接AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是(　　)
A．2　　B．4－2　　C．2　　D．4
C　[如图，过点E作EM⊥BC，垂足为点M，作MH⊥AB，垂足为点H，作AI⊥GM，垂足为点I．
∵∠EMF＋∠EGF＝180°，
∴点E，M，F，G四点共圆，
∴∠EMG＝∠EFG＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠BEM＝30°＝∠EMG，
∴MG∥AB，
∴四边形MHAI是矩形，
∴MH＝AI．
∵BE＝8，
∴EM＝BE·cos 30°＝4，
∴MH＝EM＝2＝AI，
∴AG≥AI＝2，
∴AG的最小值是2．
故选C．]
命题点3　正方形的性质和判定
【典例3】　(2022·泰安)如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为 ________．
2　[如图，连接AP．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE＝AB＝3，
由折叠的性质可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP(HL)，∴PF＝PD，
设PF＝PD＝x，则CP＝CD－PD＝6－x，EP＝EF＋FP＝3＋x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理得：
EP2＝EC2＋CP2，∴(3＋x)2＝32＋(6－x)2，
解得x＝2．
则DP的长度为2．
故答案为2．]
[对点演练]
1．如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为(　　)
A．　　　 B．
C．2 D．2
B　[∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，
∴AC＝2．
∵O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形，∴∠AOE＝90°，
∴AC＝AE＝2，AO＝，
∴OE＝＝．
故选B．]
2．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，若顶点A，B的坐标分别为(a，0)，(0，b)，则顶点D的坐标为(　　)
A．(－b，a＋b)
B．(a－b，－a)　
C．(－a，a－b)
D．(b－a，－a)
B　[过点D作DE⊥x轴，垂足为点E，如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠AOB＝∠AED＝90°，
∴∠BAO＋∠DAO＝∠ABO＋∠BAO＝90°，
∴∠ABO＝∠DAO，
∴△ABO≌△DAE(AAS)，
∴DE＝OA，AE＝OB，
∵点A，B的坐标分别为(a，0)，(0，b)，
∴OA＝a，OB＝b，∴DE＝a，AE＝b，
∴OE＝b－a，
∴顶点D的坐标为(a－b，－a)，
故选B．]
3．(鲁教版八下P19例4改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若连接DE，交AC于点F，试判断四边形ABDE的形状；
(3)△ABC再添加一个什么条件时，可使四边形ADCE是正方形？证明你的结论．
[解]　(1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADC＝90°．
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN，
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
(2)四边形ABDE是平行四边形．
理由如下：由(1)知，四边形ADCE为矩形，则AE＝CD，AC＝DE．
又∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AB＝DE，AE＝BD，
∴四边形ABDE是平行四边形．
(3)当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．
理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD＝CD＝BD，
又∵四边形ADCE是矩形，
∴四边形ADCE是正方形．
课时分层评价卷(二十一)　矩形、菱形和正方形
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分)
1．[情境题]如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为(　　)
A．27°　　　B．53°　　　C．57°　　　D．63°
D　[如图，
∵AE∥BF，
∴∠EAB＝∠ABF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠ABF＋27°＝90°，
∴∠ABF＝63°，∴∠EAB＝63°，
∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EAB＝63°．
故选D．]
2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为(　　)
A．4 B．4.5
C．5 D．5.5
B　[∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，
∴BD＝2OB＝12．
∵S菱形ABCD＝AC·BD＝54，
∴AC＝9．
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝4.5，
故选B．]
3．[情境题]要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是(　　)
A．测量两条对角线是否相等　
B．度量两个角是否是90°　
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等　
D．测量两组对边是否分别相等
C　[测量两条对角线是否相等，不能判定是否为平行四边形，更不能判定是否为矩形，故选项A不符合题意；
度量两个角是否是90°，不能判定是否为平行四边形，更不能判定是否为矩形，故选项B不符合题意；
测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定是否为矩形，故选项C符合题意；
测量两组对边是否相等，可以判定是否为平行四边形，但不能判定是否为矩形，故选项D不符合题意．
故选C．]
4．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是(　　)
A． B．
C． D．1
A　[过点D′作D′M⊥AB，垂足为点M，如图所示，
则∠D′MA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积为AB2，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠DAD′＝30°，
∴∠D′AM＝90°－30°＝60°，
∴∠AD′M＝30°，
∴AM＝AD′，D′M＝AM＝AD′．
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AB＝AD′＝AD，菱形ABCD的面积为AB×D′M＝AB2，
∴菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比为＝，
故选A．]
5．(2024·泰安二模)如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝2，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论正确的是(　　)
A．CE＝CF B．2CE＋CG＝AD
C．CG＝CD D．DE＝EF
D　[过点E作EM⊥BC，垂足为点M，过点E作EN⊥CD，垂足为点N，如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形．
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN＋∠NEF＝∠MEF＋∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形，
∴DE＝EF，故D正确；
∵∠ADC＝∠EDG＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG．
∵AD＝CD，DE＝DG，
∴△ADE≌CDG(SAS)
∴AE＝CG，
∴AC＝AE＋CE＝CG＋CE＝AD，故B错误；
当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故A错误，
不能得出△DCE与△GCF全等，CD不一定等于CG，故C错误．
故选D．]
6．[易错题]如图，将边长为15的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为56时，它移动的距离AA′＝________．
7或8　[设AA′＝x，AC与A′B′相交于点G，
∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠DAC＝45°，
∴△AA′G是等腰直角三角形，
∴A′G＝AA′＝x，
∴A′D＝AD－AA′＝15－x．
∵两个三角形重叠部分的面积为56，
∴x(15－x)＝56，
解得x1＝7，x2＝8，
即移动的距离AA′为7或8．
故答案为7或8．]
7．(鲁教版八下P26习题6.8T2改编)如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是________．
8　[如图，连接BD交AC于点O．
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC．
∵AE＝CF＝2，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF．
∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2，
由勾股定理得：DE＝＝＝2，
∴四边形BEDF的周长为4DE＝4×2＝8．
故答案为8．]
8．(鲁教版八下P23随堂练习T2改编)如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝10，tan ∠BAC＝2，求四边形ABCD的面积．
[解]　(1)证法一：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD．
在△BOE与△DOE中，
∴△BOE≌△DOE(SSS)，
∴∠DOE＝∠BOE．
∵∠DOE＋∠BOE＝180°，
∴∠DOE＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
证法二：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，
在△BOE与△DOE中，
∴△BOE≌△DOE(SSS)，
∴∠BEO＝∠DEO．
在△BAE与△DAE中，
∴△BAE≌△DAE(SAS)，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)在Rt△ABO中，
∵tan ∠BAC＝＝2，
∴设AO＝x，BO＝2x，
∴AB＝＝x＝10，
∴x＝2，
∴AO＝2，BO＝4．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO＝4，BD＝2BO＝8，
∴S四边形ABCD＝AC·BD＝×4×8＝80．
9．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，点B在x轴的正半轴上，且∠AOC＝60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA′B′C′(点A′与点C重合)，则点B′的坐标是(　　)
A．(3，3) B．(3，3)
C．(3，6) D．(6，3)
B　[如图，过B′作B′D⊥y轴，垂足为D，连接OB′．
∵将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA′B′C′，∠AOC＝60°，
菱形OABC的边长为2，
∴OC′＝C′B′＝2，∠C′OB′＝∠C′OC＝30°，B′C′∥OC，
∴∠DC′B′＝∠C′OC＝60°，
∴∠DB′C′＝30°，
∴C′D＝C′B′＝，DB′＝B′C′＝3，
∴OD＝OC′＋C′D＝3，
∴B′的坐标是(3，3)．
故选B．]
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是边AB上的动点，点F是射线BC上的动点，且BF＝2AE，连接AF，CE．若AF＋CE＝m，则m的最小值为(　　)
A．3 B．3
C．6 D．6
C　[连接DE，如图．
∵＝＝2，∠ABF＝∠DAE＝90°，
∴△ABF∽△DAE，
∴＝＝，
∴AF＋CE＝DE＋CE，
延长DA至点D′，使AD′＝AD，连接D′E，则DE＝D′E，
∴DE＋CE＝D′E＋CE＝m，
∴当D′，E，C三点共线时，m取最小值，此时m＝CD′＝＝＝6，即m的最小值为6，
故选C．]
11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD．若AE＝3，PF＝5．则图中阴影部分的面积为________．
15　[过点P作直线PM⊥AD，垂足为点M，交BC于点N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×3×5＝7.5，
∴S阴＝7.5＋7.5＝15．
故答案为15．]
12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s 的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC，垂足为点F，连接DE，EF．
(1)求证：四边形AEFD为平行四边形；
(2)①当t＝________s时，四边形AEFD为菱形；
②当t＝________s时，四边形DEBF为矩形．
[解]　(1)证明：由题意可知CD＝4t cm，AE＝2t cm，
∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝30°，
∴DF＝DC＝2t cm．
∵AE＝2t cm，DF＝2t cm，
∴AE＝DF．
又∵DF⊥BC，AB⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
(2)①由(1)知四边形AEFD为平行四边形，
∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE＝AD，
即2t＝60－4t，
解得t＝10，
∴当t＝10时，四边形AEFD为菱形．
故答案为10．
②要使四边形DEBF为矩形，则∠EDF＝∠B＝∠DFB＝90°，
∴∠DEB＝90°，
∴∠AED＝90°．
∵∠A＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，
即60－4t＝4t，
解得t＝．
即当t＝时，四边形DEBF为矩形．
故答案为．
13．[项目式学习试题](2024·泰安)综合与实践
为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动．
【探究发现】
(1)同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片ABCD翻折，使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上，折痕为EF，将纸片展平，连接BG，EF与BG相交于点H．同学们发现图形中四条线段成比例，即＝，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
【拓展延伸】
(2)同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF．将纸片展平，连接EG，FH，FG．同学们探究后发现，若FG∥CD，那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”，即BG2＝BD·GD．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
[解]　(1)＝正确，理由如下：
作EM⊥BC，垂足为点M．
∵EF⊥BG，
∴∠BHF＝90°，
∴∠FBH＋∠BFH＝90°．
∵∠EMF＝90°，
∴∠MEF＋∠BFH＝90°，
∴∠FBH＝∠MEF．
又∵∠EMF＝∠C＝90°，
∴△EMF∽△BCG．
∴＝．
∵四边形ABCD是矩形，EM⊥BC，
∴四边形ABME是矩形．
∴AB＝EM．
∴＝．
(2)同学们的发现正确，理由如下，
∵CD∥FG，
∴＝，∠CDF＝∠DFG，
由折叠的性质可知∠CDF＝∠BDF，
∴∠DFG＝∠BDF．
∴GD＝GF．
∴＝．
由平行四边形及折叠的性质可知AB＝BG，AB＝CD，
∴＝，
∴BG2＝BD·GD．
即点G为BD的一个黄金分割点．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第二节　矩形、菱形和正方形
考点一　矩形的性质和判定
1．矩形的定义和性质
(1)矩形的定义：有一个角是直角的__________叫做矩形．
(2)矩形的性质：
①矩形具有平行四边形的所有性质．
②角：矩形的四个角都是__________．
③对角线：矩形的对角线__________．
2．矩形的判定
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形．
(2)有__________是直角的四边形是矩形．
(3)对角线__________的平行四边形是矩形．
考点二　菱形的性质和判定
1． 菱形的定义和性质
(1)菱形的定义：一组__________的平行四边形叫做菱形．
(2)菱形的性质：
①菱形具有平行四边形的所有性质．
②菱形的四条边都相等．
③菱形的两条对角线__________，并且每一条对角线__________．
④菱形面积S＝ab．(a，b是两条对角线的长度)
2．菱形的判定
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形＋一组邻边相等＝菱形)．
(2)四条边都相等的四边形是菱形．
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
考点三　正方形的性质和判定
1．正方形的定义和性质
(1)正方形的定义：有一组邻边__________的__________叫做正方形．
(2)正方形的性质：
①正方形的四个角都是__________，四条边都__________．
②正方形的对角线__________且互相__________．
2． 正方形的判定
(1)对角线相等的__________是正方形．
(2)对角线垂直的__________是正方形．
(3)有一个角是直角的__________是正方形．
1．下列命题，其中是真命题的是(　　)
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形　
B．有一个角是直角的四边形是矩形　
C．对角线互相平分的四边形是菱形　
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
2．如图，已知矩形纸片ABCD的两边AB＝4，BC＝2，过点B折叠纸片，使点A落在边CD上的点F处，折痕为BE，则EF的长为(　　)
A．8－4　　B．2　　C．4－6　　D．
3．如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE＝42°，则∠BFC的度数为(　　)
A．72° B．71°
C．70° D．69°
4．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD和CD上的点，且∠ABE＝∠CBF．求证：DE＝DF．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5．(北师大版九上例题)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF．BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
命题点1　矩形的性质和判定
【典例1】　(2024·泰山二模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为(　　)
A．2 B．　　　　
C．　　　　 D．3
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　矩形性质的问题，利用矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线把矩形分成两个全等的三角形，经常结合勾股定理来解答．
[对点演练]
1．(典例1变式)两个矩形的位置如图所示，若∠1＝124°，则∠2＝(　　)
A．34° B．56°
C．79° D．146°
2．(2020·泰安)如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2 cm，底边BC＝6 cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为(　　)
A．1 cm B． cm
C．(2－3) cm D．(2－) cm
3．(2024·泰山期中)如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P为AB上一动点(不与A，B重合)，作PE⊥AC，垂足为点E，PF⊥BC，垂足为点F，连接EF，则EF的最小值是 ________．
命题点2　菱形的性质和判定
【典例2】　(2024·泰山一模)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，且∠ABO＝∠ACE，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝2，BD＝4，求菱形ABCD的面积．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
[对点演练]
1．已知菱形ABCD的面积为96 cm2，对角线AC的长为16 cm，则此菱形的边长为(　　)
A．20 cm　　B．14 cm　　C．3 cm　　D．10 cm
2．(鲁教版八下P11习题6.3 T4改编)如图，已知点E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，要使四边形EGFH 是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是(　　)
A．AB＝CD B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AD＝BC
3．(2022·泰安)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列结论：①AB⊥AC；②AD＝4OE；③四边形AECF是菱形；④S△BOE＝S△ABC，其中正确结论的个数是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
命题点3　正方形的性质和判定
【典例3】　(2022·泰安)如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为 ________．
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[对点演练]
1．如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为(　　)
A．　　　 B．
C．2 D．2
2．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，若顶点A，B的坐标分别为(a，0)，(0，b)，则顶点D的坐标为(　　)
A．(－b，a＋b)
B．(a－b，－a)　
C．(－a，a－b)
D．(b－a，－a)
3．(鲁教版八下P19例4改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若连接DE，交AC于点F，试判断四边形ABDE的形状；
(3)△ABC再添加一个什么条件时，可使四边形ADCE是正方形？证明你的结论．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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第二节　矩形、菱形和正方形
链接教材 基础过关
考点一　矩形的性质和判定
1．矩形的定义和性质
(1)矩形的定义：有一个角是直角的__________叫做矩形．
(2)矩形的性质：
①矩形具有平行四边形的所有性质．
②角：矩形的四个角都是____．
③对角线：矩形的对角线____．
平行四边形
直角
相等
2．矩形的判定
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形．
(2)有______是直角的四边形是矩形．
(3)对角线____的平行四边形是矩形．
三个角
相等
邻边相等
互相垂直
平分一组对角
2．菱形的判定
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形＋一组邻边相等＝菱形)．
(2)四条边都相等的四边形是菱形．
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
考点三　正方形的性质和判定
1．正方形的定义和性质
(1)正方形的定义：有一组邻边____的____叫做正方形．
(2)正方形的性质：
①正方形的四个角都是____，四条边都____．
②正方形的对角线____且互相________．
相等
矩形
直角
相等
相等
垂直平分
2．正方形的判定
(1)对角线相等的____是正方形．
(2)对角线垂直的____是正方形．
(3)有一个角是直角的____是正方形．
菱形
矩形
菱形
1．下列命题，其中是真命题的是(　　)
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形　
B．有一个角是直角的四边形是矩形　
C．对角线互相平分的四边形是菱形　
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
√
D　[对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不符合题意；
有三个角是直角的四边形是矩形，故B选项不符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C选项不符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，故D选项符合题意．
故选D．]
√
3．如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE＝42°，则∠BFC的度数为(　　)
A．72°
B．71°
C．70°
D．69°
√
4．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD和CD上的点，且∠ABE＝∠CBF．求证：DE＝DF．
[证明]　∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE≌△CBF(ASA)，
∴AE＝CF，
∴AD－AE＝CD－CF，∴DE＝DF．
5．(北师大版九上例题)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF．BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
[解]　BE＝DF，且BE⊥DF．理由如下：
(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)．
∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°．
∴∠BCE＝∠DCF．
又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF．
∴BE＝DF．
(2)延长BE交DF于点M(如图)．
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE＝∠CDF．
∵∠DCF＝90°，
∴∠CDF＋∠F＝90°．
∴∠CBE＋∠F＝90°．
∴∠BMF＝90°．
∴BE⊥DF．
考点突破 对点演练
√
法二：延长AB，在AB的延长线上截取BM＝AB，连接CM，过点C作CN⊥AB，交AB的延长线于点N，如图．
∵AB∥CD，AB⊥BD，
∴CD⊥BD，∵CN⊥AB，
∴CN⊥CD，∴BD∥CN，
∴四边形BNCD是矩形，
∴BN＝CD＝3，CN＝BD＝4，
∴NM＝BM－BN＝2，
方法总结　矩形性质的问题，利用矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线把矩形分成两个全等的三角形，经常结合勾股定理来解答．
[对点演练]
1．(典例1变式)两个矩形的位置如图所示，若∠1＝124°，则∠2＝
(　　)
A．34°
B．56°
C．79°
D．146°
√
B　[如图，由题意得：∠3＝180°－∠1＝180°－124°＝56°，
根据矩形的性质推出，
∠4＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，
∴∠2＝∠3，
∴∠2＝56°．
故选B．]
√
3．(2024·泰山期中)如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P为AB上一动点(不与A，B重合)，作PE⊥AC，垂足为点E，PF⊥BC，垂足为点F，连接EF，则EF的最小值是 ________．
4.8
√
A　[如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE，垂足为点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP＝∠BAD＝90°，
∵△ABF，△APQ都是等边三角形，
∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA，
∴∠BAP＝∠FAQ，
√
[解]　(1)证明：∵CE⊥AB，
∴∠CEA＝90°，
∴∠CAE＋∠ACE＝90°．
∵∠ABO＝∠ACE，
∴∠CAE＋∠ABO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
方法总结　菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
√
2．(鲁教版八下P11习题6.3 T4改编)如图，已知点E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，要使四边形EGFH 是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是(　　)
A．AB＝CD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．AD＝BC
√
√
A　[∵点E为BC的中点，∴BC＝2BE＝2CE．
又∵BC＝2AB，∴AB＝BE，
∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝∠BEA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝90°，
即AB⊥AC，故①正确；
√
C　[如图，过点E作EM⊥BC，垂足为点M，作MH⊥AB，垂足为点H，作AI⊥GM，垂足为点I．
∵∠EMF＋∠EGF＝180°，
∴点E，M，F，G四点共圆，
∴∠EMG＝∠EFG＝30°，
∵∠B＝60°，∴∠BEM＝30°＝∠EMG，
命题点3　正方形的性质和判定
【典例3】　(2022·泰安)如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为 ________．
2
√
2．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，若顶点A，B的坐标分别为(a，0)，(0，b)，则顶点D的坐标为(　　)
A．(－b，a＋b)
B．(a－b，－a)　
C．(－a，a－b)
D．(b－a，－a)
√
B　[过点D作DE⊥x轴，垂足为点E，如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠AOB＝∠AED＝90°，∴∠BAO＋∠DAO＝∠ABO＋∠BAO＝90°，
∴∠ABO＝∠DAO，∴△ABO≌△DAE(AAS)，
∴DE＝OA，AE＝OB，
∵点A，B的坐标分别为(a，0)，(0，b)，
∴OA＝a，OB＝b，∴DE＝a，AE＝b，
∴OE＝b－a，∴顶点D的坐标为(a－b，－a)，故选B．]
3．(鲁教版八下P19例4改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若连接DE，交AC于点F，试判断四边形ABDE的形状；
(3)△ABC再添加一个什么条件时，可使四边形ADCE是
正方形？证明你的结论．
[解]　(1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADC＝90°．
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN，
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
(2)四边形ABDE是平行四边形．
理由如下：由(1)知，四边形ADCE为矩形，则AE＝CD，AC＝DE．
又∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AB＝DE，AE＝BD，
∴四边形ABDE是平行四边形．
(3)当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．
理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD＝CD＝BD，
又∵四边形ADCE是矩形，
∴四边形ADCE是正方形．
课时分层评价卷(二十一)　矩形、菱形和正方形
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共60分)

1．[情境题]如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为(　　)
A．27°　　　 B．53°　　　
C．57°　　　 D．63°
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
D　[如图，∵AE∥BF，
∴∠EAB＝∠ABF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠ABF＋27°＝90°，
∴∠ABF＝63°，∴∠EAB＝63°，
∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EAB＝63°．故选D．]
题号
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2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为(　　)
A．4
B．4.5
C．5
D．5.5
√
题号
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3．[情境题]要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是(　　)
A．测量两条对角线是否相等　
B．度量两个角是否是90°　
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等　
D．测量两组对边是否分别相等
√
题号
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C　[测量两条对角线是否相等，不能判定是否为平行四边形，更不能判定是否为矩形，故选项A不符合题意；
度量两个角是否是90°，不能判定是否为平行四边形，更不能判定是否为矩形，故选项B不符合题意；
测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定是否为矩形，故选项C符合题意；
测量两组对边是否相等，可以判定是否为平行四边形，但不能判定是否为矩形，故选项D不符合题意．故选C．]
题号
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题号
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D　[过点E作EM⊥BC，垂足为点M，过点E作EN⊥CD，垂足为点N，如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形．
题号
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6．[易错题]如图，将边长为15的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为56时，它移动的距离AA′＝________．
7或8
题号
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7或8　[设AA′＝x，AC与A′B′相交于点G，
∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠DAC＝45°，
∴△AA′G是等腰直角三角形，
∴A′G＝AA′＝x，
∴A′D＝AD－AA′＝15－x．
题号
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∵两个三角形重叠部分的面积为56，
∴x(15－x)＝56，
解得x1＝7，x2＝8，
即移动的距离AA′为7或8．
故答案为7或8．]
题号
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7．(鲁教版八下P26习题6.8T2改编)如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是________．
题号
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题号
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8．(鲁教版八下P23随堂练习T2改编)如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝10，tan ∠BAC＝2，求四边形ABCD的面积．
题号
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11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD．若AE＝3，PF＝5．则图中阴影部分的面积为________．
15
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12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s 的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC，垂足为点F，连接DE，EF．
(1)求证：四边形AEFD为平行四边形；
(2)①当t＝________s时，四边形AEFD为菱形；
②当t＝________s时，四边形DEBF为矩形．
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(2)①由(1)知四边形AEFD为平行四边形，
∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE＝AD，
即2t＝60－4t，
解得t＝10，
∴当t＝10时，四边形AEFD为菱形．
故答案为10．
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【拓展延伸】
(2)同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点A的对应点G，点C的对应点H都落在对角线BD上，折痕分别是BE和DF．将纸片展平，连接EG，FH，FG．同学们探究后发现，若FG∥CD，那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”，即BG2＝BD·GD．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由．
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