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30.1 二次函数
1.掌握二次函数的概念及一般形式.
2.能识别一个函数是不是二次函数.
3.能根据实际情况建立二次函数模型.
我们已经学习了哪些函数？它们的解析式是什么？
一次函数 y＝kx＋b (k≠0)
正比例函数 y＝kx (k≠0)
反比例函数
一条直线
双曲线
正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正方体的棱长为x，表面积为y. 显然，对于x 的每一个值，y 都有一个对应值，即y 是x 的函数，它们的具体关系可以表示为 y＝6x 2.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x 的最高次数是2.
这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
情境一：新学期开学，全班同学见面时相互亲切握手问候.设全班有m名同学，每两人之间都握手一次，用b表示每位同学握手的次数.用y表示全班同学握手的总次数.
是一次函数吗？
是反比例函数吗？
×
(1)写出b与m之间的函数关系式.
b是m的什么函数？
一次函数
(2)写出y与m之间的函数关系式.
×
情境二：某企业今年第一季度的产值为80万元，预计产值的季平均增长率为x.
（1）设第二季度的产值为y万元，写出y与x的函数关系式.
y是x的什么函数？
一次函数
（2）设第三季度的产值为W万元，写出W与x的函数关系式.
W是x的一次函数吗？
W是x的反比例函数吗？
不是
不是
y是x的一次函数吗？
y是x的反比例函数吗？
不是
不是
情境三：如图，在一块长为32m，宽为20m的长方形土地上修建两条互相垂直且宽度为x(m)的道路（与长方形边平行），余下部分作为耕地，用y(㎡)表示耕地面积.请用含x的代数式表示y.
试一试：
①等号右边为整式
②自变量的最高次数为2.
这是什么函数呢？
用怎样的一般形式来表示呢？
一般地，如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示成 y=ax +bx+c (其中a,b,c是常数，且a≠0)，那么称y为x的二次函数.
一、二次函数的概念
必备条件
等号右边为整式
自变量的最高次数为2
二次函数的一般式为 y=ax +bx+c (其中a,b,c是常数，a≠0) ，其中a为二次项系数，ax2叫做二次项；b为一次项系数，bx叫做一次项;c为常数项.
二、二次函数的一般形式
看到二次函数的一般形式，你会想起哪一种方程？
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
三、二次函数与一元二次方程的关系
y=ax +bx+c (a≠0)
ax2+bx+c=0 (a≠0)
二次函数
一元二次方程
是变量，可以取不同数值
是常数，是定值
当变量y取某固定值时，二次函数转化为一元二次方程.
练1.下列函数中,哪些是二次函数 是的，指出a,b,c的值.
注意：先化简后判断
是
不是
是
不是
a=1,b=0,c=0
等号右边不是整式
化简后为y=-x2+x
a=-1,b=1,c=0
化简后为y=-2x+1
练2.已知二次函数 y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2
y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6
（1）化为二次函数的一般形式，并指出其中的a,b,c.
a=-1,b=4,c=-6
（2）当x=-2时，求函数的值.
（3）当用 y=-3时，求x的值.
3.（1）正方形边长为x（cm），它的面积y( )是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的函数表达式．并指出函数类型.
解：（1）y=x2
（2）y=(4+x)(3+2x).
y是x的二次函数
y是x的二次函数
例1.关于x的函数 是二次函数, 求m的值.
考查知识点:1.自变量的次数为2.
2.a≠0.
解：根据题意得m+1≠0且 m -m=2，
解得m=2.
已知关于x的函数 　　　　　　　　 （m 为常数）.
（　 ）
m - 2 x 2 + mx +m+1
y =
（1）当 m ______时，这个函数为二次函数.
（2）当 m ______时，这个函数为一次函数．
（3）这个函数 可能是正比例函数吗？
考查知识点：
（1）二次函数中a≠0,b,c可以为任意数.
（2）a=0,b≠0,c可以为任意数.
（3）a=0,b≠0,c=0.
≠2
=2
当a=0时，m=2,当c=0时，m=-1，m=2和m=-1不能同时成立.
不可能
例2.用20cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为xcm,矩形的面积为y.
(1)确定y与x之间的函数关系式.并判断函数类型.
分析：
20cm是矩形的周长，由矩形一边长为xcm,可知另一边长为(10-x)cm.
y是x的二次函数
例2.用20cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为xcm,矩形的面积为y.
(2)自变量x可以任意取值吗？
分析：
从实际问题中数据的非负性出发考虑问题.
矩形的长和宽均为正数.
在实际问题中，自变量的取值范围要符合实际.
例2.用20cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为xcm,矩形的面积为y.
(3)矩形的面积能达到100平方厘米吗？
解：把y=100代入，得
∴方程没有实数根，即矩形的面积不能达到100平方厘米.
当y确定下来时，二次函数问题往往转化为一元二次方程问题.
1.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数
C
2．下列函数是二次函数的是 ( )
A．y＝2x＋1 B．
C．y＝3x2＋1 D．
C
3.若函数 是二次函数，求：
（1）求a的值.
（2） 求函数关系式.
（3）当x=-2时，y的值是多少？
解：
（1）由题意，得
解得
（2）当a=-1时，函数关系式为 .
（3）将x=-2代入函数关系式中，有
4.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求
（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.
解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 cm2 .
一、二次函数的一般形式：y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0).
注意: 常数a≠0,常数b和c可以任意取值.
当b=0,c=0时，y=ax
当b=0时，y=ax +c
当c=0时，y=ax +bx
二、定义的实质是：
ax +bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.

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