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(共33张PPT)
30.2 课时1
二次函数y=ax 的图像和性质
1.正确理解抛物线的有关概念；
2.会用描点法画出二次函数y=ax 的图像，概括出图像的特点；
3.掌握形如y=ax 的二次函数图像的性质，并会应用.
问题1：画函数图像的步骤是怎样的？
①列表.
②描点.
③连线.
注意：所选取的数值要能代表自变量的取值范围.
注意：自左向右，用平滑的线一笔画出.
一条直线
②影响直线的有哪些因素？
k影响直线的上升、下降趋势.
当k＞0时，直线自左向右呈上升趋势.
当k＜0时，直线自左向右呈下降趋势.
b影响直线与y轴的交点.
当b＞0,b=0,b＜0时，直线与y轴的交点分别在y轴的正半轴，过原点，y轴的负半轴.
k和b
问题2： 一次函数 的图像是什么？
①
思考：
由前面的结论可知，常数a、b、c对于二次函数的图像都会产生影响.
常数a、b、c
对于二次函数 来说，影响其
图像的因素是哪些？
解：（1）列表：
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y = x2 ··· ···
由于自变量x的取值范围是任意实数，因此在取值时，负数、0、正数都要取.
0
1
4
9
1
4
9
活动一：画二次函数y=x2的图像.
观察表格中的数据，你有什么发现？想象会出现一个什么样的图形？
在0的两侧，呈对称出现
o
9
（2）根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）;
－3
3
3
6
9
（3）用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图像．
一、画二次函数y=x2的图像.
3
3
6
x
y
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -1 0 -1 -4
列表、描点和连线.
－2
－4
2
4
－2
－4
活动二：画二次函数 的图像.
x
y
o
观察 的图像跟实际生活中的什么相像？
的图像很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线.
y
－2
－4
2
4
－2
－4
x
o
称之为抛物线
o
9
－3
3
3
6
9
3
3
6
x
y
y
－2
－4
2
4
－2
－4
x
o
一、二次函数的图像
二次函数 的图像是一条关于y轴对称的曲线，称之为抛物线.
抛物线的对称轴
抛物线与对称轴的交点，是抛物线的顶点
探究一：
－2
2
2
4
6
4
－4
8
相同点：
发现：
x
y
o
开口方向
向上
对称轴是
y轴(直线x=0)
顶点是
原点(0,0)
抛物线的最低点是
顶点
探究一：
函数的增减性
发现：
－2
2
2
4
6
4
－4
8
x
y
o
在对称轴的左侧，即x＜0时，y随x的增大而减小.
在对称轴的右侧，即x＞0时，y随x的增大而增大.
函数的最值
当x=0时,y有最小值为0.
探究一：
不同点：
发现：
－2
2
2
4
6
4
－4
8
x
y
o
开口大小不同.
小
a的值越大，开口越
a的值越小，开口越
大
思考：
与a的值为正有关.
与a的绝对值的大小有关.
发现：
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
x
y
o
在同一坐标系中，画出函数y=-x2,y=-2x2, y= x2 的图像，观察它们的相同点和不同点．
探究二：
相同点：
开口方向
向下
对称轴是
y轴
顶点是
原点
抛物线的最高点是
顶点
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
发现：
x
y
o
在同一坐标系中，画出函数y=-x2,y=-2x2, y= x2 的图像，观察它们的相同点和不同点．
探究二：
函数的增减性
在对称轴的左侧，即x＜0时，y随x的增大而增大.
在对称轴的右侧，即x＞0时，y随x的增大而减小.
函数的最值
当x=0时,y有最大值为0.
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
发现：
x
y
o
在同一坐标系中，画出函数y=-x2,y=-2x2, y= x2 的图像，观察它们的相同点和不同点．
探究二：
不同点：
开口大小不同.
小
a的绝对值越大，开口越
a的绝对值越小，开口越
大
思考：
与a的值为负有关.
与a的绝对值的大小有关.
抛物线 y=ax2（a＞0） y=ax2（a＜0）
图像（草图）
顶点坐标 开口 方向
大小 最值
增减性
（0, 0）
向上
向下
|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大
有最小值0
有最大值0
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小
当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小
例1.一个二次函数，它的图像的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点（1， ）
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）画出这个二次函数的图像；
（3）根据图像指出，当x＞0时，若x增大，y怎样变化？当x＜0时，若x增大，y怎样变化？
（4）当x取何值时，y有最大（或最小）值，其值为多少？
（1）求这个二次函数的解析式；
分析：
由已知中二次函数图像顶点为原点，对称轴为y轴，可推断此函数符合
解：设这个二次函数解析式为
（2）画出这个二次函数的图像；
（3）根据图像指出，当x＞0时，若x增大，y怎样变化？当x＜0时，若x增大，y怎样变化？
当x＞0时，y随x增大而增大；当x＜0时, y随x增大而减小；
当x=0时，y有最小值为0.
（4）当x取何值时，y有最大（或最小）值，其值为多少？
二次函数y= -10x2
(1)图像的开口向 ___，对称轴是 ____，
顶点是______ ，顶点坐标是______.图像有最____点.
(2)当x______时，y随x的增大而增大.
(3)当x______时，y随x的增大而减小.
(4)当x______时，函数y有最_____值________.
下
y轴
原点
（0,0）
＞0
＜0
高
=0
大
0
（1）点A（2,10），点B（-2，-12）是否在抛物线上？
（2）已知点C（1,m），点D（3，n）在抛物线上，比较m与n的大小.
你会用函数的增减性解决这问题吗？
（2）已知点C（1,m），点D（3，n）在抛物线上，比较m与n的大小.
解：∵a=-3＜0
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小.
∵1＜3
∴m>n
（3）已知点E（-100,a），点F（0，b）,F(0.02,c)在抛物线上，比较a,b,c的大小.
解：∵a=-3＜0
∴当x=0时，y有最大值为0.∴b最大
∵在抛物线上的点，离对称轴越近，位置越高，即函数值越大.
-100距对称轴的距离为100,0.02距对称轴的距离为0.02.
100＞0.02
∴a＜c ∴a＜c＜b
（3）已知点E（-100,a），点F（0，b）,G(0.02,c)在抛物线上，比较a,b,c的大小.
y
o
E
F
G
如图，画出抛物线的草图，将点E,F,G标到图像上，观察图像可得
a1. 二次函数y＝8x2不具有的性质是（　C　）
A. 图像的对称轴是y轴
B. 图像开口向上
C. 当x＜0时，y随x的增大而增大
D. 函数有最小值
C
2. 已知二次函数y＝（a－1）x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　B　）
A. a＞0 B. a＞1 C. a≠1 D. a＜1
3. 如图所示为二次函数y＝（k－3）x2的图像，则k的取值范围是 　k＜3　 .
B
k＜3　
解：（1）由题意知m≠0，m2+1=2,得m= -1或1；
（2）当m=1时，图像有最低点，最低点的坐标为（0,0）.
此时，当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）当m= -1时，函数有最大值，最大值是0.此时，x的值为0.
当 x＞0时，y随x的增大而减小；
当x＜0时，y随x的增大而增大.

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