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30.4 课时3 将二次函数问题转化为一元二次方程问题
1.根据题意求出二次函数.
2.根据给定的函数值，将二次函数转化为一元二次方程求解.
3.根据给定的函数值的范围，将二次函数转化为一元二次不等式或不等式组求解.
甲、乙两车在限速为40km/h的湿滑弯道上相向而行，待望见对方，同时刹车时已经晚了，两车还是相撞了.事后经过现场勘察，测得甲车的刹车距离为12m，乙车的刹车距离超过10m，当小于12m.根据有关资料，在这样的湿滑路面上，甲车的刹车距离s甲(m)与车速x(km/h)之间的关系为s甲=0.1x+0.01x2,乙车的刹车距离s乙(m)与车速x(km/h)之间的关系为s乙= x.
请你对这个案例进行分析，判断事故的责任在哪一方？
分析：
根据刹车距离，求出两车的行驶速度，判断是否超速.即由y的值或y的取值范围，求出x的值或x的取值范围.
解：由题意，s甲=0.1x+0.01x2，甲车刹车前的行驶速度
就是当甲车的刹车距离为12m时的车速，即
0.1x+0.01x2=12
解得 x=30或x=－40（舍去）
所以甲车刹车前的行驶速度为30km/h，小于限速值 40km/h
故甲车没有违章超速.
转化为一元二次方程解决问题
乙车刹车前的行驶速度范围为40km/h＜ x＜48km/h，大于限速值40km/h，故乙车违章超速；
由题意，s乙= x，乙车刹车前的行驶速度就是当乙车的刹车距离为10m到12m时的车速，
转化为一元一次不等式组解决问题
探究：
在限速40km/h的前提下，能不能计算出甲车、乙车的刹车距离的范围？从而直接用刹车距离判断两车是否超速？
x=-5
(40,20)
●
●
(0,0)
甲的刹车距离为12m,因此甲没有超速.
探究：
在限速40km/h的前提下，能不能计算出甲车、乙车的刹车距离的范围？从而直接用刹车距离判断两车是否超速？
乙的刹车距离超过了10m,因此乙超速了.
同样，当二次函数y=ax2+bx+c 的某一个函数值y=m,就可以利用一元二次方程ax2+bx+c=m确定与它对应的x的值.即将二次函数问题转化为一元二次方程问题.
当一次函数y=kx+b的某一个函数值y=m,就可以利用一元一次方程kx+b=m确定与它对应的x的值.即将一次函数问题转化为一元一次方程问题.
函数与方程的关系
1.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
解：设销售单价为x元/千克，月销售利润为y元.
y=(x-40)[500-10(x-50)]
=－10x2＋1400x－40000
把y=8000代入，得 －10x2＋1400x－40000=8000
解得 x1＝60，x2＝80．
∵月销售成本不超过10000元
∴40×[500-10（x-50)]≤10000
解得，x≥75
∴取x=80
答：月销售单价应定为80元/千克.
A
B
D
C
E
F
例1 如图，已知边长为1的正方形ABCD,在BC边上有一动点E，
连接AE，作EF⊥ AE，交CD边于点F.
（1）CF的长可能等于 吗？
问题一：
图中出现了几何中常见的什么基本型？
问题二：
题中出现“K”形，一般会用到什么知识？
问题三：
在一元二次方程章节，我们是如何处理“能不能”的问题的？
K型
相似
方程有没有根，即利用根的判别式
A
B
D
C
E
F
例1 如图，已知边长为1的正方形ABCD,在BC边上有一动点E，
连接AE，作EF⊥ AE，交CD边于点F.
（1）CF的长可能等于 吗？
3
2
1
A
B
D
C
E
F
解：设BE=x,CE=1-x.
又∵ ∠ABE=∠ECF ,
∴ Rt△ABE∽Rt△ECF.
3
2
1
∵∠1+∠3=90°,∠2+∠3=90°
∴∠1=∠2.
∴方程没有实数根
方法一
A
B
D
C
E
F
解：设BE=x,CF=y.
与方法一相同，可证△ABE∽△ECF
即
方法二
(0＜x＜1)
∵a=-1＜0,抛物线开口向下
A
B
D
C
E
F
解：由题意得
即
解得
∴ 当BE的长为 或 时，CF的长为 .
1.当二次函数y=ax2+bx+c 的某一个函数值y=m,就得到一元二次方程ax2+bx+c=m.则将二次函数问题转化为一元二次方程问题.就可以用一元二次方程的知识解决问题，如：解方程、根的判别式等等.
例1反思
2.可以利用相似的知识得到二次函数的表达式.
1.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果点P、Q同时出发，那么经过几秒，四边形APQC的为112c㎡.
P
Q
C
B
A
设经过x秒，四边形APQC的面积为112c㎡
答案：
∴经过2秒或4秒，四边形APQC的面积为112c㎡.
2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果点P、Q同时出发，那么经过几秒，四边形APQC的面积最小.
P
Q
C
B
A
设经过x秒，四边形APQC的面积为yc㎡
答案：
∵a=4＞0,∴当x=3时，y有最小值.
∴经过3秒，四边形APQC的面积最小.
例2 如图，△ABC是一块铁皮余料，已知底边BC=160cm,高AD=120cm.
在铁皮余料上截取一个矩形EFGH,使H在AD上，点G在AC上，点E、F
在BC上，AD交HG于点M.
思考：
（2）用函数解决最值时，首先要解决什么问题？
利用函数解决最值的问题.
H
G
F
E
D
C
B
A
M
求矩形EFGH的最大值.
（1）通常我们会怎样解决“最大”的问题？
确定函数的表达式.
（3）在本题中，需要确定什么样的函数表达式？
以矩形边长为自变量，面积为函数的表达式.
例2 如图，△ABC是一块铁皮余料，已知底边BC=160cm,高AD=120cm.
在铁皮余料上截取一个矩形EFGH,使H在AD上，点G在AC上，点E、F
在BC上，AD交HG于点M.
解：设HG为xcm,矩形EFGH的面积为yc㎡.
求矩形EFGH的最大值.
由题得，HG∥BC
∴△AHG∽△ABC
H
G
F
E
D
C
B
A
M
H
G
F
E
D
C
B
A
M
∴当x=60时，y有最大值为4800.
即矩形EFGH的最大值为4800c㎡.
例2 如图，△ABC是一块铁皮余料，已知底边BC=160cm,高AD=120cm.
在铁皮余料上截取一个矩形EFGH,使H在AD上，点G在AC上，点E、F
在BC上，AD交HG于点M.
1.求最值往往用函数来解决，求哪个数量的最大或最小值，就需要列出以这个数量为函数的表达式，再用函数的顶点坐标或增减性解决问题.
例2反思
2.与图形相关的函数问题，往往会和以前的相似知识相联系.
1.某种正方形合金板材的成本 （元）与它的面积成正比.设边长为 ，
当 时, ,那么当成本为72元时,边长为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 设 与 之间的函数关系式为 ,由题意，得 ，解得 ，所以 ，当 时， ，所以 .
2.[2023丽水中考]一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过
（秒）时球距离地面的高度 （米）适用公式 ，那么球弹
起后又回到地面所花的时间 （秒）是( )
D
A.5 B.10 C.1 D.2
【解析】 令 ，得 ，解得 或 ， 球弹起后又回到地面所花的时间是2秒．
4.某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，
可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元时，未租出的车将增加1辆.公
司平均每日的各项支出共4 800元．设公司每日租出 辆车，日收益为
元．（日收益 日租金收入-平均每日各项支出）
（1）公司每日租出 辆车时，每辆车的日租金为______________元.（用
含 的代数式表示）
（2）当每日租出多少辆汽车时，租赁公司日收益不盈也不亏？
解：由题意可知，
关于 的函数表达式为 ,
要使租赁公司日收益不盈也不亏，即 ，
则 ，
解得 （不合题意，舍去）， .
答：当每日租出4辆汽车时，租赁公司日收益不盈也不亏．
当已知某个二次函数的函数值y = m,求对应的x 的值的基本方法：
1.根据题意先确定这个二次函数的解析式 y = ax 2 + bx + c；
2.令 y = m，构成ax 2 + bx + c= m的一元二次方程；
3.再解一元二次方程，求出符合题意的x 的值.
如果给出的是函数值y的范围，则二次函数可以转换化成一元二次不等式或一元二次不等式组求解.

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