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31.4 课时2 用列举法求简单事件的概率（树形图）
1.进一步理解等可能事件概率的意义.
2.学习运用树形图计算事件的概率.
3.进一步学习分类思想方法，掌握有关数学技能.
问题一：掷一枚质地均匀的硬币，落地后，正面向上的概率是多少？
解：共有2种等可能的结果，其中正面向上有一种.
问题二：同时掷两枚质地均匀的硬币，落地后，两枚都是正面向上的概率是多少？
解：设正面向上为1，反面向上为2.
2
1
第一枚
第二枚
1
2
（1,1）
（1,2）
（2,1）
（2,2）
共有4种等可能的结果，其中两枚都是正面向上的有1种.
问题三：同时掷三枚质地均匀的硬币，落地后，三枚都是正面向上的概率是多少？
想一想：还能用列表法求出概率吗？
不能
今天我们学习用树形图来解决这个问题.......
树形图的画法
开始
第一个因素
第二个因素
如一个试验中涉及2个因素,第一个因素中有2种可能情况;第二个因素中有3种可能的情况.
A
B
1
2
3
1
2
3
画树形图法：按事件发生的次序，列出事件可能出现的结果.
用树形图求简单事件的概率
例1.同时掷三枚质地均匀的硬币，落地后，求三枚都是正面向上的概率.
第一枚
第二枚
第三枚
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
结果
111
112
121
122
211
212
221
222
共有8种等可能的结果，其中三枚都是正面向上的有1种.
开始
第一枚
第二枚
第三枚
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
结果
111
112
121
122
211
212
221
222
开始
思考：
用树形图求事件的概率有什么优势？
用树形图列举的结果看起来一目了然，当事件要经过多个(三个或三个以上)步骤完成时，用树形图法求事件的概率很有效.
画树状图求概率的基本步骤：
① 明确一次试验有几个步骤和顺序；
② 把每一步骤的结果列为一层，画树状图；
③ 沿着“树杈”列出所有可能的结果，算出 n 的值；
④ 找出符合条件的结果个数 m；
⑤ 求概率 .
例2. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率 .
∴共有 9 种等可能的结果.
直
右
第二辆车
第一辆车
左
右
左
直
左
右
直
左
右
直
开始
事件A
分析：
____
类型一：放回型
例3 一个盒子中装有两个红球，一个蓝球，这些球除颜色外都相同. 甲乙两人进行摸球游戏：甲先从盒中随机摸出一球，记下颜色后放回，摇匀后再由乙从盒中随机摸出一球.
(1) 试用树状图 ( 或列表法 ) 表示两次摸球游戏所有可能的结果；
(2) 如果规定：若能配成紫色 (红色和蓝色配成紫色) 为甲胜，否则为乙胜，这个游戏公平吗 请说明理由.
(1) 解：先将两个红球分别记为“红1”，“红2”， 然后画树状图如下：
红1
蓝
乙
甲
红2
蓝
红2
红1
开始
红2
蓝
红1
红2
蓝
红1
(2) 解：不公平.
∵由树状图可知共有 9 种等可能的结果，
∴能配成紫色的有 4 种结果，则
∴这个游戏不公平.
类型二：不放回型
例4 小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的 3 个红球和 2 个黑球，两人先后从袋中取出一个球(不放回) ，若两人所取球的颜色相同，则小明胜；否则，小军胜；
(1) 请用树状图或列表法求出摸球游戏所有可能的结果；
(2) 你觉得本游戏规则是否公平，请说明理由.
(1) 解：先将三个红球分别记为“红1”“红2”“红3”
“黑1”“黑2”，然后画树状图如下：
红1
红3
小军
小明
红2
开始
黑1
黑2
红2
红3
黑1
黑2
红1
红3
黑1
黑2
红1
红2
黑1
黑2
红2
红3
红1
黑2
红2
红3
红1
黑1
例3和例4的相同点和不同点分别是什么？
思考：
相同点：
事件要经过3个步骤完成，需要画三层树形图.
不同点：
例3属于“有放回”.
例4属于“不放回”.
注意：在用树形图求一个事件的概率时，仍然要先关注属于“有放回”还是“不放回”.
2. a、b、c、d 四本不同的书放入一个书包，至少放一本，最多放两本，共有 种不同的放法.
1. 三女一男四人同行，从中任意选出两人，其性别不同的概率为( )
10
C
3. 在一个不透明的袋子里，装有三个分别写有数字 7，
6，-2 的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.
先从袋子里随机取出一个小球，记下数字后放回袋子
里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字. 请你用
列表或画树状图的方法求下列事件的概率.
(1) 两次取出的小球上的数字相同；
(2) 两次取出的小球上的数字之和大于 10.
6
-2
7
(1) 两次取出的小球上的数字相同的可能性只有 3 种，
所以 P(数字相同) =
(2) 两次取出的小球上的数字之和大于 10 可能性只有
4 种，所以 P(数字之和大于 10) =
解：根据题意，画出树状图如下：
第一个数字
第二个数字
6
6
-2
7
-2
6
-2
7
7
6
-2
7
1.列表法（两层，且每层的数目较多）
求一个简单事件的概率时
2.树形图（两层及以上都可用）
3.直接列举法（结果较多时）
根据实际问题，选择合适的方法去求事件的概率.

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