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专题 6.5 计数原理全章十大基础题型归纳（基础篇）
【人教 A 版（2019）】
题型 1 分类加法计数原理的应用
1．（23-24 高二下·陕西西安·期末）书架的第 1 层放有 3 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，
第 3 层放有 2 本不同的体育书.从书架上任取 1 本书，不同的取法种数为（ ）
A．3 B．8 C．12 D．18
【解题思路】根据分类加法计数原理进行求解,
【解答过程】书架的第 1 层放有 3 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，
第 3 层放有 2 本不同的体育书.从书架上任取 1 本书，不同的取法种数为3 + 3 + 2 = 8.
故选：B.
2．（23-24 高二下·湖北·期中）书架上放有 2 本不同的科学类图书，3 本不同的文学类图书和 5 本不同的历
史类图书，小李从中任选 1 本阅读，不同的选法共有（ ）
A．9 种 B．10 种 C．30 种 D．45 种
【解题思路】直接根据分类加法计数原理即可求解.
【解答过程】根据分类加法计数原理知，小李不同的选法共有2 + 3 + 5 = 10种.
故选：B.
3．（24-25 高二下·江苏·课前预习）在所有的两位数中，个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位
数有多少个？
【解题思路】根据给定条件，利用分类加法计数原理求解即得.
【解答过程】当个位数字是 8 时，十位数字取 9，只有 1 个；
当个位数字是 6 时，十位数字可取 7，8，9，共 3 个；
当个位数字是 4 时，十位数字可取 5，6，7，8，9，共 5 个；
同理可知，当个位数字是 2 时，共 7 个，
当个位数字是 0 时，共 9 个.
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有 1＋3＋5＋7＋9＝25（个）.
4．（24-25 高二·全国·课堂例题）某市的有线电视可以接收中央台 12 个频道、本地台 10 个频道和其他省市
46 个频道的节目．
(1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？
(2)如果有 3 个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少
个不同的节目？
【解题思路】利用分类加法计数原理进行求解
【解答过程】（1）当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为 3 类：
第一类，选看中央台频道的节目，有 12 个不同的节目；
第二类，选看本地台频道的节目，有 10 个不同的节目；
第三类，选看其他省市频道的节目，有 46 个不同的节目．
根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看12 + 10 + 46 = 68个不同的节目．
（2）因为有 3 个频道正在转播同一场球赛，即这 3 个频道转播的节目只有 1 个，
而其余频道共有(12 + 10 + 46 3)个正在播放互不相同的节目，
所以一台电视机共可以选看1 + (12 + 10 + 46 3) = 66个不同的节目．
题型 2 分步乘法计数原理的应用
1．（24-25 高二下·全国·课后作业）编号为 1，2，3，4 的四位同学参观某博物馆，该博物馆共有编号为 1，
2，3，4 的四个门，若规定编号为 1，2，3，4 的四位同学进入博物馆不能走与自己编号相同的门，则四位
同学用不同的方式进入博物馆的方法种数为（ ）
A．12 B．16 C．81 D．256
【解题思路】根据题意因不能走与自己编号相同的门，所以每人都可从其它 3 个门进入，再由分步乘法计
数原理从而可求解.
【解答过程】因不能走与自己编号相同的门，安排编号为 1 的同学进入博物馆有 3 种选法；
同理编号为 2，3，4 的同学进入博物馆各有 3 种方法，
由分步乘法计数原理，共有3 × 3 × 3 × 3 = 81种方法．故 C 正确.
故选：C.
2．（23-24 高二下·贵州·期中）高二某班级 4 名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中
甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（ ）
A．54 B．12 C．8 D．81
【解题思路】直接由分步计数原理求解即可．
【解答过程】由甲同学不能报名足球，可得甲有 2 种报名方式，
乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，
可得乙有 3 种报名方式，丙有 2 种报名方式，丁只有 1 种报名方式，
共分步计数原理可得共有2 × 3 × 2 × 1 = 12种．
故选：B．
3．（24-25 高二下·全国·课堂例题）回答下列问题：
(1)5 封不同的信投入 3 个不同的邮筒的投法有多少种？
(2)5 个同学争夺 3 个比赛的冠军，每个比赛冠军只有 1 人，冠军获得情况共有多少种？
【解题思路】由分步乘法计数原理运算即可求解.
【解答过程】（1）5 封不同的信投入 3 个不同的邮筒的投法有3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35 = 243种；
（2）5 个同学争夺 3 个比赛的冠军，冠军获得情况共有5 × 5 × 5 = 53 = 125种.
4．（24-25 高二下·山西大同·阶段练习）有 0，1，2，3，4 五个数字，问：
(1)可以组成多少个无重复数字的四位密码
(2)可以组成多少个无重复数字的四位数
【解题思路】（1）（2）根据分步乘法计数原理即可求解.
【解答过程】（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤：
第 1 步，选取左边第一个位置上的数字，有 5 种选取方法；
第 2 步，选取左边第二个位置上的数字，有 4 种选取方法；
第 3 步，选取左边第三个位置上的数字，有 3 种选取方法；
第 4 步，选取左边第四个位置上的数字，有 2 种选取方法.
由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有 N=5×4×3×2=120 个.
（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤：
第 1 步，从 1，2，3，4 中选取一个数字做千位数字，有 4 种不同的选取方法；
第 2 步，从 1，2，3，4 中剩余的三个数字和 0 共四个数字中选取一个数字做百位数字，有 4 种不同的选取
方法；
第 3 步，从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有 3 种不同的选取方法；
第 4 步，从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有 2 种不同的选取方法.
由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位数共有 N=4×4×3×2=96（个）.
题型 3 排列数的计算与证明
1．（23-24 高二下·河北石家庄·阶段练习）A26 + A25 = （ ）
A．50 B．35 C．25 D．40
【解题思路】利用排列数公式计算即得.
【解答过程】A2 26 + A5 = 30 + 20 = 50.
故选：A.
2．（23-24 高二下·河北石家庄·期中）设 ∈ N+，且 < 19，则(19 ) (20 ) (2024 )等于（ ）
A．A2005 B．A2006 C．A19 D．A20062024 2024 2024 2024
【解题思路】利用排列数的计算公式即可求解.
【解答过程】先确定最大数，即2024 ，再确定因数的个数，即(2024 ) (19 ) + 1 = 2006，
所以原式 = A20062024 .
故选：D.
3．（23-24 高二下·宁夏吴忠·期中）计算：
(1)A1 24 + A4 + A34 + A44；
(2)4A24 +5A35；
(3)已知A2 = 7A2 4，求
【解题思路】（1）（2）利用排列数公式计算即可.
（3）利用排列数公式化简方程，再求解方程即得.
【解答过程】（1）A1 + A2 34 4 + A4 + A44 = 4 + 4 × 3 + 4 × 3 × 2 + 4 × 3 × 2 × 1 = 64.
（2）4A2 34 +5A5 = 4 × 4 × 3 + 5 × 5 × 4 × 3 = 348.
（3）由A2 = 7A2 4，得 4 ≥ 2, ∈ N ，即 ≥ 6, ∈ N ，则 ( 1) = 7( 4)( 5)，
整理得(3 10)( 7) = 0，所以 = 7.
4．（24-25 高二·江苏·课后作业）求证：
(1)A4 3 47 +4A7 = A8；
(2)A + A 1 = A +1．
【解题思路】（1）利用排列数公式化简可证得等式成立；
（2）利用排列数公式化简可证得等式成立.
1 A4 +4A3 = 7! + 4×7! = 4×7!×2【解答过程】（ ）证明： 7 7 3! 4! 4! =
8! = A44! 8.
1 ! × ! ( +1)× !+ × ! ( +1)!（2）证明：A + A = ( )! + ( +1)! = ( +1)! = ( +1)! = A +1.
题型 4 解排列数方程和不等式
1．（24-25 高二上·全国·课后作业）不等式 A3 2 > 3A 的解集是（　　）
A．{ | > 3 } B．{ | > 4, ∈ N }
C．{ |3 < < 4 } D．{ | > 3, ∈ N+ }
【解题思路】
根据排列数公式计算即可.
【解答过程】
由 A3 > 3A2 ，
[ ( 1)( 2)] > 3[ ( 1)]
得 ≥ 3 ，解得 > 3, ∈ N+，
∈ N+
所以不等式 A3 > 3A2 的解集是{ | > 3, ∈ N+ }.
故选：D.
2．（24-25 高二下·全国·课后作业）已知3A = 4A 18 9 ，则 x 等于（ ）
A．6 B．13 C．6 或 13 D．12
【解题思路】根据排列数公式，化简计算，结合 x 的范围，即可得答案.
8! 9!
【解答过程】由题意得3 × (8 )! = 4 × (10 )!，
9
化简可得3 = 4 × (10 )(9 )，解得 = 13或 6，
≤ 8
因为 1 ≤ 9 ，所以 ≤ 8且 ∈ ，故 = 6.
故选：A.
3．（23-24 高二下·江苏苏州·阶段练习）（1）解关于 的不等式A < 6A 28 8 ；
（2）解不等式：3A3 ≤ 2A2 +1 +6A2 .
【解题思路】（1）（2）将排列数表示为阶乘的形式，然后化简计算即可得解，
1 ≤ 8【解答过程】（ ）依题意，有 0 ≤ 2 ≤ 8 ， ∴ 2 ≤ ≤ 8，
8! 8! 6
由A < 6A 28 8 ，得(8 )! < 6 × (10 )!，即1 < (10 )(9 )，
整理得 2 19 + 84 < 0，解得7 < < 12，所以7 < ≤ 8，
又 ∈ N 得 = 8，
所以A 8 < 6A 28 的解集为{8}.
（2）因为3A3 ≤ 2A2 +1 +6A2 ，
3 × ! ≤ 2 × ( +1)! + 6 × ! 3 ≤ 2 × +1 + 6
所以 ( 3)! ( 1)! ( 2)! ，即 ( 1)( 2) ( 2) ，
≥ 3, ∈ N ≥ 3, ∈ N
(3 2)( 5) ≤ 0 2 ≤ ≤ 5
整理得 ≥ 3, ∈ N ，解得 3 ，故 ∈ ， ≥ 3, ∈ N {3,4,5}
所以不等式解集为{3,4,5}.
4．（24-25 高二上·全国·课后作业）解下列方程或不等式．
(1)A32 =2A4 +1；
(2)A 8 < 6A 28 .
【解题思路】（1）根据条件，利用排列数公式即可求出结果；
（2）先利用排列数公式得到 2 19 + 84 < 0 ，从而得到7 < < 12，对根据排列数公式要求，求出 的范
围，进而求出结果.
【解答过程】（1）因为A3 42 =2A +1，
2 ≥ 3
由 + 1 ≥ 4 ，解得 ≥ 3，
∈ N
由原式可得2 (2 1)(2 2) = 2( + 1) ( 1)( 2)，解得 = 5或 = 0或 = 1．
又因为 ≥ 3，所以 = 5．
（2）因为A 8<6A -28 ，
1 ≤ ≤ 8
由 1 ≤ 2 ≤ 8 ，解得3 ≤ ≤ 8且 ∈ N ，
∈ N
8！ 8！
由原不等式可得(8 ) < 6 ×！ (10 ) ，！
化简可得 2 19 + 84 < 0，解得7 < < 12，
又3 ≤ ≤ 8且 ∈ N ，所以 = 8．
题型 5 组合数的计算与证明
1．（23-24 高二下·湖北·期中）式子C9 2 2 + C2 10 的值为（ ）
A．27 B．127 C．5160 D．与 的取值有关
【解题思路】根据组合数的性质和运算公式进行求解即可.
0 ≤ 9 2 ≤ 2
10 ≥ 2
【解答过程】由题中组合数的形式可知： 9 2 ∈ N = 3，
2 ,10 ∈ N
所以C9 2 2 3 62 + C10 = C6 + C7 = 27.
故选：A.
2．（23-24 高二下·江苏·期中）若C = C +222 22 ，则C2 23 + C4 + + C2 的值为（ ）
A．54 B．55 C．164 D．165
【解题思路】由组合数的性质计算可得 = 10，结合C 1 + C = C +1计算即可得解.
【解答过程】由C 22 = C +222 ，故 + + 2 = 22或 = + 2，故 = 10，
则C23 + C24 + + C2 3 2 2 = C3 + C3 + C4 + + C210 1 = C3 2 24 + C4 + + C10 1
= C3 25 + C5 + + C2 3 210 1 = = C10 + C10 1 = C311 1 = 164.
故选：C.
3．（23-24 高二下·天津河西·期中）（1）证明：组合数性质C = C 1 +1 + C （ ， ∈ ）；
（2）计算：C22 + C2 2 23 + C4 + + C100（用数字作答）．
【解题思路】（1）利用组合数公式计算化简可证结论；
（2）利用（1）的结论可计算求得答案.
! !
【解答过程】（1）证明：C 1 +C ＝ !( )!+( 1)!( +1)!
!( +1) ! !( +1+ )
＝ !( +1)! + !( +1)!＝ !( +1)!
!( +1) ( +1)!
＝ !( +1)!＝ !( +1)!＝C +1；
（2）C22 + C23 + C24 + + C2 ＝C3 2 2 2 3 2100 3+C3+C4+…+C100＝C4+C4+…+C2100
＝C35+C25+…+C2100＝…＝C3 2 3
101×100×99
100+C100＝C101＝ 3×2 ＝166650．
4．（24-25 高二上·上海·课后作业）已知 m 是自然数，n 是正整数，且 ≤ ．求证：
(1)C = C ；
(2)C 1 +1 = C + C ．
【解题思路】代入阶乘公式，化简证明.
! !
【解答过程】（1）根据组合数公式，可以得到C = ( )![ ( )]! = !( )! = C ．
! !
（2）根据组合数公式，可以得到C 1 + C = !( )! + ( 1)!( +1)!
!( +1) ! !( +1+ ) !( +1) ( +1)!
= !( +1)! + !( +1)! = !( +1)! = !( +1)! = !( +1)! = C +1．
题型 6 解组合数方程和不等式
1．（23-24 高二上·河南驻马店·期末）关于 的方程C2 = C3 411 11 的解为（ ）
A． = 3 B． = 4 C． = 3且 = 4 D． = 3或 = 4
【解题思路】根据题意结合组合数的定义与性质运算求解.
【解答过程】因为C2 = C3 411 11 ，则2 = 3 4或2 + 3 4 = 11，解得 = 4或 = 3，
若 = 4，可得C811 = C811，符合题意；
若 = 3，可得C6 511 = C11，符合题意；
综上所述： = 3或 = 4.
故选：D.
2．（24-25 高二·全国·课后作业）使不等式C2 ≥ C3 （n 为正整数）成立的 的取值不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】根据组合数公式可得出关于 的不等式，结合 ≥ 3可求得 的取值范围，即可得解.
【解答过程】在C2 中， 为正整数， ≥ 2，在C3 中， 为正整数， ≥ 3，
C2 ≥ C3 ( 1) ≥ ( 1)( 2)因为 ，则有 2×1 3×2×1 ，即 2 ≤ 3，解得 ≤ 5，
因此有3 ≤ ≤ 5， 为正整数，所以 的取值可以是3或4或5．
故选：D．
3．（2024 高三·全国·专题练习）解方程：
(1)C +1 = C2 313 13 ；
(2) 1解方程：C 2 3 3 +2 + C +2 = 10A +3.
【解题思路】（1）根据组合数的性质可列方程，解方程即可；
（2）根据组合数的性质与排列数公式解方程.
【解答过程】（1）由C +1 2 313 = C13 ，
即 + 1 = 2 3或 + 1 + 2 3 = 13，
解得 = 4或 = 5；
（2）由C 1 2 + C = C +1，C +2 + C 3 =
1 A3 +2 10 +3，
即C 2 1 3 +3 = 10A +3，即C
5 1 3
+3 = 10A +3，
( +3)! ( +3)!
所以5!( 2)! = 10 ! ，
化简可得 ( 1) = 12，
解得 = 4或 = 3，
+ 2 > 0
又 + 3 > 0 ，即 > 2，
所以 = 4.
4．（24-25 高二下·重庆万州·阶段练习）(1)已知C4 > C6 求 的值构成的集合;
C5 3(2) +C 4求等式 1 3C3 = 35中的 值. 3
【解题思路】（1）（2）根据给定不等式、等式，利用组合数公式化简，求解不等式或方程作答.
! !【解答过程】（1）依题意， ∈ N , ≥ 6，4!( 4)! > 6!( 6)! ( 4)( 5) < 6 × 5，解得 1 < < 10，
则 的值为 6，7，8，9，
所以 的值构成的集合为{6,7,8,9}.
5
2 C 1+C
3 4 C5 19 14 1 ≥ 5
（ ）等式 3 1 5 3 C3 = 35变形为：C3 +1 = 5 ，即C 1 = 5 C 3，显然 ∈ N ，且 3 ≥ 3 ，即有 ∈ N 3 3
, ≥ 6，
( 1)( 2)( 3)( 4)( 5) = 14 ( 3)( 4)( 5)于是得 5! 5 3! ，整理得
2 3 54 = 0，解得 = 9或 = 6，
所以 = 9.
题型 7 求二项展开式的特定项或特定项的系数
7
1．（23-24 高二下· · 1四川南充 阶段练习）在二项式 2 3 的展开式中，常数项等于（ ）

A．﹣42 B．42 C．14 D．﹣14
【解题思路】先求出通项，再令 的指数为 0，即可求得常数项.
1 7 1 21 7
【解答过程】二项式 2 3 的展开式的通项为C (2 3)7 = C ( 1) 27 7 7

2 ，

令21 72 = 0，解得 ＝6，C
6
7 × ( 1)6 × 21 = 14，
故选：C.
2．（23-24 高二下·广东珠海·期中）若( + )5的展开式中 2的系数是 80，则实数 a 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】求出( + )5展开式的通项，令 的系数为2可得 2项的系数，列方程求解即可.
【解答过程】( + )5展开式的通项为C 5 5
令5 = 2 = 3，
可得 2系数为C3 35 = 10 3 = 80，
可得 = 2．
故选：B.
6
3．（23-24 高二下·天津河东·期中）已知 5 1 ．

(1)展开式中的中间一项；
(2)展开式中常数项的值．
【解题思路】（1）先求出展开式的通项，再求其第 4 项即可.
（2）令展开式的通项中 系数为零，解出 ，再代入通项求解即可.
6 3
【解答过程】（1） 5 1 1展开式的通项为 6 6 +1 = C6(5 ) = C6 5 ( 1)
6
2 ，

= 0,1,2, ,6，
展开式一共 7 项，中间一项为第 4 项， = 3，
3 9 3 4 = C6 53 ( 1)3
6
2 = 2500 2.
（2 3）令6 2 = 0，解得 = 4.
5 = C4 2 4 06 5 ( 1) = 375，故展开式中常数项的值375.

4．（2025 高三·全国· 3 3专题练习）已知在 3 的展开式中，第6项为常数项．
(1)求 ；
(2)求含 2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
【解题思路】(1)利用二项展开式的通项公式求出通项，令 = 5时 的指数为0，即可得出结果；
(2)将 的值代入通项，令 的指数为2，即可求出结果；
(3)令通项中 的指数为整数，求出结果即可.
2
【解答过程】（1）解：通项公式为 +1 = 3 ( 3)

3 = ( 3) 3 .
6 = 5 2 因为第 项为常数项，所以 时，有 3 = 0，解得 = 10.
2
（2）解：由(1)可知 = 10，令 3 = 2，解得 = 2.
所以含 2项的系数为( 3)2 210 = 405.
10 2 ∈
3
（3）解：由题意可知， 0 ≤ ≤ 10 ，
∈
则 可能的取值为2，5，8.
所以第3项，第6项，第9项为有理项，分别为 2 ( 3)2 2， 5 ( 3)5， 8 ( 3)8 210 10 10 .
题型 8 求展开式中系数最大（小）的项
1．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知(1 + 3 ) 的展开式中前三项的二项式系数和为79，则展开式中系数最
大的项为第（ ）
A．7项 B．8项 C．9项 D．10项
【解题思路】根据展开式中前三项的二项式系数和为79求出 的值，然后利用不等式法可求出展开式中系数
最大的项对应的项数.
【解答过程】(1 + 3 ) 的展开式中前三项的二项式系数和为C0 1 2 ( 1) + C + C = 1 + + 2 = 79，
整理可得 2 + 156 = 0， ∵ ≥ 2且 ∈ ，解得 = 12，
(1 + 3 )12的展开式通项为 +1 = C12 (3 ) = C12 3 ( = 0,1,2, ,12)，

+ 1 C12 3 ≥ C
+1
12 3 +1设展开式中第 项的系数最大，则 C 3 ≥ C 112 12 3 1
，
12! 3 ≥ 12! 3 +1
! (12 )! ( +1)! (11 )! 35
即 12! 12! 1 ，解得 4 ≤ ≤
39
3 ≥ 3 4
，
! (12 )! ( 1)! (13 )!
因为 ∈ ，故 = 9，因此，展开式中系数最大的项为第10项.
故选：D.

2 1．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）已知 + 的展开式中仅第 4 项的二项式系数最大，则展开式中系
2
数最大的项是第（ ）项
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】根据第 4 项的二项式系数最大求出 = 6，再通过通项公式得出展开式中项的系数为2 C 6，接
2 C ≥ 2 ( 1)C 1
着由 6 62 C ( +1) +1 即可求解.6 ≥ 2 C6
【解答过程】由题意二项式系数仅C3 最大，故 = 6，
1 6 1 3
所以二项式为 + ，其通项公式为T +1 = C 6 6 = 2 C6
6
2 , = 0,1,2,3,4,5,6，
2 2
2 C ≥ 2 ( 1)C 1
设二项式展开式中第 + 1项的系数最大，则有 6 62 C ≥ 2 ( +1)C +1 ，6 6
≤ 7
3 44 ，即3 ≤ ≤
7
3，故 = 2，经经验符合题意， ≥
3
所以展开式中系数最大的项是第 3 项.
故选：B.

3．（23-24 高二下·广东中山·期末）已知( + 12 ) ,( ≥ 4, ∈ N
) 5
2 的展开式中，第 项与第
3项的二项式系数
之比为15:2．
(1)求 的值及展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大项．
【解题思路】（1）求得展开式的通项为 = 2 C 3 +1 ，根据题意，列出方程求得 = 12，进而求得
展开式的常数项；
C 2 ≥ C +1 2 1
（2）设展开式第 + 1项的系数最大，得出不等式组 12 12 C 12 2 ≥ C 1 2 +1
，结合 ∈ N ，求得 的值，代
12
入即可求解.
1 1 【解答过程】（1）解：由题意，可得二项式( + 2 2 ) 展开式的通项为 +1 = C ( 2 ) = 2
C
2
3 ，
5 C
4 15 ( 2)( 3) 15
因为第 项与第3项的二项式系数之比为15:2，可得 C2 = ，即 = ，解得 = 12（负值舍）， 2 12 2
所以 = 2 C 12 3 495 +1 12 ，令12 3 = 0，得 = 4，所以展开式的常数项为 = 2 4 C45 12 = 16 .
（2）解：设展开式中第 + 1项的系数最大，
C 2 ≥ C +1 2 1
12 12 2( + 1) ≥ 12 10 13则 C 12 2 ≥ C 1 2 +1
，可得
12 13 ≥ 2
，解得 3 ≤ ≤ 3 ，
495
因为 ∈ N ，所以 = 4，所以系数最大的项为 = 2 45 C4 012 = 16 .

4 3 2．（23-24 高二下·浙江·期中）在二项式 + 的展开式中，
(1)若第 4 项的系数与第 6 项的系数比为 5∶6，求展开式中的有理项；
(2)若展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项．
【解题思路】（1）根据已知条件及二项展开式的通项公式，结合有理项的特点即可求解；
（2）利用二项式系数的性质及系数的最大项的求法即可求解.
【解答过程】（1）由题意得C3 23:C5 5 2 = 5:6,
∴6C3 = 20C5 ，即 2 7 + 6 = 0,解得 = 6或 = 1（舍）.
6 4
∴ 3 2 +1 = C ( ) = C6 2 3 ， = 0 ，1，2，…6，
所以 = 0，3，6 时为有理项
160 64
即展开式中的有理项为： 21 = ， 4 = 2 ， 7 = 6.
（2）因为展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，所以 = 8，
设第 + 1项的展开式系数最大，则
C 8 2 ≥ C 1 18 2
C 2 ≥ C +1 2 +1 ,解得5 ≤ ≤ 6。8 8
2 5 2 6 163 3
所以展开式中系数最大项为： = C5 3 4 6 26 8( ) = 1792 ， 7 = C8( ) = 1792

3
.
题型 9 多项式积的展开式中的特定项问题
1．（23-24 高二下·宁夏银川·阶段练习）已知(3 1)( + 1)5的展开式中含 4的项的系数为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
【解题思路】分析知道求3 与二项式中含 3的项相乘所得的项， 1与二项式中含 4的项相乘所得的项，两
项相加，即为(3 1)( + 1)5的展开式中含 4的项.
【解答过程】已知(3 1)( + 1)5，
( + 1)5展开式第 + 1项 = C 5 +1 5 ，
= 2时， = C2 3 = 10 3，3 10 3 = 30 43 5 ，
= 1时， 2 = C15 4 = 5 4，( 1) × 5 4 = 5 4，30 4 5 4 = 25 4，
故选：B．
2．（23-24 高二下·江苏连云港·阶段练习）在 ( + )( )5 的展开式中， 3 3的系数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解.
【解答过程】( + )( )5 = ( )5 + ( )5，
( )5展开式的通项公式为 +1 = ( 1) C 5 5 ，
令 = 3，则 ( )5展开式中含 3 3的项的系数为 C35 = 10；
令 = 2，则 ( )5展开式中含 3 3的项的系数为C25 = 10，
所以( + )( )5展开式中含 3 3的项的系数为 10 + 10 = 0.
故选：A.

3．（23-24 1高二下·上海·期末）已知 2 ( ∈ N, ≥ 1)的二项展开式中各项的二项式系数和为 64.
(1)求二项展开式的中间项；

(2)求(2 + 3) 2 1 展开式中的常数项.
【解题思路】（1）根据二项展开式中各项的二项式系数求出 n 的值，再结合展开式的通项，即可求得答案；

（2）求出 2 1 ( ∈ N, ≥ 1)展开式中的常数项以及
3项，即可求得答案.
1
【解答过程】（1）由 2 ( ∈ N, ≥ 1)的二项展开式中各项的二项式系数和为 64，
得2 = 64, ∴ = 6，
2 1

( ∈ N, ≥ 1)的通项为 2 +1 = C6( )6
1 = ( 1) C 12 3 6 , = 0,1, ,6 ，
二项展开式的中间项为第 4 项，即 3 3 33+1 = ( 1) C6 = 20 3；

（2 1）结合（1）可得 2 ( ∈ N, ≥ 1)的常数项为( 1)
4C46 = 15，
1 2 ( ∈ N, ≥ 1)展开式中的 3项为( 1)5C56 3 = 6 3 ，

(2 + 3) 2 1 展开式中的常数项为2 × 15 6 = 24 .

4．（23-24 2高二下·广西钦州·期末）在二项式 的展开式中，所有偶数项的二项式系数之和为 32．
(1)求 n；
(2)求第 4 项的系数；

(3)求( 3 +1) 2 的展开式的常数项．
【解题思路】（1）根据二项式系数和的性质即可求解，
（2）根据二项式展开式的通项特征即可求解，
（3）利用分配律，结合通项特征即可求解.
【解答过程】（1 1）由题意得所有偶数项的二项式系数之和为2 × 2
= 32，
得2 = 64，即 = 6．
2 3 3
（2）由题意得第 4 项为C36 × ( )3 × = 160 2 ，
所以第 4 项的系数为 160．
6 6 6
（3）( 3 +1) 2 = 3 2 + 2 ，
6 4
在 2 的展开式中，含 3的项为C46 × ( )2 ×
2 = 240 3
，
2 2
常数项为C2 46 × ( ) × = 60 ，

所以( 3 +1) 2 的展开式的常数项为240 3 3 +60 = 300 .
题型 10 三项展开式的系数问题
1．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）(1 + + 2 )6展开式中 2 2的系数为（ ）
A．90 B．180 C．270 D．360
【解题思路】根据二项式定理，组合知识进行求解.
【解答过程】从(1 + + 2 )6的 6 个因式中，其中 2 个因式选择 ，2 个因式选择2 ，剩余 2 个选择 1，
故(1 + + 2 )6展开式中 2 2的系数为C2C26 4 22 = 360.
故选：D.
6
2．（23-24 高二下·山东青岛·阶段练习） 2 + 2 1 的展开式中常数项为（ ）
A． 160 B．15 C． 145 D． 40
1 6 1 6
【解题思路】将 2 + 2 [( 2 + 2 ) ] 改写成 ，利用二项展开式的通项公式求出其通项

+1 = ( 1)
2 C C 12 3 6 6 , 0 ≤ ≤ 6,0 ≤ ≤ 6 , , ∈ N，再按照常数项要求，对 , 进行赋值即可求得.
1 6 1 6 1
【解答过程】对于 2 + 2 可写成[(
2 + 2 ) ]
，故其通项为：
+1 = C 6( 2 + 2 )6 ( )
, = 0,1,2, ,6，即
= C C ( 2)6 +1 6 6 (2 ) (
1 ) = ( 1) 2 C C 12 3 6 6 , 0 ≤ ≤ 6,0 ≤ ≤ 6 , , ∈ N ,
要求展开式中的常数项，需要 x 的幂指数为 0，即需使12 3 = 0，即3 + = 12，当 = 4时， = 0；
当 = 3时， = 3.
故二项展开式中的常数项为：C4C0 3 3 36 2 2 C6C3 = 15 160 = 145.
故选：C.
3．（23-24 高二下·广西·期中）设(1 + + 2) = + + 20 1 2 + 2 2 ．
（1）求 0的值；
（2）求 1 + 2 + 3 +… + 2 的值；
（3）求 1 + 3 + 5 +… + 2 1的值．
【解题思路】（1）赋值 = 0即可得解；
（2）赋值 = 1，结合（1）即可得解；
（3）赋值 = 1，结合（2）即可得解.
【解答过程】（1） = 0代入(1 + + 2) = 0 + 2 2 1 + 2 + 2 可得： 0 = 1；
（2） = 1代入(1 + + 2) = + 2 2 0 1 + 2 + 2 可得：
0 + 1 + 2 + +… + =32 3 2 ，所以：
1 + 2 2 + 3 +… + 2 =3 1；
（3） = 1代入(1 + + 2) = 0 + + 21 2 + 2 2 可得：
0 1 + 2 3 +… + 2 =1，又 2 0 + 1 + 2 + 3 +… + 2 =3 ，、
两式相减可得：2( 1 + 2 3 + 5 +… + 2 1) = 3 1，
+ + +… + = 3
2 1
所以 1 3 5 2 1 2 .
4．（23-24 高二上·全国·单元测试）已知( 2 3 + 2)5 = 0 + 2 101 + 2 + + 10 .
(1)求 2；
(2)求 1 + 2 + + 10；
(3)求( 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10)2 ( 21 + 3 + 5 + 7 + 9) .
【解题思路】
（1）利用多项式乘法法则，结合组合应用问题列式计算作答.
（2）利用赋值法计算作答.
（3）变形计算表达式，再利用赋值法计算作答.
【解答过程】（1）在( 2 3 + 2)5展开式中，含 2的项为C15 2 C4 442 + C2 2 3 3 25( 3 ) C32 = 80 +720 2 = 800
2，
所以 2 = 800.
（2）令 ( ) = ( 2 3 + 2)5 = 2 100 + 1 + 2 + + 10 ，
当 = 0时， 0 = (0) = 25 = 32，当 = 1时， 0 + 1 + 2 + + 10 = (1) = 0，
所以 1 + 2 + + 10 = (1) (0) = 32.
（3）( 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 210) ( 1 + 3 + 5 + 7 + 29)
= ( 0 + 1 + 2 + + 10)( 0 1 + 2 3 + + 10) = (1) ( 1).
因为 (1) = 0，所以 (1) ( 1) = 0，
故( 0 + 2 + 2 24 + 6 + 8 + 10) ( 1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 0.专题 6.5 计数原理全章十大基础题型归纳（基础篇）
【人教 A 版（2019）】
题型 1 分类加法计数原理的应用
1．（23-24 高二下·陕西西安·期末）书架的第 1 层放有 3 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，
第 3 层放有 2 本不同的体育书.从书架上任取 1 本书，不同的取法种数为（ ）
A．3 B．8 C．12 D．18
2．（23-24 高二下·湖北·期中）书架上放有 2 本不同的科学类图书，3 本不同的文学类图书和 5 本不同的历
史类图书，小李从中任选 1 本阅读，不同的选法共有（ ）
A．9 种 B．10 种 C．30 种 D．45 种
3．（24-25 高二下·江苏·课前预习）在所有的两位数中，个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位
数有多少个？
4．（24-25 高二·全国·课堂例题）某市的有线电视可以接收中央台 12 个频道、本地台 10 个频道和其他省市
46 个频道的节目．
(1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？
(2)如果有 3 个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少
个不同的节目？
题型 2 分步乘法计数原理的应用
1．（24-25 高二下·全国·课后作业）编号为 1，2，3，4 的四位同学参观某博物馆，该博物馆共有编号为 1，
2，3，4 的四个门，若规定编号为 1，2，3，4 的四位同学进入博物馆不能走与自己编号相同的门，则四位
同学用不同的方式进入博物馆的方法种数为（ ）
A．12 B．16 C．81 D．256
2．（23-24 高二下·贵州·期中）高二某班级 4 名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中
甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（ ）
A．54 B．12 C．8 D．81
3．（24-25 高二下·全国·课堂例题）回答下列问题：
(1)5 封不同的信投入 3 个不同的邮筒的投法有多少种？
(2)5 个同学争夺 3 个比赛的冠军，每个比赛冠军只有 1 人，冠军获得情况共有多少种？
4．（24-25 高二下·山西大同·阶段练习）有 0，1，2，3，4 五个数字，问：
(1)可以组成多少个无重复数字的四位密码
(2)可以组成多少个无重复数字的四位数
题型 3 排列数的计算与证明
1．（23-24 高二下·河北石家庄·阶段练习）A2 + A26 5 = （ ）
A．50 B．35 C．25 D．40
2．（23-24 高二下·河北石家庄·期中）设 ∈ N+，且 < 19，则(19 ) (20 ) (2024 )等于（ ）
A．A2005 B．A2006 C．A192024 2024 2024 D．A20062024
3．（23-24 高二下·宁夏吴忠·期中）计算：
(1)A14 + A2 34 + A4 + A44；
(2)4A2 +5A34 5；
(3)已知A2 = 7A2 4，求
4．（24-25 高二·江苏·课后作业）求证：
(1)A4 3 47 +4A7 = A8；
(2)A + A 1 = A +1．
题型 4 解排列数方程和不等式
1．（24-25 高二上·全国·课后作业）不等式 A3 > 3A2 的解集是（　　）
A．{ | > 3 } B．{ | > 4, ∈ N }
C．{ |3 < < 4 } D．{ | > 3, ∈ N+ }
2．（24-25 高二下·全国·课后作业）已知3A 18 = 4A9 ，则 x 等于（ ）
A．6 B．13 C．6 或 13 D．12
3．（23-24 高二下·江苏苏州·阶段练习）（1）解关于 的不等式A < 6A 28 8 ；
（2）解不等式：3A3 ≤ 2A2 2 +1 +6A .
4．（24-25 高二上·全国·课后作业）解下列方程或不等式．
(1)A3 42 =2A +1；
(2)A < 6A 28 8 .
题型 5 组合数的计算与证明
1．（23-24 高二下·湖北·期中）式子C9 2 2 + C2 10 的值为（ ）
A．27 B．127 C．5160 D．与 的取值有关
2．（23-24 高二下·江苏·期中）若C +2 2 2 222 = C22 ，则C3 + C4 + + C 的值为（ ）
A．54 B．55 C．164 D．165
3．（23-24 高二下·天津河西·期中）（1）证明：组合数性质C = C + C 1 +1 （ ， ∈ ）；
（2）计算：C2 + C2 + C2 + + C22 3 4 100（用数字作答）．
4．（24-25 高二上·上海·课后作业）已知 m 是自然数，n 是正整数，且 ≤ ．求证：
(1)C = C ；
(2)C = C + C 1 +1 ．
题型 6 解组合数方程和不等式
1．（23-24 高二上·河南驻马店·期末）关于 的方程C2 3 411 = C11 的解为（ ）
A． = 3 B． = 4 C． = 3且 = 4 D． = 3或 = 4
2．（24-25 高二·全国·课后作业）使不等式C2 ≥ C3 （n 为正整数）成立的 的取值不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2024 高三·全国·专题练习）解方程：
(1)C +1 = C2 313 13 ；
(2)解方程：C 2 3 1 3 +2 + C +2 = 10A +3.
4．（24-25 高二下·重庆万州·阶段练习）(1)已知C4 > C6 求 的值构成的集合;
(2) C
5 3
求等式 1
+C 3
C3 = 3
4
3 5
中的 值.
题型 7 求二项展开式的特定项或特定项的系数
7
1．（23-24 高二下· · 1四川南充 阶段练习）在二项式 2 3 的展开式中，常数项等于（ ）

A．﹣42 B．42 C．14 D．﹣14
2．（23-24 高二下·广东珠海·期中）若( + )5的展开式中 2的系数是 80，则实数 a 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3 1
6
．（23-24 高二下·天津河东·期中）已知 5 ．

(1)展开式中的中间一项；
(2)展开式中常数项的值．

4．（2025 高三· 3 3全国·专题练习）已知在 3 的展开式中，第6项为常数项．
(1)求 ；
(2)求含 2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
题型 8 求展开式中系数最大（小）的项
1．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知(1 + 3 ) 的展开式中前三项的二项式系数和为79，则展开式中系数最
大的项为第（ ）
A．7项 B．8项 C．9项 D．10项

2．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）已知 + 1 的展开式中仅第 4 项的二项式系数最大，则展开式中系
2
数最大的项是第（ ）项
A．2 B．3 C．4 D．5

3．（23-24 高二下·广东中山·期末）已知( + 12 ) ,( ≥ 4, ∈ N
)
2 的展开式中，第
5项与第3项的二项式系数
之比为15:2．
(1)求 的值及展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大项．

4 23-24 · · 3．（ 高二下 浙江 期中）在二项式 + 2 的展开式中，
(1)若第 4 项的系数与第 6 项的系数比为 5∶6，求展开式中的有理项；
(2)若展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项．
题型 9 多项式积的展开式中的特定项问题
1．（23-24 高二下·宁夏银川·阶段练习）已知(3 1)( + 1)5的展开式中含 4的项的系数为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．35
2．（23-24 高二下·江苏连云港·阶段练习）在 ( + )( )5 的展开式中， 3 3的系数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3 1

．（23-24 高二下·上海·期末）已知 2 ( ∈ N, ≥ 1)的二项展开式中各项的二项式系数和为 64.
(1)求二项展开式的中间项；
(2) 1

求(2 + 3) 2 展开式中的常数项.
2 4．（23-24 高二下·广西钦州·期末）在二项式 的展开式中，所有偶数项的二项式系数之和为 32．
(1)求 n；
(2)求第 4 项的系数；

(3)求( 3 +1) 2 的展开式的常数项．
题型 10 三项展开式的系数问题
1．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）(1 + + 2 )6展开式中 2 2的系数为（ ）
A．90 B．180 C．270 D．360
6
2．（23-24 高二下·山东青岛· 1阶段练习） 2 + 2 的展开式中常数项为（ ）
A． 160 B．15 C． 145 D． 40
3．（23-24 高二下·广西·期中）设(1 + + 2) = + 20 1 + 2 + 2 2 ．
（1）求 0的值；
（2）求 1 + 2 + 3 +… + 2 的值；
（3）求 1 + 3 + 5 +… + 2 1的值．
4．（23-24 高二上·全国·单元测试）已知( 2 3 + 2)5 = 0 + 1 + 2 102 + + 10 .
(1)求 2；
(2)求 1 + 2 + + 10；
(3)求( 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10)2 ( + 21 3 + 5 + 7 + 9) .

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