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专题 6.7 排列组合中的必考六类问题
【人教 A 版（2019）】
【类型 1 排列数、组合数的计算与证明】 ............................................................................................................2
【类型 2 元素（位置）有限制的排列问题】 ........................................................................................................4
【类型 3 相邻、相间问题】 ....................................................................................................................................7
【类型 4 定序问题】 ..............................................................................................................................................10
【类型 5 分组、分配问题】 ..................................................................................................................................13
【类型 6 涂色问题】 ..............................................................................................................................................17
【知识点 1 排列数与组合数】
1．排列数与组合数
(1)排列数定义
从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出
m 个元素的排列数，用符号 表示.
(2)组合数
从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出
m 个元素的组合数，用符号 表示.
2．排列数、组合数的公式及性质
(1)排列数公式
=n(n-1)(n-2) (n-m+1).这里，n,m∈N*，并且 m n.
(2)组合数公式
①连乘表示：
.
这里，n,m∈N*，并且 m n.
②阶乘表示： .
规定： .
(3)组合数的性质
①性质 1： ；
②性质 2： .
【知识点 2 排列组合必考问题的分类与解题策略】
1．排列应用问题的分类与解法
(1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在
实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类
过多的问题可以采用间接法.
(2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的
内部排列.
(3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面
元素排列的空档中.
(4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二
是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可.
2．组合问题的分类与解法
组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；
“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个
关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，
用间接法处理.
3．分组分配问题
(1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题.
(2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有 m 组元素个数相同，则
分组后除以 m!；③完全非均匀分组，只要分组即可.
(3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数
原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解.
【方法技巧与总结】
1．解决排列、组合问题的八种技巧
(1)特殊元素优先安排.
(2)合理分类与准确分步.
(3)排列、组合混合问题要先选后排.
(4)相邻问题捆绑处理.
(5)不相邻问题插空处理.
(6)定序问题倍缩法处理.
(7)分排问题直排处理.
(8)正难则反，等价转化.
【类型 1 排列数、组合数的计算与证明】
1．（23-24 高二下·河南·期中）若C = C2 +1 13 13 ( ∈ N )，则A5 = （ ）
A．5 B．20 C．60 D．120
【解题思路】根据组合数的性质求出 ，再根据排列数公式计算可得.
【解答过程】因为C 13 = C2 +1 13 ( ∈ N )，所以 = 2 + 1或 + 2 + 1 = 13，
解得 = 1（舍去）或 = 4，
所以A 5 = A45 = 5 × 4 × 3 × 2 = 120.
故选：D.
2．（23-24 高二下·河南郑州·期末）不等式3A3 ≤ 2A2 2 +1 +6A 的解集为（ ）
A．{3,4,5} B．{3,4,5,6} C．{ ∣3 ≤ ≤ 5} D．{ ∣3 ≤ ≤ 6}
【解题思路】利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解.
【解答过程】易知 ≥ 3， ∈ .
因为A3 = ( 1)( 2)，A2 +1 = ( + 1) ，A2 = ( 1)，
所以原不等式可化为3 ( 1)( 2) ≤ 2 ( + 1) +6 ( 1)，
所以3 ≤ ≤ 5，
所以原不等式的解集为{3,4,5}.
故选：A.
3．（23-24 高二下·江苏无锡·阶段练习）下列命题正确的有（ ）
A．若C = C ，则 = B．若A 10 = 10 × 9 × × 3，则 = 7
C．A + A 1 = A +1 D． C 1 = C 1
【解题思路】根据排列数和组合数的阶乘公式以及性质依次判断各个选项的正误即可.
【解答过程】对于 A，若C = C ，则 = 或 = ，故 A 错误；
10! 10!
对于 B， 10 = 10 × 9 × × 3 = 2! = (10 )!，则 = 8，故 B 错误；
! ! ( +1)! ! ! ( +1)!
对于 C，A + A 1 = ( )! + ( +1)! = ( +1 )! + ( +1)! = ( +1)! = A +1，故 C 正确；
1 ( 1)! !对于 D， C 1 = ( 1)! ( )! =

! ( )! = C ，故 D 正确；
故选：CD.
4．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）若C 19 = C2 219 ，则C34 + C3 35 + + C 的值为 69 .
【解题思路】根据组合数的性质及参数范围得出参数 m，再计算组合数即可.
【解答过程】因为C 2 219 = C19 ，所以 = 2 2或 + 2 2 = 19，解得 = 2或 = 7,
因为C3 34 + C5 + + C3 ，所以 ≥ 3,可得 = 7,
所以C3 + C34 5 + + C3 3 3 3 3 =C4 + C5 + C6 + C7 = 4 + 10 + 20 + 35 = 69.
故答案为：69.
5．（23-24 高二下·江苏徐州·阶段练习）（1）计算：C33 + C3 3 34 + C5 + + C11；（结果用数字表示）
（2）解不等式：3A3 < 2A2 +6A2 +1 ；
【解题思路】（1）根据组合数性质C + C +1 = C +1 +1 运算求解；
（2）根据排列数公式运算求解即可.
【解答过程】（1）由题意可知：C3 + C3 + C3 + + C3 = C4 3 3 33 4 5 11 4 + C4 + C5 + + C11
= C4 3 35 + C5 + + C11 = C46 + C36 + + C311
= = C4 + C3 411 11 = C12 = 495；
! ( +1)! !
（2）因为3A3 < 2A2 2 +1 +6A ，可知 ≥ 3，且3( 3)! < 2( 1)! +6( 2)!，
整理可得3 2 17 + 10 < 0 2，解得3 < < 5，
且 ≥ 3, ∈ *，所以 = 3或4.
6．（23-24 高二下·四川雅安·期中）（1）解方程：A3 = 16C2 .
（2）计算：C4 + C4 + C4 + + C44 5 6 9.
（3）解不等式A 7 < 12A 27 ( 3).
【解题思路】（1）根据排列数公式计算可得答案；
（2）根据组合数公式计算可得答案；
（3）根据排列数公式计算可得答案；.
【解答过程】（1）因为A3 = 16C2 ，所以 ( 1)( 2) = 16 ×
( 1)
2 .
又因为 ≥ 3，所以 2 = 8，解得 = 10；
（2）因为C 1 1 + C 1 = C ，
所以C4 + C4 44 5 + C6 + + C49
= C55 + C4 4 45 + C6 + + C9 = C56 + C46 + + C49 = = C510 = 252；
2 7! 7!（3）因为A7 < 12A7 ( ≥ 3)，所以(7 )! < 12 × (9 )(8 )(7 )!.
因为3 ≤ ≤ 7，所以(9 )(8 ) < 12，
即 2 17 + 60 < 0，解得5 < < 12，
所以5 < ≤ 7，又 ∈ *，所以 = 6或 = 7.
【类型 2 元素（位置）有限制的排列问题】
7．（23-24 高二下·内蒙古·期中）从 6 人（包含甲）中选派出 3 人参加 ， ， 这三项不同的活动，且每项
活动有且仅有 1 人参加，若甲不参加 和 活动，则不同的选派方案有（ ）
A．60 种 B．80 种 C．90 种 D．150 种
【解题思路】分甲被选中和甲没被选中两种情况，结合排列数公式即可求解.
【解答过程】当甲被选中时，不同的选派方案有A25 = 20种；
甲没被选中时，不同的选派方案有A35 = 60种.
故满足条件的不同的选派方案有20 + 60 = 80种.
故选：B.
8．（23-24 高二下·山西太原·期末）北京时间 2024 年 4 月 26 日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天
员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各 3 人，每
个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排 2 人，后排 4 人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数
为（ ）
A．24 B．48 C．360 D．720
【解题思路】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及全排列问题列式计算即得.
【解答过程】依题意，排前排 2 人有A22种方法，排后排 4 人有A44种方法，
由分步乘法计数原理得不同排法种数是A2 42A4 = 2 × 24 = 48.
故选：B.
9．（23-24 高二下·江苏徐州·阶段练习）用 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的四位数，则下列说法正
确的是（ ）
A．可组成 300 个不重复的四位数
B．可组成 156 个不重复的四位偶数
C．可组成 120 个能被 5 整除的不重复四位数
D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排列，则第 85 个数字为 2301
【解题思路】应用分类分步原理，结合分组讨论的方法研究不同选项中的计算问题：A 中 6 个数中选 4 个
全排列再排除首位为 0 的情况或首位在 1、2、3、4、5 任选一个数再从剩余数中选 3 个数全排；B 中分末位
为 0，为 2、4 两种情况分别计数再求和；B 中分末位为 0，为 5 两种情况分别计数再求和；D 中分首位为
1、2、 依次计数，找到第 85 个数字的位置再确定数字即可.
【解答过程】A 选项，有C1A35 5 = 300个，故 A 正确；
B 选项，分为两类：0在末位，则有A35 = 60种；
0不在末位，则有C1 1 22C4A4 = 96种，
所以共有60 + 96 = 156种，故 B 正确；
C 选项，分为两类：0在末位，则有A35 = 60种；
5 在末位，则有C1 24A4 = 48种，
所以共有60 + 48 = 108种，故 C 错误；
D 选项，首位为1的有A35 = 60个；前两位为20的有A24 = 12个；前两位为21的有A24 = 12个，
所以第85个数字是前两位为23的最小数，即为2301，故 D 正确；
故选：ABD.
10．（23-24 高二下·山东临沂·期中）某单位安排甲、乙、丙等 6 人参与周一至周六的值班，每天 1 人，每
人值班 1 天，要求甲、乙都不值周三和周六，丙不值周五，则不同的安排方法有 252 种．
【解题思路】利用特殊元素优先及分类讨论的思想计算即可.
【解答过程】①若甲安排在周五，则乙有 3 种安排方法，余下的四人四天A44 = 24种安排方法，合计有
3 × 24 = 72种方法；
②同理，若乙被安排在周五，也有 72 种方法；
③若甲、乙都不被安排在周五，
则甲、乙可选周一、二、四三天中的两天即有A23 = 6种方法，
丙有余下四天中除周五的三天可选，即 3 种方法，
余下三人安排余下的三天，有A33 = 6种方法，合计有3 × 6 × 6 = 108种方法，
综上不同的安排方法共72 + 72 + 108 = 252种.
故答案为：252.
11．（23-24 高二下·河南郑州·期中）用 0，1，2，3，4 这 5 个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有
重复数字五位数？
(1)组成五位偶数；
(2)组成千位数字和十位数字是奇数的偶数．
【解题思路】（1）根据末尾是否为 0 进行分类，利用分类计数原理即得；
（2）法一、就末尾数字是否为 0 进行分类计数；法二、就不同数位进行取数，分步计数.
【解答过程】（1）由题意，五位偶数可以分成两类：
①末位是 0，只需将其余 4 个数字在另外四个数位全排，有A44 = 24个，
②末位是 2 或 4，先从 2 与 4 中选一个放在末位，再从除 0 和它之外的 3 个数字中选 1 个放在首位，
剩下 3 个数字全排，有A1 1 32A3A3 = 36个，
由分类加法计数原理可得， 满足条件的五位偶数共有24 + 36 = 60个.
（2）法一、分类完成：① 0 是末位数，将 1 和 3 在千位和十位全排，剩下的两个在剩余数位上去安排，有
A2A22 2 = 4个；
② 2 或 4 是末位数时，末位和首位有两种选法且百位必须是 0，剩余的 1 和 3 在十位和千位全排，有A2 12A2 = 4
个.
由分类加法计数原理，这样的偶数共有：4 + 4 = 8个.
法二、分步完成：第一步：千位数字和十位数字位从奇数 1，3 中取，有A22种方法；
第二步：首位从 2，4 中取，有A12种方法；
第三步：余下的排在剩下的两个数位，有A22种方法，
由分步乘法计数原理，这样的偶数共有：A2 12A2A22 = 8个.
12．（23-24 高二下·江苏徐州·期中）有 3 名女生 4 名男生，在下列不同条件下，求不同的排列方法的种数，
(1)全体排成一行，其中 4 名男生互不相邻；
(2)全体排成一行，其中甲、乙中间有且只有 1 人；
(3)全体排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人，且后排至少 2 个男生
【解题思路】（1）不相邻问题借助插空法计算即可得；
（2）先选出一人放入甲乙中间后使用捆绑法即可得；
（3）分别计算后排有 2 个男生、3 个男生、4 个男生的情况即可得.
【解答过程】（1）先排 3 名女生，共A33种排法，再将 4 名男生分别插入 3 名女生形成的四个空中，
有A44种排法，故共有A33 A44 = 6 × 24 = 144种排法；
（2）先从剩下的 5 人中选出一人放入甲乙中间，有C15种排法，
结合甲乙的顺序与剩余 4 人一起排，则共有C15A2 52A5 = 1200种排法；
（3）后排 2 个男生的话共有C2 2 4 34C3A4A3种，后排 3 个男生的话共有C3 1 4 34C3A4A3种，
后排 4 个男生的话共有A4 34A3种，
故共有C2C2A4A34 3 4 3 + C3C1A4A3 4 34 3 4 3 + A4A3 = (18 + 12 + 1) × 144 = 4464种排法.
【类型 3 相邻、相间问题】
13．（23-24 高二下·河南安阳·期末）某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节
目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（ ）种
A．36 B．40 C．32 D．42
【解题思路】根据题意，结合插空法与捆绑法代入计算，即可
【解答过程】将相声，跳舞看成一个整体，与唱歌，杂技全排列共有A2 32 A3 = 12种情况，
3 个节目有 4 个空，除去相声旁边的那个空，还剩 3 个空，小品选其一，有C13 = 3种，
所以共有12 × 3 = 36种排法.
故选：A.
14．（23-24 高二下·浙江·期中）已知 3 名教师和 4 名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和
学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（ ）
A．144 B．288 C．576 D．720
【解题思路】利用捆绑法和插空法结合分步乘法计数原理求解即可.
【解答过程】先将教师甲和学生乙捆绑成一个元素，与另外 3 名学生全排列，则有A2 42A4 = 48种方法，
再将剩下的两名教师插入除去与教师甲相邻的四个空位中，有A24 = 12种方法，
所以由分步乘法计数原理可知共有48 × 12 = 576种不同的排法，
故选：C.
15．（23-24 高二下·河南洛阳·期中）5 名同学站成一横排照毕业照，下列说法正确的是（ ）
A．甲不排在最中间，则不同的排法有 72 种
B．甲乙不相邻，则不同的排法有 72 种
C．甲乙必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法有 72 种
D．甲乙丙三人中有且仅有两人相邻，则不同的排法有 72 种
【解题思路】由排列、组合及简单计数问题，结合相邻问题捆绑法及不相邻问题插空法求解.
【解答过程】对于 A，甲不排在最中间，则不同的排法有C1A44 4 = 96中，故 A 错误；
对于 B，甲乙不相邻，则不同的排法有A3A23 4 = 72种，故 B 正确；
对于 C，甲乙必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法有A44 = 24种，故 C 错误；
对于 D，甲乙丙三人中有且仅有两人相邻，则不同的排法有A2 2 23A2A3 = 72种，故 D 正确；
故选：BD.
16．（23-24 高二下·贵州·期中）2024 年 3 月 5 日至 11 日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召
开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚
起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的 10 位党员开展“学习贯彻 2024
年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有
43200 种（用数字作答）.
【解题思路】甲和乙必须相邻，采用捆绑法，甲和丙不能相邻，采用插空法，结合圆排列，再根据分步乘
法原理计算即可.
【解答过程】甲和乙必须相邻，采用捆绑法，将其看作一个整体，与除丙丁外的其他 6 人排成一圈，共有
2 7A2
A7 = 1440
7 种排列.
甲和丙，丁不能相邻，采用插空法，甲和乙与除了丙丁外的其他 6 人排成一圈后形成 7 个空，但甲与丙丁
不能相邻，故丙丁只有 6 个空位可选，有A26 = 30种选择，
根据分步乘法原理可知，不同的排法总数为30 × 1440 = 43200.
故答案为：43200.
17．（23-24 高二下·安徽蚌埠·期中）已知有 3 名男生和 2 名女生，站在一排照相.
(1)男生均相邻且女生均相邻的排法种数是多少；
(2)女生互不相邻的种数是多少；
(3)甲不站左端，且乙不站右端，有多少种排法.
【解题思路】（1）利用捆绑法，把把男生看成一个整体、女生看成一个整体，结合排列数运算求解；
（2）利用插空法，先排男生，男生之间和两端共 4 个空位，选 2 个空位插入女生，结合排列数运算求解；
（3）利用间接法，先将 5 人排列，再排除甲站左端或乙站右端的情况，结合排列数运算求解.
【解答过程】（1）把男生看成一个整体、女生看成一个整体排列有A22，男生内部排列有A33，女生内部排列
有A22，
根据分步乘法计算原理有A22A3 23A2 = 24种排法.
（2）先排男生，男生之间和两端共 4 个空位，选 2 个空位插入女生，
所以女生互不相邻有A33A24 = 72种排法.
（3）因为5个人全排列有A55排法，
且甲站左端有A44种排法，乙站右端有A44种排法，甲站左端且乙站右端有A33种排法，
所以甲不站左端，且乙不站右端有A5 2A45 4 + A33 = 78种排法.
18．（23-24 高二下·江苏徐州·期中）有 8 名同学站成一排照相，符合下列各题要求的不同排法共有多少种
（用数字作答）？
(1)甲同学既不站在排头也不站在排尾；
(2)甲 乙 丙三位同学两两不相邻；
(3)甲 乙两同学相邻，且丙 丁两同学也相邻；
(4)甲 乙两同学不相邻，且乙 丙两同学也不相邻.
【解题思路】（1）利用特殊元素优先原则，利用排列列式计算即得.
（2）利用插空法求解不相邻问题.
（3）利用捆绑法求解相邻问题.
（4）利用排除法列式计算即得.
【解答过程】（1）中间 6 个位置取 1 个让甲站，余下 7 个位置让另 7 个人站，
所以不同排法种数是A16A77 = 6 × 5040 = 30240.
（2）排除甲 乙 丙三位同学的 5 名同学，再在每一种排法的 6 个间隙中插入甲 乙 丙，
所以不同排法种数是A5 35A6 = 120 × 120 = 14400.
（3）分别视甲乙、丙丁为一个整体，与其余 4 名同学作全排列，再分别对甲乙、丙丁作排列，
所以不同排法种数是A22A2A62 6 = 2 × 2 × 720 = 2880.
（4）求出 8 个人的全排列，去掉甲乙相邻、乙丙相邻的排列法，再补上乙在甲丙中间的 3 人相邻的排列，
所以不同排法种数是A8 2A2A78 2 7 + A22A66 = 40320 2 × 2 × 5040 + 2 × 720 = 21600.
【类型 4 定序问题】
19．（23-24 高二下·北京·期末）某 4 位同学排成一排准备照相时，又来了 2 位同学要加入，如果保持原来 4
位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．30
【解题思路】利用排列中的定序问题的处理方法进行处理.
【解答过程】6 位同学排成一排准备照相时，共有A66种排法，
A6
如果保持原来 4 位同学的相对顺序不变，则有 6A4 = 30种排法，故 A，B，C 错误.4
故选：D.
20．（24-25 高二·全国·课后作业）某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演 6 个节
目，已排成节目单，开演前又临时增加了 2 个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数
为（ ）
A．42 B．56 C．30 D．72
【解题思路】利用倍缩法，先将 8 个节目排好，由于原来 6 个节目顺序不变，则要除以原有的 6 个节目对
应的不同排法，即可得解.
【解答过程】解：增加 2 个互动节目后，一共有 8 个节目，这 8 个节目的不同排法有 88种，
而原有的 6 个节目对应的不同排法共有 66种，
8
所以不同的排法有 8 6 = 56（种）.6
故选：B.
21．（23-24 高二下·江苏连云港·阶段练习）在高二元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．以下有关
排列组合问题中正确的是 （ ）
A．有A1010种不同的节目演出顺序
B．当4个舞蹈节目接在一起时， 有A77种不同的节目演出顺序
C．当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有A6 46A7种不同的演出顺序
D．若已定好节目单，后来情况有变， 需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺
A12
序，有 12A10种不同的节目演出顺序10
【解题思路】利用全排列判断 A，利用捆绑法判断 B，利用插空法判断 C，首先考虑12个节目全排列，再除
以A1010，即可判断 D.
【解答过程】对于 A：10个节目全排列，有A1010种不同的节目演出顺序，故 A 正确；
对于 B：当4个舞蹈节目接在一起时，把4个舞蹈节目看成一个元素，与其他6个节目全排列，
有A77种不同的节目演出顺序，而4个舞蹈节目本身有A44种顺序，
所以共有A4 74A7种不同的节目演出顺序，故 B 错误；
对于 C：把6个演唱节目排列，有A66种顺序，再把4个舞蹈节目插入到7个空挡中，有A47种方法，
所以共有A6 46A7种不同的演出顺序，故 C 正确；
对于 D：12个节目全排列，有A1212种不同的节目演出顺序，其中原来的10个节目有A1010种不同的节目演出顺
序，
10 A
12
而现在原来的 个节目顺序不变，只占其中一种，所以有 12A10种不同的节目演出顺序，故 D 正确，10
故选：ACD．
22．（23-24 高二下·上海·期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖
葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃
完的顺序有 2520 种.（结果用数字作答）
【解题思路】考查排列问题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为 1, 2， 1, 2, 3， 1, 2, 3, 4, 5，则由每一
串只能从上往下吃可知每一串冰糖葫芦相对位置是已定的，所以根据定序问题处理即可求出答案.
【解答过程】由题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为 1, 2， 1, 2, 3， 1, 2, 3, 4, 5，
则因为每一串只能从上往下吃，
所以 1在 2前被吃， 1在 2前而 2在 3前被吃，即它们被吃的相对位置是已定的，同理 1, 2, 3, 4, 5被吃
的相对位置也是已定的，
A1010 10!
所以根据排列中定序问题可得不同的吃完的顺序有A2A3A5 =2 3 5 2!3!5! = 2520种.
故答案为：2520.
23．（23-24 高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在 2024 年宾县一中纪念“五四”活动中，获得一等奖的某节目
参演人员合影留念．3 名男生和 4 名女生站成一排．（最后答案用数字作答）
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
(2)男、女相间的站法有多少种？
(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
【解题思路】（1）特殊元素优先排列即可得；
（2）不相邻问题用插空法排列即可得，
（3）定序问题用倍缩法排列即可得.
【解答过程】（1）甲不在中间也不在两端，故甲可选4个位置，其余六人可排除A66种，
故共有4A66 = 2880种；
（2）先排男生，共有A33种，则女生可在男生排完后的四个空中选择四个，即有A44种，
故共有A3 43A4 = 144种；
7
（3 A）全部排好共有A77种，由甲、乙、丙三人顺序一定，共有故
7
A3 = 840种.3
24．（23-24 高二下·陕西咸阳·阶段练习）有 3 名男生和 4 名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方
法种数．
(1)全体排成一行，其中 3 名男生必须排在一起；
(2)全体排成一行，3 名男生互不相邻；
(3)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；
(4)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边．
【解题思路】（1）先将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，由分步计数原理计算
可得答案；
（2）先排女生，然后在空位中插入男生，由分步计数原理计算可得答案；
（3）7 名学生排成一行，分两步：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为 N；第二步，对
甲、乙、丙进行全排列，计算可得答案；
（4）先排最左边，除去甲外有A16种排法，余下的 6 个位置全排有A66种排法，但应剔除乙在最右边的排法
A1A55 5种，相减可得答案.
【解答过程】（1）捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有A3A53 5 = 720
（种）排法；
（2）插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有A4A34 5 = 1440（种）排法；
（3）定序排列．7 名学生排成一行，分两步：
第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为 N；
第二步，对甲、乙、丙进行全排列．由乘法原理得A77= × A33，
A7
所以 = 7A3 = 840（种）；3
（4）位置分析法．先排最左边，除去甲外有A16种排法，余下的 6 个位置全排有A66种排法，
但应剔除乙在最右边的排法A1A55 5种，则符合条件的排法共有A1 6 1 56A6 A5A5 = 3720（种）.
【类型 5 分组、分配问题】
25．（23-24 高二下·河北石家庄·期末）某大学学生会安排 5 名学生作为“校庆 70 周年——欢迎校友回家”活
动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一
个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有 1 名志愿者，则不同的安排方法有（ ）
A．45 种 B．90 种 C．150 种 D．240 种
【解题思路】先将 5 人按照1,2,2，或1,1,3进行分组，然后再将 3 组进行全排列即可.
【解答过程】5 名学生分成三组的情况有1,2,2或1,1,3，
1 2
当为1,2,2 C时，则不同的安排方法有 5C4 × A3 = 902×1 3 种，
C1C1
当为1,1,3时，则不同的安排方法有 5 4 × A33 = 602×1 种，
所以，一共有90 + 60 = 150种方法.
故选：C.
26．（23-24 高二下·山东济宁·期中）某工程队有 6 辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个
工地至少分 1 辆工程车，则下列结论正确的是（ ）
A．分给甲 乙 丙三地每地各 2 辆，有 120 种分配方式
B．分给甲 乙两地每地各 2 辆，分给丙 丁两地每地各 1 辆，有 180 种分配方式
C．分给甲 乙 丙三地，其中一地分 4 辆，另两地各分 1 辆，有 60 种分配方式
D．分给甲 乙 丙 丁四地，其中两地各分 2 辆，另两地各分 1 辆，有 1160 种分配方式
【解题思路】AB 项，工地不同，工程车不同，按工地选车顺序分步计数即可；CD 项，先分组再分配．计
算后判断各选项．
【解答过程】对 A，先甲地从 6 辆工程车中分 2 辆，有C26种方法，再乙地从剩余的 4 辆工程车中分 2 辆，
有C24种方法，最后的 2 辆分给丙地，
所以不同的分配方式有C2C26 4 = 90（种），故 A 错误；
对 B，6 辆工程车先分给甲 乙两地每地各 2 辆，有C2 26C4种方法，剩余 2 辆分给丙 丁两地每地各 1 辆，有A22
种方法，
所以不同的分配方式有C2C2A26 4 2 = 180（种），故 B 正确；
对 C，先把 6 辆工程车分成 3 组：4 辆 1 辆 1 辆，有C46种方法，再分配给甲 乙 丙三地，
所以不同的分配方式有C4 36A3 = 90（种），故 C 错误；
C2C2
对 D，先把 6 辆工程车分成 4 组：2 辆 2 辆 1 辆 1 辆，有 6 4A2 种分组方法，再分给甲 乙 丙 丁四地，2
C2C2
所以不同的分配方式有 6 4 4A2 A4 = 1080（种），故 D 错误.2
故选：B.
27．（24-25 高二下·江苏南京·阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊 5 名大学生参加 2024 年南京半程马拉松志愿
者服务活动，有赛道补给、路线引导、物品发放、兴奋剂检测四项工作可以安排，则以下说法正确的是
（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45
B．若每项工作至少有 1 人参加，则不同的方法数为 240
C．如果兴奋剂检测工作不安排，其余三项工作至少安排 1 人，则这 5 名同学全部被安排的不同方法数
为300
D．每项工作至少有 1 人参加，甲乙不会兴奋剂检测，但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四
项工作，则不同安排方案的种数是126
【解题思路】A 项由分步计数原理求解；B 项先从 5 人中选 2 人作为 1 组，再与另外 3 人共 4 组进行全排列；
C 项先将 5 名同学分为 3 组，然后再分别安排赛道补给、路线引导、物品发放三项工作；D 项分从丙、丁、
戊 3 人中选 2 人兴奋剂检测和选 1 人兴奋剂检测进行求解．
【解答过程】解：对于选项A，给其中的一人安排一项工作，则有 4 种不同的安排方法，则每人都安排一项
工作，
则不同的方法数为45 = 1024，即选项A正确；
对于选项 B，每项工作至少有 1 人参加，先从 5 人中选 2 人作为 1 组，再与另外 3 人共 4 组，
每组选一项工作，则不同的方法数为C25A44 = 240，即选项 B 正确；
对于选项 C，先将 5 名同学分为 3 组，然后再分别安排赛道补给、路线引导、物品发放三项工作，
C2C2 1 1
则这 5 名同学全部被安排的不同方法数为，( 5 3 + C5C4)A3A2 A2 3 = 150，即选项 C 错误；2 2
对于选项 D，当从丙、丁、戊 3 人中选 2 人兴奋剂检测，则不同安排方案的种数是C23A33，
当从丙、丁、戊 3 人中选 1 人兴奋剂检测，则不同安排方案的种数是C13C2 34A3，
即不同安排方案的种数是C1 2 3 2 33C4A3 + C3A3 = 126，即选项 D 正确，
故选：ABD．
28．（23-24 高二下·河北邢台·期中）要安排 5 名学生到 3 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去 1 个村，
每个村里至少安排 1 名志愿者，其中学生甲不分配到 村，则不同的安排方法种数为 100 .
【解题思路】结合分类讨论，应用分步计数及分组分配计算.
【解答过程】当 村安排 1 人时，不同的安排方法种数为C14 C24C22 + C1 34C3A22 = 56；
当 村安排 2 人时，不同的安排方法种数为C24C1C2 23 2A2 = 36；
当 村安排 3 人时，不同的安排方法种数为C3 24A2 = 8.
综上，共有 56+36+8=100 种不同的安排方法.
故答案为：100.
29．（23-24 高二下·新疆乌鲁木齐·期中）男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男、女队长各 1 名.现选派 5
人外出参加比赛.
(1)队长中至少有 1 人参加，有多少种选派方法
(2)参赛的运动员需要分坐在两辆车上(每辆车上至少有一名运动员)，有多少种安排方式
【解题思路】（1）求出随机选择和没有队长的情况，即可求出队长中至少有 1 人参加时选派方法的数量；
（2）求出随机选择人数，5人随机坐和5人坐同一个车中的情况，即可求出运动员分坐在两辆车上(每辆车
上至少有一名运动员)时安排方式的数量.
【解答过程】（1）由题意，
男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男、女队长各 1 名.选派 5 人，
若没有队长，则有C58 = 56种选派方法，
若随机选择，则有C510 = 252种选派方法，
∴队长中至少有 1 人参加，有C5 C510 8 = 252 56 = 196种方法.
（2）由题意，
男运动员 6 名，女运动员 4 名，选派 5 人外出参加比赛，分坐在两辆车，
∴选择的人是随机的，有C510 = 252种情况，
若5人坐同一个车中，有2种情况，
若5人随机坐，有25种情况，
∴从10人中选 5 人，且坐在2辆不同的车中，有C5 (2510 2) = 7560种情况.
30．（23-24 高二下·广东深圳·期中）富源学校高二年级有 6 名同学（简记为 A， ， ， ， ， ）到甲、
乙、丙三个体育场馆做志愿者.
(1)一天上午有 16 个相同的口罩全部发给这 6 名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？
(2)每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且 A、 两人约定去同一个场馆， 、 不想去一个场
馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？
【解题思路】（1）因为 6 个相同的口罩，利用隔板法结合组合数分析求解；
（2）分人数配比为 1，1，3 和 1，2，2 两种情况，结合排列数、组合数运算求解.
【解答过程】（1）16 个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的 10 个口罩排成一排有 9 个间隙，
插入 5 块板子分成 6 份，每一种分法所得 6 份给到 6 个人即可，
所以不同的发放方法C59 = 126种.
（2）把 A， 视为一人，相当于把 5 个人先分成三组，再分配给三个场馆，
分组方法有两类：第一类 1，1，3，去掉 ， 在一组的情况，有 C35 C13 种分组方法，
再分配给三个场馆，有 C3 1 35 C3 A3 = 7 × 6 = 42种方法，
1
第二类 1，2，2，去掉 ， 在一组的情况，有 C5C
2
4 C1 种分组方法，
A2 32
1 2
再分配给三个场馆，有 C5C4 C13
3
3 = 12 × 6 = 722 种方法，A2
所以不同的安排方法有42 + 72 = 114种方法.
【类型 6 涂色问题】
31．（23-24 高二下·广东清远·期末）现要对三棱柱 1 1 1的 6 个顶点进行涂色，有 4 种颜色可供选
择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（ ）
A．264 种 B．216 种 C．192 种 D．144 种
【解题思路】根据给定条件，利用分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式
计算即得.
【解答过程】依题意，求不同涂色方案问题，有用 4 种颜色和用 3 种颜色两类办法，
用 4 种颜色，先涂点 , , 有A34种方法，再在 1, 1, 1中选一点涂第 4 色，另两点有 3 种涂色方法，
因此不同涂色方法数为3C13A34 = 216；
用 3 种颜色，先涂点 , , 有A34种方法，再涂 1, 1, 1有 2 种方法，
因此不同涂色方法数为2A34 = 48，
所以不同的涂色方案有216 + 48 = 264（种）.
故选：A.
32．（23-24 高二下·重庆·期末）国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规
模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002 年第 24 届国际数学家大
会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形
构成（如图）.现给图中 5 个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有
5 种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（ ）
A．120 种 B．360 种 C．420 种 D．540 种
【解题思路】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂 5 块区域至少需要3种颜色，然后对使用的颜色种数
进行分类讨论，分别求出方案数，再运用分类加法计数原理求出最后结果.
【解答过程】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂 5 块区域至少需要3种颜色，
若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有C35种，相对的直角三角形必同色，
此时不同的涂色方案有C3A35 3 = 60种；
若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有C45种，其中一对相对的直角三角形必同色，
余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有C4 1 45C2A4 = 240种；
若5块区域只用5种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有A55 = 120种；
综上，不同的涂色方案有：60 + 240 + 120 = 420种.
故选：C.
33．（23-24 高二下·浙江杭州·期中）如图，在一广场两侧设置 6 只彩灯，现有 4 种不同颜色的彩灯可供选
择，则下列结论正确的是（ ）
A．共有46种不同方案
B．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如 1 4）也不同色，且 4 种颜色的彩灯均要使用，则共有 186
种不同方案
C．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如 1 4）也不同色，且只能使用 3 种颜色的彩灯，则共有 192
种不同方案
D．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如 1 4）也不同色，且只能使用 2 种颜色的彩灯，则共有 12 种
不同方案
【解题思路】根据题意，利用分步乘法和分类加法计数原理，结合排列组合的综合问题，依次推导、计算
即可求解.
【解答过程】对于选项 A，每个彩灯颜色都有 4 种选择，根据分步乘法原理得，
有4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 46种不同方案，故 A 正确；
对于选项 B，第一类：先从 4 种颜色的彩灯选出 3 种颜色的彩灯有安装在 1，2，3 号位，则有A34 = 24种结
果，
①使用 1 种剩余的颜色和前 3 种颜色的 1 种安装 4，5，6 号位彩灯时，有C12+1 = 3种结果；
②使用 1 种剩余的颜色和前 3 种颜色的 2 种安装 4，5，6 号位彩灯时，有3C23 = 9种结果；
根据乘法原理得共有24 × 12 = 288种不同的安装方法；
第二类：先从 4 种颜色的彩灯选出 2 种颜色的彩灯有安装在 1，2，3 号位，则有A24 = 12种结果，
再安装 4，5，6 号位彩色灯，分两类：
第一类，4，5，6 号位只用 1，2，3 号位剩余的 2 种彩色灯，有 2 种结果，
第二类，4，5，6 号位用 1，2，3 号位剩余的 2 种彩色灯和前三个位置使用过的 1 种彩灯，
有C12 A2 22 + A2 = 6种结果，根据计数原理得共有A24 2 + C1 2 22 A2 + A2 = 96种不同的安装方法.
由分类加法原理得共有288 +96 = 384种不同的安装方案，故 B 错误；
对于选项 C，第一步：先从 4 种颜色的彩灯选出 3 种颜色的彩灯有安装在 1，2，3 号位，则有A34 = 24种结
果，第二步：分两类：第一类，4，5，6 号位用 1，2，3 号位的 3 种彩色灯，有 2 种结果，
第二类，4，5，6 号位用 1，2，3 号位的 2 种彩色灯，有C23 C12 = 6种结果，
根据计数原理得共有A34 2 + C23 C12 = 192种不同的安装方法.故 C 正确；
对于选项 D，第一步：从 4 种颜色的彩灯选出 2 种颜色的彩灯安装在 1，2，3 号位，则有C2 14 C2 = 12种结
果，第二步：安装 4，5，6 号位彩灯有 1 种，根据分步计数原理，可得有12 × 1 = 12种不同的安装法，故 D
正确；
故选：ACD.
34．（23-24 高二下·山西吕梁·阶段练习）给如图所示的圆环涂色，将圆环平均分成 A，B，C，D 四个区域，
现有红，黄、蓝、绿四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域的颜色不同，则不同的涂
色方法有 84 种.
【解题思路】根据四个区域涂颜色的种类数进行分类，分别计算出三类涂法的种类数，相加即可得出结果.
【解答过程】由题意可知：四个区域最少涂两种颜色，最多涂四种颜色，所以分以下三类：
当涂两种颜色时：A 和 C 相同，B 和 D 相同，共有A24 = 12种涂色方法；
当涂三种颜色时：分 A 和 C 相同和 A，C 不同两种情况，此时共有C3 C1A2 + A24 3 2 3 = 48种涂色方法；
当涂四种颜色时：四个区域各涂一种，此时共有A44 = 24种涂色方法.
综上，不同的涂色方法有12 + 48 + 24 = 84种.
故答案为：84.
35．（23-24 高二下·河南周口·阶段练习）现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 7 种颜色对某市的如图的四
个区域进行着色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？
【解题思路】依题意可得Ⅰ与Ⅳ可以同色，因此涂四个区域可用 3 种颜色，也可用 4 种颜色，利用分类加法
计数原理计算可得.
【解答过程】由图形知，Ⅰ与Ⅳ可以同色，因此涂四个区域可用 3 种颜色，也可用 4 种颜色，
用 3 种颜色涂色，即Ⅰ与Ⅳ同色，有A37种方法，
用 4 种颜色涂有A47种方法，
所以不同的涂色方法种数是A3 47 + A7 = 210 + 840 = 1050.
36．（23-24 高二下·河北邢台·阶段练习）如图，某心形花坛中有 A，B，C，D，E5 个区域，每个区域只种
植一种颜色的花．
(1)要把 5 种不同颜色的花种植到这 5 个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
(2)要把 4 种不同颜色的花种植到这 5 个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
(3)要把红、黄、蓝、白 4 种不同颜色的花种植到这 5 个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色
的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄 2 种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？
【解题思路】（1）由全排列公式求出答案；
（2）先选出两个区域种植同一种颜色的花，再考虑其他三种颜色的花，利用分步乘法计数原理得到答案；
（3）对 区域种植的花的颜色分类讨论，求出各种情况的种植方案数，相加后得到答案.
【解答过程】（1）由全排列可得，共有A55 = 120种不同的种植方案．
（2）第一步，先将 5 个区域选出 2 个区域种植一种相同颜色的花，共有C25C14 = 40种方案；
第二步，再将剩余的 3 种颜色的花种植到剩下的 3 个区域，共有A33 = 6种方案．
所以共有40 × 6 = 240种不同的种植方案．
（3）要把 4 种不同颜色的花分别种植到这 5 个区域中，则必然有 2 个区域种植相同颜色的花．
第一类， 区域种植红色的花， , , , 4 个区域中有 2 个区域种植其他相同颜色的花，
则相同颜色的花必然种植在 , 或 , 区域，共有1 × A1A13 2A22 = 12种方案．
第二类， 区域种植黄色的花，同理可得，共有1 × A13A12A22 = 12种方案．
第三类， 区域种植蓝色的花，若有 2 个区域种植白色的花，
则没有两个相邻的区域种植红、黄 2 种不同颜色的花，所以不可能有 2 个区域种植白色的花，
故 2 个区域种植的相同颜色的花是红色或黄色的花，共有1 × A12A1 22A2 = 8种方案．
第四类， 区域种植白色的花，同理可得，共有1 × A12A1 22A2 = 8种方案．
综上，共有12 × 2 + 8 × 2 = 40种不同的种植方案．专题 6.7 排列组合中的必考六类问题
【人教 A 版（2019）】
【类型 1 排列数、组合数的计算与证明】 ............................................................................................................2
【类型 2 元素（位置）有限制的排列问题】 ........................................................................................................3
【类型 3 相邻、相间问题】 ....................................................................................................................................4
【类型 4 定序问题】 ................................................................................................................................................5
【类型 5 分组、分配问题】 ....................................................................................................................................7
【类型 6 涂色问题】 ................................................................................................................................................8
【知识点 1 排列数与组合数】
1．排列数与组合数
(1)排列数定义
从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出
m 个元素的排列数，用符号 表示.
(2)组合数
从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出
m 个元素的组合数，用符号 表示.
2．排列数、组合数的公式及性质
(1)排列数公式
=n(n-1)(n-2) (n-m+1).这里，n,m∈N*，并且 m n.
(2)组合数公式
①连乘表示：
.
这里，n,m∈N*，并且 m n.
②阶乘表示： .
规定： .
(3)组合数的性质
①性质 1： ；
②性质 2： .
【知识点 2 排列组合必考问题的分类与解题策略】
1．排列应用问题的分类与解法
(1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在
实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类
过多的问题可以采用间接法.
(2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的
内部排列.
(3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面
元素排列的空档中.
(4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二
是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可.
2．组合问题的分类与解法
组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；
“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个
关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，
用间接法处理.
3．分组分配问题
(1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题.
(2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有 m 组元素个数相同，则
分组后除以 m!；③完全非均匀分组，只要分组即可.
(3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数
原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解.
【方法技巧与总结】
1．解决排列、组合问题的八种技巧
(1)特殊元素优先安排.
(2)合理分类与准确分步.
(3)排列、组合混合问题要先选后排.
(4)相邻问题捆绑处理.
(5)不相邻问题插空处理.
(6)定序问题倍缩法处理.
(7)分排问题直排处理.
(8)正难则反，等价转化.
【类型 1 排列数、组合数的计算与证明】
1．（23-24 高二下·河南·期中）若C = C2 +1 13 13 ( ∈ N )，则A5 = （ ）
A．5 B．20 C．60 D．120
2．（23-24 高二下·河南郑州·期末）不等式3A3 ≤ 2A2 2 +1 +6A 的解集为（ ）
A．{3,4,5} B．{3,4,5,6} C．{ ∣3 ≤ ≤ 5} D．{ ∣3 ≤ ≤ 6}
3．（23-24 高二下·江苏无锡·阶段练习）下列命题正确的有（ ）
A．若C = C ，则 = B．若A10 = 10 × 9 × × 3，则 = 7
C．A + A 1 = A +1 D． C = C 1 1
4．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）若C = C2 2 3 3 319 19 ，则C4 + C5 + + C 的值为 .
5．（23-24 高二下·江苏徐州·阶段练习）（1）计算：C3 3 33 + C4 + C5 + + C311；（结果用数字表示）
（2）解不等式：3A3 < 2A2 +1 +6A2 ；
6．（23-24 高二下·四川雅安·期中）（1）解方程：A3 = 16C2 .
（2）计算：C4 + C4 44 5 + C6 + + C49.
（3）解不等式A 7 < 12A 27 ( 3).
【类型 2 元素（位置）有限制的排列问题】
7．（23-24 高二下·内蒙古·期中）从 6 人（包含甲）中选派出 3 人参加 ， ， 这三项不同的活动，且每项
活动有且仅有 1 人参加，若甲不参加 和 活动，则不同的选派方案有（ ）
A．60 种 B．80 种 C．90 种 D．150 种
8．（23-24 高二下·山西太原·期末）北京时间 2024 年 4 月 26 日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天
员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各 3 人，每
个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排 2 人，后排 4 人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数
为（ ）
A．24 B．48 C．360 D．720
9．（23-24 高二下·江苏徐州·阶段练习）用 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的四位数，则下列说法正
确的是（ ）
A．可组成 300 个不重复的四位数
B．可组成 156 个不重复的四位偶数
C．可组成 120 个能被 5 整除的不重复四位数
D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排列，则第 85 个数字为 2301
10．（23-24 高二下·山东临沂·期中）某单位安排甲、乙、丙等 6 人参与周一至周六的值班，每天 1 人，每
人值班 1 天，要求甲、乙都不值周三和周六，丙不值周五，则不同的安排方法有 种．
11．（23-24 高二下·河南郑州·期中）用 0，1，2，3，4 这 5 个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有
重复数字五位数？
(1)组成五位偶数；
(2)组成千位数字和十位数字是奇数的偶数．
12．（23-24 高二下·江苏徐州·期中）有 3 名女生 4 名男生，在下列不同条件下，求不同的排列方法的种数，
(1)全体排成一行，其中 4 名男生互不相邻；
(2)全体排成一行，其中甲、乙中间有且只有 1 人；
(3)全体排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人，且后排至少 2 个男生
【类型 3 相邻、相间问题】
13．（23-24 高二下·河南安阳·期末）某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节
目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（ ）种
A．36 B．40 C．32 D．42
14．（23-24 高二下·浙江·期中）已知 3 名教师和 4 名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和
学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（ ）
A．144 B．288 C．576 D．720
15．（23-24 高二下·河南洛阳·期中）5 名同学站成一横排照毕业照，下列说法正确的是（ ）
A．甲不排在最中间，则不同的排法有 72 种
B．甲乙不相邻，则不同的排法有 72 种
C．甲乙必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法有 72 种
D．甲乙丙三人中有且仅有两人相邻，则不同的排法有 72 种
16．（23-24 高二下·贵州·期中）2024 年 3 月 5 日至 11 日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召
开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚
起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的 10 位党员开展“学习贯彻 2024
年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有
种（用数字作答）.
17．（23-24 高二下·安徽蚌埠·期中）已知有 3 名男生和 2 名女生，站在一排照相.
(1)男生均相邻且女生均相邻的排法种数是多少；
(2)女生互不相邻的种数是多少；
(3)甲不站左端，且乙不站右端，有多少种排法.
18．（23-24 高二下·江苏徐州·期中）有 8 名同学站成一排照相，符合下列各题要求的不同排法共有多少种
（用数字作答）？
(1)甲同学既不站在排头也不站在排尾；
(2)甲 乙 丙三位同学两两不相邻；
(3)甲 乙两同学相邻，且丙 丁两同学也相邻；
(4)甲 乙两同学不相邻，且乙 丙两同学也不相邻.
【类型 4 定序问题】
19．（23-24 高二下·北京·期末）某 4 位同学排成一排准备照相时，又来了 2 位同学要加入，如果保持原来 4
位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．30
20．（24-25 高二·全国·课后作业）某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演 6 个节
目，已排成节目单，开演前又临时增加了 2 个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数
为（ ）
A．42 B．56 C．30 D．72
21．（23-24 高二下·江苏连云港·阶段练习）在高二元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．以下有关
排列组合问题中正确的是 （ ）
A．有A1010种不同的节目演出顺序
B．当4个舞蹈节目接在一起时， 有A77种不同的节目演出顺序
C．当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有A66A47种不同的演出顺序
D．若已定好节目单，后来情况有变， 需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺
A12
序，有 12A10种不同的节目演出顺序10
22．（23-24 高二下·上海·期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖
葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃
完的顺序有 种.（结果用数字作答）
23．（23-24 高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在 2024 年宾县一中纪念“五四”活动中，获得一等奖的某节目
参演人员合影留念．3 名男生和 4 名女生站成一排．（最后答案用数字作答）
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
(2)男、女相间的站法有多少种？
(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
24．（23-24 高二下·陕西咸阳·阶段练习）有 3 名男生和 4 名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方
法种数．
(1)全体排成一行，其中 3 名男生必须排在一起；
(2)全体排成一行，3 名男生互不相邻；
(3)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；
(4)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边．
【类型 5 分组、分配问题】
25．（23-24 高二下·河北石家庄·期末）某大学学生会安排 5 名学生作为“校庆 70 周年——欢迎校友回家”活
动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一
个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有 1 名志愿者，则不同的安排方法有（ ）
A．45 种 B．90 种 C．150 种 D．240 种
26．（23-24 高二下·山东济宁·期中）某工程队有 6 辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个
工地至少分 1 辆工程车，则下列结论正确的是（ ）
A．分给甲 乙 丙三地每地各 2 辆，有 120 种分配方式
B．分给甲 乙两地每地各 2 辆，分给丙 丁两地每地各 1 辆，有 180 种分配方式
C．分给甲 乙 丙三地，其中一地分 4 辆，另两地各分 1 辆，有 60 种分配方式
D．分给甲 乙 丙 丁四地，其中两地各分 2 辆，另两地各分 1 辆，有 1160 种分配方式
27．（24-25 高二下·江苏南京·阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊 5 名大学生参加 2024 年南京半程马拉松志愿
者服务活动，有赛道补给、路线引导、物品发放、兴奋剂检测四项工作可以安排，则以下说法正确的是
（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45
B．若每项工作至少有 1 人参加，则不同的方法数为 240
C．如果兴奋剂检测工作不安排，其余三项工作至少安排 1 人，则这 5 名同学全部被安排的不同方法数
为300
D．每项工作至少有 1 人参加，甲乙不会兴奋剂检测，但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四
项工作，则不同安排方案的种数是126
28．（23-24 高二下·河北邢台·期中）要安排 5 名学生到 3 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去 1 个村，
每个村里至少安排 1 名志愿者，其中学生甲不分配到 村，则不同的安排方法种数为 .
29．（23-24 高二下·新疆乌鲁木齐·期中）男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男、女队长各 1 名.现选派 5
人外出参加比赛.
(1)队长中至少有 1 人参加，有多少种选派方法
(2)参赛的运动员需要分坐在两辆车上(每辆车上至少有一名运动员)，有多少种安排方式
30．（23-24 高二下·广东深圳·期中）富源学校高二年级有 6 名同学（简记为 A， ， ， ， ， ）到甲、
乙、丙三个体育场馆做志愿者.
(1)一天上午有 16 个相同的口罩全部发给这 6 名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？
(2)每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且 A、 两人约定去同一个场馆， 、 不想去一个场
馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？
【类型 6 涂色问题】
31．（23-24 高二下·广东清远·期末）现要对三棱柱 1 1 1的 6 个顶点进行涂色，有 4 种颜色可供选
择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（ ）
A．264 种 B．216 种 C．192 种 D．144 种
32．（23-24 高二下·重庆·期末）国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规
模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002 年第 24 届国际数学家大
会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形
构成（如图）.现给图中 5 个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有
5 种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（ ）
A．120 种 B．360 种 C．420 种 D．540 种
33．（23-24 高二下·浙江杭州·期中）如图，在一广场两侧设置 6 只彩灯，现有 4 种不同颜色的彩灯可供选
择，则下列结论正确的是（ ）
A．共有46种不同方案
B．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如 1 4）也不同色，且 4 种颜色的彩灯均要使用，则共有 186
种不同方案
C．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如 1 4）也不同色，且只能使用 3 种颜色的彩灯，则共有 192
种不同方案
D．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如 1 4）也不同色，且只能使用 2 种颜色的彩灯，则共有 12 种
不同方案
34．（23-24 高二下·山西吕梁·阶段练习）给如图所示的圆环涂色，将圆环平均分成 A，B，C，D 四个区域，
现有红，黄、蓝、绿四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域的颜色不同，则不同的涂
色方法有 种.
35．（23-24 高二下·河南周口·阶段练习）现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 7 种颜色对某市的如图的四
个区域进行着色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？
36．（23-24 高二下·河北邢台·阶段练习）如图，某心形花坛中有 A，B，C，D，E5 个区域，每个区域只种
植一种颜色的花．
(1)要把 5 种不同颜色的花种植到这 5 个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
(2)要把 4 种不同颜色的花种植到这 5 个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
(3)要把红、黄、蓝、白 4 种不同颜色的花种植到这 5 个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色
的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄 2 种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？

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