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第一章　§2　2.2　第1课时
A　组·基础自测
一、选择题
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋S5＝2，S7＝14，则a10＝( C )
A．18 B．16
C．14 D．12
[解析]　设{an}的公差为d，
由
可得
解得所以a10＝－4＋9×2＝14.
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( A )
A．5 B．7
C．9 D．11
[解析]　∵a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝＝＝5a3＝5.故选A．
3．设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝3a3，则＝( D )
A． B．
C． D．
[解析]　＝＝＝＝×3＝.
4．已知等差数列{an}的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为( B )
A．10 B．20
C．30 D．40
[解析]　设等差数列{an}的公差为d，项数为n，前n项和为Sn，因为d＝4，S奇＝15，S偶＝55，所以S偶－S奇＝d＝2n＝40，所以n＝20，即这个数列的项数为20.
5．(多选)已知{an}为等差数列，Sn为前n项和，S5S6，则下列说法正确的是( ABD )
A．d>0
B．a6＝0
C．S5和S6均为Sn的最大值
D．S8>S4
[解析]　∵S5S6，∴a7>0，由以上结论知A，B正确，C错误；对于D，S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝2(a6＋a7)>0，∴S8>S4，D正确．
二、填空题
6．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a4＝3，则a7＝_－3__.
[解析]　已知等差数列{an}的前5项和S5＝25，所以S5＝＝5a3＝25，解得a3＝5.已知a4＝3，则公差d＝a4－a3＝－2.所以a7＝a3＋4d＝5－8＝－3.
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a17＝20，则S18＝_180__.
[解析]　因为a1＋a18＝a2＋a17＝20，
所以S18＝＝＝180.
8．数列{an}与{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn与Tn，若＝，则＝ 　，使得为整数的n值的个数为_2__.
[解析]　由等差数列的性质可得＝＝＝＝＝，
＝＝＝＝＝＝
＝＝＝3－，
若为整数，且n＋1≥2，故4能被n＋1整除，故n＋1＝2或4，解得n＝1或3，
所以，使得为整数的n值的个数为2.
三、解答题
9．若等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8.求：
(1)数列{an}的首项a1和公差d；
(2)数列{an}的前10项和S10的值．
[解析]　(1)根据题意，得
解得
(2)S10＝10a1＋d＝10×8＋×(－2)＝－10.
10．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn的最小值．
[解析]　(1)设{an}的公差为d，由已知，
所以d＝2，
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)由(1)得Sn＝－7n＋×2＝n2－8n＝(n－4)2－16，
所以当n＝4时，Sn取得最小值－16.
B　组·能力提升
一、选择题
1．(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5＝( C )
A．25 B．22
C．20 D．15
[解析]　方法一：设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，依题意可得，
a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5，
又a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝45，解得d＝1，a1＝2，
所以S5＝5a1＋×d＝5×2＋10＝20.故选C．
方法二：a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45，所以a4＝5，a8＝9，
从而d＝＝1，于是a3＝a4－d＝5－1＝4，
所以S5＝5a3＝20.故选C．
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝( C )
A．2 B．－1
C．1 D．0.5
[解析]　因为在等差数列{an}中，＝，
所以＝＝＝
＝·＝1.
3．(多选)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1<0，S6＝S13，则( AC )
A．a10＝0
B．an＋1C．当Sn>0时，n的最小值为20
D．S2[解析]　因为S6＝S13，所以a7＋a8＋…＋a13＝0，所以a10＝a1＋9d＝0，即a1＝－9d，又a1<0，所以d>0，A对，B错；当Sn＝na1＋d＝n(－9d)＋d>0，解得n>19，所以nmin＝20，所以C对；S16－S2＝16a1＋d－(2a1＋d)＝14a1＋119d＝－7d<0，所以S16二、填空题
4．若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有_13__项．
[解析]　设这个等差数列为{an}，由题意得
①＋②得3(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝60.
∴Sn＝＝30n＝390，∴n＝13.
5．在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若S6－3S2＝24，则S10＝_100__.
[解析]　因为数列{an}为等差数列，
所以数列为等差数列，
设其公差为d，由－＝4d＝4，解得d＝1，又因为＝a1＝1，
所以＝n，即Sn＝n2，所以S10＝100.
三、解答题
6．在①a7＋a8＝43，②{an}的前7项和为77，③a1＋a2＝a3－1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．已知等差数列{an}中，a1＝2，___________.
(1)求{an}的通项公式；
(2)在{an}中每相邻两项之间插入4个数，使它们与原数列的数构成新的等差数列{bn}，则b101是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，ak注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解析]　(1)设{an}的公差为d.因为a1＝2，所以an＝2＋(n－1)d，Sn＝na1＋d＝2n＋d.
若选①，因为a7＋a8＝43，所以2＋6d＋2＋7d＝4＋13d＝43，解得d＝3，故an＝3n－1.
若选②，因为{an}的前7项和为77，
所以2×7＋d＝14＋21d＝77，解得d＝3，故an＝3n－1.
若选③，因为a1＋a2＝a3－1，a1＋a2＝2＋2＋d＝2＋2d－1，解得d＝3，故an＝3n－1.
(2)由已知数列{an}的第n项是数列{bn}的第n＋4(n－1)＝5n－4项，令5n－4＝101，解得n＝21，
故b101是数列{an}的第21项．
C　组·创新拓展
我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠(即金杖)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，现将该金杖截成长度相等的15段，记第n段的重量为an斤(n＝1,2，…，15)，且a1[解析]　由题意，由细到粗每段的重量成等差数列{an}，设公差为d，
则 解得a1＝，d＝，
所以an＝.所以＝
因此数列{bn}的所有项的和为a8＋a9＋…＋a15＝＝.
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第一章　数　列
§2　等差数列
2.2　等差数列的前n项和
第1课时　等差数列的前n项和
素养目标 定方向
1．理解等差数列前n项和的推导方法．
2．掌握等差数列的前n项和公式．
1．借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程．培养逻辑推理素养．
2．借助教材掌握a1，an，d，n，Sn的关系，培养数学运算素养．
必备知识 探新知
等差数列的前n项和公式
知识点
[提醒]　在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
求和公式
Sn＝____________
Sn＝________________
想一想：
求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？
练一练：
1．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝15，a7＝35，则S9＝(　　)
A．450 B．400
C．350 D．225
D
2．已知数列{an}为等差数列，首项a1＝2，公差d＝4，前n项和Sn＝200，则n＝(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
C
3．已知等差数列{an}满足a5＋a6＝28，则其前10项的和为_______.
140
关键能力 攻重难
题|型|探|究
　　　　　已知等差数列{an}中：
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d；
(3)S5＝24，求a2＋a4.
题型一
有关等差数列前n项和公式的计算
典例 1
[规律方法]　等差数列中基本量计算的两个技巧
(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
　　　　　　　　(1)在等差数列{an}中，已知a3＋a4＝12，则数列{an}的前6项之和为(　　)
A．12 B．32
C．36 D．72
(2)设一个等差数列的前4项和为3，前8项和为11，则这个等差数列的公差为(　　)
对点训练
C
A
　　　　　(1)已知等差数列{an}前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，　Sn－4＝130，则n＝(　　)
A．12　　　　 B．14　　　　
C．16　　　　 D．18
题型二
等差数列前n项和的性质
典例 2
B
C
(3)求S110想到Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为n2d的等差数列 S10＝100，S100＝10 项数和公差．
[解析]　(1)Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80.
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40.
两式相加得4(a1＋an)＝120，∴a1＋an＝30.
方法三：设等差数列{an}的公差为d，
S110＝a1＋a2＋…＋a10＋a11＋a12＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)＋[(a1＋10d)＋(a2＋10d)＋…＋(a100＋10d)]＝S10＋S100＋100×10d，
即100d＝－22，所以S110＝－110.
[规律方法]　等差数列前n项和的性质
(1)等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…也构成等差数列．
(4)项的个数的“奇偶”性质．
{an}为等差数列，公差为d.
①若共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)；
(5)等差数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．
(6)等差数列{an}中，若Sn＝Sm(m≠n)，则Sm＋n＝0.
　　　　　　　　(1)已知等差数列{an}满足：a2＝2，Sn－Sn－3＝54(n>3)，Sn＝100，则n＝(　　)
A．7　　　　 B．8
C．9 D．10
(2)等差数列{an}共2n＋1项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，则an＋1＝_______.
对点训练
D
29
[解析]　(1)∵等差数列{an}满足：a2＝2，
Sn－Sn－3＝54(n>3)
Sn＝100，
∴an＋an－1＋an－2＝54(n>3)
又{an}为等差数列，
∴3an－1＝54(n≥2)，
∴an－1＝18(n≥2)，
又a2＝2，Sn＝100，
∴n＝10，故选D.
(2)因为等差数列{an}共2n＋1项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，记奇数项之和为S1，偶数项之和为S2，则S1－S2＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1)－(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)＝a1＋nd＝an＋1＝319－290＝29.
　　　　　(1)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝_____时，{an}的前n项和最大．
(2)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a3＝8，S4＝36.
①求{an}的通项公式；
②当n为何值时，Sn有最大值？并求其最大值．
[分析]　求Sn的最大值，可以利用数列的通项公式求解，也可以利用前n项和的函数特性求解．
题型三
等差数列前n项和的最值
典例 3
8
[解析]　(1)8　由等差数列的性质，得a7＋a8＋a9＝3a8>0，a8>0.
又因为a7＋a10<0，所以a8＋a9<0，所以a9<0，所以S8>S7，S8>S9，即数列{an}的前8项和最大．
[规律方法]　等差数列前n项和最值的两种求法
(1)转折项法．
　　　　　　　　(1)设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，则k的值为_______.
(2)已知等差数列{an}中，a1＝13，S3＝S11.那么当n＝_____，Sn取最大值．
对点训练
20
7
易|错|警|示
由和求项注意验证首项
　　　　　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n＋2，判断{an}是否为等差数列．
[错解]　∵an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2.
an＋1－an＝[2(n＋1)＋2]－(2n＋2)＝2(常数)，
∴数列{an}是等差数列．
[误区警示]　an＝Sn－Sn－1是在n≥2的条件下得到的，a1是否满足需另外计算验证．
典例 4
[正解]　a1＝S1＝6，
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2，
课堂检测 固双基
1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项的和S11＝(　　)
A．58　　　 B．88　　　
C．143　　　 D．176
B
2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　)
A．31 B．32
C．33 D．34
B
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
C
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝______.
化简得3d＝6，
∴d＝2.
2

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