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第二章　§3
A组·基础自测
一、选择题
1．下列结论不正确的是( D )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
[解析]　当y＝时，y′＝＝()′＝＝.D不正确．故应选D.
2．函数y＝xe的导数是( B )
A．y′＝xe B．y′＝exe－1
C．y′＝exe D．y′＝ln x
[解析]　y′＝(xe)′＝exe－1，故选B.
3．若指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足f ′(1)＝ln 27，则f ′(－1)＝( C )
A．2 B．ln 3
C. D．－ln 3
[解析]　f ′(x)＝axln a，由f ′(1)＝aln a＝ln 27，
解得a＝3，则f ′(x)＝3xln 3，故f ′(－1)＝.
4．曲线y＝在点处的切线方程为( B )
A．4x－4y＋2－1＝0
B．4x－4y＋1＝0
C．4x－4y＋2－＝0
D．4x＋4y－3＝0
[解析]　由于y＝，所以y′＝，于是＝1，所以曲线在点处的切线的斜率等于1，切线方程为4x－4y＋1＝0.故选B.
5．(多选)函数y＝在点P处的切线斜率为－4，则P的坐标为( AC )
A. B．
C. D．
[解析]　∵y＝，∴y′＝－，
∵曲线y＝在点P的切线的斜率为－4，
∴－＝－4，∴x＝±，∴y＝±2.
即点P或，故选AC.
二、填空题
6．函数f(x)＝，则f ′(x)＝ 　，f ′＝ 　.
[解析]　因为f(x)＝＝，
所以f ′(x)＝.
7．曲线y＝cos x在x＝处的切线方程为 x＋y－＝0　.
[解析]　因为cos＝0，即求曲线y＝cos x在点处的切线方程，
y′＝－sin x，当x＝时，y′＝－1.
所以切线方程为y＝－1·，
即x＋y－＝0.
8．设函数f(x)＝sin x＋cos x，则′＝_0__.
[解析]　方法一：f(x)＝·
＝sin，
所以f＝sin＝，
所以′＝()′＝0.
方法二：因为f为常数，y＝c(常数)的导函数为y＝0，所以′＝0.
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)f(x)＝，x>0；(2)y＝；
(3)y＝－2sin；(4)y＝log2x2－log2x.
[解析]　(1)因为f(x)＝＝，x>0，(xα)′＝α·xα－1，所以f′(x)＝＝，x>0.
(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－，x≠0.
(3)因为y＝－2sin
＝2sin＝2sincos＝sin x，
所以y′＝(sin x)′＝cos x，x∈R.
(4)因为y＝log2x2－log2x＝log2x，x>0，
所以y′＝(log2x)′＝，x>0.
10．已知点P在曲线y＝cos x上，直线l是以点P为切点的切线．
(1)求a的值；
(2)求过点P与直线l垂直的直线方程．
[解析]　(1)因为P在曲线y＝cos x上，所以a＝cos＝.
(2)因为y′＝－sin x，
又因为所求直线与直线l垂直，
所以所求直线的斜率为－＝，
所以所求直线方程为y－＝，
即y＝x－＋.
B组·能力提升
一、选择题
1．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为( C )
A．2 B．ln 2＋1
C．ln 2－1 D．ln 2
[解析]　∵y＝ln x的导数y′＝，令＝，得x＝2，∴切点为(2，ln 2)，代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1.
2．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( A )
A.∪ B．[0，π)
C. D．∪
[解析]　因为y′＝cos x，而cos x∈[－1,1]．所以直线l的斜率的范围是[－1,1]，所以直线l倾斜角的范围是∪.
3．(多选)下列曲线的切线中，不存在两条互相垂直的切线的曲线是( ABC )
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
[解析]　若存在互相垂直的切线，则其斜率之积为－1，或一条切线的斜率不存在，另一条切线的斜率为0.A中，f′(x)＝ex>0，B中f′(x)＝3x2≥0，C中f′(x)＝(x>0)，故ABC中均不存在互相垂直的切线．而D中f′(x)＝cos x，其可正可负，一定存在使cos x1·cos x2＝－1的情形．
二、填空题
4．正弦曲线y＝sin x(x∈(0,2π))上切线斜率等于的点为 或　.
[解析]　y′＝(sin x)′＝cos x＝，
因为x∈(0,2π)，所以x＝或.
所以正弦曲线y＝sin x(x∈(0,2π))上切线斜率等于的点为或.
5．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N＋.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是_21__.
[解析]　∵y＝x2，∴y′＝2x，
∴函数y＝x2(x>0)在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，令y＝0得ak＋1＝ak.
∴数列{an}是等比数列．
又∵a1＝16，
∴a3＝a1＝4，a5＝a3＝1，
∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.
三、解答题
6．已知点A，B(2,1)，函数f(x)＝log2x.
(1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线的方程；
(2)在曲线y＝f(x)上是否存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)设切点为(m，log2m)(m>0)．
因为f(x)＝log2x，x>0，
所以f′(x)＝，x>0.
由题意可得＝，解得m＝e，
所以切线方程为y－log2e＝(x－e)，
即y＝x.
(2)过点A，B(2,1)的直线的斜率为kAB＝.
假设存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，设点P(n，log2n)，≤n≤2，
则有＝，得n＝.
又＝ln 所以<<.
所以在曲线y＝f(x)上存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，且点P的横坐标为.
C组·创新拓展
“以直代曲”是微积分中最基本、最朴素的思想方法，如在切点附近，可用曲线在该点处的切线近似代替曲线．曲线y＝ln x在点(1,0)处的切线方程为_y＝x－1__，利用上述“切线近似代替曲线”的思想方法计算所得结果为 　(结果用分数表示).
[解析]　由y＝ln x得y′＝，所以在点(1,0)处的切线斜率k＝1，则切线方程为y＝x－1；
由题意知ln x≈x－1，
所以ln ≈－1，
即≈.
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第二章　导数及其应用
§3　导数的计算
素养目标 定方向
必备知识 探新知
导函数的概念
知识点 1
一般地，如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数
f′(x)＝_____________________.
那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y′.
想一想：
若f ′(x)＝ex，则f(x)＝ex这种说法正确吗？
提示：不正确．由导数定义可知f(x)＝ex＋C(其中C为任意实数)，都有f′(x)＝ex.
练一练：
1．已知f(x)＝x2，则f ′(3)等于( 　　)
A．0 B．2x
C．6 D．9
[解析]　因为f(x)＝x2，所以f ′(x)＝2x，
所以f ′(3)＝6.
C
①②③④
导数公式
知识点 2
0
αxα－1
axln a
函数 导数
y＝sin x y′＝____________
y＝cos x y′＝______________
y＝tan x
y′＝______
cos x
－sin x
×
×
√
√
[解析]　先利用诱导公式化简，再根据求导公式求导．
A
关键能力 攻重难
题|型|探|究
(1)求下列函数的导数：
题型一
公式法求导数
典例 1
[规律方法]　运用基本初等函数的导数公式求导的注意事项
(1)对于简单的函数，直接套用公式．
(2)对于较为复杂，不能直接套用公式的，可先把题中函数恒等变形为基本初等函数，再求导．
(1)f(x)＝a3(a>0，a≠1)，则f ′(2)＝( 　　)
A．8 B．12
C．8ln 3 D．0
(2)若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于( 　　)
对点训练
D
C
题型二
利用导数公式求切线方程
典例 2
B
[规律方法]　解决切线问题的步骤
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)公式法求导函数f′(x)；
(3)设切点坐标P(x0，y0)；
(4)列方程(组)：
①切点在曲线上，即y0＝f(x0)；
②切线斜率等于函数在切点处的导数，即k＝f′(x0)；
③切点在切线上，即切线为y－y0＝k(x－x0)．
(5)解方程(组)．
(1)曲线f(x)＝3x在点(0,1)处的切线方程是____________________.
(2)已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝( 　　)
A．4 B．－4
C．28 D．－28
对点训练
y＝xln 3＋1
C
D
[解析]　(1)∵f(x)＝3x，
∴f ′(x)＝3xln 3，
∴f ′(0)＝ln 3，
∴所求切线方程为y＝xln 3＋1.
(2)∵y′＝3x2，
∴点(2,8)处的切线斜率k＝f ′(2)＝12，
∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，
∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.
(1)函数f(x)＝ln x＋x2－bx＋a(b>0，a∈R)的图象在点(b，f(b))处的切线斜率的最小值是( 　　)
题型三
与切线有关的问题
典例 3
D
[规律方法]　利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
(2)若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
已知y＝kx是曲线f(x)＝ln x的一条切线，则k＝
______.
对点训练
易|错|警|示
不能正确理解切点的实质而致误
　经过点P(2,8)作曲线y＝x3的切线，求切线方程．
[错解]　设f(x)＝x3，由定义得f′(2)＝12，∴所求切线方程为y－8＝12(x－2)，
即12x－y－16＝0.
[误区警示]　曲线过点P的切线与在点P处的切线不同．
典例 4
[点评]　在求切线方程的过程中，关键是寻找两个条件：一是切点，二是切线的斜率．其中切点又是关键，需要找清切点，如本例中点P(2,8)不一定是切点，做题时要高度关注．
课堂检测 固双基
D
D
3．过点(e，－e)作曲线y＝ex－x的切线，则切线方程为( 　　)
A．y＝(－1－e)x＋e2
B．y＝(e－1)x－e2
C．y＝(ee＋1－1)x－ee＋2
D．y＝(ee－1)x－ee＋1
C
4．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x，则 f ′(x)－g′(x)＝______________.

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