资源简介 第二章 §1 1.1 1.2A组·基础自测一、选择题1.函数y=2x在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为( D )A.x0+Δx B.1+ΔxC.2+Δx D.2[解析] 由题意,可得平均变化率==2,故选D.2.函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则实数m的值为( B )A.3 B.2C.1 D.4[解析] 由已知得:=3,∵m-1≠0,∴m+1=3,∴m=2.3.某物体做直线运动,其运动规律是s=t2+(t的单位是秒,s的单位是米),则它在4秒末的瞬时速度为( B )A.米/秒 B.米/秒C.8米/秒 D.米/秒[解析] 因为===Δt+8-.所以当Δt趋近于0时,趋近于.4.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,,,则三者的大小关系为( B )A.>> B.>>C.>> D.>>[解析] ==kOA,==kAB,==kBC,由图象知kOA5.(多选)已知某物体的运动方程为s(t)=7t2+8(0≤t≤5),则( ABD )A.该物体当1≤t≤3时的平均速度是28B.该物体在t=4时的瞬时速度是56C.该物体位移的最大值为43D.该物体在t=5时的瞬时速度是70[解析] A项该物体在1≤t≤3时的平均速度是==28,A正确;B项,==56+7Δt,当Δt趋向于0时,趋向于56,故B正确;C项,当t=5时,s(t)有最大值,s(t)max=s(5)=183,C错误;D项,==7Δt+70,当Δt趋向于0时,趋向于70,D正确.二、填空题6.由瞬时变化率的研究方法可求得,函数f(x)=x2-2x在x=1处的瞬时变化率为_0__.[解析] ===Δx,当Δx趋近于0时,瞬时变化率趋近于0.7.设f(x)=2ax+4,若f(x)在(1,f(1))处的瞬时变化率为2,则a=_1__.[解析] ==2a,∴2a=2,∴a=1.8.如图所示,函数y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]这几个区间内,平均变化率最大的一个区间是_[x3,x4]__.[解析] 由平均变化率的定义可知,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上的平均变化率分别为:,,,结合图象可以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3,x4].三、解答题9.已知函数f(x)=3x2+2,求函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值.[解析] 因为f(x)=3x2+2,所以f(x0)=3x+2,f(x0+Δx)=3(x0+Δx)2+2=3x+6x0Δx+3(Δx)2+2,则f(x0+Δx)-f(x0)=6x0Δx+3(Δx)2,故f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为==6x0+3Δx,则当x0=2,Δx=0.1时,平均变化率为6×2+3×0.1=12.3.10.某厂生产某种产品x件的总成本c(x)=120++,总成本的单位是元.(1)当x从200变到220时,总成本c关于产量x的平均变化率是多少?它代表什么实际意义?(2)求x=200时的瞬时变化率,并解释它代表什么实际意义.[解析] (1)当x从200变到220时,总成本c从c(200)=120++=540(元)变到c(220)=120++=626(元).此时总成本c关于产量x的平均变化率为==4.3(元/件).它表示产量x从200件变到220件时平均多生产一件产品时,总成本平均增加4.3元.(2)在x=200处的平均变化率为==4.1+,当Δx趋于0时,趋于4.1元/件.即x=200时的瞬时变化率为4.1元/件,它指的是当产量为200件时,每多生产一件产品,成本需增加4.1元.B组·能力提升一、选择题1.一物体的运动方程是s=at2(a为常数),则该物体在t=t0时的瞬时速度是( A )A.at0 B.-at0C.at0 D.2at0[解析] ∵==aΔt+at0,当Δt趋近于0时,趋近于at0.故选A.2.一质点按运动方程s(t)=做直线运动,则其从t1=1到t2=2的平均速度为( B )A.-1 B.-C.-2 D.2[解析] ==-1=-.3.(多选)函数f(x)=x3-1在x1=1和x2=m之间的平均变化率为7,则m的值为( AB )A.2 B.-3C.4 D.5[解析] 根据题意,函数f(x)=x3-1在x1=1和x2=m之间的平均变化率为==m2+m+1,则有m2+m+1=7,即m2+m-6=0,解得m=-3或2.二、填空题4.一辆汽车在起步的前10秒内,按s=3t2+1做直线运动,则在2≤t≤3这段时间内的平均速度是_15__;在t=2.5时的瞬时速度是_15__.[解析] 在2≤t≤3这段时间内,Δs=(3×32+1)-(3×22+1)=15.∴==15.∵==15+3Δt,∴当Δt趋于0时,趋于15.5.若某物体的运动规律是s=t3-6t2+5(t>0),则在t=_4__时的瞬时速度为0.[解析] 设t=t0时,瞬时速度为0,===(Δt)2+(3t0-6)Δt+3t-12t0.当Δt趋近于0时,3t-12t0=0,∴t0=0或t0=4.又t0>0,∴t0=4,∴t=4时的瞬时速度为0.三、解答题6.若一物体运动方程如下:(位移s:m,时间t:s)s=f(t)=求:(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度;(2)物体的初速度v0;(3)物体在t=1时的瞬时速度.[解析] (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2,位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为==24(m/s).(2)求物体的初速度v0,即求物体在t=0时的瞬时速度.∵物体在t=0附近位移的平均变化率为===3Δt-18,当Δt趋近于0时,趋近于-18,∴物体在t=0处位移的瞬时变化率为-18,即物体的初速度v0=-18 m/s.(3)物体在t=1时的瞬时速度即为物体在t=1处位移的瞬时变化率.∵物体在t=1附近位移的平均变化率为===3Δt-12,当Δt趋近于0时,趋近于-12,即物体在t=1时的瞬时速度为-12 m/s.C组·创新拓展在气象学中,通常把某时段内降雨量的平均变化率称为该时段内的降雨强度,它是反映降雨大小的一个重要指标.如表为一次降雨过程中记录的降雨量数据.时间t/min 0 10 20 30 40 50 60降雨量y/mm 0 6 14 18 20 23 24则下列四个时段降雨强度最小的是( D )A.0 min到10 min B.10 min到30 minC.30 min到50 min D.50 min到60 min[解析] 0 min到10 min的降雨强度为=;10 min到30 min的降雨强度为=;30 min到50 min的降雨强度为=;50 min到60 min的降雨强度为=.因为<<,所以四个时段中 50 min到60 min的降雨强度最小.21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共29张PPT)第二章 导数及其应用§1 平均变化率与瞬时变化率1.1 平均变化率1.2 瞬时变化率素养目标 定方向 1.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.3.会求函数在某点附近的平均变化率. 1.通过对函数平均变化率、瞬时变化率等有关概念的学习,培养数学抽象素养.2.借助求函数平均变化率、瞬时变化率,培养数学运算素养.必备知识 探新知平均变化率知识点 1函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率(2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量_______.(3)作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的_______.[提醒] (1)Δx的值可正、可负,但不为0.(2)Δy的值可正、可负,也可为0.之比快慢想一想:函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率可以等于0吗?若平均变化率等于0,是否说明f(x)在[x1,x2]上一定为常数?提示:函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率可以等于0,这时f(x1)=f(x2);平均变化率等于0,不能说f(x)在区间[x1,x2]上一定为常数,例如f(x)=x2在区间[-1,1]上.练一练:1.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是( )A.1 B.-1C.2 D.-2B2.一质点的运动方程是s=5-3t2,则在一段时间[1,1+Δt]内相应的平均速度为( )A.3Δt+6 B.-3Δt+6C.3Δt-6 D.-3Δt-6D瞬时变化率知识点 2函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率(2)实质:瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时,平均变化率趋近的值.(3)作用:刻画函数在某一点处变化的_______.快慢[提醒] (1)函数f(x)在x0,x0+Δx处有意义,x0+Δx是x0附近的任意一点,Δx可正、可负,但不能为0;(2)注意变量的对应,Δx=(x0+Δx)-x0,Δy=f(x0+Δx)-f(x0),而不是Δy=f(x0)-f(x0+Δx).想一想:瞬时速度与平均速度有怎样的区别与联系?练一练:1.若质点A按照规律s=3t2运动,则在t=3时的瞬时速度为( )A.6 B.18C.27 D.54B2.若一物体的运动方程为s=7t2+8,则其在t=______时的瞬时速度为1.关键能力 攻重难题|型|探|究(1)函数f(x)=x2+2c(c∈R)在区间[1,3]上的平均变化率为( )A.2 B.4 C.2c D.4c题型一平均变化率的求法典例 1BA球的半径从1增加到2时,球的体积平均膨胀率为______.对点训练 题型二瞬时变化率(瞬时速度)的求法典例 2一辆汽车按规律s=2t2+3做直线运动,求这辆汽车在t=2时的瞬时速度.(时间单位:s,位移单位:m)对点训练 易|错|警|示不能正确识图致误A,B两机关单位开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W1(t),W2(t)与时间t(天)的关系如图所示,则一定有( )典例 3A.两机关单位节能效果一样好B.A机关单位比B机关单位节能效果好C.A机关单位的用电量在[0,t0]上的平均变化率比B机关单位的用电量在[0,t0]上的平均变化率大D.A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大B[错解] 选C.因为在(0,t0)上,W1(t)的图象比W2(t)的图象陡峭, ∴在(0,t0)上用电量的平均变化率,A机关单位比B机关单位大.[误区警示] 从图上看,两机关单位在(0,t0)上用电量的平均变化率都取负值.[正解] 由题可知,A机关单位所对应的图象比较陡峭,B机关单位所对应的图象比较平缓,且用电量在[0,t0]上的平均变化率都小于0,故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好.故选B.[点评] 识图时,一定要结合题意弄清图象所反映的量之间的关系,特别是单调性,增长(减少)的快慢等要弄清.课堂检测 固双基1.设函数f(x)=x2-1,当自变量x由1变为1.1时,函数的平均变化率为( )A.2.1 B.1.1C.2 D.0AC(Δx)2+6Δx+124.已知f(x+1)-f(1)=2x2+x,则y=f(x)在x=1处的瞬时变化率为_____.1 展开更多...... 收起↑ 资源列表 北师大版高中数学选择性必修第二册第2章1.1平均变化率 1.2瞬时变化率练习含答案(教师用).doc 北师大版高中数学选择性必修第二册第2章1.1平均变化率 1.2瞬时变化率课件.ppt