北师大版高中数学选择性必修第二册第2章1.1平均变化率 1.2瞬时变化率课件+练习含答案(教师用)

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北师大版高中数学选择性必修第二册第2章1.1平均变化率 1.2瞬时变化率课件+练习含答案(教师用)

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第二章 §1 1.1 1.2
A组·基础自测
一、选择题
1.函数y=2x在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为( D )
A.x0+Δx B.1+Δx
C.2+Δx D.2
[解析] 由题意,可得平均变化率
==2,
故选D.
2.函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则实数m的值为( B )
A.3 B.2
C.1 D.4
[解析] 由已知得:=3,
∵m-1≠0,∴m+1=3,∴m=2.
3.某物体做直线运动,其运动规律是s=t2+(t的单位是秒,s的单位是米),则它在4秒末的瞬时速度为( B )
A.米/秒 B.米/秒
C.8米/秒 D.米/秒
[解析] 因为=
==Δt+8-.
所以当Δt趋近于0时,趋近于.
4.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,,,则三者的大小关系为( B )
A.>> B.>>
C.>> D.>>
[解析] ==kOA,==kAB,==kBC,由图象知kOA5.(多选)已知某物体的运动方程为s(t)=7t2+8(0≤t≤5),则( ABD )
A.该物体当1≤t≤3时的平均速度是28
B.该物体在t=4时的瞬时速度是56
C.该物体位移的最大值为43
D.该物体在t=5时的瞬时速度是70
[解析] A项该物体在1≤t≤3时的平均速度是==28,A正确;B项,==56+7Δt,当Δt趋向于0时,趋向于56,故B正确;C项,当t=5时,s(t)有最大值,s(t)max=s(5)=183,C错误;D项,==7Δt+70,当Δt趋向于0时,趋向于70,D正确.
二、填空题
6.由瞬时变化率的研究方法可求得,函数f(x)=x2-2x在x=1处的瞬时变化率为_0__.
[解析] ===Δx,当Δx趋近于0时,瞬时变化率趋近于0.
7.设f(x)=2ax+4,若f(x)在(1,f(1))处的瞬时变化率为2,则a=_1__.
[解析] ==2a,∴2a=2,∴a=1.
8.如图所示,函数y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]这几个区间内,平均变化率最大的一个区间是_[x3,x4]__.
[解析] 由平均变化率的定义可知,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上的平均变化率分别为:,,,结合图象可以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3,x4].
三、解答题
9.已知函数f(x)=3x2+2,求函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值.
[解析] 因为f(x)=3x2+2,所以f(x0)=3x+2,f(x0+Δx)=3(x0+Δx)2+2=3x+6x0Δx+3(Δx)2+2,则f(x0+Δx)-f(x0)=6x0Δx+3(Δx)2,
故f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为==6x0+3Δx,则当x0=2,Δx=0.1时,平均变化率为6×2+3×0.1=12.3.
10.某厂生产某种产品x件的总成本c(x)=120++,总成本的单位是元.
(1)当x从200变到220时,总成本c关于产量x的平均变化率是多少?它代表什么实际意义?
(2)求x=200时的瞬时变化率,并解释它代表什么实际意义.
[解析] (1)当x从200变到220时,总成本c从c(200)=120++=540(元)变到c(220)=120++=626(元).
此时总成本c关于产量x的平均变化率为
==4.3(元/件).
它表示产量x从200件变到220件时平均多生产一件产品时,总成本平均增加4.3元.
(2)在x=200处的平均变化率为=
=4.1+,当Δx趋于0时,趋于4.1元/件.
即x=200时的瞬时变化率为4.1元/件,它指的是当产量为200件时,每多生产一件产品,成本需增加4.1元.
B组·能力提升
一、选择题
1.一物体的运动方程是s=at2(a为常数),则该物体在t=t0时的瞬时速度是( A )
A.at0 B.-at0
C.at0   D.2at0
[解析] ∵==aΔt+at0,
当Δt趋近于0时,趋近于at0.故选A.
2.一质点按运动方程s(t)=做直线运动,则其从t1=1到t2=2的平均速度为( B )
A.-1 B.-
C.-2 D.2
[解析] ==-1=-.
3.(多选)函数f(x)=x3-1在x1=1和x2=m之间的平均变化率为7,则m的值为( AB )
A.2 B.-3
C.4 D.5
[解析] 根据题意,函数f(x)=x3-1在x1=1和x2=m之间的平均变化率为
==m2+m+1,
则有m2+m+1=7,即m2+m-6=0,
解得m=-3或2.
二、填空题
4.一辆汽车在起步的前10秒内,按s=3t2+1做直线运动,则在2≤t≤3这段时间内的平均速度是_15__;在t=2.5时的瞬时速度是_15__.
[解析] 在2≤t≤3这段时间内,Δs=(3×32+1)-(3×22+1)=15.∴==15.
∵=
=15+3Δt,
∴当Δt趋于0时,
趋于15.
5.若某物体的运动规律是s=t3-6t2+5(t>0),则在t=_4__时的瞬时速度为0.
[解析] 设t=t0时,瞬时速度为0,


=(Δt)2+(3t0-6)Δt+3t-12t0.
当Δt趋近于0时,3t-12t0=0,
∴t0=0或t0=4.
又t0>0,∴t0=4,∴t=4时的瞬时速度为0.
三、解答题
6.若一物体运动方程如下:(位移s:m,时间t:s)
s=f(t)=
求:(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度;
(2)物体的初速度v0;
(3)物体在t=1时的瞬时速度.
[解析] (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2,
位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,
∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为
==24(m/s).
(2)求物体的初速度v0,即求物体在t=0时的瞬时速度.
∵物体在t=0附近位移的平均变化率为=

=3Δt-18,
当Δt趋近于0时,趋近于-18,
∴物体在t=0处位移的瞬时变化率为-18,
即物体的初速度v0=-18 m/s.
(3)物体在t=1时的瞬时速度即为物体在t=1处位移的瞬时变化率.
∵物体在t=1附近位移的平均变化率为

==3Δt-12,
当Δt趋近于0时,趋近于-12,
即物体在t=1时的瞬时速度为-12 m/s.
C组·创新拓展
在气象学中,通常把某时段内降雨量的平均变化率称为该时段内的降雨强度,它是反映降雨大小的一个重要指标.如表为一次降雨过程中记录的降雨量数据.
时间t/min 0 10 20 30 40 50 60
降雨量y/mm 0 6 14 18 20 23 24
则下列四个时段降雨强度最小的是( D )
A.0 min到10 min B.10 min到30 min
C.30 min到50 min D.50 min到60 min
[解析] 0 min到10 min的降雨强度为=;
10 min到30 min的降雨强度为=;
30 min到50 min的降雨强度为=;
50 min到60 min的降雨强度为=.
因为<<,所以四个时段中 50 min到60 min的降雨强度最小.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共29张PPT)
第二章 导数及其应用
§1 平均变化率与瞬时变化率
1.1 平均变化率
1.2 瞬时变化率
素养目标 定方向

1.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.
2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.
3.会求函数在某点附近的平均变化率.

1.通过对函数平均变化率、瞬时变化率等有关概念的学习,培养数学抽象素养.
2.借助求函数平均变化率、瞬时变化率,培养数学运算素养.
必备知识 探新知
平均变化率
知识点 1
函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
(2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量_______.
(3)作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的_______.
[提醒] (1)Δx的值可正、可负,但不为0.
(2)Δy的值可正、可负,也可为0.
之比
快慢
想一想:
函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率可以等于0吗?若平均变化率等于0,是否说明f(x)在[x1,x2]上一定为常数?
提示:函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率可以等于0,这时f(x1)=f(x2);平均变化率等于0,不能说f(x)在区间[x1,x2]上一定为常数,例如f(x)=x2在区间[-1,1]上.
练一练:
1.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是(   )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
B
2.一质点的运动方程是s=5-3t2,则在一段时间[1,1+Δt]内相应的平均速度为(   )
A.3Δt+6 B.-3Δt+6
C.3Δt-6 D.-3Δt-6
D
瞬时变化率
知识点 2
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
(2)实质:瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时,平均变化率趋近的值.
(3)作用:刻画函数在某一点处变化的_______.
快慢
[提醒] (1)函数f(x)在x0,x0+Δx处有意义,x0+Δx是x0附近的任意一点,Δx可正、可负,但不能为0;
(2)注意变量的对应,Δx=(x0+Δx)-x0,Δy=f(x0+Δx)-f(x0),而不是Δy=f(x0)-f(x0+Δx).
想一想:
瞬时速度与平均速度有怎样的区别与联系?
练一练:
1.若质点A按照规律s=3t2运动,则在t=3时的瞬时速度为(   )
A.6 B.18
C.27 D.54
B
2.若一物体的运动方程为s=7t2+8,则其在t=______时的瞬时速度为1.
关键能力 攻重难
题|型|探|究
(1)函数f(x)=x2+2c(c∈R)在区间[1,3]上的平均变化率为(   )
A.2 B.4 C.2c D.4c
题型一
平均变化率的求法
典例 1
B
A
球的半径从1增加到2时,球的体积平均膨胀率
为______.
对点训练
题型二
瞬时变化率(瞬时速度)的求法
典例 2
一辆汽车按规律s=2t2+3做直线运动,求这辆汽车在t=2时的瞬时速度.(时间单位:s,位移单位:m)
对点训练
易|错|警|示
不能正确识图致误
A,B两机关单位开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W1(t),W2(t)与时间t(天)的关系如图所示,则一定有(   )
典例 3
A.两机关单位节能效果一样好
B.A机关单位比B机关单位节能效果好
C.A机关单位的用电量在[0,t0]上的平均变化
率比B机关单位的用电量在[0,t0]上的平均变化率大
D.A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大
B
[错解] 选C.因为在(0,t0)上,W1(t)的图象比W2(t)的图象陡峭, ∴在(0,t0)上用电量的平均变化率,A机关单位比B机关单位大.
[误区警示] 从图上看,两机关单位在(0,t0)上用电量的平均变化率都取负值.
[正解] 由题可知,A机关单位所对应的图象比较陡峭,B机关单位所对应的图象比较平缓,且用电量在[0,t0]上的平均变化率都小于0,故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好.故选B.
[点评] 识图时,一定要结合题意弄清图象所反映的量之间的关系,特别是单调性,增长(减少)的快慢等要弄清.
课堂检测 固双基
1.设函数f(x)=x2-1,当自变量x由1变为1.1时,函数的平均变化率为(   )
A.2.1 B.1.1
C.2 D.0
A
C
(Δx)2+6Δx+12
4.已知f(x+1)-f(1)=2x2+x,则y=f(x)在x=1处的瞬时变化率为_____.
1

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