资源简介

第二章　§6　6.1
A组·基础自测
一、选择题
1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( B )
A．y＝sin x B．y＝xe2
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
[解析]　对于B，y＝xe2，则y′＝e2，∴y＝xe2在R上为增函数，在(0，＋∞)上也为增函数，选B.
2．若函数h(x)＝2x－在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是( A )
A．[－2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2] D．(－∞，2]
[解析]　根据条件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞)．
3．设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是( B )
[解析]　由f(x)的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f(x)递减，
即有导数小于0，可排除C，D；
再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，
函数f(x)递减，再递增，后递减，
即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，
可排除A；则B正确．
故选B.
4．已知函数f(x)＝－ln x，则有( C )
A．f(2)C．f(3)[解析]　因为在区间(0,4)上，f ′(x)＝－＜0，所以f(x)在(0,4)上是减函数，
所以有f(2)＞f(e)＞f(3)．
5．(多选)若函数exf(x)(e＝2.718 28……是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是( AB )
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2＋2
C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cos x
[解析]　设g(x)＝ex·f(x)，
对于A，g(x)＝ex·2－x＝x在定义域R上是增函数，故A正确；
对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex
＝[(x＋1)2＋1]ex>0，所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确；
对于C，g(x)＝ex·3－x＝x在定义域R上是减函数，C不正确；
对于D，g(x)＝ex·cos x，则g′(x)＝excos，g′(x)>0在定义域R上不恒成立，D不正确．
二、填空题
6．函数y＝x3－x2－x的单调增区间为 ，(1，＋∞)　.
[解析]　由y＝x3－x2－x，∴f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x－1)．
令f′(x)>0，解得x>1或x<－.
函数f(x)的单调递增区间是，(1，＋∞)．
7．函数f(x)＝x＋2cos x(0≤x≤2π)的单调递减区间为 　.
[解析]　∵函数y＝x＋2cos x，∴y′＝1－2sin x＜0，
∴sin x＞，
又∵x∈[0,2π]，
∴x∈，故答案为.
8．若函数f(x)＝ex－ax－1在区间(－2,3)上为减函数，则a的取值范围为_[e3，＋∞)__.
[解析]　由题意知，f ′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立．
∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．
∵－2当a＝e3时，f ′(x)＝ex－e3在x∈(－2,3)上，f ′(x)<0，即f(x)在(－2,3)上为减函数，
∴a≥e3.
三、解答题
9．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝3x2－2ln x；
(2)f(x)＝x2·e－x.
[解析]　(1)函数的定义域为D＝(0，＋∞)．
∵f ′(x)＝6x－，令f ′(x)＝0，得x1＝，x2＝－(舍去)．
用x1分割定义域D，得下表：
x
f ′(x) － 0 ＋
f(x) ? ?
∴函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)．
∵f ′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，
令f ′(x)＝0，由于e－x>0，∴x1＝0，x2＝2.
用x1，x2分割定义域D，得下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ? ? ?
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)．
10．讨论函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
[解析]　函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－＝.
当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当k>0时，由f′(x)<0，即<0，
解得0由f′(x)>0，即>0，解得x>.
∴当k>0时，f(x)的单调递减区间为，
单调递增区间为.
综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；
当k>0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
B组·能力提升
一、选择题
1．已知定义在R上的函数f(x)＝ax3＋x2＋ax＋1有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围是( D )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－1,1) D．(－1,0)∪(0,1)
[解析]　根据题意知，f ′(x)＝ax2＋2x＋a，若函数f(x)＝ax3＋x2＋ax＋1有三个不同的单调区间，则f ′(x)＝ax2＋2x＋a＝0有两个不相等的实根，Δ＝4－4a2>0，且a≠0，
解得－1故实数a的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．
2．若函数f(x)＝－cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围为( B )
A．[－1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)
[解析]　由题意可得，f ′(x)＝sin x＋a≥0恒成立，故a≥－sin x恒成立．因为－1≤－sin x≤1，所以a≥1.故选B.
3．已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)A.f>f B．f(1)<2fsin 1
C.f>f D.f[解析]　构造函数g(x)＝，则
g′(x)＝，
由已知可得，当x∈时，f′(x)sin x－f(x)cos x>0，
所以g′(x)>0，g(x)为增函数，
所以g所以f二、填空题
4．在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf ′(x)<0的解集为_(－∞，－1)∪(0,1)__.
[解析]　由xf ′(x)<0，可得或由题图可知当－11时，f(x)单调递增，f ′(x)>0，则或解得05．已知函数f(x)＝在区间(m，m＋2)上单调递减，则实数m的取值范围为_[－1,1]__.
[解析]　f ′(x)＝，
令f ′(x)＜0，解得：－1＜x＜3，
故f(x)在(－1,3)上递减，故(m，m＋2) (－1,3)，
故，解得：－1≤m≤1，故答案为[－1,1]．
三、解答题
6．(2023·北京卷)设函数f(x)＝x－x3eax＋b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间．
[解析]　(1)因为f(x)＝x－x3eax＋b，x∈R，
所以f′(x)＝1－eax＋b，
因为f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1，
所以f(1)＝－1＋1＝0，f′(1)＝－1，
则解得
所以a＝－1，b＝1.
(2)由(1)得g(x)＝f′(x)＝1－e－x＋1(x∈R)，
则g′(x)＝－xe－x＋1，
令x2－6x＋6＝0，解得x＝3±，不妨设x1＝3－，x2＝3＋，则0易知e－x＋1>0恒成立，
所以令g′(x)<0，解得0x2；
令g′(x)>0，解得x<0或x1所以g(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)，(x1，x2)上单调递增，
即g(x)的单调递减区间为(0,3－)和(3＋，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0)和(3－，3＋)．
C组·创新拓展
设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是_(－∞，－2)∪(0,2)__.
[解析]　∵当x>0时，′＝<0，
∴φ(x)＝在(0，＋∞)上为减函数，
又f(2)＝0，即φ(2)＝0，
∴在(0，＋∞)上，当且仅当00，
此时x2f(x)>0.又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数，
由数形结合知x∈(－∞，－2)时f(x)>0.
故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共44张PPT)
第二章　导数及其应用
§6　用导数研究函数的性质
6．1　函数的单调性
素养目标 定方向

1．了解函数的单调性与导数的关系．
2．能利用导数研究函数的单调性．
3．会求函数的单调区间．

1．借助对函数的单调性与导数的关系的探究，培养数学抽象与逻辑推理素养．
2．通过导数在研究函数的单调性中的应用，培养数学运算素养．
必备知识 探新知
函数的单调性与导数
知识点 1
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下关系：
单调
递增 在某个区间(a，b)上，如果__________________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增
单调
递减 在某个区间(a，b)上，如果__________________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减
f′(x)>0
f′(x)<0
想一想：
1．在某一区间上f ′(x)>0(或f ′(x)<0)是函数y＝f(x)在该区间上单调递增(或单调递减)的什么条件？
提示：充分不必要条件．
2．若在某个区间上有有限个(或无限个不连续)点使f ′(x)＝0，而其余点恒有f ′(x)>0(或f ′(x)<0)，该函数在这个区间上是否仍是单调递增(或单调递减)的？
提示：是．
练一练：
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若在某个区间(a，b)内总有f ′(x)＝0，则函数是常函数．(　 　)
提示： 由常函数的导数为0可知此说法正确．
(2)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．(　 　)
√
×
(3)若函数f(x)的增区间是A，且f(x)在区间B上单调递增，则A＝B.(　 　)
提示： 区间A和B应满足B A.
(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．(　 　)
提示： 若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．
×
√
2．函数f(x)＝3x－x3的单调递增区间是( 　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1,1) D．(1，＋∞)
[解析]　因为函数f(x)＝3x－x3，
所以f′(x)＝3－3x2＝－3(x＋1)(x－1)．
令f′(x)>0，解得－1所以函数y＝3x－x3的单调递增区间是(－1,1)．
C
函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
知识点 2
在某一范围内一个函数f(x)导数的绝对值为|f′(x)|，则
|f′(x)| 函数值的变化 函数的图象
越大 在这一_______内变化得较快 比较“_______”(向上或向下)
越小 在这一范围内变化得_______ 比较“_______”
范围
陡峭
较慢
平缓
练一练：
已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( 　　)
B
[解析]　由导数的图象可得，导函数f ′(x)的值在[－1,0]上逐渐增大，故函数f(x)在[－1,0]上增长速度逐渐增大，故函数f(x)的图象是下凹型的．导函数f ′(x)的值在[0,1]上逐渐减小，故函数f(x)在[0,1]上增长速度逐渐减小，图象是上凸型的，故选B.
关键能力 攻重难
题|型|探|究
(1)已知f(x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的( 　　)
题型一
导数与原函数图象的关系
典例 1
D
(2)函数f(x)的定义域为[0,4]，函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间为_____________.
(2,4]
[解析]　(1)由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f ′(x)<0，函数f(x)是减函数；当x∈(0,2)时，导函数f ′(x)>0，函数f(x)是增函数，故函数f(x)的图象如图D.
(2)若f′(x)的图象为虚线，则f(x)的图象为实线，由f′(x)>0，得x>3，则f(x)在(3,4]上单调递增，与f(x)的实线图象不符，故不成立；若f′(x)的图象为实线，则f(x)的图象为虚线，由f′(x)>0，得x>2，所以f(x)在(2,4]上单调递增，与f(x)的虚线图象相符，故成立，
综上，f(x)在(2,4]上单调递增．
[规律方法]　研究函数与导函数图象之间关系的策略
(1)导函数的正负看原函数的增减
①观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；
②观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．
(2)导函数的绝对值大小决定原函数增减快慢．
某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”．
[提醒]　解决问题时，要分清是原函数图象还是导函数图象．
(1)(多选)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个平面直角坐标系中，正确的是( 　 )
(2)已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x)>0的解
集为____________________________.
对点训练
ABC
[解析]　(1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合，D不可能．
(1)函数f(x)＝xex＋1的单调递减区间是( 　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
(2)函数f(x)＝x－2sin x＋1在(0，π)上的单调递增区间是( 　　)
题型二
利用导数求函数的单调区间
典例 2
C
D
[规律方法]　1.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
2．若y＝f(x)在(a，b)内可导，f′(x)≥0或f′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：y＝x3在R上f′(x)≥0，所以y＝x3在R上单调递增．
求下列函数的单调区间：
对点训练
[解析]　(1)函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0.
即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，
令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1.
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
题型三
利用导数求含参数函数的单调性
典例 3
[规律方法]　含有参数的函数单调性问题的处理方法
(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误．
(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．
对点训练
[分析]　根据函数的单调性与其导函数的正负关系进行求解．
题型四
已知函数的单调性，确定参数的取值范围
典例 4
[规律方法]　1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路：
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f′(x)>0(或 f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min.
对点训练
B
A
课堂检测 固双基
1.函数f(x)＝2x＋cos x在(－∞，＋∞)上( 　　)
A．是增函数 B．是减函数
C．单调性不确定 D．是奇函数
[解析]　f′(x)＝2－sin x>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
A
C
3．函数f(x)＝(x－4)e－x的单调递增区间是( 　　)
A．(－∞，5) B．(5，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，3)
[解析]　∵f(x)＝(x－4)e－x，
∴f′(x)＝e－x－(x－4)e－x＝e－x(5－x)．
由f′(x)>0得x<5，故选A.
A

展开更多......

收起↑