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1.1.2 《九章算数》
第 讲 数学文化
一
九章算术
5
情景引入
内容简介
“盈不足”算法
布置作业
方程运算
4
3
1
2
九章算术
问题：“几个朋友要一起买一批物资，如果每人出8万元，则多出3万元;如果每人出7万元，则还需4万元，问买这批物资要多少万元 有几个朋友一起合作 ”这个问题是根据《九章算术》中的题目改编的.
原题：几人同买一批物品，如果每人出8文钱，则盈余3文钱;如果每人出7文钱，则还缺4文钱，问人数、物价各是多少
情景引入
按照代数方法解此题，可以设人数为x，物价为y,
则有方程组
情景引入
解得
《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部数学专著，成书于公元世纪前后、其作者不详，西汉的张苍、耿寿昌曾经对其做过增补和整理，最后成书最迟在东汉前期.现今流传的版本大多是在三国时期魏元帝景元四年(263年)， 刘徽为《九章算术》所作的注本.
内容简介
《九章算术》全书采用问题集的形式.
书中每道题皆有问有答有术，其中“术”通常是解题的思想方法、公式和法则，有的一题一术，有的多题一术，有的一题多术.
内容简介
内容简介
全书共有246个应用题，基本上都是与生产实践、日常生活有联系的实际应用问题.
这些问题分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章.
对于每类问题，《九章算术》中都给出了统一的解法，它们相当于一些初等数学定理和公式，但没有证明.
内容简介
“盈不足”算法
“盈不足”算法是我国古代计算盈亏类问题的一种算术方法，借有馀、不足以求隐含之数、本为《周礼》九数之一.大家已经解决《九章算术》开始的例子，就是“盈不足”问题的白话译文及改编.原题如下:
今有共买物，人出八，盈三;人出七，不足四.问人数、物价各几何 ”中国古人是这样求解的:
“盈不足”算法
“盈不足问题”的解决方法被称为盈不足术，设人出a1盈b1，人出a2不足b2，则
“盈不足”算法
今有共买物，人出八，盈三;人出七，不足四.问人数、物价各几何 ”可解得:
“盈不足”算法
例1
“六一”儿童节前夕，我们购买了一些水彩笔送给某小学的小朋友作为节日礼物、如果每班分10套，那么余5套;如果前面的班级每个班分13套，那么最后一个班级虽然分有水彩笔，但不足4套.请问该小学有多少个班级 共有多少套水彩笔
“盈不足”算法
解:设该小学有x个班，则水彩笔共有(10x+5) 套.
由题意可得
解得
因为x只能取整数，所以x=5.此时10x+5=55套.
“盈不足”算法
例2
用若干辆载重为8吨的货车运批货物，若每辆货车只装5吨，则剩下10吨货物;若每辆货车装满8吨，则最后一辆货车不空也不满.请问有多少辆货车
“盈不足”算法
解:设有x辆货车，则有(5x+10)吨货物，(x-1)辆货车装满货物共8(x-1)吨，根据最后一辆货车不空也不满，可得
解得
因为x只能取整数，所以x=4或x=5.
方程运算---方程术
上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆，共出粮三十九斗；上等禾谷二捆，中等禾谷三捆，下等禾谷一捆，共出粮三十四斗；上等禾谷一捆，中等禾谷二捆，下等禾谷三捆，共出粮二十六斗.问上中下等禾谷每捆出粮各多少？
设上、中、下等禾谷每捆出粮分别为x,y,z斗，则有
方程运算---方程术
原题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗;上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗;上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上、中、下禾实秉各几何 ”
《九章算术》中又是如何解这个方程组的呢
方程术
相当于下列矩阵
1 2 3 上禾
2 3 2 中禾
3 1 1 下禾
26 34 39 实
其消元过程如下：第一步:“以右行上禾遍乘中行而以直除”，即以右行上禾3遍乘中行各数，然后从中行中累减右行2次，得
方程术
第二步:“又乘其次，亦以直除”， 即以右行上禾3遍乘左行各数，然后从左行内减去右行，得
方程术
第三步:“然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除”， 即以中行5遍乘左行，然后从左行内累减中行4次，得
方程术
第四步:“左方下禾不尽者，上为法，下为买，买即下禾之实.“99为下禾之实.
第五步:“求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实.余如中禾秉数而一、即中禾之实.”中禾之实为
方程术
第六步:“求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实.余如上秉数而一，即上禾之实.”上禾之实为
第七步:“实皆如法，各得一斗.”以上求得的上、中、下禾之实各为333，153，99.各除以36，得
方程术
其中，“直除法”就是两行对应数字相减，以达到消去其中一个数字的目的，刘徽的解释是“令少行破多行，反复相减，则头位必先尽”，可见古人之智慧.
方程术
正负术
咱们先做几道题回忆一下:
①3-(-2);
②(-5)+(-7);
③6+(-9);
④-7.5+(-2.5).
正负术
《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上7℃记作+7℃，则-5℃表示气温为( )
A. 零上5℃ B. 零下5℃ C. 零上7℃ D. 零下7℃
例3
正负术
思考： 我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家.在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算3+（-4）的过程.按照这种方法，图2表示的过程应是在计算( )　　
A.（-5）+（-2） B.（-5）+2 C.5+（-2） D.5+2
正负术
“方程”章的另一个重点就是对负数的概念、运算进行了研究.在解方程的过程中，由于无法回避被减数小于减数的情况出现，在《九章算术》提出了“以正负术入之”，即引入负数及其运算法则：“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之.”
正负术
法则：同名（同号）相除，异名（异号）相益，正无入负之，负无入正之，其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之.
也就是我们现在用的正负数和零之间的运算，前四句为减法法则，后四句为加法法则.
归纳小结
1.本节课你学习了哪些内容？
2.本节课学习的用途？
布置作业
阅读
教材章节1.2
书写
教材P10思考与练习
思考
九章算术中的案例
作
业
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