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§3.5　指对同构问题
分值：45分
一、单项选择题(每小题5分，共10分)
1.设x>0，y>0，若ex+ln y>x+y，则下列选项正确的是(　　)
A.x>y B.x>ln y
C.x2.若关于x的不等式ex+x+ln ≥mx+ln m恒成立，则实数m的最大值为(　　)
A.2 B.e
C.3 D.e2
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
3.(2025·邯郸模拟)已知a>0，b∈R，e是自然对数的底数，若b+eb=a+ln a，则a-b的值可以是(　　)
A.-1 B.1
C.2 D.3
4.(2024·盐城模拟)若不等式ax-exln a<0在x∈[2，+∞)上恒成立，则实数a的值可以为(　　)
A.3e B.2e
C.e D.2
三、填空题(每小题5分，共10分)
5.(2025·长春模拟)不等式xex+≥0(a<0)对 x∈(1，+∞)恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　.
6.(2025·渭南模拟)已知实数x1，x2满足=ln x2=则x1=　　　　.
四、解答题(共13分)
7.(13分)(2024·咸阳模拟)已知函数f(x)=aex-x.
(1)讨论f(x)的单调性；(5分)
(2)若f(x)+x+ln a≥ln x，求实数a的取值范围.(8分)
答案精析
1.B
2.B　[由题意得，m>0，x>0，
不等式等价于ex+x≥mx+ln(mx)恒成立，
即ex+ln ex≥mx+ln(mx)恒成立，
令f(x)=x+ln x，
则不等式转化为f(ex)≥f(mx)，
因为f'(x)=1+>0，
所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，
所以ex≥mx，则≥m.
令g(x)=x>0，
则g'(x)=
则当01时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
所以当x=1时，g(x)有最小值，
即g(x)min=g(1)=e，则m≤e，
则m的最大值为e.]
3.BCD　[设函数f(x)=x+ex，
则f(x)在R上是增函数，
所以b+eb-(a+ln a)=b+eb-(ln a+eln a)=f(b)-f(ln a)=0，
所以b=ln a，即a=eb，
所以a-b=eb-b，
令g(x)=ex-x，则g'(x)=ex-1，
当x<0时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x>0时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)≥g(0)=1，从而a-b≥1，结合选项，选项BCD符合题意.]
4.BCD　[由题意得a>0，
由ax-exln a<0得<=
设f(x)=则f'(x)=
当x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
又f(0)=0，f(1)=当x>0时，f(x)=>0恒成立，
所以f(x)=的图象如图所示，
<即f(x)对于A，当a=3e时，ln a=ln 3+1>2，根据图象可得f(x)对于B，当a=2e时，ln a=ln 2+1∈(1，2)，根据图象可得f(x)对于C，当a=e时，ln a=1，根据图象可得f(x)对于D，当a=2时，ln a=ln 2，
又f(ln 2)==ln 2，f(2)=
因为3×ln 2-3×=ln 2-
且2>e，e2>6，
即ln 2>1<1，
所以3×ln 2-3×
=ln 2->0，
即f(ln 2)>f(2)，
根据图象可得f(x)5.[-e，0)
解析　由xex+≥0可得
xex≥-=-aln x·e-aln x，
令f(x)=xex(x>0)，
则f'(x)=(x+1)ex>0，
故f(x)在(0，+∞)上单调递增，
因为a<0，x∈(1，+∞)，
则-aln x>0，
则f(x)≥f(-aln x)，可得x≥-aln x，
即a≥-对 x∈(1，+∞)恒成立，
令g(x)=x>1，
则g'(x)=
由g'(x)=0可得x=e，故当1e时，g'(x)>0，
所以g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，+∞)上单调递增，
所以g(x)min=g(e)=e，
得a≥=-e，
又a<0，所以-e≤a<0.
6.4
解析　由=
可得x1=4，故x1>0，
由ln x2=可得ln =4，
可得·ln =4，故ln >0，
令f(x)=xex，则f(x1)=f(ln )，
f'(x)=(x+1)ex，
当x>0时，f'(x)>0，
所以函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增.
由f(x1)=f(ln )得x1=ln
所以=
因为x1=4，所以x1=4.
7.解　(1)因为f(x)=aex-x，定义域为R，
所以f'(x)=aex-1，
当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，
故f'(x)=aex-1<0恒成立，
所以f(x)在R上单调递减；
当a>0时，令f'(x)=aex-1=0，
解得x=-ln a，
当x<-ln a时，f'(x)<0，则f(x)在(-∞，-ln a)上单调递减；
当x>-ln a时，f'(x)>0，则f(x)在(-ln a，+∞)上单调递增，
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f(x)在(-∞，-ln a)上单调递减，在(-ln a，+∞)上单调递增.
(2)因为f(x)=aex-x，
所以f(x)+x+ln a≥ln x等价于eln a+x+ln a+x≥ln x+x=eln x+ln x，
令g(x)=ex+x，上述不等式等价于g(ln a+x)≥g(ln x)，显然g(x)为增函数，
所以原不等式等价于ln a+x≥ln x，
即ln a≥ln x-x，
令h(x)=ln x-x，
则h'(x)=-1=
当x∈(0，1)时，h'(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(1，+∞)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
所以h(x)max=h(1)=-1，
ln a≥-1=ln 即a≥
所以a的取值范围是.§3.5　指对同构问题
重点解读　把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题.
题型一　双变量地位同等同构
例1　若对0A.1 B.2
C.e D.2e
思维升华　含有地位同等的两个变量x1，x2或x，y或a，b的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数单调性解决.
跟踪训练1　若0A.x1ln x1x2ln x2
C.x2ln x1x1ln x2
题型二　指对同构法的理解
指对同构的常用形式
(1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f(x)=xex；
②同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f(x)=xln x；
③取对构造形式：a+ln a≤ln b+ln(ln b)(a>0，b>1)，构造函数f(x)=x+ln x.
(2)商型：≤，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：≤，构造函数f(x)=；
②同右构造形式：≤，构造函数f(x)=；
③取对构造形式：a-ln a≤ln b-ln(ln b)(a>0，b>1)，构造函数f(x)=x-ln x.
(3)和、差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式：
①同左构造形式：ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)=ex±x；
②同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)=x±ln x.
例2　(1)(多选)若ea+a>b+ln b(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是(　　)
A.a>ln b B.aC.ea>b D.ea(2)(2025·宜春模拟)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于a的方程aea-2=e4和关于b的方程b(ln b-2)=e3λ-1(a>0，b>e2)可化为同构方程，则ab的值为　　　　　　.
思维升华　利用恒等式x=ln ex和x=eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究.
跟踪训练2　(多选)对不等式ax+eax>ln(bx)+bx进行指对同构时，可以构造的函数是(　　)
A.f(x)=ln x+x B.f(x)=xln x
C.f(x)=x+ex D.f(x)=
题型三　同构法的应用
例3　(1)设实数k>0，对于任意的x>1，不等式kekx≥ln x恒成立，则k的最小值为　　　　.
(2)(2025·衡阳模拟)已知m是方程xeex-2+(e-1)ln x=2的一个根，则+(e-1)ln m等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.5
思维升华　常见的同构函数有：①f(x)=；②f(x)=xln x；③f(x)=xex；④f(x)=.
其中①④可以借助==，②③可以借助xex=(ln ex)ex=(ln t)t=tln t进行指对互化.
跟踪训练3　(1)(2024·吕梁模拟)若关于x的不等式ea+x·ln xA.(-∞，0] B.[-1，0]
C.[-1，+∞) D.[0，+∞)
(2)已知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若aea+1+bA.bea+1
C.abe
答案精析
例1　B　[由ln<2x2-2x1，
0得x1x2(ln x2-ln x1)<2x2-2x1，
则ln x2-ln x1<，
即ln x2-ln x1<-，
有ln x2+令f(x)=ln x+(x>0)，
则f(x2)所以f'(x)=-=，
令f'(x)>0 x>2，
令f'(x)<0 0所以函数f(x)的单调递增区间为(2，+∞)，单调递减区间为(0，2)，
所以当0所以0跟踪训练1　C　[令f(x)=xln x，则f'(x)=1+ln x，
当0令g(x)=，则g'(x)=，
当00，则g(x)在(0，1)上单调递增，
因为0所以g(x1)例2　(1)AC　[方法一　由ea+a>b+ln b，
可得ea+a>eln b+ln b，
令f(x)=ex+x，则f(a)>f(ln b)，
因为f(x)在R上是增函数，
所以a>ln b，即ea>b.
方法二　由ea+a>b+ln b，
可得ea+ln ea>b+ln b，
令g(x)=x+ln x，则g(ea)>g(b)，
因为g(x)在(0，+∞)上是增函数，
所以ea>b，即a>ln b.]
(2)e8
解析　对aea-2=e4两边取自然对数，
得ln a+a=6，①
对b(ln b-2)=e3λ-1两边取自然对数，
得ln b+ln(ln b-2)=3λ-1，
即ln b-2+ln(ln b-2)=3λ-3，②
因为方程①②为两个同构方程，
所以3λ-3=6，解得λ=3，
设F(x)=ln x+x且x>0，则F'(x)=+1>0，
所以F(x)在(0，+∞)上单调递增，故F(x)=6的解只有一个，
所以a=ln b-2，
则ab=b(ln b-2)=e3×3-1=e8.
跟踪训练2　AC　[由恒等式x=ln ex可得ax=ln eax，
所以ax+eax>ln(bx)+bx可变形为
ln eax+eax>ln(bx)+bx，
构造函数f(x)=ln x+x，
可得f(eax)>f(bx).
同理，由恒等式x=eln x可得bx=eln(bx)，
所以ax+eax>ln(bx)+bx可变形为ax+eax>ln(bx)+eln(bx)，
构造函数f(x)=x+ex，
可得f(ax)>f(ln(bx)).]
例3　(1)
解析　由kekx≥ln x得kxekx≥xln x，
即kxekx≥eln x·ln x，
令f(x)=xex，则f(kx)≥f(ln x).
因为f'(x)=(x+1)ex，
所以f(x)在(-1，+∞)上单调递增，
因为kx>0，ln x>0，
所以kx≥ln x，即k≥，
令h(x)=(x>1)，
则h'(x)=，
当x∈(1，e)时，h'(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈(e，+∞)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
所以h(x)max=h(e)=，即k≥，
所以k的最小值为.
(2)B　[xeex-2+(e-1)ln x=2 eeln x+x-2+eln x+x-2=x+ln x=eln x+ln x，
设f(t)=et+t，则f'(t)=et+1>0恒成立，故f(t)单调递增，
由f(eln x+x-2)=f(ln x)得eln x+x-2=ln x，即(e-1)ln x=2-x.
因为m是方程xeex-2+(e-1)ln x=2的一个根，
所以(e-1)ln m=2-m，
所以m=，
所以+(e-1)ln m
=m+(e-1)ln m=m+2-m=2.]
跟踪训练3　(1)C　[由ea+x·ln x可得<在(0，1)上恒成立，
即<在(0，1)上恒成立，
当a≥0时，<0，>0，
不等式<在(0，1)上显然成立；
当a<0时，令f(x)=，
则f(ln x)f'(x)=，当x∈(-∞，1)时，f'(x)>0，所以f(x)在(-∞，1)上单调递增，
又当x∈(0，1)时，ln x∈(-∞，0)，a+x∈(-∞，1)，
所以只需ln x即a>ln x-x在(0，1)上恒成立.
令g(x)=ln x-x，0则g'(x)=>0，
即g(x)在(0，1)上单调递增，
其中g(1)=ln 1-1=-1，
故a≥g(1)=-1，
所以-1≤a<0.
综上，a≥-1.]
(2)B　[由aea+1+b可得aea+1设f(x)=xln x，
可得f(ea)因为a>1，可得ea>e，
又因为b(ln b-1)>0，b>1，
所以ln b>1，即b>e，所以>1，
易知当x>1时，f'(x)=ln x+1>0，可得函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，
所以ea<，即b>ea+1.](共59张PPT)
第三章
§3.5　指对同构问题
数学
大
一
轮
复
习
把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题.
重点解读
例1　若对0A.1 B.2 C.e D.2e
√
双变量地位同等同构
题型一
由ln<2x2－2x1，0得x1x2(ln x2－ln x1)<2x2－2x1，
则ln x2－ln x1<
即ln x2－ln x1<
有ln x2＋令f(x)＝ln x＋(x>0)，则f(x2)所以f'(x)＝
令f'(x)>0 x>2，令f'(x)<0 0所以函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，
所以当0所以0含有地位同等的两个变量x1，x2或x，y或a，b的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数单调性解决.
思维升华
跟踪训练1　若0A.x1ln x1x2ln x2
C.x2ln x1x1ln x2
√
令f(x)＝xln x，则f'(x)＝1＋ln x，
当0令g(x)＝则g'(x)＝
当00，则g(x)在(0，1)上单调递增，
因为0所以g(x1)指对同构的常用形式
(1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f(x)＝xex；
②同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f(x)＝xln x；
③取对构造形式：a＋ln a≤ln b＋ln(ln b)(a>0，b>1)，构造函数f(x)＝x＋ln x.
指对同构法的理解
题型二
(2)商型：≤一般有三种同构方式：
①同左构造形式：≤构造函数f(x)＝；
②同右构造形式：≤构造函数f(x)＝；
③取对构造形式：a－ln a≤ln b－ln(ln b)(a>0，b>1)，构造函数f(x)＝x－ln x.
(3)和、差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式：
①同左构造形式：ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)＝ex±x；
②同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)＝x±ln x.
例2　(1)(多选)若ea＋a>b＋ln b(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是
A.a>ln b B.aC.ea>b D.ea√
√
方法一　由ea＋a>b＋ln b，可得ea＋a>eln b＋ln b，
令f(x)＝ex＋x，则f(a)>f(ln b)，
因为f(x)在R上是增函数，
所以a>ln b，即ea>b.
方法二　由ea＋a>b＋ln b，可得ea＋ln ea>b＋ln b，
令g(x)＝x＋ln x，则g(ea)>g(b)，
因为g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以ea>b，即a>ln b.
(2)(2025·宜春模拟)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于a的方程aea－2＝e4和关于b的方程b(ln b－2)＝e3λ－1(a>0，b>e2)可化为同构方程，则ab的值为　　　.
e8
对aea－2＝e4两边取自然对数，
得ln a＋a＝6， ①
对b(ln b－2)＝e3λ－1两边取自然对数，
得ln b＋ln(ln b－2)＝3λ－1，
即ln b－2＋ln(ln b－2)＝3λ－3， ②
因为方程①②为两个同构方程，
所以3λ－3＝6，解得λ＝3，
设F(x)＝ln x＋x且x>0，则F'(x)＝＋1>0，
所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，故F(x)＝6的解只有一个，
所以a＝ln b－2，
则ab＝b(ln b－2)＝e3×3－1＝e8.
利用恒等式x＝ln ex和x＝eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究.
思维升华
跟踪训练2　(多选)对不等式ax＋eax>ln(bx)＋bx进行指对同构时，可以构造的函数是
A.f(x)＝ln x＋x B.f(x)＝xln x
C.f(x)＝x＋ex D.f(x)＝
√
√
由恒等式x＝ln ex可得ax＝ln eax，
所以ax＋eax>ln(bx)＋bx可变形为
ln eax＋eax>ln(bx)＋bx，
构造函数f(x)＝ln x＋x，
可得f(eax)>f(bx).
同理，由恒等式x＝eln x可得bx＝eln(bx)，
所以ax＋eax>ln(bx)＋bx可变形为ax＋eax>ln(bx)＋eln(bx)，
构造函数f(x)＝x＋ex，可得f(ax)>f(ln(bx)).
例3　(1)设实数k>0，对于任意的x>1，不等式kekx≥ln x恒成立，则k的最
小值为　　　.
同构法的应用
题型三
由kekx≥ln x得kxekx≥xln x，
即kxekx≥eln x·ln x，
令f(x)＝xex，则f(kx)≥f(ln x).
因为f'(x)＝(x＋1)ex，
所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，
因为kx>0，ln x>0，
所以kx≥ln x，即k≥
令h(x)＝(x>1)，则h'(x)＝
当x∈(1，e)时，h'(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
所以h(x)max＝h(e)＝即k≥
所以k的最小值为.
(2)(2025·衡阳模拟)已知m是方程xeex－2＋(e－1)ln x＝2的一个根，则＋(e－1)ln m等于
A.1 B.2 C.3 D.5
√
xeex－2＋(e－1)ln x＝2 eeln x＋x－2＋eln x＋x－2＝x＋ln x＝eln x＋ln x，
设f(t)＝et＋t，则f'(t)＝et＋1>0恒成立，故f(t)单调递增，
由f(eln x＋x－2)＝f(ln x)得eln x＋x－2＝ln x，即(e－1)ln x＝2－x.
因为m是方程xeex－2＋(e－1)ln x＝2的一个根，
所以(e－1)ln m＝2－m，
所以m＝
所以＋(e－1)ln m＝m＋(e－1)ln m＝m＋2－m＝2.
常见的同构函数有：①f(x)＝；②f(x)＝xln x；③f(x)＝xex；④f(x)＝.
其中①④可以借助②③可以借助xex＝(ln ex)ex＝(ln t)t＝tln t进行指对互化.
思维升华
跟踪训练3　(1)(2024·吕梁模拟)若关于x的不等式ea＋x·ln xA.(－∞，0] B.[－1，0]
C.[－1，＋∞) D.[0，＋∞)
√
由ea＋x·ln x可得<在(0，1)上恒成立，
即<在(0，1)上恒成立，
当a≥0时<0>0，
不等式<在(0，1)上显然成立；
当a<0时，令f(x)＝
则f(ln x)f'(x)＝当x∈(－∞，1)时，f'(x)>0，
所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，
又当x∈(0，1)时，ln x∈(－∞，0)，a＋x∈(－∞，1)，
所以只需ln x即a>ln x－x在(0，1)上恒成立.
令g(x)＝ln x－x，0则g'(x)＝>0，
即g(x)在(0，1)上单调递增，
其中g(1)＝ln 1－1＝－1，故a≥g(1)＝－1，
所以－1≤a<0.
综上，a≥－1.
(2)已知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若aea＋1＋b<
bln b，则
A.bea＋1
C.abe
√
由aea＋1＋b设f(x)＝xln x，可得f(ea)因为a>1，可得ea>e，
又因为b(ln b－1)>0，b>1，所以ln b>1，即b>e，所以>1，
易知当x>1时，f'(x)＝ln x＋1>0，可得函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以ea<即b>ea＋1.
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B BCD BCD [-e，0) 4
答案
1
2
3
4
5
6
7
(1)因为f(x)=aex-x，定义域为R，
所以f'(x)=aex-1，
当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，
故f'(x)=aex-1<0恒成立，
所以f(x)在R上单调递减；
当a>0时，令f'(x)=aex-1=0，
解得x=-ln a，
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
当x<-ln a时，f'(x)<0，则f(x)在(-∞，-ln a)上单调递减；
当x>-ln a时，f'(x)>0，则f(x)在(-ln a，+∞)上单调递增，
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f(x)在(-∞，-ln a)上单调递减，在(-ln a，+∞)上单调递增.
(2)因为f(x)=aex-x，
所以f(x)+x+ln a≥ln x等价于eln a+x+ln a+x≥ln x+x=eln x+ln x，
令g(x)=ex+x，上述不等式等价于g(ln a+x)≥g(ln x)，显然g(x)为增函数，
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
所以原不等式等价于ln a+x≥ln x，
即ln a≥ln x-x，
令h(x)=ln x-x，
则h'(x)=-1=
当x∈(0，1)时，h'(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(1，+∞)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
7.
答案
1
2
3
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5
6
7
所以h(x)max=h(1)=-1，
ln a≥-1=ln 即a≥
所以a的取值范围是.
7.
一、单项选择题
1.设x>0，y>0，若ex＋ln y>x＋y，则下列选项正确的是
A.x>y B.x>ln y
C.x√
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答案
1
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7
答案
不等式ex＋ln y>x＋y等价于
ex－x>y－ln y，
令f(x)＝ex－x，
则f(ln y)＝eln y－ln y＝y－ln y，
∴不等式ex－x>y－ln y等价于f(x)>f(ln y)，
∵f'(x)＝ex－1，
∴当x∈(0，＋∞)时，f'(x)>0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
∴若y∈(1，＋∞)，则ln y∈(0，＋∞)，
1
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7
答案
由f(x)>f(ln y)有x>ln y；
若y∈(0，1]，则ln y≤0，
由x>0，有x>ln y.
综上所述，x>ln y.
1
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7
答案
2.若关于x的不等式ex＋x＋ln ≥mx＋ln m恒成立，则实数m的最大值为
A.2 B.e C.3 D.e2
√
由题意得，m>0，x>0，
不等式等价于ex＋x≥mx＋ln(mx)恒成立，
即ex＋ln ex≥mx＋ln(mx)恒成立，
令f(x)＝x＋ln x，
则不等式转化为f(ex)≥f(mx)，
因为f'(x)＝1＋>0，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以ex≥mx，则≥m.
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答案
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7
答案
令g(x)＝x>0，
则g'(x)＝
则当01时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
所以当x＝1时，g(x)有最小值，
即g(x)min＝g(1)＝e，则m≤e，
则m的最大值为e.
二、多项选择题
3.(2025·邯郸模拟)已知a>0，b∈R，e是自然对数的底数，若b＋eb＝a＋
ln a，则a－b的值可以是
A.－1 B.1 C.2 D.3
√
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答案
√
√
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3
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6
7
设函数f(x)＝x＋ex，
则f(x)在R上是增函数，
所以b＋eb－(a＋ln a)＝b＋eb－(ln a＋eln a)＝f(b)－f(ln a)＝0，
所以b＝ln a，即a＝eb，所以a－b＝eb－b，
令g(x)＝ex－x，则g'(x)＝ex－1，
当x<0时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x>0时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)≥g(0)＝1，从而a－b≥1，结合选项，选项BCD符合题意.
答案
4.(2024·盐城模拟)若不等式ax－exln a<0在x∈[2，＋∞)上恒成立，则实数a的值可以为
A.3e B.2e C.e D.2
√
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7
答案
√
√
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6
7
答案
由题意得a>0，
由ax－exln a<0得<
设f(x)＝则f'(x)＝
当x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
又f(0)＝0，f(1)＝当x>0时，f(x)＝>0恒成立，
所以f(x)＝的图象如图所示，
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7
答案
<即f(x)对于A，当a＝3e时，ln a＝ln 3＋1>2，根据图象可得
f(x)对于B，当a＝2e时，ln a＝ln 2＋1∈(1，2)，根据图象可得f(x)对于C，当a＝e时，ln a＝1，根据图象可得f(x)1
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6
7
答案
对于D，当a＝2时，ln a＝ln 2，
又f(ln 2)＝ln 2，f(2)＝
因为3×ln 2－3×＝ln 2
且2>e，e2>6，即ln 2>1<1，
所以3×ln 2－3×＝ln 2>0，
即f(ln 2)>f(2)，
根据图象可得f(x)三、填空题
5.(2025·长春模拟)不等式xex＋≥0(a<0)对 x∈(1，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　.
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答案
[－e，0)
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7
由xex＋≥0可得
xex≥－＝－aln x·e－aln x，
令f(x)＝xex(x>0)，则f'(x)＝(x＋1)ex>0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为a<0，x∈(1，＋∞)，则－aln x>0，
则f(x)≥f(－aln x)，可得x≥－aln x，
即a≥－对 x∈(1，＋∞)恒成立，
答案
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7
令g(x)＝x>1，
则g'(x)＝
由g'(x)＝0可得x＝e，故当1e时，g'(x)>0，
所以g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
所以g(x)min＝g(e)＝e，
得a≥＝－e，
又a<0，所以－e≤a<0.
答案
6.(2025·渭南模拟)已知实数x1，x2满足ln x2＝则x1＝　　.
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答案
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7
由
可得x1＝4，故x1>0，
由ln x2＝可得ln ＝4，
可得·ln ＝4，故ln >0，
令f(x)＝xex，则f(x1)＝f(ln )，
f'(x)＝(x＋1)ex，
当x>0时，f'(x)>0，
答案
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7
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增.
由f(x1)＝f(ln )得x1＝ln
所以
因为x1＝4，所以x1＝4.
答案
四、解答题
7.(2024·咸阳模拟)已知函数f(x)＝aex－x.
(1)讨论f(x)的单调性；
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答案
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答案
因为f(x)＝aex－x，定义域为R，所以f'(x)＝aex－1，
当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，故f'(x)＝aex－1<0恒成立，
所以f(x)在R上单调递减；
当a>0时，令f'(x)＝aex－1＝0，解得x＝－ln a，
当x<－ln a时，f'(x)<0，则f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减；
当x>－ln a时，f'(x)>0，则f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增，
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增.
(2)若f(x)＋x＋ln a≥ln x，求实数a的取值范围.
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答案
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答案
因为f(x)＝aex－x，
所以f(x)＋x＋ln a≥ln x等价于eln a＋x＋ln a＋x≥ln x＋x＝eln x＋ln x，
令g(x)＝ex＋x，上述不等式等价于g(ln a＋x)≥g(ln x)，显然g(x)为增函数，
所以原不等式等价于ln a＋x≥ln x，
即ln a≥ln x－x，
令h(x)＝ln x－x，则h'(x)＝－1＝
当x∈(0，1)时，h'(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
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答案
所以h(x)max＝h(1)＝－1，
ln a≥－1＝ln 即a≥
所以a的取值范围是.

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