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进阶篇　不等式证明方法
进阶1　指对放缩
分值：34分
1.(17分)已知函数f(x)=ex.
(1)讨论函数g(x)=f(ax)-x-a的单调性；(8分)
(2)证明：f(x)+ln x+>.(9分)
2.(17分)已知函数f(x)=ex-1-x-ax2.
(1)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(8分)
(2)若x>0，证明：(ex-1)ln(x+1)>x2.(9分)
答案精析
1.(1)解　g(x)=f(ax)-x-a=eax-x-a，g'(x)=aeax-1，
①若a≤0，g'(x)<0，g(x)在R上单调递减.
②若a>0，当x<-ln a时，g'(x)<0，g(x)单调递减；
当x>-ln a时，g'(x)>0，g(x)单调递增.
综上，当a≤0时，g(x)在R上单调递减；当a>0时，g(x)在上单调递减，在上单调递增.
(2)证明　要证f(x)+ln x+>
只需证x(ln x+ex)-4+3>0，x>0，
由(1)可知，当a=1时，ex-x-1≥0，
即ex≥x+1，等号成立的充要条件为x=0.
当x+1>0时，上式两边取以e为底的对数，
可得ln(x+1)≤x(x>-1)，
用x-1代替x可得ln x≤x-1(x>0)，
又可得ln≤-1(x>0)，
所以ln x≥1-(x>0)，
等号成立的充要条件为x=1.
所以x(ln x+ex)-4+3
>x+3-4
=x2+2x+2-4=(x+1)2-4+1≥(2)2-4+1
=(2-1)2≥0，
从而不等式f(x)+ln x+>成立.
2.(1)解　由条件得f'(x)=ex-1-2ax，
令h(x)=ex-1-2ax，
则h'(x)=ex-2a.
①当2a≤1，即a≤时，在[0，+∞)上，h'(x)≥0，h(x)单调递增，
∴h(x)≥h(0)，即f'(x)≥f'(0)=0，
∴f(x)在[0，+∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(0)=0，
∴当a≤时满足条件；
②当2a>1，即a>时，令h'(x)=0，
解得x=ln 2a，在[0，ln 2a)上，h'(x)<0，h(x)单调递减，
∴当x∈(0，ln 2a)时，
有h(x)即f'(x)∴f(x)在(0，ln 2a)上单调递减，
∴f(x)综上，实数a的取值范围为.
(2)证明　由(1)得，
当a=且x>0时，
ex>1+x+
即ex-1>x+=
要证不等式(ex-1)ln(x+1)>x2，
只需证明ex-1>
只需证明>
只需证ln(x+1)>
设F(x)=ln(x+1)-
则F'(x)=-
=
∴当x>0时，F'(x)>0恒成立，
故F(x)在(0，+∞)上单调递增，
又F(0)=0，
∴当x>0时，F(x)>0恒成立.
∴原不等式成立.进阶篇　不等式证明方法
进阶1　指对放缩
切线放缩证明不等式是一种常用的方法，它可以解决许多数学问题，常见的有指对切线放缩，使用切线放缩可以深入理解数学的本质.
题型一　指对切线放缩
常见的指对切线放缩
例1　证明不等式：ex-ln(x+2)>0.
思维升华　指对同时出现时，一般求导难以解决，常见的方法有隐零点、同构、放缩等.
跟踪训练1　当x>0时，证明：ex2-xln x题型二　指对增强放缩
1.与ex相关的增强放缩
(1)ex≥x+1ex≥1+x+(x≥0)ex=1++++…++o(xn)(泰勒展开式).
(2)ex≥exex≥ex+(x-1)2(x≥0).
(3)通过变换得到的其他不等式
把ex≥x+1中的x换成ln x，可得ln x≤x-1.
把ex≥x+1中的x换成x-1，可得ex≥ex.
把ex≥x+1中的x换成-x，可得e-x≥-x+1，取倒数后可得ex≤(x<1).
把ex≥x+1中的x换成x+ln x，可得ex+ln x=xex≥x+ln x+1(朗博同构).
2.与ln x相关的增强放缩
(1)ln x≤x-1ln(x+1)≤xln x≥1-ln(x+1)=x-+-+…+(-1)n+o(xn+1)(泰勒展开式).
(2)ln x≤.
(3)飘带不等式：≤ln x≤，x≥1.
(4)通过变换得到的其他不等式
把ln x≤x-1中的x换成ex，可得ex≥x+1.
把ln x≤x-1中的x换成，可得ln x≤.
把ln x≤x-1中的x换成x+1，可得ln(x+1)≤x.
把ln(x+1)≤x中的x换成，可得ln(n+1)-ln n<.
把ln(x+1)≤x中的x换成-，可得ln(n+1)-ln n>.
例2　证明：ex+≥2-ln x+x2+(e-2)x.
思维升华　在利用ex≥x+1或ex≥ex进行切线放缩时，不等号右侧的增长速度比左侧的快，显然不成立，此时选用增强版的曲线放缩.
跟踪训练2　证明：对任意x>0，不等式ex+x2-(e+1)x+>2成立.
答案精析
例1　证明　要证ex-ln(x+2)>0，
即证ex>ln(x+2)，
又ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立，
令t=x+2，则ln(x+2)=ln t≤t-1=x+1，
即ln(x+2)≤x+1，当且仅当x=-1时等号成立，
故ex≥x+1≥ln(x+2)，等号成立的条件不一致，则ex>ln(x+2)，结论得证.
跟踪训练1　证明　要证当x>0时，ex2-xln x只需证ex-ln x下证-ln x≤，
即证ln≤，
令t=，即证ln t≤t.
显然成立，且等号成立的条件是t=e，
即x=.
又ex≤ex，当且仅当x=1时等号成立，
由不等式的基本性质及等号成立的条件不一致得原不等式成立.
例2　证明　由题意知x>0，因为ex≥ex+(x-1)2，
所以要证ex+≥2-ln x+x2+(e-2)x成立，
只需证ex+(x-1)2+≥2-ln x+x2+(e-2)x，
即证ln≤-1，
令t=，即证ln t≤t-1，显然成立.
结论得证.
跟踪训练2　证明　因为ex≥ex，
所以只需证ex+x2-(e+1)x+>2成立，
即证x2-x+>2成立，
即证x2-2x+1+x+-1>2成立，
即证(x-1)2+>3成立，
由基本不等式得x+≥2，当且仅当x=时等号成立，
而2>3，(x-1)2≥0，故原不等式成立，
结论得证.(共35张PPT)
第三章　
进阶篇　不等式证明方法
数学
大
一
轮
复
习
指对放缩
进阶1
切线放缩证明不等式是一种常用的方法，它可以解决许多数学问题，常见的有指对切线放缩，使用切线放缩可以深入理解数学的本质.
常见的指对切线放缩
指对切线放缩
题型一
例1　证明不等式：ex－ln(x＋2)>0.
要证ex－ln(x＋2)>0，
即证ex>ln(x＋2)，
又ex≥x＋1，当且仅当x＝0时等号成立，
令t＝x＋2，则ln(x＋2)＝ln t≤t－1＝x＋1，
即ln(x＋2)≤x＋1，当且仅当x＝－1时等号成立，
故ex≥x＋1≥ln(x＋2)，等号成立的条件不一致，则ex>ln(x＋2)，结论得证.
指对同时出现时，一般求导难以解决，常见的方法有隐零点、同构、放缩等.
思维升华
跟踪训练1　当x>0时，证明：ex2－xln x要证当x>0时，ex2－xln x只需证ex－ln x下证－ln x≤
即证ln≤
令t＝即证ln t≤t.
显然成立，且等号成立的条件是t＝e，
即x＝.
又ex≤ex，当且仅当x＝1时等号成立，
由不等式的基本性质及等号成立的条件不一致得原不等式成立.
1.与ex相关的增强放缩
(1)ex≥x＋1　　　　ex≥1＋x＋(x≥0)　　　　ex＝1＋
＋…＋＋o(xn)(泰勒展开式).
(2)ex≥ex　　　　ex≥ex
＋(x－1)2(x≥0).
指对增强放缩
题型二
(3)通过变换得到的其他不等式
把ex≥x＋1中的x换成ln x，可得ln x≤x－1.
把ex≥x＋1中的x换成x－1，可得ex≥ex.
把ex≥x＋1中的x换成－x，可得e－x≥－x＋1，取倒数后可得ex≤(x<1).
把ex≥x＋1中的x换成x＋ln x，可得ex＋ln x＝xex≥x＋ln x＋1(朗博同构).
2.与ln x相关的增强放缩
(1)ln x≤x－1　　　　ln(x＋1)≤x　　　　ln x≥1－　　　　ln(x＋1)
＝x－＋…＋(－1)n＋o(xn＋1)(泰勒展开式).
(2)ln x≤.
(3)飘带不等式：≤ln x≤x≥1.
(4)通过变换得到的其他不等式
把ln x≤x－1中的x换成ex，可得ex≥x＋1.
把ln x≤x－1中的x换成可得ln x≤.
把ln x≤x－1中的x换成x＋1，可得ln(x＋1)≤x.
把ln(x＋1)≤x中的x换成可得ln(n＋1)－ln n<.
把ln(x＋1)≤x中的x换成－可得ln(n＋1)－ln n>.
例2　证明：ex＋≥2－ln x＋x2＋(e－2)x.
由题意知x>0，因为ex≥ex＋(x－1)2，
所以要证ex＋≥2－ln x＋x2＋(e－2)x成立，
只需证ex＋(x－1)2＋≥2－ln x＋x2＋(e－2)x，
即证ln≤－1，
令t＝即证ln t≤t－1，显然成立.
结论得证.
在利用ex≥x＋1或ex≥ex进行切线放缩时，不等号右侧的增长速度比左侧的快，显然不成立，此时选用增强版的曲线放缩.
思维升华
跟踪训练2　证明：对任意x>0，不等式ex＋x2－(e＋1)x＋>2成立.
因为ex≥ex，所以只需证ex＋x2－(e＋1)x＋>2成立，
即证x2－x＋>2成立，
即证x2－2x＋1＋x＋－1>2成立，
即证(x－1)2＋>3成立，
由基本不等式得x＋≥2当且仅当x＝时等号成立，
而2>3，(x－1)2≥0，故原不等式成立，结论得证.
课时精练
答案
1
2
(1)g(x)=f(ax)-x-a=eax-x-a，g'(x)=aeax-1，
①若a≤0，g'(x)<0，g(x)在R上单调递减.
②若a>0，当x<-ln a时，g'(x)<0，g(x)单调递减；
当x>-ln a时，g'(x)>0，g(x)单调递增.
综上，当a≤0时，g(x)在R上单调递减；
当a>0时，g(x)在上单调递减，在上单调
递增.
1.
答案
1
2
(2)要证f(x)+ln x+>
只需证x(ln x+ex)-4+3>0，x>0，
由(1)可知，当a=1时，ex-x-1≥0，
即ex≥x+1，等号成立的充要条件为x=0.
当x+1>0时，上式两边取以e为底的对数，
可得ln(x+1)≤x(x>-1)，
用x-1代替x可得ln x≤x-1(x>0)，
1.
答案
1
2
又可得ln≤-1(x>0)，所以ln x≥1-(x>0)，
等号成立的充要条件为x=1.
所以x(ln x+ex)-4+3>x+3-4
=x2+2x+2-4=(x+1)2-4+1≥(2)2-4+1
=(2-1)2≥0，
从而不等式f(x)+ln x+>成立.
1.
答案
1
2
(1)由条件得f'(x)=ex-1-2ax，
令h(x)=ex-1-2ax，
则h'(x)=ex-2a.
①当2a≤1，即a≤时，在[0，+∞)上，h'(x)≥0，h(x)单调递增，
∴h(x)≥h(0)，即f'(x)≥f'(0)=0，
∴f(x)在[0，+∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(0)=0，∴当a≤时满足条件；
2.
答案
1
2
②当2a>1，即a>时，令h'(x)=0，
解得x=ln 2a，在[0，ln 2a)上，h'(x)<0，h(x)单调递减，
∴当x∈(0，ln 2a)时，
有h(x)∴f(x)在(0，ln 2a)上单调递减，
∴f(x)综上，实数a的取值范围为.
2.
答案
1
2
(2)由(1)得，当a=且x>0时，ex>1+x+
即ex-1>x+=
要证不等式(ex-1)ln(x+1)>x2，
只需证明ex-1>
只需证明>
2.
答案
1
2
只需证ln(x+1)>
设F(x)=ln(x+1)-
则F'(x)=-=
∴当x>0时，F'(x)>0恒成立，
故F(x)在(0，+∞)上单调递增，又F(0)=0，
∴当x>0时，F(x)>0恒成立.
∴原不等式成立.
2.
1.已知函数f(x)＝ex.
(1)讨论函数g(x)＝f(ax)－x－a的单调性；
1
2
答案
1
2
答案
g(x)＝f(ax)－x－a＝eax－x－a，g'(x)＝aeax－1，
①若a≤0，g'(x)<0，g(x)在R上单调递减.
②若a>0，当x<－ln a时，g'(x)<0，g(x)单调递减；
当x>－ln a时，g'(x)>0，g(x)单调递增.
综上，当a≤0时，g(x)在R上单调递减；
当a>0时，g(x)在上单调递减，在上单调递增.
(2)证明：f(x)＋ln x＋>.
1
2
答案
1
2
答案
要证f(x)＋ln x＋>
只需证x(ln x＋ex)－4＋3>0，x>0，
由(1)可知，当a＝1时，ex－x－1≥0，
即ex≥x＋1，等号成立的充要条件为x＝0.
当x＋1>0时，上式两边取以e为底的对数，
可得ln(x＋1)≤x(x>－1)，
用x－1代替x可得ln x≤x－1(x>0)，
又可得ln≤－1(x>0)，
1
2
答案
所以ln x≥1－(x>0)，
等号成立的充要条件为x＝1.
所以x(ln x＋ex)－4＋3>x＋3－4
＝x2＋2x＋2－4＝(x＋1)2－4＋1
≥(2)2－4＋1
＝(2－1)2≥0，
从而不等式f(x)＋ln x＋>成立.
1
2
答案
2.已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2.
(1)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
1
2
答案
由条件得f'(x)＝ex－1－2ax，
令h(x)＝ex－1－2ax，则h'(x)＝ex－2a.
①当2a≤1，即a≤时，在[0，＋∞)上，h'(x)≥0，h(x)单调递增，
∴h(x)≥h(0)，即f'(x)≥f'(0)＝0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(0)＝0，
∴当a≤时满足条件；
1
2
答案
②当2a>1，即a>时，令h'(x)＝0，解得x＝ln 2a，在[0，ln 2a)上，h'(x)<0，h(x)单调递减，
∴当x∈(0，ln 2a)时，有h(x)即f'(x)∴f(x)在(0，ln 2a)上单调递减，
∴f(x)综上，实数a的取值范围为.
1
2
答案
(2)若x>0，证明：(ex－1)ln(x＋1)>x2.
1
2
答案
由(1)得，当a＝且x>0时，ex>1＋x＋
即ex－1>x＋
要证不等式(ex－1)ln(x＋1)>x2，
只需证明ex－1>
只需证明>
只需证ln(x＋1)>
1
2
答案
设F(x)＝ln(x＋1)－
则F'(x)＝
∴当x>0时，F'(x)>0恒成立，
故F(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又F(0)＝0，
∴当x>0时，F(x)>0恒成立.
∴原不等式成立.

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