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第十章　§10.1　计数原理与排列组合
分值：83分
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2024·徐州模拟)甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有(　　)
A.18种 B.48种 C.108种 D.192种
2.已知A，B两个公司承包6项工程，每项工程均被承包且至多被一个公司承包，每个公司至少承包2项，则承包方式共有(　　)
A.24种 B.70种 C.48种 D.50种
3.身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个矮，则这样的排法种数是(　　)
A.5 040 B.36 C.18 D.20
4.(2025·南京模拟)北京大兴国际机场拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题.现有3辆不同的车停放在7个并排的泊车位上，要求4个空位必须相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有　　　　　　种(　　)
A.16 B.18 C.24 D.32
5.将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的情况种数是(　　)
A.10 B.20 C.18 D.40
6.有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是(　　)
A.90 B.150 C.390 D.420
7.(2024·南通模拟)把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为(　　)
A.70 B.99 C.110 D.165
8.某同学计划用他姓名的首字母T，X，身份证的后4位数字(4位数字都不同)以及3个符号α，β，θ设置一个六位的密码.若T，X必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母的相对顺序和数字的相对顺序不变，则他可设置的密码的种数为(　　)
A.864 B.1 009
C.1 225 D.1 441
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.下列说法正确的是(　　　　)
A.已知=100(n∈N*，n≥2)，则n=13
B.已知=，则x=5
C.4个人排成一排，则甲不站首尾的排法有12种
D.甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法
10.有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，下列说法正确的是(　　　　)
A.若5位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种
B.若5位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C.若甲、乙、丙3位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种
D.若5位同学被分配到3个社区参加志愿活动，每个社区至少1位同学，则不同的分配方案有150种
11.定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以=.现有2个女生，4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则(　　　　)
A.共有种排法
B.若两名女生相邻，则有2种排法
C.若两名女生不相邻，共有4种排法
D.若男生甲位置固定，则有5种排法
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.某员工在开办公室四位数的数字密码门时，发现按键“3”“6”“9”上有清晰的指纹印，若该密码确实由“3”“6”“9”这三个数字组成，则该密码有　　　　　种可能.(用数字作答)
13.10人的身高各不相同，排成前后两排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有　　　　　种排法.
14.A，B，C，D，E，F同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D必须相邻，这样的排队方法有　　　　　种.
每小题5分，共10分
15.“四平方和定理”最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.“四平方和定理”的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数11=32+12+12+02.设36=a2+b2+c2+d2，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是(　　)
A.26 B.28 C.29 D.30
16.(2024·深圳模拟)三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练(不能传给自己)，由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有(　　)
A.6种 B.10种
C.11种 D.12种
答案精析
1.D　2.D
3.D　[最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有=20(种).]
4.C　[从7个车位里选择4个相邻的车位，共有4种方式，停放的3个车辆，有=6(种)方式，则不同的泊车方案有4×6=24(种).]
5.C　[将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的情况共有=18(种).]
6.C　[若5人中有且仅有3人被录用，满足条件的录用情况有=60(种)，
若5人中有且仅有4人被录用，满足条件的录用情况有··=180(种)，
若5人都被录用，满足条件的录用情况有·+·=150(种)，
综上，符合要求的不同的录用情况种数是60+180+150=390.]
7.D　[当8个相同的篮球只分给其中1人时，有4种分法；
当8个相同的篮球分给其中的2人时，先从4人里面选出2人，再将8个相同的篮球排成一排，从形成的7个空里面选出1个空插入1个“隔板”即可，此时有=42(种)分法；
当8个相同的篮球分给其中的3人时，先从4人里面选出3人，再将8个相同的篮球排成一排，从形成的7个空里面选出2个空插入2个“隔板”即可，此时有=84(种)分法；
当8个相同的篮球分给4人时，每人至少一个，此时将8个相同的篮球排成一排，从形成的7个空里面选出3个空插入3个“隔板”即可，此时有=35(种)分法.
因此把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人时，不同的分发种数为4+42+84+35=165.]
8.D　[①当符号的个数为0时，六位密码由字母T，X及身份证的后4位数字组成，此时只有1种情况；
②当符号的个数为1时，六位密码由字母T，X，3个数字及1个符号组成.
若末位是符号，则首位是字母T，可能的种数为=48；
若末位是字母X，则可能的种数为=96；
③当符号的个数为2时，六位密码由字母T，X，2个数字及2个符号组成.
若首位和末位均为符号，则可能的种数为=216；
若首位和末位均为字母，则可能的种数为=216；
若首位和末位一个是字母、一个是符号，则可能的种数为+)=864.
故他可设置的密码的种数为1+48+96+216+216+864=1 441.]
9.ACD　[由2n(2n-1)(2n-2)=100n(n-1)，且n≥2，解得n=13，故A正确；
由x+2=2x-5或x+2+2x-5=12，解得x=7或x=5，故B错误；
先排甲，有2种排法，再排其余3人，有种排法，故满足条件的排法有2=12(种)，故C正确；
先排丙、丁两人，有种排法，出现3个空，再排甲、乙两人，有种排法，故满足条件的排法有=12(种)，故D正确.]
10.BCD　[对于A，甲、乙相邻可看作一人，与戊一起排列形成3个空，插入丙、丁两人即可，不同的排法种数为=24，故A错误；
若甲排最左端，则有=24(种)排法，若乙排最左端，则最右端有3人可选，中间三人有=6(种)排法，即3×6=18(种)排法，故满足条件的不同的排法共有24+18=42(种)，故B正确；
五个位置，先排丁、戊两人，有=20(种)排法，余下三个位置甲、乙、丙三人按从左到右就1种排法，故满足条件的不同排法有20种，故C正确；
五人分三组，有3，1，1或2，2，1两种分配方法，若分为3，1，1三组，则有=60(种)方法，若分为2，2，1三组，则有·=90(种)方法，故满足条件的不同排法有60+90=150(种)，故D正确.]
11.ABD　[现有2个女生，4个男生共6名同学围坐成一圈，共有=(种)排法，A选项正确；
若两名女生相邻，则有=2(种)排法，B选项正确；
若两名女生不相邻，共有=12(种)排法，C选项错误；
若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的顺、逆时针排列，则有=5(种)排法，D选项正确.]
12.36
解析　依题意可知，密码由“3”“6”“9”三个数字组成，
所以四位数密码中有两个位置是同一数字，将这两个位置捆绑，再将3，6，9三个数字全排列，
所以该密码有=36(种)可能.
13.252
解析　由题意可知，每排5人，身高定序，选出5人即按序排好，
第一步，先定前排，
从10人中选5人按身高排好，有=252(种)排法，
第二步，再定后排，
前排选定后，余下5人在后排且定序排好，只有1种排法.
由分步乘法计数原理得，共有252×1=252(种)排法.
14.72
解析　分三步：
第一步，先将除A，B，C三人的其余三人进行排序，有种方法；
第二步，第一步排好后有4个空位，因为A和D必须相邻，所以A只能插入与D相邻的两个空位，有2种方法；
第三步，将B，C插入剩余三个空位，有种方法.
由分步乘法计数原理得，共有×2×=72(种)排队方法.
15.C　[满足36=a2+b2+c2+d2的自然数a，b，c，d有四组，分别是：6，0，0，0；5，3，1，1；4，4，2，0；3，3，3，3，那么有序数组(a，b，c，d)有+++1=29(个).]
16.B　[设在第n(n≥2，n∈N*)次传球后有an种情况球在丙手中，即经过n次传球后球又被传回给丙，在前n次传球中，每次传球都有2种可能，故在前n次传球中共有2n种传球方法，故在第n次传球后，球不在丙手中的情况有(2n-an)种，即球在甲或乙手中，只有在这些情况时，在第n+1次传球后，球才会被传回给丙，即an+1=2n-an，由题意可得a2=2，则a3=22-a2=2，a4=23-a3=6，a5=24-a4=16-6=10.]§10.1　计数原理与排列组合
课标要求　1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.理解排列、组合的概念.3.能利用计数原理、排列组合解决简单的实际问题.
1.两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=　　　　　种不同的方法.
(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=　　　　　种不同的方法.
2.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照　　　　　　　排成一列
组合 作为一组
3.排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有　　　　　　　　的个数，用符号　　　　　表示.
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有　　　　　　　　的个数，用符号　　　　　表示.
4.排列数、组合数的公式及性质
公 式 (1)=　　　　　　　　　　　　　　　　=　　　　　　　　(n，m∈N*，且m≤n). (2)==　　　　　　　　　(n，m∈N*，且m≤n).
性 质 (1)0！=　　　　；=　　　　. (2)=1；=；=　　　　　　　　.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同.(　　)
(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(　　)
(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(　　)
(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(　　)
2.从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有　　　　　　种选法(　　)
A.11 B.12 C.30 D.36
3.(多选)下列结论正确的是(　　)
A.3×4×5= B.+=
C.若=，则x=3 D.+++=64
4.由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有　　　　　　条.
1.元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.
2.(1)排列数与组合数之间的联系为=.
(2)排列数与组合数公式的两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数与组合数式子的变形与论证.
3.解有条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
4.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
题型一　计数原理
例1　(1)用3种不同颜色给如图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有　　　　种不同的涂色方案(　　)
A.243 B.32
C.48 D.1 280
(2)如图，在某海岸P的附近有三个岛屿Q，R，S，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥直线连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有(　　)
A.24种 B.20种
C.16种 D.12种
思维升华　完成一件事的方法种数的计算步骤
(1)审清题意，弄清要完成的事件是怎样的.
(2)分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一种.
(3)弄清在每一类或每一步中的方法种数.
(4)根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算出完成这件事的方法种数.
跟踪训练1　(1)(2024·成都模拟)某高中运动会设有8个项目，甲、乙两名学生每人随机选取3个项目报名参加，则至少选中2个相同项目的报名方法有(　　)
A.420种 B.840种
C.476种 D.896种
(2)如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为1~8号.若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有(　　)
A.68种 B.136种
C.272种 D.544种
题型二　排列、组合问题
例2　(1)甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法有(　　)
A.27种 B.18种
C.36种 D.48种
(2)某单位开展联欢活动，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖和鼓励奖共五种奖项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖项介于丁和戊之间”.根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是(　　)
A.15 B.18
C.22 D.26
思维升华　排列问题和组合问题的区分方法
(1)排列问题：若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.
(2)组合问题：若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.
跟踪训练2　(1)(2025·德阳模拟)甲、乙等6名数学竞赛国家集训队队员站成一排合影，若甲、乙两名同学中间恰有1人，则不同的站法数为(　　)
A.144 B.192 C.360 D.480
(2)某学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则两个小组不同的分配方案有(　　)
A.20种 B.40种 C.60种 D.80种
题型三　排列、组合的综合问题
命题点1　相邻、相间问题
例3　(多选)某产品的加工过程有甲、乙、丙、丁、戊5道不同的工序，现将5道工序按不同的顺序安排流程，则下列说法正确的是(　　)
A.如果甲工序不能放在第一道，共有96种加工顺序
B.如果甲、乙两道工序必须相邻，共有12种加工顺序
C.如果甲、丙两道工序必须不相邻，共有72种加工顺序
D.如果乙、丙两道工序必须乙在前，丙在后，共有40种加工顺序
命题点2　定序问题
例4　花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法种数为　　　　　　.
命题点3　分组、分配问题
例5　第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛于2024年7月16~22日在重庆市育才中学成功举办.在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5名新教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名新教师参加.若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有(　　)
A.108种 B.114种
C.150种 D.240种
思维升华　求解排列组合问题的6种主要方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反、等价转化
跟踪训练3　(1)8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，则所有可能的分组方案数量是(　　)
A.28 B.2 520 C.105 D.128
(2)(多选)(2024·揭阳模拟)身高各不相同的六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，则说法正确的是(　　)
A.A，C，D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B.A与C同学不相邻，共有种站法
C.A，C，D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D.A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
递推数列在计数原理中的应用
在计数原理中，当计数的基数较大时，用枚举法会显得非常困难.如果问题带有明显的递推特征，把此类计数问题的基数从有限个且数目很少推广到n个，运用数列知识建立递推关系，经过推广就可以解决这类计数问题.
典例　(1)有A1，A2，…，A6共六个人，他们的座位分别为B1，B2，…，B6，现在求每一个人坐一个座位，且都不坐自己座位，则共有　　　种不同的坐法(　　)
A.9 B.16
C.44 D.265
(2)如图，一个环形的大会场被分成了n个区域，现有k种不同颜色的服装提供给n个区域的观众，要求同一区域的观众着装颜色相同，且相邻区域的观众着装颜色不同.当k＝5，n＝6时，共有　　　　　种不同的着装方法.
答案精析
落实主干知识
1.(1) m+n　(2)m×n
2.一定的顺序
3.(1)不同排列　　(2)不同组合　
4.n(n-1)(n-2)…(n-m+1)　　　1　n！　+
自主诊断
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　
2.C　3.AD　4.6
探究核心题型
例1　(1)C　[从左到右依次涂色，第一个圆环可以涂3种颜色，第二、三、四、五个圆环各可以涂2种颜色，共有3×2×2×2×2=48(种)不同的涂色方案.]
(2)D　[可分为两类：
第一类：从一个地方出发向其他三个地方各建一座桥，共有4种不同的连接方式；
第二类：一个地方最多建两座桥，其中建桥连接方式：P-S-R-Q和Q-R-S-P属于相同的建桥方法，所以共有=12(种)不同的连接方式，其中交叉建桥方法，例如P-R-S-Q，P-R-Q-S，R-P-S-Q，R-P-Q-S不符合题意，共有4种，
所以第二类建桥方法共有12-4=8(种)不同的连接方式.
综上可得，不同的连接方式有4+8=12(种).]
跟踪训练1　(1)D　[由题意可知，可以分两种情况：
第一种情况：所选取的3个项目中恰有2个相同项目，
第一步，在8个项目中选取2个，共有=28(种)，
第二步，甲在剩下的6个项目中选取1个，共有=6(种)，
第三步，乙在剩下的5个项目中选取1个，共有=5(种)，
由分步乘法计算原理可知，共有28×6×5=840(种)；
第二种情况：所选取的3个项目全部相同，
则有=56(种)；
由分类加法计数原理可知，满足要求的报名方法一共有840+56=896(种).]
(2)C　[根据题意，分2种情况讨论：
①甲乙放在同一排，
有=128(种)放法，
②甲乙不放在同一排，
有=144(种)放法，
则有128+144=272(种)不同的放法.]
例2　(1)A　[当甲选生物，乙不选生物时，甲、乙的选法有=9(种)；当甲不选生物，乙随便选时，甲、乙的选法有=18(种)，则甲、乙总的选法有9+18=27(种).]
(2)D　[甲是特等奖，不考虑丙的奖项有种；甲不是特等奖，不考虑丙的奖项有种；而丙奖项在丁和戊之间的情况占所以5人的奖项的所有可能的种数是+)=26.]
跟踪训练2　(1)B　[根据题意，分2步进行分析：
①在其他4人中，选出1人，安排在甲、乙中间，有=8(种)情况；
②将3人看成一个整体，与其余3人全排列，有=24(种)排法.
则有8×24=192(种)不同的站法.]
(2)C　[由题意可知两名男生必须分开在两组，则有1女1男为一组，余下的人为一组；
2女1男为一组，余下的人为一组；
3女1男为一组，余下的人为一组；
4女1男为一组，余下的人为一组；
所以两个小组不同的分配方法有+++)=60(种).]
例3　AC　[如果甲工序不能放在第一道，则甲有4种安排方式，根据分步乘法计数原理，共有=4×4×3×2×1=96(种)加工顺序，故A正确；
甲、乙两道工序相邻，将甲和乙捆绑为一道工序，和剩余3道工序放在一起排序，则共有=2×4×3×2×1=48(种)加工顺序，故B错误；
如果甲、丙两道工序不能相邻，则先安排剩余3道工序，在形成的4个空中，安排甲、丙，故共有=3×2×1×4×3=72(种)加工顺序，故C正确；
现将5道不同的工序全排列，再除以乙、丙两道工序的全排列，故共有==60(种)加工顺序，故D错误.]
例4　90
解析　由题意，取下6盏不同的花灯，
先对6盏不同的花灯进行全排列，共有种方法，
因为每次只取一盏花灯，而且只能从下往上取，
所以必须除去不符合题意的排列顺序，即先取上方的顺序，故不同取法种数为=90.
例5　B　[5名新教师按3∶1∶1分组有种方法，按2∶2∶1分组有种分法，因此5名新教师的安排方案有种，当甲、乙在同一组时，甲、乙可视为1个人，即相当于4名新教师的安排方案，有种，所以所求不同的安排方案有-=25×6-6×6=114(种).]
跟踪训练3　(1)C　[由题意8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，则所有可能的分组方案数量是==105.]
(2)ABD　[将A，C，D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有=120(种)站法，故A正确；
先排B，D，E，F，共有种站法，A与C同学插空站，有种站法，故共有种站法，故B正确；
将A，C，D三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种站法，捆绑后有种站法，故共有2×=48(种)站法，故C错误；
当A在排尾，B随意站时，则有=120(种)站法；当A不在排头也不在排尾时，有种站法，B有种站法，剩下的同学随意站有种站法，共有=384(种)站法，故A不在排头，B不在排尾，共有120+384=504(种)站法，故D正确.]
微拓展
典例　(1)D　[记n个人坐位子且自己不坐自己的座位的方法数构成一个数列{an}，易得a2=1，a3=2，
当n≥4时，首先，让A1选位，A1不选B1，则共有n-1种坐法，不妨设A1选了Bk(k≠1)，然后再让Ak选位，
①当Ak选B1时，则余下n-2个人和n-2个座位，共有an-2种坐法；
②当Ak不选B1时，则余下n-1个人都有一个不能选的座位，则共有an-1种坐法，
所以an=(n-1)(an-2+an-1)，
所以a4=3(a2+a3)=9，
a5=4(a3+a4)=44，
a6=5(a4+a5)=265.]
(2)4 100
解析　设提供k种颜色来给排成环形的n个区域涂色且相邻区域不同色，记方法数为fk(n)，
若先考虑给n个排成一行的区域涂色且相邻区域不同色，则方法数应为k·(k-1)n-1，
①若区域1和区域n不同色，则把区域1和区域n粘在一起成一个环状时满足条件；
②若区域1和区域n同色，则把区域1和区域n粘在一起成一个环状时不满足条件，此方法数需从k·(k-1)n-1种方法中减掉.
所以fk(n)=k·(k-1)n-1-fk(n-1)，
易得f5(3)==60，
所以f5(4)=5×(5-1)3-f5(3)=260，
所以f5(5)=5×(5-1)4-f5(4)=1 020，
所以f5(6)=5×(5-1)5-f5(5)=4 100.(共76张PPT)
第十章
§10.1　计数原理与排列组合
数学
大
一
轮
复
习
1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.
2.理解排列、组合的概念.
3.能利用计数原理、排列组合解决简单的实际问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法.
(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法.
m＋n
m×n
2.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照 排成一列
组合 作为一组
一定的顺序
3.排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，用符号 表示.
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，用符号 表示.
不同排列
不同组合
4.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)＝ ＝ (n，m∈N*，且m≤n).
(2) (n，m∈N*，且m≤n).
性质 (1)0！＝ ；＝ .
(2)＝1；； .
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
1
n！
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同.(　　)
(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(　　)
(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(　　)
(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(　　)
×
√
×
×
2.从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有　　　　种选法
A.11 B.12 C.30 D.36
√
6×(6－1)＝30.
3.(多选)下列结论正确的是
A.3×4×5＝ B.
C.若，则x＝3 D.＝64
√
＝5×4×3，故A正确；
＝2＝2×＝20，＝15，
故≠，故B错误；
，则x＝2x－2或x＋2x－2＝10，解得x＝2 或x＝4，故C错误；
＝1＋＋7＝64，故D正确.
√
4.由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有　　　条.
6
由题意可知，“兵”吃掉“马”的最短路线，需横走三步，竖走两步；其中能顺带吃掉“炮”的路线可分为两步：第一步，横走两步，竖走一步，有3种
走法；第二步，横走一步，竖走一步，有2种走法.故能顺带吃掉“炮”的可能路线共有3×2＝6(条).
1.元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.
2.(1)排列数与组合数之间的联系为.
(2)排列数与组合数公式的两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数与组合数式子的变形与论证.
3.解有条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
4.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)用3种不同颜色给如图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有_________种不同的涂色方案
A.243 B.32
C.48 D.1 280
√
计数原理
题型一
从左到右依次涂色，第一个圆环可以涂3种颜色，第二、三、四、五个圆环各可以涂2种颜色，共有3×2×2×2×2＝48(种)不同的涂色方案.
(2)如图，在某海岸P的附近有三个岛屿Q，R，S，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥直线连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有
A.24种 B.20种
C.16种 D.12种
√
可分为两类：
第一类：从一个地方出发向其他三个地方各建一座桥，
共有4种不同的连接方式；
第二类：一个地方最多建两座桥，其中建桥连接方式：P－S－R－Q和Q
－R－S－P属于相同的建桥方法，所以共有×＝12(种)不同的连接方
式，其中交叉建桥方法，例如P－R－S－Q，P－R－Q－S，R－P－S－Q，R－P－Q－S不符合题意，共有4种，
所以第二类建桥方法共有12－4＝8(种)不同的连接方式.
综上可得，不同的连接方式有4＋8＝12(种).
完成一件事的方法种数的计算步骤
(1)审清题意，弄清要完成的事件是怎样的.
(2)分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一种.
(3)弄清在每一类或每一步中的方法种数.
(4)根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算出完成这件事的方法种数.
思维升华
跟踪训练1　(1)(2024·成都模拟)某高中运动会设有8个项目，甲、乙两名学生每人随机选取3个项目报名参加，则至少选中2个相同项目的报名方法有
A.420种 B.840种
C.476种 D.896种
√
由题意可知，可以分两种情况：
第一种情况：所选取的3个项目中恰有2个相同项目，
第一步，在8个项目中选取2个，共有＝28(种)，
第二步，甲在剩下的6个项目中选取1个，共有＝6(种)，
第三步，乙在剩下的5个项目中选取1个，共有＝5(种)，
由分步乘法计算原理可知，共有28×6×5＝840(种)；
第二种情况：所选取的3个项目全部相同，则有＝56(种)；
由分类加法计数原理可知，满足要求的报名方法一共有840＋56＝896(种).
(2)如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为1~8号.若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有
A.68种 B.136种
C.272种 D.544种
√
根据题意，分2种情况讨论：
①甲乙放在同一排，有＝128(种)放法，
②甲乙不放在同一排，有＝144(种)放法，
则有128＋144＝272(种)不同的放法.
例2　(1)甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法有
A.27种 B.18种 C.36种 D.48种
排列、组合问题
题型二
当甲选生物，乙不选生物时，甲、乙的选法有＝9(种)；当甲不选生物，乙随便选时，甲、乙的选法有＝18(种)，则甲、乙总的选法有9＋18＝27(种).
√
(2)某单位开展联欢活动，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖和鼓励奖共五种奖项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖项介于丁和戊之间”.根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是
A.15 B.18 C.22 D.26
√
甲是特等奖，不考虑丙的奖项有种；甲不是特等奖，不考虑丙的奖项有种；而丙奖项在丁和戊之间的情况占，所以5人的奖项的所有可能的种数是)＝26.
排列问题和组合问题的区分方法
(1)排列问题：若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.
(2)组合问题：若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.
思维升华
跟踪训练2　(1)(2025·德阳模拟)甲、乙等6名数学竞赛国家集训队队员站成一排合影，若甲、乙两名同学中间恰有1人，则不同的站法数为
A.144 B.192 C.360 D.480
√
根据题意，分2步进行分析：
①在其他4人中，选出1人，安排在甲、乙中间，有＝8(种)情况；
②将3人看成一个整体，与其余3人全排列，有＝24(种)排法.
则有8×24＝192(种)不同的站法.
(2)某学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则两个小组不同的分配方案有
A.20种 B.40种 C.60种 D.80种
√
由题意可知两名男生必须分开在两组，则有1女1男为一组，余下的人为一组；
2女1男为一组，余下的人为一组；
3女1男为一组，余下的人为一组；
4女1男为一组，余下的人为一组；
所以两个小组不同的分配方法有)＝60(种).
命题点1　相邻、相间问题
例3　(多选)某产品的加工过程有甲、乙、丙、丁、戊5道不同的工序，现将5道工序按不同的顺序安排流程，则下列说法正确的是
A.如果甲工序不能放在第一道，共有96种加工顺序
B.如果甲、乙两道工序必须相邻，共有12种加工顺序
C.如果甲、丙两道工序必须不相邻，共有72种加工顺序
D.如果乙、丙两道工序必须乙在前，丙在后，共有40种加工顺序
√
排列、组合的综合问题
题型三
√
如果甲工序不能放在第一道，则甲有4种安排方式，根据分步乘法计数原理，共有＝4×4×3×2×1＝96(种)加工顺序，故A正确；
甲、乙两道工序相邻，将甲和乙捆绑为一道工序，和剩余3道工序放在一起排序，则共有＝2×4×3×2×1＝48(种)加工顺序，故B错误；
如果甲、丙两道工序不能相邻，则先安排剩余3道工序，在形成的4个空中，安排甲、丙，故共有＝3×2×1×4×3＝72(种)加工顺序，故C正确；
现将5道不同的工序全排列，再除以乙、丙两道工序的全排列，
故共有＝60(种)加工顺序，故D错误.
命题点2　定序问题
例4　花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法种数为　 　.
90
由题意，取下6盏不同的花灯，
先对6盏不同的花灯进行全排列，共有种方法，
因为每次只取一盏花灯，而且只能从下往上取，
所以必须除去不符合题意的排列顺序，
即先取上方的顺序，故不同取法种数为＝90.
命题点3　分组、分配问题
例5　第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛于2024年7月16~22日在重庆市育才中学成功举办.在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5名新教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名新教师参加.若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有
A.108种 B.114种 C.150种 D.240种
√
5名新教师按3∶1∶1分组有种方法，按2∶2∶1分组有种分法，因此5名新教师的安排方案有种，当甲、乙在同一组时，甲、
乙可视为1个人，即相当于4名新教师的安排方案，有种，所以所求
不同的安排方案有＝25×6－6×6＝114(种).
求解排列组合问题的6种主要方法
思维升华
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
思维升华
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反、等价转化
跟踪训练3　(1)8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，则所有可能的分组方案数量是
A.28 B.2 520 C.105 D.128
√
由题意8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，则所有可能的
分组方案数量是＝105.
(2)(多选)(2024·揭阳模拟)身高各不相同的六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，则说法正确的是
A.A，C，D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B.A与C同学不相邻，共有种站法
C.A，C，D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种
站法
D.A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
√
√
√
将A，C，D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有＝120(种)站法，
故A正确；
先排B，D，E，F，共有种站法，A与C同学插空站，有种站法，故共有种站法，故B正确；
将A，C，D三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种站法，捆绑后有种站法，故共有2×＝48(种)站法，故C错误；
当A在排尾，B随意站时，则有＝120(种)站法；当A不在排头也不在排尾时，有种站法，B有种站法，剩下的同学随意站有种站法，共有＝384(种)站法，故A不在排头，B不在排尾，共有120＋384＝504(种)站法，故D正确.
在计数原理中，当计数的基数较大时，用枚举法会显得非常困难.如果问题带有明显的递推特征，把此类计数问题的基数从有限个且数目很少推广到n个，运用数列知识建立递推关系，经过推广就可以解决这类计数问题.
递推数列在计数原理中的应用
微拓展
典例　(1)有A1，A2，…，A6共六个人，他们的座位分别为B1，B2，…，B6，现在求每一个人坐一个座位，且都不坐自己座位，则共有　 种不同的坐法
A.9 B.16 C.44 D.265
√
记n个人坐位子且自己不坐自己的座位的方法数构成一个数列{an}，易得a2＝1，a3＝2，
当n≥4时，首先，让A1选位，A1不选B1，则共有n－1种坐法，不妨设A1选了Bk(k≠1)，然后再让Ak选位，
①当Ak选B1时，则余下n－2个人和n－2个座位，共有an－2种坐法；
②当Ak不选B1时，则余下n－1个人都有一个不能选的座位，则共有an－1种坐法，
所以an＝(n－1)(an－2＋an－1)，
所以a4＝3(a2＋a3)＝9，a5＝4(a3＋a4)＝44，
a6＝5(a4＋a5)＝265.
(2)如图，一个环形的大会场被分成了n个区域，现有k种不同颜色的服装提供给n个区域的观众，要求同一区域的观众着装颜色相同，且相邻区域的观众着装颜色不同.当k＝5，n＝6时，共有　　　　种不同的着装方法.
4 100
设提供k种颜色来给排成环形的n个区域涂色且
相邻区域不同色，记方法数为fk(n)，
若先考虑给n个排成一行的区域涂色且相邻区域不同色，则方法数应为k·(k－1)n－1，
①若区域1和区域n不同色，则把区域1和区域n粘在一起成一个环状时满足条件；
②若区域1和区域n同色，则把区域1和区域n粘在一起成一个环状时不满足条件，此方法数需从k·(k－1)n－1种方法中减掉.
所以fk(n)＝k·(k－1)n－1－fk(n－1)，
返回
易得f5(3)＝＝60，
所以f5(4)＝5×(5－1)3－f5(3)＝260，
所以f5(5)＝5×(5－1)4－f5(4)＝1 020，
所以f5(6)＝5×(5－1)5－f5(5)＝4 100.
课时精练
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D D C C C D D
题号 9 10 11 12 13 14 15 16
答案 ACD BCD ABD 36 252 72 C B
答案
1
2
3
4
5
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7
8
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14
15
16
一、单项选择题
1.(2024·徐州模拟)甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有
A.18种 B.48种 C.108种 D.192种
√
1
2
3
4
5
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7
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16
知识过关
答案
1
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5
6
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15
16
答案
因为甲不去北京，应该分步完成：
第一步，甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个，有3种选法；
第二步，乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个，有4×4×4＝64(种)选法，
由分步乘法计数原理，可得不同选法有3×64＝192(种).
1
2
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14
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16
答案
2.已知A，B两个公司承包6项工程，每项工程均被承包且至多被一个公司承包，每个公司至少承包2项，则承包方式共有
A.24种 B.70种
C.48种 D.50种
√
1
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5
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16
答案
根据题意，分三种情况：
①A公司承包2项工程，剩余4项工程由B公司承包，则有＝15(种)承包方式；
②A公司承包3项工程，剩余3项工程由B公司承包，则有＝20(种)承包方式；
③A公司承包4项工程，剩余2项工程由B公司承包，则有＝15(种)承包方式.
所以承包方式共有15＋20＋15＝50(种).
3.身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个矮，则这样的排法种数是
A.5 040 B.36 C.18 D.20
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16
最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有＝20(种).
答案
4.(2025·南京模拟)北京大兴国际机场拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题.现有3辆不同的车停放在7个并排的泊车位上，要求4个空位必须相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有______种
A.16 B.18 C.24 D.32
√
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16
从7个车位里选择4个相邻的车位，共有4种方式，停放的3个车辆，有＝6(种)方式，则不同的泊车方案有4×6＝24(种).
答案
5.将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的情况种数是
A.10 B.20 C.18 D.40
√
1
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16
答案
将1个0，2个1，2个2随机排成一行，
则2个1不相邻的情况共有＝18(种).
6.有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是
A.90 B.150
C.390 D.420
√
1
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3
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5
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答案
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2
3
4
5
6
7
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15
16
若5人中有且仅有3人被录用，满足条件的录用情况有＝60(种)，
若5人中有且仅有4人被录用，满足条件的录用情况有··＝180(种)，
若5人都被录用，满足条件的录用情况有··＝150(种)，
综上，符合要求的不同的录用情况种数是60＋180＋150＝390.
答案
7.(2024·南通模拟)把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数为
A.70 B.99
C.110 D.165
1
2
3
4
5
6
7
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15
16
√
答案
当8个相同的篮球只分给其中1人时，有4种分法；
当8个相同的篮球分给其中的2人时，先从4人里面选出2人，再将8个相同的篮球排成一排，从形成的7个空里面选出1个空插入1个“隔板”即可，此时有＝42(种)分法；
当8个相同的篮球分给其中的3人时，先从4人里面选出3人，再将8个相同的篮球排成一排，从形成的7个空里面选出2个空插入2个“隔板”即可，此时有＝84(种)分法；
1
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16
答案
当8个相同的篮球分给4人时，每人至少一个，此时将8个相同的篮球排成一排，从形成的7个空里面选出3个空插入3个“隔板”即可，此时有＝35(种)分法.
因此把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人时，不同的分发种数为4＋42＋84＋35＝165.
1
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16
答案
8.某同学计划用他姓名的首字母T，X，身份证的后4位数字(4位数字都不同)以及3个符号α，β，θ设置一个六位的密码.若T，X必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母的相对顺序和数字的相对顺序不变，则他可设置的密码的种数为
A.864 B.1 009
C.1 225 D.1 441
√
1
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答案
1
2
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4
5
6
7
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15
16
①当符号的个数为0时，六位密码由字母T，X及身份证的后4位数字组成，此时只有1种情况；
②当符号的个数为1时，六位密码由字母T，X，3个数字及1个符号组成.
若末位是符号，则首位是字母T，可能的种数为＝48；
若末位是字母X，则可能的种数为＝96；
③当符号的个数为2时，六位密码由字母T，X，2个数字及2个符号组成.
若首位和末位均为符号，则可能的种数为＝216；
答案
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若首位和末位均为字母，则可能的种数为＝216；
若首位和末位一个是字母、一个是符号，
则可能的种数为)＝864.
故他可设置的密码的种数为1＋48＋96＋216＋216＋864＝1 441.
答案
二、多项选择题
9.下列说法正确的是
A.已知＝100(n∈N*，n≥2)，则n＝13
B.已知，则x＝5
C.4个人排成一排，则甲不站首尾的排法有12种
D.甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法
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答案
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答案
由2n(2n－1)(2n－2)＝100n(n－1)，且n≥2，解得n＝13，故A正确；
由x＋2＝2x－5或x＋2＋2x－5＝12，解得x＝7或x＝5，故B错误；
先排甲，有2种排法，再排其余3人，有种排法，故满足条件的排法有2＝12(种)，故C正确；
先排丙、丁两人，有种排法，出现3个空，再排甲、乙两人，有种排法，故满足条件的排法有＝12(种)，故D正确.
10.有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，下列说法正确的是
A.若5位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法
有12种
B.若5位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法
共有42种
C.若甲、乙、丙3位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种
D.若5位同学被分配到3个社区参加志愿活动，每个社区至少1位同学，则
不同的分配方案有150种
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答案
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对于A，甲、乙相邻可看作一人，与戊一起排列形成3个空，插入丙、丁两人即可，不同的排法种数为＝24，故A错误；
若甲排最左端，则有＝24(种)排法，若乙排最左端，则最右端有3人可选，中间三人有＝6(种)排法，即3×6＝18(种)排法，故满足条件的不同的排法共有24＋18＝42(种)，故B正确；
五个位置，先排丁、戊两人，有＝20(种)排法，余下三个位置甲、乙、丙三人按从左到右就1种排法，故满足条件的不同排法有20种，故C正确；
答案
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五人分三组，有3，1，1或2，2，1两种分配方法，若分为3，1，1三组，则有＝60(种)方法，若分为2，2，1三组，则有·＝90(种)方法，故满足条件的不同排法有60＋90＝150(种)，故D正确.
答案
11.定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常
的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以.现有2个女生，
4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则
A.共有种排法
B.若两名女生相邻，则有2种排法
C.若两名女生不相邻，共有4种排法
D.若男生甲位置固定，则有5种排法
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现有2个女生，4个男生共6名同学围坐成一圈，共有(种)排法，A
选项正确；
若两名女生相邻，则有＝2(种)排法，B选项正确；
若两名女生不相邻，共有＝12(种)排法，C选项错误；
若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的顺、逆时针排列，则有＝5(种)排法，D选项正确.
答案
三、填空题
12.某员工在开办公室四位数的数字密码门时，发现按键“3”
“6”“9”上有清晰的指纹印，若该密码确实由“3”“6”
“9”这三个数字组成，则该密码有　　种可能.(用数字作答)
36
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答案
依题意可知，密码由“3”“6”“9”三个数字组成，
所以四位数密码中有两个位置是同一数字，将这两个位置捆绑，再将3，6，9三个数字全排列，
所以该密码有＝36(种)可能.
13.10人的身高各不相同，排成前后两排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有　　　种排法.
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答案
252
由题意可知，每排5人，身高定序，选出5人即按序排好，
第一步，先定前排，
从10人中选5人按身高排好，有＝252(种)排法，
第二步，再定后排，
前排选定后，余下5人在后排且定序排好，只有1种排法.
由分步乘法计数原理得，共有252×1＝252(种)排法.
14.A，B，C，D，E，F同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D必须相邻，这样的排队方法有　　种.
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72
答案
分三步：
第一步，先将除A，B，C三人的其余三人进行排序，有种方法；
第二步，第一步排好后有4个空位，因为A和D必须相邻，所以A只能插入与D相邻的两个空位，有2种方法；
第三步，将B，C插入剩余三个空位，有种方法.
由分步乘法计数原理得，共有×2×＝72(种)排队方法.
15.“四平方和定理”最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.“四平方和定理”的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数11＝32＋12＋12＋02.设36＝a2＋b2＋c2＋d2，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是
A.26 B.28 C.29 D.30
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答案
能力拓展
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满足36＝a2＋b2＋c2＋d2的自然数a，b，c，d有四组，分别是：6，0，0，0；5，3，1，1；4，4，2，0；3，3，3，3，那么有序数组(a，b，c，d)有＋1＝29(个).
答案
16.(2024·深圳模拟)三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练(不能传给自己)，由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有
A.6种 B.10种 C.11种 D.12种
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答案
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设在第n(n≥2，n∈N*)次传球后有an种情况球在丙手中，即经过n次传球后球又被传回给丙，在前n次传球中，每次传球都有2种可能，故在前n次传球中共有2n种传球方法，故在第n次传球后，球不在丙手中的情况有(2n－an)种，即球在甲或乙手中，只有在这些情况时，在第n＋1次传球后，球才会被传回给丙，即an＋1＝2n－an，由题意可得a2＝2，则a3＝22－a2＝2，a4＝23－a3＝6，a5＝24－a4＝16－6＝10.
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