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§10.2　二项式定理
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.二项式的展开式中的系数是(　　)
A.-80 B.80 C.-10 D.10
2.若实数a=2-，则a12-2a11+22a10-…+212等于(　　)
A.-32 B.32 C.-64 D.64
3.(x-2y)(2x-y)5的展开式中的x3y3的系数为(　　)
A.-200 B.-120 C.120 D.200
4.(2024·南京模拟)的展开式中x3y3的系数为(　　)
A.30 B.-30 C.20 D.-20
5.已知(2x+3)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8，则a1+a2++++++等于(　　)
A.215 B.216 C.217 D.218
6.在的展开式中含x3项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的项是(　　)
A.第4项 B.第5项
C.第6项 D.第3项
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知展开式中各项二项式系数之和为128，则(　　　　)
A.n=7
B.展开式的各项系数之和是-1
C.展开式中第4项和第5项的二项式系数最大
D.展开式中无常数项
8.已知f(x)=(2x-m)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7，若a0+++…+=128，则下列说法正确的是(　　　　)
A.m=1
B.a3=160
C.f(3)除以6所得余数为5
D.a1-2a2+3a3-4a4+5a5-6a6+7a7=14
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·榆林模拟)已知二项式的展开式中存在常数项，则正整数n的一个可能的值为　　　　.
10.(x+2)(1-2x)5的展开式中x3的系数为　　　　　　.(用数字作答)
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为-1.
(1)求n和a的值；(3分)
(2)求展开式中x-4项的系数；(4分)
(3)求的展开式中的常数项.(6分)
12.(15分)已知(n∈N*).
(1)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求n的值；(3分)
(2)当n=6时，二项式的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，求a的值；(6分)
(3)当n=6，a=-2时，求二项式的展开式中系数最大的项.(6分)
每小题5分，共10分
13.已知(1+x)(n∈N*，n<10)的展开式中没有常数项，则n的最大值是(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
14.(2024·沈阳模拟)已知a=1.20.1，b=1.10.2，c=1.02，则下列大小关系正确(　　)
A.a>c>b B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a
答案精析
1.A　2.D　3.A
4.D　[从5个含有x2，-x，y的括号中，其中1个括号中取x2，1个括号中取-x，3个括号中取y，乘在一起构成x3y3这一项，这一项为·x2··(-x)··y3=-20x3y3，所以x3y3的系数为-20.]
5.D　[对(2x+3)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8两边求导，
得16(2x+3)7=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5+7a7x6+8a8x7.
令x=得a1+a2++++++=16×47=218.]
6.A　[由可得x>0，
当0则=
其展开式的通项为Tr+1=(-x)r=(-1)r
令=3，(-1)r=15，
解得n=6，r=4；
当x≥1时，x≥
则=
其展开式的通项为Tk+1
=xn-k=(-1)k
令n-=3，(-1)k=15，
解得n=6，k=2.
综上所述，n=6，所以展开式共有7项，展开式中二项式系数最大的项是第4项.]
7.ACD　[由题意可知2n=128，则n=7，故A正确；
令x=1，则=1，故B错误；
因为n=7，所以由二项式系数的性质可知中间两项系数最大，即第4，5项二项式系数最大，分别为故C正确；
展开式的通项为Tk+1=·(2x)7-k·=·27-k·(-1)k·x7-3k(k∈Z，0≤k≤7)，显然7-3k=0无整数解，故D正确.]
8.ACD　[令x=得f=(3-m)7=a0+++…+=128，所以m=1，所以A正确；
令x-1=t，所以(2t+1)7=a0+a1t+a2t2+…+a7t7，所以a3=23=280，所以B错误；
由A知f(x)=(2x-1)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7，所以f(3)=(6-1)7=·67-·66+·65-…+·6-所以f(3)除以6的余数为5，所以C正确；
由(2t+1)7=a0+a1t+a2t2+…+a7t7，
两边求导可得7(2t+1)6·2=a1+2a2t+…+7a7t6，
令t=-1，得a1-2a2+3a3-4a4+5a5-6a6+7a7=14，所以D正确.]
9.4(答案不唯一)
解析　二项式的展开式的通项为Tk+1==x3n-4k，要使展开式中存在常数项，只需3n-4k=0，0≤k≤n，k∈Z，n∈N*有解即可，则n可取4.
10.-120
解析　(1-2x)5的展开式的通项为Tk+1=·15-k(-2x)k，k=0，1，2，3，4，5，
当k=2时，T3=40x2，当k=3时，T4=·(-2x)3=-80x3，
(x+2)(1-2x)5=x(1-2x)5+2(1-2x)5，
故(x+2)(1-2x)5的展开式中x3的系数为40-2×80=-120.
11.解　(1)由已知条件可得
解得
(2)由(1)知
=.
∵的展开式的通项为
Tk+1=
=(-2)7-kx14-3k，k=0，1，2，…，7，
∴当14-3k=-4，即k=6时，x-4项的系数为×(-2)=-14.
(3)
=(2x-x-2)
=2x-x-2
∴①当14-3k=-1，即k=5时，
2x·(-2)2x-1=168；
②当14-3k=2，即k=4时，-x-2·(-2)3x2=280.
∴所求的常数项为168+280=448.
12.解　(1)展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，故n=8.
(2)当n=6时，二项式为
展开式的通项
Tk+1=x6-k
=(-a)k(k=0，1，…，6)，
令6-=3，得k=2，
所以A=a2=15a2，
令6-=0，得k=4，
所以B=a4=15a4，
又B=4A，解得a=0(舍去)或a=2或a=-2，
所以a=2或a=-2.
(3)当n=6，a=-2时，二项式为
展开式的通项Tk+1=x6-k=2k(k=0，1，…，6)，
设第k+1项系数最大，
则
即故k=4，
所以二项式的展开式中系数最大的项为T4+1=24=240.
13.B　[因为(1+x)
=x+(n∈N*，n<10)的展开式中没有常数项的展开式的通项为Tk+1=xn-k=xn-3k(k∈N，k≤n)，
①当的展开式中无x-1时，n-3k≠-1；
②当的展开式中无常数项时，n-3k≠0，
结合选项，只有B项同时满足上面两个条件.]
14.B　[因为b=1.10.2=(1.12)0.1=1.210.1，
又y=x0.1在(0，+∞)上单调递增，
所以1.20.1<1.210.1，即b>a；
又=1.21，
1.0210=(1+0.02)10=1+×0.02+×0.022+…+×0.0210
=1+0.2+0.018+…+×0.0210>1.218，
所以1.0210>
则1.02>1.210.1，即c>b.
所以c>b>a.]§10.2　二项式定理
课标要求　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理
二项式定理 (a+b)n=　　　　　　　　　　　　　　　　(n∈N*)
二项展开 式的通项 Tk+1=　　　　　　　　，它表示展开式的第　　　　项
二项式系数 　　　　　(k=0，1，…，n)
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数　　　　.
(2)增减性与最大值：
①当k<时，随k的增加而　　　　；由对称性知，当k>时，随k的增加而　　　　.
②当n是偶数时，中间的一项　　　　　　　取得最大值；当n是奇数时，中间的两项　　　　　　与　　　　　　相等，且同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和：(a+b)n的展开式的各二项式系数的和为+++…+=　　　　.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)an-kbk是(a+b)n的展开式中的第k项.(　　)
(2)(a+b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关.(　　)
(3)二项展开式中系数的最大项就是二项式系数的最大项.(　　)
(4)二项展开式项的系数是先增后减的.(　　)
2.的展开式中的常数项为(　　)
A.112 B.56 C.-56 D.-112
3.若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n等于(　　)
A.9 B.10 C.11 D.12
4.在二项式的展开式中二项式系数之和是32，则展开式中各项系数的和为　　　　.
1.二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k+1项.
2.牢记一个注意点：(a+b)n与(b+a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒.
3.理清二项式系数与项的系数的区别.
题型一　通项公式的应用
命题点1　形如(a+b)n(n∈N*)的展开式的特定项
例1　(1)(多选)关于的展开式中，下列结论错误的有(　　)
A.展开式中含项的系数为-128
B.第5项和第6项的二项式系数相等
C.展开式中的常数项是第7项
D.展开式中的有理项共三项
(2)已知二项式(a>0)的展开式中x2项的系数为84，则a的值为(　　)
A.1 B. C.2 D.
命题点2　形如(a+b)m(c+d)n(m，n∈N*)的展开式问题
例2　(1)(2024·西安模拟)(2x3-2)的展开式的常数项为(　　)
A.-288 B.-312 C.480 D.736
(2)已知(ax-1)(2x+1)6的展开式中x5的系数为48，则实数a等于(　　)
A.2 B.1 C.-1 D.-2
思维升华　(1)求二项展开式中的问题，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项即可.
(2)对于几个多项式积的展开式中的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
跟踪训练1　(1)(多选)已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为3∶14，则下列结论成立的是(　　)
A.n=10
B.展开式中的常数项为45
C.含x5的项的系数为210
D.展开式中的有理项有5项
(2)若的展开式中常数项是20，则m等于(　　)
A.-2 B.-3 C.2 D.3
题型二　二项式系数与项的系数的问题
命题点1　二项式系数和与系数和
例3　(1)(多选)已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，展开式中的所有项的二项式系数和为64，下列说法正确的是(　　)
A.n=8
B.a0=1
C.a3=-160
D.|a1|+|a2|+…+|an|=36-1
(2)(多选)已知(1-2x)2 025=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024+a2 025x2 025，则(　　)
A.展开式中二项式系数和为1
B.展开式中所有项的系数和为-1
C.+++…++=-1
D.a1+2a2+3a3+…+2 024a2 024+2 025a2 025=-4 050
命题点2　系数与二项式系数的最值
例4　(多选)关于的展开式，下列结论正确的是(　　)
A.二项式系数和为64
B.所有项的系数之和为2
C.第三项的二项式系数最大
D.系数的最大值为240
思维升华　(1)赋值法的应用
令g(x)=(a+bx)n，则(a+bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a+bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)+g(-1)]，(a+bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)-g(-1)].
(2)二项展开式系数最大项的求法
设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An+1，且第k项系数最大，应用从而解得k.
跟踪训练2　(1)(多选)(2025·临沂模拟)在的展开式中，下列说法正确的是(　　)
A.常数项是24
B.所有项的系数的和为1
C.第3项的二项式系数最大
D.第4项的系数最大
(2)(多选)已知(2x-5)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a9(x-2)9，则下列结论成立的是(　　)
A.a0+a1+…+a9=1
B.28a0+27a1+26a2+25a3+…+a8=256
C.a0-a1+a2-a3+…-a9=39
D.a1+2a2+3a3+…+9a9=18
题型三　二项式定理的综合应用
例5　(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 025+a能被13整除，则a等于(　　)
A.0 B.1
C.11 D.12
(2)用二项式定理估算1.0110=　　　　　.(精确到0.001)
思维升华　二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式(数)的因式.
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1+x)n≈1+nx.
跟踪训练3　(多选)下列说法正确的是(　　)
A.若(x-2)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则|a0|+|a1|+…+|a6|=729
B.若3n+3n-1+3n-2+…+=218，则++…+=512
C.0.988精确到0.01的近似值为0.85
D.22 024除以15的余数为3
答案精析
落实主干知识
1.an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn　an-kbk　k+1　
2.(1)相等　(2)①增大　减小
②　　　(3)2n
自主诊断
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　
2.A　3.D　4.-1
探究核心题型
例1　(1)AD　[二项式展开式的通项Tk+1==(-2)kx18-3k，k∈N，k≤9.由18-3k=-3，即k=7，得T8=(-2)7x-3，展开式中含项的系数为-128A错误；
展开式共10项，则第5项和第6项的二项式系数相等，B正确；
由18-3k=0，即k=6，得展开式中的常数项是第7项，C正确；
由18-3k为整数，k∈N，k≤9可知有理项共有10项，D错误.]
(2)A　[展开式的通项为Tk+1==a9-k·=a9-k(k=0，1，2，…，9)，令-=2，则k=3，∴a9-3=a6=84，解得a=±1，∵a>0，
∴a=1.]
例2　(1)A　[因为的展开式的通项Tk+1=(-2)k(0≤k≤8，k∈N)，
所以(2x3-2)的展开式的项为2x3(-2)k(0≤k≤8，k∈N)或-2(-2)k(0≤k≤8，k∈N)，
当k=2时，2x3(-2)k
=2x3x-3(-2)2=224，
当k=8时，-2(-2)k
=-2(-2)8=-512，
所以(2x3-2)的展开式的常数项为-512+224=-288.]
(2)B　[二项式(2x+1)6的展开式的通项Tk+1=(2x)6-k·1k=·26-k·x6-k.
(ax-1)(2x+1)6=ax(2x+1)6-(2x+1)6的展开式中，x5的系数为a·24-·25=15×16a-6×32=48，解得a=1.]
跟踪训练1　(1)ABC　[二项展开式的通项为Tk+1=x2n-2k(-1)k
=(-1)k
由于第3项与第5项的系数之比为3∶14，
则=
故=
得n2-5n-50=0，解得n=10(负值舍去)，故A正确；
则Tk+1=(-1)k
令20-=0，解得k=8，
则展开式中的常数项为(-1)8=45，故B正确；
令20-=5，解得k=6，
则含x5的项的系数为(-1)6=210，故C正确；
令20-∈Z，则k为偶数，
此时k=0，2，4，6，8，10，故有6项为有理项，故D错误.]
(2)D　[
=x+
的展开式的通项为Tk+1=x5-k=(-1)kx5-2k，
令5-2k=-1，解得k=3，
则x的展开式的常数项为-=-10，
令5-2k=1，解得k=2，
则的展开式的常数项为m=10m，
因为的展开式中常数项是20，所以10m-10=20，解得m=3.]
例3　(1)BCD　[因为展开式中的所有项的二项式系数和为64，所以2n=64，解得n=6，故A错误；
已知(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，令x=0，可得a0=1，故B正确；
因为(1-2x)6展开式的通项为Tk+1=(-2x)k，k∈{0，1，2，3，4，5，6}，所以a3x3=×(-2x)3=-160x3，所以a3=-160，故C正确；
由展开式的通项为Tk+1=(-2x)k，k∈{0，1，2，3，4，5，6}，所以a1，a3，a5<0，a0，a2，a4，a6>0，所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0-a1+a2-…+a6，令x=-1，可得a0-a1+a2-…+a6=36，所以|a1|+|a2|+…+|an|=36-1，故D正确.]
(2)BCD　[二项展开式中的二项式系数和为22 025，故A错误；
令x=1，可得(1-2)2 025=a0+a1+a2+…+a2 024+a2 025=-1，即展开式中所有项的系数和为-1，故B正确；
令x=0，可得a0=1，令x=可得=a0+++…++=0，所以+++…++=-1，故C正确；
将等式(1-2x)2 025=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024+a2 025x2 025两边同时求导可得，
2 025×(-2)×(1-2x)2 024=a1+2a2x+3a3x2+…+2 024a2 024x2 023+2 025a2 025x2 024，
再令x=1，可得a1+2a2+3a3+…+2 024a2 024+2 025a2 025=-4 050，故D正确.]
例4　AD　[由二项式系数和公式知的二项式系数和为26=64，故A正确；
令x=1，则的展开式所有项的系数之和为=1，故B错误；
易知的展开式共7项，所以二项式系数最大的项为第四项，故C错误；
的展开式通项为Tk+1=(2x)6-k·=26-k·(-1)k·x6-2k，k=0，1，2，3，4，5，6，
记f(k)=26-k·(-1)k，显然k取偶数时各项系数为正数，f(0)=26=64，f(2)=16×15=240，f(4)=4×15=60，f(6)=1，可知系数的最大值为240，故D正确.]
跟踪训练2　(1)ABC　[依题意=-+24-32x2+16x4.
常数项是24，A正确；
当x=1时，所有项系数的和为(1-2×1)4=1，B正确；
的展开式共5项，所以第3项的二项式系数最大，C正确；
展开式第4项的系数为-32，最小，D错误.]
(2)AD　[设x-2=t，原式为(2t-1)9=a0+a1t+a2t2+a3t3+…+a9t9，令t=1，a0+a1+…+a9=1，故A正确；
令t=则(1-1)9=a0++++…+等式两边同乘28得0=28a0+27a1+26a2+25a3+…+a8+又a9=29，所以28a0+27a1+26a2+25a3+…+a8=-=-28=-256，故B错误；
令t=-1，则(-3)9=a0-a1+a2-a3+…-a9，a0-a1+a2-a3+…-a9=-39，故C错误；
两边同时求导得18(2t-1)8=a1+2a2t+3a3t2+…+9a9t8，再令t=1，a1+2a2+3a3+…+9a9=18，故D正确.]
例5　(1)B　[因为a∈Z，且0≤a≤13，
所以512 025+a=(52-1)2 025+a
=·522 025-·522 024+·522 023-…+·52-+a，
因为512 025+a能被13整除，
所以-+a=-1+a能被13整除，
又0≤a≤13，
所以a=1.]
(2)1.105
解析　1.0110=(1+0.01)10=1+×0.01+×0.012+×0.013+…≈1+0.1+0.004 5=1.104 5≈1.105.
跟踪训练3　AC　[在(x-2)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6中，令x=-1，则|a0|+|a1|+…+|a6|=(-3)6=729，故A正确；
因为3n+3n-1+3n-2+…+=(3+1)n=4n=22n=218，所以n=9，所以++…+=(1+1)n-1=2n-1=29-1=511，故B错误；
0.988=(1-0.02)8=×(-0.02)0+×(-0.02)1+×(-0.02)2+…+×(-0.02)8，取展开式的前3项，则0.988精确到0.01的近似值为1-0.16+0.011 2=0.851 2≈0.85，故C正确；
22 024==(15+1)506=15506+15505+…+15+
=15(15505+15504+…+)+1，其中15505+15504+…+∈N，
所以15(15505+15504+…+)能被15整除，
所以22 024除以15的余数为1，故D错误.](共78张PPT)
第十章
§10.2　二项式定理
数学
大
一
轮
复
习
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝____________________________________
(n∈N*)
二项展开式的通项 Tk＋1＝ ，它表示展开式的第 项
二项式系数 (k＝0，1，…，n)
an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn
an－kbk
k＋1
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 .
(2)增减性与最大值：
①当k<时，随k的增加而 ；由对称性知，当k>时，随k
的增加而 .
②当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇数时，中间的两
项 与 相等，且同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为＋…＋＝ .
相等
增大
减小
2n
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)an－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项.(　　)
(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关.(　　)
(3)二项展开式中系数的最大项就是二项式系数的最大项.(　　)
(4)二项展开式项的系数是先增后减的.(　　)
×
√
×
×
2.的展开式中的常数项为
A.112 B.56 C.－56 D.－112
√
的展开式的通项Tk＋1＝(2x)8－k
＝(－1)k×28－k，
由8－＝0，得k＝6，
所以的展开式中的常数项为(－1)6×28－6×＝112.
3.若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n等于
A.9 B.10 C.11 D.12
√
由的展开式中只有第7项的二项式系数最大，得展开式共有13项，所以n＝12.
4.在二项式的展开式中二项式系数之和是32，则展开式中各项系数的和为　　　　.
因为二项式系数之和为2n＝32，所以n＝5.
令x＝1，可得各项系数的和为(1－2)5＝－1.
－1
1.二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项.
2.牢记一个注意点：(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒.
3.理清二项式系数与项的系数的区别.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
命题点1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
例1　(1)(多选)关于的展开式中，下列结论错误的有
A.展开式中含项的系数为－128
B.第5项和第6项的二项式系数相等
C.展开式中的常数项是第7项
D.展开式中的有理项共三项
√
通项公式的应用
题型一
√
二项式展开式的通项Tk＋1＝＝(－2)kx18－3k，k∈N，k≤9.由18－3k＝－3，即k＝7，得T8＝(－2)7x－3，展开式中含项的系数为－128，A错误；
展开式共10项，则第5项和第6项的二项式系数相等，B正确；
由18－3k＝0，即k＝6，得展开式中的常数项是第7项，C正确；
由18－3k为整数，k∈N，k≤9可知有理项共有10项，D错误.
(2)已知二项式(a>0)的展开式中x2项的系数为84，则a的值为
A.1 B. C.2 D.
√
展开式的通项为Tk＋1＝a9－k·
a9－k(k＝0，1，2，…，9)，
令＝2，则k＝3，
∴a9－3＝a6＝84，解得a＝±1，∵a>0，∴a＝1.
命题点2　形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式问题
例2　(1)(2024·西安模拟)(2x3－2)的展开式的常数项为
A.－288 B.－312
C.480 D.736
√
因为的展开式的通项Tk＋1＝(－2)k(0≤k≤8，k∈N)，
所以(2x3－2)的展开式的项为2x3(－2)k(0≤k≤8，k∈N)或－2(－2)k(0≤k≤8，k∈N)，
当k＝2时，2x3(－2)k＝2x3x－3(－2)2＝224，
当k＝8时，－2(－2)k＝－2(－2)8＝－512，
所以(2x3－2)的展开式的常数项为－512＋224＝－288.
(2)已知(ax－1)(2x＋1)6的展开式中x5的系数为48，则实数a等于
A.2 B.1 C.－1 D.－2
√
二项式(2x＋1)6的展开式的通项Tk＋1＝(2x)6－k·1k＝·26－k·x6－k.
(ax－1)(2x＋1)6＝ax(2x＋1)6－(2x＋1)6的展开式中，x5的系数为a·24－·25＝15×16a－6×32＝48，解得a＝1.
(1)求二项展开式中的问题，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可.
(2)对于几个多项式积的展开式中的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
思维升华
跟踪训练1　(1)(多选)已知的展开式中第3项与第5项的系数之
比为3∶14，则下列结论成立的是
A.n＝10
B.展开式中的常数项为45
C.含x5的项的系数为210
D.展开式中的有理项有5项
√
√
√
二项展开式的通项为
Tk＋1＝x2n－2k(－1)k＝(－1)k，
由于第3项与第5项的系数之比为3∶14，
则，故，
得n2－5n－50＝0，解得n＝10(负值舍去)，故A正确；
则Tk＋1＝(－1)k，
令20－＝0，解得k＝8，
则展开式中的常数项为(－1)8＝45，故B正确；
令20－＝5，解得k＝6，
则含x5的项的系数为(－1)6＝210，故C正确；
令20－∈Z，则k为偶数，
此时k＝0，2，4，6，8，10，故有6项为有理项，故D错误.
(2)若的展开式中常数项是20，则m等于
A.－2 B.－3
C.2 D.3
√
＝x，
的展开式的通项为Tk＋1＝x5－k(－1)kx5－2k，
令5－2k＝－1，解得k＝3，则x的展开式的常数项为－＝－10，
令5－2k＝1，解得k＝2，则的展开式的常数项为m＝10m，
因为的展开式中常数项是20，
所以10m－10＝20，解得m＝3.
命题点1　二项式系数和与系数和
例3　(1)(多选)已知(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，展开式中的所有项的二项式系数和为64，下列说法正确的是
A.n＝8 B.a0＝1
C.a3＝－160 D.|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝36－1
二项式系数与项的系数的问题
题型二
√
√
√
因为展开式中的所有项的二项式系数和为64，所以2n＝64，解得n＝6，故A错误；
已知(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，令x＝0，可得a0＝1，故B正确；
因为(1－2x)6展开式的通项为Tk＋1＝(－2x)k，k∈{0，1，2，3，4，5，6}，所以a3x3＝×(－2x)3＝－160x3，所以a3＝－160，故C正确；
由展开式的通项为Tk＋1＝(－2x)k，k∈{0，1，2，3，4，5，6}，所以a1，a3，a5<0，a0，a2，a4，a6>0，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝a0－a1＋a2－…＋a6，令x＝－1，可得a0－a1＋a2－…＋a6＝36，所以|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝36－1，故D正确.
(2)(多选)已知(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024＋a2 025x2 025，则
A.展开式中二项式系数和为1
B.展开式中所有项的系数和为－1
C.＋…＋＝－1
D.a1＋2a2＋3a3＋…＋2 024a2 024＋2 025a2 025＝－4 050
√
√
√
二项展开式中的二项式系数和为22 025，故A错误；
令x＝1，可得(1－2)2 025＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＋a2 025＝－1，即展开式中所有项的系数和为－1，故B正确；
令x＝0，可得a0＝1，令x＝，可得＝a0＋＋…＋＝0，所以＋…＋＝－1，故C正确；
将等式(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024＋a2 025x2 025两边同时求导可得，
2 025×(－2)×(1－2x)2 024＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 024a2 024x2 023＋2 025a2 025x2 024，
再令x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 024a2 024＋2 025a2 025＝－4 050，故D正确.
命题点2　系数与二项式系数的最值
例4　(多选)关于的展开式，下列结论正确的是
A.二项式系数和为64
B.所有项的系数之和为2
C.第三项的二项式系数最大
D.系数的最大值为240
√
√
由二项式系数和公式知的二项式系数和为26＝64，故A正确；
令x＝1，则的展开式所有项的系数之和为＝1，故
B错误；
易知的展开式共7项，所以二项式系数最大的项为第四项，故
C错误；
的展开式通项为Tk＋1＝(2x)6－k·＝26－k·(－1)k·x6－2k，
k＝0，1，2，3，4，5，6，
记f(k)＝26－k·(－1)k，显然k取偶数时各项系数为正数，f(0)＝26＝64，f(2)＝16×15＝240，f(4)＝4×15＝60，f(6)＝1，可知系数的最大值为240，故D正确.
(1)赋值法的应用
令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的
展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)].
(2)二项展开式系数最大项的求法
设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用
从而解得k.
思维升华
跟踪训练2　(1)(多选)(2025·临沂模拟)在的展开式中，下列说法正确的是
A.常数项是24 B.所有项的系数的和为1
C.第3项的二项式系数最大 D.第4项的系数最大
√
√
√
依题意，＋24－32x2＋16x4.
常数项是24，A正确；
当x＝1时，所有项系数的和为(1－2×1)4＝1，B正确；
的展开式共5项，所以第3项的二项式系数最大，C正确；
展开式第4项的系数为－32，最小，D错误.
(2)(多选)已知(2x－5)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a9(x－2)9，则下列结论成立的是
A.a0＋a1＋…＋a9＝1
B.28a0＋27a1＋26a2＋25a3＋…＋a8＝256
C.a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝39
D.a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝18
√
√
设x－2＝t，原式为(2t－1)9＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋…＋a9t9，令t＝1，a0＋a1＋…＋a9＝1，故A正确；
令t＝，则(1－1)9＝a0＋＋…＋，等式两边同乘28得0＝28a0＋27a1＋26a2＋25a3＋…＋a8＋，又a9＝29，所以28a0＋27a1＋26a2＋25a3＋…＋a8＝－＝－28＝－256，故B错误；
令t＝－1，则(－3)9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39，故C错误；
两边同时求导得18(2t－1)8＝a1＋2a2t＋3a3t2＋…＋9a9t8，再令t＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝18，故D正确.
例5　(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 025＋a能被13整除，则a等于
A.0 B.1
C.11 D.12
√
二项式定理的综合应用
题型三
因为a∈Z，且0≤a≤13，
所以512 025＋a＝(52－1)2 025＋a
＝·522 025－·522 024＋·522 023－…＋·52－＋a，
因为512 025＋a能被13整除，
所以－＋a＝－1＋a能被13整除，
又0≤a≤13，
所以a＝1.
(2)用二项式定理估算1.0110＝　　　　.(精确到0.001)
1.105
1.0110＝(1＋0.01)10＝1＋×0.01＋×0.012＋×0.013＋…≈1＋0.1＋0.004 5＝1.104 5≈1.105.
二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式(数)的因式.
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
思维升华
跟踪训练3　(多选)下列说法正确的是
A.若(x－2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋…＋|a6|＝729
B.若3n＋3n－1＋3n－2＋…＋＝218，则＋…＋＝512
C.0.988精确到0.01的近似值为0.85
D.22 024除以15的余数为3
√
√
在(x－2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6中，令x＝－1，则|a0|＋|a1|＋…＋|a6|＝(－3)6＝729，故A正确；
因为3n＋3n－1＋3n－2＋…＋＝(3＋1)n＝4n＝22n＝218，所以n＝9，所以＋…＋＝(1＋1)n－1＝2n－1＝29－1＝511，故B错误；
0.988＝(1－0.02)8＝×(－0.02)0＋×(－0.02)1＋×(－0.02)2＋…＋×(－0.02)8，取展开式的前3项，则0.988精确到0.01的近似值为1－0.16＋0.011 2＝0.851 2≈0.85，故C正确；
22 024＝＝(15＋1)506＝15506＋15505＋…＋15＋
＝15(15505＋15504＋…＋)＋1，
其中15505＋15504＋…＋∈N，
所以15(15505＋15504＋…＋)能被15整除，
所以22 024除以15的余数为1，故D错误.
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A D D A ACD ACD
题号 9 10 13 　14
答案 4(答案不唯一) －120 B 　B
答案
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(1)由已知条件可得
解得
(2)由(1)知.
∵的展开式的通项为
Tk＋1＝
＝(－2)7－kx14－3k，k＝0，1，2，…，7，
11.
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∴当14－3k＝－4，即k＝6时，x－4项的系数为×(－2)＝－14.
(3)
＝(2x－x－2)
＝2x－x－2，
∴①当14－3k＝－1，即k＝5时，
2x·(－2)2x－1＝168；
11.
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②当14－3k＝2，即k＝4时，－x－2·(－2)3x2＝280.
∴所求的常数项为168＋280＝448.
11.
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(1)展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，故n＝8.
(2)当n＝6时，二项式为，
展开式的通项Tk＋1＝x6－k＝(－a)k(k＝0，1，…，6)，
令6－＝3，得k＝2，所以A＝a2＝15a2，
令6－＝0，得k＝4，所以B＝a4＝15a4，
又B＝4A，解得a＝0(舍去)或a＝2或a＝－2，
所以a＝2或a＝－2.
12.
答案
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(3)当n＝6，a＝－2时，二项式为，
展开式的通项Tk＋1＝x6－k＝2k(k＝0，1，…，6)，
设第k＋1项系数最大，则
即故k＝4，
12.
答案
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所以二项式的展开式中系数最大的项为
T4＋1＝24＝240.
12.
一、单项选择题
1.二项式的展开式中的系数是
A.－80 B.80
C.－10 D.10
√
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知识过关
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答案
的展开式的通项
Tk＋1＝x5－k＝(－2)k··x5－2k，k＝0，1，2，3，4，5.
令5－2k＝－1，解得k＝3，
可得T4＝(－2)3·x－1＝－80x－1，
即的系数为－80.
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答案
2.若实数a＝2－，则a12－2a11＋22a10－…＋212等于
A.－32 B.32 C.－64 D.64
√
由题意可得a12－2a11＋22a10－…＋212＝(a－2)12＝＝64.
3.(x－2y)(2x－y)5的展开式中的x3y3的系数为
A.－200 B.－120 C.120 D.200
√
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(2x－y)5展开式的通项为Tk＋1＝(2x)5－k(－y)k＝25－kx5－k(－y)k，
当k＝3时，T4＝25－3x5－3(－y)3＝－40x2y3，此时只需乘第一个因式(x－2y)中的x即可，得到－40x3y3；
当k＝2时，T3＝25－2x5－2(－y)2＝80x3y2，此时只需乘第一个因式(x－2y)中的－2y即可，得到－160x3y3.
据此可得x3y3的系数为－40－160＝－200.
答案
4.(2024·南京模拟)的展开式中x3y3的系数为
A.30 B.－30 C.20 D.－20
√
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从5个含有x2，－x，y的括号中，其中1个括号中取x2，1个括号中取－x，3个括号中取y，乘在一起构成x3y3这一项，这一项为·x2··(－x)··y3＝－20x3y3，所以x3y3的系数为－20.
答案
5.已知(2x＋3)8＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7＋a8x8，则a1＋a2＋等于
A.215 B.216 C.217 D.218
√
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答案
对(2x＋3)8＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7＋a8x8两边求导，
得16(2x＋3)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4＋6a6x5＋7a7x6＋8a8x7.
令x＝，得a1＋a2＋＝16×47＝218.
6.在的展开式中含x3项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的项是
A.第4项 B.第5项
C.第6项 D.第3项
√
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答案
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由可得x>0，
当0其展开式的通项为Tr＋1＝(－x)r＝(－1)r，
令＝3，(－1)r＝15，
解得n＝6，r＝4；
当x≥1时，x≥，则，
答案
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14
其展开式的通项为Tk＋1＝xn－k＝(－1)k，
令n－＝3，(－1)k＝15，
解得n＝6，k＝2.
综上所述，n＝6，所以展开式共有7项，展开式中二项式系数最大的项是第4项.
答案
二、多项选择题
7.已知展开式中各项二项式系数之和为128，则
A.n＝7
B.展开式的各项系数之和是－1
C.展开式中第4项和第5项的二项式系数最大
D.展开式中无常数项
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√
答案
√
√
由题意可知2n＝128，则n＝7，故A正确；
令x＝1，则＝1，故B错误；
因为n＝7，所以由二项式系数的性质可知中间两项系数最大，即第4，5项二项式系数最大，分别为，，故C正确；
展开式的通项为Tk＋1＝·(2x)7－k··27－k·(－1)k·
x7－3k(k∈Z，0≤k≤7)，显然7－3k＝0无整数解，故D正确.
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答案
8.已知f(x)＝(2x－m)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a7(x－1)7，若a0＋＋…＋＝128，则下列说法正确的是
A.m＝1
B.a3＝160
C.f(3)除以6所得余数为5
D.a1－2a2＋3a3－4a4＋5a5－6a6＋7a7＝14
√
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答案
√
√
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令x＝，得f ＝(3－m)7＝a0＋＋…＋＝128，所以m＝1，所以A正确；
令x－1＝t，所以(2t＋1)7＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a7t7，所以a3＝23＝280，所以B错误；
由A知f(x)＝(2x－1)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a7(x－1)7，所以f(3)＝(6－1)7＝·67－·66＋·65－…＋·6－，所以f(3)除以6的余数为5，所以C正确；
由(2t＋1)7＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a7t7，
两边求导可得7(2t＋1)6·2＝a1＋2a2t＋…＋7a7t6，
令t＝－1，得a1－2a2＋3a3－4a4＋5a5－6a6＋7a7＝14，所以D正确.
答案
三、填空题
9.(2025·榆林模拟)已知二项式的展开式中存在常数项，则正整
数n的一个可能的值为　 　　.
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答案
4(答案不唯一)
二项式的展开式的通项为Tk＋1＝x3n－4k，
要使展开式中存在常数项，只需3n－4k＝0，0≤k≤n，k∈Z，n∈N*有解即可，则n可取4.
10.(x＋2)(1－2x)5的展开式中x3的系数为　　　　.(用数字作答)
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答案
－120
(1－2x)5的展开式的通项为Tk＋1＝·15－k(－2x)k，
k＝0，1，2，3，4，5，
当k＝2时，T3＝40x2，当k＝3时，T4＝·(－2x)3＝－80x3，
(x＋2)(1－2x)5＝x(1－2x)5＋2(1－2x)5，
故(x＋2)(1－2x)5的展开式中x3的系数为40－2×80＝－120.
四、解答题
11.已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和
为－1.
(1)求n和a的值；
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答案
由已知条件可得
解得
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答案
由(1)知.
∵的展开式的通项为
Tk＋1＝
＝(－2)7－kx14－3k，k＝0，1，2，…，7，
∴当14－3k＝－4，即k＝6时，x－4项的系数为×(－2)＝－14.
(2)求展开式中x－4项的系数；
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答案
＝(2x－x－2)
＝2x－x－2，
∴①当14－3k＝－1，即k＝5时，2x·(－2)2x－1＝168；
②当14－3k＝2，即k＝4时，－x－2·(－2)3x2＝280.
∴所求的常数项为168＋280＝448.
(3)求的展开式中的常数项.
12.已知(n∈N*).
(1)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求n的值；
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答案
展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，故n＝8.
(2)当n＝6时，二项式的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，求a的值；
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答案
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答案
当n＝6时，二项式为，
展开式的通项Tk＋1＝x6－k
＝(－a)k(k＝0，1，…，6)，
令6－＝3，得k＝2，所以A＝a2＝15a2，
令6－＝0，得k＝4，所以B＝a4＝15a4，
又B＝4A，解得a＝0(舍去)或a＝2或a＝－2，
所以a＝2或a＝－2.
(3)当n＝6，a＝－2时，求二项式的展开式中系数最大的项.
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答案
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答案
当n＝6，a＝－2时，二项式为，
展开式的通项Tk＋1＝x6－k＝2k(k＝0，1，…，6)，
设第k＋1项系数最大，则
即故k＝4，
所以二项式的展开式中系数最大的项为T4＋1＝24＝240.
13.已知(1＋x)(n∈N*，n<10)的展开式中没有常数项，则n的最
大值是
A.6 B.7 C.8 D.9
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答案
√
能力拓展
因为(1＋x)＝x(n∈N*，n<10)的展开式中没有常数项，的展开式的通项为Tk＋1＝xn－kxn－3k
(k∈N，k≤n)，
①当的展开式中无x－1时，n－3k≠－1；
②当的展开式中无常数项时，n－3k≠0，
结合选项，只有B项同时满足上面两个条件.
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答案
14.(2024·沈阳模拟)已知a＝1.20.1，b＝1.10.2，c＝1.02，则下列大小关系正确
A.a>c>b B.c>b>a
C.c>a>b D.b>c>a
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答案
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答案
因为b＝1.10.2＝(1.12)0.1＝1.210.1，
又y＝x0.1在(0，＋∞)上单调递增，
所以1.20.1<1.210.1，即b>a；
又＝1.21，
1.0210＝(1＋0.02)10＝1＋×0.02＋×0.022＋…＋×0.0210
＝1＋0.2＋0.018＋…＋×0.0210>1.218，
所以1.0210>，则1.02>1.210.1，即c>b.
所以c>b>a.
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