资源简介

§10.6　二项分布、超几何分布与正态分布
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知随机变量ξ~B，则P(ξ=2)等于(　　)
A. B. C. D.
2.若随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，P(X≤5)=0.55，则P(X<1)等于(　　)
A.0.45 B.0.55 C.0.1 D.0.9
3.数学老师从6道题中随机抽3道检测学生，规定至少要解答正确2道题才能及格.某学生只能正确求解其中的4道题，则该学生能及格的概率为(　　)
A. B. C. D.
4.数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动8次，则质点位于-2的位置的概率是(　　)
A. B.
C. D.
5.从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的数学期望为(　　)
A. B. C. D.2
6.泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛应用，泊松分布的概率分布列为P(X=k)=e-λ(k=0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值.若随机变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中λ=np，即X~B(n，p)，P(X=i)=(n∈N*).现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则正品率大于97%的概率约为
(　　)
A.99% B.97% C.92% D.74%
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.下列判断正确的是(　　　　)
A.若随机变量ξ服从0-1分布，且P(ξ=0)=0.35，则P(ξ=1)=0.7
B.若随机变量ξ~B，则D(ξ)=
C.若随机变量ξ~H(3，3，10)，则E(ξ)=0.9
D.若随机变量ξ~N(1，σ2)，P(ξ≤3)=0.8，则P(ξ<-1)=0.2
8.若随机变量X服从正态分布N(6，4)，且P(2A.P(7P(1B.E(2X+1)=13
C.P(4D.D(2X+1)=8
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·南通调研)已知随机变量X~N(4，42).若P(X<3)=0.3，则P(310.(2024·烟台模拟)甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用五局三胜制(当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束).根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是p(0四、解答题(共27分)
11.(13分)某公司在员工招聘面试环节准备了4道面试题，面试者按顺序提问，若每位被面试者答对两道题则通过面试，面试结束；若每位被面试者前三道题均答错，则不通过面试，面试结束.已知李明答对每道题的概率均为，且每道题是否答对相互独立.
(1)求李明没通过面试的概率；(5分)
(2)记李明所答题目的数量为X，求X的分布列和数学期望.(8分)
12.(14分)台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取了100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如表：
疏散时间t(最接近的时间，取整数)单位：小时 12 13 14 15 16 17 18
频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03
(1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间t的均值和方差；(6分)
(2)根据工作安排，需要在疏散时间超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设X为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求X的分布列.(8分)
13题5分，14题6分，共11分
13.设随机变量X~B(n，p)，记pk=pk(1-p)n-k，k=0，1，2，…，n，下列说法正确的是(　　)
A.当k由0增大到n时，pk先增后减，当且仅当k取某一个正整数时达到最大
B.如果(n+1)p为正整数，当且仅当k=(n+1)p时，pk取最大值
C.如果(n+1)p为非整数，当且仅当k取(n+1)p的整数部分时，pk取最大值
D.E(X)=np(1-p)
14.(多选)(2024·吕梁模拟)小明上学有时乘公交车，有时骑自行车.他各记录了100次乘公交车和骑自行车上学所用的时间，经数据分析得到：乘公交车平均用时20 min，样本标准差为6；骑自行车平均用时24 min，样本标准差为2.已知若随机变量ξ~N(μ，σ2)，则~N(0，1).假设小明乘公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则(　　　　)
A.X~N(20，6)
B.~N(0，1)
C.若某天有28 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车
D.若某天有25 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车
答案精析
1.C　2.A　3.A
4.D　[依题意此实验满足8重伯努利实验，设向左移动次数为X，则X~B从原点O出发，共移动8次，最后质点位于-2，则需向右移动3次，向左移动5次，所以质点位于-2的位置的概率为P(X=5)=.]
5.A　[抽到的女生人数X可能为0，1，2，3，
P(X=0)==
P(X=1)==
P(X=2)==
P(X=3)==
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.]
6.C　[由题意得n=100，p=0.01，泊松分布可作为二项分布的近似，
此时λ=100×0.01=1，
所以P(X=k)=e-1，
P(X=0)=e-1=
P(X=1)=e-1=
P(X=2)=e-1=
正品率大于97%的概率为P=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=++≈92%.]
7.BCD　[若ξ服从0-1分布，
则P(ξ=1)=1-P(ξ=0)=0.65，故A错误；
若随机变量ξ~B则D(ξ)=3×=故B正确；
若随机变量ξ~H(3，3，10)，则E(ξ)==0.9，故C正确；
若随机变量ξ~N(1，σ2)，P(ξ≤3)=0.8，则P(ξ<-1)=P(ξ>3)=1-0.8=0.2，故D正确.]
8.ABC　[随机变量X服从正态分布N(6，4)，则μ=6，σ=2，P(7P(1E(X)=μ=6，则E(2X+1)=2E(X)+1=13，B正确；
由P(2D(X)=σ2=4，则D(2X+1)=4D(X)=16，D错误.]
9.0.4　64
解析　由题意可知μ=4，σ=4，
即D(X)=16，
所以D(Y)=4D(X)=64，
因为3+5=2μ，且P(X<3)=0.3，
所以P(310.
解析　甲以3∶0获胜的概率为p1=p3，甲以3∶1获胜的概率为p2=p3(1-p)=3p3(1-p)，
由题意，p1≥p2，即p3≥3p3(1-p)，
解得p≥
所以p的取值范围为.
11.解　(1)李明没通过面试包含前3题有1题答对，第4题答错和前3题均答错两种情况，
故所求概率为+=.
(2)由题意得X的可能取值为2，3，4，则P(X=2)==
P(X=3)=+=
P(X=4)==.
故所求分布列为
X 2 3 4
P
所以E(X)=2×+3×+4×=.
12.解　(1)∵12×0.04+13×0.05+14×0.25+15×0.35+16×0.18+17×0.10+18×0.03=15，
∴估计这一地区居民点疏散所需时间t的均值为15，
∵(12-15)2×0.04+(13-15)2×0.05+(14-15)2×0.25+(15-15)2×0.35+(16-15)2×0.18+(17-15)2×0.10+(18-15)2×0.03=1.66，
∴估计这一地区居民点疏散所需时间t的方差为1.66.
(2)∵疏散时间为17小时，18小时两组的频率之比为10∶3，
∴在疏散时间超过16小时的13个居民点中，疏散时间为17小时的有10个，疏散时间为18小时的有3个，
再从这13个居民点中抽取5个，X为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，
X可取0，1，2，3.
P(X=0)==
P(X=1)==
P(X=2)==
P(X=3)==
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
13.C　[因为X~B(n，p)，pk=pk(1-p)n-k，k=0，1，2，…，n，
由
得
解得(n+1)p-1≤k≤(n+1)p，
若(n+1)p为正整数，则当k=(n+1)p或k=(n+1)p-1时，pk取最大值，故B错误；
若(n+1)p为非整数，则当k取(n+1)p的整数部分时，pk取最大值，故C正确；
综上所述，当k由0增大到n时，pk先增后减，在某一个(或两个)k值处达到最大，故A错误；
因为E(X)=np，故D错误.]
14.BCD　[根据题意知X~N(20，62)~N(0，1)，故A错误，B正确；
若有28 min可用，分别设随机变量X，Y的平均数和样本标准差为μX，μY，σX，σY，
则P(|Y-24|≤4)=P(|Y-μY|≤2σY)=P(|X-μX|≤2σX)=P(|X-20|≤12)>P(|X-20|≤8)，故P(X≤28)若有25 min可用，则
P(X≤25)=P
P(Y≤25)=P
因为~N(0，1)~N(0，1)，故P(X≤25)>P(Y≤25)，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车，故D正确.]§10.6　二项分布、超几何分布与正态分布
课标要求　1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.
1.二项分布
(1)伯努利试验
只包含　　　　可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为　　　　.
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作　　　　　　.
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)=　　　　，D(X)=　　　　　　.
②若X~B(n，p)，则E(X)=　　　　，D(X)=　　　　　　.
2.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=　　　　　　　　　，k=m，m+1，m+2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
3.正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为　　　　　.
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线　　　　对称；
②曲线在　　　　处达到峰值；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.
(3)3σ原则
①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7；
②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5；
③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X~N(μ，σ2)，则E(X)=　　　　，D(X)=　　　　.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两点分布是二项分布当n=1时的特殊情形.(　　)
(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布.(　　)
(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布.(　　)
(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”.(　　)
2.已知随机变量ξ~B(4，p)，若E(ξ)=2，则P(ξ=3)等于(　　)
A. B. C. D.
3.在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X=1)=　　　　.
4.已知随机变量X~N(μ，σ2)，若P(X<2)=0.2，P(X<3)=0.5，则P(X<4)的值为　　　　　　.
1.若X~N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为E(X)=μ，D(X)=σ2.
2.“恰好发生k次”与“有指定的k次发生”不同：恰好发生k次的概率P=pk(1-p)n-k，有指定的k次发生的概率P=pk(1-p)n-k(k=0，1，2，…，n).
3.“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.
4.超几何分布有时也记为 X~H(n，M，N)，其均值E(X)=，方差D(X)=.
题型一　二项分布
例1　(2024·大庆模拟)2024年7月12日，国家疾控局会同教育部、国家卫生健康委和体育总局制定并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为；而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.
(1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率；
(2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的分布列和数学期望.
思维升华　二项分布问题的解题关键
(1)定型：
①在每一次试验中，事件发生的概率相同.
②各次试验中的事件是相互独立的.
③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
(2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率.
跟踪训练1　某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了50名男生和50名女生，通过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进行体育活动.
(1)请补全2×2列联表，试根据小概率值α=0.05的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；
性别 体育活动 合计
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动
男
女
合计
(2)以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差.
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：χ2=，其中n=a+b+c+d.
题型二　超几何分布
例2　为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，A市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表：
经常应用 偶尔应用或者不应用 合计
农村 40
城市 60
合计 100 60 160
从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是.
(1)补全2×2列联表，根据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为智慧课堂的应用与区域有关？
(2)在经常应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取5个学校进行分析，然后再从这5个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有X个，求X的分布列和数学期望.
附：χ2=，其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.005
xα 2.706 3.841 7.879

思维升华　(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.
跟踪训练2　(2024·聊城模拟)随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下：
分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.
分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.
(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；
(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和数学期望.
题型三　正态分布
例3　(1)(多选)(2024·南京模拟)已知三个密度函数fi(x)=(x∈R，i=1，2，3)的图象如图所示，则(　　)
A.μ1=μ2>μ3
B.σ1=σ2<σ3
C.若X~N(1，)，P(X<2)=0.7，则P(0D.若X~N(μ2，)，Y~N(μ3，)，则存在实数x0，使得P(X(2)(多选)(2024·新课标全国Ⅰ)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(　　)
(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.841 3)
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
思维升华　解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴为x=μ.
(2)标准差为σ.
(3)分布区间.
利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.
跟踪训练3　(2024·洛阳质检)某教学研究机构从参加高考适应性考试的20 000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如图所示的频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200名考生数学成绩的平均数为=110.据此估计这20 000名优秀考生数学成绩的标准差s；
(2)根据以往经验，可以认为这20 000名优秀考生的数学成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中参数μ和σ可以分别用(1)中的和s来估计.记考生本次考试的各科总成绩为Y，若Y=5X-10，试估计这20 000名优秀考生中总成绩Y∈[600，660]的人数.
另：≈2.4；
若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5.
答案精析
落实主干知识
1.(1)两个　n重伯努利试验
(2)pk(1-p)n-k　X~B(n，p)
(3)①p　p(1-p)　②np　np(1-p)
2.
3.(1)X~N(μ，σ2)　(2)①x=μ
②x=μ　(4)μ　σ2
自主诊断
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　
2.B　3.　4.0.8
探究核心题型
例1　解　(1)设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件A，
则P(A)=P()=
设“学生肥胖”为事件B，则
P(B|A)=P(B|)=
由全概率公式可得P(B)
=P(B|A)P(A)+P(B|)P()
=+=
所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为.
(2)由题意可知，X~B且X的可能取值为0，1，2，3，则有
P(X=0)==
P(X=1)==
P(X=2)==
P(X=3)==
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的数学期望E(X)=3×=.
跟踪训练1　解　(1)依题意，列出2×2列联表如下：
性别 体育活动 合计
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动
男 30 20 50
女 40 10 50
合计 70 30 100
零假设为H0：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关.
因为χ2==≈4.762>3.841=x0.05，
根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
(2)由题意得，50名男生中课间经常进行体育活动的频率为=
所以在本校男生中随机抽取1人为课间经常进行体育活动者的概率为
由题意得X~B
则P(X=k)=k=0，1，2，3，4，
可得P(X=0)==
P(X=1)==
P(X=2)==
P(X=3)==
P(X=4)==
X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望为E(X)=np=4×=
X的方差为D(X)=np(1-p)=4×=.
例2　解　(1)设城市学校共有x所，
因为从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是
所以=
解得x=80，即城市学校有80所，
补全列联表如下：
经常应用 偶尔应用或者不应用 合计
农村 40 40 80
城市 60 20 80
合计 100 60 160
零假设为H0：智慧课堂的应用与区域无关，
χ2=
==
≈10.667>7.879，
所以根据小概率值α=0.005的独立性检验，可以认为智慧课堂的应用与区域有关.
(2)在经常应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2∶3，所以抽取的样本中有2个是农村学校，3个是城市学校，再从样本中抽取2个，则X的可能取值为0，1，2.
P(X=0)==
P(X=1)==
P(X=2)==.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=.
跟踪训练2　解　(1)将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94.
因为20×25%=5，
所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为=75.
(2)由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分；
分公司B中75分以下的有62分，70分，73分，
所以上述不满意的客户共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人.
所以X的所有可能取值为1，2，3.
P(X=1)==
P(X=2)==
P(X=3)==
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
X的数学期望
E(X)=1×+2×+3×=.
例3　(1)BCD　[根据正态曲线关于x=μ对称，且μ越大曲线越靠近右边，则μ1<μ2=μ3，故A错误；
又σ越小数据越集中，曲线越瘦高，则σ1=σ2<σ3，故B正确；
X~N(1)，P(X<2)=0.7，
则P(1若X~N(μ2)，Y~N(μ3)，μ2=μ3，则存在实数x0=μ2=μ3，使P(X(2)BC　[依题可知=2.1，s2=0.01，
所以Y~N(2.1，0.12)，
故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3，所以C正确，D错误；
因为X~N(1.8，0.12)，
所以P(X<1.8+0.1)≈0.841 3，
所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7，
而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)1.8+0.1)≈0.158 7，
所以B正确，A错误.]
跟踪训练3　解　(1)抽取的200名考生数学成绩的方差估计值为s2=(80-110)2×0.02+(90-110)2×0.09+(100-110)2×0.22+(110-110)2×0.33+(120-110)2×0.24+(130-110)2×0.08+(140-110)2×0.02=150.
故估计这20 000名考生数学成绩的方差为150，标准差s==5≈5×2.4=12.
(2)由(1)知μ可用=110来估计，σ2可用s2=150来估计.
故X~N(110，150).
σ==5≈12.
又P(μ+σ≤X≤μ+2σ)=
≈=0.135 9，
故P(122≤X≤134)≈0.135 9.
又Y=5X-10，
所以P(600≤Y≤660)
=P(600≤5X-10≤660)
=P(122≤X≤134)≈0.135 9.
故这20 000名优秀考生中总成绩在[600，660]的人数约为20 000×0.135 9=2 718.(共82张PPT)
第十章
§10.6　二项分布、超几何分布与正态分布
数学
大
一
轮
复
习
1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.
2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.二项分布
(1)伯努利试验
只包含 可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为 .
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(01)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝ ，k＝0，1，2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作 .
两个
n重伯努利试验
pk(1－p)n－k
X~B(n，p)
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝ ，D(X)＝ .
②若X~B(n，p)，则E(X)＝ ，D(X)＝ .
2.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝
k)＝ ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
p
p(1－p)
np
np(1－p)
3.正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，其中μ∈
R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为 .
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线 对称；
②曲线在 处达到峰值；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.
X~N(μ，σ2)
x＝μ
x＝μ
(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X~N(μ，σ2)，则E(X)＝ ，D(X)＝ .
μ
σ2
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形.(　　)
(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布.(　　)
(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布.(　　)
(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”.
(　　)
×
√
√
×
2.已知随机变量ξ~B(4，p)，若E(ξ)＝2，则P(ξ＝3)等于
A. B. C. D.
√
因为随机变量ξ~B(4，p)，
由E(ξ)＝2，得4p＝2，解得p＝，
所以P(ξ＝3)＝××.
3.在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则
P(X＝1)＝　　.
由题意得P(X＝1)＝.
4.已知随机变量X~N(μ，σ2)，若P(X<2)＝0.2，P(X<3)＝0.5，则P(X<4)的值为　　　.
因为X~N(μ，σ2)，P(X<3)＝0.5，
所以μ＝3，
所以P(X>4)＝P(X<2)＝0.2，
所以P(X<4)＝1－0.2＝0.8.
0.8
1.若X~N(μ，σ2)，则X的均值与方差分别为E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
2.“恰好发生k次”与“有指定的k次发生”不同：恰好发生k次的概率P＝pk(1－p)n－k，有指定的k次发生的概率P＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n).
3.“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.
4.超几何分布有时也记为 X~H(n，M，N)，其均值E(X)＝，方差D(X)＝.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(2024·大庆模拟)2024年7月12日，国家疾控局会同教育部、国家卫生健康委和体育总局制定并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计
结果如下：学校有的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为；而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.
(1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率；
二项分布
题型一
设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件A，
则P(A)＝，P()＝，
设“学生肥胖”为事件B，则P(B|A)＝，P(B|)＝，
由全概率公式可得P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝××，
所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为.
(2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的分布列和数学期望.
由题意可知，X~B，且X的可能取值为0，1，2，3，则有
P(X＝0)＝××，P(X＝1)＝××，
P(X＝2)＝××，P(X＝3)＝××，
所以X的分布列为
X的数学期望E(X)＝3×.
X 0 1 2 3
P
二项分布问题的解题关键
(1)定型：
①在每一次试验中，事件发生的概率相同.
②各次试验中的事件是相互独立的.
③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
(2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率.
思维升华
跟踪训练1　某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了50名男生和50名女生，通过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进行体育活动.
(1)请补全2×2列联表，试根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；
性别 体育活动 合计
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动
男
女
合计
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
依题意，列出2×2列联表如下：
零假设为H0：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关.
因为χ2＝≈4.762>3.841＝x0.05，
性别 体育活动 合计
课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动
男 30 20 50
女 40 10 50
合计 70 30 100
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
(2)以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差.
由题意得，50名男生中课间经常进行体育活动的频率为，
所以在本校男生中随机抽取1人为课间经常进行体育活动者的概率为，
由题意得X~B，
则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3，4，
可得P(X＝0)＝××，
P(X＝1)＝××，
P(X＝2)＝××，
P(X＝3)＝××，
P(X＝4)＝××，
X的分布列为
X的数学期望为E(X)＝np＝4×，
X的方差为D(X)＝np(1－p)＝4××.
X 0 1 2 3 4
P
例2　为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，A市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表：
超几何分布
题型二
经常应用 偶尔应用或者不应用 合计
农村 40
城市 60
合计 100 60 160
从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是.
(1)补全2×2列联表，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为智慧课堂的应用与区域有关？
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.005
xα 2.706 3.841 7.879
设城市学校共有x所，
因为从城市学校中任选一个学校，
偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是，
所以，
解得x＝80，即城市学校有80所，
补全列联表如下：
经常应用 偶尔应用或者不应用 合计
农村 40 40 80
城市 60 20 80
合计 100 60 160
零假设为H0：智慧课堂的应用与区域无关，
χ2＝
＝
≈10.667>7.879，
所以根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以认为智慧课堂的应用与区域有关.
(2)在经常应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取5个学校进行分析，然后再从这5个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有X个，求X的分布列和数学期望.
经常应用 偶尔应用或者不应用 合计
农村 40
城市 60
合计 100 60 160
在经常应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2∶3，所以抽取的样本中有2个是农村学校，3个是城市学校，再从样本中抽取2个，则X的可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝.
所以X的分布列为
X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×.
X 0 1 2
P
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.
思维升华
跟踪训练2　(2024·聊城模拟)随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下：
分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.
分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.
(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；
将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94.
因为20×25%＝5，
所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为＝75.
(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和数学期望.
由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分；
分公司B中75分以下的有62分，70分，73分，
所以上述不满意的客户共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人.
所以X的所有可能取值为1，2，3.
P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
所以X的分布列为
X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×.
X 1 2 3
P
例3　(1)(多选)(2024·南京模拟)已知三个密度函数fi(x)＝(x∈
R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则
A.μ1＝μ2>μ3
B.σ1＝σ2<σ3
C.若X~N(1，)，P(X<2)＝0.7，则P(0＝0.4
D.若X~N(μ2，)，Y~N(μ3，)，则存在实数x0，使得P(X正态分布
题型三
√
√
√
根据正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大曲线越
靠近右边，则μ1<μ2＝μ3，故A错误；
又σ越小数据越集中，曲线越瘦高，则σ1＝σ2
<σ3，故B正确；
X~N(1，)，P(X<2)＝0.7，则P(1若X~N(μ2，)，Y~N(μ3，)，μ2＝μ3，则存在实数x0＝μ2＝μ3，使P(X(2)(多选)(2024·新课标全国Ⅰ)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则
(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
√
√
依题可知，＝2.1，s2＝0.01，所以Y~N(2.1，0.12)，
故P(Y>2)＝P(Y>2.1－0.1)＝P(Y<2.1＋0.1)≈0.841 3，所以C正确，D错误；
因为X~N(1.8，0.12)，
所以P(X<1.8＋0.1)≈0.841 3，
所以P(X>1.8＋0.1)≈1－0.841 3＝0.158 7，
而P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)1.8＋0.1)≈0.158 7，
所以B正确，A错误.
解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴为x＝μ.
(2)标准差为σ.
(3)分布区间.
利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
思维升华
跟踪训练3　(2024·洛阳质检)某教学研究机构从参加高考适应性考试的20 000名优秀考生中随机抽取了200人对其数学成绩进行了整理分析，作出了如图所示的频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，同一组数据
用该组区间的中点值作代表，求得这
200名考生数学成绩的平均数为＝110.
据此估计这20 000名优秀考生数学成绩的标准差s；
另：≈2.4；若X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
抽取的200名考生数学成绩的方差估计值为s2＝(80－110)2×0.02＋(90－110)2×0.09＋(100－110)2×0.22＋(110－110)2×0.33＋(120－110)2×0.24＋
(130－110)2×0.08＋(140－110)2×0.02＝150.
故估计这20 000名考生数学成绩的方差为150，
标准差s＝＝5≈5×2.4＝12.
(2)根据以往经验，可以认为这20 000名优秀考生的数学成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中参数μ和σ可以分别用(1)中的和s来估计.记考生本次考试的各科总成绩为Y，若Y＝5X－10，试估计这20 000名优秀考生中总成绩Y∈[600，660]的人数.
由(1)知μ可用＝110来估计，σ2可用s2＝150来估计.故X~N(110，150).
σ＝＝5≈12.
又P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)
＝
≈＝0.135 9，
故P(122≤X≤134)≈0.135 9.
又Y＝5X－10，
所以P(600≤Y≤660)＝P(600≤5X－10≤660)＝P(122≤X≤134)≈0.135 9.
故这20 000名优秀考生中总成绩在[600，660]的人数约为20 000×0.135 9＝2 718.
返回
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A A D A C BCD ABC
题号 9 10 13 　14
答案 0.4　64 C 　BCD
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)李明没通过面试包含前3题有1题答对，第4题答错和前3题均答错两种情况，
故所求概率为××.
(2)由题意得X的可能取值为2，3，4，则
P(X＝2)＝×，
P(X＝3)＝×××，
11.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
P(X＝4)＝××.
故所求分布列为
所以E(X)＝2×＋3×＋4×.
11.
X 2 3 4
P
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(1)∵12×0.04＋13×0.05＋14×0.25＋15×0.35＋16×0.18＋17×0.10＋18×0.03＝15，
∴估计这一地区居民点疏散所需时间t的均值为15，
∵(12－15)2×0.04＋(13－15)2×0.05＋(14－15)2×0.25＋(15－15)2×0.35＋(16－15)2×0.18＋(17－15)2×0.10＋(18－15)2×0.03＝1.66，
∴估计这一地区居民点疏散所需时间t的方差为1.66.
(2)∵疏散时间为17小时，18小时两组的频率之比为10∶3，
∴在疏散时间超过16小时的13个居民点中，疏散时间为17小时的有10个，
12.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
疏散时间为18小时的有3个，
再从这13个居民点中抽取5个，X为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，
X可取0，1，2，3.
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝，
12.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝，
X的分布列为
12.
X 0 1 2 3
P
一、单项选择题
1.已知随机变量ξ~B，则P(ξ＝2)等于
A. B. C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识过关
答案
由题意可知P(ξ＝2)＝××.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
2.若随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，P(X≤5)＝0.55，则P(X<1)等于
A.0.45 B.0.55 C.0.1 D.0.9
√
因为随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，所以P(X≤5)＝P(X≥1)＝0.55，所以P(X<1)＝1－P(X≥1)＝1－0.55＝0.45.
3.数学老师从6道题中随机抽3道检测学生，规定至少要解答正确2道题才能及格.某学生只能正确求解其中的4道题，则该学生能及格的概率为
A. B. C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
由题意知抽取3道题该学生不及格的情况只有只对一道题一种情况，则只
答对一道题的概率为P＝，所以该学生及格的概率为.
答案
4.数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒向左或
向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移
动8次，则质点位于－2的位置的概率是
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
依题意此实验满足8重伯努利实验，
设向左移动次数为X，则X~B，
从原点O出发，共移动8次，最后质点位于－2，则需向右移动3次，
向左移动5次，所以质点位于－2的位置的概率为P(X＝5)＝.
5.从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的数学期望为
A. B. C. D.2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
抽到的女生人数X可能为0，1，2，3，
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×.
6.泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、
物理学等领域有广泛应用，泊松分布的概率分布列为P(X＝k)＝e－λ(k＝0，1，
2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值.若随机变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中λ＝np，即X~B(n，
p)，P(X＝i)＝(n∈N*).现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该
种元件，则正品率大于97%的概率约为
A.99% B.97% C.92% D.74%
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
由题意得n＝100，p＝0.01，泊松分布可作为二项分布的近似，
此时λ＝100×0.01＝1，
所以P(X＝k)＝e－1，
P(X＝0)＝e－1＝，
P(X＝1)＝e－1＝，
P(X＝2)＝e－1＝，
正品率大于97%的概率为P＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝≈92%.
二、多项选择题
7.下列判断正确的是
A.若随机变量ξ服从0－1分布，且P(ξ＝0)＝0.35，则P(ξ＝1)＝0.7
B.若随机变量ξ~B，则D(ξ)＝
C.若随机变量ξ~H(3，3，10)，则E(ξ)＝0.9
D.若随机变量ξ~N(1，σ2)，P(ξ≤3)＝0.8，则P(ξ<－1)＝0.2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√
答案
√
√
若ξ服从0－1分布，则P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)＝0.65，故A错误；
若随机变量ξ~B，则D(ξ)＝3××，故B正确；
若随机变量ξ~H(3，3，10)，则E(ξ)＝＝0.9，故C正确；
若随机变量ξ~N(1，σ2)，P(ξ≤3)＝0.8，则P(ξ<－1)＝P(ξ>3)＝1－0.8＝0.2，故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
8.若随机变量X服从正态分布N(6，4)，且P(2A.P(7P(1C.P(4√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
随机变量X服从正态分布N(6，4)，则μ＝6，σ＝2，P(7P(1E(X)＝μ＝6，则E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝13，B正确；
由P(2D(X)＝σ2＝4，则D(2X＋1)＝4D(X)＝16，D错误.
答案
三、填空题
9.(2024·南通调研)已知随机变量X~N(4，42).若P(X<3)＝0.3，则P(31
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
0.4
64
由题意可知μ＝4，σ＝4，即D(X)＝16，
所以D(Y)＝4D(X)＝64，
因为3＋5＝2μ，且P(X<3)＝0.3，
所以P(310.(2024·烟台模拟)甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，采用五局三胜制(当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束).根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是p(0胜的概率不低于甲以3∶1获胜的概率，则p的取值范围为　　　　　.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
甲以3∶0获胜的概率为p1＝p3，
甲以3∶1获胜的概率为p2＝p3(1－p)＝3p3(1－p)，
由题意，p1≥p2，即p3≥3p3(1－p)，
解得p≥，
所以p的取值范围为.
四、解答题
11.某公司在员工招聘面试环节准备了4道面试题，面试者按顺序提问，若每位被面试者答对两道题则通过面试，面试结束；若每位被面试者前三
道题均答错，则不通过面试，面试结束.已知李明答对每道题的概率均为，
且每道题是否答对相互独立.
(1)求李明没通过面试的概率；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
李明没通过面试包含前3题有1题答对，第4题答错和前3题均答错两种情况，
故所求概率为××.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
由题意得X的可能取值为2，3，4，则
P(X＝2)＝×，P(X＝3)＝×××，
P(X＝4)＝××.
故所求分布列为
所以E(X)＝2×＋3×＋4×.
X 2 3 4
P
(2)记李明所答题目的数量为X，求X的分布列和数学期望.
12.台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取了100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如表：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
疏散时间t(最接近的时间，取整数)单位：小时 12 13 14 15 16 17 18
频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03
(1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间t的均值和方差；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
∵12×0.04＋13×0.05＋14×0.25＋15×0.35＋16×0.18＋17×0.10＋18×0.03＝15，
∴估计这一地区居民点疏散所需时间t的均值为15，
∵(12－15)2×0.04＋(13－15)2×0.05＋(14－15)2×0.25＋(15－15)2×0.35＋(16－15)2×0.18＋(17－15)2×0.10＋(18－15)2×0.03＝1.66，
∴估计这一地区居民点疏散所需时间t的方差为1.66.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
疏散时间t(最接近的时间，取整数)单位：小时 12 13 14 15 16 17 18
频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03
(2)根据工作安排，需要在疏散时间超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设X为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求X的分布列.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
∵疏散时间为17小时，18小时两组的频率之比为10∶3，
∴在疏散时间超过16小时的13个居民点中，疏散时间为17小时的有
10个，疏散时间为18小时的有3个，
再从这13个居民点中抽取5个，X为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，
X可取0，1，2，3.
P(X＝0)＝，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝，
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
13.设随机变量X~B(n，p)，记pk＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，下列说法正确的是
A.当k由0增大到n时，pk先增后减，当且仅当k取某一个正整数时达到最大
B.如果(n＋1)p为正整数，当且仅当k＝(n＋1)p时，pk取最大值
C.如果(n＋1)p为非整数，当且仅当k取(n＋1)p的整数部分时，pk取最大值
D.E(X)＝np(1－p)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
能力拓展
因为X~B(n，p)，pk＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，
由
得
解得(n＋1)p－1≤k≤(n＋1)p，
若(n＋1)p为正整数，则当k＝(n＋1)p或k＝(n＋1)p－1时，pk取最大值，故B错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
若(n＋1)p为非整数，则当k取(n＋1)p的整数部分时，pk取最大值，故C正确；
综上所述，当k由0增大到n时，pk先增后减，在某一个(或两个)k值处达到最大，故A错误；
因为E(X)＝np，故D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
14.(多选)(2024·吕梁模拟)小明上学有时乘公交车，有时骑自行车.他各记录了100次乘公交车和骑自行车上学所用的时间，经数据分析得到：乘公交车平均用时20 min，样本标准差为6；骑自行车平均用时24 min，样本
标准差为2.已知若随机变量ξ~N(μ，σ2)，则~N(0，1).假设小明乘公交
车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则
A.X~N(20，6)
B.~N(0，1)
C.若某天有28 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车
D.若某天有25 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
根据题意知X~N(20，62)，~N(0，1)，故A错误，B正确；
若有28 min可用，分别设随机变量X，Y的平均数和样本标准差为μX，μY，σX，σY，
则P(|Y－24|≤4)＝P(|Y－μY|≤2σY)＝P(|X－μX|≤2σX)＝P(|X－20|≤12)>P(|X－20|≤8)，故P(X≤28)若有25 min可用，则
P(X≤25)＝P，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
P(Y≤25)＝P，
因为~N(0，1)，~N(0，1)，故P(X≤25)>P(Y≤25)，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车，故D正确.
返回

展开更多......

收起↑